精品解析：四川省绵阳市三江中学2025-2026学年八年级下学期 期中数学试卷

2026年春初2024级期中数学学情调查 本试卷分为试题卷和答题卡两部分，试题卷共6页，答题卡共4页．满分150分，测评时间120分钟 注意事项： 1．答题前考生务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米的黑色墨迹签字笔填写在答题卡上． 2．选择题答案使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题答案使用0.5毫米的黑色墨迹签字笔书写在答题卡的对应框内．超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 要使二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据被开方数为非负数列一元一次不等式，求解即可得到答案． 【详解】解：由题意得， 移项得， 不等式两边同时除以，不等号方向改变，可得． 2. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据最简二次根式的两个判定条件，即被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，逐个判断选项即可得到结果． 【详解】解：对选项A，，被开方数含分母，不是最简二次根式； 对选项B，，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； 对选项C，，被开方数含能开得尽方的因式，不是最简二次根式； 对选项D，不含分母，也不含能开得尽方的因式，满足最简二次根式的条件，是最简二次根式． 3. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理与三角形三边关系，先验证三边能否构成三角形，再对能构成三角形的验证两小边的平方和是否等于最大边的平方，即可判断是否能构成直角三角形． 【详解】解：对于选项A，，，，不能构成直角三角形，A错误； 对于选项B，，满足勾股定理的逆定理，能构成直角三角形，B正确； 对于选项C，三边长为，，，，不满足三角形三边关系，不能构成直角三角形，C错误； 对于选项D，，，，不能构成直角三角形，D错误． 4. 如图，平行四边形的对角线，相交于点，且，，则的周长是（ ） A. 14 B. 24 C. 28 D. 38 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形“对角线互相平分”的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ， ， ． 5. 下列说法不正确的是（ ） A. 各边相等的多边形是正多边形 B. 若是整数，则正整数的最小值是7 C. 菱形的面积是对角线乘积的一半 D. 一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正多边形定义、二次根式的性质、菱形面积公式与平行四边形判定定理，只需逐一判断选项即可得到答案． 【详解】解：对于A，正多边形的定义为各边相等且各角相等的多边形，菱形各边相等但角不相等，不是正多边形，因此“各边相等的多边形是正多边形”的说法错误； 对于B，∵，若是整数，则是完全平方数，∴正整数的最小值为7，说法正确； 对于C，如图，四边形是菱形， ， ， 菱形的面积为， 即菱形的面积等于其对角线乘积的一半．说法正确； 对于D，如图，在四边形中，，， 求证：四边形是平行四边形 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，说法正确． 6. 如图，正方形的顶点A在数轴上对应的数为2，以点A为圆心，A长为半径画圆弧，交数轴于点E（点E位于点A的左侧）．若正方形的面积为2，则点E表示的数为（ ） A. B. C. D. 0.5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，熟练掌握正方形的面积公式，实数的开方运算，线段的和差计算，是解决问题的关键，先由正方形面积为2可知边长为，而后根据线段的和差即得． 【详解】∵正方形面积为2， ∴， ∵点A表示的数为2， ∵， ∵点E在点A的左边， ∴， ∴点E表示的数为， 故选：B． 7. 若，，则的值为（ ） A. 25 B. 10 C. 5 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题先对所求多项式因式分解，再代入已知条件计算，用到提取公因式法和完全平方公式． 【详解】解：， ∵，， ∴原式． 8. 如图，在网格图中，每个小正方形的边长均为，的三个顶点都在格点上，则点到边的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据网格结构，利用勾股定理求出三角形各边长，利用割补法求出三角形面积，最后利用等面积法求出点到边的距离即可． 【详解】解：由网格图可知，，，． ． 设点到边的距离为， 则由面积公式得：， 即， 解得． 9. 如图，四边形中，，，且、的角平分线、分别交于点、，与交于点．若，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图，过点作交于，证明，，推出，再证明，利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】解：如图，过点作交于． 在平行四边形中，， ，， ，分别是，的平分线， ，． ． ． ，， 四边形是平行四边形，， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为． 10. 我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题： “今有方池一丈，葭生其中央，出水一 尺，引葭赴岸，适与岸齐．水深、葭长各几何？ ”．其大意是：如图，有一个水池，水面是 一个边长为 10 尺 (丈、尺是长度单位，1 丈＝10 尺) 的正方形，在水池正中央有一根芦苇， 它高出水面 1 尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水 的深度与这根芦苇的长度分别是多少？若设这跟芦苇的长度为 x 尺，根据题意，所列方程正 确的是( ) A. 102＋(x－1)2＝x2 B. 102＋(x－1)2 ＝ (x＋1)2 C. 52＋(x－1)2＝x2 D. 52＋(x－1)2 ＝ (x＋1)2 【答案】C 【解析】 【分析】设这跟芦苇的长度为 x 尺，根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：设这跟芦苇的长度为 x 尺，根据题意得： 52＋(x－1)2 ＝x2 故选：C 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键． 11. 如图，在菱形ABCD中，AC交BD于O，于H，连接OH，，，则（ ）． A. 2.4 B. 4.8 C. 9.6 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据菱形的性质和勾股定理可求BO，则DB=2BO，进而利用直角三角形斜边中线性质解答即可． 【详解】∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥DB，BD=2BO，AO=AC=8， 在Rt△AOB中，BO= ∴BD=2BO=12 ∵DH⊥AB，O为BD的中点 ∴OH=BD=6 故选D 【点睛】题考查了菱形性质，直角三角形性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是先求得BD的长． 12. 如图，矩形的对角线，交于点，以为斜边作等腰直角，连接、，有以下结论：①；②；③；④．其中正确的有（ ） A. ①② B. ①②④ C. ②③④ D. ①③④ 【答案】D 【解析】 【分析】先根据矩形的性质可得，，过点作，延长交于点，证明，得出是等腰直角三角形，根据平行线的性质可得，即可判断①，假设，结合题意得出四边形是正方形，与已知矛盾，即可判断②，进而根据勾股定理分别得出，，结合矩形的性质可得，即可判断③，根据是等腰直角三角形，得出，，即可判断④，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 如图，过点作，延长交于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴ ∵是等腰直角的斜边， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形， 又∵ ∴，故①正确； ∵ ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴ 若则 ∴ 则重合，则， ∴，则四边形是正方形，与已知矛盾，故②不正确； ∵ ∴ 又∵，是等腰直角三角形， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴ 在中， 在中， 又∵ ∴，故③正确； ∵ ∴ ∵是等腰直角三角形， ∴ ∴，故④正确 综上所述，正确的有①③④． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 13. 计算：_______． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 14. 如图，的顶点，分别在轴，轴上，顶点，的坐标分别为，，则顶点的坐标是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】由的性质，线段可以看作平移至线段，线段可以看作平移至线段，所以，，据此求解即可． 【详解】解：∵中， ∴， 可以看作线段平移至，线段可以看作平移至线段， ∴， 即， 故， ∴； ， 即， 故， ∴． 15. 已知实数，，在数轴上的位置如图所示： 化简的结果为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了数轴，二次根式的性质，绝对值的意义，利用数轴确定出的符号是解题的关键．利用数轴确定出，，的符号，再利用二次根式和绝对值的意义化简运算即可． 【详解】解：由数轴可得：，， 故答案为：． 16. 如图，在四边形中，，，，，点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，从运动开始，经过_______，使四边形是矩形． 【答案】 【解析】 【分析】根据四边形是矩形时，，列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：设运动时间为秒，则，， ∴， 当四边形是矩形时，， 即， 解得：． 17. 如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形；面积分别记为，，，若，图中阴影部分的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由勾股定理得，即，再由求出，即可解决问题． 【详解】解：在中，由勾股定理得：， 即， ， ∴ ， 由图形可知，阴影部分的面积． 18. 在矩形中，，，点为边上一动点，将沿折叠，点的对应点为．当点落在矩形的对角线上时，的长为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】分两种情况讨论，点分别落在矩形对角线和对角线上，利用折叠的性质，结合勾股定理或相似三角形的判定与性质求解的长度即可． 【详解】解：①点恰好在矩形的对角线上，如图1所示： 在中，，，由勾股定理得：， 由折叠的性质得：，，， ，， 设， 则， 在中，由勾股定理得：， 即：， 解得：， 的长为3； ②点恰好在矩形的对角线上，如图2所示： 则， ，， ， ， ， ， ， ． 综上所述：的长为3或4.5． 三、解答题（本大题共7小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 数的运算与代数式的化简求值． （1）计算：． （2）已知，，求的值． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ， ∵，， ∴原式． 20. 如图，是线段的中点，且，点在线段上，交于点，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）已知，连接，若平分，求的长． 