精品解析：贵州遵义仁怀市周林学校2026年春季本校自主练习（4）九年级数学

2026年春季本校九年级自主练习4 数学 （全卷总分：150分 考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答题前，务必将自己的班级、姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上； 2．答题时，一律用2B铅笔或黑色签字笔将答案填涂或填写在答题卡规定的位置上； 3．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效； 4．考试结束，将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 中国是历史上最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若收入元记作元，则支出 元记作（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 2. 下列几何体中，三视图相同的是（ ） A. B. C. D. 3. 世界上最轻的动物是一种单细胞的原生动物，直径约为米，用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，公路，互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则，两点间的距离是（ ） A. B. C. D. 5. 2025年9月28日，国内首个无人机夜间配送服务落地深圳．如图，若无人机在某次投送点的中心位置位于图中阴影部分，则中心位置的坐标可能是（ ） A. B. C. D. 6. 已知是关于，的二元一次方程的解，则的值为（ ） A. B. 1 C. 7 D. 9 7. 某区为了解初中生体质健康水平，在全区进行初中生体质健康的随机抽测，结果如下表，根据抽测结果，估计该区初中生体质健康合格的概率是（ ） 累计抽测的学生人数n 100 200 500 1000 2000 5000 体质健康合格的学生人数与n的比值 A. B. C. D. 8. 式子在实数范围内无意义，则的值可能是（ ） A. B. C. 1 D. 6 9. 如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，由得到，判断这两个三角形全等的依据是（ ）． A. B. C. D. 10. 一辆公共汽车从车站开出，加速行驶一段时间后开始匀速行驶．过了一段时间，汽车到达下一车站．乘客上、下车后汽车开始加速，一段时间后又开始匀速行驶．下图中近似地刻画出汽车在这段时间内的速度变化情况的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，、、、、、、均在方格纸的格点上，将点与、、、中一点连接，交线段于点，若使点能够把线段分成两部分，则这个点可以是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，直线与双曲线交于A，B两点，轴于C，连结交y轴于D，下列结论：①A，B关于原点对称；②的面积为定值；③在的图象上任取点和点，如果，那么；④．其中正确结论的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，请把正确答案填写在答题卡相应位置上．） 13. 比较大小：___________4． 14. “成语”具有结构固定、意义整体、历史悠久等特点，承载着丰富的历史和文化内涵；水中捞月描述的场景为________事件（选填“必然事件”“随机事件”或“不可能事件”）． 15. 方程的解是_______． 16. 如图，在中，，，，为平面内一动点，且，连接，为上一点，，连接，则的最大值为___________． 三、解答题（本大题共9小题，共98分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）先化简，，再从，，0，1，3中选取一个使原式有意义的数代入求值． 18. 如图1，小丽设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：取一根匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点处，并将其吊起．在中点左侧固定位置处悬挂重物，在中点右侧用一个弹簧秤向下拉，直至木杆平衡，改变弹簧秤与点的距离，重复上述步骤，观察弹簧秤的示数的变化情况．实验数据记录如下： （1）把表中，的各组对应值作为点的坐标，在如图2所示的平面直角坐标系中描出相应的点，用平滑的曲线连接这些点并观察所得的图象，求出与之间的函数关系式； （2）当弹簧秤的示数为5N时，弹簧秤与点的距离是多少？在弹簧的弹性限度内，随着弹簧秤与点的距离逐渐减小，弹簧秤的示数将发生怎样的变化？ 19. 某中学为了解学生对新闻、体育、娱乐、动画四类电视节目的喜爱情况，进行了统计调查．随机调查了某班所有同学最喜欢的节目（每名学生必选且只能选择四类节目中的一类）并将调查结果绘成如下不完整的统计图．根据两图提供的信息，回答下列问题： （1）最喜欢娱乐类节目的有 人，图中 ； （2）请补全条形统计图； （3）根据抽样调查结果，若该校有2000名学生，请你估计该校有多少名学生最喜欢娱乐类节目； （4）在全班同学中，有甲、乙、丙、丁等同学最喜欢体育类节目，班主任打算从甲、乙、丙、丁4名同学中选取2人参加学校组织的体育知识竞赛，请用列表法或树状图求同时选中甲、乙两同学的概率． 20. 如图，在四边形中，，，对角线、交于点，平分，过点作交延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形的面积． 21. 机器人是人工智能与机器人技术()的结合体．它不仅仅是能执行重复任务的机械臂，而是具备了“感知、思考、决策、行动”能力的智能体．某公司计划购买A，B两种型号的机器人搬运材料．已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运材料，A型机器人搬运所用时间与B型机器人搬运所用时间相等． （1）求A，B两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料； （2）该公司计划采购 A，B两种型号的机器人共20台，要求每小时搬运材料不得少于，则至少购进A型号AI机器人多少台？ 22. 某市革命英雄纪念碑是该省革命烈士纪念设施保护单位，其建在一定高度的底座（矩形）上，横截面如图所示．某数学小组利用无人机测量纪念碑的高度，测量者在距离底座（）处的点（，在同一水平线上）垂直升起无人机，当无人机升至处，在点测得纪念碑顶端点的仰角为，测得底座点的俯角为．已知底座的高度为，长为． （1）求的长； （2）求纪念碑碑身的高度．（精确到，参考数据：，） 23. 如图，中，，点D在边上，以为直径作交的延长线于点E，且是的切线． （1）______（写出一个与相等的角）； （2）判断的形状，并说明理由； （3）若，，求的半径． 24. 如图，某农场需要用喷水装置灌溉果树．装置的喷头固定在一根竖直立柱顶端，如图，以喷头正下方的地面为原点，竖直向上为轴的正方向，水平方向为轴，建立平面直角坐标系，已知喷头喷出的水流轨迹为抛物线，水流的最高处距离原点的水平距离为，最大竖直高度为，喷头所在位置的竖直高度为． （1）请直接写出水流最高处的坐标：____________． （2）求喷出水流的竖直高度（）与距离原点的水平距离（）之间的函数关系式．（不要求写出自变量的取值范围） （3）为了适配不同高度的果树，工人可以调节喷头的竖直高度，调节的过程中，水流的抛物线轨迹形状和对称轴保持不变．要求水流落地点距离原点的最远水平距离不超过，求喷头高度的最大值． 25. 如图1，将三角板放在正方形上，使三角板的直角顶点与正方形的顶点重合，三角板的一边交于点．另一边交的延长线于点． （1）请直接写出与的数量关系； （2）如图2，移动三角板，使顶点始终在正方形的对角线上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由； （3）如图3，将（2）中的“正方形”改为“矩形”，且使三角板的一边与交于点，与交于点，若，，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春季本校九年级自主练习4 数学 （全卷总分：150分 考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答题前，务必将自己的班级、姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上； 2．答题时，一律用2B铅笔或黑色签字笔将答案填涂或填写在答题卡规定的位置上； 3．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效； 4．考试结束，将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 中国是历史上最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若收入元记作元，则支出 元记作（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】B 【解析】 【分析】正负数表示相反意义的量，收入记为正，则支出记为负． 本题主要考查了正负数的实际应用，熟练掌握正负数表示相反意义的量是解题的关键． 【详解】解：∵收入500元记作元， ∴支出200元记作元． 故选：B． 2. 下列几何体中，三视图相同的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是几何体的三视图，熟练掌握常见立体图形的三视图特征是解题的关键．根据三视图的定义，分别从正面、左面、上面观察几何体，逐一辨析各选项三视图的形状，进而选出三视图全部相同的几何体． 【详解】解：选项（圆柱）：正视图、左视图是矩形，俯视图是圆形，三视图不相同， 选项（球体）：从正面、左面、上面观察，三视图全是大小相等的圆，三视图完全一致， 选项（三棱柱）：正视图、左视图、俯视图轮廓形状不一样，三视图不同， 选项（圆锥）：正视图、左视图是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆，三视图不相同． 故选：． 3. 世界上最轻的动物是一种单细胞的原生动物，直径约为米，用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：． 4. 如图，公路，互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则，两点间的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据题意判断  为直角三角形，再利用斜边中线的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求出 、 两点间的距离． 【详解】解：，   是直角三角形，， 是的中点，， ∴． 5. 2025年9月28日，国内首个无人机夜间配送服务落地深圳．如图，若无人机在某次投送点的中心位置位于图中阴影部分，则中心位置的坐标可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据图形判断出阴影部分所在的象限，再根据各象限内点的坐标特征判断即可． 【详解】解：由图可知，阴影部分位于第四象限，第四象限内点的横坐标为正，纵坐标为负， 观察选项，只有符合． 故选：D． 6. 已知是关于，的二元一次方程的解，则的值为（ ） A. B. 1 C. 7 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】根据二元一次方程解的定义，方程的解能使方程左右两边相等，将已知的代入方程即可计算出的值． 【详解】∵是方程的解， ∴将代入方程得：， ∴． 7. 某区为了解初中生体质健康水平，在全区进行初中生体质健康的随机抽测，结果如下表，根据抽测结果，估计该区初中生体质健康合格的概率是（ ） 累计抽测的学生人数n 100 200 500 1000 2000 5000 体质健康合格的学生人数与n的比值 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查利用频率估算概率，掌握相关知识是解题的关键．根据频率估计概率的原理，当试验次数大量增加时，频率会稳定在概率附近，从表格数据可知，随着抽测人数增加，合格比值稳定在附近，所以该区初中生体质健康合格的概率为． 【详解】解：由表格可知：经过大量重复试验，体质健康合格的学生数与抽测的学生数n的比值稳定在附近， 所以该区初中生体质健康合格的概率为； 故选：A． 8. 式子在实数范围内无意义，则的值可能是（ ） A. B. C. 1 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】二次根式在实数范围内无意义时，被开方数为负数，据此求出x的取值范围，再结合选项判断即可． 【详解】∵式子在实数范围内无意义， ∴由题意得 ， 解得， 观察选项，只有，符合条件， 故选：A． 9. 如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，由得到，判断这两个三角形全等的依据是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查尺规作图与全等三角形的判定， 熟练掌握全等三角形的判定定理是关键． 根据尺规作图的痕迹，判断对应的判定定理即可． 【详解】解：由尺规作图的痕迹可知，，，符合根据判定三角形全等． 故选：C． 10. 一辆公共汽车从车站开出，加速行驶一段时间后开始匀速行驶．过了一段时间，汽车到达下一车站．乘客上、下车后汽车开始加速，一段时间后又开始匀速行驶．下图中近似地刻画出汽车在这段时间内的速度变化情况的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据加速、匀速、减速时、速度随时间的变化情况即可求解． 【详解】解：由题意得： 刚开始加速行驶一段时间，则速度从0开始增加， 然后再匀速行驶，则此段时间速度不再增加， 汽车到达下一车站，则速度匀速减少到0， 乘客上、下车后汽车开始加速，一段时间后又开始匀速行驶，则速度从0开始增加到一定速度后不在增加， 故选B． 【点睛】本题考查了函数的图象，找到速度变化的规律是解题的关键． 11. 如图，、、、、、、均在方格纸的格点上，将点与、、、中一点连接，交线段于点，若使点能够把线段分成两部分，则这个点可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接、、，与交于点P，利用网格特征证明，，利用对应边成比例来判断点分线段的比． 