2025--2026学年北师大版七年级数学下学期期末测试卷-

**基本信息** 以智能机器人运动、剪纸艺术、登山活动等真实情境为载体，覆盖七年级下册核心知识，梯度设计从基础概念到综合探究，凸显数学眼光、思维与语言的素养导向。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|三角形三边关系、轴对称、变量常量等|结合剪纸艺术考轴对称，加油站数据考变量识别| |填空题|6/18|平行线性质、频率估计概率、动点面积等|二维码实验考频率与面积关系，直角三角形动点考函数建模| |解答题|9/72|几何证明、函数图像应用、新定义运算等|木墙三角板问题综合全等证明与距离计算，登山图像分析考数据解读与应用|

2026学年七年级数学下学期期末测试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．） 1．下列长度(单位：)的3根小木棒首尾顺次相接能搭成三角形的是（  ） A．1，2，5 B．3，3，6 C．4，5，6 D．6，7， 2．剪纸是我国最为流行的传统民间艺术形式之一，人们常用剪纸来装饰门窗和房间，以增加喜庆的气氛．下面四个剪纸图案中，是轴对称图形的是（    ） A．B．C． D． 3．如图是加油站加油机上的数据显示牌．在金额、加油量、单价三个量中，下列说法正确的是（   ） A．金额、单价是变量，加油量是常量 B．金额、单价、加油量都是变量 C．加油量、单价是变量，金额是常量 D．金额、加油量是变量，单价是常量 4．下列计算中，正确的是（     ） A． B． C． D． 5．“墙角数枝梅，凌寒独自开．遥知不是雪，为有暗香来．”出自宋代诗人王安石的《梅花》．梅花的花粉直径约为，其数值用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 6．下列说法中，正确的是（   ） A．生活中“水涨船高”描述的是随机事件 B．某市天气预报中说“明天降雨的概率是”，表示明天该市有的地区降雨 C．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为 D．试验次数越少，频率越接近概率 7．如图，在三角形纸片中，，，，沿过点的直线折叠这个三角形，使顶点落在边上的点处，折痕为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 8．如图，某公园的中心广场为点O，望江亭A在点O北偏西方向，荷花池B在点O南偏东的方向，儿童乐园C在点O的西南方向，则下列结论错误的是（   ） A．与互为补角 B．平分 C．与互为余角 D． 9．如图1，2025年首届具身智能机器人运动会在江苏省无锡市举办．某研发公司为了测试某新型智能机器人的竞速跑情况，在一条笔直的跑道上设置了甲，乙，丙三个测试点．该机器人从甲处以的速度匀速跑到乙处，停留一会儿后，再以的速度匀速跑到丙处，停留后，从丙处匀速返回甲处．该机器人离测试点甲的距离与离开测试点甲的时间之间的关系如图2所示，下列说法错误的是（   ） A．该机器人从测试点甲到测试点乙用了 B．该机器人在测试点乙处停留了 C．测试点乙与测试点丙之间的距离为 D．该机器人从测试点丙返回到测试点甲的速度为 10．如图，在∆ABC中，，，是线段上一点，连接，过点作，且，连接交于点，若，，则的长度为（    ） A． B． C．9 D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．如图是一根杆秤在称物状态时的示意图，，则_____． 12．二维码在日常生活中被广泛应用，某数学兴趣小组对其开展数学实验活动．如图，在边长为的正方形区域内利用计算机软件进行随机掷点模拟实验．经过大量重复实验，发现点落在黑色部分的频率稳定在0.7左右，据此可以估计这个正方形区域内黑色部分的面积约为_____． 13．已知∆ABC的三边分别为，化简：__________ 14．若，，，则a，b，c的大小关系是______（用“”表示）． 15．如图，在直角三角形中，，，，是线段上的一个动点，当点从点向点运动时，运动到点停止，设，的面积为，则与之间的关系式为____． 16．已知，在∆ABC中，，D、E为边上的两个动点，点A关于直线的对称点为点、点C关于直线的对称点为点，若射线和恰好将三等分，则_______． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分．） 17．计算： (1) (2) 18．先化简，再求值：，其中． 19．如图，在的正方形网格中，∆ABC的三个顶点都在格点上，请使用无刻度直尺和圆规按要求作图．（注意求作的图形用实线） (1)在图1中，画出的角平分线； (2)在图2中，画出边上的中线； (3)在图3中，找一个点D，使得与∆ABC全等（点D不能与点A重合） 20．现有正面分别写有“最”“美”“乾”“县”的卡片共20张，这些卡片的背面完全相同，已知写有“最”字的卡片有8张，写有“乾”字的卡片有4张，写有“县”字的卡片有3张，混匀后，将卡片背面朝上放置在桌面上． (1)事件“随机抽取4张，全是写有‘县’字的卡片”为 事件；（选填“随机”“必然”或“不可能”） (2)随机抽取一张，求抽到写有“美”字卡片的概率； (3)从这些卡片中取出m张写有“最”字的卡片，再放入m张写有“乾”字的卡片，混匀后，随机抽取一张卡片，抽到写有“乾”字卡片的概率为，求m的值． 21．王强同学用块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，点在上，点和分别与木墙的顶端重合． (1)求证：； (2)求两堵木墙之间的距离； (3)求四边形的面积． 22．小深同学趁假期与朋友去登山．早上，他们从山脚出发，经过40分钟到达山腰休息平台，休息了10分钟后继续前行登上山顶，在山顶停留了半小时后原路下山．如图是他们出发后的时长（分钟）与他们离山脚的相对高度（米）之间的关系示意图．请根据图示信息，解答以下问题： (1)该问题情境中，自变量是________________，因变量是________________； (2)在山腰休息平台休息前，他们的相对高度平均变化速度是________________米／分；他们下山的相对高度平均变化速度是________________米／分； (3)将下表信息补充完整： 出发后时长（分钟） 20 45 90 110 离山脚的相对高度（米） 600 800 (4)他们出发后_______________分钟，离山脚的相对高度是700米． 23．（1）【感知】将一副三角板按如图1所示的方式放置，使三角板的直角顶点落在上，，且，则的大小为___________度； （2）【探究】如图2，将图1中的三角板放在一组直线与之间（其中），并使直角顶点A在直线上，顶点C在直线上，现测得，，试说明； （3）【拓展】现将图1中的三角板按图3方式摆放（其中），使顶点C在直线上，直角顶点A在直线上．若，请写出与之间的关系式，并说明理由． 24．阅读理解：对于任意四个有理数、、、，可以组成两个有理数对与，我们规定： □．例如：□． (1)若□是一个完全平方式，求常数的值； (2)若，且□，求的值； (3)在（2）的条件下，将长方形及长方形按照如图方式放置，其中点、分别在边、上，连接、、、，若，，，，求图中阴影部分的面积． 25．（1）【问题初探】 某兴趣学习小组的同学通过赵爽弦图由外到内的三个正方形中找出了全等三角形的模型图，如图1和图2所示的“一线三等角”型． 已知，，，请在图1和图2中选择一个模型证明． （2）【内化迁移】 在中，，，点D为射线上一动点（点D不与点B重合），连接，以为直角边，在的右侧作三角形，使，． ①如图3，当点D在线段上时，过点E作于F，求的长度； ②如图4，连接，交直线于点M，点D在运动过程中，若，请直接写出的长． 参考答案 一、选择题 1．C 解：对于选项A，，不满足三角形三边关系，不能搭成三角形； 对于选项B，，不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能搭成三角形； 对于选项C，，满足三角形三边关系，能搭成三角形； 对于选项D，，不满足三角形三边关系，不能搭成三角形； 故选：C． 2．A 解：选项A中的图形可以找到一条直线，使直线两旁的部分能够重合，故是轴对称图形；其它选项中的图形不能找到一条直线，使直线两旁的部分能够重合，故都不是轴对称图形； 故选：A． 3．D 解：在金额、加油量、单价三个量中，金额、加油量是变量，单价是常量． 故选：D． 4．C 解：∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加 ∴A选项中，，A错误． ∵幂的乘方，底数不变，指数相乘 ∴B选项中，，B错误． ∵积的乘方，把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘 ∴C选项中，，C正确． ∵单项式除以单项式，系数相除，同底数幂分别相除 ∴D选项中，，D错误． 故选：C． 5．B 解：用科学记数法表示为． 6．C 解：A、“水涨船高”是一定会发生的事件，属于必然事件，不是随机事件，选项原说法错误，不符合题意； B、天气预报中说“明天降雨的概率是”，表示明天该市降雨的可能性为，选项原说法错误，不符合题意； C、掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上和反面朝上的可能性相等，正面朝上的概率为，选项原说法正确，符合题意； D、由频率与概率的关系可知，试验次数越多，频率越接近概率；试验次数越少，频率不一定接近概率；选项原说法错误，不符合题意； 故选：C． 7．A 解：由折叠可得， ， 的周长为， 故选：A． 8．C 解：选项A：由方向角可知， B在南偏东， 则，， 故， 则，满足互补角定义，故A选项正确； 选项B：儿童乐园C在西南方向，即， ∵A在北偏西， 则， 故， ∵B在南偏东， 则∠CON=90∘-45∘=45∘，， 故， ∴， ∴平分，故B选项正确；   选项C：，，   两角和为，不满足余角定义，故C选项错误；   选项D：∵B在南偏东， 故，   ∴∠COQ=180∘-45∘=135∘， ， ∴，故D选项正确． 故选：C． 9．D 解：该机器人从测试点甲到测试点乙用了， ∴A正确，不符合题意； 该机器人在测试点乙处停留了， ∴B正确，不符合题意； 测试点乙与测试点丙之间的距离为， ∴C正确，不符合题意； 该机器人从测试点丙返回到测试点甲的速度为， ∴D错误，符合题意． 故选：D． 10．B 解：如图，作交于点， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， （）， ，， ， ， 在∆EMF和∆CBF中， ， （） ， ． 故选：B． 二、填空题 11． 解：如图， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 12．2.8 解：根据题意，估计这个区域内黑色部分的总面积约为． 13． 解：∆ABC的三边分别为， ，， ， ， 故答案为：． 14． 解：∵， ， ， ∴， 故答案为：． 15． 解：，，，， ， 过点作于点， ， ， ，， ， ， 故答案为：． 16．或 解：如图，∵射线和恰好将三等分， ∴设， 由轴对称可得：，， ∵， ∴， 解得：， ∴， 如图， ∵射线和恰好将三等分， ∴设， 由轴对称可得：，， ∵， ∴， 解得：， ∴， 综上：为或. 故答案为：或 三、解答题 17．（1）解： ； （2）解： ． 18．解：原式 ， ， ， 原式． 19．（1） 如图，点D即为所求． （2） 如图，取中点为，连接即为所求． （3） 如图，，，，所以∆DCB≌∆ABC． 20．（1）解：事件“随机抽取4张，全是写有‘县’字的卡片”为随机事件． 故答案为：随机． （2）由题意可知，写有“美”字的卡片有（张）， 所以随机抽取一张，抽到写有“美”字卡片的概率为． （3）由题意可知：，解得， 所以m的值为4． 21．（1）证明：，，，， ， ，， ． 在和中， ； （2）解：由题意得：，． ， ，， ， 故两堵木墙之间的距离为． （3）解：依题意，四边形是梯形， ∴四边形的面积． 22．（1）解：该问题情境中，自变量是出发后的时长x，因变量是离山脚的相对高度y； （2）解：在山腰休息平台休息前，他们的相对高度平均变化速度为： （米/分）； 他们下山的相对高度平均变化速度是： （米/分）； （3）解：出发20分钟时，离山脚的相对高度为（米）， 出发110分钟时，离山脚的相对高度为（米）； 将下表信息补充完整： 出发后时长（分钟） 20 45 90 110 离山脚的相对高度（米） 300 600 800 600 （4）解：在山腰休息平台休息后，他们的相对高度平均变化速度是： （米/分）， （分钟）， 即他们出发后60分钟，离山脚的相对高度是700米； （分钟）， 即他们出发后105分钟，离山脚的相对高度是700米； 综上分析可知：他们出发后60分钟或105分钟，离山脚的相对高度是700米． 23．解：（1）∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：75； （2），理由如下： ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）．理由如下： ∵， ∴； ∵； ∴； ∴； ∵； ∴； ∴． 24．（1）解：根据题意可得： □ ， ∵□是一个完全平方式， ∴， 解得； （2）解：根据题意可得： □ ， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：由（2）可知，，， ∵四边形和四边形均为长方形， ∴，，，， ∴，， ∴阴影部分的面积为 ． 25．（1）证明：选择图1： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在∆ABC与中， ， ∴∆ABC≌∆CDE（AAS）； 选择图2：∵， ∴， ∴， 在∆ABC与中， ， ∴∆ABC≌∆CDE（AAS）， （2）①∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； ②过点E作交的延长线于点F，如图； 由①得， ∴； ∴， ∴， ∴； 设； 当点M在线段上时，如图， ∵， ∴； ∵，， ∴， ∴； ∴， ∴，， ∵，， ∴， 解得：， ∴； 当点M在线段反向延长线上时，如图， 同理得：， ∴； ∴，， ； ∵，， ∴， 解得：， ∴， 当点D在线段上的情况不存在． 综上，或18． 学科网（北京）股份有限公司 $