【答案】（1） 证明：是线段的中点， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； （2）2 【解析】 【分析】本题考查的是平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握相关判定与性质是解题关键， （1）证明且即可证明结论； （2）利用平行四边形性质得出即可求出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知，四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， ， ． 21. 如图，以点为圆心的三个同心圆把以为半径的大圆的面积四等分． （1）若，求这三个圆的半径、、的长（用含的式子表示）； （2）在（1）中，请判断以、和的长度为边所构成的三角形的形状，并说明理由． 【答案】（1），， （2）直角三角形，理由如下： ，，， ∵， 即， 故以、和的长度为边所构成的三角形是直角三角形． 【解析】 【分析】（1）根据以为半径的圆的面积和三个圆环的面积相等，分别列出方程，即可求解； （2）运用勾股定理的逆定理判断三角形的形状即可． 【小问1详解】 解：以为半径的圆，面积为， 则以为半径的圆的面积和三个圆环的面积相等，均为． 即， 整理得； ∵， 即， 整理得； ∵， 即， 整理得． 【小问2详解】 略 22. 著名数学教育家波利亚曾说“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”，恒等变形是代数式求值的一个很重要的方法，利用恒等变形，可以把无理数运算转化为有理数运算，可以把次数较高的代数式转化为次数较低的代数式． 例如：已知，求代数式的值． 小明根据二次根式的性质：，联想到了以下的解题方法： 由得，则，即， ． 把作为整体，得：． 小强在小明的基础上，联想到了新的解题方法： 由得，则．即， ，把代入原式，得：． 请回答下列问题： （1）已知，求代数式的值． （2）已知，求代数式的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）按照例题的方法解答即可； （2）由得，将其两边平方并利用完全平方公式展开，得到，，进而可得出结论． 【小问1详解】 解：由，， 则， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由得，则， ∴， ∴ ． 23. 如图1是一种升降阅读架，由面板、支撑轴和底座构成，图2是其侧面结构示意图，面板固定在支撑轴端点处，，支撑轴长，支撑轴与底座所成的角． （1）求端点到底座的距离； （2）如图3，为了阅读舒适，将绕点逆时针旋转后，点恰好落在直线上，问：端点到底座的距离减少了多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了含30°角直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握这些性质是解题的关键． （1）过点C作于点F，根据等腰直角三角形的性质求解即可； （2）过点C作于点F，利用直角三角形的性质求出旋转后点C离底座的距离，即可求出降低了多少． 【小问1详解】 解：过点C作于点F，如图所示： ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴点C到底座的距离为：． 【小问2详解】 解：过点C作于点F，如图所示： 旋转后， ∵， ∴， ∴点C到底座的距离为：． ∴端点到底座的距离减少了． 24. 如图1，在四边形中，为上一点，和都是等边三角形，、、、的中点分别为、、、． （1）试判断四边形为怎样四边形，并证明你的结论； （2）求的大小； （3）若，，求四边形的周长． 【答案】（1）四边形为菱形， 证明：连接，． 由题意知为的中位线， ∴． 同理可得． ∴． ∴四边形为平行四边形． 在和中， ，，， 即． ∴． ∴． ∴， ∴平行四边形为菱形． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接，，根据中位线的性质可得，得出四边形为平行四边形，证明得出，进而可得，即可证明平行四边形为菱形； （2）设交于点，交于点，交于点，根据三角形内角和定理求得，进而根据平行线的性质，即可得出； （3）过点作于点，勾股定理求得，进而根据菱形的性质，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，设交于点，交于点，交于点 ∵是等边三角形， ∴ 由（1）可得 ∴ 又∵ ∴ ∵， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：如图，过点作于点， ∵和都是等边三角形，，， ∴， ∴， 在中， ∴ ∴菱形的周长为 25. 求解下列各题： （1）【教材原型】如图1，四边形为正方形，为上点，，交正方形外角平分线于点．求证：； （2）【类比探究】如图2，在（1）的条件下，过点作交的延长线于点，连接，，试探究、、之间的数量关系，并加以证明； （3）【拓展延伸】如图3，在（2）的条件下，若，点是中点，求的最小值． 【答案】（1）证明：如图，在上取点，使，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，，，， ∴， ∴， ∵是的补角的平分线，且， ∴， ∴， 即； ∵，， ∴， 在与中， ∴， ∴． （2）解：，理由如下： 由（1）可得，故， 在中，， 即； ∵，， ∴， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 在中，， 即； ∵， 即， 整理，得． （3） 【解析】 【分析】（1）在上取点，使，连接，根据正方形的性质推得，，根据等角的余角相等得出，根据全等三角形的判定和性质即可证明； （2）根据全等三角形的性质和勾股定理求出得出，根据等角的余角相等得出，根据全等三角形的判定和性质得出，根据勾股定理求出，结合线段的和差关系即求解； （3）过点作交于点，结合题意可得点的运动轨迹在上，根据垂线段最短可得，当点与点重合时，值的最小，结合直角三角形的性质和等角对等边得出，根据勾股定理即可求出的值，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：过点作交于点，如图： 由（1）可得的度数是固定的，即点的运动轨迹在上， 故当点与点重合时，， 根据垂线段最短可得，此时值的最小； ∵，点是中点， ∴， ∵，， 故， ∴， 在中，， 即， 解得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春初2024级期中数学学情调查 本试卷分为试题卷和答题卡两部分，试题卷共6页，答题卡共4页．满分150分，测评时间120分钟 注意事项： 1．答题前考生务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米的黑色墨迹签字笔填写在答题卡上． 2．选择题答案使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题答案使用0.5毫米的黑色墨迹签字笔书写在答题卡的对应框内．超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 要使二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 4. 如图，平行四边形的对角线，相交于点，且，，则的周长是（ ） A. 14 B. 24 C. 28 D. 38 5. 下列说法不正确的是（ ） A. 各边相等的多边形是正多边形 B. 若是整数，则正整数的最小值是7 C. 菱形的面积是对角线乘积的一半 D. 一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形 6. 如图，正方形的顶点A在数轴上对应的数为2，以点A为圆心，A长为半径画圆弧，交数轴于点E（点E位于点A的左侧）．若正方形的面积为2，则点E表示的数为（ ） A. B. C. D. 0.5 7. 若，，则的值为（ ） A. 25 B. 10 C. 5 D. 2 8. 如图，在网格图中，每个小正方形的边长均为，的三个顶点都在格点上，则点到边的距离是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，四边形中，，，且、的角平分线、分别交于点、，与交于点．若，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题： “今有方池一丈，葭生其中央，出水一 尺，引葭赴岸，适与岸齐．水深、葭长各几何？ ”．其大意是：如图，有一个水池，水面是 一个边长为 10 尺 (丈、尺是长度单位，1 丈＝10 尺) 的正方形，在水池正中央有一根芦苇， 它高出水面 1 尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水 的深度与这根芦苇的长度分别是多少？若设这跟芦苇的长度为 x 尺，根据题意，所列方程正 确的是( ) A. 102＋(x－1)2＝x2 B. 102＋(x－1)2 ＝ (x＋1)2 C. 52＋(x－1)2＝x2 D. 52＋(x－1)2 ＝ (x＋1)2 11. 如图，在菱形ABCD中，AC交BD于O，于H，连接OH，，，则（ ）． A. 2.4 B. 4.8 C. 9.6 D. 6 12. 如图，矩形的对角线，交于点，以为斜边作等腰直角，连接、，有以下结论：①；②；③；④．其中正确的有（ ） A. ①② B. ①②④ C. ②③④ D. ①③④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 13. 计算：_______． 14. 如图，的顶点，分别在轴，轴上，顶点，的坐标分别为，，则顶点的坐标是_____________． 15. 已知实数，，在数轴上的位置如图所示： 化简的结果为______． 16. 如图，在四边形中，，，，，点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，从运动开始，经过_______，使四边形是矩形． 17. 如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形；面积分别记为，，，若，图中阴影部分的面积为__________． 18. 在矩形中，，，点为边上一动点，将沿折叠，点的对应点为．当点落在矩形的对角线上时，的长为__________． 三、解答题（本大题共7小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 数的运算与代数式的化简求值． （1）计算：． （2）已知，，求的值． 20. 如图，是线段的中点，且，点在线段上，交于点，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）已知，连接，若平分，求的长． 21. 如图，以点为圆心的三个同心圆把以为半径的大圆的面积四等分． （1）若，求这三个圆的半径、、的长（用含的式子表示）； （2）在（1）中，请判断以、和的长度为边所构成的三角形的形状，并说明理由． 22. 著名数学教育家波利亚曾说“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”，恒等变形是代数式求值的一个很重要的方法，利用恒等变形，可以把无理数运算转化为有理数运算，可以把次数较高的代数式转化为次数较低的代数式． 例如：已知，求代数式的值． 小明根据二次根式的性质：，联想到了以下的解题方法： 由得，则，即， ． 把作为整体，得：． 小强在小明的基础上，联想到了新的解题方法： 由得，则．即， ，把代入原式，得：． 请回答下列问题： （1）已知，求代数式的值． （2）已知，求代数式的值． 23. 如图1是一种升降阅读架，由面板、支撑轴和底座构成，图2是其侧面结构示意图，面板固定在支撑轴端点处，，支撑轴长，支撑轴与底座所成的角． （1）求端点到底座的距离； （2）如图3，为了阅读舒适，将绕点逆时针旋转后，点恰好落在直线上，问：端点到底座的距离减少了多少？ 24. 如图1，在四边形中，为上一点，和都是等边三角形，、、、的中点分别为、、、． （1）试判断四边形为怎样四边形，并证明你的结论； （2）求的大小； （3）若，，求四边形的周长． 25. 求解下列各题： （1）【教材原型】如图1，四边形为正方形，为上点，，交正方形外角平分线于点．求证：； （2）【类比探究】如图2，在（1）的条件下，过点作交的延长线于点，连接，，试探究、、之间的数量关系，并加以证明； （3）【拓展延伸】如图3，在（2）的条件下，若，点是中点，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $