24.2 数据的离散程度 第2课时 用方差分析数据 课件 2025-2026学年人教版数学八年级下

该初中数学课件聚焦“用方差分析数据的离散程度”，通过自动灌装线饮料误差问题导入，回顾平均数、中位数、众数及方差公式，搭建从旧知到新知的学习支架，帮助学生衔接知识脉络。 其亮点是以工业生产、鸡腿质量等实际情境为载体，培养学生用数学眼光观察现实问题，通过计算方差综合集中趋势与离散程度分析，发展数学思维。提供丰富例题、中考对接及拓展延伸，助力学生提升数据分析能力，教师可高效开展教学。

第二十四章 数据的分析 24.2 数据的离散程度 第2课时 用方差分析数据 目 录 1. 学习目标 4. 知识点 用方差进行决策 5. 课堂小结 6. 当堂小练 CONTENTS 8. 拓展与延伸 3. 新课导入 7. 对接中考 2. 知识回顾 1. 体会样本与总体的关系，能用样本方差估计总体方差，感悟通过样本特征估计总体特征的思想. 2. 能从集中趋势和离散程度两个维度对比分析数据，进行决策. 学习目标 知识回顾 一般地，有n个数据x1，x2，，xn，我们把 叫作这n个数据的平均数，记作“ ”，即 . 平均数的定义 一般地，一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列，处于中间位置的数叫作这组数据的中位数. 中位数的定义 一组数据中出现次数最多的数据叫作这组数据的众数. 众数的定义 方差的计算公式 新课导入 问题 如图，为什么自动灌装线的生产的饮料实际含量会有差别？ 这是因为自动灌装线在运行时，会受到机器精度、气压变化、液体流速等不可控因素的影响，导致每瓶饮料的实际灌装量和标准含量之间产生误差. 这种误差在工业生产中是普遍存在的. 问题 如何判断哪条灌装线的质量更好？ 不能只看单瓶的误差，也不能只看平均含量. 我们需要从两个维度来判断： 1. 误差是否合格：先看误差的绝对值有没有超过规定的标准，如果所有误差都在合格范围内，说明灌装线基本稳定. 2. 波动是否更小：在误差都合格的前提下，比较两条线的整体波动程度. 可以计算每瓶与标准值的平均差异，波动更小的那条线，灌装质量更稳定、更好. 某快餐公司的香辣鸡腿很受消费者欢迎．现有甲、乙两家农副产品加工厂到快餐公司推销鸡腿，两家鸡腿的价格相同，品质相近．快餐公司决定通过检查鸡腿的质量来确定选购哪家的鸡腿． (1) 可通过哪些统计量来关注鸡腿的质量？ (2) 如何获取数据？ 新课讲解 知识点 用方差进行决策 问题 每个鸡腿的质量；鸡腿质量的稳定性． 抽样调查． 新课讲解 例 1. 在问题1中，检查人员从两家的鸡腿中各随机抽取15 个，记录它们的质量（单位：g）如下表所示．根据表中的数据，你认为快餐公司应该选购哪家加工厂的鸡腿？ 解：样本数据的平均数分别是： ， 甲 74 74 75 74 76 73 76 73 76 75 78 77 74 72 73 乙 75 73 79 72 76 71 73 72 78 74 77 78 80 71 75 样本数据的方差分别是： ， 　　 由可知，两家加工厂的鸡腿质量大致相等； 由＜ 可知，甲加工厂的鸡腿质量更稳定，大小更均匀． 因此，快餐公司应该选购甲加工厂生产的鸡腿． 新课讲解 决策型问题的求解策略 决策型问题的求解不能只通过某一个统计量去判断，而应该从多个角度去分析. 平均数、中位数、众数反映一组数据的集中趋势.方差是用来描述数据离散程度的量，它的大小体现一组数据的稳定情况，而不能反映样本的一般水平.因而在用样本估计总体时，通常要综合考虑样本平均数与样本方差,再作出判断. 新课讲解 例 2. 自动灌装线灌装饮料时，由于各种不可控的因素，每瓶饮料的实际含量与标准含量会存在一些误差（实际含量－标准含量）． 