专题01 一次函数24大题型（期中复习讲义）八年级数学下学期新教材北京版

专题01 一次函数（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 变量与常量 题型02 函数的概念 题型03 自变量取值范围、函数值 题型04 函数的表示法 题型05 平面直角坐标系 题型06 坐标的平移问题 题型07 描点法画函数图象 题型08 一次函数基本概念 题型09 正比例函数基本概念 题型10 正比例函数的图象与性质 题型11 一次函数的解析式 题型12 已知函数经过的象限求参数范围 题型13 一次函数图形与坐标轴的交点问题 题型14 一次函数图象平移问题 题型15 一次函数的增减性求参数 题型16 比较一次函数值的大小 题型17 一次函数的规律探究问题 题型18 一次函数与方程 题型19 一次函数与不等式 题型20 分配方案问题 题型21 最大利润问题 题型22 行程问题 题型23 梯度计价问题 题型24 一次函数与几何综合 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 常量和变量 理解常量与变量的意义，能识别、表示并正确运用二者解决简单问题。 基础常考点，一般在小题考查，分值在2分左右 函数基本概念 理解函数的定义与三要素，能判断函数关系、确定自变量取值范围，并会用三种形式表示函数。 基础常考点，一般在小题考查，分值在2分左右 函数的表示法 掌握函数的列表、解析式、图像三种表示法，能相互转化、灵活选用，并读懂每种表示法中的函数信息。 基础常考点，一般在小题考查，分值在2分左右 函数图象的画法 掌握函数图像的列表、描点、连线基本画法，能规范绘制简单函数图像，并根据图像分析函数基本特征。 重要常考点，一般在解答题考查，分值在3分左右 一次函数的概念、自变量或函数值 理解一次函数的定义及一般形式，能准确判断一次函数与正比例函数，熟练求自变量取值范围和对应的函数值。 基础常考点，选填考查比较多，分值在3分左右 正比例函数的概念、图象与性质 理解正比例函数概念与解析式，掌握其图象特征与增减性，能结合图象分析性质并进行简单应用。 基础常考点，一般在小题考查，分值3分 已知函数经过的象限求参数范围 掌握根据一次函数图象经过的象限，判断斜率 k 和截距 b 的符号，进而求出参数取值范围的方法。 重要考点，一般在小题考查 一次函数图象与坐标轴的交点问题 熟练掌握一次函数与 x 轴、y 轴交点坐标的求法，能利用交点解决图像位置、长度及面积相关问题。 核心考点，一般在解答题考查，与其他题型综合考查，分值在5分左右 一次函数解析式 掌握待定系数法求一次函数解析式，能根据已知点坐标、图像或实际问题列出并求解函数表达式。 核心考点，一般在解答题第一问考查，2分左右 一次函数图象的平移问题 掌握一次函数图象上下、左右平移的规律，能根据平移方向与距离写出新解析式，或由新图象反推平移方式。 核心考点，易出难题，4分左右 一次函数的增减性求参数 掌握一次函数增减性与系数 k 的关系，能根据函数增减情况判断 k 的符号，进而求出参数的取值范围。 核心考点，一般在解答题考查，3分左右 一次函数与方程 理解一次函数与一元一次方程的内在联系，能利用函数图象求方程的解，并结合图像分析方程解的意义。 核心考点，一般在解答题考查，5分左右 一次函数与不等式 理解一次函数与一元一次不等式的关系，能借助函数图象确定不等式的解集，并运用数形结合解决简单不等关系问题。 核心考点，一般在解答题考查，5分左右 一次函数的实际应用 能从实际问题中抽象出一次函数模型，确定自变量范围，利用解析式、图像与性质解决行程、利润、方案选择等实际问题。 核心必考点，一般在解答题考查，8分左右 知识点01 函数的相关概念 变量与常量 1.在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量.数值保持不变的量叫做常量. 2.判断一个物体是常量还是变量的方法：看这个量的值在某一变化过程中是否发生改变，若在变化过程中这个量的值不变，则这个量就是常量，若这个量的值会发生改变，则这个量就是变量. 3.常量不等于是常数，它可以用一个数值不改变的字母来表示. 函数的概念 1.函数：一般地，在一个变化过程中. 如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值， 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数. 2.确定函数与自变量的方法：在某个变化过程中处于主导地位的变量是自变量，随之变化且对应值唯一确定的变量是该变量的函数. 3.函数具有唯一对应性，判断两个变量是否具有函数关系，不能只看是否有关系式存在，还要看对应给定的x的每一个值，y是否有唯一值与之对应. 4.函数是一个变量相对于另一个变量而言的，如果两个变量x与y，若y是x的函数，就不能说成x是y的函数. 函数的三种常见表示方法 表示法 定义 优点 缺点 列表法 把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表，这种表示函数关系的方法叫做列表法 一目了然，对表格中已有自变量的每一个值，可直接查出与之对应的函数的值 列出的对应值是有限的，而且在表格中也不容易看出自变量与函数的变化规律 解析法 两个变量之间的函数关系可以用等式来表示，这种表示两个变量之间函数关系的式子称为函数表达式，用函数表达式表示函数的方法叫做解析法 能准确地反映整个变化过程中自变量与函数的对应关系 求对应值时，往往要经过比较复杂的计算，有些函数不能用表达式表示出来 图像法 用图像来表示函数关系的方法叫做图像法 能直观、形象地反映出函数关系变化的趋势 由自变量的值常常难以找到对应函数的准确值 函数的三种表示方法各有不同的长处.解析式法能揭示出变量之间的内在联系，但较抽象，不是所有的函数都能列出解析式；列表法可以清楚地列出一些自变量和函数值的对应值，这会对某些特定的数值带来一目了然的效果，例如火车的时刻表，平方表等；图象法可以直观形象地反映函数的变化趋势，而且对于一些无法用解析式表达的函数，图象可以充当重要角色. 函数的图像 在平面直角坐标系中，以函数的自变量的值为横坐标，对应的函数值为纵坐标的点所组成的图形叫做这个函数的图像. 函数的自变量与函数值 1.自变量的取值范围：使函数有意义的自变量的取值的全体实数叫自变量的取值范围. 2.常见函数自变量取值范围的确定： （1）当解析式是整式时，自变量的取值范围是全体实数； （2）当解析式是分式时，自变量的取值范围是使分母不为零的实数； （3）当解析式是二次根式时，自变量的取值范围是使被开方数不小于零的实数； （4）当解析式中含有零指数幂或负整数指数幂时，自变量的取值应使相应的底数不为零； （5）当解析式表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义. 3.函数值：y是x的函数，如果当x＝a时y＝b，那么b就叫做当自变量为a时的函数值. （1）一个函数的函数值随着自变量值的变化而变化，因此在求函数值时，一定要明确是求自变量为多少时的函数值. （2）对于每个确定的自变量值，函数值是唯一的，但反过来，可以不唯一，即一个函数值对应的自变量可以是多个. 知识点02 一次函数、正比例函数 1.一次函数：一般地，形如y＝kx＋b（k、b为常数且k≠0）的函数叫做一次函数，其中x是自变量，y是x的函数. 2.正比例函数：当b＝0时，即y＝kx（k为常数且k≠0），y叫做x的正比例函数. 3.正比例函数是一次函数的特例，即正比例函数是一次函数，而一次函数不一定是正比例函数. 4.一般地，一次函数中自变量x的取值范围是任意实数，但在实际问题中x的取值范围要根据具体问题的实际意义来确定. 5.判断一次函数的方法：式子经过恒等变形后，若满足：（1）等号右边是关于x的整式；（2）自变量x的最高次数是1；（3）一次项系数k≠0这三个条件，则是一次函数，否则就不是一次函数. 确定一次函数的表达式 1.待定系数法：一次函数y＝kx＋b（k、b为常数且k≠0）中有两个待定系数k、b，需要两个两个独立条件确定两个关于k、b的方程，这两个条件通常为两个点或两对x、y的值. 2.用待定系数法确定一次函数表达式的步骤： （1）设：设一次函数的表达式为y＝kx＋b（k≠0）； （2）列：将已知条件代入表达式，列出关于k、b的方程（组）； （3）解：解方程（组），求出k、b的值； （4）代：将k、b的值代回所设的函数表达式. 知识点03 一次函数的图像与性质 1.一次函数的图像：一次函数y＝kx＋b（k、b为常数，且k≠0）的图像是一条直线. 2.正比例函数的图像：正比例函数y＝kx（k≠0）的图像是经过原点的一条直线. 3.一次函数的图像是一条直线，但不是所有的直线都是一次函数的图像，在利用一次函数的图像解决实际问题时，自变量的取值会受到限制，此时函数图像不再是一条直线，有可能是线段、射线，也有可能是间断的点. 4.一次函数的图像与表达式之间的关系：一次函数的图像与函数表达式是一一对应的，即函数图像上任意一点P（x，y）中的x，y的值满足函数表达式；反之，满足函数表达式的任意一对有序实数（x，y）所对应的点一定在函数图像上. 5.通过描点法画出对应一次函数的步骤： （1）列表：恰当地选取自变量x的一部分值，并计算出函数y相应的值，同时都填入列出的表中； （2）描点：以表中的有序数对（x，y）为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点； （3）连线：将所描的点用直线连接起来. 一次函数的性质 一次函数 y＝kx＋b（k、b为常数，且k≠0） k、b的符号 k＞0 k＜0 b＞0 b＝0 b＜0 b＞0 b＝0 b＜0 图像 趋势 从左向右上升 从左向右下降 性质 函数值y随自变量x增大而增大 函数值y随自变量x增大而减小 与y轴交点的位置 正半轴 原点 负半轴 正半轴 原点 负半轴 经过的象限 第一、二、三象限 第一、三象限 第一、三、四象限 第一、二、四象限 第二、四象限 第二、三、四象限 1.一次函数的图像经过的象限是由k和b的符号共同决定的，一次函数的增减性取决于k，与y轴的交点取决于b，反之，由一次函数的图像特征也可判断k、b的符号. 2.|k|的大小决定直线y＝kx＋b的倾斜程度，|k|越大，直线与x轴相交所成的锐角越大，直线越陡；|k|越小，直线与x轴相交所成的锐角越小，直线越缓. 知识点04 一次函数图象的平移问题 1.正比例函数y＝kx的图像是经过原点的一条直线，一次函数y＝kx＋b的图像可以看成是由正比例函数图像向上（b＞0）或向下（b＜0）平移|b|个单位长度得到的. 2.一次函数图像的平移规律 （1）上、下平移：直线y＝kx＋b（k≠0）向上平移n（n＞0）个单位长度得到直线y＝kx＋b＋n（k≠0）；直线y＝kx＋b（k≠0）向下平移n（n＞0）个单位长度得到直线y＝kx＋b－n（k≠0）.（上加下减） （2）左、右平移：直线y＝kx＋b（k≠0）向左平移m（m＞0）个单位长度得到直线y＝k（x+m）＋b（k≠0）；直线y＝kx＋b（k≠0）向右平移m（m＞0）个单位长度得到直线y＝k（x－m）＋b（k≠0）.（左加右减）. 知识点05 一次函数的应用 应用一次函数解决实际问题时，首先，要判断问题中的两个变量之间是否是一次函数关系；其次，当确定是一次函数关系时，可先求出一次函数表达式，再应用一次函数的相关知识去解决与其相关的实际问题. 1.判断两个变量之间是不是一次函数关系的步骤： （1）通过实验、测量获得数量足够多的两个变量的对应值； （2）建立适当的平面直角坐标系，画出图像； （3）观察图像特征，判断函数的类型. 2.建立一次函数表达式的常用方法 （1）根据基本的量之间存在的关系列函数表达式； （2）若题目中已明确给出两个变量的函数关系，则可用待定系数法求出函数表达式； 用一次函数解决问题的关键是建立数学模型，数学建模的关键是将实际问题数学化，从而得到解决问题的最佳方案、最佳策略.在建模的过程中，为了既合乎实际问题又能求解，这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简，而这一过程恰是我们的分析、抽象、综合、表达能力的体现.函数建模最困难的环节是将实际情景通过数学转化为什么样的函数模型. 知识点06 一次函数与方程、不等式的关系 一次函数与二元一次方程的关系 1.一次函数y＝kx＋b的图像上任意一点的坐标都是二元一次方程kx－y＋b＝0的解，以二元一次方程kx－y＋b＝0的解为坐标的点都在一次函数y＝kx＋b的图像上. 2.二元一次方程与一次函数的区别： （1）二元一次方程有两个未知数，而一次函数有两个变量； （2）二元一次方程是用一个等式表示两个未知数的关系，而一次函数既可以用一个等式表示两个变量的关系，又可以用列表法或图像法表示两个变量间的关系. 3.二元一次方程的解与一次函数图像上点的坐标之间的关系是一一对应的，以二元一次方程的解为坐标的点所组成的图形与其相应的一次函数的图像完全重合（一条直线）. 一次函数与二元一次方程组 1.如果两个一次函数的图像有一个交点，那么交点的坐标就是相应的二元一次方程组的解. 2.在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解. 3.用一次函数的图像求二元一次方程组的解的方法称为二元一次方程组的图像解法. 4.当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线就平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解，反之也成立. 5.当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合，反之也成立. 6.方程组解的几何意义 （1）方程组的解的几何意义：方程组的解对应两个函数的图象的交点坐标； （2）根据坐标系中两个函数图象的位置关系，可以看出对应的方程组的解情况；（） （3）根据交点的个数，看出方程组的解的个数； （4）对于一个复杂方程组，特别是变化不定的方程组，用图象法可以很容易观察出它的解的个数. 一次函数与一元一次方程 1.一次函数y＝kx＋b（k≠0，b为常数），当函数y＝0时，就得到了一元一次方程kx＋b＝0，此时自变量x的值就是方程kx＋b＝0的解.所以解一元一次方程就可以转化为：当某一个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值. 2.从图象上看，这相当于已知直线y＝kx＋b（k≠0，b为常数），确定它与x轴交点的横坐标的值. 3.对于一次函数y＝kx＋b（k≠0），已知x的值求y的值，或已知y的值求x的值时，就是把问题转化为关于y或x的一元一次方程来求解. 一次函数与一元一次不等式 由于任何一个一元一次不等式都可以转化为ax＋b＞0或ax＋b＜0或ax＋b≥0或ax＋b≤0（a、b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数y＝ax＋b的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围. 利用解一元一次不等式可确定相应的函数值对应的自变量的取值范围，具体的对应关系如下： 1.不等式kx＋b＞0（k≠0）的解集直线 y＝kx＋b（k≠0）在x轴上方的部分所对应的x的取值范围； 2.不等式kx＋b＜0（k≠0）的解集直线 y＝kx＋b（k≠0）在x轴下方的部分所对应的x的取值范围； 3.不等式kx＋b＞a（k≠0）的解集直线 y＝kx＋b（k≠0）在直线y＝a上方的部分所对应的x的取值范围； 4.不等式kx＋b＜a（k≠0）的解集直线 y＝kx＋b（k≠0）在直线y＝a下方的部分所对应的x的取值范围； 5.不等式k1x＋b1＞k2x＋b2（k1k2≠0）的解集直线 y＝k1x＋b1（k1≠0）在直线y＝k2x＋b2（k2≠0）上方的部分所对应的x的取值范围； 6.不等式k1x＋b1＜k2x＋b2（k1k2≠0）的解集直线 y＝k1x＋b1（k1≠0）在直线y＝k2x＋b2（k2≠0）下方的部分所对应的x的取值范围. 题型一 变量与常量 易｜错｜点｜拨 常量不一定是具体数字，也可以是固定字母（如 π、题目给定的常数）。 变量不止一个，变化过程中变化的量都叫变量，不要只写一个。 区分谁是自变量、谁是函数：一个自变量只能对应唯一函数值，否则不是函数关系。 实际问题中，变量往往有取值范围（非负、整数、有上下限等），容易漏写。 不要把 “不变的字母” 当成变量，如 y=kx 中，若 k 为定值，则k 是常量，x、y 是变量。 1．要画一个面积为的长方形，其长为，宽为，在这一变化过程中，常量与变量分别是（   ） A．常量为；变量为x，y B．常量为，y；变量为x C．常量为，x；变量为y D．常量为x，y；变量为 2．圆的周长公式是，那么在这个公式中，关于变量和常量的说法正确的是（   ） A．2是常量，C、、r是变量 B．2、是常量，C，r是变量 C．2是常量，r是变量 D．2是常量，C、r是变量 3．图①中的摩天轮可抽象成一个圆，圆上一点离地面的高度有与旋转时间之间的关系如图②所示．下列说法正确的是（    ） A．变量不是的函数，摩天轮的直径是65米 B．变量不是的函数，摩天轮的直径是70米 C．变量是的函数，摩天轮的直径是65米 D．变量是的函数，摩天轮的直径是70米 题型二 函数的概念 易｜错｜点｜拨 判断函数只看一点：给一个 x，是否只有唯一一个 y 对应。多对一可以，一对多不是函数。 图像判断法：用竖线（垂直 x 轴）去截图像，最多一个交点才是函数，两个及以上就不是。 解析式里分母、根号易错： 分母≠0 二次根号下被开方数≥0容易漏写自变量取值范围。 别把 “常数函数” 当成不是函数：比如 y=3，每个 x 都对应唯一 y，是函数。 实际问题必带范围：时间、长度、人数等不能为负，取值范围不写直接扣分。 分清自变量和函数：题目问 “y 是不是 x 的函数”，只看 x→y 的对应关系，别搞反。 4．下列图像中，不能表示y是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 5．有下列5个等式：①；②；③；④；⑤．其中表示是的函数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 6．学校组织学生到北京天安门广场参观升国旗仪式是培育学生的爱国情怀．在奏响国歌第一个音符时，旗手将国旗展开抛出，到国歌的最后一个音符终止，时间是2分07秒，国旗同时到达30米高的旗杆顶端．国旗上升的高度随着演奏国歌时间的变化而变化．下列说法：①旗杆的高度30米是常量；②国旗上升过程中的时间是常量；③国旗上升过程中的高度是变量，其中正确的是______(只填写序号)． 题型三 自变量取值范围、函数值 易｜错｜点｜拨 自变量取值范围常见陷阱 分母含自变量：分母≠0 二次根号下：被开方数≥0 零次幂底数：底数≠0 实际问题：长度、时间、人数等必须非负且合理 多种限制同时存在时，要取交集，容易漏条件。 求函数值易错 代入时符号、括号、运算顺序容易错，负数和分数要格外小心。 先判断自变量是否在取值范围内，不在范围内则函数值不存在。 已知函数值求自变量，注意检验结果是否符合取值范围。 7．函数中自变量x的取值范围是______． 8．已知变量与的关系式是，则当时，_______． 9．已知函数 (1)求当，时，函数的值； (2)求当取什么值时，函数的值为0． 题型四 函数的表示法 10．在某地区，人们发现某种鸟类的飞行高度与它1分钟鸣叫的次数有如下的近似关系：用该鸟类1分钟鸣叫的次数减20，再把结果除以5，就近似地得到该鸟类的飞行高度（单位：）． (1)用代数式表示与之间的关系； (2)当该鸟类1分钟鸣叫的次数是90时，该鸟类的飞行高度是多少？ 11．为配合道路修整扩建施工，保障道路交通顺畅，白银市在交通主干道设置隔离护栏．某道路中间的隔离护栏平面示意图如图所示，假如每根立柱宽为0.2米，立柱间距为3米． (1)根据图示，将表格补充完整； 立柱根数 1 2 3 4 5 ．．． 护栏总长度/米 0.2 3.4 9.8 ．．． (2)设有根立柱，护栏总长度为米，求与之间的函数关系式并求当护栏总长度为93米时立柱的根数． 12．如图所示，数学老师每天晚饭后从家中出发去散步的时间与离开家的距离之间的关系的图象，请根据图象解答下列问题： (1)如图反映了哪两个变量之间的关系？________； (2)如果老师晚上分从家里出发，那么老师晚上________点回到家？ (3)老师散步时最远离家________米． (4)分别计算老师离开家后的20分钟内和返回家一段的平均速度． 题型五 平面直角坐标系 13．在平面直角坐标系中，若点在第四象限，则点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 14．已知点坐标为，点的坐标为，若轴，则______． 15．在平面直角坐标系中，已知点． (1)若点的纵坐标比横坐标大3，求的值； (2)若点在轴上，求的值． 题型六 坐标的平移问题 16．如图，将线段平移到，已知三个端点的坐标，，，那么第四个端点的坐标是（    ） A． B． C． D． 17．如图，三角形在平面直角坐标系中，其中点，点，点，将三角形的三个顶点A，B，C中的任意一点平移至点的位置后，点A的对应点的坐标是______． 18．如图，三角形中，，，是平移之后得到的图形，并且的对应点的坐标为． (1)作出平移之后的图形，若为中任意一点，则平移后对应点的坐标为_______． (2)求的面积． (3)轴上有一点，使的面积与相同，求点的坐标． 题型七 描点法画函数图象 易｜错｜点｜拨 三步不能乱：列表 → 描点 → 连线，顺序错、步骤漏直接扣分。 列表易错 取值太少、太密或只取正数，图像画不全。 实际问题要按自变量范围取点，不能超出范围。 描点易错 横纵坐标搞反（先 x 后 y），点的位置画错。 小数、分数点估算不准，导致图像变形。 连线易错 用折线连、画成折线图，正确应为平滑曲线 / 直线。 该延伸的不延伸，不该延伸的乱画出头。 细节扣分点 不标坐标轴、不标单位、不写函数解析式。 端点空心、实心分不清：有等号实心，无等号空心。 19．学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法，尝试用你积累的经验和方法解决下面问题． (1)在平面直角坐标系中，画出函数的图象； (2)结合所画函数图象，写出两条不同类型的性质． 20．通过学习“函数的图象”，我们学会了用列表、描点、连线的方法来画出函数图象．小明想应用这个方法来探究函数的图象．下面是他的探究过程，请你补充完整： x … 0 1 2 3 4 … y … 4 m 2 1 n 3 4 … (1)列表，补全表格：______，______； (2)描点并画出该函数的图象； (3)观察（2）中的图象，当______时，该函数的因变量的值最小，最小值为_____． 21．小莉根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究． 下面是小莉的探究过程，请补充完整： (1)下表是x与y的几组对应值．请直接写出： ______， ______； x … 0 1 2 3 … y … m 0 2 n … (2)如图，在平面直角坐标系中，描出上表中的点，然后用平滑的曲线连接起来，画出函数的图象； (3)当时，对应的自变量是______ 题型八 一次函数基本概念 22．子轩在用描点法画某个一次函数的图象时列得如下表格，已知其中有一组数据是错误的，则这组错误的数据是（    ） x … 0 1 … y … 14 11 8 5 3 … A． B． C． D． 23．已知函数是关于x的一次函数，则________ 24．已知函数 (1)当m是何值时函数是一次函数，写出此函数解析式．并计算当时的函数值； (2)点在此一次函数图象上，则n的值为多少？ 题型九 正比例函数基本概念 25．下列选项中，y是关于x的正比例函数的为（    ） A． B． C． D． 26．当_____时，函数是正比例函数． 27．已知函数． (1)若它是一次函数，求m的值； (2)若它是正比例函数，求的值 题型十 正比例函数的图象与性质 易｜错｜点｜拨 解析式：y=kx（k=0），必过原点 (0,0)，容易漏写 k=0。 图象形状：是一条过原点的直线，不是射线、线段。 象限与增减性 k>0：过一、三象限，y 随 x 增大而增大 k<0：过二、四象限，y 随 x 增大而减小 ∣k∣ 意义：∣k∣ 越大，直线越靠近 y 轴，越陡。 易错点 把 “y 随 x 增大而增大” 说成 “x 随 y 增大而增大” 忽略 k=0，导致判断出错 只看象限不看增减，或只看增减不看象限 28．在平面直角坐标系中，一次函数的图象与正比例函数的图象交于点． (1)求k，m的值； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值，则a的取值范围是 ． 29．正比例函数的图象如图所示，点A的坐标为，的函数图象上是否存在一点P，使的面积为4，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由． 30．已知是的正比例函数，且函数图象经过点． (1)求与的函数关系式； (2)当时，求对应的函数值； (3)已知点在此函数图象上，求的值． 题型十一 一次函数的解析式 易｜错｜点｜拨 标准形式：y=kx+b（k=0），最容易漏掉 k=0 这个条件。 正比例函数是特殊一次函数：b=0 时为 y=kx，别把二者混淆。 求解析式核心方法：待定系数法 设：设 y=kx+b 代：代入两点坐标 解：解方程组求k、b 写：写出解析式 易错点 只给一个点就想求完整解析式（至少要两个点） 代入坐标时横纵坐标弄反 计算k、b时符号、分数出错 实际问题忘记写自变量取值范围 特殊情况 平行直线：k 相等，b 不等 过原点：b=0，是正比例函数 31．已知一个函数的图象是经过原点的一条直线，并且这条直线经过点，求这个函数的解析式． 32．已知一次函数经过点和，求该一次函数的解析式． 33．已知一次函数的图象经过点，且与直线平行，求该一次函数的解析式． 题型十二 已知函数经过的象限求参数范围 易｜错｜点｜拨 根据 k、b 的符号，判断直线经过的象限，反之由经过的象限确定 k、b 的取值范围。 34．已知：一次函数． (1)若一次函数的图象过原点，求实数m的值； (2)当一次函数的图象经过第二、三、四象限时，求实数m的取值范围． 35．已知函数． (1)若这个函数经过原点，求m的值． (2)若函数的图象平行于直线，求m的值； (3)若这个函数是一次函数，且图象经过第一、二、三象限，求m的取值范围． 36．直线恒过一定点． （1）则该定点的坐标是______． （2）平面直角坐标系中有两点，，若该直线与线段没有交点，则的取值范围是______． 题型十三 一次函数图形与坐标轴的交点问题 易｜错｜点｜拨 求与 y 轴交点代 x=0，求与 x 轴交点代 y=0，注意坐标顺序与符号易错。 37．如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，动点在轴的负半轴上，连接，将沿所在直线折叠，当点的对应点恰好落在轴上时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 38．一次函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，在x轴上找一个点P使为等腰三角形，则点P的坐标为_____． 39．如图，在平面直角坐标系中，直线：与y轴交于点B，与x轴交于点C，直线：与y轴交于点D，直线和直线相交于点A，已知A点纵坐标为2． (1)求点A的横坐标及k的值； (2)点M在直线上， 轴，交x轴于点N．若，求点M的坐标． 题型十四 一次函数图象平移问题 易｜错｜点｜拨 左加右减自变量，上加下减常数项，平移不改变 k 值。 40．如图，在平面直角坐标系中，直线对应的函数表达式为，将直线向上平移得到，与轴、轴分别交于点、点，若，则直线的解析式（   ） A． B． C． D． 41．已知点是一次函数图象上的一点，若将该函数图象先向左平移2个单位，再向上平移2个单位后，点A的对应点位于第二象限，则m的取值范围是_______． 42．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点，且点的横坐标为4，点的纵坐标为2． (1)求一次函数的表达式； (2)坐标平面内有一点，将一次函数图象向下平移个单位长度恰好经过点，求的值． 题型十五 一次函数的增减性求参数 易｜错｜点｜拨 由 y 随 x 的增减直接判断 k 的符号，进而求出参数范围。 43．已知一次函数（为常数） (1)当函数是正比例函数时，的值为___________． (2)当函数图象不经过第一象限时，的取值范围是___________． (3)当时，一次函数的最大值为，求的值． 44．已知函数． (1)若函数图象经过原点，求m的值； (2)若函数的图象平行于直线，求m的值 (3)若这个函数是一次函数，且y随着x的增大而增大，且不经过第二象限，请直接写出一个符合条件的m的值． 45．在平面直角坐标系中，已知一次函数（为常数，且）． （1）若该一次函数的图像必经过一点，则该点的坐标为______； （2）当时，函数有最大值12，则的值为______． 题型十六 比较一次函数值的大小 46．在平面直角坐标系中，若点是一次函数图象上的两个点，则与的大小关系为：______________（填“”，“”或“”）． 47．对于函数的图象，回答以下问题： (1)该函数经过哪几个象限？ (2)当取何值时，？ (3)若图象上有两点和，且，试比较和的大小． 48．已知（m为常数，且）是一次函数． (1)求的值； (2)若点，均在该一次函数的图象上，试比较，的大小关系，并说明理由； (3)将该一次函数的图象关于轴对称后的直线记为，求直线与轴的交点坐标． 题型十七 一次函数的规律探究问题 49．正方形、，…按如图所示的方式放置．点、、…和点、、…分别在直线和轴上，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 50．如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点……依次进行下去，则点的横坐标为（   ） A． B． C． D． 51．如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，点，，在直线上，点，，，在轴的正半轴上，若，，，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在轴上，则的顶点的坐标为_____． 题型十八 一次函数与方程 52．如图直线与交于点，点的横坐标是，则关于的方程的解是______． 53．一次函数和一次函数在同一坐标系中的图象如图所示，已知，，，观察图象回答下列问题： (1)关于的一元一次方程的解是 ； (2)关于，的方程组的解是 ． 54．在学习一元一次不等式与一次函数时，小明在同一个坐标系中作出了一次函数和的图象（如下图），两直线交于点C，分别与x轴交于A，B两点．已知点，，，观察图象并回答下列问题： (1)关于x的方程的解是________； (2)求关于x的不等式的解集； (3)求的面积． 题型十九 一次函数与不等式 55．（1）画出一次函数的图像； （2）根据图像回答下列问题： ①写出图象与x轴的交点坐标为_______，与y轴的交点坐标为_______； ②根据图像回答：当x_______时，． ③与直线平行，且过的直线解析式______． x y 56．如图，直线与轴相交于点，直线经过点，与轴相交于点，与轴相交于点，与直线相交于点． (1)求直线的函数关系式； (2)根据图象，直接写出的解集； (3)点是上的一点，若的面积等于的面积的2倍，求点的坐标． 57．如图，已知一次函数（k、b为常数，）的图象分别与x轴、y轴交于A、B两点，若，，结合图象求： (1)关于x的方程的解； (2)关于x的不等式的解集； (3)当x的取值在什么范围时，? 题型二十 分配方案问题 58．为落实国家发展改革委办公厅，市场监管总局办公厅《关于规范电动自行车充电收费行为的通知》，长阳某小区完成充电桩“商改民”线路改造，将原商业电价调整为居民合表电价，并推出两种合规套餐，引导居民安全、经济充电． 套餐 计费规则 制定依据 A套餐 按实际充电量计费，单价1元/度（含充电电费0.51元/度及充电服务费0.49元/度） 居民合表电价及服务费标准 B套餐 充电量不超过1度免费，超出部分按1.5元/度计费（含充电服务费） 鼓励短充，减少夜间长时充电隐患 (1)分别写出两种套餐费用的函数表达式（充电量为度，费用为元）； (2)若用户充电2.5度，选择哪种套餐更经济？请说明理由． 59．某校要采购一款水杯，了解到有A，B两家超市可供选择，此款水杯在A，B两家超市售价均为50元，为了促销两家超市给出了不同的优惠方案： A超市：打8折出售； B超市：20个以内（含20个）不打折，超过20个后，超过的部分打7折． 该校计划购买水杯x个，设去A超市购买应付元，去B超市购买应付元． (1)分别求出，关于x的函数关系式； (2)若该校只在一个超市购买，怎样买更划算． 60．为响应绿色出行号召，越来越多的市民选择租用共享单车出行，已知某共享单车公司为市民提供了手机支付和会员卡支付两种支付方式，如图描述了两种方式应支付金额y（元）与骑行时间x（小时）之间的函数关系，根据图象回答下列问题： (1)求：当x≥0.5时，手机支付金额y（元）与骑行时间x（小时）的函数表达式； (2)李老师经常骑共享单车出行，请根据不同的骑行时间帮他确定选择哪种支付方式比较合算． 题型二十一 最大利润问题 61．在全球气候变暖的严峻形势下，二氧化碳排放量不断攀升，已成为亟待解决的关键问题，为了中和二氧化碳排放量，我们可以采取植树造林等绿化措施．根据相关统计结果，一棵成年的阔叶树种，例如杨树每年大约吸收二氧化碳千克，一棵成年的针叶树种，例如冷杉每年大约吸收二氧化碳千克．某环保企业计划购买成年杨树和冷杉共棵，设购买冷杉棵，这棵树木一年内吸收的二氧化碳总量为千克． (1)直接写出与的函数解析式； (2)杨树会产生较多的飘絮物，因此规定采购杨树的棵数不超过冷杉的一半，请问如何购买，才能使这棵树木在一年内吸收的二氧化碳总量最多，最多能吸收多少二氧化碳？ 62．2024年春晚吉祥物“龙辰辰”，以龙的十二生肖专属汉字“辰”为名．设计灵感以中华民族龙图腾的代表性实物，突出呈现吉祥如意、平安幸福的美好寓意．某网店从工厂购进大号、中号两种型号的“龙辰辰”，已知每个大号“龙辰辰”进价比中号“龙辰辰”多15元，2个大号“龙辰辰”和1个中号“龙辰辰”共150元． (1)求大号、中号两种型号的“龙辰辰”的进价． (2)该网点准备购进两种型号的“龙辰辰”共60个，且大号“龙辰辰”的个数不超过中号的一半．中号“龙辰辰”定价60元，大号“龙辰辰”的定价比中号多．当购进大号“龙辰辰”多少个时，销售总利润最大？最大利润是多少？ 63．围棋，起源于中国，古代称为“弈”，是棋类鼻祖，距今已有4000多年的历史．某商家销售A、B两种材质的围棋，每套进价分别为200元、170元，下表是近两个月的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A种材质 B种材质 第一个月 3套 5套 1800元 第二个月 4套 10套 3100元 (1)求A、B两种材质的围棋每套的售价． (2)若商家准备用不多于5400元的金额再采购A、B两种材质的围棋共30套，求A种材质的围棋最多能采购多少套？ (3)在（2）的条件下，商店销售完这30套围棋能否实现利润为1300元的目标？请说明理由． 题型二十二 行程问题 64．小夏周末骑自行车到京郊十渡踏青游玩，他从家出发小时后到快餐店用餐，用餐后继续骑车前往十渡．小夏离家一段时间后，小夏爸爸驾驶汽车沿相同的路线前往十渡．如图是他们离家路程s（）与小夏离家时间t（）的关系图，请根据图象回答下列问题： (1)小夏和爸爸两个人谁先到达十渡？ (2)分别写出小夏和爸爸从家到达十渡的平均速度； (3)求小夏离开快餐店到达十渡的过程中，离家路程s（）与离家时间t（）的函数表达式及自变量的取值范围． 65．小明家汽车油箱可容纳的汽油，如果不再加油，那么油箱中的剩余油量y（单位：）随行驶路程x（单位）的增加而减少．为了计算自家汽车的耗油量（平均每千米消耗的油量），小明记录了这辆车在不同行驶路程时所对应的剩余油量． 行驶路程 0 100 200 300 400 500 剩余油量 45 37 29 21 13 5 假设行驶过程中汽车的耗油量是均匀的．尝试根据上述背景信息解决下列问题： (1)在平面直角坐标系中，描出上表中以各对对应值为坐标的点，并画出函数图象； (2)该车的耗油量为________，写出一个符合条件的油箱中的剩余油量y关于行驶路程x的函数解析式________，其中自变量x的取值范围是________； (3)已知该汽车在油箱中剩余油量低于时，将自动报警．周末，小明的父母把车加满了油，带着小明去往外的姥姥家探望老人，如果往返途中不加油，请判断：他们能否在汽车报警前回到家？________．（填“能”或“不能”） 66．为响应国家“发展新一代人工智能”的号召，某市举办了无人机大赛．甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面12米高的升降平台起飞，甲、乙两架无人机同时匀速上升，6秒时甲无人机到达大赛指定的高度停止上升开始表演，完成表演动作后，按原速继续飞行上升，当甲、乙两架无人机按照大赛要求同时到达距离地面的高度为72米时，进行联合表演．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y（米）与飞行的时间x（秒）之间的函数关系如图所示．请根据图象回答下列问题： (1)甲无人机的速度是________米/秒，乙无人机的速度是________米/秒； (2)求线段对应的函数表达式； (3)甲无人机在完成独立表演动作后继续上升时，求出与乙无人机的高度差为9米的时间． 题型二十三 梯度计价问题 67．某公司招聘外卖送餐员进行送餐服务，送餐员的月工资由底薪1500元加上外卖送单补贴（送一次外卖为一单）构成，外卖送单补贴的具体方案如下： 外卖送单数量 补贴（元／单） 每月不超过500单 3.5 超过500单但不超过900单的部分 5 超过900单的部分 8 (1)若某外卖小哥一个月送餐单（），所得工资元，求与的函数关系式． (2)若某外卖小哥2月份的工资总额为5650元，那么他2月份外卖送餐多少单？ 68．为鼓励市民节约资源，某市采用分档计费的方式计算居民的管道天然气费用．下表是家庭人口不超过4人时户年用气量及分档计费标准： 计费档 户年用气量 单价/（元） 第一档 2.73 第二档 3.28 第三档 3.82 (1)当时，求出燃气费（单位：元）与之间的关系式； (2)某户一年用气量是，求该户这一年的燃气费； (3)某户去年一年的燃气费是1311元，求该户去年一年的用气量． 69．某省居民生活用电阶梯式收费探索卡 素材1 能源有限，节约无限．为鼓励市民节约用电，某省电费采用“阶梯收费”的方式． 素材2 居民生活用电阶梯式价格计费方式如下： 第一档：月用电量不超过170度的部分，电价为元/度． 第二档：月用电量超过170度不超过260度的部分，电价为元/度． 第三档：月用电量超过260度的部分，电价为元/度． 问题解决 任务1 已知某户月用电量x度，写出电费y（单位：元）与x之间的关系式． 任务2 已知小迪同学家8月用电量180度，求小迪同学家8月的电费． 任务3 某户10月的电费是127元，求该户10月的用电量． 题型二十四 一次函数与几何综合 70．下表是一次函数（k，b为常数，）中y与x的几组对应值． x 0 1 y 3 m (1)求这个一次函数的表达式，并直接写出m的值； (2)画出这个函数的图象，并直接写出它与x轴的交点坐标； (3)当时，y的取值范围是________； (4)已知点A的坐标为，点B的坐标为，问：x轴上是否存在点P使得的面积为2？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 71．根据问题完成以下各题 (1)如图，直线与轴交于点A，与y轴交于B点，平面上有一点，直线向上平移个单位后直线经过点C，求的值． (2)根据（1）问中提供的解题思路完成如下问题： 已知直线过为轴上一点，点坐标为，连接，在轴上是否存在一点，使得面积与面积相等．若存在，求出D点坐标，若不存在，说明理由． 72．如图1，等腰直角三角形中，，直线经过点C，过A作于点D，过B作于点E，易证明，我们将这个模型称为“K形图”．接下来我们就利用这个模型来解决一些问题： (1)如图1，若，则的面积为 ； (2)如图2，在平面直角坐标系中，等腰，点C的坐标为，A点的坐标为，求与y轴交点D的坐标； (3)如图3，在平面直角坐标系中，直线函数关系式为：，点，在直线上是否存在点B，使直线与直线的夹角为？若存在，请直接写出点B的坐标；若不存在，请说明理由． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26八年级下·北京·期中）下列图象中，可以表示y是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（2026八年级下·全国·期中）在圆的周长公式中，下列关于变量、常量的说法正确的是（  ） A．、、均是变量，2是常量 B．和是变量，2和是常量 C．是变量，2，和是常量 D．是变量，是常量 3．（25-26八年级上·贵州贵阳·期末）下列函数中，的值随着值的增大而减小的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·全国·期中）已知方程组的解为，则直线与直线的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·北京·期中）对于正比例函数，当自变量x的值减小2时，函数y的值减小6，则k的值为（   ） A． B． C．3 D． 6．（25-26八年级下·北京·期中）一次函数（m为常数且），若y随x的增大而增大，则它的图象经过第________象限． 7．（25-26八年级下·北京·期中）直线与直线的图象如图所示，则方程组的解为________． 8．（25-26八年级下·北京·期中）我国首辆火星车被命名为“祝融号”，为应对极限温度环境，火星车使用的是新型隔温材料．已知某种材料的导热率K[单位：]与温度T（单位：）的关系如下表： 温度 50 100 150 200 250 导热率 根据表格中两者的对应关系可知，温度每上升，导热率增加_________，若该材料的导热率为，则温度为_________． 9．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）已知点在第三象限，点、在一次函数（k，b为常数，且）的图象上，则______．（填“”“”或“”） 10．（25-26八年级上·全国·期末）如图，一次函数的图象经过，两点，与x轴交于点C，则点C的坐标为____________． 11．（25-26八年级下·北京·期中）已知点，． (1)若点，关于轴对称，求，的值； (2)若点，关于轴对称，求的值． 12．（25-26八年级下·北京·期中）已知一次函数，若随的增大而减小，求的取值范围． 13．（25-26八年级下·北京·期中）已知与成正比例，且当时，，求： (1)与的函数关系式； (2)当时，的值． 14．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）随着中小学“每天一节体育课”活动的开展，充分激发了同学们的运动热情．某商家抓住了体育用品需求量激增的商机，采购了一批篮球和足球共100个，两种球的进价与售价如下表所示．设采购个篮球，获得的总利润为元． 品名 厂家批发价元/个 商场零售价元/个 篮球 120 145 足球 100 120 (1)求总利润与的函数关系式； (2)若该商家采购的篮球个数不超过足球个数，则该商家应如何进货才能获得最大利润？最大利润是多少元？ 15．（25-26八年级下·北京海淀·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴的交点为，与y轴的交点为点B，且与正比例函数的图象交于点． (1)求m的值及一次函数的表达式； (2)若点P是y轴上一点，且的面积为6，请写出点P的坐标． (3)结合图象直接写出：的解集． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 16．（25-26八年级上·安徽六安·期末）已知点，点都在直线上，则，的大小关系（   ） A． B． C． D．无法确定 17．（25-26八年级上·重庆·期末）如图，已知一次函数与（，且k，m为常数）的交点坐标为，则关于x，y的方程组的解为（   ） A． B． C． D． 18．（25-26八年级上·北京平谷·期末）已知，当时，y的值记为；当时，y的值记为；当时，y的值记为……，则的值为（    ） A．2025 B．2026 C．2035 D．2037 19．（25-26八年级上·宁夏银川·期末）如图，甲、乙两车从城出发匀速行驶至城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开城的距离（千米）与甲车行驶的时间（小时）之间的函数关系如图所示，则下列结论：①两城相距300千米；②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时；③乙车出发后小时追上甲车；④甲乙两车相距50千米时，或．其中正确的结论有（   ） A．①② B．②③④ C．①②③ D．①③④ 20．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）在平面直角坐标系中，一次函数和，无论x取何值，始终有，m的取值范围为（   ） A． B． C．且 D．且 21．（25-26八年级下·北京·期中）一次函数的图象如图所示．当时，x的取值范围是________．当时，y的取值范围是________． 22．（25-26八年级下·北京·期中）已知点，点在直线上，则m______n（填“>”“<”或“=”）． 23．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）在平面直角坐标系中，有两点、和一条直线， （1）直线恒过的定点坐标是___________； （2）若直线与线段有且只有一个交点，则的取值范围是______________． 24．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）已知：在同一个平面直角坐标系中，一次函数和一次函数，若的图象经过点． （1）k与b之间的数量关系是______（用含k的代数式表示b）． （2）当时，都成立，则k的取值范围是______． 25．如图，直线的解析式为分别与，轴交于，两点，点的坐标为，过点的直线交轴负半轴于点，且．在轴上方存在点，使以点，，为顶点的三角形与全等，则点的坐标为_______． 26．（2026八年级下·北京西城·期中）在平面直角坐标系中，将直线平移，使其经过点，平移后的函数表达式变为． (1)求和的值； (2)当时，对于的每一个值，函数（为常数且）的值都大于函数的值，直接写出的取值范围． 27．（25-26八年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点． (1)求k，b的值； (2)当时，对于x的每一个值，函数的图象既与的图象有交点，也与函数的图象有交点，直接写出m的取值范围． 28．（25-26八年级下·北京·期中）已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点． (1)求点、的坐标； (2)当取何值时，函数值满足？ (3)结合图象，求方程的解，并直接写出不等式的解集． 29．（2026·北京·一模）某食品厂研究两种天然防腐剂（添加剂A和添加剂B）对面包保质期的影响．添加剂A的效果在一定浓度范围内随浓度增加而提高，但超过最佳浓度后，由于副作用等原因，保质期反而下降．添加剂B的作用机理不同，通过实验发现，在测试浓度范围内，其保质期与浓度c之间近似满足稳定的线性增长关系：．在固定工艺下，改变添加剂A的添加浓度c（单位：），测得面包的保质期（单位：天）数据如下： 添加剂浓度 0 20 40 60 80 100 120 保质期（天） 3 4 7 10 9 7 4 (1)以添加剂浓度c为横坐标，保质期d为纵坐标，在下面给定的平面直角坐标系中，分别画出，的图象； (2)①若要求面包保质期至少为8天，且希望使用添加剂的浓度尽可能低，则选择添加剂________（A或B）． ②当添加剂浓度相同时，添加剂A的保质期至少比添加剂B的保质期多2天，则浓度c的取值范围是________． (3)工厂分析发现，面包，每增加添加剂，成本增加元；若面包从生产到售出的时间为7天，当保质期不足7天时，每减少1天会造成1元的损失．当添加剂A浓度为时，面包的额外成本（添加剂成本与损失之和）为________元． 30．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点，与正比例函数的图象交于点，点的纵坐标为． (1)求的值； (2)当时，请根据图象直接写出的取值范围； (3)已知点是轴上一点，当以A，O，D为顶点的三角形是直角三角形时，求点的坐标． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 31．（24-25八年级上·重庆·期中）如图，将直线向右平移个单位后得到直线，直线与直线：交于点，直线，分别交轴于点，，则的面积为（    ） A． B．5 C． D．7 32．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）已知平面直角坐标系中有三点，若直线将分成面积之比为两部分，则的值是（   ） A．2 B．2或 C．2或 D．或 33．（25-26九年级上·北京通州·期中）在平面直角坐标系中，，，下面有四种说法： ①当时，一次函数的图象与线段有公共点； ②x轴上存在一点C使得； ③当时，一次函数的图象与线段有公共点； ④当，时，一次函数的图象与线段有公共点． 上述说法中正确的是______（填序号）． 34．（24-25八年级上·北京·期末）已知一次函数，当取不同的值时，会得到不同的直线，这些直线都经过一个定点C，此定点C的坐标为________；若坐标系中两点，，一次函数的图象与线段有交点，则的取值范围是________． 35．（25-26九年级上·北京海淀·自主招生）一次函数的图象与线段有交点，已知，，则的取值范围是__________． 36．（25-26八年级下·全国·期中）若一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点，且图象不经过第四象限，则点A的坐标为________________． 37．（25-26八年级上·安徽宿州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于点，，点C为x轴正半轴上一点，连接，将沿所在直线折叠，点B恰好与y轴上的点D重合． (1)求直线对应的函数表达式； (2)求的长； (3)P为直线上一点，，求点P的坐标． 38．河南水果特产资源丰富，诸如灵宝苹果、孟津葡萄、西峡猕猴桃、荥阳柿子……数不胜数，某电商对甲、乙两种河南特产精品水果进行销售，若销售甲种水果千克，乙种水果千克，共收入元；若销售甲种水果千克，乙种水果千克，共收入元．若顾客在限定时间内拍下甲种水果超过千克，则超过部分的价格打八折，乙种水果的销售价格不变，设电商销售甲种水果千克，甲种水果的销售额（元）与（千克）之间的函数关系如图所示． (1)求的值； (2)若电商计划在限定时间内销售甲、乙两种水果共千克，且甲种水果不少于千克，但又不超过千克，如何分配甲、乙两种水果的销售量，才能使电商的销售额达到最大？最大值为多少？ 39．（25-26八年级上·四川成都·期末）如图，已知直线与轴交于点，直线与轴，轴分别交于点和点，且两直线交于点点坐标为． (1)求的值． (2)在轴上是否存在一点，使得与面积相等？若存在，请求出的坐标；若不存在，请说明理由． (3)直线上是否存在点，使得．若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由． 40．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的全等模型． 【模型学习】如图1，已知在中，，直线EF经过点A，于点E，于点F．易证：． （1）如图2，平面直角坐标系中，点B的坐标为，求直线的函数关系式； 【类比探究】 （2）如图3，一次函数的图象分别交x轴和y轴于M、N两点，点D坐标为． ①连接，则_____； ②点P在直线上，连接，当与直线的夹角为时，求出点P的坐标； 【拓展探究】 （3）在（2）的条件下，若一次函数的图象与直线相交所夹锐角大于，请直接写出k的取值范围． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 一次函数（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 变量与常量 题型02 函数的概念 题型03 自变量取值范围、函数值 题型04 函数的表示法 题型05 平面直角坐标系 题型06 坐标的平移问题 题型07 描点法画函数图象 题型08 一次函数基本概念 题型09 正比例函数基本概念 题型10 正比例函数的图象与性质 题型11 一次函数的解析式 题型12 已知函数经过的象限求参数范围 题型13 一次函数图形与坐标轴的交点问题 题型14 一次函数图象平移问题 题型15 一次函数的增减性求参数 题型16 比较一次函数值的大小 题型17 一次函数的规律探究问题 题型18 一次函数与方程 题型19 一次函数与不等式 题型20 分配方案问题 题型21 最大利润问题 题型22 行程问题 题型23 梯度计价问题 题型24 一次函数与几何综合 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 常量和变量 理解常量与变量的意义，能识别、表示并正确运用二者解决简单问题。 基础常考点，一般在小题考查，分值在2分左右 函数基本概念 理解函数的定义与三要素，能判断函数关系、确定自变量取值范围，并会用三种形式表示函数。 基础常考点，一般在小题考查，分值在2分左右 函数的表示法 掌握函数的列表、解析式、图像三种表示法，能相互转化、灵活选用，并读懂每种表示法中的函数信息。 基础常考点，一般在小题考查，分值在2分左右 函数图象的画法 掌握函数图像的列表、描点、连线基本画法，能规范绘制简单函数图像，并根据图像分析函数基本特征。 重要常考点，一般在解答题考查，分值在3分左右 一次函数的概念、自变量或函数值 理解一次函数的定义及一般形式，能准确判断一次函数与正比例函数，熟练求自变量取值范围和对应的函数值。 基础常考点，选填考查比较多，分值在3分左右 正比例函数的概念、图象与性质 理解正比例函数概念与解析式，掌握其图象特征与增减性，能结合图象分析性质并进行简单应用。 基础常考点，一般在小题考查，分值3分 已知函数经过的象限求参数范围 掌握根据一次函数图象经过的象限，判断斜率 k 和截距 b 的符号，进而求出参数取值范围的方法。 重要考点，一般在小题考查 一次函数图象与坐标轴的交点问题 熟练掌握一次函数与 x 轴、y 轴交点坐标的求法，能利用交点解决图像位置、长度及面积相关问题。 核心考点，一般在解答题考查，与其他题型综合考查，分值在5分左右 一次函数解析式 掌握待定系数法求一次函数解析式，能根据已知点坐标、图像或实际问题列出并求解函数表达式。 核心考点，一般在解答题第一问考查，2分左右 一次函数图象的平移问题 掌握一次函数图象上下、左右平移的规律，能根据平移方向与距离写出新解析式，或由新图象反推平移方式。 核心考点，易出难题，4分左右 一次函数的增减性求参数 掌握一次函数增减性与系数 k 的关系，能根据函数增减情况判断 k 的符号，进而求出参数的取值范围。 核心考点，一般在解答题考查，3分左右 一次函数与方程 理解一次函数与一元一次方程的内在联系，能利用函数图象求方程的解，并结合图像分析方程解的意义。 核心考点，一般在解答题考查，5分左右 一次函数与不等式 理解一次函数与一元一次不等式的关系，能借助函数图象确定不等式的解集，并运用数形结合解决简单不等关系问题。 核心考点，一般在解答题考查，5分左右 一次函数的实际应用 能从实际问题中抽象出一次函数模型，确定自变量范围，利用解析式、图像与性质解决行程、利润、方案选择等实际问题。 核心必考点，一般在解答题考查，8分左右 知识点01 函数的相关概念 变量与常量 1.在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量.数值保持不变的量叫做常量. 2.判断一个物体是常量还是变量的方法：看这个量的值在某一变化过程中是否发生改变，若在变化过程中这个量的值不变，则这个量就是常量，若这个量的值会发生改变，则这个量就是变量. 3.常量不等于是常数，它可以用一个数值不改变的字母来表示. 函数的概念 1.函数：一般地，在一个变化过程中. 如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值， 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数. 2.确定函数与自变量的方法：在某个变化过程中处于主导地位的变量是自变量，随之变化且对应值唯一确定的变量是该变量的函数. 3.函数具有唯一对应性，判断两个变量是否具有函数关系，不能只看是否有关系式存在，还要看对应给定的x的每一个值，y是否有唯一值与之对应. 4.函数是一个变量相对于另一个变量而言的，如果两个变量x与y，若y是x的函数，就不能说成x是y的函数. 函数的三种常见表示方法 表示法 定义 优点 缺点 列表法 把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表，这种表示函数关系的方法叫做列表法 一目了然，对表格中已有自变量的每一个值，可直接查出与之对应的函数的值 列出的对应值是有限的，而且在表格中也不容易看出自变量与函数的变化规律 解析法 两个变量之间的函数关系可以用等式来表示，这种表示两个变量之间函数关系的式子称为函数表达式，用函数表达式表示函数的方法叫做解析法 能准确地反映整个变化过程中自变量与函数的对应关系 求对应值时，往往要经过比较复杂的计算，有些函数不能用表达式表示出来 图像法 用图像来表示函数关系的方法叫做图像法 能直观、形象地反映出函数关系变化的趋势 由自变量的值常常难以找到对应函数的准确值 函数的三种表示方法各有不同的长处.解析式法能揭示出变量之间的内在联系，但较抽象，不是所有的函数都能列出解析式；列表法可以清楚地列出一些自变量和函数值的对应值，这会对某些特定的数值带来一目了然的效果，例如火车的时刻表，平方表等；图象法可以直观形象地反映函数的变化趋势，而且对于一些无法用解析式表达的函数，图象可以充当重要角色. 函数的图像 在平面直角坐标系中，以函数的自变量的值为横坐标，对应的函数值为纵坐标的点所组成的图形叫做这个函数的图像. 函数的自变量与函数值 1.自变量的取值范围：使函数有意义的自变量的取值的全体实数叫自变量的取值范围. 2.常见函数自变量取值范围的确定： （1）当解析式是整式时，自变量的取值范围是全体实数； （2）当解析式是分式时，自变量的取值范围是使分母不为零的实数； （3）当解析式是二次根式时，自变量的取值范围是使被开方数不小于零的实数； （4）当解析式中含有零指数幂或负整数指数幂时，自变量的取值应使相应的底数不为零； （5）当解析式表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义. 3.函数值：y是x的函数，如果当x＝a时y＝b，那么b就叫做当自变量为a时的函数值. （1）一个函数的函数值随着自变量值的变化而变化，因此在求函数值时，一定要明确是求自变量为多少时的函数值. （2）对于每个确定的自变量值，函数值是唯一的，但反过来，可以不唯一，即一个函数值对应的自变量可以是多个. 知识点02 一次函数、正比例函数 1.一次函数：一般地，形如y＝kx＋b（k、b为常数且k≠0）的函数叫做一次函数，其中x是自变量，y是x的函数. 2.正比例函数：当b＝0时，即y＝kx（k为常数且k≠0），y叫做x的正比例函数. 3.正比例函数是一次函数的特例，即正比例函数是一次函数，而一次函数不一定是正比例函数. 4.一般地，一次函数中自变量x的取值范围是任意实数，但在实际问题中x的取值范围要根据具体问题的实际意义来确定. 5.判断一次函数的方法：式子经过恒等变形后，若满足：（1）等号右边是关于x的整式；（2）自变量x的最高次数是1；（3）一次项系数k≠0这三个条件，则是一次函数，否则就不是一次函数. 确定一次函数的表达式 1.待定系数法：一次函数y＝kx＋b（k、b为常数且k≠0）中有两个待定系数k、b，需要两个两个独立条件确定两个关于k、b的方程，这两个条件通常为两个点或两对x、y的值. 2.用待定系数法确定一次函数表达式的步骤： （1）设：设一次函数的表达式为y＝kx＋b（k≠0）； （2）列：将已知条件代入表达式，列出关于k、b的方程（组）； （3）解：解方程（组），求出k、b的值； （4）代：将k、b的值代回所设的函数表达式. 知识点03 一次函数的图像与性质 1.一次函数的图像：一次函数y＝kx＋b（k、b为常数，且k≠0）的图像是一条直线. 2.正比例函数的图像：正比例函数y＝kx（k≠0）的图像是经过原点的一条直线. 3.一次函数的图像是一条直线，但不是所有的直线都是一次函数的图像，在利用一次函数的图像解决实际问题时，自变量的取值会受到限制，此时函数图像不再是一条直线，有可能是线段、射线，也有可能是间断的点. 4.一次函数的图像与表达式之间的关系：一次函数的图像与函数表达式是一一对应的，即函数图像上任意一点P（x，y）中的x，y的值满足函数表达式；反之，满足函数表达式的任意一对有序实数（x，y）所对应的点一定在函数图像上. 5.通过描点法画出对应一次函数的步骤： （1）列表：恰当地选取自变量x的一部分值，并计算出函数y相应的值，同时都填入列出的表中； （2）描点：以表中的有序数对（x，y）为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点； （3）连线：将所描的点用直线连接起来. 一次函数的性质 一次函数 y＝kx＋b（k、b为常数，且k≠0） k、b的符号 k＞0 k＜0 b＞0 b＝0 b＜0 b＞0 b＝0 b＜0 图像 趋势 从左向右上升 从左向右下降 性质 函数值y随自变量x增大而增大 函数值y随自变量x增大而减小 与y轴交点的位置 正半轴 原点 负半轴 正半轴 原点 负半轴 经过的象限 第一、二、三象限 第一、三象限 第一、三、四象限 第一、二、四象限 第二、四象限 第二、三、四象限 1.一次函数的图像经过的象限是由k和b的符号共同决定的，一次函数的增减性取决于k，与y轴的交点取决于b，反之，由一次函数的图像特征也可判断k、b的符号. 2.|k|的大小决定直线y＝kx＋b的倾斜程度，|k|越大，直线与x轴相交所成的锐角越大，直线越陡；|k|越小，直线与x轴相交所成的锐角越小，直线越缓. 知识点04 一次函数图象的平移问题 1.正比例函数y＝kx的图像是经过原点的一条直线，一次函数y＝kx＋b的图像可以看成是由正比例函数图像向上（b＞0）或向下（b＜0）平移|b|个单位长度得到的. 2.一次函数图像的平移规律 （1）上、下平移：直线y＝kx＋b（k≠0）向上平移n（n＞0）个单位长度得到直线y＝kx＋b＋n（k≠0）；直线y＝kx＋b（k≠0）向下平移n（n＞0）个单位长度得到直线y＝kx＋b－n（k≠0）.（上加下减） （2）左、右平移：直线y＝kx＋b（k≠0）向左平移m（m＞0）个单位长度得到直线y＝k（x+m）＋b（k≠0）；直线y＝kx＋b（k≠0）向右平移m（m＞0）个单位长度得到直线y＝k（x－m）＋b（k≠0）.（左加右减）. 知识点05 一次函数的应用 应用一次函数解决实际问题时，首先，要判断问题中的两个变量之间是否是一次函数关系；其次，当确定是一次函数关系时，可先求出一次函数表达式，再应用一次函数的相关知识去解决与其相关的实际问题. 1.判断两个变量之间是不是一次函数关系的步骤： （1）通过实验、测量获得数量足够多的两个变量的对应值； （2）建立适当的平面直角坐标系，画出图像； （3）观察图像特征，判断函数的类型. 2.建立一次函数表达式的常用方法 （1）根据基本的量之间存在的关系列函数表达式； （2）若题目中已明确给出两个变量的函数关系，则可用待定系数法求出函数表达式； 用一次函数解决问题的关键是建立数学模型，数学建模的关键是将实际问题数学化，从而得到解决问题的最佳方案、最佳策略.在建模的过程中，为了既合乎实际问题又能求解，这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简，而这一过程恰是我们的分析、抽象、综合、表达能力的体现.函数建模最困难的环节是将实际情景通过数学转化为什么样的函数模型. 知识点06 一次函数与方程、不等式的关系 一次函数与二元一次方程的关系 1.一次函数y＝kx＋b的图像上任意一点的坐标都是二元一次方程kx－y＋b＝0的解，以二元一次方程kx－y＋b＝0的解为坐标的点都在一次函数y＝kx＋b的图像上. 2.二元一次方程与一次函数的区别： （1）二元一次方程有两个未知数，而一次函数有两个变量； （2）二元一次方程是用一个等式表示两个未知数的关系，而一次函数既可以用一个等式表示两个变量的关系，又可以用列表法或图像法表示两个变量间的关系. 3.二元一次方程的解与一次函数图像上点的坐标之间的关系是一一对应的，以二元一次方程的解为坐标的点所组成的图形与其相应的一次函数的图像完全重合（一条直线）. 一次函数与二元一次方程组 1.如果两个一次函数的图像有一个交点，那么交点的坐标就是相应的二元一次方程组的解. 2.在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解. 3.用一次函数的图像求二元一次方程组的解的方法称为二元一次方程组的图像解法. 4.当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线就平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解，反之也成立. 5.当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合，反之也成立. 6.方程组解的几何意义 （1）方程组的解的几何意义：方程组的解对应两个函数的图象的交点坐标； （2）根据坐标系中两个函数图象的位置关系，可以看出对应的方程组的解情况；（） （3）根据交点的个数，看出方程组的解的个数； （4）对于一个复杂方程组，特别是变化不定的方程组，用图象法可以很容易观察出它的解的个数. 一次函数与一元一次方程 1.一次函数y＝kx＋b（k≠0，b为常数），当函数y＝0时，就得到了一元一次方程kx＋b＝0，此时自变量x的值就是方程kx＋b＝0的解.所以解一元一次方程就可以转化为：当某一个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值. 2.从图象上看，这相当于已知直线y＝kx＋b（k≠0，b为常数），确定它与x轴交点的横坐标的值. 3.对于一次函数y＝kx＋b（k≠0），已知x的值求y的值，或已知y的值求x的值时，就是把问题转化为关于y或x的一元一次方程来求解. 一次函数与一元一次不等式 由于任何一个一元一次不等式都可以转化为ax＋b＞0或ax＋b＜0或ax＋b≥0或ax＋b≤0（a、b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数y＝ax＋b的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围. 利用解一元一次不等式可确定相应的函数值对应的自变量的取值范围，具体的对应关系如下： 1.不等式kx＋b＞0（k≠0）的解集直线 y＝kx＋b（k≠0）在x轴上方的部分所对应的x的取值范围； 2.不等式kx＋b＜0（k≠0）的解集直线 y＝kx＋b（k≠0）在x轴下方的部分所对应的x的取值范围； 3.不等式kx＋b＞a（k≠0）的解集直线 y＝kx＋b（k≠0）在直线y＝a上方的部分所对应的x的取值范围； 4.不等式kx＋b＜a（k≠0）的解集直线 y＝kx＋b（k≠0）在直线y＝a下方的部分所对应的x的取值范围； 5.不等式k1x＋b1＞k2x＋b2（k1k2≠0）的解集直线 y＝k1x＋b1（k1≠0）在直线y＝k2x＋b2（k2≠0）上方的部分所对应的x的取值范围； 6.不等式k1x＋b1＜k2x＋b2（k1k2≠0）的解集直线 y＝k1x＋b1（k1≠0）在直线y＝k2x＋b2（k2≠0）下方的部分所对应的x的取值范围. 题型一 变量与常量 易｜错｜点｜拨 常量不一定是具体数字，也可以是固定字母（如 π、题目给定的常数）。 变量不止一个，变化过程中变化的量都叫变量，不要只写一个。 区分谁是自变量、谁是函数：一个自变量只能对应唯一函数值，否则不是函数关系。 实际问题中，变量往往有取值范围（非负、整数、有上下限等），容易漏写。 不要把 “不变的字母” 当成变量，如 y=kx 中，若 k 为定值，则k 是常量，x、y 是变量。 1．要画一个面积为的长方形，其长为，宽为，在这一变化过程中，常量与变量分别是（   ） A．常量为；变量为x，y B．常量为，y；变量为x C．常量为，x；变量为y D．常量为x，y；变量为 【答案】A 【分析】本题主要考查了常量与变量的概念，熟练掌握在一个变化过程中，数值始终不变的量为常量，数值发生变化的量为变量是解题的关键．先根据长方形面积公式确定等式，再依据常量与变量的定义，判断在变化过程中数值不变的量和数值变化的量． 【详解】解：∵长方形面积为， ∴是固定不变的量， ∵长为，宽为， ∴，是可以变化的量， ∴常量为；变量为，， 故选：A． 2．圆的周长公式是，那么在这个公式中，关于变量和常量的说法正确的是（   ） A．2是常量，C、、r是变量 B．2、是常量，C，r是变量 C．2是常量，r是变量 D．2是常量，C、r是变量 【答案】B 【分析】本题主要考查了常量，变量的定义，常量就是在变化过程中不变的量，变量是指在变化过程中随时可以发生变化的量． 【详解】解：圆的周长公式是， 其中是常量，r和C是变量， 故选：B 3．图①中的摩天轮可抽象成一个圆，圆上一点离地面的高度有与旋转时间之间的关系如图②所示．下列说法正确的是（    ） A．变量不是的函数，摩天轮的直径是65米 B．变量不是的函数，摩天轮的直径是70米 C．变量是的函数，摩天轮的直径是65米 D．变量是的函数，摩天轮的直径是70米 【答案】C 【分析】本题考查函数图象，常量和变量，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据函数的定义可以判断变量是的函数，）根据图象可以得到摩天轮的直径． 【详解】解：根据图象可得，变量y是x的函数，因为对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，所以变量y是x的函数； 由图象可得，摩天轮的直径为：． 故选C． 题型二 函数的概念 易｜错｜点｜拨 判断函数只看一点：给一个 x，是否只有唯一一个 y 对应。多对一可以，一对多不是函数。 图像判断法：用竖线（垂直 x 轴）去截图像，最多一个交点才是函数，两个及以上就不是。 解析式里分母、根号易错： 分母≠0 二次根号下被开方数≥0容易漏写自变量取值范围。 别把 “常数函数” 当成不是函数：比如 y=3，每个 x 都对应唯一 y，是函数。 实际问题必带范围：时间、长度、人数等不能为负，取值范围不写直接扣分。 分清自变量和函数：题目问 “y 是不是 x 的函数”，只看 x→y 的对应关系，别搞反。 4．下列图像中，不能表示y是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数的概念，根据函数的概念，对于自变量x的每一个值，y都有唯一的值和它对应，判断即可． 【详解】解：A、对于自变量x的每一个值，y都有唯一的值和它对应，所以能表示y是x的函数； B、对于自变量x的每一个值，y都有唯一的值和它对应，所以能表示y是x的函数； C、对于自变量x的每一个值，y都有唯一的值和它对应，所以能表示y是x的函数； D、对于自变量x的一个值，y有两个值与之对应，所以不能表示y是x的函数； 故选：D． 5．有下列5个等式：①；②；③；④；⑤．其中表示是的函数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查了函数的定义．熟练掌握函数的定义是解题的关键．函数定义的核心是“唯一确定性”，即每个自变量对应唯一因变量．注意平方根函数通常取非负值，定义域受限但不影响函数关系．判断每个等式是否表示是的函数，依据是对于每一个的值，是否有唯一确定的值与之对应，解答即可． 【详解】解：对于① ：∵ 对于每一个，都有唯一值，∴ 是函数． 对于② ：∵ 对于某些（如），有两个值（），∴ 不是函数． 对于③ ：∵ 对于每一个，有两个可能值（或），∴ 不是函数． 对于④ ：∵ 对于每一个，唯一，但有两个值（正负），∴ 不是函数． 对于⑤ ：∵ 对于，有唯一值（算术平方根），∴ 是函数． 综上，只有①和⑤是函数，共2个． 故选：A． 6．学校组织学生到北京天安门广场参观升国旗仪式是培育学生的爱国情怀．在奏响国歌第一个音符时，旗手将国旗展开抛出，到国歌的最后一个音符终止，时间是2分07秒，国旗同时到达30米高的旗杆顶端．国旗上升的高度随着演奏国歌时间的变化而变化．下列说法：①旗杆的高度30米是常量；②国旗上升过程中的时间是常量；③国旗上升过程中的高度是变量，其中正确的是______(只填写序号)． 【答案】①③/③① 【分析】本题考查了函数的定义；根据常量与变量的定义判断即可． 【详解】解：旗杆的高度30米始终保持不变，是常量；而国旗上升过程中的时间一直在变化，是变量；国旗上升过程中的高度随时间而改变，是变量， ∴①③正确，②不正确． 故答案为：①③． 题型三 自变量取值范围、函数值 易｜错｜点｜拨 自变量取值范围常见陷阱 分母含自变量：分母≠0 二次根号下：被开方数≥0 零次幂底数：底数≠0 实际问题：长度、时间、人数等必须非负且合理 多种限制同时存在时，要取交集，容易漏条件。 求函数值易错 代入时符号、括号、运算顺序容易错，负数和分数要格外小心。 先判断自变量是否在取值范围内，不在范围内则函数值不存在。 已知函数值求自变量，注意检验结果是否符合取值范围。 7．函数中自变量x的取值范围是______． 【答案】且 【分析】二次根式有意义的条件是被开方数非负，分式有意义的条件是分母不为零，据此列式求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴且． 8．已知变量与的关系式是，则当时，_______． 【答案】 【分析】本题考查函数值的问题，将自变量的值代入函数解析式求值即可． 【详解】解：当时，， 故答案为：． 9．已知函数 (1)求当，时，函数的值； (2)求当取什么值时，函数的值为0． 【答案】(1)当时，函数的值为；当时，函数的值为7 (2) 【分析】本题考查了求函数值、自变量的值，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）分别代入和到函数表达式，求出对应的的值即可解答； （2）代入，求出对应的的值即可解答． 【详解】（1）解：当时，； 当时，； ∴当时，函数的值为；当时，函数的值为7； （2）解：当时，， 解得， 即当取时，函数的值为0． 题型四 函数的表示法 10．在某地区，人们发现某种鸟类的飞行高度与它1分钟鸣叫的次数有如下的近似关系：用该鸟类1分钟鸣叫的次数减20，再把结果除以5，就近似地得到该鸟类的飞行高度（单位：）． (1)用代数式表示与之间的关系； (2)当该鸟类1分钟鸣叫的次数是90时，该鸟类的飞行高度是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是用关系式表示变量间的关系，正确列出关系式是解题的关键． （1）根据题意：该鸟类1分钟鸣叫的次数减20，再把结果除以5，列代数式即可； （2）把代入，计算即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意得． （2）解：当时，． 答：该鸟类的飞行高度是． 11．为配合道路修整扩建施工，保障道路交通顺畅，白银市在交通主干道设置隔离护栏．某道路中间的隔离护栏平面示意图如图所示，假如每根立柱宽为0.2米，立柱间距为3米． (1)根据图示，将表格补充完整； 立柱根数 1 2 3 4 5 ．．． 护栏总长度/米 0.2 3.4 9.8 ．．． (2)设有根立柱，护栏总长度为米，求与之间的函数关系式并求当护栏总长度为93米时立柱的根数． 【答案】(1)当立柱根数为3时，护栏总长度为6.6米；当立柱根数为5时，护栏总长度为13.0米． (2)y与x的函数关系式为，当护栏总长度为93米时，立柱根数为30． 【分析】本题主要考查了列函数关系式，求自变量． （1）根据图示列出式子求解即可． （2）由题意得y与x之间的关系式为：；当时，代入y与x之间的关系式，求解． 【详解】（1）解：当有3根立柱时，（米）， 当有5根立柱时，（米）； 将表格补充完整： 立柱根数 1 2 3 4 5 护栏总长度（米） （2）解：根据题意得：与之间的关系式为： ； 当时，， 解得：， 即护栏总长度为93米时立柱的根数为30． 12．如图所示，数学老师每天晚饭后从家中出发去散步的时间与离开家的距离之间的关系的图象，请根据图象解答下列问题： (1)如图反映了哪两个变量之间的关系？________； (2)如果老师晚上分从家里出发，那么老师晚上________点回到家？ (3)老师散步时最远离家________米． (4)分别计算老师离开家后的20分钟内和返回家一段的平均速度． 【答案】(1)散步的时间与离开家的距离 (2) (3)900 (4)老师离开家后的20分钟内的平均速度为45米/分，返回家一段的平均速度为60米/分 【分析】本题考查一次函数的应用，从图象中获得必要的数学信息、掌握平均速度的求法是解题的关键． （1）观察图象进行作答即可； （2）根据出发的时间和回到家所用的时间计算即可； （3）观察图象进行作答即可； （4）分别根据平均速度=路程÷时间计算即可； 【详解】（1）解：图象反映了散步的时间与离开家的距离两个变量之间的关系， 故答案为：散步的时间与离开家的距离； （2）解：老师晚上分从家里出发，经过45分后回到家，则老师晚上回到家 故答案为：； （3）解：根据图象，老师散步时最远离家900米， 故答案为：900； （4）解：依题意，（米/分），（米/分） 答：老师离开家后的20分钟内的平均速度为45米/分，返回家一段的平均速度为60米/分． 题型五 平面直角坐标系 13．在平面直角坐标系中，若点在第四象限，则点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】先根据点所在象限得出，的符号，再判断点横纵坐标的符号，即可确定点所在象限． 【详解】解：点在第四象限， ，， ，， 点在第三象限． 14．已知点坐标为，点的坐标为，若轴，则______． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中平行于轴的直线上点的坐标特征，解题的关键是牢记平行于轴的直线上所有点的纵坐标相等这一性质． 根据轴，得出点和点的纵坐标相等，据此列方程求解的值，同时验证横坐标不相等以保证两点不重合． 【详解】解：轴， 点与点的纵坐标相等， ， 解得， 此时点的横坐标为，符合题意． 故答案为：． 15．在平面直角坐标系中，已知点． (1)若点的纵坐标比横坐标大3，求的值； (2)若点在轴上，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据“点的纵坐标比横坐标大3”列方程求解即可； （2）根据“点在轴上”得到纵坐标为0，列方程求解即可． 【详解】（1）解：点的纵坐标比横坐标大3， ， 解得． （2）解：点在轴上， ， 解得． 题型六 坐标的平移问题 16．如图，将线段平移到，已知三个端点的坐标，，，那么第四个端点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平移的规律进行求解即可． 【详解】解：由题意得，线段平移到的横坐标变化为：（向右平移4个单位）； 纵坐标变化：（向上平移2个单位）， ∴平移后的横坐标：； 纵坐标：． ∴． 17．如图，三角形在平面直角坐标系中，其中点，点，点，将三角形的三个顶点A，B，C中的任意一点平移至点的位置后，点A的对应点的坐标是______． 【答案】或或 【分析】本题考查了平移的性质，分点分别平移至点的位置三种情况讨论即可求解，得到平移的方向和距离是解答本题的关键． 根据题意，分三种情况进行分析，当点平移至点的位置时，当点平移至点的位置时，当点平移至点的位置时，确定平移方式求解即可． 【详解】解：当点平移至点的位置时， ∴点的对应点的坐标是； 当点平移至点的位置时，即点向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度， ∴点向右平移8个单位长度，再向上平移3个单位长度的对应点的坐标是，即； 当点平移至点的位置时，即点向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度， ∴点向右平移个单位长度，再向上平移2个单位长度的对应点的坐标是，即； 综上可得：点A的对应点的坐标是或或， 故答案为：或或． 18．如图，三角形中，，，是平移之后得到的图形，并且的对应点的坐标为． (1)作出平移之后的图形，若为中任意一点，则平移后对应点的坐标为_______． (2)求的面积． (3)轴上有一点，使的面积与相同，求点的坐标． 【答案】(1) (2)4 (3)点的坐标为或． 【分析】本题考查作图-平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质正确作出图形，学会利用分割法求三角形面积． （1）根据平移坐标变化规律解决问题即可． （2）利用分割法把三角形面积看成矩形面积减去周围三个三角形面积． （3）设，构建方程求出m的值即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求， 点的坐标为． 故答案为：； （2）解：； （3）解：设，则有， ∴， ∴点的坐标为或． 题型七 描点法画函数图象 易｜错｜点｜拨 三步不能乱：列表 → 描点 → 连线，顺序错、步骤漏直接扣分。 列表易错 取值太少、太密或只取正数，图像画不全。 实际问题要按自变量范围取点，不能超出范围。 描点易错 横纵坐标搞反（先 x 后 y），点的位置画错。 小数、分数点估算不准，导致图像变形。 连线易错 用折线连、画成折线图，正确应为平滑曲线 / 直线。 该延伸的不延伸，不该延伸的乱画出头。 细节扣分点 不标坐标轴、不标单位、不写函数解析式。 端点空心、实心分不清：有等号实心，无等号空心。 19．学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法，尝试用你积累的经验和方法解决下面问题． (1)在平面直角坐标系中，画出函数的图象； (2)结合所画函数图象，写出两条不同类型的性质． 【答案】(1)见解析 (2)①的图象位于第一、二象限，在第一象限随的增大而增大，在第二象限随的增大而减小；②函数有最小值，最小值为0． 【分析】本题主要考查了画函数图象，函数的性质，掌握作图方法和相关知识是解题的关键． （1）列表，然后根据描点法作图即可； （2）根据函数图象归纳函数性质即可． 【详解】（1）解：填表如下： 0 1 2 3 3 2 1 0 1 2 3 如图所示： （2）解：①的图象位于第一、二象限，在第一象限随的增大而增大，在第二象限随的增大而减小； ②函数有最小值，最小值为0． 20．通过学习“函数的图象”，我们学会了用列表、描点、连线的方法来画出函数图象．小明想应用这个方法来探究函数的图象．下面是他的探究过程，请你补充完整： x … 0 1 2 3 4 … y … 4 m 2 1 n 3 4 … (1)列表，补全表格：______，______； (2)描点并画出该函数的图象； (3)观察（2）中的图象，当______时，该函数的因变量的值最小，最小值为_____． 【答案】(1)3，2 (2)见解析 (3)1，1 【分析】本题主要考查了画函数图象，求函数值． 对于（1），将，代入函数关系式，可得答案； 对于（2），用描点、连线的方法来画出函数图象； 对于（3），观察图象可得答案． 【详解】（1）解：当时，，即， 当时，，即， 故答案为：3，2； （2）解：如图： （3）解：当时，该函数的因变量的值最小，最小值为1． 故答案为：1，1． 21．小莉根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究． 下面是小莉的探究过程，请补充完整： (1)下表是x与y的几组对应值．请直接写出： ______， ______； x … 0 1 2 3 … y … m 0 2 n … (2)如图，在平面直角坐标系中，描出上表中的点，然后用平滑的曲线连接起来，画出函数的图象； (3)当时，对应的自变量是______ 【答案】(1)；4 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了求一次函数的函数值或自变量值，画一次函数图象，熟知相关知识点是解题的关键． （1）代入函数解析式即可解答； （2）描点画图即可； （3）把代入函数解析式即可． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 故答案为：；4； （2）解：函数的图象如图所示， ， （3）解：当时，可得， 解得， 故答案为：． 题型八 一次函数基本概念 22．子轩在用描点法画某个一次函数的图象时列得如下表格，已知其中有一组数据是错误的，则这组错误的数据是（    ） x … 0 1 … y … 14 11 8 5 3 … A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数的性质可求出x的值每增加1，y的值就增加k，再结合表格中的数据可得答案． 【详解】解：设该一次函数的解析式为， 当时，， 当时，， ∵， ∴x的值每增加1，y的值就增加k， 由表格可知，当时，x的值每增加1，y的值就减少3， 而时的函数值相对于时的函数值减少2， ∴点不在该一次函数的图象上， 故这组错误的数据是． 故选：A． 23．已知函数是关于x的一次函数，则________ 【答案】0 【分析】本题考查了一次函数的定义． 根据一次函数的定义，x的指数必须为1，且系数不为零，因此且． 【详解】解：∵函数是关于x的一次函数， ∴且， 解得且， 即． 故答案为：0． 24．已知函数 (1)当m是何值时函数是一次函数，写出此函数解析式．并计算当时的函数值； (2)点在此一次函数图象上，则n的值为多少？ 【答案】(1)；；10 (2) 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，求一次函数的函数值和自变量的值： （1）根据一次函数的定义可求出m的值，可得到对应的函数关系式，再把代入对应的函数关系式求出此时y的值即可； （2）把点求出此时n的值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵函数是一次函数， ∴且， 解得：， ∴此函数解析式为， 当时，； （2）解：由（1）得：此函数解析式为， ∵点在此一次函数图象上， ∴， 解得：． 题型九 正比例函数基本概念 25．下列选项中，y是关于x的正比例函数的为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正比例函数的定义，根据正比例函数定义来判断即可． 【详解】解：A、，是正比例函数，符合题意； B、，不是正比例函数，不符合题意； C、，不是正比例函数，不符合题意； D、，不是正比例函数，不符合题意． 故选：A． 26．当_____时，函数是正比例函数． 【答案】 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义，是解题的关键．根据正比例函数的定义，函数需满足指数为1且系数不为零． 【详解】解：由正比例函数的定义得：且， 由得， 解得：或， 当时，，不符合系数不为零的条件； 当时，，符合条件； 故． 故答案为：． 27．已知函数． (1)若它是一次函数，求m的值； (2)若它是正比例函数，求的值 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了一次函数以及正比例函数的定义，正确把握相关定义是解题关键． （1）当函数是一次函数时，x的系数，次数求解即可； （2）根据正比例函数的定义，在满足（1）中一次函数关于的条件的同时，还需满足常数项为0，即，求解的值代入即可． 【详解】（1）解：∵函数是一次函数， ∴，， 解得，， ∴； （2）∵函数是正比例函数， ∴， ∴， 由（1）知， ∴． 题型十 正比例函数的图象与性质 易｜错｜点｜拨 解析式：y=kx（k=0），必过原点 (0,0)，容易漏写 k=0。 图象形状：是一条过原点的直线，不是射线、线段。 象限与增减性 k>0：过一、三象限，y 随 x 增大而增大 k<0：过二、四象限，y 随 x 增大而减小 ∣k∣ 意义：∣k∣ 越大，直线越靠近 y 轴，越陡。 易错点 把 “y 随 x 增大而增大” 说成 “x 随 y 增大而增大” 忽略 k=0，导致判断出错 只看象限不看增减，或只看增减不看象限 28．在平面直角坐标系中，一次函数的图象与正比例函数的图象交于点． (1)求k，m的值； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值，则a的取值范围是 ． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求解析式等，熟练掌握一次函数的图象上点的坐标特征是解题的关键． （1）根据的图象与正比例函数的图象相交于点代入可得k，m的值； （2）结合图象即可确定a取值范围． 【详解】（1）解：一次函数的图象与正比例函数的图象交于点， ，解得． 把代入一次函数， 得，解得． （2）解：如图所示 当时，， 当时，． 函数的值大于一次函数的值， ，解得． 当函数的值大于一次函数的值时，，结合图象可知，当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值，a的取值范围是． 故答案为∶ ． 29．正比例函数的图象如图所示，点A的坐标为，的函数图象上是否存在一点P，使的面积为4，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由． 【答案】或． 【分析】此题考查了一次函数的性质．设点P的坐标为，根据的面积为4得到，解得或，即可求出答案． 【详解】解：设点P的坐标为， ∵点A的坐标为， ∴， ∵的面积为4， ∴，即 解得或， ∴点P的坐标为或． 30．已知是的正比例函数，且函数图象经过点． (1)求与的函数关系式； (2)当时，求对应的函数值； (3)已知点在此函数图象上，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查待定系数法，正比例函数图象上点的坐标特征，掌握正比例函数的定义及性质是解题的关键． （1）设与的函数关系式为（），把点代入函数关系式求解即可； （2）把代入函数关系式，即可求解； （3）将点代入函数关系式，即可求解． 【详解】（1）解：∵是的正比例函数， ∴设与的函数关系式为（）， ∵函数图象经过点， ， ， 与的函数关系式为． （2）解：将代入， ， 当时，函数的值为． （3）解：∵点在此函数图象上， ∴， ． 题型十一 一次函数的解析式 易｜错｜点｜拨 标准形式：y=kx+b（k=0），最容易漏掉 k=0 这个条件。 正比例函数是特殊一次函数：b=0 时为 y=kx，别把二者混淆。 求解析式核心方法：待定系数法 设：设 y=kx+b 代：代入两点坐标 解：解方程组求k、b 写：写出解析式 易错点 只给一个点就想求完整解析式（至少要两个点） 代入坐标时横纵坐标弄反 计算k、b时符号、分数出错 实际问题忘记写自变量取值范围 特殊情况 平行直线：k 相等，b 不等 过原点：b=0，是正比例函数 31．已知一个函数的图象是经过原点的一条直线，并且这条直线经过点，求这个函数的解析式． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，理解过原点的直线为正比例函数是解题的关键．设过原点的一次函数解析式为，将点代入求解即可． 【详解】解：一个函数的图象是经过原点的一条直线， 设一次函数的解析式为， 将点代入，得， 这个函数的解析式为． 32．已知一次函数经过点和，求该一次函数的解析式． 【答案】 【分析】本题考查待定系数法求解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 将点和代入，求出、的值，得到一次函数的解析式即可． 【详解】解：将点和代入 ，得： 解得 因此，一次函数解析式为． 33．已知一次函数的图象经过点，且与直线平行，求该一次函数的解析式． 【答案】 【分析】此题考查一次函数平行的规律：k值相等，据此得，再将点坐标代入求出函数的解析式 【详解】解：设一次函数的解析式为． ∵一次函数的图象平行于直线， ∴， ∵一次函数的图象经过点， ∴ ∴． ∴一次函数的解析式为． 题型十二 已知函数经过的象限求参数范围 易｜错｜点｜拨 根据 k、b 的符号，判断直线经过的象限，反之由经过的象限确定 k、b 的取值范围。 34．已知：一次函数． (1)若一次函数的图象过原点，求实数m的值； (2)当一次函数的图象经过第二、三、四象限时，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一次函数图象的性质，求不等式组的解集， 对于（1），由一次项系数非零及一元一次函数图象上点的坐标特征，可得出关于m的一元一次不等式及一元一次方程，解之即可得出实数m的值； 对于（2），由一次函数的图象经过第二、三、四象限，利用一次函数图象与系数的关系可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出实数m的取值范围． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象过原点， ∴， 解得：． （2）解：∵一次函数的图象经过第二、三、四象限， ∴， 解得:． 35．已知函数． (1)若这个函数经过原点，求m的值． (2)若函数的图象平行于直线，求m的值； (3)若这个函数是一次函数，且图象经过第一、二、三象限，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据这个函数经过原点，则满足函数，代入解析式计算即可． （2）根据函数的图象平行于直线，得，求m的值即可； （3）根据这个函数是一次函数，且图象经过第一、二、三象限，得到，求m的取值范围即可． 本题考查了图象过点，一次函数图象的平行条件，一次函数图象的分布，熟练掌握平行条件，图象分布的条件是解题的关键． 【详解】（1）∵关于x的函数的图象经过原点， ∴点满足函数的解析式， ∴， 解得． （2）∵函数的图象平行于直线， ∴， ∴； （3）函数是一次函数，且图象经过第一、二、三象限， ∴， ∴， ∴m的取值范围是． 36．直线恒过一定点． （1）则该定点的坐标是______． （2）平面直角坐标系中有两点，，若该直线与线段没有交点，则的取值范围是______． 【答案】 或 【分析】本题考查了一次函数与线段相交求参数问题，一次函数的性质，理解经过两点求得的临界值是解题的关键． （1）根据，当时，y与k的值无关，即可得出定点的坐标； （2）要使直线与线段没有交点，则直线在点B上方或直线在点C下方，分别将代入，即可解答． 【详解】解：（1）∵， ∴当时，， ∴直线恒过点， 故答案为：； （2）∵直线与线段没有交点， ∴直线在点B上方或直线在点C下方， 当直线过B点时， 则，解得， 当直线过C点时， 则，解得， ∴或． 故答案为：或． 题型十三 一次函数图形与坐标轴的交点问题 易｜错｜点｜拨 求与 y 轴交点代 x=0，求与 x 轴交点代 y=0，注意坐标顺序与符号易错。 37．如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，动点在轴的负半轴上，连接，将沿所在直线折叠，当点的对应点恰好落在轴上时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，折叠的性质，勾股定理的应用，熟练掌握它们的性质是解题的关键； 在中，，求出，即可求解． 【详解】解：∵的图象与轴交于点，与轴交于点， 当时，， 当时，， ∴， ∴， ∴， 设， 连接， ∵与关于对称， ∴， ∴， ∵， 在中，， ∴， ∴； 故选：B． 38．一次函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，在x轴上找一个点P使为等腰三角形，则点P的坐标为_____． 【答案】或或或 【分析】本题考查一次函数图象与坐标轴的交点、等腰三角形的性质、勾股定理、坐标与图形．先求出点A、B坐标，再根据等腰三角形的性质分三种情况讨论：，分别求解点P坐标． 【详解】解：由一次函数，当时，，得； 当时，，得． ∵． 设点坐标为． 当时，， ∴， 解得， 即或． 当时，， ∴， 平方得， 解得：，其中时与重合，无效， 故． 当时，，平方得， 化简得：， 解得：， 故． 综上，点坐标为或或或． 39．如图，在平面直角坐标系中，直线：与y轴交于点B，与x轴交于点C，直线：与y轴交于点D，直线和直线相交于点A，已知A点纵坐标为2． (1)求点A的横坐标及k的值； (2)点M在直线上， 轴，交x轴于点N．若，求点M的坐标． 【答案】(1)点的横坐标为1， (2)或 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质，正确求出一次函数解析式是关键． （1）根据直线和直线相交于点点纵坐标为2，求出点的横坐标，得到并代入，即可求出答案； （2）求出直线的函数表达式为，求出则．设，由轴，得，，解得或，即可求出答案． 【详解】（1）解：直线和直线相交于点点纵坐标为2， ， 解得， 点的横坐标为．将代入， 得， ； （2） 直线的函数表达式为． 在直线中，令，则，在直线中，令，则， ． 设，由轴，得， ，解得或， 或 题型十四 一次函数图象平移问题 易｜错｜点｜拨 左加右减自变量，上加下减常数项，平移不改变 k 值。 40．如图，在平面直角坐标系中，直线对应的函数表达式为，将直线向上平移得到，与轴、轴分别交于点、点，若，则直线的解析式（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的平移性质及坐标轴上点的坐标特征，解题的关键是掌握一次函数平移时的规律． 根据直线平移性质设直线的解析式为；由及是与轴交点，确定点坐标为；将点坐标代入解析式求出的值，进而得到的解析式． 【详解】解：∵ 直线由直线向上平移得到， ∴ 设直线的解析式为． ∵ 直线与轴交于点，且， ∴ 点的坐标为． 将代入，得，解得． ∴ 直线的解析式为． 故选：C． 41．已知点是一次函数图象上的一点，若将该函数图象先向左平移2个单位，再向上平移2个单位后，点A的对应点位于第二象限，则m的取值范围是_______． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征与平移的性质，掌握函数图象平移的规律“左加右减、上加下减”，以及第二象限内点的坐标符号特征是解题的关键.先根据点在一次函数图象上得到与的关系，再根据平移规律得到平移后点的坐标，最后结合第二象限点的坐标特征列不等式组求解即可． 【详解】解：已知点在一次函数的图象上， ， 将该函数图象先向左平移2个单位，再向上平移2个单位， 根据平移规律，点的对应点坐标为， 即，化简得， ∵对应点位于第二象限，第二象限内点的横坐标小于0，纵坐标大于0， 可得不等式组：， 解不等式，得； 解不等式，得． 综上，的取值范围是． 42．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点，且点的横坐标为4，点的纵坐标为2． (1)求一次函数的表达式； (2)坐标平面内有一点，将一次函数图象向下平移个单位长度恰好经过点，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了求一次函数的图象及图象平移，解题的关键是熟练掌握待定系数法和图象“左加右减，上加下减”的平移规律． （1）先确定A、B两点的坐标，然后用待定系数法求出一次函数表达式即可； （2）根据题意求得平移后的直线的解析式，把M的坐标代入平移后的直线的解析式，即可求得的值． 【详解】（1）解：∵点的横坐标为4，点的纵坐标为2， ∴，， 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴一次函数的表达式为． （2）解：一次函数图象向下平移个单位长度后的一次函数解析式为： ， 把代入可得：， 解得：． 题型十五 一次函数的增减性求参数 易｜错｜点｜拨 由 y 随 x 的增减直接判断 k 的符号，进而求出参数范围。 43．已知一次函数（为常数） (1)当函数是正比例函数时，的值为___________． (2)当函数图象不经过第一象限时，的取值范围是___________． (3)当时，一次函数的最大值为，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）一次函数中，，时，函数是正比例函数，据此列方程求解； （2）一次函数中，，时，函数的图象不经过第一象限，据此列不等式组求解； （3）①一次函数中，时，随的增大而增大，则当时，最大值是，②函数中，时，随的增大而减小，则当时，最大值是，据此列方程求解． 【详解】（1）解：为正比例函数， ， ． （2）解：不经过第一象限， 可得， 解得． （3）解：分两种情况讨论， 当，即，随的增大而增大， 则当，， 可得， 解得； 当，即，随的增大而减小， 则当，， 可得， 解得； 综上或． 44．已知函数． (1)若函数图象经过原点，求m的值； (2)若函数的图象平行于直线，求m的值 (3)若这个函数是一次函数，且y随着x的增大而增大，且不经过第二象限，请直接写出一个符合条件的m的值． 【答案】(1) (2) (3)（答案不唯一） 【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）将代入解析式可得，计算即可得出结果； （2）根据函数的图象平行于直线得出，计算即可得出结果； （3）由题意可得，，计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵函数，且函数图象经过原点， ∴将代入解析式可得， ∴； （2）解：∵函数，且函数的图象平行于直线， ∴， ∴； （3）解：∵这个函数是一次函数，且y随着x的增大而增大，且不经过第二象限， ∴，， ∴， ∴符合条件的m的值为（答案不唯一）． 45．在平面直角坐标系中，已知一次函数（为常数，且）． （1）若该一次函数的图像必经过一点，则该点的坐标为______； （2）当时，函数有最大值12，则的值为______． 【答案】 或 【分析】此题考查了一次函数的性质， （1）通过整理函数表达式，发现当时，恒为，因此图像必过定点； （2）根据一次函数的增减性，分和两种情况讨论，分别求最大值点，并令其等于，解方程得到的值． 【详解】（1） ∵该一次函数的图像必经过一点， ∴当时，即时， ∴该一次函数图像必经过点． 故答案为：； （2）当时，随增大而增大， ∴在时取得最大值，代入得， 令，解得； 当时，随增大而减小， ∴在时取得最大值．代入得， 令，解得． 综上，的值为或． 故答案为：或． 题型十六 比较一次函数值的大小 46．在平面直角坐标系中，若点是一次函数图象上的两个点，则与的大小关系为：______________（填“”，“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，一次函数（k，b为常数）是一条直线，当时， y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴y随x的增大而减小， 又∵， ∴， 故答案为：． 47．对于函数的图象，回答以下问题： (1)该函数经过哪几个象限？ (2)当取何值时，？ (3)若图象上有两点和，且，试比较和的大小． 【答案】(1)第一，二，三象限 (2) (3) 【分析】（1）一次项系数和常数项的符号可判断该函数经过的象限； （2）求出时，x的值即可得到答案； （3）根据解析式可得增减性，由增减性即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴函数的图象经过第一，二，三象限； （2）解：当时，，解得， ∴当时，； （3）解：∵， ∴y随x的增大而增大， ∵， ∴． 48．已知（m为常数，且）是一次函数． (1)求的值； (2)若点，均在该一次函数的图象上，试比较，的大小关系，并说明理由； (3)将该一次函数的图象关于轴对称后的直线记为，求直线与轴的交点坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了一次函数的定义、一次函数的性质、轴对称、一次函数与x轴交点问题等知识点，熟练掌握一次函数的定义和性质是解题的关键． （1）根据一次函数的定义，x的指数必须为列绝对值方程，且结合的条件求解即可； （2）先确定函数解析式，再根据一次函数的增减性作答即可； （3）先求原函数关于y轴对称后的直线方程，再求该直线与x轴的交点坐标即可． 【详解】（1）解：∵函数是一次函数， ∴，解得：或， 又∵， ∴． （2）解：∵， ∴一次函数的解析式为， ∴y随x的增大而减小， ∵点，均在该一次函数的图象上且， ∴． （3）解：原函数关于y轴对称，将x替换为，可得直线l的解析式为， 令，得，解得， ∴直线l与x轴的交点坐标为． 题型十七 一次函数的规律探究问题 49．正方形、，…按如图所示的方式放置．点、、…和点、、…分别在直线和轴上，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标的特征，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，能够找出坐标的变化规律是解题的关键． 分别求出、、、、，探究坐标的变化规律，进而得出的坐标，做出选择即可． 【详解】解：当时，， 当时，， ，是等腰直角三角形， 同理可得：，，都是等腰直角三角形， 于是：，，，， ， ． 故选：． 50．如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点……依次进行下去，则点的横坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征及规律型中数字的变化类，找出点的横坐标是解题的关键．由题意分别求出的坐标，找出的横坐标的规律，即可求解． 【详解】解：∵过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，……依次进行下去， ∴与横坐标相同，与纵坐标相同， ∴当时，， ∴， ∴当时，， ， 同理可得：，，，，… ∴的横坐标为， 当时，， ∴点的横坐标． 故选：C． 51．如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，点，，在直线上，点，，，在轴的正半轴上，若，，，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在轴上，则的顶点的坐标为_____． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的几何应用、等腰直角三角形的性质，先求出的坐标并归纳出规律是解题关键．先求出的坐标，探究规律后，即可根据规律解决问题． 【详解】解：由题意得：把代入直线， 得， 把代入直线得： ∴， 由等腰直角三角形的性质得：， 的横坐标为 则的横坐标为1，代入直线得，，即， 由等腰直角三角形的性质得， ， 即的横坐标为， 同理可得：的横坐标为， ∴的横坐标为（为正整数）， ∴的横坐标为：， 把代入，得：， ∴； 故答案为：． 题型十八 一次函数与方程 52．如图直线与交于点，点的横坐标是，则关于的方程的解是______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，由一次函数图象的交点的横坐标就是两个一次函数解析式所构成的一元一次方程的解即可求解，掌握一次函数图象交点坐标与一元一次方程解的关系是解题的关键． 【详解】解：∵直线与交于点，点的横坐标是， ∴的方程的解为：， 故答案为：． 53．一次函数和一次函数在同一坐标系中的图象如图所示，已知，，，观察图象回答下列问题： (1)关于的一元一次方程的解是 ； (2)关于，的方程组的解是 ． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组、一次函数与一元一次方程，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （）由题意得，关于的方程的解是； （）由图可得答案． 【详解】（1）解：∵点坐标为， ∴关于的一元一次方程的解是， 故答案为：； （2）解：由图可得，一次函数和一次函数图象的交点为， ∴关于，的方程组的解是， 故答案为：． 54．在学习一元一次不等式与一次函数时，小明在同一个坐标系中作出了一次函数和的图象（如下图），两直线交于点C，分别与x轴交于A，B两点．已知点，，，观察图象并回答下列问题： (1)关于x的方程的解是________； (2)求关于x的不等式的解集； (3)求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题主要考查了一元一次方程的解、一次函数与不等式． （1）利用直线与轴交点即为时，对应的值，进而得出答案； （2）根据图象找到图象在图象上方所对应的的范围． （3）利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象，与轴交于点， ∴关于的方程的解是， 故答案为：； （2）解：∵点的坐标为， ∴由图象可知，不等式的解集是． （3）解：， ， ． 题型十九 一次函数与不等式 55．（1）画出一次函数的图像； （2）根据图像回答下列问题： ①写出图象与x轴的交点坐标为_______，与y轴的交点坐标为_______； ②根据图像回答：当x_______时，． ③与直线平行，且过的直线解析式______． x y 【答案】（1）见解析；（2）①，；②；③ 【分析】本题主要考查了画函数图像、函数图像与坐标轴的交点、函数与不等式、求函数解析式等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）先列表、再描点，然后连线即可完成作图； （2）①分别求出当、时的自变量和函数值，即可确定其与x、y轴的交点；②根据函数图像写出x的取值范围即可；③利用待定系数法求函数解析式即可． 【详解】解：（1）列表如下： x 0 1 y 3 1 描点、连线如下： （2）①当时，有，解得：；当时，； 所以图像与x轴的交点坐标为，与y轴的交点坐标为． 故答案为，． ②由函数图像可知：当时，． 故答案为：． ③设该直线的解析式为， 将代入可得：，解得：． 所以． 56．如图，直线与轴相交于点，直线经过点，与轴相交于点，与轴相交于点，与直线相交于点． (1)求直线的函数关系式； (2)根据图象，直接写出的解集； (3)点是上的一点，若的面积等于的面积的2倍，求点的坐标． 【答案】(1)直线的函数关系式为 (2) (3)或 【分析】本题主要考查一次函数图象的性质，两直线交点的计算，图象法求不等式解集，掌握一次函数图象的性质是关键． （1）运用待定系数法即可求解； （2）联立方程组求解得到，结合图象即可得到不等式组的解集； （3）根据题意得到，，设，由面积公式列式求解即可． 【详解】（1）解：直线经过点，与轴相交于点， ∴， 解得，， ∴直线的函数关系式为； （2）解：∵直线交于点， ∴联立方程组得，， 解得，， ∴，且， ∴由图象可得，当时，， ∴解集为：； （3）解：直线与轴相交于点， ∴当时，，即， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， ∴或， 解得，或， ∴或． 57．如图，已知一次函数（k、b为常数，）的图象分别与x轴、y轴交于A、B两点，若，，结合图象求： (1)关于x的方程的解； (2)关于x的不等式的解集； (3)当x的取值在什么范围时，? 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量的取值范围． （1）写出点坐标，即可解答； （2）写出点坐标，即可解答； （3）写出点坐标，即可解答． 【详解】（1）解：， ， 关于x的方程的解为； （2）解：结合图象可得， 关于x的不等式的解集为； （3）解：由，，可得， ， 所以当x的取值在时，． 题型二十 分配方案问题 58．为落实国家发展改革委办公厅，市场监管总局办公厅《关于规范电动自行车充电收费行为的通知》，长阳某小区完成充电桩“商改民”线路改造，将原商业电价调整为居民合表电价，并推出两种合规套餐，引导居民安全、经济充电． 套餐 计费规则 制定依据 A套餐 按实际充电量计费，单价1元/度（含充电电费0.51元/度及充电服务费0.49元/度） 居民合表电价及服务费标准 B套餐 充电量不超过1度免费，超出部分按1.5元/度计费（含充电服务费） 鼓励短充，减少夜间长时充电隐患 (1)分别写出两种套餐费用的函数表达式（充电量为度，费用为元）； (2)若用户充电2.5度，选择哪种套餐更经济？请说明理由． 【答案】(1)A套餐函数表达式：；B套餐函数表达式： (2)选择套餐更经济，理由见解析 【分析】本题考查一次函数的应用． （1）根据计费规则分别写出两种套餐费用的函数表达式即可； （2）将分别代入两函数表达式，求出对应的函数值并比较大小即可得出结论． 【详解】（1）解：A套餐函数表达式：， 套餐函数表达式：； （2）解：当时， 若选择套餐：， 若选择套餐：， ， 选择套餐更经济． 59．某校要采购一款水杯，了解到有A，B两家超市可供选择，此款水杯在A，B两家超市售价均为50元，为了促销两家超市给出了不同的优惠方案： A超市：打8折出售； B超市：20个以内（含20个）不打折，超过20个后，超过的部分打7折． 该校计划购买水杯x个，设去A超市购买应付元，去B超市购买应付元． (1)分别求出，关于x的函数关系式； (2)若该校只在一个超市购买，怎样买更划算． 【答案】(1)，； (2)当时，在A厂家购买划算；当时，两个厂家付款一样；当时，在B厂家购买划算． 【分析】本题考查一次函数的应用，理解题意、根据题意写出函数关系式并掌握一元一次不等式的解法是本题的关键． （1）根据售价、购买数量和折扣可直接写出关于x的函数关系式；分别根据购买数量小于等于20件和大于20件两种情况列出方程即可； （2）根据x不同的取值范围，分别求出当、、时对应的x的取值范围即可． 【详解】（1）解：，， ∴， 当时，， 当时，， ∴； （2）解：当时，， 当且为整数时： 若，得，解得； 若，得，解得； 若，得，解得； 综上，当时，在A厂家购买划算；当时，两个厂家付款一样；当时，在B厂家购买划算． 60．为响应绿色出行号召，越来越多的市民选择租用共享单车出行，已知某共享单车公司为市民提供了手机支付和会员卡支付两种支付方式，如图描述了两种方式应支付金额y（元）与骑行时间x（小时）之间的函数关系，根据图象回答下列问题： (1)求：当x≥0.5时，手机支付金额y（元）与骑行时间x（小时）的函数表达式； (2)李老师经常骑共享单车出行，请根据不同的骑行时间帮他确定选择哪种支付方式比较合算． 【答案】(1)y=x-0.5 (2)当0<x<2时，李老师选择手机支付比较合算，当x=2时，李老师选择两种支付一样，当x>2时，李老师选择会员卡支付比较合算 【分析】（1）根据题意和函数图象可以分别求出当x≥0.5时，手机支付金额y（元）与骑行时间x（小时）的函数解析式； （2）根据题意可以求得会员卡支付对应的函数解析式，再根据函数图象即可解答本题． 【详解】（1）解：（1）当x≥0.5时，设手机支付金额y（元）与骑行时间x（时）的函数关系式是y=kx+b， ， 解得，， 即当x≥0.5时，手机支付金额y（元）与骑行时间x（时）的函数关系式是y=x-0.5； （2）设会员卡支付对应的函数解析式为y=ax， 则0.75=a×1，得a=0.75， 即会员卡支付对应的函数解析式为y=0.75x， 令0.75x=x-0.5，得x=2， 由图象可知，当0<x<2时，李老师选择手机支付比较合算， 当x=2时，李老师选择两种支付一样， 当x>2时，李老师选择会员卡支付比较合算． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用数形结合的思想和一次函数的性质解答，这是一道典型的方案选择问题． 题型二十一 最大利润问题 61．在全球气候变暖的严峻形势下，二氧化碳排放量不断攀升，已成为亟待解决的关键问题，为了中和二氧化碳排放量，我们可以采取植树造林等绿化措施．根据相关统计结果，一棵成年的阔叶树种，例如杨树每年大约吸收二氧化碳千克，一棵成年的针叶树种，例如冷杉每年大约吸收二氧化碳千克．某环保企业计划购买成年杨树和冷杉共棵，设购买冷杉棵，这棵树木一年内吸收的二氧化碳总量为千克． (1)直接写出与的函数解析式； (2)杨树会产生较多的飘絮物，因此规定采购杨树的棵数不超过冷杉的一半，请问如何购买，才能使这棵树木在一年内吸收的二氧化碳总量最多，最多能吸收多少二氧化碳？ 【答案】(1) (2)当购买冷杉时，一年内吸收的二氧化碳总量最多，最多为13046千克 【分析】（1）根据购买冷杉棵，则购买杨树棵，根据题意，得，计算即可． （2）根据购买冷杉棵，则购买杨树棵，根据题意，得，计算即可． 本题考查了一次函数的应用，一次函数的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】（1）解：根据购买冷杉棵，则购买杨树棵，根据题意，得． （2）解：根据购买冷杉棵，则购买杨树棵， 根据题意，得， 解得， 故， 由， 一次函数随x的增大而减小，且x是整数， 故当时，一年内吸收的二氧化碳总量最多， 最大为（千克）， 答：当购买冷杉时，一年内吸收的二氧化碳总量最多，最多为13046千克． 62．2024年春晚吉祥物“龙辰辰”，以龙的十二生肖专属汉字“辰”为名．设计灵感以中华民族龙图腾的代表性实物，突出呈现吉祥如意、平安幸福的美好寓意．某网店从工厂购进大号、中号两种型号的“龙辰辰”，已知每个大号“龙辰辰”进价比中号“龙辰辰”多15元，2个大号“龙辰辰”和1个中号“龙辰辰”共150元． (1)求大号、中号两种型号的“龙辰辰”的进价． (2)该网点准备购进两种型号的“龙辰辰”共60个，且大号“龙辰辰”的个数不超过中号的一半．中号“龙辰辰”定价60元，大号“龙辰辰”的定价比中号多．当购进大号“龙辰辰”多少个时，销售总利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)大号的“龙辰辰”的进价为55元，中号的“龙辰辰”的进价为元 (2)当购进大号“龙辰辰”20个时，销售总利润最大，最大利润是元． 【分析】此题考查了一次函数、一元一次不等式、一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程和函数解析式是解题的关键． （1）设大号的“龙辰辰”的进价为x，则中号的“龙辰辰”的进价为元，根据2个大号“龙辰辰”和1个中号“龙辰辰”共150元列方程，解方程即可得到答案； （2）设购进大号“龙辰辰”m个，则中号“龙辰辰”的个数为个，销售总利润为元，得到，再根据题意求出，根据一次函数的性质即可得到答案． 【详解】（1）解：设大号的“龙辰辰”的进价为x，则中号的“龙辰辰”的进价为元，则 解得， 则， 答：大号的“龙辰辰”的进价为55元，中号的“龙辰辰”的进价为元； （2）解：设购进大号“龙辰辰”m个，则中号“龙辰辰”的个数为个，销售总利润为元， 则， ∵大号“龙辰辰”的个数不超过中号的一半 ∴， ∴， ∵中，， ∴w随着m的增大而增大， ∴当时，w取得最大值，此时， ∴当购进大号“龙辰辰”20个时，销售总利润最大，最大利润是元． 63．围棋，起源于中国，古代称为“弈”，是棋类鼻祖，距今已有4000多年的历史．某商家销售A、B两种材质的围棋，每套进价分别为200元、170元，下表是近两个月的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A种材质 B种材质 第一个月 3套 5套 1800元 第二个月 4套 10套 3100元 (1)求A、B两种材质的围棋每套的售价． (2)若商家准备用不多于5400元的金额再采购A、B两种材质的围棋共30套，求A种材质的围棋最多能采购多少套？ (3)在（2）的条件下，商店销售完这30套围棋能否实现利润为1300元的目标？请说明理由． 【答案】(1)A种材质的围棋每套的售价为250元，B种材质的围棋每套的售价为210元； (2)A种材质的围棋最多能采购10套； (3)商店销售完这30套围棋能实现利润为1300元的目标；理由见解析． 【分析】（1）设A种材质的围棋每套的售价为x元，B种材质的围棋每套的售价为y元，根据表格中的销量和收入列方程组求解即可； （2）设A种材质的围棋采购a套，则B种材质的围棋采购套，根据“用不多于5400元的金额再采购A、B两种材质的围棋共30套”列不等式求解即可； （3）设销售利润为w，根据题意列出一次函数解析式，然后利用一次函数的性质求解． 【详解】（1）解：设A种材质的围棋每套的售价为x元，B种材质的围棋每套的售价为y元， 由题意得：， 解得：， 答：A种材质的围棋每套的售价为250元，B种材质的围棋每套的售价为210元； （2）解：设A种材质的围棋采购a套，则B种材质的围棋采购套， 由题意得：， 解得：， 所以a的最大值为10， 答：A种材质的围棋最多能采购10套； （3）解：商店销售完这30套围棋能实现利润为1300元的目标； 理由：设销售利润为w， 由题意得：， ∵， ∴w随a的增大而增大， ∵a的最大值为10， ∴当时，w取最大值1300， 即商店销售完这30套围棋能实现利润为1300元的目标． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列出方程组、不等式以及一次函数解析式． 题型二十二 行程问题 64．小夏周末骑自行车到京郊十渡踏青游玩，他从家出发小时后到快餐店用餐，用餐后继续骑车前往十渡．小夏离家一段时间后，小夏爸爸驾驶汽车沿相同的路线前往十渡．如图是他们离家路程s（）与小夏离家时间t（）的关系图，请根据图象回答下列问题： (1)小夏和爸爸两个人谁先到达十渡？ (2)分别写出小夏和爸爸从家到达十渡的平均速度； (3)求小夏离开快餐店到达十渡的过程中，离家路程s（）与离家时间t（）的函数表达式及自变量的取值范围． 【答案】(1)爸爸 (2)12，40 (3) 【分析】本题考查从图象获取信息，待定系数法求一次函数解析式． （1）由图象即可解答； （2）根据“速度＝路程÷时间”进行求解即可． （3）设所求函数表达式为，根据待定系数法，把点，代入求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可知，对于爸爸，当时，； 对于小夏，当时，， ∴爸爸先到达十渡． （2）解：小夏从家到十渡的平均速度为：， 爸爸从家到十渡的平均速度为：． （3）解：设小夏离开快餐店到达十渡的过程中，离家路程s（）与离家时间t（）的函数表达式为， ∵该函数图象过点，， ∴，解得， ∴小夏离开快餐店到达十渡的过程中，离家路程s（）与离家时间t（）的函数表达式为， 自变量的取值范围为． 65．小明家汽车油箱可容纳的汽油，如果不再加油，那么油箱中的剩余油量y（单位：）随行驶路程x（单位）的增加而减少．为了计算自家汽车的耗油量（平均每千米消耗的油量），小明记录了这辆车在不同行驶路程时所对应的剩余油量． 行驶路程 0 100 200 300 400 500 剩余油量 45 37 29 21 13 5 假设行驶过程中汽车的耗油量是均匀的．尝试根据上述背景信息解决下列问题： (1)在平面直角坐标系中，描出上表中以各对对应值为坐标的点，并画出函数图象； (2)该车的耗油量为________，写出一个符合条件的油箱中的剩余油量y关于行驶路程x的函数解析式________，其中自变量x的取值范围是________； (3)已知该汽车在油箱中剩余油量低于时，将自动报警．周末，小明的父母把车加满了油，带着小明去往外的姥姥家探望老人，如果往返途中不加油，请判断：他们能否在汽车报警前回到家？________．（填“能”或“不能”） 【答案】(1)见解析 (2)，， (3)能 【分析】本题主要考查一次函数的应用，掌握描点作图的方法及一元一次方程的解法是解题的关键． （1）运用描点、连线的步骤作图即可； （2）根据每千米的耗油量、耗油量、行驶里程即可计算该车的耗油量，由“出发时油箱的油量消耗的油量”写出y关于行驶路程x的函数解析式，令列关于x的方程并求解，即x的最大值，从而得到x的取值范围即可解答； （3）求出一个往返后油箱剩余油量并与3L比较大小即可得出结论即可． 【详解】（1）解：描点、连线可得如图所示： （2）解：该车的耗油量为， y关于行驶路程x的函数解析式为， 当时，解得， ∴自变量x的取值范围是． 故答案为：，，． （3）解：， ∵， ∴他们能在汽车报警前回到家． 故答案为：能． 66．为响应国家“发展新一代人工智能”的号召，某市举办了无人机大赛．甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面12米高的升降平台起飞，甲、乙两架无人机同时匀速上升，6秒时甲无人机到达大赛指定的高度停止上升开始表演，完成表演动作后，按原速继续飞行上升，当甲、乙两架无人机按照大赛要求同时到达距离地面的高度为72米时，进行联合表演．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y（米）与飞行的时间x（秒）之间的函数关系如图所示．请根据图象回答下列问题： (1)甲无人机的速度是________米/秒，乙无人机的速度是________米/秒； (2)求线段对应的函数表达式； (3)甲无人机在完成独立表演动作后继续上升时，求出与乙无人机的高度差为9米的时间． 【答案】(1)6，3 (2) (3)17秒 【分析】本题考查一次函数的应用、解绝对值方程、解一元一次方程，掌握路程、速度、时间之间的关系，待定系数法求一次函数的关系式、解绝对值方程是解题的关键． （1）根据速度路程时间计算即可； （2）根据时间路程速度求出乙无人机飞行段所用时间，从而求出点P的坐标，再利用待定系数法求出线段对应的函数表达式即可； （3）分别写出甲、乙无人机所在的位置距离地面的高度y与飞行的时间x之间的函数表达式，令二者差的绝对值为9列方程并求解即可． 【详解】（1）解：甲无人机的速度是（米/秒），乙无人机的速度是（米/秒）． 故答案为：6，3． （2）解：甲无人机飞行段用时（秒），（秒）， ∴， 设线段对应的函数表达式为（k、b为常数，且）， 将坐标和分别代入， ， 解得：， ∴线段对应的函数表达式为． （3）解：设乙无人机所在的位置距离地面的高度y与飞行的时间x之间的函数表达式为， 将、代入，得，解得， ∴乙无人机所在的位置距离地面的高度y与飞行的时间x之间的函数表达式为． 当甲无人机在完成独立表演动作后继续上升时，， 由与乙无人机的高度差为9米得：， 解得， ∴当甲无人机在完成独立表演动作后继续上升时，与乙无人机的高度差为9米时的时间为17秒． 题型二十三 梯度计价问题 67．某公司招聘外卖送餐员进行送餐服务，送餐员的月工资由底薪1500元加上外卖送单补贴（送一次外卖为一单）构成，外卖送单补贴的具体方案如下： 外卖送单数量 补贴（元／单） 每月不超过500单 3.5 超过500单但不超过900单的部分 5 超过900单的部分 8 (1)若某外卖小哥一个月送餐单（），所得工资元，求与的函数关系式． (2)若某外卖小哥2月份的工资总额为5650元，那么他2月份外卖送餐多少单？ 【答案】(1)当时，；当时， (2)他2月份外卖送餐950单 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，解题的关键是理解题意，列出函数关系式，注意分类讨论． （1）分两种情况，列出函数关系式即可； （2）先确定他2月份送餐单数超过900单，再利用（1）中函数解析式求解． 【详解】（1）解：当时， ； 当时， ； 综上，当时，；当时，． （2）解：（元，（元； 元元 ； ∴当时，得 ， 解得， 他2月份外卖送餐950单． 68．为鼓励市民节约资源，某市采用分档计费的方式计算居民的管道天然气费用．下表是家庭人口不超过4人时户年用气量及分档计费标准： 计费档 户年用气量 单价/（元） 第一档 2.73 第二档 3.28 第三档 3.82 (1)当时，求出燃气费（单位：元）与之间的关系式； (2)某户一年用气量是，求该户这一年的燃气费； (3)某户去年一年的燃气费是1311元，求该户去年一年的用气量． 【答案】(1) (2)该户这一年的燃气费为1147元 (3)该户去年一年的用气量为 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，求一次函数的关系式， （1）第一档用气总费用加上超过第一档用气量的费用可得关系式； （2）直接将代入（1）关系式，可得答案； （3）先求出第一档的最高费用，第二档的最高费用，可知该用气费用属于第二档，可得一元一次方程，求出解即可． 【详解】（1）解： 由表格可知，当时，． （2）解：， 当时，， 所以，当用气量为时，该户这一年的燃气费为1147元． （3）解：当时，（元）， 当时，（元）， ， 所以，该户用气量属于第二档， 当时，， 解得，， 所以当燃气费为1311元时，该户去年一年的用气量为． 69．某省居民生活用电阶梯式收费探索卡 素材1 能源有限，节约无限．为鼓励市民节约用电，某省电费采用“阶梯收费”的方式． 素材2 居民生活用电阶梯式价格计费方式如下： 第一档：月用电量不超过170度的部分，电价为元/度． 第二档：月用电量超过170度不超过260度的部分，电价为元/度． 第三档：月用电量超过260度的部分，电价为元/度． 问题解决 任务1 已知某户月用电量x度，写出电费y（单位：元）与x之间的关系式． 任务2 已知小迪同学家8月用电量180度，求小迪同学家8月的电费． 任务3 某户10月的电费是127元，求该户10月的用电量． 【答案】任务1：；任务2：91元；任务3：240度； 【分析】本题考查了分段函数． 任务1：分情况列出关系式即可； 任务2：用电量180度，在第二档，将代入计算即可； 任务3：先求出用电量在第二档，进而根据列方程计算即可． 【详解】解：任务1：当时，， 当时，，即， 当时，，即， 任务2：， ∴当时，（元） 答：小迪同学家8月的电费91元． 任务3：当时，， 当时，， ， ． 当时，． ． 答：该户10月的用电量为240度． 题型二十四 一次函数与几何综合 70．下表是一次函数（k，b为常数，）中y与x的几组对应值． x 0 1 y 3 m (1)求这个一次函数的表达式，并直接写出m的值； (2)画出这个函数的图象，并直接写出它与x轴的交点坐标； (3)当时，y的取值范围是________； (4)已知点A的坐标为，点B的坐标为，问：x轴上是否存在点P使得的面积为2？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)图见解析， (3) (4)存在，点P的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）描出两个点，连线即可； （3）根据x的取值范围，结合函数解析式得出y的最大值与最小值即可； （4）设函数图象与x轴交于点C，由（2）得 ，设，则， 根据即可求解． 【详解】（1）解：将，，以及，代入， 得：， 解得， 一次函数的表达式为， 将代入， 得：． （2）解：函数图象如下图所示， 令，得， 所以它与x轴的交点坐标为； （3）解：由（2）可知，y随x的增大而减小， ， 当时，y取最大值，最大值为， 当时，y取最小值，最小值为， 当时，y的取值范围是； （4）解：存在，点P的坐标为或． 如图，设函数图象与x轴交于点C， 由（2）得 ， 设，则， ， ， 解得或， 点P的坐标为或． 71．根据问题完成以下各题 (1)如图，直线与轴交于点A，与y轴交于B点，平面上有一点，直线向上平移个单位后直线经过点C，求的值． (2)根据（1）问中提供的解题思路完成如下问题： 已知直线过为轴上一点，点坐标为，连接，在轴上是否存在一点，使得面积与面积相等．若存在，求出D点坐标，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在，， 【分析】（1）设平移后直线为，把代入即可求解； （2）先求得直线的解析式，分直线向下，向上平移两种情况进行讨论即可求解． 【详解】（1）解：设平移后直线为， 将代入得，， ∴． （2）解：存在点，使得面积与面积相等． 将代入得， ， 解得， ∴， 设直线交y轴于点E， 令，得， ∴， 将直线：向下平移个单位后经过点，交轴于点，连接，， ∴，则， 设平移后的直线解析式为， 把代入得，， 解得， ∴平移后的直线为， 令，得， ∴； 将直线：向上平移个单位交轴于点，连接，，则平移后的直线解析式为， 令，得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 过点作于点F，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，D点的坐标为，． 72．如图1，等腰直角三角形中，，直线经过点C，过A作于点D，过B作于点E，易证明，我们将这个模型称为“K形图”．接下来我们就利用这个模型来解决一些问题： (1)如图1，若，则的面积为 ； (2)如图2，在平面直角坐标系中，等腰，点C的坐标为，A点的坐标为，求与y轴交点D的坐标； (3)如图3，在平面直角坐标系中，直线函数关系式为：，点，在直线上是否存在点B，使直线与直线的夹角为？若存在，请直接写出点B的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)5 (2) (3)存在，点B的坐标为或 【分析】（1）证明可得，在中，利用勾股定理解得的长，最后根据三角形面积公式即可求解； （2）作轴于点，根据题意，可证，再由全等三角形对应边相等的性质得到，结合点的坐标分别解得的长，继而得到的坐标，再由待定系数法解得直线的解析式，令即可求解； （3）画出符合题意的示意图，设点B，点是符合要求的两个点，即，设，过点作直线平行轴，过点作直线平行轴，两直线相交于点，由点坐标表示线段和，根据可证，再由全等三角形对应边相等的性质解得的长，继而得到点的坐标，最后将点代入直线上即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ， ∴在与中， ， ， ， ∵中，， ∴， ． 故答案为：； （2）解：过点B作轴于点， 则， ∴， ， ， ， ． 在与中， ， ， ， ， ∴，， ，， ， ． 设直线的解析式为：， ∵直线过点， ∴， 解得：， 直线的解析式为：， 令得，， ； （3）解：存在，有两个点符合题意，点B的坐标为或，理由如下： 如图，设点B，点是符合要求的两个点，即， 设， 过点作直线平行轴，过点作直线平行轴，两直线相交于点，    则， ， ， ， ∵， ， ∴， ∴， ∴，， ， ∴， ， ，即， ∵点在直线上， ， ， ∴点B的坐标为或． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理、待定系数法求一次函数的解析式，理解并运用模型的思路方法是解题的关键． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26八年级下·北京·期中）下列图象中，可以表示y是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】函数的定义：对于自变量的每一个确定的值，函数值都有唯一确定的值与其对应． 【详解】解：A．对于任意一个值，有多个值与之对应，故不是函数图象； B．对于任意一个值，可能有两个值与之对应，故不是函数图象； C．对于任意一个值，可能有两个值与之对应，故不是函数图象； D．对于任意一个值，有唯一确定的值与之对应，故是函数图象． 2．（2026八年级下·全国·期中）在圆的周长公式中，下列关于变量、常量的说法正确的是（  ） A．、、均是变量，2是常量 B．和是变量，2和是常量 C．是变量，2，和是常量 D．是变量，是常量 【答案】B 【分析】本题考查常量与变量的定义，关键是明确在变化过程中，常量是数值固定不变的量，变量是数值可以发生变化的量．在圆的周长公式中，2是固定系数，是圆周率，二者数值固定不变，属于常量；半径可取不同值，对应的周长会随之改变，故和是变量，据此可判断正确选项． 【详解】解：根据常量与变量的定义，在中，2和是固定不变的量，为常量；随的变化而变化，因此和是变量． 故选：B． 3．（25-26八年级上·贵州贵阳·期末）下列函数中，的值随着值的增大而减小的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查根据一次函数的性质判断增减性，依据一次函数，当时，y 随 x 的增大而减小判断即可． 【详解】解：对于一次函数 ， 若，则y随x增大而增大； 若，则y随x增大而减小， 选项 A：，不符合； 选项 B：，不符合； 选项 C：，不符合； 选项 D：，符合. 故选D． 4．（25-26八年级下·全国·期中）已知方程组的解为，则直线与直线的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，掌握两条直线的交点坐标就是对应二元一次方程组的解是解题的关键． 两条直线的交点坐标即为对应方程组的解． 【详解】解：∵ 方程组 的解为 ， 方程组的解表示两条直线的交点坐标， ∴ 直线 与 的交点坐标为 ． 故选：A． 5．（25-26八年级下·北京·期中）对于正比例函数，当自变量x的值减小2时，函数y的值减小6，则k的值为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【分析】根据题意列出变化前后的函数值等式，即可求出的值． 【详解】解：设原来的自变量为，对应函数值为， 当减小后，新自变量为，对应函数值， 的值减小， ， 解得． 6．（25-26八年级下·北京·期中）一次函数（m为常数且），若y随x的增大而增大，则它的图象经过第________象限． 【答案】一、二、三 【分析】根据一次函数的增减性确定，再结合一次函数图象与系数的关系，判断图象经过的象限． 【详解】解：一次函数（为常数且），随的增大而增大， ， 对于一次函数，一次项系数为，常数项为， ， 一次项系数大于零，图象经过第一、三象限，常数项大于零， 图象与轴交于正半轴，图象经过第二象限， 该一次函数的图象经过第一、二、三象限． 7．（25-26八年级下·北京·期中）直线与直线的图象如图所示，则方程组的解为________． 【答案】 【分析】根据图象读出交点的横坐标，代入已知函数解析式求出纵坐标，即可得到方程组的解． 【详解】解：由图象可知，直线与直线的交点横坐标为 1， 将代入，得， ∴两直线的交点坐标为， ∵方程组可变形为， ∴该方程组的解即为直线与直线的交点坐标， ∴方程组的解为． 8．（25-26八年级下·北京·期中）我国首辆火星车被命名为“祝融号”，为应对极限温度环境，火星车使用的是新型隔温材料．已知某种材料的导热率K[单位：]与温度T（单位：）的关系如下表： 温度 50 100 150 200 250 导热率 根据表格中两者的对应关系可知，温度每上升，导热率增加_________，若该材料的导热率为，则温度为_________． 【答案】 400 【分析】观察表格可知，温度每上升，导热率增加，说明K是的一次函数，设，把，代入求出，再把代入求出结果即可． 【详解】解：观察表格可知，温度每上升，导热率增加，因此K是的一次函数，则设，把，代入得： ， 解得：， ∴， 令，则， 解得：， 即该材料的导热率为，温度为． 9．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）已知点在第三象限，点、在一次函数（k，b为常数，且）的图象上，则______．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题主要考查了比较一次函数值的大小，第三象限内的点的坐标特点，第三象限内的点的横纵坐标都小于0，则，则在一次函数中，y随x的增大而减小，据此可得答案． 【详解】解：∵点在第三象限， ∴，． ∴在一次函数中，y随x的增大而减小， ∵点、在一次函数的图象上，且， ∴， 故答案为：． 10．（25-26八年级上·全国·期末）如图，一次函数的图象经过，两点，与x轴交于点C，则点C的坐标为____________． 【答案】 【分析】本题考查了用待定系数法求出一次函数的解析式，将，代入，得出方程组，解方程组即可得一次函数解析式，再求出时对应的x值即可得点C的坐标． 【详解】解：将，代入， 可得， 解得， ∴， 当时，，即． 故答案为：． 11．（25-26八年级下·北京·期中）已知点，． (1)若点，关于轴对称，求，的值； (2)若点，关于轴对称，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据关于轴对称的点的特征，可列方程，求解得、的值； （2）根据关于轴对称的点的特征，可列方程，求解得、的值，再代入求值即可． 【详解】（1）解：若点，关于轴对称， 则， 解得． （2）解：若点，关于轴对称， 则， 解得， 代入． 12．（25-26八年级下·北京·期中）已知一次函数，若随的增大而减小，求的取值范围． 【答案】 【详解】解：∵随的增大而减小， ∴解得． 13．（25-26八年级下·北京·期中）已知与成正比例，且当时，，求： (1)与的函数关系式； (2)当时，的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据成正比例的定义，设，然后把已知的一组对应值代入求出的值，从而得到与的函数关系式； （2）利用（1）中的关系式，求出函数值为所对应的自变量的值即可． 【详解】（1）解：设， 把代入得， 解得， ， 与的函数关系式为； （2）解：当时，， 解得， 的值为． 14．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）随着中小学“每天一节体育课”活动的开展，充分激发了同学们的运动热情．某商家抓住了体育用品需求量激增的商机，采购了一批篮球和足球共100个，两种球的进价与售价如下表所示．设采购个篮球，获得的总利润为元． 品名 厂家批发价元/个 商场零售价元/个 篮球 120 145 足球 100 120 (1)求总利润与的函数关系式； (2)若该商家采购的篮球个数不超过足球个数，则该商家应如何进货才能获得最大利润？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)采购篮球50个，足球50个，该商家能获得最大利润，最大利润是2250元 【分析】本题考查了一次函数的应用，不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，采购个篮球，则采购个足球，结合两种球的进价与售价表进行列式计算，即可作答． （2）先根据该商家采购的篮球个数不超过足球个数，得出，再结合，则随的增大而增大，故把代入，得，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，采购个篮球，则采购个足球， ∴． （2）解：∵该商家采购的篮球个数不超过足球个数， ∴， 解得， 由（1）得， ∵， ∴随的增大而增大， 故把代入，得． ∴采购篮球50个，足球50个，该商家能获得最大利润，最大利润是2250元． 15．（25-26八年级下·北京海淀·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴的交点为，与y轴的交点为点B，且与正比例函数的图象交于点． (1)求m的值及一次函数的表达式； (2)若点P是y轴上一点，且的面积为6，请写出点P的坐标． (3)结合图象直接写出：的解集． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】（1）代入点到，求出的值，再代入点的坐标到，利用待定系数法即可求出一次函数的表达式； （2）利用一次函数的性质求出，设点P的坐标为，根据三角形的面积公式列出方程，求出的值即可解答； （3）观察函数图象即可求解． 【详解】（1）解：代入点到，得， 解得， ∴， 代入，到， 则， 解得， ∴一次函数的表达式为； （2）解：对于，令，则， ∴， 设点P的坐标为， ∵的面积为6， ∴， 解得或， ∴点P的坐标为或； （3）解：由图象得，当时，， ∴的解集为． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 16．（25-26八年级上·安徽六安·期末）已知点，点都在直线上，则，的大小关系（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】先根据一次函数的k值判断y随x的变化趋势，再比较两点横坐标的大小，即可得出与的大小关系． 【详解】解：∵直线中， ∴y随x的增大而减小， ∵，且点，都在直线上， ∴． 17．（25-26八年级上·重庆·期末）如图，已知一次函数与（，且k，m为常数）的交点坐标为，则关于x，y的方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象交点坐标与方程组解的关系．把代入求出的值，根据函数图象即可求解． 【详解】解：把代入，得 ， ∴， ∵一次函数与的图象相交于点， ∴方程组的解是． ∴关于x，y的方程组的解为． 故选：C． 18．（25-26八年级上·北京平谷·期末）已知，当时，y的值记为；当时，y的值记为；当时，y的值记为……，则的值为（    ） A．2025 B．2026 C．2035 D．2037 【答案】D 【分析】本题主要考查了求函数值，可得，据此求解即可． 【详解】解：， 当时，， 当时，， ∴，，，， ， ∴， 故选：D． 19．（25-26八年级上·宁夏银川·期末）如图，甲、乙两车从城出发匀速行驶至城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开城的距离（千米）与甲车行驶的时间（小时）之间的函数关系如图所示，则下列结论：①两城相距300千米；②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时；③乙车出发后小时追上甲车；④甲乙两车相距50千米时，或．其中正确的结论有（   ） A．①② B．②③④ C．①②③ D．①③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查一次函数的应用，由图象所给数据可求得甲、乙两车离开A城的距离y与时间t的关系式，可求得两函数图象的交点，进而判断，再令两函数解析式的差为50，可求得t，可得出答案．掌握一次函数图象的意义是解题的关键，学会构建一次函数，利用方程组求两个函数的交点坐标，属于中考常考题型． 【详解】解：图象可知、两城市之间的距离为，甲行驶的时间为小时，而乙是在甲出发小时后出发的，且用时小时，即比甲早到小时，故①②都正确； 设甲车离开城的距离与的关系式为， 把代入可求得， ， 设乙车离开城的距离与的关系式为， 把和代入可得，解得， ， 令可得：，解得， 即甲、乙两直线的交点横坐标为， 此时乙出发时间为小时，即乙车出发小时后追上甲车，故③正确； 当乙车没出发前，，解得； 当乙车出发后且没有追上甲，则，解得； 当乙追上甲后，令， 解得， 当乙到达目的地，甲自己行走时，， 解得， ∴综上所述，甲乙两车相距50千米时，或或或．故④错误； 综上可知正确的有①②③． 故选：C． 20．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）在平面直角坐标系中，一次函数和，无论x取何值，始终有，m的取值范围为（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键；由于无论x取何值始终有，且和均为一次函数，故两直线必须平行，得到，再根据恒成立求m的取值范围即可． 【详解】解：∵，， 且无论x取何值始终有， ∴两直线平行，即， ∴， ∵恒成立， ∴，解得， 又∵， ∴且； 故选：D． 21．（25-26八年级下·北京·期中）一次函数的图象如图所示．当时，x的取值范围是________．当时，y的取值范围是________． 【答案】 【分析】依据题意，由函数的图象，可以得到该函数时x的值和时的值，结合图象即可求解． 【详解】解：根据函数图象可知，时，，时，， 则当时，x的取值范围是；当时，y的取值范围是． 22．（25-26八年级下·北京·期中）已知点，点在直线上，则m______n（填“>”“<”或“=”）． 【答案】< 【分析】先根据一次项系数判断函数的增减性，再结合两点横坐标的大小关系即可比较纵坐标的大小． 【详解】解：∵直线中，一次项系数． ∴y随x的增大而增大． 又∵点，点在直线上，且， ∴． 23．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）在平面直角坐标系中，有两点、和一条直线， （1）直线恒过的定点坐标是___________； （2）若直线与线段有且只有一个交点，则的取值范围是______________． 【答案】 ； 【分析】本题考查一次函数的定点问题以及一次函数与线段的交点问题，关键在于掌握恒过定点的求法，以及通过计算直线经过线段端点时的值来确定的取值范围． （1）对于直线，令含的项的系数为0，即可求出恒过的定点坐标； （2）先分别求出直线经过线段的两个端点、时的值，再结合定点与线段的位置关系，确定直线与线段有且只有一个交点时的取值范围． 【详解】（1）解：对于直线，当时，无论取何值，， ∴直线恒过的定点坐标是； 故答案为：． （2）解：当直线经过点时，将，代入， 得，解得； 当直线经过点时，将，代入， 得，解得； ∵直线恒过定点， ∴结合线段的位置可知，当直线的系数满足时，直线与线段有且只有一个交点． 故答案为：． 24．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）已知：在同一个平面直角坐标系中，一次函数和一次函数，若的图象经过点． （1）k与b之间的数量关系是______（用含k的代数式表示b）． （2）当时，都成立，则k的取值范围是______． 【答案】 且 【分析】本题考查求代入法求一次函数得参数关系式，确定不等式成立的条件； （1）将点代入一次函数解析式即可得到b与k的关系； （2）当时，都成立即．令，则需满足且，据此列不等式求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过点， ∴，即． （2）解：∵当时，都成立， ∴，即， 令，则需满足且即可， ，解得， ，解得， ∴且． 25．如图，直线的解析式为分别与，轴交于，两点，点的坐标为，过点的直线交轴负半轴于点，且．在轴上方存在点，使以点，，为顶点的三角形与全等，则点的坐标为_______． 【答案】或 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，涉及到三角形全等、平行线的性质、勾股定理的运用等，并注意分类求解，题目难度较大． 求出、点，分平行x轴、不平行x轴两种情况，作出图形，结合图形分别求解即可． 【详解】解：将点的坐标代入函数表达式得：， 解得：， 故直线的表达式为：， ∴点， ∴， ∵， ∴， 即点； ①如图，当平行x轴时， 点，，为顶点的三角形与全等，则四边形为平行四边形， 则，则点， ②当不平行x轴时，如下图所示，，    ∵， ∴， ∴， ∴轴，且， ∴， 故答案为：或． 26．（2026八年级下·北京西城·期中）在平面直角坐标系中，将直线平移，使其经过点，平移后的函数表达式变为． (1)求和的值； (2)当时，对于的每一个值，函数（为常数且）的值都大于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2)且 【分析】（1）先根据直线平移时的值不变得出的值，再将点的坐标代入直线解析式中求出的值； （2）先求出当时，对应的值，再将点的坐标代入函数中，求得对应的的值，然后结合图象即可求得． 【详解】（1）解：将直线平移，平移后的函数表达式变为， ， ， 将点代入得， ，解得； （2）解：由（1）可知，一次函数的解析式为， 当时，， 将点代入中得， ，解得， 当时，对于的每一个值，函数（为常数且）的值都大于函数的值， 的取值范围为且． 27．（25-26八年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点． (1)求k，b的值； (2)当时，对于x的每一个值，函数的图象既与的图象有交点，也与函数的图象有交点，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用待定系数法求解一次函数解析式即可； （2）作出函数图象，根据函数图象解答即可． 【详解】（1）解：由题意，将代入得：， 解得：， 将，，代入函数中， 得：， 解得：， ∴； （2）解：∵， ∴两个一次函数的解析式分别为， 根据题意，当时，对于x的每一个值，函数的图象既与的图象有交点，也与函数的图象有交点， 即函数的图象与下图中的两函数构成的实线图象有两个交点， 当函数的图象与的图象平行时，，此时为， 当函数的图象与的图象平行时，，此时为， 由图可知，当函数在与所夹的上下区间时，满足当时，对于x的每一个值，函数的图象既与的图象有交点，也与函数的图象有交点， 则可知或． ∴m的取值范围为或． 28．（25-26八年级下·北京·期中）已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点． (1)求点、的坐标； (2)当取何值时，函数值满足？ (3)结合图象，求方程的解，并直接写出不等式的解集． 【答案】(1)点； (2)当时， (3)； 【详解】（1）解：令，则，解得， ∴ 点； 令，则， ∴ 点； （2）解：解不等式： 由， 即 解(1)得：； 解(2)得：． ∴ 当时，； （3）解：如图， 由图可知： 方程的解为； 不等式的解集为． 29．（2026·北京·一模）某食品厂研究两种天然防腐剂（添加剂A和添加剂B）对面包保质期的影响．添加剂A的效果在一定浓度范围内随浓度增加而提高，但超过最佳浓度后，由于副作用等原因，保质期反而下降．添加剂B的作用机理不同，通过实验发现，在测试浓度范围内，其保质期与浓度c之间近似满足稳定的线性增长关系：．在固定工艺下，改变添加剂A的添加浓度c（单位：），测得面包的保质期（单位：天）数据如下： 添加剂浓度 0 20 40 60 80 100 120 保质期（天） 3 4 7 10 9 7 4 (1)以添加剂浓度c为横坐标，保质期d为纵坐标，在下面给定的平面直角坐标系中，分别画出，的图象； (2)①若要求面包保质期至少为8天，且希望使用添加剂的浓度尽可能低，则选择添加剂________（A或B）． ②当添加剂浓度相同时，添加剂A的保质期至少比添加剂B的保质期多2天，则浓度c的取值范围是________． (3)工厂分析发现，面包，每增加添加剂，成本增加元；若面包从生产到售出的时间为7天，当保质期不足7天时，每减少1天会造成1元的损失．当添加剂A浓度为时，面包的额外成本（添加剂成本与损失之和）为________元． 【答案】(1)见详解 (2)①A；② (3)4 【分析】（1）根据表格数据和函数解析式画图即可． （2）根据题意，当时，，当时，，根据图象可得，当时，，即可求解． （3）根据“额外成本添加剂成本损失”求解即可． 【详解】（1）解：，的图象如图． 令，则，令，则，则过，画图如下： （2）解：①对添加剂A：根据图象可得​在时，，即可达到； 对添加剂B：令，解得， 因此A满足要求的浓度更低，选添加剂A． ②根据题意， 当时，， 当时，， 根据图象可得，当时，， 因此的范围是． （3）解：根据题意可得：额外成本添加剂成本损失， 添加剂成本：浓度，每增加元， 因此成本为元； 损失：当添加剂A浓度为时，保质期天， 比要求的7天少天，损失元； 总额外成本：元． 30．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点，与正比例函数的图象交于点，点的纵坐标为． (1)求的值； (2)当时，请根据图象直接写出的取值范围； (3)已知点是轴上一点，当以A，O，D为顶点的三角形是直角三角形时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）由求出，把代入即可得b的值； （2）由数形结合思想直接可得，当时，x的取值范围是； （3）设点D的坐标为，根据，，得出，，，分两种情况：当时，当时，分别根据勾股定理，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：在中，令，得， 解得：， ∴， 把代入得：， 解得：， 即b的值是； （2）解：由图像可得：当时，就是在图象下方，且两个图象都在x轴的下方，x的取值范围，即； （3）解：设点D的坐标为， ∵，， ∴， ， ， ∵， ∴点不可能为直角顶点； 当时，， ∴， 解得：， 此时点D的坐标为； 当时，， ∴， 整理得：， 即， ， 开平方得：， 解得：或（舍去）， 此时点D的坐标为； 综上，点D的坐标为或． 【点睛】本题考查两条直线相交的问题，两点间距离公式，勾股定理，利用平方根解方程，理解数形结合是解题的关键． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 31．（24-25八年级上·重庆·期中）如图，将直线向右平移个单位后得到直线，直线与直线：交于点，直线，分别交轴于点，，则的面积为（    ） A． B．5 C． D．7 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象平移问题，求直线围成的图形面积，两直线的交点与二元一次方程组的解等知识．先求得直线的解析式，再分别求出点，，的坐标，从而可求得的面积． 【详解】解：∵将直线向右平移个单位后得到直线， ∴直线的解析式为， 即直线的解析式为， ，解得：， ∵直线与直线：交于点， ∴， ， 当时，，解得：， ， 当时，，解得：， ∵直线，分别交轴于点，， ∴，， ∴， ∴的面积为． 故选：A． 32．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）已知平面直角坐标系中有三点，若直线将分成面积之比为两部分，则的值是（   ） A．2 B．2或 C．2或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了求一次函数解析式，一次函数与几何综合，求直线围成的图形面积等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 直线恒过点，与x轴交于点D，将分成两个小三角形，点D一定在线段上，分、两种情况求解，分别求出k的值． 【详解】解：设过点C的直线与x轴交于点D， ∵，， ∴， 当点为原点时，如图， ∵，， ∴，， ∴，符合要求， 此时直线过原点， ∴， 解得：； 当点在时，如图， 此时，， ∴，符合要求， 此时直线过和， ∴， ∴， 综上，k的值是或， 故选：D． 33．（25-26九年级上·北京通州·期中）在平面直角坐标系中，，，下面有四种说法： ①当时，一次函数的图象与线段有公共点； ②x轴上存在一点C使得； ③当时，一次函数的图象与线段有公共点； ④当，时，一次函数的图象与线段有公共点． 上述说法中正确的是______（填序号）． 【答案】①③/③① 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质．根据一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质即可判断． 【详解】解：①当代入，得到， 一次函数的图象交轴于点， ， 当时，，代入，得到，那么此时一次函数的图象与线段有公共点，其交点为； 当时，，代入，得到，那么此时一次函数的图象与线段有公共点，其交点为； 那么当时，一次函数的图象与线段有公共点，其交点在线段上（不含，）， 如图所示： 故①说法正确； ②设点在轴上，即， ∵水平，长度， 点到直线（）的距离为， ∴， ∴面积恒为，不可能为，故②错误； ③当时，一次函数 当时，；当时，； 那么一次函数一定过，， ， 那么当时，，当代入，得到，此时交线段于点， 当时，，代入，得到，此时交线段于点， 画出图象，如下图所示： 可知当时，一次函数的图象与线段有公共点；故③正确； ④当时， 不妨设，那么一次函数． 当时，； 当时，，如图所示： 那么一次函数的图象与线段没有公共点．故④错误； 故答案为：①③ 34．（24-25八年级上·北京·期末）已知一次函数，当取不同的值时，会得到不同的直线，这些直线都经过一个定点C，此定点C的坐标为________；若坐标系中两点，，一次函数的图象与线段有交点，则的取值范围是________． 【答案】 且 【分析】把代入得：，即可确定定点坐标；把A点和B点坐标分别代入计算出对应的k的值，然后利用一次函数图象与系数的关系确定k的范围． 【详解】解：把代入得：， ∴无论k取何值，该函数的图象总经过定点C的坐标为； 把代入得，解得， 把代入得，解得， ∵的图象总经过定点C的坐标为， ∴一次函数的图象与线段有交点时，k的取值范围为且． 故答案为：；且． 【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是运用数形结合的思想进行转化解题． 35．（25-26九年级上·北京海淀·自主招生）一次函数的图象与线段有交点，已知，，则的取值范围是__________． 【答案】或且 【分析】本题考查一次函数的定义，图象和性质，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 根据一次函数的定义，可得，再根据直线恒过定点，分别求出直线经过点和点时的值，结合直线与线段的位置关系可得的取值范围． 【详解】解：一次函数，， 直线可变形为，故恒过定点， 将点代入直线方程，得，即，解得， 将点代入直线方程，得，即，解得， 由于定点不在线段上，且直线与线段有交点，则或； 故答案为：或且． 36．（25-26八年级下·全国·期中）若一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点，且图象不经过第四象限，则点A的坐标为________________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键． 由点在轴上，代入函数解析式求得的值，再根据图象不经过第四象限的条件确定的值，最后求轴交点坐标． 【详解】解：∵函数图象与轴交于点， ∴当时，， 解得或． 当时，，一次函数过第一、二、三象限，图象不经过第四象限，符合题意； 当时，，一次函数过第一、二、四象限，图象经过第四象限，不符合题意； 故，一次函数解析式为， 令，得， 解得． ∴点坐标为． 故答案为：． 37．（25-26八年级上·安徽宿州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于点，，点C为x轴正半轴上一点，连接，将沿所在直线折叠，点B恰好与y轴上的点D重合． (1)求直线对应的函数表达式； (2)求的长； (3)P为直线上一点，，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了一次函数表达式的求解，勾股定理的应用及三角形面积公式的运用． （1）利用待定系数法，将直线所过的两个点的坐标代入一次函数表达式，求解出函数表达式； （2）先根据勾股定理求出的长度，再利用折叠的性质得到相关线段的长度关系，通过设未知数，根据勾股定理列出方程求解的长； （3）设出点P的坐标，根据三角形面积公式列出方程，求解得到点P的坐标． 【详解】（1）解：设直线对应的函数表达式为：， ∵直线交坐标轴于点，， ∴， 解得：， ∴直线对应的函数表达式为：． （2）解：由题意可知：，，， ∴， ∵将沿所在直线折叠，点B恰好与y轴上的点D重合， ，， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， 解得， 即． （3）解：∵P在直线上， ∴设， ∵， ∴， 解得或， ①当时，， ②当时，， ∴或． 38．河南水果特产资源丰富，诸如灵宝苹果、孟津葡萄、西峡猕猴桃、荥阳柿子……数不胜数，某电商对甲、乙两种河南特产精品水果进行销售，若销售甲种水果千克，乙种水果千克，共收入元；若销售甲种水果千克，乙种水果千克，共收入元．若顾客在限定时间内拍下甲种水果超过千克，则超过部分的价格打八折，乙种水果的销售价格不变，设电商销售甲种水果千克，甲种水果的销售额（元）与（千克）之间的函数关系如图所示． (1)求的值； (2)若电商计划在限定时间内销售甲、乙两种水果共千克，且甲种水果不少于千克，但又不超过千克，如何分配甲、乙两种水果的销售量，才能使电商的销售额达到最大？最大值为多少？ 【答案】(1) (2)电商销售甲种水果千克，乙种水果千克时销售额达到最大；最大销售额为元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用． (1)设甲种水果打折前的售价元/千克，乙种水果的售价为元/千克，列二元一次方程组求出即为甲种水果打折前的售价，根据销售额单价销量即可求出； (2)设甲种水果销售千克，则乙种水果销售千克，销售额为元，根据销售额单价销量可得，利用一次函数的性质求出销售额的最大值． 【详解】（1）解：设甲种水果打折前的售价元/千克，乙种水果的售价为元/千克， 根据题意得：， 解得：， ；   （2）解：设甲种水果销售千克，则乙种水果销售千克，销售额为元， 当时， ； 则， ， 随的增大而增大， 当时，有最大值，, 此时(千克)， 答：电商销售甲种水果千克，乙种水果千克时销售额达到最大．最大销售额为元. 39．（25-26八年级上·四川成都·期末）如图，已知直线与轴交于点，直线与轴，轴分别交于点和点，且两直线交于点点坐标为． (1)求的值． (2)在轴上是否存在一点，使得与面积相等？若存在，请求出的坐标；若不存在，请说明理由． (3)直线上是否存在点，使得．若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题考查了一次函数与几何图形综合，待定系数法求一次函数解析式，全等三角形的性质与判定． （1）将代入，得出，再代入，即可求解； （2）由（1）可得的解析式为，进而求得，设交轴于点，得出，进而求得面积为，根据与面积相等得出，即可求解； （3）根据，将绕点逆时针旋转得到，得到等腰直角三角形，连接，过点作轴，过点作交于点，过点作交于，则为的交点，证明，求出，直线与直线的交点为；点关于点的对称点，则直线与直线的交点为另一个． 【详解】（1）解：依题意，将代入，得 ∴ 将代入得， 解得：； （2）解：由（1）可得的解析式为， 当时，，解得： ∴ 如图，设交轴于点， 当时，， ∴ ∴ ∵直线与轴交于点， 当时，，则 ∴， ∴ ∵， ∴ ∵与面积相等 ∴ 解得： ∵ ∴或 （3）存在点，使得，理由如下； 将绕点逆时针旋转得到，连接，过点作轴，过点作交于点，过点作交于，则是等腰直角三角形， ∴为的交点 ，， ， ， ， ， ， ，， ， 直线与轴交于点 当时，，解得 设直线的解析式为，代入得 解得： 直线的解析式为， ， 同理可得直线的解析式为， 解得： 设关于的对称点为， 的中点为， 即 同理可得直线的解析式为 解得： ∴ 综上所述，或 40．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的全等模型． 【模型学习】如图1，已知在中，，直线EF经过点A，于点E，于点F．易证：． （1）如图2，平面直角坐标系中，点B的坐标为，求直线的函数关系式； 【类比探究】 （2）如图3，一次函数的图象分别交x轴和y轴于M、N两点，点D坐标为． ①连接，则_____； ②点P在直线上，连接，当与直线的夹角为时，求出点P的坐标； 【拓展探究】 （3）在（2）的条件下，若一次函数的图象与直线相交所夹锐角大于，请直接写出k的取值范围． 【答案】（1）；（2）①90，②或；（3）且 【分析】本题考查一次函数与几何的综合，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． (1)过点A作轴于D，过点B作轴于E，推导出，得到，求出，设直线的函数关系式为，求出直线的函数关系式为，即可解答； (2)①推导出，，在x轴上取点过点F作轴，交于E，求出，得到，继而证明，得到推导出，则即可解答； ②先证明，连接，推导出是等腰直角三角形，得到，则点P与点E重合时，与直线的夹角为，得到；当点P在x轴下方时，过点P作轴于G，推导出是等腰直角三角形，得到进而证明，得到，则得到，即可解答； (3)先求出直线的函数关系式为，直线的函数关系式为，推导出直线必定经过点，过点Q分别作和的平行线，交y轴于，求出或，由一次函数的图象与直线相交所夹锐角大于，得到，求出直线的解析式为，得到，则且，，即可解答． 【详解】解：(1)过点A作轴于D，过点B作轴于E，如图， 则， ， ， ， ， ， ， 点B的坐标为， ， ， ， 设直线的函数关系式为，则 解得： 直线的函数关系式为； (2)①当时， ， 解得：， ， 当时， ， ， ∴在x轴上取点过点F作轴，交于E，如图， 则， 当时， ， ∴， ∴， ∵D坐标为， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴ ∵， ∴，即 故答案为：90； ②由①知， ∴， 连接，如图， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴点P与点E重合时，与直线的夹角为，则； 当点P在x轴下方时，过点P作轴于G， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴ ∴，且点P在直线上； 综上所述，点P的坐标为或； (3)由(2)知， 同理可得，直线的函数关系式为，直线的函数关系式为， ∵，且 ∴当时， ， ∴直线必定经过点，如图， 过点Q分别作和的平行线，交y轴于， ∴或， ∵一次函数的图象与直线相交所夹锐角大于， ∴． 设直线的解析式为， 将分别代入，得 ， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，一次函数的图象与直线平行，此时一次函数的图象与直线垂直，不符合题意， ∴， 综上所述，且，． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $