24.2 数据的离散程度 第1课时 方差 2025--2026学年人教版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦“数据的离散程度”第1课时，核心讲解离差平方和与方差。课堂导入通过篮球队员投篮测试和甜玉米种子产量问题，结合知识回顾的平均数、中位数、众数，构建从集中趋势到离散程度的学习支架。 其亮点在于以实际问题引导学生用数学眼光观察数据波动，通过离差到方差的推理过程培养数学思维，设置“思考”“练一练”强化数据观念。小结清晰呈现公式，实例丰富，助学生理解应用，教师教学更系统高效。

第二十四章 数据的分析 24.2 数据的离散程度 第1课时 方差 目 录 1. 学习目标 4. 知识点1 离差平方和 6. 课堂小结 7. 当堂小练 CONTENTS 9. 拓展与延伸 3. 新课导入 8. 对接中考 5. 知识点2 方差 2. 知识回顾 1. 了解数据离散程度的含义，掌握离差、离差平方和、方差的定义与意义. 2. 学会计算一组数据的离差平方和与方差，能用方差比较两组数据的波动大小. 3. 能利用方差分析和解决实际问题中数据的稳定性问题，从而做出合理判断. 学习目标 知识回顾 一般地，有n个数据x1，x2，，xn，我们把 叫作这n个数据的平均数，记作“ ”，即 . 平均数的定义 一般地，一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列，处于中间位置的数叫作这组数据的中位数. 中位数的定义 一组数据中出现次数最多的数据叫作这组数据的众数. 众数的定义 新课导入 问题 刘教练到我班选拔一名篮球队员，刘教练对陈方楷和李霖东两名学生进行5次投篮测试，每人每次投10个球，下图记录的是这两名同学5次投篮中所投中的个数. 队 员 第 1次 第2次 第3次 第4次 第5次 李霖东 7 8 8 8 9 陈方楷 10 6 10 6 8 (1) 请求出以上两组数据的平均数、中位数、众数； (3) 若要选一个投篮稳定的队员，选谁更好？ (2) 用复式折线统计图表示上述数据； 新课讲解 知识点1 离差平方和 问题 某农业科学院专家为某地选择合适的甜玉米种子.选择种子时，甜玉米的产量和产量的稳定性是专家所关心的问题.为了解甲、乙两种甜玉米种子的相关情况，专家各用10块自然条件相同的试验田进行试验，得到各试验田每公顷的产量 (单位：t) 如下表所示. 甲 7.65 7.50 7.62 7.59 7.65 7.64 7.50 7.40 7.41 7.41 乙 7.55 7.56 7.53 7.44 7.49 7.52 7.58 7.46 7.53 7.49 根据这些数据估计，专家应该选择哪种甜玉米种子呢? 上面两组数据的平均数分别是：甲=7.537，乙=7.515. 说明在试验田中，甲、乙两种甜玉米的平均产量相差不大. 由此可以估计出这个地区种植这两种甜玉米，它们的平均产量相差不大. 新课讲解 为了直观地观察甲、乙两种甜玉米在各试验田产量的分布情况，我们把表中的两组数据分别用图形进行描述，如图所示. 比较两幅图可以看出，甲种甜玉米在各试验田的产量波动较大，多个产量离平均产量较远；而乙种甜玉米在各试验田的产量波动较小，较集中地分布在平均产量附近.因此，从直观上判断乙种甜玉米的产量稳定性更好． 新课讲解 如何用一个值刻画一组数据的波动程度或离散程度呢？ 正如两幅图所呈现的，当数据分布比较分散时，数据与平均数的差异相对较大；当数据分布比较集中时，数据与平均数的差异相对较小. 反过来也成立. 这样，为了全面反映一组数据的离散程度，可以通过数据与平均数的差异来刻画. 思考 新课讲解 一般地，有 n 个数据 x1，x2，，xn，用表示它们的平均数，我们把 xi- （i=1，2，，n）叫作 xi 关于平均数的离差. 离差 可以用平均离差刻画一组数据的离散程度吗？ 用离差可以刻画每个数据与平均数的差异，但由 (x1- )+(x2- )++(xn- )=x1+x2++xn-n=0 可知，一组数据的离差和总是0，因此平均离差无法刻画一组数据与平均数的差异. 思考 新课讲解 为了避免离差求和时正负抵消的问题，统计中通常先对离差进行平方，然后求和.我们把 (x1- )2+(x2- )2++(xn- )2 叫作这 n 个数据关于平均数的离差平方和，记作“d2”. 离差平方和 新课讲解 例 1. 体育老师随机选取八年级两个班各10名同学测量身高(单位：cm)，数据如下： 八(2)班：154，161，149，158，162，155，160，152，156，163； 八(5)班：148，150，166，168，152，155，158，149，165，159. (1)分别计算两组数据的离差平方和； (2)根据离差平方和判断哪个班的身高数据离散程度更大. 解： (1) 计算平均身高： 八(2)班：1= × (154+161+149+158+162+155+160+152+156+163) =157. 八(5)班：2 = × (148+150+166+168+152+155+158+149+165+159) =157. 计算离差平方和： 八(2)班：d12=(154−157)²+(161−157)²+(149−157)²+(158−157)²+(162−157)²+(155−157)²+(160−157)²+(152−157)²+(156−157)²+(163−157)²=190. 八(5)班：d22=(148−157)²+(150−157)²+(166−157)²+(168−157)²+(152−157)²+(155−157)²+(158−157)²+(149−157)²+(165−157)²+(159−157)²=494. (2) 因为d12 < d22， 所以八（5）班身高数据离散程度更大. 新课讲解 练一练 2 1. 教练对王亮进行5次3分投篮测试，每次投10个球，这5次投篮测试中投中的个数分别为6，7，8，7，7，则这 5 次测试王亮成绩的离差平方和为________． 新课讲解 练一练 2. 己知甲组数据为1，2，3，4，5，乙组数据为6，7，8，9，x，如果两组数据的离差平方和相等，那么x＝________． 5或10 解：甲组数据都加上4得5，6，7，8，9，或甲组数据都加上5得6，7，8，9，10，因为乙组数据是6，7，8，9，x，两组数据的离差平方和相等，所以x＝5或10. 新课讲解 离差平方和的计算步骤 1. 求原始数据的平均数； 2. 求原始数据中各数据与平均数的差； 3. 求(2)中所得差的平方和. 归纳 新课讲解 知识点2 方差 把离差的平方的平均数 叫作这组数据的方差，记作“s2”. 方差的定义 1. 方差反映了每个数据与平均数的平均差异程度，能较好地反映出数据的离散程度，是刻画数据离散程度最常用的统计量. 方差的单位是原数据单位的平方. 2. 方差越大，数据的离散程度越大，即越不稳定；方差越小，数据的离散程度越小，即越稳定.而且在比较两组数据的离散程度时，不受数据个数的限制. 3. 实际问题中，方差可能越稳定越好，也可能越不稳定越好，所以方差的大小只能说明一种波动大小，不能说明优势、劣势. 方差的意义 新课讲解 甲 7.65 7.50 7.62 7.59 7.65 7.64 7.50 7.40 7.41 7.41 乙 7.55 7.56 7.53 7.44 7.49 7.52 7.58 7.46 7.53 7.49 你能利用方差公式分析甲、乙两种甜玉米产量的波动程度吗? ≈ 0.010， ≈ 0.002. 由，可得乙种甜玉米产量的离散程度较小，即乙种甜玉米产量波动较小，稳定性较好. 甲=7.537. 乙=7.515. 思考 由此可知，在试验田中，乙种甜玉米的产量比较稳定.正如用样本的平均数估计总体的平均数一样，也可以用样本的方差来估计总体的方差. 因此可以推测，在这个地区种植乙种甜玉米的产量比种植甲种的稳定. 综合考虑甲、乙两个品种的平均产量和产量的稳定性，可以推测这个地区比较适合种植乙种甜玉米. 新课讲解 例 2. 数据1，-3，4，-2，2的方差为________. 解：方法一 ∵ = = 0.4 . ∴ s² = × [(1−0.4)²+(−3−0.4)²+(4−0.4)²+(−2−0.4)²+(2−0.4)²]=6.64. 方法二 ∵= = 0.4 . ∴s²= × [1²+(−3)²+4²+(−2)²+2²−5×0.4²]=6.64 6.64 新课讲解 例 3. 某射击队为从甲、乙两名运动员中推荐一人参加全国比赛，对他们进行了八次测试，测试成绩(单位：环)如下表： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 第八次 甲 10 8 9 8 10 9 10 8 乙 10 7 10 10 9 8 8 10 (1) 根据表中的数据，计算出甲的平均成绩是___环，乙的平均成绩是___环. (2)分别计算甲、乙两名运动员八次测试成绩的方差. (3)你认为推荐谁参加全国比赛更合适？请说明理由. 9 9 解：(2) s2甲＝ ＝0.75， s2乙＝ ＝1.25. (3) 推荐甲参加全国比赛更合适 . 理由如下：甲、乙的平均成绩相等，说明其实力相当，但甲八次测试成绩的方差比乙小，说明甲发挥比较稳定，故推荐甲参加全国比赛更合适. 新课讲解 练一练 1. 在一次训练中，甲、乙、丙三人各射击10次的成绩（单位：环）如图所示，在这三人中，此次射击成绩最稳定的是________. 解：由图可知，乙的数据波动比较小，因此乙的射击成绩更稳定. 乙 新课讲解 练一练 2. 甲、乙两名气手枪运动员进行射击训练，10次射击成绩（单位：环）如下表所示. 哪名射击运动员的发挥更稳定？ 解：两名运动员射击成绩的平均数分别为甲= =8.7，乙= =8.6. 甲 9 7 9 10 10 8 9 10 5 10 乙 9 10 7 8 10 9 9 8 7 9 两名运动员射击成绩的方差分别为 s2甲= =2.41，s2乙= =1.04. 由s2甲＞s2乙可知，乙射击运动员的发挥更稳定. 新课讲解 练一练 3. 已知一组数据x1，x2，…，xn的平均数是10，方差是2，数据2x1＋3，2x2＋3，…，2xn＋3的方差是________． 8 解：因为数据x1，x2，…，xn的平均数是10，所以＝10. 所以数据2x1＋3，2x2＋3，…，2xn＋3的平均数是 ＝2×＋3＝23. 因为数据x1，x2，…，xn的方差是2，所以[(x1－10)2＋(x2－10)2＋…＋(xn－10)2]＝2，所以[(2x1＋3－23)2＋(2x2＋3－23)2＋…＋(2xn＋3－23)2] ＝ [4(x1－10)2＋4(x2－10)2＋…＋4(xn－10)2] ＝4× [(x1－10)2＋(x2－10)2＋…＋(xn－10)2] ＝4×2＝8. 新课讲解 用计算器求方差的步骤 通常先按某一功能键，使计算器进入统计状态； 然后依次输入数据x1，x2，…，xn； 最后按求方差的功能键，计算器便会求出方差s2＝ 的值. 如何使用计算器求方差？ 使用计算器的统计功能可以求方差.操作时需要参阅计算器的使用说明书，通常需要先按动有关键，使计算器进入统计状态，然后依次输入数据，最后按动求方差的功能键，计算器便会求出方差的值. 思考 新课讲解 拓展 设，，…的平均数是方差是 1. ①当的数值比价整齐是，可用公式； ②当已知数据比较分散时，可用公式； ③当已知数据比较接近某一常数时，可用公式； 其中， …， ，是接近原数据平均数的常数. 2. 常用公式 ① ， ，…， 的平均数为 ，方差是 ② ， ，…， 的平均数为 ，方差是； ③ ， ，…，的平均数为 ，方差是； 以上结论可直接运用到填空题或选择题. 课堂小结 数据的 离散程度 离差平方和 d2=(x1- )2+(x2- )2++(xn- )2. 方差 s2= . 当堂小练 D 当堂小练 2. 如图，有4组数据，将这4组数据按离散程度从小到大排序.先通过直观判断排序，再根据方差排序.这两种排序的结果是否一致？ 解：(1)1=×(6+6+6+6+6)=6， s21=×[(6−6)²+(6−6)²+(6−6)²+(6−6)²+(6−6)²]=0. (2)2=×(5+6+6+6+7)=6， s22=×[(5−6)²+(6−6)²+(6−6)²+(6−6)²+(7−6)²]=0.4 (3) 3= ×(4+5+6+7+8)=6， s23=×[(4−6)²+(5−6)²+(6−6)²+(7−6)²+(8−6)²]=2. (4) 4= ×(4+4+6+8+8)=6， s24=×[(4−6)²+(4−6)²+(6−6)²+(8−6)²+(8−6)²]=3.2. 所以这4组数据按方差大小，离散程度从小到大的排序为(1)<(2)<(3)<(4). 通过直观判断和根据方差排序的结果是一致的. 当堂小练 3. 人数相同的八年级甲、乙两班学生在同一次数学单元测试中，班级平均分和方差如下：甲=乙=80，s2甲=240，s2乙=180，则成绩较为稳定的班级是( ) A．甲班 B．乙班 C．两班成绩一样稳定 D．无法确定 B 解：稳定性，也就是指成绩的波动．成绩波动越小，成绩越稳定．根据“方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小”，我们很容易发现乙班的方差比甲班的小，所以乙班的成绩较稳定． 当堂小练 4. 下表记录了某市连续五天的日最高气温和日最低气温．比较这五天的日最高气温与日最低气温的波动情况，下列说法正确的是(　　) A．日最高气温的波动大 B．日最低气温的波动大 C．一样大 D．无法比较 A 日期 气温　　 2月2日  2月3日  2月4日  2月5日  2月6日 最高/℃ 12 6 10 9 8 最低/℃ 1 －2 －1 0 2 5. 某校七年级甲、乙、丙、丁四名同学参加1分钟跳绳测试，每人10次跳绳成绩的平均数(单位：个)及方差如下表所示：   根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，应选择(　　) A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 当堂小练 B   甲 乙 丙 丁 平均数 205 217 208 217 方差 4.6 4.6 6.9 9.6 当堂小练 6. 已知一组数据：33，47，47，4▲，52，56，其中一个两位数的个位数字被墨水涂污，则关于这组数据，下列统计量的计算结果与被涂污数字无关的是(　　) A．平均数　 B．离差平方和　 C．众数　 D．方差 C A．n的值是5 B．该组数据的平均数是7 C．该组数据的众数是6 D．若该组数据加入两个数7，7，则这组新数据的方差变小 对接中考 C 对接中考 2. 求一组数据方差的算式为：s2＝×[(6－x)2＋(8－͞x)2＋(8－͞x)2＋(6－͞x)2＋(7－͞x)2].由算式提供的信息，下列说法错误的是( ) A. n的值是5 B. 该组数据的平均数是7 C. 该组数据的众数是6 D. 若该组数据加入两个数7，7，则这组新数据的方差变小 解：A.算式中平方差项数为5，对应数据个数n＝5，正确； B. 平均数͞x＝＝7，正确； C. 数据中6和8均出现2次，次数最多，故众数为6 和8，错误； D. 加入两个7 后，方差由减小为，正确. C 拓展与延伸 a．甲、乙两名运动员10次测试成绩的折线图： b．丙运动员10次测试成绩(单位：s)：12.4　12.4　12.5　12.7　12.8　12.8　12.8　12.8　12.9　12.9   甲 乙 丙 丁 平均数/s 12.5 12.5 p 12.5 中位数/s m 12.5 12.8 12.45 方差 0.056 n 0.034 0.056 c．四名运动员10次测试成绩的平均数、中位数、方差： (1)表中m的值为________； (2)表中n________0.056(填“>”“＝”或“<”)； 12.5 < 校田径队教练选出甲、乙、丙、丁四名运动员参加100 m比赛．对这四名运动员最近10次100 m跑测试成绩(单位：s)的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息. 0.024 拓展与延伸 a．甲、乙两名运动员10次测试成绩的折线图： c．四名运动员10次测试成绩的平均数、中位数、方差： b．丙运动员10次测试成绩(单位：s)：12.4　12.4　12.5　12.7　12.8　12.8　12.8　12.8　12.9　12.9   甲 乙 丙 丁 平均数/s 12.5 12.5 p 12.5 中位数/s m 12.5 12.8 12.45 方差 0.056 n 0.034 0.056 12.5 0.024 12.7 (3)根据这10次测试成绩，教练按如下方式评估这四名运动员的实力强弱：首先比较平均数，平均数较小者实力更强；若平均数相等，则比较方差，方差较小者实力更强；若平均数、方差分别相等，则测试成绩小于平均数的次数较多者实力更强． 评估结果：这四名运动员按实力由强到弱依次为______________． 乙、丁、甲、丙 1. 如果样本数据的方差s2＝[(x1－19)2＋(x2－19)2＋…＋(x25－19)2]，那么这组样本数据的平均数和样本容量分别是(　　) A．25，25 B．25，19 C．19，19 D．19，25 1. 求一组数据方差的算式为：s2＝×[(6－x)2＋(8－x)2＋(8－x)2＋(6－x)2＋(7－x)2]．由算式提供的信息，下列说法错误的是(　　) $