精品解析：2026年高考上海卷数学高考真题（参考版）

**基本信息** 2026年上海数学高考卷以真实情境与创新问题为载体，通过梯度化设计考查数学抽象、逻辑推理与数据分析等核心素养，适配高考选拔要求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|12/54|集合、数列、函数、概率、向量、三角函数|第12题结合三角形与椭圆顶点焦点，考查几何直观与空间观念| |选择题|4/18|复数、概率、空间几何|第16题正方体旋转轨迹问题，体现空间想象与数学思维| |解答题|5/78|统计、立体几何、导数、双曲线、创新排列|第17题环保监测数据分析（数据观念），21题“π排列”定义（创新意识），综合考查数学语言表达与逻辑推理|

2026年普通高等学校招生全国统一考试 上海数学试卷 2026.06.07 考生注意： 1．本试卷共5页，21道试题，满分150分．考试时间120分钟． 2．本考试分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求，作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分． 3．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条形码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名． 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 已知集合，，则__________． 【答案】 【解析】 【详解】由题意得，解得，经验证此时集合满足题意. 2. 已知为等比数列，，，则__________． 【答案】 【解析】 【详解】设数列的公比为，则，则. 3. 已知，则__________． 【答案】 【解析】 【详解】． 4. 已知事件，互斥，，，则__________． 【答案】## 【解析】 【详解】因为互斥，所以. 5. 已知函数是偶函数，当时，，若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据偶函数的性质求解. 【详解】因为函数是偶函数，当时，， 所以，解得. 6. 已知，则展开式中的系数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】写出二项式的通项，令的次数为，即可求出展开式中的系数. 【详解】由题意， 在中，通项， 当即时，， ∴展开式中的系数为. 7. 已知，则的最大值为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据基本不等式可得，结合条件即可求结论. 【详解】因为，当且仅当时等号成立， 结合可得，， 当且仅当，或，时等号成立， 所以当，或，时，取最大值，最大值为. 8. 已知随机变量的分布为，且，则__________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据分布列性质及数学期望公式计算求解. 【详解】因为随机变量的分布为，且， 所以，且， 解得. 9. 已知等差数列中，，公差为，其前项和在区间内至少有两项，则公差的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据等差数列求和公式列式计算求解. 【详解】根据已知前项和在区间内至少有两项，则得出， 且，是单调递增的，所以必须满足， 所以，所以. 10. 已知向量，，是两两不平行的向量，且，，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】方法一：由条件可得，，消去，根据平面向量基本定理列方程求结论； 方法二：先证明共面，设，由条件结合平面向量基本定理列方程求结论. 【详解】方法一：因为，所以， 因为，所以， 所以， 因为不平行，所以， 所以， 方法二：因为，，两两不平行， 所以，， 若不共面，所以，矛盾， 所以共面，可设， 所以， 所以， 因为，可设， 所以，， 所以，， 所以，所以. 11. 已知三角函数（，，，），若，当或时其导数为0，初始速度为0，且速度第一次达到4时用时为0.1秒，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用已知条件结合三角函数的性质构造方程组求出，结合初速度为0，求出，结合第一次达到最大值的时间构造方程求出，进而求出解析式． 【详解】由题意知，和时，导数为0，即的最小值为0，最大值为4， 又， 所以，解得，故； 已知初速度为0，则，解得， 已知，则， 速度第一次达到4时用时秒，则， 即，则， 解得， 解得，当时取得最小正数，， 此时． 12. 在中，，，．已知点，，分别为椭圆的上、下、右顶点，以及两个焦点中的三点，求椭圆的离心率__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆对称性分析各点的可能性情况，分情况讨论求的值，即可得离心率. 【详解】因为， 根据对称性可知：点其中一个为上下顶点，一个为右顶点，一个为焦点，不妨取上顶点. ①当点中一个为上顶点，一个为右顶点，一个为左焦点，如图1 则或，解得或无解； ②当点中一个为上顶点，一个为右顶点，一个为右焦点，如图2， 则或，方程组均无解； 综上所述：，，，所以离心率. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，13、14每题4分，15、16每题5分） 13. 为不为1的任意实数，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由，则. 14. 事件和事件相互独立，“和至少一个发生”的对立事件是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据事件的独立性及对立定义求解. 【详解】根据已知至少有一个发生， 则对立事件为都不发生，所以的对立事件为. 15. 已知，为复数，当为实数或的共轭复数为实数时，称和互相伴随．则当和互相伴随时，和互相伴随的充要条件是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，，由条件结合和互相伴随的定义可得，根据充要条件判断结论. 【详解】设，，，， 则，，，， ，， ，， 因为和互相伴随，所以， 若，则为实数，所以和互相伴随， 若和互相伴随，则， 所以和互相伴随的充要条件为. 16. 已知空间直角坐标系中有一正方体，其三组棱分别与轴、轴、轴重合，顶点与坐标原点重合，点是正方体底面中与相对对角顶点，点在点的正上方．将正方体绕直线旋转一周，试问点的运动轨迹会经过几个空间卦限（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】不妨设正方体的棱长为3，分析可知点的轨迹是以点为圆心，半径的圆，解法一：设，列方程分析点的轨迹与各坐标面的交点即可判断；解法二：利用补形法，可知点的轨迹即为的内切圆，即可判断结果. 【详解】不妨设正方体的棱长为3， 则，，， 可得，， 设点在体对角线上的投影为，，， 则， 可得，解得， 则，即，且， 可知点的轨迹是以点为圆心，半径的圆， 解法一：在点的轨迹任取一点，则， 则，整理可得， 令可得，解得，可知点的轨迹与平面相切， 令可得，解得，可知点的轨迹与平面相切， 令可得，解得，可知点的轨迹与平面相切， 所以点轨迹经过空间中的1个卦限； 解法二：将正方体补成边长为6的正方体，如图所示： 则，，， 可知为边长为的正三角形，且其中心为，且内切圆半径， 即可知点的轨迹即为的内切圆，所以点的轨迹经过空间中的1个卦限. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17. 某工厂为进行环境保护和改善，对2023年前九年间空气中颗粒物密度和二氧化硫密度进行了监测和记录，数据如下： 颗粒物密度 101.02 87.02 5747 21.85 11.76 8.86 5.03 4.63 3.86 二氧化硫密度 119.47 81.94 53.20 9.16 6.60 440 3.31 3.35 3.86 （1）为进一步研究，从这 9 年间随机抽取一年，该年份颗粒物的密度大于二氧化硫密度的概率是多少？ （2）为研究颗粒物密度与二氧化硫密度的相关性，该工厂应选取茎叶图、扇形图、散点图中的哪一种进行分析，并请你判断相关系数在 ，，哪个区间内？（直接写结论） （3）2023年前9年的年份()的平均数为 2018，(颗粒物密度) 关于(年份) 的回归方程拟采用，或. 已知2023年实际颗粒物密度为3.88，则哪个回归方程对于2023年的预测值与实际值的差值绝对值更小？ 参考数据： 【答案】（1）； （2）散点图； （3）的预测值与实际值之差的绝对值更小. 【解析】 【分析】（1）结合古典概型概率公式求解即可； （2）根据图表数据可以判断用散点图分析；结合相关系数的性质判断区间； （3）根据题意分别求解两种方程下的预测值与实际值的差值绝对值即可. 【小问1详解】 9年间共有7年颗粒物密度大于二氧化硫密度，故概率为. 【小问2详解】 统计图表需要呈现出随着二氧化硫密度变化时，颗粒物密度的变化趋势，故需要散点图进行呈现. 随着二氧化硫密度增加，颗粒物密度呈现增加趋势，故二者正相关，相关系数为正， 又因为相关系数，故相关系数在区间上. 【小问3详解】 采用方程时，2023年预测值为， 预测值与实际值差值绝对值为； 因为 ， 所以，可得. 故采用方程时， 2023年预测值为， 预测值与实际值差值绝对值为； 因为，故方程对于2023 年的预测值与实际值的差值绝对值更小. 18. 已知四棱锥，底面为矩形，底面，垂足在边上，且，，． （1）求证：； （2）若四棱锥的体积为，求二面角的大小． 【答案】（1）根据已知四棱锥的性质，结合已知条件，以为坐标原点，建立下图所示空间直角坐标系， 则，设点， 则， ， ． （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，得出相关点和向量坐标，利用向量的数量积为0，推出向量垂直； （2）利用棱锥体积公式求出，进而求出点，得出相关向量坐标，求出平面的法向量，进而利用向量夹角余弦公式求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 四棱锥体积，解得， ，则，， 设平面的法向量为，则， 令，则， 设平面的法向量为， 则，令，则， 设二面角为，则， 由图可知，二面角为锐角，则二面角大小为． 19. 已知，函数，． （1）已知，求的解集； （2）已知，是在点处的切线，是过点且垂直于的直线，与、在第一象限内均无公共点，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出参数，解不等式即可求出的范围； （2）求出直线与的方程，利用与、在第一象限内均无公共点，得出与无正实数解，分离参数，转化为直线与与曲线在内均无交点，对求导讨论其单调性，得出函数的最值，建立不等关系，即可求出实数的取值范围. 【小问1详解】 由题意，， 在与中， ，解得， ∴， ∵， ∴，解得或或 ∴不等式的解集为. 【小问2详解】 由题意及（1）得，， 在中，， ∴ ∵直线为在点的切线， ∴直线的方程为：，即， ∵是过点且垂直于的直线， ∴直线的方程为：，即， 在中，，与、在第一象限内均无公共点， ∴与无正实数解， 分离参数得，，， ∴直线与与曲线在内均无交点， 而， 当时，解得（舍）或， ∴当即时，函数单调递减， 当即时，函数单调递增， ∴在处取最小值，， 当时，，当时，， ∴且，即或， ∴实数的取值范围为. 20. 已知双曲线，点在上，，分别为双曲线的左、右焦点． （1）求点到双曲线渐近线的距离； （2）若，求； （3）记为双曲线满足和的部分；直线，均过右焦点，与交于，两点（分别在第一、第四象限），与交于，两点（分别在第三、四象限），问：是否存在常数，使得对任意直线，都存在唯一一对应的直线满足？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在实数符合题意，此时的取值范围为 【解析】 【分析】（1）根据双曲线方程求，即可得渐近线方程以及点到直线的距离； （2）解法一：根据余弦定理可得，结合定义可得，，即可得面积；解法二：设，根据数量积可得，即可得面积；解法三：根据极化恒等式和中线长性质可得，，结合面积公式运算求解； （3）根据题意结合双曲线性质可得直线斜率取值范围，设直线方程结合弦长公式可得，，进而分析取值范围即可得解. 【小问1详解】 由题意可知：，， 则，，渐近线方程为，即， 所以点到双曲线渐近线的距离为. 【小问2详解】 解法一：因为， 由余弦定理可得， 整理得：， 因点是双曲线上一点，则，可得， 代入可得，，则， 所以的面积为； 解法二：设，则，即， 可得，， 因为，即，解得， 所以的面积为； 解法三：因为，即， 由中线长定理可知：， 因为，可得， 代入可得，，可得， 解得，则，， 所以的面积为. 【小问3详解】 不妨取，，则直线的斜率， 依题意，设直线：，则，设直线：，则，，， 联立方程，消去x可得， 则，， 可得， 可知函数在内单调递增，则， 且当趋近于1时，趋近于，即在内的值域为，故， 因，所以； 同理可得： 可知在内单调递减，则， 且当趋近于1时，趋近于，即在内的值域为，故； 由题意可知：，可得，解得， 所以存在实数符合题意，此时的取值范围为. 21. 已知是，，的一个排列，若函数，，，对任意，都有且，则称是关于，，的一个排列，则关于，，的排列总数记为． （1）已知，，，，判断是否为排列； （2）对，，，满足条件的，求的取值范围； （3）对，且对任意，，令，，，，证明：若严格减，则存在，使；若严格增，则存在，． 【答案】（1）是排列； （2）； （3）首先证明第1个结论， 观察（2）问的6个情况，若和在上同时成立， 那么排列都将排列，此时至少为4． 当时，即， 因为是定义在上的函数，且严格单调递减，实数， 则恒成立， 又因为函数在上单调递增， 则在区间上，，. 若恒成立，则， 则只需，即，因为对任意的，， 则，则，则解得， 当时，即， 因为严格递减，所以且， ， 只要，就有， 则可取即可满足题意． 即存在，使得. 再证明第2个结论. 假设对于任意的，都有， 因为（2）中①排列始终满足条件， 则在剩下的5种排列中，只有唯一的一个是排列． 首先，我们证明不可能恒成立： 假设对于某个，在上恒有． 即， 即， 取．由于严格递增， 令， 则， 于是对任意正整数： ， 当时，，这与矛盾！ 因此，不可能恒成立．则排列③排列和④排列永远不可能是排列． 接下来只剩②排列，其需满足， ⑤排列，其需满足， ⑥排列，其需满足， 下面证明：对于任意在上恒成立＂与＂在上恒成立＂这两个命题，必须有且只有一个为真． （i）若对任意，都有，即都有， 对于任意和， 则， 当且仅当时等号成立，又因为，故等号无法取到， 所以恒成立， 则对所有的恒成立. 则此时②排列，⑤排列，⑥排列均成立， 则，与假设矛盾！ （ii）并非对于所有都有，即， 则必定存在，使得， 设， 因为是严格单调递增的连续函数， 则对于已知的，总可以找到，使得， 即，即， 同时，因为严格递增且，必有． 即， 即，即， 则可取充分小的使得，即存在，使得， 所以＂恒成立＂这个命题是假的． 既然为假，那么＂恒成立＂必须为真． 即除①排列外剩余的5个排列中，只有②排列成立，此时满足， 则对于，在时都有： ， 即， 取，则对于任意： ， 因为严格递增，则． 则 又因为， 则 即，对任意都成立． 取，因为，则， 则对于内的任意，都满足， 因为，故有， 但是，之前我们得到， 即，则， 则有：， 这与我们的假设相矛盾． 综上，原命题成立，必然存在，使得． 【解析】 【分析】（1）根据排列的定义判断即可； （2）分析得，，的全排列均符合题意，则得到不等式组，解出即可； （3）第一个结论分和讨论即可证明，第二个结论利用反证法即可证明. 【小问1详解】 由题意得， 则当，， 则恒成立， ， 则恒成立， 故是为排列. 【小问2详解】 若，则1，2，3的全排列均满足题意， ①，则有：，此时两个不等式显然成立． ②，则有：，即. ③，则有：，即. ④，则有：，即. ⑤，则有：． ⑥，则有：，即. 则上述不等式均要成立，取它们的交集有， 即，即对恒成立， 分离参数得，因为当时，， 所以. 【小问3详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年普通高等学校招生全国统一考试 上海数学试卷 2026.06.07 考生注意： 1．本试卷共5页，21道试题，满分150分．考试时间120分钟． 2．本考试分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求，作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分． 3．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条形码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名． 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 已知集合，，则__________． 2. 已知为等比数列，，，则__________． 3. 已知，则__________． 4. 已知事件，互斥，，，则__________． 5. 已知函数是偶函数，当时，，若，则__________． 6. 已知，则展开式中的系数为__________． 7. 已知，则的最大值为__________． 8. 已知随机变量的分布为，且，则__________． 9. 已知等差数列中，，公差为，其前项和在区间内至少有两项，则公差的取值范围是__________． 10. 已知向量，，是两两不平行的向量，且，，则的值为__________． 11. 已知三角函数（，，，），若，当或时其导数为0，初始速度为0，且速度第一次达到4时用时为0.1秒，则__________． 12. 在中，，，．已知点，，分别为椭圆的上、下、右顶点，以及两个焦点中的三点，求椭圆的离心率__________． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，13、14每题4分，15、16每题5分） 13. 为不为1的任意实数，则（ ）． A. B. C. D. 14. 事件和事件相互独立，“和至少一个发生”的对立事件是（ ）． A. B. C. D. 15. 已知，为复数，当为实数或的共轭复数为实数时，称和互相伴随．则当和互相伴随时，和互相伴随的充要条件是（ ）． A. B. C. D. 16. 已知空间直角坐标系中有一正方体，其三组棱分别与轴、轴、轴重合，顶点与坐标原点重合，点是正方体底面中与相对的对角顶点，点在点的正上方．将正方体绕直线旋转一周，试问点的运动轨迹会经过几个空间卦限（ ）． A. B. C. D. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17. 某工厂为进行环境保护和改善，对2023年前九年间空气中颗粒物密度和二氧化硫密度进行了监测和记录，数据如下： 颗粒物密度 101.02 87.02 57.47 21.85 11.76 8.86 5.03 4.63 3.86 二氧化硫密度 119.47 81.94 53.20 9.16 6.60 4.40 3.31 3.35 3.86 （1）为进一步研究，从这 9 年间随机抽取一年，该年份颗粒物的密度大于二氧化硫密度的概率是多少？ （2）为研究颗粒物密度与二氧化硫密度的相关性，该工厂应选取茎叶图、扇形图、散点图中的哪一种进行分析，并请你判断相关系数在 ，，哪个区间内？（直接写结论） （3）2023年前9年的年份()的平均数为 2018，(颗粒物密度) 关于(年份) 的回归方程拟采用，或. 已知2023年实际颗粒物密度为3.88，则哪个回归方程对于2023年的预测值与实际值的差值绝对值更小？ 参考数据： 18. 已知四棱锥，底面为矩形，底面，垂足在边上，且，，． （1）求证：； （2）若四棱锥的体积为，求二面角的大小． 19. 已知，函数，． （1）已知，求的解集； （2）已知，是在点处的切线，是过点且垂直于的直线，与、在第一象限内均无公共点，求的取值范围． 20. 已知双曲线，点在上，，分别为双曲线的左、右焦点． （1）求点到双曲线渐近线的距离； （2）若，求； （3）记为双曲线满足和的部分；直线，均过右焦点，与交于，两点（分别在第一、第四象限），与交于，两点（分别在第三、四象限），问：是否存在常数，使得对任意直线，都存在唯一一对应的直线满足？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 21. 已知是，，的一个排列，若函数，，，对任意，都有且，则称是关于，，的一个排列，则关于，，的排列总数记为． （1）已知，，，，判断是否为排列； （2）对，，，满足条件的，求的取值范围； （3）对，且对任意，，令，，，，证明：若严格减，则存在，使；若严格增，则存在，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $