B7 江苏省扬州市广陵区2025年九年级第二次模拟考试数学试题-【壹学知道】2026年江苏13大市中考数学精编28+6套卷

扬州市广陵区2025年九年级第二次模拟考试数学试题 (满分：150分考试时间：120分钟) 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的) 1.今年“五一”长假扬州共接待游客6250000人次，用科学记数法表示6250000为 A.625×104 B.0.625×10 C.6.25×10 D.62.5×105 2.下列算式中，计算结果为a的是 A.a2ta B.a2·a4 C.(a4)2 D.a12÷a2 3.实数a,b在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是 由 0b A.ab B.a>b C.ab D.lal<bl 最 4.已知A=x2十a,B=2x.若对于所有的实数x,A的值始终比B的值大，则a的值可能是( A.-1 B.0 C.1 D.2 囚 5.下列几何体中，主视图、左视图和俯视图完全相同的是 A.球体 B.圆柱 C.三棱锥 D.三棱柱 6.如图，在△ABC中，∠C=90°，沿DE翻折使得点A与点B重合，若∠CBD=26°，则∠ADE的度 数是 A.57° B.58° C.59 D.60° % D月 E (第6题) (第7题) (第8题) 7.如图，在△ABC中，P是边AB上一点，在边AC上求作一点Q,使得△AQP∽△ABC. 甲的作法：过点P作PQ∥BC,交AC于点Q,则点Q即为所求. p 乙的作法：经过点P,B,C作⊙O,交AC于点Q,则点Q即为所求 对于甲、乙的作法，下列判断正确的是 ( A.甲错误，乙正确 B.甲正确，乙错误 C.甲、乙都错误 D.甲、乙都正确 8.如图，在矩形ABCO中，点A,C在坐标轴上，点B的坐标为（一2,4）.将△ABC沿AC翻折，得到 △ADC,则点D的坐标是 () A(》 /65 B.（52 /612 D.（55 B7-1 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 9.若式子√2一x在实数范围内有意义，则x的取值范围是 10.甲、乙、丙、丁四名同学五次数学测验成绩统计如下表.如果从这四名同学中选出一位成绩较好且 状态稳定的同学参加全国数学联赛，那么应选 同学. 甲 丙 丁 平均数 80 85 85 80 方差 42 42 54 59 11.口袋内装有一些除颜色外完全相同的红球、白球和黑球，从中摸出一球，摸出红球的概率是0.2， 摸出白球的概率是0.5，那么摸出黑球的概率是 12.一个长方形的面积为m3一4m,宽为m-2,则长为 13.我国古代数学著作《算法统宗》中记载了“绳索量竿”问题，其大意为：现有一根竿和一条绳索，用 绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺.求绳索和竿的长 度.设绳索长x尺，竿长y尺，可列方程组为 14.已知二次函数y=ax2+bx+c的图像经过点(-1,0)，(3,0)和(0,3)，则当x=2时，y的值 为 15.如图，直线a仍，三角板ABC的直角顶点C在直线b上.若∠1=40°，则∠2的度数为 (第15题) (第16题) 16.如图，在□ABCD中，点E在AD上，且EC平分∠BED.若∠EBC=30°，BE=8,则□ABCD 的面积为 17.如图，在平面直角坐标系xOy中，A,B,A',B'均为格点，将线段AB绕着某点旋转一个角度可 以得到线段A'B'(A与A',B与B'是对应，点)，则旋转中心的坐标为 3-21g1234567x 2 (第17题) (第18题) 18.如图，在平面直角坐标系0y中，函数y=(x>0)的图像经过A(x1,y),B(z2y)两点.若 △A0的面积为2，则2+兰的值为 x2 y2 B7-2 三、解答题（本大题共10小题，共96分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19.(8分)1)计算：应-3tam30°-(2)厂 ,1,2红-1≥x+2 (2)解不等式：2 3 20（侣分光化筒，再求位：1-）中”其中：是方程x-2红=0的-个限 21.