2026年甘肃兰州市中考数学考前自测

**基本信息** 结合量子计算成果、《张丘建算经》古题及化学变化概率等情境，通过原创动点面积函数、新定义“菱形特征比”等设计，实现基础巩固与创新应用的梯度考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题33分|实数、中心对称图形、圆内接四边形等|第3题以量子计算10064个原子考查科学记数法，体现科技前沿| |填空题|4题12分|因式分解、扇形面积、概率等|第14题结合圆形玉料雕刻扇形玉佩，考查传统文化中的几何计算| |解答题|11题75分|新定义、几何探究、函数综合等|第25题矩形折叠探究，通过动态变换考查空间观念与推理能力；第21题引入“特征比”新定义，培养创新意识|

2025-2026年兰州中考数学考前最后一卷 参考答案与解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A B D C A C D B C 题号 11 答案 D 1、 选择题 1、A 【详解】解：， 的算术平方根是． 2、A 【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，对各个选项进行判断即可． 【详解】解：、该图形绕中心旋转后能与原图形重合，是中心对称图形，故本选项符合题意； 、该图形绕中心旋转后不能与原图形重合，不是中心对称图形，故本选项不合题意； 、该图形绕中心旋转后不能与原图形重合，不是中心对称图形，故本选项不合题意； 、该图形绕中心旋转后不能与原图形重合，不是中心对称图形，故本选项不合题意． 3、B 【分析】根据科学记数法的定义确定和的值即可求解，科学记数法的表示形式为，要求满足，为整数． 【详解】解：将数据10064用科学记数法表示为． 4、D 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，解题关键是掌握一元二次方程无实数根时，判别式，先求出的取值范围，再选出符合范围的选项即可． 【详解】解：∵ 关于的一元二次方程无实数根， ∴ ， 将，，代入得， ， 解不等式得 ， 选项中只有 ，符合条件，故选D． 5、C【分析】由多边形内角和公式求解． 【详解】解：九边形的内角和为（9-2）×180°=1260°，故选C 6、A 【分析】由四边形内接于，可得，由，可得，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵四边形内接于，， ∴， ∵， ∴， ∴，故选A 7、C 【分析】根据函数图象确定的解集，再利用整体思想求解即可． 【详解】解：由图象可知，一次函数的图象与x轴交于点，且y随x的增大而增大， ∴当时，，即不等式的解集为． 要求不等式的解集，即求的解集， 将看作整体，可得， 解得． 方法二：不等式亦可理解为： 对应的不等式， 向右平移三个单位得到，根据图形可得的解集 8、D 【详解】解：设客人有x人，盘子有y个， ∵2人共用1个盘子时少2个盘子，说明需要的盘子总数比现有盘子数多2，∴可得方程， ∵3人共用1个盘子时多3个盘子，说明需要的盘子总数比现有盘子数少3，∴可得方程 因此所列方程组为． 9、B 【分析】根据平行四边形的性质，推出，利用等边对等角结合三角形的内角和定理求出，勾股定理求出的长，进而求出的长，根据平行四边形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图，连接交于点， ， ，，， 为的中点， ， ，， ， ， ， ， ． 10、C 【详解】解：对于选项A：由温度计的读数可知，，故A正确； 对于选项B：由图象可知，内A保温杯的曲线高于B保温杯的曲线，因此A保温杯的保温性能更好，故B正确； 对于选项C：从增加到时，A保温杯温度变化为，B保温杯温度变化为， ∵， ∴B保温杯的水温变化比A保温杯小，故C错误； 对于选项D：由图可知，当时，水温随时间的增大而降低，故D正确． 11、D 【分析】分别讨论点在AD、DC上运动的情况即可求解． 【详解】解：①当点在上运动时， 底变大：+ 高变大：+ 所以面积是二次函数，且开口向上 ②当点在上运动时， 底变大：+ 高不变：常数 所以面积是一次函数，且随着的变大而变大 综上分析可知，故选D 2、 填空题 12、 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进行二次分解即可. 【详解】解：. 13、 【分析】过点作于点，利用正方形的性质和角平分线的性质，得到；再在中求出的长度，进而得到正方形的边长，最后根据正方形对角线与边长的关系求出的长度． 【详解】解：过点作于点． ∵四边形是正方形， ∴，，． ∴， ∵平分，， ∴． 在中，， ∴． ∴． ∴． ∴． 14、18(注：不写单位不得分) 【分析】先根据圆周角定理得到为直径，再利用勾股定理求出的长，然后根据圆和扇形面积公式可求出阴影部分的面积． 【详解】解：如图2，连接， 由题意，，， ∴为圆O的直径，则， ∵， ∴， ∴废料（即图2中阴影部分）的面积为． 15、 【分析】把化冰为水记作，玻璃破碎记作，煤炭燃烧记作，铜环生绿记作，画出树状图，由树状图可知，共有种等可能的情况出现，其中同时抽到和的有种情况，所以两张卡片正面图案呈现的现象恰好都属于化学变化的概率是． 【详解】解：化冰为水记作，玻璃破碎记作，煤炭燃烧记作，铜环生绿记作， 其中化冰为水和玻璃破碎是物理变化，煤炭燃烧和铜环生绿是化学变化， 即和是化学变化， 画树状图，如下图所示， 由树状图可知，共有种等可能的情况出现，其中同时抽到和的有种情况， 两张卡片正面图案呈现的现象恰好都属于化学变化的概率是． 3、 解答题 16、 【分析】分别计算式子中的乘方、负整数指数幂、二次根式除法和绝对值，再按照有理数的运算顺序进行加减运算． 【详解】解： ． 17、 【详解】解：， 得， 解得， 将代入得， 解得， 方程组的解为． 18、 【详解】解：， ①， ， 解得， ②， ， 解得， ． 19、(1)， (2)， 【分析】（1）结合已知条件构造“一线三等角模型”即可确定点A的坐标，进而可确定反比例函数的表达式； （2）首先利用反比例的表达式确定交点坐标，然后把交点坐标代入平移后直线的表达式即可确定m的值． 【详解】（1）解：如图，作AD轴于点D． =，， =， =． 在和中， ， ，， ， A点坐标为． 把A点代入  ，得 ，  解得 ， 所以反比例函数的表达式为； （2）解：设直线的表达式为， 把代入，  得 ，解得． 所以直线的表达式为． 把代入，得y=． 所以平移后两个函数图象的交点坐标为． 由题意可知直线平移后得函数表达式为， 将交点坐标代入，得 =， 解得． 【点睛】本题考查了全等、待定系数法求函数解析式以及函数的平移等知识．能够准确识别和构造基本图形是解题的关键． 20、(1)10米 (2)5米 【分析】（1）根据，即可求解； （2）设旋转后的点B，M的对应点为，延长交于点，过点B作于点E，则，则四边形为矩形，可得米，在中，根据，可求出，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：， 在中，∵米，， ∴米 ， 即直吊臂的长度为10米； （2）解：设旋转后的点B，M的对应点为，延长交于点F，过点B作于点E，则， 根据题意得：米 ，米， ∴， ∴四边形为矩形， ∴米， 在中，米， ∴米， ∴货物M上升了5米． 21、(1)①1；②补全问题2的解答过程见解析 (2)作图见解析 【分析】（1）①由题意可得菱形为正方形，则，再结合特征比的定义即可得出结果；②由菱形的性质可得，，，从而即可得出，，解直角三角形即可得出结果； （2）以点为圆心，为半径画弧交于点，再分别以点、为圆心，长为半径画弧交于点，则菱形即为所作． 【详解】（1）解：（1）①∵菱形中，， ∴菱形为正方形， ∴， ∴该菱形的特征比为； 故答案为：1； ②∵四边形为菱形， ，，． ，． ∵在中，， ． ． （2）解：如图所示，菱形ABMN即为所求 （作法：以点为圆心，为半径画弧交于点，再分别以点、为圆心，长为半径画弧交于点） 证明：(不要求证明过程，只作为思路参考) 由作图可知，， ∴四边形为菱形， 连接，交于点，则，，， ∵在中，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴特征比为． 22、(1)50，24，补全图见详解 (2) (3)估计该校最喜爱足球运动的学生有480人 【分析】（1）观察统计图，喜欢排球的人数和所占的百分比是已知的，根据可得学生总人数，再根据可得m的值； 补全图用学生总人数减去喜欢足球、排球和羽毛球的人数可得喜欢篮球的人数，然后补全统计图即可； （2）根据“圆心角的度数部分所占的百分比”求解即可； （3）用“该校总人数×样本中喜欢足球的人数所占百分比”计算即可． 【详解】（1）解：抽取的学生共有（人）； 喜欢足球的学生所占的百分比为， 则；喜欢篮球的学生人数为（人）， 补全条形统计图如图所示： （2）解：，， 则扇形统计图中，“羽毛球”对应扇形的圆心角为； （3）解：（人） 答：估计该校最喜爱足球运动的学生有480人． 23、(1) (2)证明见解析； 【分析】（1）由待定系数法求抛物线的函数表达式即可； （2）①由抛物线上两个纵坐标相等的点关于对称轴对称得到，并将，代入函数表达式，代入要证等式左边恒等变形得到右边即可证明；②由抛物线的图象与性质，结合题意表示出和，由等量关系列方程求解即可． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴与轴交于点， ，解得， 抛物线的函数表达式为； （2）证明：，是抛物线上不同的两点， 点，关于对称轴对称， (，， ∵t≠0 ∴(≠0 ∴ = = ∴ 24、(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，利用可得，又根据等边对等角可得，进而可得，结论即可论证； （2）通过论证 即可得出结论． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ，即， 是的切线． （2）解：是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 25、(1)四边形的形状是正方形，理由见解析 (2)①，理由见解析；②5或 【分析】（1）根据矩形的性质得到，根据折叠的性质得到，，可知四边形是正方形； （2）①根据折叠的性质得到，根据等边对等角得到，进而得到，可知，根据矩形的性质得到，，可知四边形是平行四边形，即可求出与的数量关系； ②根据勾股定理求出，根据折叠的性质得到，，设平移距离为x，则，根据得到，进而得到，，过作交于H，根据三角函数求出，根据勾股定理得到，过E作交于M，根据得到，，设，根据勾股定理求出，进而求出，得到，可知，根据等腰三角形的定义分两种情况列方程求解即可． 【详解】（1）解：四边形为正方形，理由如下： 矩形， ， 折叠， ，， 四边形是正方形； （2）解：①，理由如下： ∵点G是的中点， ∴， 由折叠的性质可知， ∴， ∴， ∵，， ∴， 即， ∴， ∵矩形， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴； ②∵，， ∴，， ∴， 由折叠的性质可知，， 设平移距离为x， ∴， ∵， ∴， ∴，， 过作交于H， 可知， ∴， ∴， 过E作交于M， ∵， ∴，， 设，则， ∴， ∵， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴， ∴， ∴． 当时，， 即， 解得（负值舍去）； 当时，， 即， 解得（负值舍去）； 综上所述，的长度为5或 26、(1)①；② (2)；； (3) 【分析】（1）①根据新定义，结合平移的性质，得出， ②根据新定义确定平移方式，即可求解； 设，根据新定义得，即可求解； （2）根据题意得出点在以为圆心半径为1的圆上，求得，再根据一点到圆上的距离的最值问题，即可求解； （3）根据新定义得出点是以为圆心，为半径的圆上运动，进而结合图形分析两圆相切或相交时，的值，即可求解． 【详解】（1）解：①如图所示， ∵， ∴， ∴， 将点向左平移4个单位，向上平移2个单位得到 ②依题意，点是点的“对应点”， ∴从点到，平移方式为向右平移2个单位向上平移1个单位 设， ∴，解得： ∴ （2）解：∵点，时，是半径为的上一点，点是点的“对应点”， 将向右平移3个单位，向上平移3个单位得到， ∴点在以为圆心半径为1的圆上 ∴ ∴线段的最小值是；最大值为； （3）解：点，时，是以线段为半径的上一点， ∴ ∵点是点的“对应点”， ∴ 如图，点是以为圆心，为半径的圆上运动， 依题意，点是沿方向平移得到的，则 若上存在点是点的“对应点”，则两圆相切或相交， 当两圆相切时， ∴ ∵， ∴， ∴ 解得：或 当点在的左侧时， 如图，当点在的右侧时， 综上所述若上存在点是点的“对应点”，的取值范围为或． 学科网（北京）股份有限公司 $Sheet1 双向细目表 题号 题型 分值 考试内容 数学核心 难易程度 难度系数 简单 中档 难 1 选择题 3 二次根式的计算 运算能力 √ 0.9 2 选择题 3 中心对称图形 空间观念 √ 0.9 3 选择题 3 科学记数法 抽象能力 √ 0.9 4 选择题 3 一元二次方程根的情况 逻辑推理，数学运算 √ 0.9 5 选择题 3 多边形的内角和 几何直观，数学运算 √ 0.8 6 选择题 3 圆心角、圆周角、弧的关系 几何直观，推理能力 √ 0.8 7 选择题 3 一次函数与一元一次不等式的关系 逻辑推理，数学运算 √ 0.85 8 选择题 3 实际情景抽象二元一次方程组 数学抽象，数学建模 √ 0.75 9 选择题 3 相似三角形性质 几何直观与模型观念，运算能力 √ 0.8 10 选择题 3 数据分析 逻辑推理与应用意识 √ 0.8 11 选择题 3 几何动点抽象函数类型 数学抽象，数学建模 √ 0.7 12 填空题 3 因式分解 数学抽象，化归与转化 √ 0.9 13 填空题 3 角平分线的性质 模型思想，数学运算 √ 0.9 14 填空题 3 扇形面积计算 推理、应用意识，运算能力 √ 0.75 15 填空题 3 概率与化学结合 数学抽象，应用意识 √ 0.85 16 解答题 5 实数运算 数学运算，逻辑推理 √ 0.85 17 解答题 5 解二元一次方程组 数学抽象，逻辑推理 √ 0.85 18 解答题 5 解一元一次不等式组 符号意识，运算、推理能力 √ 0.8 19 解答题 7 反比例函数与一次函数的综合 几何直观与数形结合，问题解决与应用意识 √ 0.6 20 解答题 7 三角函数与实际问题结合 数学建模，直观想象 √ 0.6 21 解答题 7 尺规作图阅读信息题 几何直观，逻辑推理 √ 0.7 22 解答题 7 统计、图表信息题 数据意识，数据分析观念，应用意识 √ 0.75 23 解答题 7 代数推理：二次函数推理 逻辑推理，运算能力，模型观念 √ √ 0.5 24 解答题 8 圆的综合（切线的判定与性质） 几何直观，逻辑推理，与探究能力 √ √ √ 0.5 25 解答题 8 综合实践（几何探究） 几何直观，逻辑推理，与探究能力 √ √ √ 0.4 26 解答题 9 新定义：代数综合 符号意识，逻辑推理，数学运算，创新意识 √ √ √ 0.4 Sheet2 Sheet3 $ 2 绝密★启用前 2025-2026年兰州中考数学考前最后一卷 注意事项： 1.全卷共120分，考试时间120分钟. 2.考生必须将姓名、准考证号、考场号、座位号等个人信息填涂在答题卡上. 3.请将答案正确填写在答题卡的相应位置上. 一．选择题（本大题共11小题，每题3分，共33分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．（原创）的算术平方根是（   ） A． B． C． D． 2．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（　）． A．温州博物馆 B．西藏博物馆 C．广东博物馆 D．甘肃博物馆 3．2026年，清华大学翟荟教授团队在全自主开发的技术平台上，首次在实验中成功捕获了10064个原子，在量子计算发展进程中首次突破了万量级比特资源．这一里程碑式的成果标志着我国在量子计算硬件层面迈出了关键一步，也印证了“人工智能＋量子科技”融合发展的巨大潜力，数据10064用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 4．若关于的一元二次方程无实数根，则的值可以是（    ） A． B．0 C．2 D．3 5．如图，1角硬币是1992年6月1日中国人民银行发行的第三套金属流通币之一，该硬币呈圆形，边缘是正九边形的形状，则正九边形内角和为（　　） A．360° B．900° C．1260° D．1620° 6．如图，四边形内接于，，连接，若，则的度数为（ ） A．56° B．68° C．34° D．50° 7．如图为一次函数的图象，关于的不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 8．《张丘建算经》由北魏数学家张丘建所著，其中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘；三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”题目大意为：现有若干名客人．若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子．问客人和盘子各有多少？设客人有人，盘子有个，根据题意，下列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 9．如图，在中，AB=3，，为的中点，，则的面积为（   ） A．14 B．12 C． D． 10．为比较A，B两个保温杯的保温性能，物理实验小组的同学在两个保温杯中分别倒入相同毫升、相同温度的热水，用温度计测量其初始温度为示数如图甲所示，绘制水温随时间的变化图象如图乙所示．下列说法中错误的是（     ） A． B．A保温杯的保温性能更好 C．当时间从增加到时，B保温杯的水温变化比A保温杯大 D．当时，水温随时间的增大而降低 11．（原创）如图，矩形中，，动点P从点A出发，以的速度沿线段向点B运动，动点Q同时从点A出发，以的速度沿折线ADDC向点C运动，当一个点停止时另一个点也随之停止．设点P的运动时间是时，的面积是，则与之间函数关系是（    ） A．一次函数、二次函数 B．二次函数、二次函数 C．一次函数、一次函数 D．二次函数、一次函数 二、填空题（本大题共4小题，每题3分，共12分） 12．分解因式：______ 13．如图，在正方形中，连接、，的平分线交于点，交于点．若，则的长是________． 14．古语有“君子无故，玉不去身”，玉在中国的文明史上有着特殊的地位，其具有仁、智、义、礼、乐、忠、信、天、地、德、道等君子的品节．如图，现有一块直径为的圆形玉料，要用其雕刻出一个圆周角为的扇形玉佩，则废料（即图2中阴影部分）的面积为 . 15.化学变化是指物质在化学反应中发生的变化，生成新的物质，并伴随能量的变化.如图，4张卡片的正面分别呈现了几种常见的生活现象，它们的背面完全相同．现将所有卡片背面朝上洗匀后从中随机抽取两张，这两张卡片正面图案呈现的现象恰好都属于化学变化的概率是________． 三、解答题（本大题共11小题，共75分） 16. （5分）计算： 17.（5分）解二元一次方程组: 18.（5分）解不等式组： 19.(7分) 在平面直角坐标系中，将一块含有 45°角的直角三角板按如图所示的方式放置，直角顶点 C 的坐标为(2,0)，顶点 B 的坐标为(0,4)，顶点 A 恰好落在反比例函数的图象上． (1)求反比例函数的表达式． (2)将直线OA 向上平移m(m>0)个单位长度后所得的直线与反比例函数的图象的交点的横坐标为3m，求m 的值． 20.（7分）某型号起重机吊起一货物M在空中保持静止状态时，货物M与点O的连线恰好平行于地面，米，． (1)求直吊臂的长度； (2)直吊臂与的长度保持不变，绕点O逆时针旋转，当时，货物M上升了多少米？ 参考数据：，，，，，（结果精确到1米） 21.（7分）阅读与思考 下面是小思同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务. 菱形的“特征比” 菱形的四条边相等，两条对角线的数量关系却有不同，这种不同会影响菱形的形状．为了刻画菱形之间形状的差异，我们把两条对角线长度的比值叫做该菱形的特征比，记作，其中．【概念感知】 如图1，菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点，若，则菱形的特征比． 【特例分析】 问题1：已知菱形ABCD中，，则该菱形的特征比为 ▲ ； 问题2：如图2，已知菱形中，对角线，交于点，且．若菱形的特征比，求的度数．解答如下： 解：∵菱形的特征比，AC<BD …… 任务： (1)特例分析： ①问题1中“▲”处空缺的内容为； ②补全问题2的解答过程； (2)理解应用：如图3，在中，.请在图3中作出以为边、特征比为的菱形（要求：①尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；②作出一个即可）． 22.（7分）某校计划组织全校学生开展系列体育活动，筹备足球，排球，篮球，羽毛球四个球类运动的体育社团，倡导学生全员参加，为了解学生对这四项球类运动的喜爱情况，随机抽取部分学生，对其进行了“我最喜爱的球类运动项目”问卷调查（每名学生在这四项球类运动项目中选择且只能选择一项），将这部分学生的问卷进行整理，依据样本数据绘制了下边两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： (1)本次调查抽取的学生共有___________人，___________；并补全条形统计图； (2)扇形统计图中，“羽毛球”对应扇形的圆心角为__________； (3)若该校有2000名学生，请你估计该校最喜爱足球运动的学生有多少人？ 23.（原创）（7分）在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴与轴交于点 (1)求抛物线的函数表达式； (2)若，是抛物线上不同的两点，且，．求证： 24.(8分) 如图，内接于，且是的直径，是外一点，连接，过点作于点，交于点，． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为，，，求的长． 25.（8分）综合与探究 问题情境 数学活动课上，老师带领同学们利用矩形纸片开展活动．如图1，将矩形沿过点B的直线折叠，使得点A的对应点E落在边上，折痕与交于点F． (1) 试判断四边形的形状，并说明理由． 动手实践 (2)如图2，点G是的中点，勤学小组的同学将矩形沿直线折叠，点A的对应点为E，连接，并延长交于点F． ①试判断与的数量关系，并说明理由． ②若，，将沿射线方向移动，得到，若是以为腰的等腰三角形，请直接写出的长度． 26.（9分）在平面直角坐标系中，已知点，，对于坐标原点和点给出如下定义：将点向右或向左平移个单位长度，再向上或向下平移个单位长度，得到点，称点是点的“对应点”． (1)如图，当点，时， ①点的“对应点”为点，则点P的坐标是 ； ②若点是点 “的对应点”，则N1的坐标是______； (2)当点，时，是半径为的上一点，点是点的“对应点”，求线段的最小值和最大值. (3)当点，时，是以线段为半径的上一点，若上存在点是点的“对应点”，直接写出的取值范围． 2 第2页 共5页 学科网（北京）股份有限公司 $