【详解】解：连接、、，与交于点P， 设方格纸的边长为， 由勾股定理得，， 观察网格可知，与均位于小正方形的对角线方向，  ，  ，  ． 即点把线段分成两部分， 同理可证明点与、、中一点连接均不符合条件． 12. 如图，直线与双曲线交于A，B两点，轴于C，连结交y轴于D，下列结论：①A，B关于原点对称；②的面积为定值；③在的图象上任取点和点，如果，那么；④．其中正确结论的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图像和性质，k的几何意义，反比例函数和一次函数的交点． 利用反比例函数图像关于原点对称的性质；时在每一象限内，y随x的增大而减小的性质；k的几何意义即可判断正误． 【详解】①反比例函数的图象与正比例函数的图象若有交点，一定是两个，且关于原点对称，①正确； ②根据A，B关于原点对称，易知即为A点横纵坐标的乘积，为定值1，②正确； ③，对于，在每一象限内，y随x的增大而减小，当P，Q在同一象限内时，如果，那么，当P，Q不在同一象限内时，如果，那么，故③错误； ④在中，和y轴并不垂直，所以面积不会等于，故④错误； 因此正确的是①②， 故选B． 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，请把正确答案填写在答题卡相应位置上．） 13. 比较大小：___________4． 【答案】 【解析】 【分析】两个正数比较大小，可采用平方法，将无理数与整数的大小比较转化为有理数的大小比较，正数平方越大，对应原数越大． 【详解】解：，，， ． 14. “成语”具有结构固定、意义整体、历史悠久等特点，承载着丰富的历史和文化内涵；水中捞月描述的场景为________事件（选填“必然事件”“随机事件”或“不可能事件”）． 【答案】 不可能事件 【解析】 【分析】本题考查事件的分类，在一定条件下，必然发生的事件称为必然事件，必然不发生的事件称为不可能事件，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件，判断“水中捞月”所属的事件类型，即可求解． 【详解】解：水中捞月描述的场景为不可能事件． 15. 方程的解是_______． 【答案】 【解析】 【详解】解： 解得． 16. 如图，在中，，，，为平面内一动点，且，连接，为上一点，，连接，则的最大值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据可得，在上取点使得，利用相似三角形的判定与性质可得，从而求出的长并确定点的轨迹是以为圆心，长为半径的圆，当三点共线且在之间时取得最大值，通过作高利用勾股定理求出的长即可求解． 【详解】解：在上取一点，使得，连接、， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ，  点在以点为圆心，为半径的圆上运动， 当点运动到的延长线上时，取得最大值，最大值为， 过点作于点， 设，则， 在中，， 在中，， ， 解得， ， ， ， ， 在中，， 的最大值为． 三、解答题（本大题共9小题，共98分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）先化简，，再从，，0，1，3中选取一个使原式有意义的数代入求值． 【答案】（1） （2）化简结果为，当时，原式（取值合理即可） 【解析】 【分析】（1）根据绝对值、零指数幂、算术平方根的运算法则计算； （2）先根据分式混合运算法则化简原式，再根据分式有意义的条件选取合适的的值代入计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ， ∵原式有意义， ∴且， 即，且． 只能选或， 当时，原式​， 当时，原式． 18. 如图1，小丽设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：取一根匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点处，并将其吊起．在中点左侧固定位置处悬挂重物，在中点右侧用一个弹簧秤向下拉，直至木杆平衡，改变弹簧秤与点的距离，重复上述步骤，观察弹簧秤的示数的变化情况．实验数据记录如下： （1）把表中，的各组对应值作为点的坐标，在如图2所示的平面直角坐标系中描出相应的点，用平滑的曲线连接这些点并观察所得的图象，求出与之间的函数关系式； （2）当弹簧秤的示数为5N时，弹簧秤与点的距离是多少？在弹簧的弹性限度内，随着弹簧秤与点的距离逐渐减小，弹簧秤的示数将发生怎样的变化？ 【答案】（1） 如图所示： （2）当弹簧秤的示数为时，弹簧秤与O点的距离是，随着弹簧秤与O点的距离逐渐减小，弹簧秤的示数将不断增大． 【解析】 【分析】（1）根据表格数值描点、连线即可画出图形 ，根据图象特点判断出y与x之间的函数关系，最后利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）把代入（1）所得函数解析式即可求出x，根据函数的性质即可判断弹簧秤示数的变化情况； 【小问1详解】 图略 由函数图象可得，y是x的反比例函数，设，把代入得， ， 解得， ∴； 【小问2详解】 解∶把代入，得， 解得， 即当弹簧秤的示数为时，弹簧秤与O点的距离是， ∵，在第一象限内，y的值随着x的值的增大而减小， ∴随着弹簧秤与O点的距离逐渐减小，弹簧秤的示数将不断增大． 19. 某中学为了解学生对新闻、体育、娱乐、动画四类电视节目的喜爱情况，进行了统计调查．随机调查了某班所有同学最喜欢的节目（每名学生必选且只能选择四类节目中的一类）并将调查结果绘成如下不完整的统计图．根据两图提供的信息，回答下列问题： （1）最喜欢娱乐类节目的有 人，图中 ； （2）请补全条形统计图； （3）根据抽样调查结果，若该校有2000名学生，请你估计该校有多少名学生最喜欢娱乐类节目； （4）在全班同学中，有甲、乙、丙、丁等同学最喜欢体育类节目，班主任打算从甲、乙、丙、丁4名同学中选取2人参加学校组织的体育知识竞赛，请用列表法或树状图求同时选中甲、乙两同学的概率． 【答案】（1）20，18；（2）见解析；（3）800；（4）图形见解析，概率为 【解析】 【分析】(1)先根据“新闻”类人数及其所占百分比求得总人数，再用总人数减去其他三个类型人数即可求得“娱乐”类人数，用“动画”类人数除以总人数可得x的值； (2)根据(1)中所求结果即可补全条形图； (3)用总人数乘以样本中“娱乐”类节目人数所占比例即可得； (4)根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好同时选中甲、乙两位同学的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】（1）∵被调查的总人数为人， ∴最喜欢娱乐节目的有，，即， 故答案为：20、18； （2）补全条形图如下： （3）估计该校最喜欢娱乐类节目的学生有人； （4）画树状图得： ∵共有12种等可能的结果，恰好同时选中甲、乙两位同学的有2种情况， ∴恰好同时选中甲、乙两位同学的概率为． 【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图、用列表法或画树状图法求概率，读懂统计图，能从不同的统计图中发现必要的信息是解题的关键.本题还用到的知识点是：概率=所求情况数与总情况数之比． 20. 如图，在四边形中，，，对角线、交于点，平分，过点作交延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）由和平分可得，从而，进而根据菱形的定义得证结论； （2）由求出，进而得到为等腰直角三角形，，在中，根据勾股定理求得的长，根据面积公式即可解答 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形，， ∵在中，，， ∴（舍负）， ∵在菱形中，， ∴． 21. 机器人是人工智能与机器人技术()的结合体．它不仅仅是能执行重复任务的机械臂，而是具备了“感知、思考、决策、行动”能力的智能体．某公司计划购买A，B两种型号的机器人搬运材料．已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运材料，A型机器人搬运所用时间与B型机器人搬运所用时间相等． （1）求A，B两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料； （2）该公司计划采购 A，B两种型号的机器人共20台，要求每小时搬运材料不得少于，则至少购进A型号AI机器人多少台？ 【答案】（1）A型每小时搬运，B型每小时搬运 （2）至少购进A型机器人14台 【解析】 【分析】本题考查分式方程和一元一次不等式的实际应用，读懂题意，根据所给关系列出分式方程和不等式是解题的关键，注意分式方程求出解后要进行检验． （1）设B型机器人每小时搬运材料，则A型机器人每小时搬运，根据“A型机器人搬运所用时间与B型机器人搬运所用时间相等”列分式方程，即可求解； （2）设购进A型a台，根据题意列不等式，求出不等式的最小整数解即可． 【小问1详解】 解：设B型机器人每小时搬运材料，则A型机器人每小时搬运， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， 此时． 答：A型每小时搬运，B型每小时搬运； 【小问2详解】 解：设购进A型a台，B型台，由题意得： ， 解得，， ∵a为整数， ∴a的最小值为14， 答：至少购进14台A型机器人． 22. 某市革命英雄纪念碑是该省革命烈士纪念设施保护单位，其建在一定高度的底座（矩形）上，横截面如图所示．某数学小组利用无人机测量纪念碑的高度，测量者在距离底座（）处的点（，在同一水平线上）垂直升起无人机，当无人机升至处，在点测得纪念碑顶端点的仰角为，测得底座点的俯角为．已知底座的高度为，长为． （1）求的长； （2）求纪念碑碑身的高度．（精确到，参考数据：，） 【答案】（1） （2）纪念碑碑身的高度约为 【解析】 【分析】（1）过点作于点，过点作于点，由题意可知，四边形、为矩形，，，，，求出，根据解直角三角形求出，即可求解； （2）由四边形为矩形，得到，，根据等腰直角三角形的性质得到，即可求解． 【小问1详解】 解：过点作于点，过点作于点，如图： 由题意可知，四边形、为矩形，，，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴； 答：的长为； 【小问2详解】 解：∵四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 答：纪念碑碑身的高度约为． 23. 如图，中，，点D在边上，以为直径作交的延长线于点E，且是的切线． （1）______（写出一个与相等的角）； （2）判断的形状，并说明理由； （3）若，，求的半径． 【答案】（1） （2） 是等腰三角形，理由如下： 连接， ， ． ， ． 是的切线， ，即， 在中，， ， ， ， ∴是等腰三角形． （3）3 【解析】 【分析】本题主要考查切线的性质，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握切线的性质，等腰三角形的性质与判定及勾股定理是解题的关键； （1）根据对顶角相等即可解答； （2）连接，由题意易得，，，然后可得，进而，即可解答； （3）由勾股定理可得，设的半径为r，则，，然后根据勾股定理建立方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：由对顶角相等可得． 故答案为：． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：在中，，，， ． ． 设的半径为r，则，， 在中， ． 解得． 即的半径为3． 24. 如图，某农场需要用喷水装置灌溉果树．装置的喷头固定在一根竖直立柱顶端，如图，以喷头正下方的地面为原点，竖直向上为轴的正方向，水平方向为轴，建立平面直角坐标系，已知喷头喷出的水流轨迹为抛物线，水流的最高处距离原点的水平距离为，最大竖直高度为，喷头所在位置的竖直高度为． （1）请直接写出水流最高处的坐标：____________． （2）求喷出水流的竖直高度（）与距离原点的水平距离（）之间的函数关系式．（不要求写出自变量的取值范围） （3）为了适配不同高度的果树，工人可以调节喷头的竖直高度，调节的过程中，水流的抛物线轨迹形状和对称轴保持不变．要求水流落地点距离原点的最远水平距离不超过，求喷头高度的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，理解题意正确的列出函数解析式是解题的关键． （1）根据题意得点的横坐标为，纵坐标为，即可求解； （2）依据题意，设抛物线的解析式为，由点的坐标为，求出的值，进而求得抛物线的解析式； （3）设设调整后的抛物线的函数解析式为，根据水流离喷水池中心的最远水平距离不超过，求出调整后的抛物线的函数解析式，进而求出喷头高度的最大值． 【小问1详解】 解：以喷头正下方的地面为原点，竖直向上为轴的正方向，水平方向为轴，建立平面直角坐标系，水流的最高处距离原点的水平距离为，最大竖直高度为， 水流最高处的坐标． 故答案为：． 【小问2详解】 解：由（1）可得，顶点的坐标为， 设抛物线的函数解析式为． 由题意得，点的坐标为，代入中得： ，解得， 抛物线的函数解析式为． 【小问3详解】 解：调节的过程中，水流的抛物线轨迹形状和对称轴保持不变， 可设调整后的抛物线的函数解析式为， 由题意得，当最大时，点的坐标为， ，解得， ． 将代入，得， 喷头高度的最大值为． 25. 如图1，将三角板放在正方形上，使三角板的直角顶点与正方形的顶点重合，三角板的一边交于点．另一边交的延长线于点． （1）请直接写出与的数量关系； （2）如图2，移动三角板，使顶点始终在正方形的对角线上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由； （3）如图3，将（2）中的“正方形”改为“矩形”，且使三角板的一边与交于点，与交于点，若，，求的值． 【答案】（1） （2）成立，证明如下： 如图2，过点作于，过点作于， ∵四边形为正方形， ∴平分，， 又∵，， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）2 【解析】 【分析】（1）由，，可得，再根据正方形的性质证明，即可得出结论； （2）过点作于，过点作于，根据正方形的性质证明，则问题得证； （3）过点作于，过点作于，易证四边形是矩形，得到，，再证明得到，再根据相似三角形的性质与判定表示出，，即可求解． 【小问1详解】 解：∵正方形，三角板的直角顶点与正方形的顶点重合， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图3，过点作于，过点作于， 则， ∵矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $