命题大赛 江西省2025-2026学年高一数学下学期期末模拟卷

**基本信息** 高一数学期末模拟卷立足北师大版必修二，原创题占比高，结合大运会射箭图标等真实情境，通过分层设计考查空间观念、运算能力与模型观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|复数、立体几何、向量、三角函数|原创题（如复数象限判断）结合改编题（大运会射箭图标弓形面积计算），考查直观想象| |填空题|3题/15分|三角恒等变换、向量数量积、解三角形|基础巩固，如向量夹角与模的计算| |解答题|5题/77分|向量运算、三角函数图像、立体几何（四棱锥）、复数几何意义|综合性强，如四棱锥证明与空间角计算（空间观念），复数三角形式应用（创新意识）|

2025-2026学年高一数学下学期期末模拟卷 参考答案与解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 B A C B B D C D ABC BD AC 1．B 【解析】，复数所对应的点为，即位于第二象限． 故选B. 2．A 【解析】由“”，则“平面内任一条直线与平行”，即充分性成立， 反之：若“内有无数条直线与平行”，可得平面与平面平行或相交，即必要性不成立； 所以 “”是“内至少有一条直线与平行”的充分不必要条件. 故选A. 3．C 【解析】在△中，，则， 又为中点， 则 . 故选C. 4．B 【解析】如图所示，设扇形所在圆的半径为， 则弦长的一半为，弦的中点到圆心的距离为， 根据勾股定理得，整理得，解得， 设扇形所对的圆心角为，因为弦长为， 在直角中，可得，所以，即. 所以扇形的面积为， 三角形的面积为， 所以弓形的面积为. 故选B. 5．B 【解析】如图所示:过作，易知.    由余弦定理有： ． 所以直观图的周长为． 故选B. 6．D 【解析】因为， 如图所示，在中，，, 由正弦定理可得， 则， 在中，. 故选：D． 7．C 【解析】如图，，分别过点作轴的垂线，与过点的轴的垂线交于点， 由对称性可知，阴影部分的面积等于矩形的面积，即， 解得，函数的最小正周期为，故A正确； 由，解得，又函数过点，则，即， ，，则， 又为最小值， 所以为函数的一条对称轴，故B正确； 因， 则要得到该函数的图象，需将函数向右平移个单位长度，故C错误； 因，， 而在上单调递增，故函数在区间上单调递增，故D正确． 故选C. 8．D 【解析】因为分别表示与方向上的单位向量， 所以向量所在直线与的平分线重合， 又，即与垂直， 由三线合一可知，， 如图，取的中点，连接，则⊥， 又， 其中， 所以，，故， 以为坐标原点，建立直角坐标系， 则，， ，设， ， ， ， 当时 的最小值为，故的最小值为. 故选D. 9．ABC 【解析】对于A，由，，若，则；若，也满足条件，故或，A正确. 对于B，由，，可得，B正确. 对于C，由，，结合面面平行的传递性，且互不相同，故，C正确. 对于D，由，，可知为两平面的公共点，故是过的直线，而非点，D错误. 故选ABC. 10．BD 【解析】因为复数是关于x的实系数方程在复数范围内的一个根， 可得方程的另外一个根， 对于A中，复数的虚部为，所以A不正确； 对于B中，由复数，，所以B正确； 对于C中，由，所以C不正确； 对于D中，由实系数的一元二次方程的韦达定理，可得， 解得，所以，所以D正确. 故选：BD. 11．AC 【解析】A选项，因为，且，所以平面，则，所以是直角三角形， 又因为，，所以，所以A选项正确； B选项，由A选项分析得，又因为，，所以是直角三角形， 又因为，，所以，所以是直角三角形， 分别作和的中点和，则，因为是直角三角形， 所以，同理可得， 则点即为三棱锥外接球的球心，且外接球半径为， 所以外接球表面积，所以B选项错误； C选项， ， 又因为直线与直线所成的角范围是，所以夹角为，所以C选项正确； D选项，如图所示，分别作，， 则异面直线和的夹角即为平面与平面的夹角， 由三角形面积公式可得，所以， 同理可得，则, 而， 而， 其中，， ，， 所以， 所以，即平面与平面的夹角为，所以D选项错误. 故选AC. 12． 【解析】因为，所以. 故答案为：. 13． 【解析】由题可知：不为零向量，， 化简为，所以，恒成立， 所以，则. 故答案为：. 14． 【解析】由正弦定理得，. 设 ，则，，解得，，. 由余弦定理得， 又，则.    所以，解得. 因为是的平分线，所以，， 所以， 又，所以. 又， 所以，即，解得. 故答案为：. 15．【解析】（1）因为，，，（2分） 则，所以.（6分） （2）若向量与相互垂直， 则，（10分） 即，解得.（15分） 16．【解析】（1）因为点在单位圆上且横坐标为，所以，（1分） 因为，所以，（2分） 所以，，（4分） 所以.（7分） （2）因为，，所以①，（9分） 由，得，（11分） 所以， 因为，所以，所以②，（13分） 联立①②得，，，（14分） 所以.（15分） 17．【解析】（1），根据正弦定理可知，， 即，（2分） 因为， 所以，即；（6分） （2）若选择①，，，则，（8分） 因为，则，（9分） 根据余弦定理，即，得，（11分） 则，所以， 所以条件①符合要求；（15分） 若选择③，，，且， 所以，（8分） 则，则，（12分） 所以，故条件③符合要求.（15分） 若选择②，该小题不得分. 条件②不符合，要求理由如下：，则，且， 若为锐角，则，， ， 若为钝角，则，， ， 根据正弦定理，因为有2个值，所以也有2个值， 则三角形的面积也有2个值，故条件②不符合要求. 18．【解析】（1）证明：取棱的中点，连接， 因为为等边三角形，所以，（2分） 因为平面平面，平面平面，平面，所以平面， 又平面，所以，（2分） 又，，，平面，所以平面.（5分） （2）连接，由（1）中平面，所以为直线与平面所成的角.（6分） 因为为等边三角形，，且为的中点，所以，（8分） 又，在中，， 所以直线与平面所成角的正弦值为.（10分） （3）取中点，连接，， 在中，， 因为平面，又平面，所以， 在中，，所以，所以， 又点为中点，所以， 同理，所以为二面角的平面角，（12分） 设， 在中，， 在中，， 在中，，，， 由余弦定理可得，即， 化简得到，解得或（舍去），（16分） 即线段上存在一点，使得二面角平面角的余弦值为，此时．（17分） 19．【解析】（1）连接，因为四边形，， 所以，又，所以，即， 因为，    所以，（2分） ， 所以，.（4分） （2）设，， 则， 设对应的复数为，则.（6分） （ⅰ）设对应的复数为， 则，（7分） 设对应的复数为，所以，    所以， 由已知可得，（8分） 所以， 又，所以，所以. （10分） （ⅱ）设对应的复数为， 所以 ， 所以，（11分） 又，，， 所以， 整理得：， 即， 所以，（15分） 又，所以， 所以的范围为.（17分） 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版必修第二册。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（原创）已知复数满足，其中为虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（原创）设，是两个不同的平面，则“”是“内有无数条直线与平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（原创）在△中，，为中点，设，，则（    ） A． B． C． D． 4．（改编）第31届世界大学生夏季运动会的官方体育图标是十八墨宝，射箭项目体育图标为水墨熊猫（如图所示），它是以真实的射箭运动为原型，拉满弓箭时，弓臂为圆弧形，弧中点到弦中点的距离为，弦长为，则弓形的面积为（    ）. A． B． C． D． 5．（原创）已知正三角形的边长为，则其水平放置的直观图的面积为（     ） A． B． C． D． 6．某人在点观察河对岸的建筑物（在同一水平面上，在同一铅垂线上），已知在点观察建筑物上的点和点的仰角分别为和，，则（    ） A． B． C． D． 7．已知函数的部分图象如图所示，且阴影部分的面积为，则下列说法错误的是（     ） A．函数的最小正周期为 B．为函数的一个对称轴 C．要得到函数，需将函数向右平移个单位长度 D．函数在区间上单调递增 8．已知非零向量与满足，且，，点是的边上的动点，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知为空间中一点，，，为互不相同的直线，，，为互不相同的平面，则下列命题中正确的是（    ） A．，或 B．若，，则 C．， D．， 10．（改编）已知复数（是虚数单位）是关于x的实系数方程在复数范围内的一个根，是另外一个根，是则下列正确的是（   ） A．的虚部为 B． C．是纯虚数 D． 11．在矩形 中， ，将沿折起，使点到达点的位置，得到三棱锥 . 若，则（   ） A． B．三棱锥外接球的表面积为 C．直线与直线所成的角为 D．平面与平面的夹角为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（原创）已知，则的值为_______； 13．已知向量与的夹角为，，若，，则________. 14．在中，若，是的平分线，，则的长为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知，，与的夹角为. (1)求； (2)若向量与相互垂直，求实数的值. 16．（15分）如图，在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边、分别与单位圆交于两点，，，．    (1)若的横坐标为，求的值； (2)若，求的值． 17．（15分）在中，角，，的对边分别为，，，且． (1)求的值； (2)若，从下列三个条件中选出一个条件作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积． 条件①：；条件②：；条件③：的周长为9． 注：若选择条件不合要求，本小题得0分；若选择多个条件，按所选第一个条件计入． 18．（17分）如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面平面，，，，， (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)线段上是否存在一点，使得二面角的平面角的余弦值为．若存在，求出值；若不存在，请说明理由． 19．（17分）我们知道复数有三角形式，其中为复数的模，为辐角主值.由复数的三角形式可得出，若，，则. 其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍. 已知在复平面的上半平面内有一个菱形，其边长为，，点所对应的复数分别为，，. (1)若，求出，； (2)如图，若，以为边作正方形. （ⅰ）若在下方，是否存在复数使得长度为，若存在，求出复数；若不存在，说明理由； （ⅱ）若在上方，且向量，求证：. 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版必修第二册。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（原创）已知复数满足，其中为虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（原创）设，是两个不同的平面，则“”是“内有无数条直线与平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（原创）在△中，，为中点，设，，则（    ） A． B． C． D． 4．（改编）第31届世界大学生夏季运动会的官方体育图标是十八墨宝，射箭项目体育图标为水墨熊猫（如图所示），它是以真实的射箭运动为原型，拉满弓箭时，弓臂为圆弧形，弧中点到弦中点的距离为，弦长为，则弓形的面积为（    ）. A． B． C． D． 5．（原创）已知正三角形的边长为，则其水平放置的直观图的面积为（     ） A． B． C． D． 6．某人在点观察河对岸的建筑物（在同一水平面上，在同一铅垂线上），已知在点观察建筑物上的点和点的仰角分别为和，，则（    ） A． B． C． D． 7．已知函数的部分图象如图所示，且阴影部分的面积为，则下列说法错误的是（     ） A．函数的最小正周期为 B．为函数的一个对称轴 C．要得到函数，需将函数向右平移个单位长度 D．函数在区间上单调递增 8．已知非零向量与满足，且，，点是的边上的动点，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知为空间中一点，，，为互不相同的直线，，，为互不相同的平面，则下列命题中正确的是（    ） A．，或 B．若，，则 C．， D．， 10．（改编）已知复数（是虚数单位）是关于x的实系数方程在复数范围内的一个根，是另外一个根，是则下列正确的是（   ） A．的虚部为 B． C．是纯虚数 D． 11．在矩形 中， ，将沿折起，使点到达点的位置，得到三棱锥 . 若，则（   ） A． B．三棱锥外接球的表面积为 C．直线与直线所成的角为 D．平面与平面的夹角为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（原创）已知，则的值为_______； 13．已知向量与的夹角为，，若，，则________. 14．在中，若，是的平分线，，则的长为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知，，与的夹角为. (1)求； (2)若向量与相互垂直，求实数的值. 16．（15分）如图，在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边、分别与单位圆交于两点，，，．    (1)若的横坐标为，求的值； (2)若，求的值． 17．（15分）在中，角，，的对边分别为，，，且． (1)求的值； (2)若，从下列三个条件中选出一个条件作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积． 条件①：；条件②：；条件③：的周长为9． 注：若选择条件不合要求，本小题得0分；若选择多个条件，按所选第一个条件计入． 18．（17分）如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面平面，，，，， (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)线段上是否存在一点，使得二面角的平面角的余弦值为．若存在，求出值；若不存在，请说明理由． 19．（17分）我们知道复数有三角形式，其中为复数的模，为辐角主值.由复数的三角形式可得出，若，，则. 其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍. 已知在复平面的上半平面内有一个菱形，其边长为，，点所对应的复数分别为，，. (1)若，求出，； (2)如图，若，以为边作正方形. （ⅰ）若在下方，是否存在复数使得长度为，若存在，求出复数；若不存在，说明理由； （ⅱ）若在上方，且向量，求证：. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期期末模拟卷 细目表分析 题号 难度系数 详细知识点 一、单选题 1 0.85 复数的四则运算；判断复数对应的点所在的象限 2 0.85 判断命题的充分、必要条件；面面关系有关命题的判断 3 0.85 平面向量的线性运算 4 0.80 扇形弧长公式与面积公式的应用 5 0.75 斜二测画法中有关量的计算 6 0.70 高度测量问题；正弦定理解三角形 7 0.65 由图象确定正（余）弦型函数解析式；sinx型三角函数的性质 8 0.42 平面向量数量积的综合应用 二、多选题 9 0.80 线面、面面关系有关命题的判断 10 0.65 复数范围内方程的根；复数的有关概念 11 0.65 球的表面积的有关计算；多面体与球体内切外接问题；求异面直线所成的角 三、填空题 12 0.85 正、余弦齐次式的计算 13 0.65 数量积的运算律；平面向量综合 14 0.45 三角形面积公式及其应用；正、余弦定理解三角形；二倍角的余弦公式 四、解答题 15 0.82 已知数量积求模；垂直关系的向量表示；用定义求向量的数量积 16 0.65 由终边或终边上的点求三角函数值；三角函数的化简、求值 17 0.63 用和、差角的正弦公式化简、求值；正、余弦定理解三角形 18 0.52 由二面角大小求线段长度或距离；求线面角；证明线面垂直 19 0.40 复数的坐标表示；求复数的模；复数的三角表示 学科网（北京）股份有限公司 $