(8分)甲、乙、丙三个电子产品厂家在广告中都声称，他们的某种电子产品在正常情况下的使用 寿命都是8年，经质量检测部门对这三家销售的产品的使用寿命进行跟踪调查，统计结果如下， （单位：年) 甲厂：4,5,5,5,5,7,9,12,13,15. 乙厂：6,6,8,8,8,9,10,12,14,15. 丙厂：4,4,4,6,7,9,13,15,16,16. 请回答下面的问题. (1)填空： 平均数 众数 中位数 甲厂 分 6 乙厂 9.6 8.5 丙厂 9.4 4 (2)这三个厂家的销售广告分别利用了哪一种表示集中趋势的统计量？ (3)如果你是顾客，你会买三家中哪一家的电子产品？为什么？ B7-3 22.(8分)某初级中学准备随机选出七、八、九三个年级各1名学生担任领操员.现已知这三个年级 分别选一男、一女共6名学生为备选人.请你利用树状图或表格求选出“两男一女”三名领操员的 概率. 23.(10分)某班级准备组织全班同学到学校结对农场参加夏收劳动，班长从农场带回来两条信息. 信息一：从学校到农场有两条行车路线，路线一全程30km,但路况不太好，路线二全程36km, 路况比较好； 信息二：一般情况下走路线二的平均车速是走路线一的平均车速的1.8倍，走路线二所用的时间 比走路线一所用的时间少20min. 根据以上信息，求走路线二的平均车速. 24.(10分)如图，在□ABCD中，E,F是对角线BD上的点，且BE=DF,连接AE,CF. (1)求证：△ADE≌△CBF. (2)连接AF,CE,若AB=AD,判断四边形AFCE的形状，并说明理由. B7-4 25.(10分)(1)如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4,BC=3.若DE⊥AC,且DE=DB,求AD 的长 (2)如图2，已知△ABC.若边AB上存在一点M,边AC上存在一点N,使得MB=MN,且 △AMN∽△ABC(其中点M与点B对应)，请利用没有刻度的直尺和圆规作出符合条件的 线段MN.(注：保留作图痕迹，并写出必要的文字说明) 图1 图2 26.(10分)如图，E为正方形ABCD的边BC上一点，⊙O是△ABE的外接圆，与AD交于点F,G 是CD上一点，且∠DGF=∠AEB. (1)求证：FG是⊙O的切线 (2)若AB=4,DG=1,求半径OA的长. 27.(12分)在矩形ABCD中，E是射线BC上一动点，连接AE,过点B作BF⊥AE于点G,交直线 CD于点F. (1)当矩形ABCD是正方形时，以F为直角顶点在正方形ABCD的外部作等腰直角三角形 CFH,连接EH. ①如图1，若点E在线段BC上，则线段AE与EH之间的数量关系是 ,位置关系 是 ②如图2，若点E在线段BC的延长线上，①中的结论还成立吗？如果成立，请给予证明；如 果不成立，请说明理由， B7-5 (2)如图3，若点E在线段BC上，以BE和BF为邻边作□BEHF,M是BH的中点，连接GM, AB=3,BC=2,求GM的最小值. H D G 图1 图2 图3 28.(12分)如图，顶点为A(一4,4)的二次函数图像经过原点(0,0)，点P在该图像上，OP交其对称 轴I于点M,点M,N关于点A对称，连接PN,ON (1)求该二次函数的表达式. (2)若点P的坐标是(-6,3)，求△OPN的面积. (3)当点P在对称轴1左侧的二次函数图像上运动时，请解答下面的问题： ①求证：∠PNM=∠ONM; ②若△OPN为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标. B7-6O 图3 B 图4 26.解析：本题是一道新定义题，主要考查了坐标 变换、函数图像上点的坐标特征、两点间距离公式、三 角形形状的判定、一次函数与二次函数的综合应用以 及参数取值范围的确定，分别设出点的坐标和其“变换 点”的坐标并代入相应的函数表达式进行求解是解题 的关键.(1)根据“变换点”的定义即可求解.(2)①设点 D的坐标为(e,）,则变换点E的坐标为(e+子 一a),根据两点间的距离公式分别计算出OD,O正， a DE的长，即可作出判断；②设L的函数表达式为y= kx十c,设D(t,t坎十c),则E(t十tk+c,t十c一t),然 后将点E的坐标代入y=2x十1，求出和c的值，即 可求出L的函数表达式.(3)设点F的坐标为(n, -n2-4n),则“变换点”G的坐标为（一n2-3n,一n2一 5n),结合0≤x≤2，可求出n的取值范围，再将点E的 坐标代入y=2x十m,求得m=n2十n,然后根据二次 函数的性质及n的取值范围即可求出m的取值范围. 解：(1)点A(0,2)的“变换点”坐标为(2,2)，点 B(2,0)的“变换点”坐标为(2，一2)，点C(2,2)的“变换 点”坐标为(4,0)，.点C的“变换点”在x轴上. 故答案为C (2)①△ODE是等腰直角三角形.理由如下： :点D在反比例函数y=2的图像上， :可设点D的坐标为(a,2）,则其“变换点”E的 坐标为(a+2,2-a), aa 00=a+40E=(a+)》'+(经-a) -(a+-°+（层-a-2广-a+ 2a2+8 a 4 3, ..OD=DE,OD2+DE2=OE2, ∴.△ODE是等腰直角三角形，且∠ODE=90°. ②设L的函数表达式为y=kx十c. ,点D在L上， ∴.可设点D的坐标为(t,tk十c),则其“变换点”E 的坐标为(t十tk十c,tk+c一t), .点E在一次函数y=2x十1的图像上， ,∴.tk十c-t=2(t十tk+c)十1， 整理，得(k十3)t十c+1=0, ∴.k十3=0，c十1=0，解得k=一3，c=一1， .L的函数表达式为y=一3x一1. (3)F是二次函数y=一x2一4x的图像上 一点， .可设点F的坐标为(n,一n2一4n),则其“变换 点”G的坐标为（一n2-3n,一n2一5n). 由题意可知，0≤-n2-3n≤2， ∴.-3n-2或-1≤n0. 点G在一次函数y=2x十m的图像上， .-n2-5n=2(-n2-3n)+m,.m=n2+n. 二次函数m=n2十n的图像开口向上，对称轴为 直线n=一合 ①当一3≤n≤一2时，在对称轴的左侧，m随n的 增大而减小， .当n=一3时，m最大=6，当n=一2时，m最小=2， ,∴.m的取值范围是2≤m≤6； ②当-1≤n≤0时，：-1≤7≤0，当n月 1 时，小=二，当n=二1或n=0时，m袋大言 m的取值范围是-≤m≤0 4 1 综上所述，m的取值范围是一4≤m≤0或2≤ m6. B7扬州市广陵区2025年九年级第二次 模拟考试数学试题 1.C解析：本题考查了用科学记数法表示较大 的数.用科学记数法表示较大的数的一般形式为a× 10”,其中1|a<10,n等于原数的整数位数减1. .6250000=6.25×10. 2.B解析：本题考查了合并同类项、同底数幂的 乘除以及幂的乘方.a2与a不是同类项，不能合并， 故A选项不符合题意；a2·a=a2+=a,故B选项符 合题意；(a)2=a4x2=a8,故C选项不符合题意；a12÷ a2=a2-2=a1°，故D选项不符合题意. 3.B解析：本题考查了实数与数轴.由数轴可 得，a<0<b,|a|>|b|,故A、C、D选项错误，B选项 正确. 4.D解析：本题考查了二次函数图像与x轴的 交点问题，将不等式转化为二次函数与x轴的交点问 题是解题的关键.，A的值始终比B的值大，x2十 a>2x,x2-2x十a>0,即函数y=x2-2x+a的图 像与x轴无交点，∴.(-2)2-4×1×a=4-4a<0,解 得a>1,故a的值可能是2. 5.A解析：本题考查了几何体的三视图.球体的 主视图、左视图和俯视图都是圆，故A选项符合题意； 圆柱的主视图和左视图都是矩形，但俯视图是一个圆 形，故B选项不符合题意；三棱锥的主视图和左视图都 是三角形，俯视图的外围是三角形，但它的内部有一点 与三个顶点连接，故C选项不符合题意；三棱柱的主视 图和左视图都是矩形，但俯视图是一个三角形，故D选 项不符合题意， 6.B解析：本题考查了折叠的性质、三角形的外角 性质，由折叠的性质，得∠ADE=∠BDE=号∠ADB. ,∠ADB=∠C+∠CBD=90°+26°=116°，.∠ADE= 2×116°=58°. 7.A解析：本题考查了尺规作图、圆内接四边形 的性质、相似三角形的判定.甲的作法：PQ∥BC, ,∴.