甲、乙两条灌装线同时灌装标准含量为500 mL的饮料，为了检验两条灌装线的灌装质量，从每条灌装线上各随机抽取10瓶饮料进行测量，结果（单位：mL）如下表所示. (1)如果每瓶饮料含量的误差的绝对值超过10mL为不合格品，两条灌装线的灌装质量是不是都合格？ 甲 501 496 498 499 503 498 505 498 501 501 乙 496 493 504 495 500 506 504 505 498 499 解：(1)甲、乙灌装线饮料的实际含量与标准含量500 mL的误差如下表所示. 甲组误差/mL 1 -4 -2 -1 3 -2 5 -2 1 1 乙组误差/mL -4 -7 4 -5 0 6 4 5 -2 -1 从表中的数据可以看出，甲、乙灌装线灌装的误差绝对值最大分别为5 mL，7 mL，两者都小于10 mL，因此两条灌装线灌装的质量都是合格的. 新课讲解 例 2. 自动灌装线灌装饮料时，由于各种不可控的因素，每瓶饮料的实际含量与标准含量会存在一些误差（实际含量－标准含量）． 甲、乙两条灌装线同时灌装标准含量为500 mL的饮料，为了检验两条灌装线的灌装质量，从每条灌装线上各随机抽取10瓶饮料进行测量，结果（单位：mL）如下表所示. (2)哪条灌装线的灌装质量更好？ 甲 501 496 498 499 503 498 505 498 501 501 乙 496 493 504 495 500 506 504 505 498 499 解：(2)甲、乙灌装线饮料实际含量的平均数分别为甲==500,乙==500. 两条灌装线饮料实际含量的平均数都等于标准含量. 可以类比方差，计算甲、乙灌装线饮料的实际含量与标准含量的平均差异程度，分别为 = 6.6， = 18.8. 可以发现，甲灌装线饮料实际含量与标准含量的平均差异更小. 根据样本估计总体，综合来看，甲灌装线的灌装质量更好. 【分析数据】   【解决问题】根据以上信息，回答下列问题： (1)a＝________，b＝________； (2)哪个班成绩比较好？ 新课讲解 例 3. 某校甲、乙两班联合举办了“经典阅读”竞赛，从甲班和乙班各随机抽取10名学生的竞赛成绩(单位：分)，整理如下： 【收集数据】将80分作为标准记为0，超出80分记为正，不足80分记为负，则 甲班10名学生竞赛成绩：5，－2，6，－1，－8，11，－1，－9，－10，9； 乙班10名学生竞赛成绩：8，3，0，8，3，－4，13，－3，－2，4． 80 班级 平均数 中位数 众数 方差 甲班 a 79 b 51．4 乙班 83 83 83，88 27 79 解：∵乙班学生竞赛成绩的平均数为83，高于甲班学生竞赛成绩的平均数80，乙班学生竞赛成绩的方差为27，小于甲班学生竞赛成绩的方差51.4，说明乙班学生竞赛成绩高且更稳定， ∴乙班学生竞赛成绩比较好． 新课讲解 练一练 1. 有甲、乙两种棉苗，为了考察它们在某地区种植的适宜程度，分别从中抽出10株棉苗，测得苗高(单 位：cm)如下： 甲种棉苗：13，11，11，9，14， 13，12，15，12，10； 乙种棉苗：11，12，8，13，15，10，16，11，10，14. 若从甲、乙两种棉苗的长势整齐程度来看,哪种棉苗更适宜在该地区种植？ 解：͞x甲＝，x乙＝. s甲2＝，s乙2＝. 因为͞x甲＝ ͞x乙，s甲2<s乙2， 所以甲种棉苗长势比较整齐，即甲种棉苗更适宜在该地区种植. 新课讲解 练一练 2. 某生物学习小组为了研究一种药物对A，B 两种植物的促进生长作用，将两种植物各随机抽取5 株进行研究，在喷洒药物之前对所抽取的植物苗高(单位：cm)进行了测量，汇总情况如下： A种植物的苗高：23，25，23，24，25； B种植物的苗高：20，22，34，21，23. (1)分别求出抽取的两种植物苗高的平均数和方差. 解：A种植物：苗高的平均数为͞xA＝＝24， 苗高的方差为sA2＝×[(23－24)2＋(25－24)2＋(23－24)2＋(24－24)2＋(25－24)2]＝0.8， B种植物：苗高的平均数为͞xB＝ ＝24， 苗高的方差为sB2＝×[(20－24)2＋(22－24)2＋(34－24)2＋(21－24)2＋(23－24)2]＝26. 新课讲解 练一练 2. 某生物学习小组为了研究一种药物对A，B 两种植物的促进生长作用，将两种植物各随机抽取5 株进行研究，在喷洒药物之前对所抽取的植物苗高(单位：cm)进行了测量，汇总情况如下： A种植物的苗高：23，25，23，24，25； B种植物的苗高：20，22，34，21，23. (2)你认为该药物对哪种植物的生长作用效果更稳定？ 请你结合(1)中所求的统计量说明理由. 解：对A种植物的生长作用效果更稳定． 理由：因为͞xA＝͞xB，sA2<sB2，所以对A种植物的生长作用效果更稳定． ͞xA＝24，sA2＝0.8， ͞xB＝ 24，sB2＝26. 新课讲解 练一练 3. 为了解学生物理实验操作情况，随机抽取小青和小海两名同学的10次实验得分，并对他们的得分情况从以下两方面整理描述： ①操作规范性：数据如右图所示. ②书写准确性： 小青：1　1　2　2　2　3　1　3　2　1 小海：1　2　2　3　3　3　2　1　2　1 操作规范性和书写准确性的得分统计表： 操作规范性  书写准确性 平均数 方差 平均数 中位数 小青 4 s12 1．8 a 小海 4 s22 b 2 根据以上信息，回答下列问题： (1)a＝________，b＝________； (2)比较s12和s22的大小：________； 2 2 s12>s22 新课讲解 练一练 操作规范性和书写准确性的得分统计表： 操作规范性  书写准确性 平均数 方差 平均数 中位数 小青 4 s12 1．8 a 小海 4 s22 b 2 2 2 s12>s22 (3) 综合上表的统计量，请你对两名同学的得分进行评价； 解：从操作规范性来分析，小青和小海的平均数相同，但小海的方差小于小青的方差，所以小海在物理实验操作中发挥更稳定． 从书写准确性来分析，小青和小海得分的中位数相同，但小海得分的平均数大于小青得分的平均数，所以小海在物理实验书写中更准确． 解：熟悉实验方案和操作流程、注意仔细观察实验现象和结果、平衡心态，沉着应对．(答案不唯一) (4) 为了取得更好的成绩，你认为在实验过程中还应该注意哪些方面？ 新课讲解 在比较两组数据时，一般先看平均数，在平均数相同或相近的情况下，再分析稳定性问题，而方差是反映数据的波动大小的量，通过比较方差的大小来解决问题. 归纳 课堂小结 利用方差进行决策 决策型问题的求解不能只通过某一个统计量去判断，而应该从多个角度去分析.平均数、中位数、众数反映一组数据的集中趋势.方差是用来描述数据离散程度的量，它的大小体现一组数据的稳定情况. 方差越大，数据的离散程度越大； 方差越小，数据的离散程度越小. 当堂小练 1. 样本方差的作用是（ ） A.表示总体的平均水平 B.表示样本的平均水平 C.准确表示总体的波动大小 D.表示样本的波动大小，从而估计总体的波动大小 D 当堂小练 2. 甲、乙两名运动员进行罚球线上投篮测试. 每人投篮10组，每组投篮10次，两名运动员投篮10组命中的次数如下表所示. 哪名运动员的投篮更稳定？ 甲 8 6 9 6 8 10 7 7 10 9 乙 7 8 9 8 9 8 8 10 6 7 解：甲=×(8+6+9+6+8+10+7+7+10+9)=8, s2甲​=×[2×(8−8)2+2×(6−8)2+2×(9−8)2+2×(7−8)2+2×(10−8)2]=2. (7+8+9+8+9+8+8+10+6+7)=8, s2乙×[2×(7-8)2+4×(8-8)2+2×(9-8)2+(6-8)2+(10-8)2]=1.2. 因为 s2甲s2乙，所以乙运动员投篮更稳定. 当堂小练 3. 某外贸公司要出口一批规格为75 g的鸡腿，现有甲、乙、丙3个厂家提供货源，它们的价格相同，鸡腿品质也很相近，如图是质检员分别从3个厂家的产品中抽样调查的20只鸡腿的质量(单位：g)绘制成的统计图． 如果只考虑鸡腿的规格，那么外贸公司应该买____厂家的鸡腿(填“甲”或“乙”或“丙”)． 乙 解：从三个厂家的统计图中可以看出：甲厂家鸡腿恰好是75 g的只有2只，而乙厂家和丙厂家都有4只；由题图中数据可得͞x甲＝75.1(g)，͞x乙＝75(g)，͞x丙＝75(g)，从平均数可以看出三个厂家鸡腿的平均质量相差不大，可得s甲2＝4.39，s乙2＝2.5，s丙2＝6.6，从方差可以看出：甲厂家和丙厂家的鸡腿质量的波动较大，乙厂家鸡腿质量的波动较小．故应买乙厂家的鸡腿． 当堂小练 甲 0 1 0 2 2 0 3 1 2 4 乙 2 3 1 1 0 2 1 1 0 1 4. 甲、乙两台机床同时生产一种零件.在10天中，两台机床每天出次品的数量（单位：件）如下表所示. 解：(1) 甲， s2甲. . s2乙. (1)分别计算两组数据的平均数和方差. (2)哪台机床的性能比较好？ (2) 性能比较： ∴乙机床出次品的平均数较小. ∴乙机床出次品的波动较小. 结论： 乙机床的性能较好. 组别 1号 2号 3号 4号 5号 6号 平均数 方差 甲 96 92 88 94 101 81 92   乙 95 96 87 93 94   93 当堂小练 5. 体育课进行小组跳绳比赛，在规定时间内两个小组每名同学跳绳次数情况记录如下表： 93 (1)根据所给数据完成上表． (2) 请分别解释甲组中两个“92”的实际意义． 解：甲组中第一个92表示甲组2号同学在规定时间内跳绳的次数为92； 第二个92表示甲组六名同学在规定时间内跳绳的平均次数为92. 当堂小练 (3) 如果乙组中再增加一名学生，且他在规定时间内的跳绳次数为93，小明认为乙组的平均数和方差都不会发生改变．你认为小明的说法对吗？请说出你的理由． 组别 1号 2号 3号 4号 5号 6号 平均数 方差 甲 96 92 88 94 101 81 92   乙 95 96 87 93 94   93 93 对接中考 1. 某校七年级甲、乙、丙、丁四名同学参加1 分钟跳绳测试，每人10 次跳绳成绩的平均数及方差如下表： 甲 乙 丙 丁 平均数 205 217 208 217 方差 4.6 4.6 6.9 9.6 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，应选择( ) A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 解：从平均数的角度分析，乙和丁同学平均成绩最高；从方差角度分析，乙和甲方差最小，最稳定. B 对接中考 2. 科学家同时培育了甲、乙、丙、丁四种花，从甲、乙、丙、丁中选一种开花时间最短的并且最平稳的是(　　) B 种类 甲种类 乙种类 丙种类 丁种类 平均数 2.3 2.3 2.8 3.1 方差 1.05 0.78 1.05 0.78 A. 甲种类 B. 乙种类 C. 丙种类 D. 丁种类 拓展与延伸 7. 某校组织七、八年级学生参加了“中华传统文化知识”问答测试. 已知七、八年级各有600人，现从两个年级分别随机抽取10名学生的测试成绩x(单位：分)进行统计： 七年级：86 94 79 84 71 90 76 83 90 87 八年级：88 76 90 78 87 93 75 87 87 79   平均数 中位数 众数 方差 七年级 84 a 90 44.4 八年级 84 87 b 36.6 根据以上信息，解答下列各题： (1)填空：a＝______，b＝______. (2)学校规定测试成绩不低于85 分为“优秀”，估计该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数. (3)你认为哪个年级的学生掌握中华传统文化知识的总体水平较好(请从平均数、中位数、众数、方差等角度写出一条理由即可)？ 85 87 (3) 我认为八年级的学生掌握中华传统文化知识的总体水平较好．理由：因为七、八年级测试成绩的平均数相等，八年级测试成绩的方差小于七年级测试成绩的方 差，所以八年级的学生掌握中华传统文化知识的总体水平较好．(答案不唯一) 解：(2) 600×＋600×＝660. 答：估计该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数为660. 拓展与延伸 2. 甲、乙两人是新华高级中学数学兴趣小组成员．以下是他们在参加高中数学联赛预备队员集训期间的测试成绩及当地近五年高中数学联赛的相关信息． 信息一：甲、乙两人集训期间的测试成绩(单位：分)： 信息二：当地近五年高中数学联赛获奖分数线(单位：分)： 试根据以上信息及你所学的统计学知识，解答以下各题： 年份 2020 2021 2022 2023 2024 获奖分数线 90 89 90 89 90 其中，甲、乙成绩的 平均数分别是x甲＝85，͞x乙＝85； 方差分别是s甲2＝58.4，s乙2＝a． (1)计算a的值，并根据平均数与方差对甲、乙的成绩进行评价. 解：易得s乙2＝×(9＋4＋1＋9＋49＋4＋4＋1＋1＋0)＝×82＝8.2，即a＝8.2. 因为͞x甲＝͞x乙，s甲2>s乙2，所以甲、乙两人的整体水平相当，但乙的成绩比甲的稳定． 拓展与延伸 信息一：甲、乙两人集训期间的测试成绩(单位：分)： 信息二：当地近五年高中数学联赛获奖分数线(单位：分)： 年份 2020 2021 2022 2023 2024 获奖分数线 90 89 90 89 90 其中，甲、乙成绩的 平均数分别是x甲＝85，͞x乙＝85； 方差分别是s甲2＝58.4，s乙2＝8.2． (2) 计算当地近五年高中数学联赛获奖分数线的平均数，并说明：若要从甲、乙两人中选择一人参加高中数学联赛，选谁更合适. (3) 若要从甲、乙两人中选择一人参加进一步的培养，从发展潜能的角度考虑，你认为选谁更合适？为什么？ 解：(2) 当地近五年高中数学联赛获奖分数线的平均数为͞x＝ ×(90＋89＋90＋89＋90)＝89.6. 从信息一可知，在集训期间的十次测试成绩中，甲达到当地近五年高中数学联赛获奖分数线的平均数的次数为4，而乙的次数为1，所以甲获奖的可能性更大，故选甲参加更合适． (3) 选甲更合适．理由：在集训期间的十次测试成绩 中，甲整体呈上升趋势，而乙基本稳定在原有的水平，故从发展潜能的角度考虑，选甲更合适． 解：s甲2＝[(96－92)2＋(92－92)2＋(88－92)2＋(94－92)2＋(101－92)2＋(81－92)2]＝. 乙组6号同学的跳绳次数为6×93－(95＋96＋87＋93＋94)＝93. 解：不对．理由如下： 因为乙组的平均数为93，所以如果乙组中再增加一名学生，且他在规定时间内的跳绳次数为93，则平均数不会发生改变．增加一名学生后的 s乙2＝×[(95－93)2＋(96－93)2＋(87－93)2＋(93－93)2×3＋(94－93)2]＝. 所以方差发生改变． $