重叠问题（教学设计）-2025-2026学年人教版三年级数学下册

该小学数学教学设计聚焦三年级下册数学广角《重叠问题》，通过“既…又…”句式游戏和脑筋急转弯导入，从生活重复现象自然过渡到数学问题，搭建从具象到抽象的学习支架，引导学生认识韦恩图并掌握重叠问题解题方法。 此设计以学生自主探究为核心，让学生动手画图整理数据并展示分类、连线等方案，结合韦恩图理解各区域含义，通过多样化算式（如4+4-2=6）培养推理意识与运算能力，分层练习渗透容斥原理，体现几何直观与模型意识，助力学生理解集合思想，提升教师教学效率。

2026年五原县中小学优秀教学案例大赛 ---三年级下册数学广角《重叠问题》教学设计 课程基本信息 主备人 张存娥 课型 新授课 学科 数学 年级 三年级 学段 小学中段 版本章节 人教版数学广角 教学目标 1. 引导学生感知重叠现象，认识韦恩图，理解韦恩图各部分表示的实际含义。 2. 掌握重叠问题的基本解题方法，能运用“两部分数量相加减去重复数量”等不同思路列式计算，解决简单重叠实际问题。 3. 在自主思考与合作交流中，体会画图策略、集合思想在解决问题中的作用，提升数据分析、逻辑推理和语言表达能力。 教学重难点 教学重点 1. 认识韦恩图，理解韦恩图每一部分的意义。 2. 掌握重叠问题的核心解题思路：总数=第一部分数量+第二部分数量-重复数量。 教学难点 1. 理解“重复部分被重复计算两次”的本质，明白为什么要减去重复人数。 2. 准确区分韦恩图中“只参加一项”“两项都参加”“整体集合”等不同区域的含义，并灵活运用多种方法解决重叠问题。 学情分析 1. 知识基础：学生已经掌握基础分类、简单加减法计算、统计表认读等知识，具备初步的数据整理和简单逻辑思考能力，但此前未接触过集合、重叠相关数学思想，对“重复计数”的问题没有认知经验。 2. 思维特点：三年级学生以具象思维为主，抽象逻辑思维较弱，单纯讲解算式和概念难以理解。他们喜欢游戏、动手操作、趣味互动，对画图、小组合作、直观图示接受度高。 3. 学习难点预判：学生容易直观认为“两部分人数直接相加就是总数”，很难理解重复部分被两次计算，也难以自主理解韦恩图各区域的含义，区分不清“只参加一项”和“两项都参加”。 4. 学习习惯：课堂参与积极性较高，乐于发言、展示作品，但语言表达不够严谨，说理能力有待加强。 教学准备 课件、学习单 教学过程 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 一、导入 师：同学们，课前我们先来玩一个举例子的小游戏，听好了：老师既是三（1）班的数学老师，又是三（2）班的数学老师，老师用到了哪个关联词造句？老师有几重身份？（2重）但是老师是一个人。 师：你能像刚刚那样用“既....又.....”来举例子吗？（2生） 师：对比上面这些例子，它们都有一个共同特点，是什么？ 师：那我们借助刚刚发现的特点，一起来看一个有趣的脑筋急转弯。 预设生答不上来： 师：用刚才一人分饰两角的想法，谁是一人分饰两角，用“既....又.....”来说一说 师引导：爸爸“既....又.....” 师：今天咱们就研究这种双重身份的问题，重叠问题（板书）。 1、认真倾听老师例句，举手回答问题，找出关联词既……又……，明白同一个人拥有两种身份。 2、结合生活、校园里的事例，试着用关词“既……又……”自主口头造句分享。 3、观察多组例句，独立思考、同桌简单交流后，总结出共同点：同一个事物有着两种不同身份，存在重复。 4、思考脑筋急转弯，遇到困难时跟随老师引导，用“一人分饰两角”的思路，运用句式说一说，感受生活里的重复现象。 5、跟随老师思路，初步感知重叠的含义，齐读课题，明确本节课学习内容。 本环节借助趣味小游戏开课，结合句式举例、脑筋急转弯引导学生初步感知重复现象，贴合三年级学生认知特点，调动课堂学习兴趣，从生活事例直观引出重叠的含义，为后续新知探究做好铺垫，自然导入本节课课题。 二、探究新知 任务一：整理数据，发现重复现象 屏幕出示统计表 师：仔细观察名单，你有什么感受？接下来我们一起来整理一下吧，先来整理三（1）班的数据。（拍照） 师：根据我们整理的数据，你能提一个数学问题吗？（口头提问并解决） 任务二：操作探究，构建韦恩图模型 1.师：继续来整理三（2）班的数据。（拍照） 师：根据我们整理的数据，你能提一个数学问题吗？（加法的） 预设1：4+4=8 师：有没有不同的意见？你们在填表的时候有什么发现？ 师指着重复的名字：这是几个人？（2个），还能用4+4吗，谁有新的算式？（4+4-2=6）为什么-2？ 师：还记得刚刚一人分饰两角吗，这两位同学既拿航天奖，又拿机器人奖，4+4的时候，把他们算了2遍，实际上只算1次就行，因此减去重复数的2个人。 预设2：4+4-2=6 师：为什么-2？（同上） 1生正确讲解，再一生说一遍，错误的同学再次讲解。（3生） 2.师：怎样才能清楚地表示三（2）班获奖学生的情况呢？ 出示任务要求：画一画，写一写，表示出你的思考过程。 能清晰看出获得两项奖的人和只获得一项奖的人。 3.展示作品 （黑板同步呈现三类学生作品） 方案1：三类分类整理法 生：我把所有获奖同学分成三类：只航模获奖、两项都获奖、只机器人获奖。这样不重复、不遗漏，直接相加：2+2+2=6 请学生评价 方案2：上下名单连线法 生：我把航模、机器人名单分两行写，重复的同学我用线连起来，一眼看出有2人重复获奖。 预设1：没出韦恩图 师：师在生的图上圈一圈，这表示？ （获得航天奖的） 这个圈里的呢？ （获得机器人奖的人） 那连线表示什么？（有重复的人），那说明这两个圆圈能分开吗？ （不能）它们之间有没有共同的部分？（有） 那怎么摆才能让重复获奖的同学，同时待在两个圆圈中呢？（交叉） 师在图上重叠部分画出阴影，问：那重叠的部分表示什么意思？ （两个比赛都获奖的学生） 那我们用更规范的图来呈现，课件演示。这种相交的圆圈图，是英国数学家约翰.伟恩想出来的，所以叫做韦恩图。 方案3：双圈韦恩图整理法 生：我画了两个圈圈，一个代表航模获奖同学，一个代表机器人获奖同学，中间重叠的就是两项都获奖的同学。 预设2：直接生画出韦恩图 师：同学们的方法都很棒！这种相交的圆圈图，是英国数学家约翰 韦恩想出来的，所以叫做韦恩图。那我们用更规范的图来呈现，课件演示。 4.师：你看明白图了吗？ ①两圈中间重叠区域，表示什么？（两项都获奖2人） ②左缺口，表示什么？（只航模获奖2人） ③右缺口，表示什么？（只机器人获奖2人） ④左边椭圆，表示什么？（航模获奖4人） ⑤右边椭圆，表示什么？（机器人获奖4人） 5.师：现在还能用4+4=8吗？为什么不用了？（有重复的人） 师：算一算三（2）班一共有多少人获奖？尝试列出不同算式，写完和同桌说说理由。 （学生独立列式，教师巡视，收集多种算法，指名学生上台指着黑板韦恩图分析说理） 预设一：2+2+2=6 生上台指图说：左边只航模获奖的有2人，中间两项都获奖的有2人，右边只机器人获奖的有2人。把三部分全部加起来，就是全班获奖总人数。 师：分类求和，不重不漏，思路清晰。 预设二：4+4-2=6（核心重点算式） 生上台指图说：左边整个圈是航模全部获奖4人，右边整个圈是机器人全部获奖4人。4加4的时候，中间重叠的2名同学被算了两次，多算了一次，所以最后要减去重复的2人，才是真实总人数。 师：抓住重叠本质，方法最简洁。 预设三：4+(4-2)=6 生上台指图说：先看机器人一共4人，去掉两项都获奖的2人，算出只机器人获奖2人。再和航模全部4人合在一起，就是总人数。 预设算法四：(4-2)+4=6 生上台指图说：先用航模总人数4人减去重复的2人，得到只航模获奖的2人，再加上机器人全部获奖的4人，也能算出总人数。 师小结：算法不同，道理相通，都能准确算出总人数。 6.师：对比两个班的统计情况，为什么三（2）班获奖总人数不能直接相加？ 生1：三（1）班没有人重复获奖，可以直接相加。 生2：三（2）班有人两项都获奖，有重叠，要减掉重复人数。 生3：没有重叠，总数直接加；有重叠，总数要减去重复部分。 任务一： 1.仔细观察表格里的名单，跟随老师分步整理两组班级数据，主动举手提出求和类数学问题，口头列式解答三（1）班总人数； 2.自主尝试列式计算三（2）班人数，在发现名单有重复后积极发言，结合导入知识说一说重复的两名同学被算了两次，理解算式 的道理； 3.独立动手画图、书写思路，尝试用自己的方式区分只获一项、两项都获奖的同学，上台介绍自己的画图思路，跟着老师的提问辨析图示，逐步认识韦恩图，理解圈内不同区域代表的意义。 任务二： 1、 对照韦恩图依次回答每一块区域代表的含义，再次复述重复部分多算一次，明白直接相加的问题； 2、 独立思考列出不同算式，同桌之间互相讲解列式想法，主动上台指着韦恩图分享自己的解题思路； 3、倾听不同算法的讲解，对比两个班级的不同情况，归纳总结：无重叠直接相加，有重叠要减去重复部分。 借助两组有无重复的数据形成对比，制造认知冲突，让学生在观察、列式、动手画图的过程中自主发现重叠问题，由具象的名单过渡到直观图示，层层铺垫，初步渗透集合思想，为后续利用韦恩图解题打好基础。 依托直观的韦恩图搭建思维支架，鼓励学生多角度思考算法，让学生在列式、说理、对比归纳中理解重叠问题的本质，在自主探究中掌握解题思路，发展逻辑推理与数学表达能力。 三、巩固练习 1. 找出两个小组都参加的人（刘明、王志、张丽）。 2. 将名单填入韦恩图的三个区域（只航模、只乐器、都参加）。 3. 数出都参加的人数（3人），再计算总人数（7+7-3=11人）。 1. 观察图形，找出重叠部分是边长为3厘米的正方形。 2. 计算两个长方形总面积（8×3×2=48平方厘米）。 3. 减去重叠部分面积（3×3=9平方厘米），得组合图形面积39平方厘米。 1. 明确航模奖4人，机器人奖5人，可能有同学同时获得两项奖。 2. 思考总人数＝4＋5－重叠人数，重叠人数最少为0，最多为4（因航模只有4人）。 3. 计算：重叠最多（4人）时总人数最少＝4＋5－4＝5人；重叠最少（0人）时总人数最多＝4＋5＝9人。 4. 得出结论：两项获奖的人数最少有5人，最多有9人。 1题：通过将具体人名填入韦恩图的实际操作，帮助学生直观理解集合的交集与并集含义，感受“重复部分”对总数的影响。在此过程中培养分类整理信息的能力，并初步掌握容斥原理（总人数＝两组人数和－重叠人数），为后续解决更复杂的重叠问题打好基础。 2题：在巩固长方形面积公式的同时，引入“重叠”情形下的面积计算方法——从总面积中减去重复部分，渗透几何中的容斥思想。引导学生观察重叠部分的形状与尺寸，培养空间想象能力，并鼓励从不同角度（如直接减重叠或分割计算）解决问题，提高灵活运用公式的综合能力。 3题：在掌握基本容斥原理的基础上，引导学生从“重叠人数可变”出发，分析总人数的极端情况。培养学生考虑“最多重叠”和“最少重叠”的极端思维，理解集合交集的取值范围对并集大小的影响，提升逻辑推理与全面思考问题的能力。 四、课堂评价 师：快来填一填评价表，看看自己完成的怎么样吧？ 1. 根据自己完成本课作业的真实感受，勾选心情选项（有成就感/进一步增强信心/感觉有压力/没有感觉）。 2. 统计并填写独立解决的题数以及寻求帮助的题数。 3. 小组成员对这位同学的作业态度进行评议，勾选相应的评价等级（非常认真/认真/还蛮努力/不够认真）。 4. 阅读教师寄语，了解老师的反馈与建议。 通过自评与互评相结合的方式，引导学生反思自己的学习过程和态度，培养元认知能力与自我监控意识。小组评价促进学生之间的相互观察与学习，增强合作与责任感。教师寄语则发挥激励与导向作用，帮助学生调整学习状态，形成积极、持续改进的评价闭环。 板书设计/课堂小结 重叠问题 既...又... (1)4+4=8(人) (2)4+4-2=6(人) 教学反思 一、课堂优点 本课以趣味游戏导入新知，借助认知冲突引导学生自主探究，循序渐进认识韦恩图、理解重叠问题算理；练习设计层次分明，同时注重学生数学表达与多元评价，课堂氛围活跃，整体教学流程清晰，较好达成预设教学目标。 二、存在不足 知识与生活的结合不够深入，且拓展内容讲解较为仓促。 三、改进措施 优化课堂时间规划，精简冗余环节，预留充足时间探究拓展题型；多结合生活实例设计练习与互动，让学生感受数学知识的实际应用价值。 — - 1 - — 学科网（北京）股份有限公司 $