△APQ∽△ABC,故甲的作法错误；乙的作法：如 图，.B,C,Q,P四点共圆，.∠B+∠CQP=180°， .∠AQP+∠CQP=180°，∴.∠AQP=∠B,:∠A= ∠A,.△AQP∽△ABC,故乙的作法正确. C 8.D解析：本题考查了图形的折叠问题、坐标与 图形、矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质 以及相似三角形的判定与性质.如图，过点D作DF⊥ AF于点F.点B的坐标为(-2,4)，∴AO=BC=2, AB=CO=4.根据折叠及矩形的性质可知，CD= BC=OA,而∠ADC=∠AOE=90°，∠DEC= ∠AEO,∴.△CDE2△AOE,.OE=DE,OA=CD= 2.设OE=x,则CE=4-x,DE=x.在Rt△DCE中， 由勾股定理得CE2=DE2十CD2,即(4-x)2=x2十 2,解得x=,∴AE=CE=4-2-受又：DFL 35 AF,DF∥EO,∴△AEOO△ADF,:.AE=EO ”AD-DF 53 AO 22 2 A5.AD=AB=4,A=DF=A不，.DF=∠， 5 AF-90F=AF-OA=9-2=号点D的坐 5 标为号，号》. y D F x 9.x2解析：本题考查了二次根式有意义的条 件.式子√2-x在实数范围内有意义，.2-x≥0， 解得x≤2. 10.乙解析：本题考查了平均数和方差的意义. 由表可知，乙、丙的平均数大于甲、丁的平均数，乙、 丙的成绩较好，又，乙的方差小于丙的方差，∴乙的成 绩较好且状态稳定. 11.0.3解析：本题考查了概率的意义.，摸出 红球的概率是0.2，摸出白球的概率是0.5，∴.摸出黑 球的概率是1一0.2一0.5=0.3. 12.m2+2m解析：本题考查了整式的除法、长 方形的面积公式.根据长方形的面积公式，得长方形的 长=m-4m_m(m+2)（m-2-m(m+2）=m+ m-2 m-2 2m. x-y=5, x-y=5, 13.1 解析：根据题意，得 1 -2*=5 y-2x=5. 14.3解析：本题考查了用待定系数法求二次函 数表达式以及求函数值.，'二次函数y=ax2十bx十c 的图像经过点（一1,0），(3,0)，.可设二次函数的表达 式为y=a(x一3)(x十1)，把点(0,3)的坐标代人， 得-3a=3,解得a=-1,∴.二次函数的表达式为 y=-（x-3)(x+1),即y=-x2+2x+3,∴.当x= 2时，y=-22+2×2+3=3. 15.50°解析：本题考查了平行线的性质.如图， ,a∥%，.∠3=∠1=40°.又.∠3+∠2+90°=180°， ∴.∠2=180°-90°-∠3=180°-90°-40°=50°. 32 b C 16.32解析：本题考查了平行四边形的性质、含 30°角的直角三角形的性质、角平分线的定义、等腰三 角形的判定以及平行四边形面积的计算，添加辅助线 构造直角三角形求出平行四边形的高是解题的关键. 如图，过点E作EF⊥BC,垂足为F.∠EBC=30°， BE=8,EF=2BE=4.:四边形ABCD是平行四 边形，AD∥BC,∴.∠DEC=∠BCE.又：EC平分 ∠BED,即∠BEC=∠DEC,∴.∠BCE=∠BEC, .BC=BE=8,.四边形ABCD的面积=BC·EF= 8×4=32. 17.（3,1)解析：本题考查了坐标与图形变 化—旋转以及旋转中心的确定.如图，分别作线段 AA',BB'的垂直平分线，两线相交于点P(3,1),即将 线段AB绕点P(3,1)顺时针旋转90°可以得到线段 A'B',.旋转中心的坐标为(3,1). 2-11234567x 21 18.2 解析：本题考查了反比例函数表达式中 值的几何意义以及代数式的求值，将△ABO的面积用点 A和点B的坐标表示出来是解题的关键.如图，过点A 作AC⊥x轴，过点B作BD⊥x轴，垂足分别为C,D, 1 9 则SAONC=S△OBD= 2k,.SAAB0=S带形AcB= 2 20+为0，-a)-号 ,整理，得xy1一x1y=9. 又1y1·x2y2=36,即x1y2·x2y1=36,.(x2y1 9)x2y1=36,解得x2y1=12或x2y1=-3.又由题知， A,B两点均在第一象限，xy1=12,+义4= x1y2十x2y1_2x2y1-92X12-95 x2y2 6 6 21 VA D 19.解析：本题考查了实数的混合运算和解一元 一次不等式.(1)先分别对二次根式、特殊角的三角函 数值、负整数指数幂进行化简，再计算即可；(2)先去分 母，再去括号，然后移项、合并同类项，最后把x的系数 化为1即可. 解：1)原式=25-3×5-2=5-2. 3 (2)去分母，得3(1-2x)-6≥2(x+2), 去括号，得3-6x-6≥2x十4， 移项、合并同类项，得一8x≥7， 系数化为1得<日 原不等式的解集为x≤-。 20.解析：本题考查了分式的化简求值以及一元 二次方程的解法.先根据分式的混合运算顺序和运算 法则化简原式，再求解方程并结合分式有意义的条件 将适合的x的值代入计算即可. 解：原式=-2.x+1)(x-1D-x十1 x-1·(x-2)2x-2 解x2一2x=0,得x1=0,x2=2(使分式无意义， 舍去)， 5当x=0时，原式-8}日 21.解析：本题考查了平均数、众数、中位数. (1)根据平均数、中位数、众数的定义分别进行解答，即 可得出答案；(2)一组数据的平均数、众数、中位数从不 同角度表示数据的集中趋势，再结合使用寿命都是 8年，即可解答；(3)比较三个厂家电子产品使用寿命 的平均数、中位数、众数的大小，即可得出答案 解：1)甲厂电子产品使用寿合的平均数为0× (4+5+5+5+5+7+9+12+13+15)=8;乙厂电子 产品的使用寿命中，8出现了3次，出现的次数最多， 则众数为8；丙厂电子产品的使用寿命中，中位数为 7+9 =8 2 故答案为8,8,8. (2)甲厂的销售广告利用了平均数8表示集中趋 势的统计量；乙厂的销售广告利用了众数8表示集中 趋势的统计量；丙厂的销售广告利用了中位数8表示 集中趋势的统计量. (3)选乙厂家的产品.理由如下：乙厂的平均数、众 数、中位数分别大于甲厂和丙厂的平均数、众数、中位 数，因此应选乙厂的电子产品更合适. 22.解析：本题考查了用列表法或画树状图法求 概率.列表或画树状图得出所有等可能的结果数以及 选出“两男一女”的结果数，再利用概率公式即可得出 答案 解：画树状图如图所示.由树状图可知，共有8种 等可能的结果，其中选出“两男一女”三名领操员的结 果有3种，∴选出“两男一女”三名领操员的概率为 七年级 男 八年级 九年级 男女男女 男女 男 23.解析：本题考查了分式方程的应用.设走路线 一的平均车速是xkm/h,则走路线二的平均车速是 1.8xkm/h,根据走路线二所用的时间比走路线一所 用的时间少20min,列出分式方程，解方程即可. 解：设走路线一的平均车速是xkm/h,则走路线 二的平均车速是1.8xkm/h. 根据落意用2总+品解得工一30 经检验，x=30是原分式方程的解，且符合题意， 则1.8x=54. 答：走路线二的平均车速是54km/h. 24.解析：本题考查了平行四边形的判定与性质、 全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质.(1)根 据“SAS”即可证明三角形全等；(2)首先证明四边形 AFCE是平行四边形，然后根据对角线互相垂直的平 行四边形是菱形证明即可. (1)证明：，四边形ABCD是平行四边形， .AD=BC,AD∥BC,.∠ADE=∠CBF. .BE=BF+EF,DF=DE+EF,BE=DF, .BF+EF=DE+EF,.'.BF=DE (AD-CB, 在△ADE和△CBF中，∠ADE=∠CBF, DE=BF, ∴.△ADE≌△CBF(SAS). (2)解：四边形AFCE是菱形.理由如下： 如图，连接AC,交BD于点O. 由(1)得，△ADE≌△CBF, ∴.AE=CF,∠AED=∠CFB. 又，∠AED+∠AEF=180°，∠CFB+∠EFC= 180°， ∴.∠AEF=∠EFC,∴.AE∥CF, ∴.四边形AFCE是平行四边形. 四边形ABCD是平行四边形，AB=AD, .四边形ABCD是菱形，.AC⊥BD, ∴.AC⊥EF,.四边形AFCE是菱形. D 25.解析：本题考查了勾股定理、尺规作图—复 杂作图、相似三角形的判定与性质.(1)先由勾股定理求 出AB的长，再根据DE∥BC,得出△ADE∽△ABC, 远而得到瓷-铝据此可得AD的长：(2作∠ABC 的平分线BN,交AC于点N,作BN的垂直平分线 MG交AB于点M,则MN=BM,易得MN∥BC,则 △AMN∽△ABC. 解：(1)在Rt△ABC中，由勾股定理得AB= √JAC2+BC=√4+32=5. 设AD=x,则DE=DB=AB-AD=5-x. .DE⊥AC,∴.∠AED=90°. 又∠C=90°，.DE∥BC,∴△ADEn△ABC, 瓷-铝即号-普解得受 &AD-号 (2)如图2，作∠ABC的平分线BN,交AC于点 N,作BN的垂直平分线MG交AB于点M,则MN即 为所求. 26.解析：本题考查了切线的判定、圆周角定理、 相似三角形的判定与性质、勾股定理、正方形的性质。 (1)连接OF,由正方形的性质得出AF∥BE,由平行线 的性质得出∠AEB=∠OAF,进而证出OF⊥FG,即 可得出结论；(2)连接EF,先证明△FDGD△ABE,然 后由剂似三角形的性质得出器-跽，求出BE=2。 最后由勾股定理即可求出OA的长. 证明：(1)如图，连接OF、 OA=OF,∴.∠OAF=∠OFA. .四边形ABCD是正方形， .AF∥BE,.∠AEB=∠OAF. ,∠DGF=∠AEB,∴.∠OFA=∠DGF. ,四边形ABCD是正方形， ,∴.∠D=90°，..∠DGF+∠DFG=90°， .∠OFA+∠DFG=90°， ∴.∠OFG=90°，∴.OF⊥FG ,OF是⊙O的半径，.FG是⊙O的切线. (2)解：如图，连接EF. ⊙O是△ABE的外接圆，∠B=90°， ∴.AE是⊙O的直径，∴.∠AFE=90°. 四边形ABCD是正方形， .∠BAF=∠ABE=90°， ,,四边形ABEF是矩形，BE=AF. ,∠DGF=∠AEB,∠D=∠B=90°， FD DG ·.△FDG∽△ABE,·AB-BE 四边形ABCD是正方形， ∴.BC=AD=AB=4, ..FD=AD-AF=4-AF=4-BE, :4-BE=1 4-BEBE=2. 在Rt△ABE中，由勾股定理得AE=√BE+AB2= √22+42=25， 0A=7AE=2×25=5, 1 D 27.解析：本题是四边形综合题，主要考查了正方 形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定 与性质、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定 与性质、二次函数的最值问题，找出全等三角形和相似 三角形并求出相关线段的关系是解题的关键.(1)①证 明△ABE≌△BCF,得到BE=CF,AE=BF,再证明 四边形BEHF为平行四边形，从而可得结果；②根据 ①中同样的证明方法求证即可.(2)先得出GM= 2EF,则当EF最小时，GM最小，设BE=c,证明 △ABE∽△BCF,用含x的代数式表示CF的长，再根 据勾股定理得EF=√侣：-4红十4，根据二次两数的 性质求出-4红十4的最小值，从面可求得GM的 最小值. 解：(1)①，四边形ABCD为正方形， .∴.AB=BC,∠ABC=∠BCD=90°， ∴.∠BAE+∠AEB=90°. AE⊥BF,∴.∠CBF+∠AEB=90°， ∴∠CBF=∠BAE, ∴.△ABE≌△BCF(ASA), .'BE=CF,AE=BF. ,△CFH为等腰直角三角形， ∴.FH=FC=BE,FH⊥FC. 又.CD⊥BC,.FH∥BC, 四边形BEHF为平行四边形， .BF∥EH且BF=EH, .AE=EH且AE⊥EH. 故答案为相等，垂直. ②成立，理由如下： 当点E在线段BC的延长线上时，同理①可得 △ABE≌△BCF(ASA), .BE=CF,AE=BF. ,△CFH为等腰直角三角形， .FH⊥FC,FH=FC=BE. 又.CD⊥BC,.FH∥BC, ∴.四边形BEHF为平行四边形， .BF∥EH且BF=EH, '.AE=EH且AE⊥EH. (2)如图，连接EF. ,四边形BEHF是平行四边形， ∴.EF与BH互相平分. 又M是BH的中点， '.M也是EF的中点，即EM=FM. :∠EGF-90,GM-2EP, ∴.当EF最小时，GM最小. 设BE=x,则CE=BC-BE=2-x. 同(1)可得∠CBF=∠BAE. 又.∠ABE=∠BCF=90°，.△ABE∽△BCF, 88E即-品cr- 3, /13 EF=√CE+CF=√gx2-4x+4. 设g=吕，-4红+4=(x-1》+则当 4一时y取得最小位。 EF的最小值为，故GM的最小值为 213 13 D G B 28.解析：本题是二次函数综合题，主要考查了用 待定系数法求函数表达式、中心对称的性质、相似三角 形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股 定理以及两点间的距离公式.(1)根据二次函数图像的 顶点坐标设出二次函数的表达式，再根据二次函数图 像经过原点，求出a的值，即可得出二次函数的表达 式.(2)设直线OP的函数表达式为y=kx,将点A的 坐标代入，求出直线OP的函数表达式为)y=一2x, 1 1 再把x=一4代入y=一2x,求出点M的坐标，根据 点M,N关于点P对称，求出点N的坐标，从而得出 MN的长，再根据三角形的面积公式即可得出答案 (3)@由点P在二次函数图像上，设P(,-号 2t),求出直线OP的函数表达式，进而表示出点M,N 的坐标，设对称轴1交x轴于点B,过点P作PC⊥L于 点C,构建△NCP∽△NBO,即可证得结论；②分三种 情况：(1)∠ONP为直角，(i)∠PON为直角， ()∠OPN为直角，分别进行讨论，进而得出满足条 件的结果 (1)解：设二次函数的表达式为y=a(x+4)2+4, 把点(0,0)的坐标代入，得0=16a十4，解得a= 1 4, 该二次函数的表达式为y=-号（红十4）2+4， 即y=--2x (2)解：设直线OP的函数表达式为y=kx(k≠0)， 将点P(一6,3)的坐标代入y=kx,解得k= ·直线OP的函数表达式为y=- 2. 当x-4时y-号×(-0-2M(-4,2. 又，点M,N关于点A(-4,4)对称， .N(-4,6),.MN=4, 1 ∴SaPN=SAOMN+S△PN=2MN·(x0-xM)+ 3MN(aw-x)-2MN·(。-,)=7X4× 6=12. (3)①证明：设P(,--2),其中1-4， 设直线OP的函数表达式为y=k'x(k'≠0)， 将点P(,--2)的坐标代入y=x,解得 '=二十8，直线OP的函数表达式为y=一十8 当x=-4时，y=t+8,∴.M(-4,t+8), ∴.AN=AM=4-(t+8)=-t-4,N(-4,-t). 如图，设对称轴l交x轴于点B,过点P作PC⊥L 于点C, 则B(-4,0),C(-4,-2-2). ..0B=4,NB=-t,PC=-4-t,NC=-t- (4-2刘）=+… -4-t 派8 又：∠NCP=∠NBO=90°， 9 .△NCP∽△NBO, ∴.∠PNC=∠ONB,即∠PNM=∠ONM. N C M 0 ②解：由(1)可知，二次函数的对称轴为直线 x=一4.分三种情况讨论： (i)若∠ONP为直角，由①得，∠PNM= ∠ONM=45°， .△PCN为等腰直角三角形，.PC=NC,即 -4-=+ 整理，得t2十8t+16=0,即(t十4)2=0，解得 t=一4， 此时点A与点P重合，故不存在点P使∠ONP 为直角； (i)若∠PON为直角，根据勾股定理得OP2+ ON2=PN2, :0p=+(-是-2)，0N=4+, PN=++(--2+), +(--2)厂++=4+4+ (--2+)°， 整理，得t(t2十8t一16)=0，解得t=0(不符合题 意，舍去)或t=-4一4√2或t=一4十4√2（不符合题 意，舍去)， .当t=-4-4√2，即点P的坐标为(-4一 4√2，一4)时，∠PON为直角； (m)若∠OPN为直角，可得∠NPM=∠OBM= 90°，且∠PMN=∠BMO, .△PMN∽△BMO, 又，∠MPN=∠OBN=90°，且∠PNM=∠ONB, .△PMN△BON, '.△PMNc∽△BMO∽△BON, 小08-8牛8-兰理得十0-0… 解得t=一4， 此时点A与点P重合，故不存在点P使∠OPN 为直角. 综上所述，当点P在对称轴1左侧的二次函数图 像上运动时，若△OPN为直角三角形，则点P的坐标 为(-4-42，-4).