24.2 第1课时 方差（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学下册同步备课（人教版）

该初中数学课件聚焦方差的概念、计算及应用，通过射击选手成绩情境导入，在平均成绩相同的情况下引出数据波动程度问题，结合甜玉米产量实例，从直观观察到数据刻画，逐步构建离差、离差平方和到方差的概念，形成学习支架。 其亮点在于以真实情境引导学生用数学眼光发现问题，通过离差和为0到平方处理的推理过程培养数学思维，用方差解决种子选择等实际问题强化数据观念与应用意识。例题与分层练习结合，帮助学生理解方差本质，教师可借助完整探究过程提升教学效率。

24.2 数据的波动程度 第1课时 方差 第二十四章 数据的分析 人教版 八年级(下) 1 1. 理解离差平方和与方差概念的产生和形成的过程，体会方差在实际生活中的应用价值.(重点) 2. 会求一组数据的方差，会根据计算结果比较两组数据的波动大小.(难点) 3. 感悟到方差是一种描述数据离散程度的统计量，能根据方差的大小对实际问题做出评判. 素养目标 现要从甲，乙两名射击选手中挑选一名射击选手参加比赛.若你是教练，你认为挑选哪一位比较合适？ 甲，乙两名射击选手的测试成绩统计如下： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 甲命中环数 7 8 8 8 9 乙命中环数 10 6 10 6 8 选谁呢？ 情境导入 问题 某农业农科院专家为某地选择合适的甜玉米种子. 选择种子时，甜玉米的产量和产量的稳定性是专家 所关心的问题．为了解甲、乙两种甜玉米种子的相关 情况，专家各用10 块自然条件相同的试验田进行试 验，得到各试验田每公顷的产量（单位：t）如下表： 甲 7.65 7.50 7.62 7.59 7.65 7.64 7.50 7.40 7.41 7.41 乙 7.55 7.56 7.53 7.44 7.49 7.52 7.58 7.46 7.53 7.49 根据这些数据估计，农科院应该选择哪种甜玉米种子呢？ 探究点：方差 新知探究 分析：(1)计算出两组数的平均数，你有什么发现？ 说明在试验田中，甲、乙两种甜玉米的平均产量相差不大． 可估计这个地区种植这两种甜玉米的平均产量相差不大． 甲 7.65 7.50 7.62 7.59 7.65 7.64 7.50 7.40 7.41 7.41 乙 7.55 7.56 7.53 7.44 7.49 7.52 7.58 7.46 7.53 7.49 探究点：方差 新知探究 (2) 画出甲、乙两种甜玉米的产量统计图. 甲种甜玉米的产量 乙种甜玉米的产量 平均数 平均数 探究点：方差 新知探究 (3) 观察 (2) 题图，你发现了什么？ 比较两幅图可以看出，甲种甜玉米在各试验田的产量波动较大，多个产量离平均产量较远；而乙种甜玉米在各试验田的产量波动较小，较集中地分布在平均产量附近.因此，从直观上判断乙种甜玉米的产量稳定性更好. 探究点：方差 新知探究 当数据分布比较分散时，数据与平均数的差异相对较大； 当数据分布比较集中时，数据与平均数的差异相对较小.反过来也成立. 这样，为了全面反映一组数据的离散程度，可以通过数据与平均数的差异来刻画. 思考：如何用一个值刻画一组数据的波动程度或离散程度呢？ 探究点：方差 新知探究 【知识要点】 一般地，有 n 个数据 x1，x2，···，xn，用 表示它们的平均数，我们把 xi－ (i = 1，2，···，n)叫作xi 关于平均数 的离差. 探究点：方差 新知探究 思考：可以用平均离差刻画一组数据的离散程度吗？ 可知，一组数据的离差和总是 0， 因此平均离差无法刻画一组数据与平均数的差异. 为了避免离差求和时正负抵消的问题，统计中通常先对离差进行平方，然后求和. 用离差可以刻画每个数据与平均数的差异，但由 (x1－ )＋(x2－ )＋ ··· ＋( xn－ ) ＝x1＋x2＋ ··· ＋xn－n ＝0 探究点：方差 新知探究 我们把 (x1－ )2 ＋ (x2－ )2 ＋ ··· ＋( xn－ )2 叫作这 n 个数据关于平均数的离差平方和，记作 d2. 把离差的平方的平均数 叫作这组数据的方差，记作“ s² ”. 【知识要点】 探究点：方差 新知探究 方差反映了每个数据与平均数的平均差异程度，能较好地反映出数据的离散程度，是刻画数据离散程度最常用的统计量， 方差越大，数据的离散程度越大； 方差越小，数据的离散程度越小. 方差的意义 探究点：方差 新知探究 请利用方差公式分析甲、乙两种甜玉米的波动程度． 　 两组数据的方差分别是： ∴这个地区比较适合种植乙种甜玉米. 　　由 　＞ 　，可得乙种甜玉米产量的离散程度较小，即乙种甜玉米产量波动较小，稳定性较好． 分析： 探究点：方差 新知探究 离差平方和可以刻画一组数据的离散程度.在比较两组数据的离散程度时，离差平方和只适用于数据个数相同的情况，而方差则不受这个限制. 思考：用离差平方和是否可以刻画数据的离散程度？和方差比较，有什么不足？ 探究点：方差 新知探究 例1 甲、乙两名气手枪运动员进行射击训练，0 次射击成绩（单位：环）如表所示. 甲 9 7 9 10 10 8 9 10 5 10 乙 9 10 7 8 10 9 9 8 7 9 哪名射击运动员的发挥更稳定? 探究点：方差 新知探究 由 可知，乙射击运动员的发挥更稳定. 解：两名运动员射击成绩的平均数分别为 甲 乙 两名运动员射击成绩的方差分别为 探究点：方差 新知探究 【答】(1)平均数：6，方差：0；(2)平均数：6；方差： (3)平均数：6，方差： ；(4)平均数：6，方差： . 1.用条形图表示下列各组数据，计算并比较它们的平 均数和方差，体会方差是怎样刻画数据的波动程度的. （1）6 6 6 6 6 6； （2）5 5 6 6 6 7 7； （3）3 3 4 6 8 9 9； （4）3 3 3 6 9 9 9. 【练一练】 探究点：方差 新知探究 1.不同品牌的计算器的操作步骤有所不同， 操作时需要参阅计算器的使用说明书. 2.通常需要先按动有关键，使计算器进入统计状态； 然后依次输入数据x1，x2，…，xn ；最后按动求方差的功能键（例如 键），计算器便会求出方差 的值. 使用计算器说明： 探究点：方差 新知探究 例如： 4. SHIFT + S-Var + xσn += ； 5. 将求出的结果平方，就得到方差 . 1. MODE + 2-SD 进入SD模式； 2. SHIFT + CLR + = 清除统计存储器； 3. 输入数据，每输入一个数据后按 DT ； 探究点：方差 新知探究 【回顾导入】 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 甲命中环数 7 8 8 8 9 乙命中环数 10 6 10 6 8 若你是教练，你认为挑选哪一位比较合适？ 探究点：方差 新知探究 【知识拓展】 若数据 x1、x2、…、xn 的平均数为 ，方差为 s2，则 x (1) 数据 x1 - 3，x2 - 3，x3 - 3，…，xn - 3， 平均数为 ，方差为 . (2) 数据 x1 + 3，x2 + 3，x3 + 3，…，xn + 3 平均数为 ，方差为 . 探究点：方差 新知探究 数据 x1-3，x2-3，x3-3，…，xn-3 分析： (1) 平均数： 方差： 同理：(2) 平均数： ； 方差： . 探究点：方差 新知探究 (3) 数据 3x1 ，3x2 ，3x3 ，…，3xn ， 平均数为 ，方差为 . (4) 数据 2x1 - 3，2x2 - 3，2x3 - 3 ，…，2xn - 3， 平均数为 ，方差为 . 探究点：方差 新知探究 数据 x1-3，x2-3，x3-3，…，xn-3 分析： (3) 平均数： 方差： 同理：(4) 平均数： ； 方差： . 探究点：方差 新知探究 【归纳总结】 方差的变化规律 数据 平均数 方差 x1 ，x2 ，x3 ，…，xn s2 s2 a2s2 a2s2 探究点：方差 新知探究 【练一练】1. 在这次篮球联赛中，最后是九班和三班争夺这次篮球赛冠军，赛前两个班的拉拉队都表演了啦啦操，参加表演的女同学的身高 (单位:cm) 分别是： 九班 163 163 165 165 165 166 166 167 三班 163 164 164 164 165 166 167 167 哪个班拉拉队女同学的身高更整齐? （1）你是如何理解“整齐”的？ （2）从数据上看，你是如何判断哪个队更整齐的？ 探究点：方差 新知探究 方法一： 方法二： 解：取 a = 165，将所有数据都减去 165，得 九班新数据为： -2，-2， 0， 0，0，1，1，2； 直接求原数据的方差. （请一位同学在黑板上板书，其他同学在本上作答） 三班新数据为： -2，-1，-1，-1，0，1，2，2. 求两组新数据的方差： 探究点：方差 新知探究 方法拓展 取一个适当的基准数 a 将原数据都减去 a，得到一组新数据 求新数据的方差 1 2 3 求一组较大数据的方差，有如下简便计算方法： 探究点：方差 新知探究 【练一练】 2. 若已知一组数据 x1，x2，…，xn 的平均数为 ， 方差为 s2，那么，另一组数据 3x1－2， 3x2－2，…，3xn－2 的平均数为 ， 方差为 . 9s2 探究点：方差 新知探究 方差 方差的统计学意义(判断数据的波动程度)： 方差越大(小)，数据的波动越大(小). 公式： 课堂小结 1. 下列各组数据中方差最大的一组是(　D　) A. 6，6，6，6，6 B. 5，6，6，6，7 C. 4，5，6，7，8 D. 3，3，6，9，9 2. 在方差计算公式s2＝ [(x1－20)2＋(x2－20)2＋… ＋(x10－20)2]中，数20表示这组数据的 . D 平均数　 当堂反馈 3. 定义：一组数据x1，x2，…，xn的平均数为 ， 那么称这n个数据与平均数的差的平方和叫作这n 个数据的离差平方和，记作d2＝(x1－ )2＋(x2－ )2 ＋…＋(xn－ )2.数据1，2，3，4，5的离差平方和 为 ⁠. 4. 已知一组数据10，8，9，x，5的众数是8，那么 这组数据的方差是 . 10　 2.8　 当堂反馈 命中环数/环 7 8 9 10 甲命中的频数/次 2 2 0 1 乙命中的频数/次 1 3 1 0 (1)甲、乙两人射击成绩的平均数、方差分别是多 少？ 5. 甲、乙两人进行射击训练，在相同条件下各射靶 5次，成绩统计如下： 当堂反馈 解：(1) ＝ ×(7×2＋8×2＋10)＝8(环)， ＝ ×(7＋8×3＋9)＝8(环)； ＝ ×[2×(7－8)2＋2×(8－8)2＋(10－8)2]＝ 1.2， ＝ ×[(7－8)2＋3×(8－8)2＋(9－8)2]＝0.4， ∴甲射击成绩的平均数是8，方差是1.2，乙射击成 绩的平均数是8，方差是0.4. 解：(1) ＝ ×(7×2＋8×2＋10)＝8(环)， ＝ ×(7＋8×3＋9)＝8(环)； ＝ ×[2×(7－8)2＋2×(8－8)2＋(10－8)2]＝1.2， ＝ ×[(7－8)2＋3×(8－8)2＋(9－8)2]＝0.4， ∴甲射击成绩的平均数是8，方差是1.2，乙射击成 绩的平均数是8，方差是0.4. 当堂反馈 (2)谁的射击成绩波动较小？ 解：(2)∵ ＝ ， ＞ ， ∴乙的射击成绩波动较小. 解：(2)∵ ＝ ， ＞ ， ∴乙的射击成绩波动较小. 命中环数/环 7 8 9 10 甲命中的频数/次 2 2 0 1 乙命中的频数/次 1 3 1 0 5. 甲、乙两人进行射击训练，在相同条件下各射靶 5次，成绩统计如下： 当堂反馈 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $