专题06 导数及其应用（高效培优期末专项训练）高二数学沪教版选择性必修第二册

**基本信息** 以导数概念为起点，通过16个考点构建从基础运算到综合应用的完整训练体系，注重逻辑递进与解题能力培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念与运算|10题|定义极限计算、导数四则运算|从导数定义到运算法则，夯实数学抽象基础| |几何意义|8题|切线方程（过与在）、公切线|衔接导数几何意义，培养几何直观能力| |基础应用|10题|单调区间、极值最值（不含参）|通过函数性质研究，发展推理意识| |含参问题|13题|单调性、极值求参|强化参数分类讨论，提升逻辑推理能力| |综合应用|43题|不等式、零点、双变量、极值偏移|整合多考点，培养数学思维与问题解决能力|

品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题06 导数及其应用 考点归纳 考点01导数定义中极限的简单计算 考点02导数的运算 考点03利用导数几何意义求切线方程（过与在） 考点04公切线的问题 考点05函数图象与导函数以及极值最值的关系 考点06利用导数求单调区间（不含参） 考点07利用导数求极值与最值（不含参） 考点08利用函数在区间上的单调性求参数（单调、不单调、存在） 考点09利用导数求函数（含）的单调区间 考点10利用极值和最值求参数 考点11利用导数研究不等式恒成立问题 考点12利用导数研究能成立问题 考点13利用导数研究函数的零点（根） 考点14利用导数研究双变量问题 考点15利用导数研究函数图象及性质 考点16导数中的极值偏移问题 考点专练 考点01导数定义中极限的简单计算 玉。已知/分，四伍+国的指是() 2△x A. o. C.1 6 0.1 8 2.已知函数fx在x=x处可导，且imf+2-f=2,则川=（) △r→0 2Ax A.-1 B.-2 C.1 D.2 3.若mf3+△)-f3=5,则f'3)=() △x A.5 B.5 C.-5 D.6 3 4.若mf2-2A-f2=6,则/"川2)=（) A △x 1/12 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.3 B.-3 C.6 D.-6 考点02导数的运算 5.己知函数f(x)=ln(2x+1),则f'(I)=() A吉 c.3 D.3 6.下列求导结果正确的是() A[a2]=a.（m =COS 5 C.(log,)=-(a>0.a-1)D.(e)=e" xIna 7.己知f(x)=e-f0)x,则f(2)= 8.下列导数运算正确的是() A.(3=3 B.(log,x)=1 D.(cosx+2x2)=sinx+4x x2 9.若函数f(x=sin2x-2cosx, 则r) 10.求下列函数的导数： y1-3x (2)y= 4 e+1 (3)y=xIn(2x+5) 考点03利用导数几何意义求切线方程（过与在） 11.若函数fx=ax3+x(a∈R)的图象与直线2x+y+m=0相切于点(1，f(月，则实数m=() A.-2 B.2 C.-3 D.3 12.已知函数f(x=2x3+3x2. 仙用学数的定义求/付： 2求f(纠在x处的切线方程 13.曲线y=f(x)在点x=0处的切线方程为y=2x-1,则f(0)+f'(0)=() A.-1 B.0 C.1 D.2 14.已知f(x)=√x-2lnx,则曲线y=f(x)在点1，∫(1)处的切线方程为 15.已知函数f(x)=x3-x,曲线f(x)经过点P(1,0)的切线方程为 2/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 16.已知函数fx)=x. 线过应0》 且与曲线y=f(x)相切，求满足条件的直线I方程： 考点04公切线的问题 17.己知直线1与曲线f(x=e和gx=ln(x+2)均相切，则直线I的方程是 18.已知直线y=x是函数f(x=(x+a)e和函数gx=lnx+b图象的公切线，则3“-b= 19.若直线y=kx+1(k∈R是曲线y=nx+2与曲线y=e+bbeR的公切线，则b= 20.已知两函数y=4x,y=3x+m的图象有公共点，且在一个公共点处的切线重合，则m=(） A.0 B.1 C.0或-1 D.0或1 考点5函数图象与导函数以及极值最值的关系 21.函数y=∫x)的导函数y=∫'(x)的图象如图所示，下列说法错误的是() y=f(x) 2 02 A.y=∫(x)在x=0处切线的斜率大于零 B.点x=1是函数y=∫(x)的极值点 C.y=f(x)在区间(-2,2)上单调递增 D.点x=-2是函数y=∫(x)的极小值点 22.已知函数f(x)的定义域为R,它的导函数∫'(x)的图象如图所示.则下列结论中正确的是() 0八123 A.函数f(x)在(-0，)上单调递减 B.0是函数f(x)的极小值点 C.2是函数f(x)的极大值点 D.函数fx在(-o0,0),（2,+o)上单调递增 23.如图是函数y=f(x)的导函数y=∫'(x)的部分图象，则下列判断正确的是() 3/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2\V A.在区间(-2，)上，f(x)是增函数B.在区间(1,2)上，f(x)是减函数 C.当x=I时，f(x)取得极大值 D.当x=4时，f(x)取得极小值 24.若函数y=∫(x的导函数y=9(x='(x)图象如图所示，则下列说法正确的是() =f(x) 23-2 A.0'(x)<0的解集为-o,-3引 B.函数y=f(x)有2个极值点 C.函数y=∫(x)的单调递增区间为-1，+∞) D.-3是函数y=∫(x的极小值点 考点06利用导数求单调区间（不含参） 25.已知函数f(x)=e(x2-x+1) (1)求曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程； (2)求函数f(x)的单调区间. 26.已知函数f(x)=xlnx-1. (1)求函数在点(e,f(e)处的切线方程； (2)试判断函数(x)的单调性并写出单调区间. 27.函数f(x=lnx-2x的单调递增区间是() B.(0,2】 c.) D.(2,+0 28.函数f(x)=x2-2lnx的单调递增区间是() A.(0,1 B.(1,+0 c.（-1,1 D.-0,-1 考点07利用导数求极值与最值（不含参） 29.已知函数f()=nr-2x+l. (1)求函数fx)的极值； 4/12 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)求在点(1，f(1)处的切线方程 30.已知三次函数f(x)的导函数为f'(x,若f(x=x3+2xf"'1,则函数f(x的极大值为() A.-82 B.-4V2 C.82 D.4√2 31.已知不等式ax-x-lnx≥0对任意x>0恒成立，则实数a的取值范围为() A.[1,+o) B. C. 32.函数f(x)=2x- e-2nr-3的最大值为 r 33.己知函数f(x=lnx-ax. (1)当a=1时，求f(x)在区间[1,3]上的最小值和最大值： (2)求f(x)的单调区间. 34.已知函数f(x)=ax3+2bx+6在x=-1处取得极大值10， (1)求a,b的值： (2)求函数f(x)在区间[-2,2]上的最大值和最小值. 考点08利用函数在区间上的单调性求参数（单调、不单调、存在） 5。若函数八十nx在区间m,m+)上是单调减函数，则实数m的取值泡围是 36.若了倒写+-+bL+网上单调第增，则的取恤范周尼 (a-2)x-a+1,x<1 37.己知f(x)= -ax2+ln,x≥1 在（←0，四）上对任意x,x满足)-f西<0，则实数a的 X1-x2 取值范围为() A[528G2 C.(1,2) D.[1,2) 38.若函数f(x=lnx+ax2-4在区间 2 内存在单调递增区间，则实数的取值范围是() a.).) C.（-2,+o） D.[-2,+0) 39.已知函数f(x)=lnx,g(x)=二a2+2x,a≠0. (1)若函数h(x)=f(x)-g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围； (2)若函数h(x)=f(x)-g(x)在[L,4)上单调递减，求a的取值范围. 40.已知函数f(x)=3e-alnx在(2,4)存在单调递增区间，则a的取值范围为 41.若函数f)=2x-3-11nx在L,3)上不单调，则实数t的取值范围是() 5/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.(2√6,7) B.(7,+0) C.[7,+oo) D.[2V6,7] 42.己知函数f(x)=(2x-1e2-2mx3. 1若曲线y=f(x)在x=处的切线1与y轴垂直，求f(x)的单调区间； (2)若函数f(x)在(0，+∞)上不单调，求实数m的取值范围. 43.己知函数f(x)=x2+(x-2)e-2x+5在区间(2m-1,3m+2)上不单调，则m的取值范围是 考点09利用导数求函数（含）的单调区间 44.已知函数f(x)=lne+1-ax(a>0). (1)若函数y=-f(x)的导函数是奇函数，求a的值： (2)求函数y=f(x的单调区间. 45.已知函数fx)=lnx+x2+ax+1. (1)若函数f(x)在点(1，f1)处的切线斜率为2，求实数a的值； (2)讨论f(x)的单调性， 46.己知函数f(x)=lnx+ax2+(2a+1)x. (1)当a=-1时，求f(x)的单调区间 (2)讨论f(x)的单调性； 47.已知函数f(x)=x2-(2a+1)x+alnx(a∈R). (1)若a=-1,求曲线f(x在1，f1)处的切线方程； (2)讨论f(x)的单调性 2 f'(x) 0 f(x) 单调递减 单调递增 (0,a (1 a 2 f'(x) × 0 0 f(x刘 单调递增 单调递减 单调递增 6/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1 1 X 2 2.a a (a,+o） f(x) + 0 0 f(x刘 单调递增 单调递减 单调递增 48.已知函数f(x)=ln(ax)++a(x-1,其中a≠0. (1)当a=1时，若直线y=-x+b是曲线y=f(x)的一条切线，求b的值； (2)讨论f(x)的单调性 49.已知函数f(x=e-ax. (1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程； (2)讨论∫(x)的单调性， 50.已知函数f八=(x-2到e+受) (1)若a=e2,求函数y=f(x在点P(2,f(2)处的切线方程； (2)求函数f(x)的单调区间. 51.已知函数f(x)=nx+1,g()=a (1)讨论函数f(x)+g(x+1)在定义域内的单调性； 考点10利用极值和最值求参数 52.已知函数f(x=lnx-axa∈R )当a=时，求f(x的极值： (2)当a>0时，讨论函数f(x)在区间[1,2]上的单调性及最小值. 53.已知函数f=anx+-(a+)x(aeR) (1)讨论f(x)的单调性； (2)当a>1时，求f(x)在[1，e上的最小值， 54.若函数f(x)=e-lnx+m)的最小值为2+n2,则m=() A.-2 e22 D.+2 55.函数f(x=x-1)e-x2在(-1，a)上存在最大值，则实数a的取值范围为() A.a>-1 B.a>0 C.-1<a<1 D.0<a≤1 7/12 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 56.已知函数f(x)=1na-nx-bx+2b2-1在x=1处取得极大值0，则2= 57.函数f(x)=ax+bx2-12x在x=2处取得极小值-20，则a+b的值为() A.1 B.-1 C.3 D.-3 58.若函数f(x)=,x'-ax2+(3a-2)x+5a的两个极值点都为正数，则实数a的取值范围是 考点11利用导数研究不等式恒成立问题 59.己知函数fx)=xlnx-ar2-x (1)若曲线y=f(x在x=1处的切线斜率为1，求实数a的值； (2)若f(x≤0在定义域上恒成立，求实数a的取值范围. 60.已知函数f(x)=x+(a-3)nr+3a (1)若f(1)=7,求曲线y=f(x)在点(1,7处的切线方程； (2)讨论f(x)的单调性； (3)若fx)>0,求正数a的取值范围. 61.已知函数f(x=ax-lnx(aeR). (1)讨论函数f(x)的单调性： (2)若a≥0，且f(x≥2在(0，+o）上恒成立，求实数a的取值范围. 62.已知函数f(x=2lnx-mx+1的极值点为l,函数h(x)=axe-2lna,若f(x≤h(x对任意x>0恒成立， 则实数a的取值范围为 63.若函数fx=alnx-x,且∫(ax≤e-ax,则正实数a的取值范围是() 1 A.(0,e B 0, e c.(0,1 D.(0,e] 4.已知函数f(x)=e-ax-1. (1)讨论f(x)的单调性： (2)对任意的x>0,e+lnx≤f(x)+xe恒成立，求实数a的取值范围； 考点12利用导数研究能成立问题 65.己知函数fx=ax2-2(x-1)e. (1)若a=e,求f(x)的极值； (2)若a>1,且3x。e0,+o）,使得fx)≥2a,求实数a的取值范围. 66.已知函数f(x)=x2-2alnx,a>0. 8/12 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)若a=2,求曲线y=f(x)在点A(1,f(1)处的切线方程； (2)若存在xe(0,+o),使f(x<a2+lna,求a的取值范围。 67.已知函数f(x)=x2-(a+2)x+alnx,其中aeR.若存在xe[l,+o),使∫(x<a成立，则a的取值范 围是() 68.已知函数f(x)=e-ax2-(2a+1)x-a.若存在x,>-1,使得(x)<2成立，则a的取值范围为 69.己知函数f(x=axr+lnx,aeR (1)讨论f(x)的单调性： (2)若函数f(x)在xe(0,e]上的最大值为-3；求a的值； 3)设g(x)=x2-2x+2,若Vx1∈(0，+o),3x,∈[0,1，使得f(x,)<gx2),求a的取值范围 70.已知函数f(x=lnx,gx=ax,若存在唯一的x∈Z,使得f(xo)>gx),则实数a的取值范围为() C. D In2 In3 23 考点13利用导数研究函数的零点（根） 71.己知函数fx=e-ax-1,aeR,gx=xlnx, (1)当a=2时，求曲线y=f(x)在点1，f1)处的切线方程； (2)令F(x=∫(x)-gx),若函数F(x)在(0，+o)上存在两个零点，求实数a的取值范围. 已知∫八x)=x+之一x-一k(x≠0，若x)有两个零点，则实数k的取值范围为 A.(0,4 B.[0,4] C.（4,+0 D.-0,0jU4,+o】 73.已知函数f(x)=ax3+bx2+x+2(a,b∈R),当x=1时，f(x)有极大值3. (1)求a,b的值； (2)若方程f(x)=m在区间[-2,2]上恰有一个根，求实数m的取值范围. y-m 当0≤m<号时，仅(1,2有一个交点： 2 yfx) 9/12 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 当m=号时，在x=行利1,2各有一个交点，共两个： 当号<m<3时，在三个区间上各有一个交点，共三个， 74.已知关于x的方程e严+a=1一l血r有且仅有两个不同的实数解，则实数的取值范围为 75.己知函数f(x=ae2+(a-2)e-x有两个零点，则a的取值范围为() A.1,E 1 c.(1,e D.(0,1 76.若aeR,3a∈(1,3)，使得关于x的方程r2-ax-ax-1=(a2+2有4个不同的实根，则实数t的取值 范围为 考点14利用导数研究双变量问题 77.已知函数fx=xlnx-k,g(x)=x,若存在x∈[1，©，对任意x2e[1,e,使得f(x)2gx)恒成立，则 实数k的取值范围是() A.（-0,0] B.（-0, C.（-oo,e D.e,+o) 78.已知函数fm=e-2ex>0,g)=nx. (1)求函数h(x)=f(x)+g(x)在[L,上的最值及其零点个数； (2)若对于任意的0<x1<x2,均有fx)-agx)<fx,)-agx,),求a的取值范围. 79.己知6lnm=m+a,6n=e”+a,其中m≠e”,则m+e"的取值范围为() A.(0,6n2) B.(0,12) C.(61n2,+o) D.(12,+0) 80.已知函数f(x=lnx,g(x)=a,x∈(0，+o,且a≠0. (1)讨论函数h(x=f(x-gx)的单调性： (2)若曲线y=f(x和y=gx)存在公切线，求a的取值范围； (3)若存在相异实数m,n,使得fm)=gn),且f(n=gm),求a的取值范围. 81.已知函数f0)=ln(a四，g x,8(x)= 。,其中a≠0. (1)讨论f(x)的单调性： (2)当1≤x≤2时，g(f(x)》≥nV2,求实数a的取值范围； (3)若存在不等实数x和x,满足g(x)=g(x2),且2x<x2<3x,，求g(化+x2)的取值范围. 82.己知a>0,0<b<1,abea+lnb-1 =-be,则的最小值为· 考点15利用导数研究函数图象及性质 10/12 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 8.已知正实数a、c满足-合-cnc,则、么c的大小关系不可能是() A.axb>c B.axcxb C.b>a>c D.b>c>a 84.已知函数f()=n且函数g()=f(✉P+af()-8恰有6个零点，则实数a的取值范围为（） B.e-8,0 e D. e-88-e ee 85.若函数f(x)=(x+1)e-a的零点有两个，则实数a的取值范围是() a（*烟B(a0 c D.(0,+0】 6.已知关于x的方程&=ly有三个不相同的实根， 则实数a的取值范围为() x C. 11 A. D. 11 e 2e'e 2e'c 87.已知定义在(0，+o)上的函数f(x),其导函数为f'(x,若对xf'(x)+2fx)>0,则不等式 (x+2026)fx+2026s5f(5)的解集是 x+2026 88.已知函数fx)=与y=a有两个交点，交点横坐标分别为X,5,且x<x (1)求a的取值范围； (2)证明：x2-x1>-2ae+2; 考点16导数中的极值偏移问题 89.已知x1,x2是函数f(x)=e-ax的两个零点，且x<x2,求证：1+x2>2. 90.设函数fm=c-cr2- 2 3x-03+5 2,xe[0,+o0). (1)判断函数∫(x)的单调性： (2)若x≠x2,且fx)+f(x2)=6e,求证：x+x2<2. 91.己知函数f(x)=x-lnx-a. (1)若f(x)≥0，求a的取值范围： (2)证明：若f(x有两个零点x,x2,则xx2<1. 92.已知函数f(x=ae2x+(a-2)e*-x. (1)讨论f(x)的单调性： 11/12 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围； (3)若f(x)有两个零点x,x,证明x+x2<-2na. 93.已知函数f(x=x2-(a+2)x+alnr,其中aeR. (1)讨论f(x的单调性. (2)若函数g(x)=f(x-x2有两个不同的零点x,x2· ①求实数a的取值范围； ②证明：xx2>e2 94.已知函数f(x)=e-ax2(a∈R). 1)当a=时，求函数f)在x=1处的切线方程 (2)当x>0时，若函数(x)有2个不同的零点x,x2. (i)求a的取值范围； (i)证明：x1+x2>4 12/12 专题06 导数及其应用 考点01 导数定义中极限的简单计算 考点02 导数的运算 考点03 利用导数几何意义求切线方程（过与在） 考点04 公切线的问题 考点05 函数图象与导函数以及极值最值的关系 考点06 利用导数求单调区间（不含参） 考点07 利用导数求极值与最值（不含参） 考点08 利用函数在区间上的单调性求参数（单调、不单调、存在） 考点09 利用导数求函数(含参)的单调区间 考点10 利用极值和最值求参数 考点11 利用导数研究不等式恒成立问题 考点12 利用导数研究能成立问题 考点13 利用导数研究函数的零点（根） 考点14 利用导数研究双变量问题 考点15 利用导数研究函数图象及性质 考点16 导数中的极值偏移问题 考点01 导数定义中极限的简单计算 1．已知，的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 又，所以. 2．已知函数在处可导，且，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【详解】因为， 所以. 3．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据导数的定义：函数在处的导数为， 所以． 4．若，则（   ） A．3 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】借助导数定义计算即可得. 【详解】. 考点02 导数的运算 5．已知函数，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】首先根据简单的复合函数的导数求得，再将代入即可得解. 【详解】因为，所以， 所以． 6．下列求导结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：，故B错误； 对于C：，故C正确； 对于D：，故D错误． 7．已知，则______. 【答案】 【详解】由得，则，得， 故，因此． 8．下列导数运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：，故B错误； 对于C：，故C正确； 选项D：，故D错误. 9．若函数，则________ 【答案】2 【详解】由可得， 故. 10．求下列函数的导数： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据幂函数求导公式与复合函数链式求导法则计算即可； （2）先用对数求导法求得幂指函数的导数，再结合复合函数求导法则计算即可； （3）利用乘积求导法则，结合对数函数的复合求导法则计算. 【详解】（1）由于，所以，定义域为. （2）由于，所以，定义域为. （3）由于，所有，定义域为. 考点03 利用导数几何意义求切线方程（过与在） 11．若函数的图象与直线相切于点，则实数（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】根据导数的几何意义求出，进而求出切点坐标，代入直线方程求解即可. 【详解】，则，解得， 所以，即切点为， 代入直线整理得，解得. 12．已知函数． (1)利用导数的定义求； (2)求在处的切线方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，代入，求出极限值，即求出； （2）由导数的几何意义可知，在处的切线斜率即为，由点斜式方程求出切线方程. 【详解】（1）根据导数的定义，函数在处的导数为： . 当时，， ， 即， 化简整理得， 所以， 化简得. （2）由切线的点斜式方程：． 由（1）知，当时，，，代入得， 化简整理得切线方程为：. 13．曲线在点处的切线方程为，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【详解】由题可知， 且曲线在点处的切线方程为，即， 所以，所以 14．已知，则曲线在点处的切线方程为______． 【答案】 【分析】本题主要考查导数的几何意义，即函数在某点处的切线斜率等于该点处的导数值，再利用点斜式方程求出切线方程即可. 【详解】由，则，所以，又， 所以在点处的切线方程为，即. 15．已知函数，曲线经过点的切线方程为___________. 【答案】或 【分析】求导，设切点，求切线的斜率，利用点斜式写出切线方程，又切线过，将 代入切线方程得到的方程，解出的值，代入切线方程得解. 【详解】， 则设切点为， 可得过点的切线方程为， 代入点的坐标有， 整理为 因式分解为， 即， 解得或. ①当时，所求切线方程为， 整理为； ②当时，所求切线方程为， 整理为， 故曲线经过点的切线方程为或. 故答案为：或. 16．已知函数．直线过点且与曲线相切，求满足条件的直线方程； 【答案】 【分析】设切点坐标为，根据导数的几何意义可得切线方程为，代入点可得，即可得结果； 【详解】因为，则， 设切点坐标为，则切线斜率， 切线方程为，即， 代入点可得，解得， 所以直线方程为． 考点04 公切线的问题 17．已知直线与曲线和均相切，则直线的方程是________． 【答案】或 【分析】分别设出直线与两条曲线的切点，利用导数的几何意义得到切线斜率，结合同一条切线的斜率、截距对应相等列方程，联立求解即可得到切线方程. 【详解】设直线与曲线的切点为，与曲线的切点为，直线的斜率为. ∵ 函数在切点处的导数值等于切线的斜率，，， ∴ ①. 由点斜式得直线过切点的方程为，整理得. 直线过切点的方程为，整理得. 即 ②. 由①得，且， 代入②得， 即，整理得， 解得或. 当时，，直线的方程为，即. 当时，，直线的方程为，即. 经检验，两条直线均与两条曲线相切，均符合要求. 【点睛】方法归纳：求解两条曲线的公切线问题时，通常采用“双切点设元法”，分别设出直线与两条曲线的切点，利用导数的几何意义表示切线斜率，再结合同一直线的斜率、截距对应相等建立方程，求解后验证即可得到所有公切线. 18．已知直线是函数和函数图象的公切线，则__________． 【答案】 【分析】先利用公切线斜率求出的切点，代入得的值，再设上的切点，结合导数的几何意义和切点在函数图象上联立方程，利用函数单调性求，进而得，最后代入计算结果. 【详解】设直线与的切点为， 对求导得，由切线斜率为，得，解得， 故切点为，代入得，解得， 设直线与的切点为， 对求导得， 由切线斜率为，得 ， 又切点在图象上，故 ， 则， 设，则，故在上单调递增， 又，故，则，解得， 因此. 19．若直线是曲线与曲线的公切线，则______ 【答案】 【分析】设切线与的切点为和，利用导数的几何意义，分别求得切线方程和，结合题意，列出方程组，即可求解. 【详解】由函数和，可得和， 设公切线与的切点为， 可得，所以切线方程为，即， 因为公切线的方程为，可得，解得， 所以与的公切线的方程， 设公切线与的切点为，可得， 所以切线方程为，即， 因为公切线的方程为，可得，解得. 20．已知两函数，的图象有公共点，且在一个公共点处的切线重合，则（    ） A．0 B．1 C．0或 D．0或1 【答案】D 【分析】根据切线重合列方程，求得切点的横坐标，进而求得的值. 【详解】设两函数，的图象公共点的坐标为，则有①. 分别对两函数求导可得及， 由两函数在公共点处的切线重合，可得两函数在处的斜率相等， 即，即，解得或. 将代入①可得；将代入①可得，解得， 所以的值为0或1. 考点05 函数图象与导函数以及极值最值的关系 21．函数的导函数的图象如图所示，下列说法错误的是（    ） A．在处切线的斜率大于零 B．点是函数的极值点 C．在区间上单调递增 D．点是函数的极小值点 【答案】B 【分析】由图得到导数正负情况，再根据导数与单调性关系、极值点定义以及导数几何意义即可得解. 【详解】由图可得当时，； 当时，，当且仅当时. 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在处切线的斜率大于零，函数在处不能取极值， 函数在区间上单调递增,是函数的极小值点，所以B错误，ACD正确. 22．已知函数的定义域为，它的导函数的图象如图所示.则下列结论中正确的是（    ） A．函数在上单调递减 B．0是函数的极小值点 C．2是函数的极大值点 D．函数在，上单调递增 【答案】D 【详解】由导函数的图象可知，当，，当，，当，， 所以函数在，上单调递增，在上单调递减，所以A错误，D正确； 因为函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以0是函数的极大值点，2是函数的极小值点，所以B, C错误. 23．如图是函数的导函数的部分图象，则下列判断正确的是（   ） A．在区间上，是增函数 B．在区间上，是减函数 C．当时，取得极大值 D．当时，取得极小值 【答案】D 【详解】由图知，时，时， 所以在上单调递减，在上单调递增，A、B错， 所以或时取得极小值，时取得极大值，C错，D对. 24．若函数的导函数图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．的解集为 B．函数有2个极值点 C．函数的单调递增区间为 D．是函数的极小值点 【答案】D 【分析】由图可得的单调性，即可得其导数正负，即可得A；由图可得的正负，即可得单调性，从而可得B、C、D. 【详解】对A：由图可得，在、上单调递增， 在上单调递减，故的解集为，故A错误； 对B、C、D：由图可得，当时，， 当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 故函数有且仅有一个极小值点，故B、C错误，D正确. 考点06 利用导数求单调区间（不含参） 25．已知函数 (1)求曲线在点处的切线方程; (2)求函数的单调区间. 【答案】(1) (2)单调递增区间为和，单调递减区间为. 【详解】（1）， 由得曲线在点处的切线方程为； （2）由得或；得； 故的单调递增区间为和，单调递减区间为. 26．已知函数. (1)求函数在点处的切线方程； (2)试判断函数的单调性并写出单调区间. 【答案】(1) (2)单调递增区间是，单调递减区间是. 【详解】（1）由函数，所以函数的定义域为，，    所以，，    所以函数在点处的切线方程为：， 即，所以函数在点处的切线方程为. （2）因为函数的定义域为，且， 令，得；令，得，    因此函数的单调递增区间是，单调递减区间是. 27．函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得函数的定义域为， 则，令 ，解得 ， 当时， ， 所以函数的单调递增区间是， 28．函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出函数的定义域，利用函数的单调性与导数的关系可求得该函数的增区间. 【详解】函数的定义域为，， 由得，故函数的增区间为. 考点07 利用导数求极值与最值（不含参） 29．已知函数． (1)求函数的极值； (2)求在点处的切线方程． 【答案】(1)极大值，无极小值； (2) 【详解】（1），则， 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 故在时取到极大值，无极小值； （2）因，故，， 故切线方程为：，整理得：. 30．已知三次函数的导函数为，若，则函数的极大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求导，再求，利用导数研究单调性进而求得函数的极大值，进而求解. 【详解】由题意得：，所以，解得， 所以， 所以， 令，解得或， 由或，由， 所以在单调递减，在单调递增， 所以的极大值为：. 31．已知不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】不等式可整理为， 设函数， 令，解得：，，解得：， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 则，所以， 则实数的取值范围是. 32．函数f（x）＝的最大值为_______． 【答案】 【分析】先确定函数的定义域为，对求导后根据导数的符号变化判断的单调性，进而找到函数的最大值点，代入原函数计算即可得到最大值. 【详解】∵，， ∴． 设，则． 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 当时，取得极大值，也是最大值，即对，， ∴在上恒成立． ∴当时，，单调递增；当时，，单调递减． ∴当时，函数取得极大值，也是最大值， ∴函数的最大值为. 33．已知函数． (1)当时，求在区间上的最小值和最大值； (2)求的单调区间． 【答案】(1)最大值为，最小值为 ； (2)当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为。 【分析】（1）先求出导函数，再根据给定得出导函数为负即可得出函数单调性即可求解； （2）先求导，再对进行分类讨论，利用函数的单调性与导数的关系即可确定的单调性； 【详解】（1）∵，∴， ，∴在上递减， 所以当时取函数的最大值为，当时取函数的最小值为 ； （2）∵，∴， 当时，恒成立，在上递增， 当时，令得，，∴在上递增， 令得，，∴在上递减． 当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为。 34．已知函数 在 处取得极大值10． (1)求的值； (2)求函数 在区间 上的最大值和最小值． 【答案】(1)； (2)最大值为10，最小值为2. 【分析】（1）求导，即可根据函数值以及导数值列方程求解， （2）根据函数的单调性，求解极值以及端点处函数值，即可作答. 【详解】（1）， 故且，解得， 则， 令，则， 当时，，当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 故在处取到极大值，故满足题意. （2）由（1）知：在和单调递增，在单调递减， 且极大值为, 极小值为，又因为 故函数 在区间 上的大值为10，最小值为2. 考点08 利用函数在区间上的单调性求参数（单调、不单调、存在） 35．若函数在区间上是单调减函数，则实数的取值范围是_______． 【答案】 【分析】根据导函数求出的单调减区间为，由题意得出，然后求解即可. 【详解】定义域为，，令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 因为在区间上是单调减函数，所以， 所以，所以，所以实数的取值范围为. 故答案为：. 36．若在上单调递增，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】求得导函数，根据导函数在给定区间上大于等于0恒成立，求得的取值范围. 【详解】∵，∴，     ∵函数在区间上单调递增， ∴在区间上恒成立， 由于在区间上单调递增， ∴必须且只需 解得， 故答案为：. 37．已知在上对任意满足，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分段函数单调性的性质，列出不等式组，求出参数范围. 【详解】由题意，在R上单调递减， 当时，，即， 当时，，， 可知在恒成立，可得，解得， 且当时，，解得， 综上，实数的取值范围为. 故选：D． 38．若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将函数存在单调递增区间转化为导数大于0在给定区间内有解，分离参数后求解对应函数的值域即可得到的取值范围． 【详解】求导得，定义域为， 因为在区间内存在单调递增区间， 所以在上有解，即在上有解， 设，，求导得在上恒成立， 因此在上单调递增， 所以，即只需满足即可． 39．已知函数． (1)若函数存在单调递减区间，求a的取值范围； (2)若函数在上单调递减，求a的取值范围． 【答案】(1)，且 (2)，且 【分析】（1）对求导，使有解即可； （2）在上单调递减，转化为时，恒成立，计算其最值即可 【详解】（1）， ． 在上存在单调递减区间， 当时，有解，即有解．设只要即可． 而． 故a的取值范围是，且． （2）在上单调递减， 时，恒成立， 即恒成立，，而， ．． 故a的取值范围是，且． 40．已知函数在存在单调递增区间，则a的取值范围为______． 【答案】 【分析】根据题意可转化为在有解，进而再转化为函数的最值问题解决. 【详解】因为在存在单调递增区间，所以在有解，即在有解． 令，，则，故在单调递增， 所以，故的取值范围为． 故答案为：. 41．若函数在上不单调，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出函数的导数，由在上有变号零点求解得答案. 【详解】函数，求导得， 依题意，在上有变号零点，由，得， 函数在上单调递减，；在上单调递增，， 所以实数的取值范围是. 故选：A 42．已知函数． (1)若曲线在处的切线l与y轴垂直，求的单调区间； (2)若函数在上不单调，求实数m的取值范围． 【答案】(1)的单调递增区间为，递减区间为 (2) 【分析】（1）根据函数导数的几何意义，由切线斜率求出导数值，进而求出参数，再根据函数导数与函数单调性的关系，求出函数单调区间； （2）根据函数的单调性，判定函数导数值的情况，构造函数，根据函数零点情况，求出参数范围. 【详解】【小题1】由题意得， 故，解得， 则， 令，则， 令，解得， 故当时，，即在上单减； 当时，，即在上单增； 故恒成立， 故当时，，单调递减；当时，，单调递增； 所以的单调递增区间为，递减区间为； 【小题2】由（1）知，， 在上不单调，即方程在上有变号解， 即在上有变号解，． 令，，则， 令，解得， 故当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以， 时，，，在上单调递增，不符合题意，舍去． 当时，，当，， 故实数m的取值范围为． 43．已知函数在区间上不单调，则m的取值范围是______． 【答案】 【分析】由函数的单调性结合题设即可列出关于m的不等式，解不等式即可得解. 【详解】由题得定义域为R，， 所以时，；时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 又函数在区间上不单调， 所以，故m的取值范围是. 故答案为：. 考点09 利用导数求函数(含参)的单调区间 44．已知函数. (1)若函数的导函数是奇函数，求的值； (2)求函数的单调区间. 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【分析】（1）对函数求导，再根据函数奇偶性的定义，即可求解； （2）对函数求导，对的取值进行分类讨论，判断的正负区间，进而可得函数的单调区间. 【详解】（1）函数的定义域为，由已知得， 因为函数的导函数是奇函数， 所以，即， 解得； （2）由（1）得，. ①当时，可得恒成立，所以当时，函数在上单调递减， ②当时，由得，即， 所以，解得，所以函数在上单调递增， 由可得，即，解得， 所以函数在上单调递减， 所以时，函数在上单调递增，在上单调递减. 综上所述，当时，函数在上单调递减， 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. 45．已知函数． (1)若函数在点处的切线斜率为2，求实数a的值； (2)讨论的单调性． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据导数的几何意义，函数在某点处的切线斜率等于该点处的导数值，因此先对函数 求导，再将 代入导函数，结合已知切线斜率列出方程，进而求解 的值； （2）先求出函数 的定义域和导函数 ，然后根据判别式 的取值情况，分情况讨论导函数的正负性，从而确定函数 的单调性. 【详解】（1）已知 ，其定义域为 ， ，则， 因为函数 在点 处的切线斜率为 2 ，所以 ，   即 ，解得 . （2）由（1）可知 ， 令 ，其判别式 ， 当 ，即 时 在 上恒成立， 又因为 ，所以 在 上恒成立， 所以 在 上单调递增； 当 ，即 或 时，由 ，即 ， 根据求根公式可得. 若 ，则 ，因为 ，所以 在 上恒成立， 即 在 上恒成立，所以 在 上单调递增； 若 ，则 ，且 ， 当 0 或 时， ，则 单调递增， 当 时， ，则 单调递减； 综上，当 时， 在 上单调递增； 当 时， 在 和 上单调递增，在 , 上单调递减. 46．已知函数. (1)当时，求的单调区间 (2)讨论的单调性； 【答案】(1)在单调递增，在单调递减； (2)答案见解析. 【分析】（1）把代入，利用导数求出函数的单调区间. （2）求出函数导数，再按分类讨论求解函数的单调性. 【详解】（1）当时，函数的定义域为， 求导得， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减. （2）函数的定义域为，求导得， 当时，，函数在上单调递增； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. 47．已知函数. (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的单调性. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解； （2）分，，，四种情况进行讨论. 【详解】（1），， 所以切线方程为，即. （2）定义域为. 令，得. 当时， - 0 + 单调递减 单调递增 所以，在上单调递减，在上单调递增. 当时， + 0 - 0 + 单调递增 单调递减 单调递增 所以，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 当时，恒成立但不恒为零，在上单调递增. 当时， + 0 - 0 + 单调递增 单调递减 单调递增 所以，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 48．已知函数，其中． (1)当时，若直线是曲线的一条切线，求的值； (2)讨论的单调性； 【答案】(1) (2)答案详见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义可得答案； （2）利用导数含参讨论函数的单调性即可. 【详解】（1）当时，， 则， 当时，解得或（舍）， 则，可得切点， 代入切线方程得， 解得． （2）已知， 得； 当时，定义域为， ， 二次函数图象开口向上，且 令，在必有解， 当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增； 时，定义域为，则恒成立，在上单调递减， 综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减． 49．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）将代入，利用导数的几何意义求解即可； （2）求导得，分和求解即可. 【详解】（1）当时，，． ，． 曲线在点处的切线方程为． （2）． 当时，，是增函数． 当时，令，解得． 当时，；当，． 所以在上单调递减，在上单调递增． 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增． 50．已知函数. (1)若，求函数在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）求出，求导，得到，利用导数几何意义求出切线方程； （2）求定义域，求导，因式分解得到，分和进行讨论，再细分为，和，求出函数单调区间. 【详解】（1）时，，， ，故， 所以在点处的切线方程为， 即； （2）的定义域为R， ， 若，恒成立，令得，令得， 的单调递增区间为，单调递减区间为； 若，令得或， 当，即时，令得或， 令得， 所以的单调递增区间为，，单调递减区间为； 当，即时，恒成立， 所以的单调递增区间为R，无单调递减区间； 当，即时，令得或， 令得， 所以的单调递增区间为，，单调递减区间为； 综上：若，的单调递增区间为，单调递减区间为； 若，的单调递增区间为，，单调递减区间为； 若，的单调递增区间为R，无单调递减区间； 若，的单调递增区间为，，单调递减区间为； 51．已知函数， . (1)讨论函数在定义域内的单调性； 【答案】(1)见解析 【分析】（1）对的取值进行分类讨论，用导数求判断单调性； 【详解】（1）设函数，定义域为. ，方程的解即的根. 设，对于二次方程, 若，即时，二次方程至多只有一个解，此时. 故当时，在定义域上单调递增. 当时，设方程的两个根为，且. 由韦达定理可知，，可得两根同号. 若，函数图像的对称轴为，故， 即在上，没有根，即亦无根，且. 故当时，在定义域上单调递增. 当时，函数图像的对称轴为，故， 由求根公式得，，由函数图像可知， 当时，，即，即单调递增； 当时，，即，即单调递减. 综上所述： 当时，在定义域上单调递增； 当时，在区间和上单调递增，在上单调递减. 考点10 利用极值和最值求参数 52．已知函数 (1)当时，求的极值； (2)当时，讨论函数在区间上的单调性及最小值． 【答案】(1)极大值为，无极小值 (2)当时，在上单调递减，最小值是；当时，在上单调递增，在上单调递减；此时若，最小值为；若，最小值为；当时，在上单调递增，最小值是. 【分析】（1）求导后，根据正负可得单调性，结合极值定义可求得结果； （2）求导后，分别讨论、和时在上的单调性，进而确定最小值. 【详解】（1）当时，，， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减， 的极大值为，无极小值. （2）由得：， ，令，解得：， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减； ①当，即时，在上单调递减， 此时的最小值为； ②当，即时，在上单调递增，在上单调递减； ，，， 当时，，此时； 当时，，此时； ③当，即时，在上单调递增， 此时的最小值为； 综上所述：当时，在上单调递减，最小值是；当时，在上单调递增，在上单调递减；此时若，最小值为；若，最小值为；当时，在上单调递增，最小值是. 53．已知函数（）． (1)讨论的单调性； (2)当时，求在上的最小值． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）先确定的定义域，再求出的导数，再对参数范围分类讨论求解单调性即可. （2）先根据已知条件确定在的单调性，再对的范围分类讨论，依据单调性求出不同情况下的最小值. 【详解】（1）由题意可得：的定义域是，且， 令，则或, ①当时，若或，则，若，则， 所以在和上单调递增，在上单调递减， ②当时，因为，所以在上单调递增， ③当时，若或，则，若，则， 所以在和上单调递增，在上单调递减. （2）当时，由（1）可得：在上单调递减， 所以，①当时，在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得最小值，为， ②当时，在上单调递减， 所以在处取得最小值，为． 综上，． 54．若函数的最小值为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用导数研究函数的单调性，极值与最值结合隐零点计算即可. 【详解】易知的定义域为， 不难发现在区间内单调递增， 又当时，；当时，， 所以存在唯一使得，即， 所以当时，；当时，． 所以在区间上单调递减，在区间内单调递增， 所以的最小值为， 所以，所以，解得. 故选：B 55．函数在上存在最大值，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数判断函数的单调性，再根据单调性和临界值，求参数的取值范围. 【详解】，令，得或. 当时，，递增，当时，，递减， 当时，，递增. 因此， 是极大值点， 是极小值点.要使上存在最大值，需，又因为，且， 若，函数在递增，会超过，因此需. 综上：. 56．已知函数在处取得极大值0，则________. 【答案】/ 【分析】由和得或，分两种情况，检验后得到答案 【详解】，由题意得，即，故， 且，解得或， 当时，，则， 令得，令得，故为极大值点，满足要求， 所以， 当时，，则， 令得，令得，故为极小值点，不满足要求， 综上，. 57．函数在处取得极小值，则的值为（    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】求出导函数，根据极值点及极值列式计算方程组得出参数即可求解. 【详解】函数的导数为， 由题意得，解得， 当时，， 单调递减，单调递增， 所以是的极小值点，且，符合题意， 所以. 58．若函数的两个极值点都为正数，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【分析】首先求出函数的导数，根据题意得二次方程有两个不等正根，再根据不等式求解即可. 【详解】已知，进而. 令，设其两个根为，由题意. 二次方程有两个不等正根，则， 解得或，则实数的取值范围. 考点11 利用导数研究不等式恒成立问题 59．已知函数. (1)若曲线在处的切线斜率为1，求实数a的值； (2)若在定义域上恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据导数的几何意义知函数在的导数值是切线的斜率，进而得a的值； （2）利用分离参数法将恒成立问题转化为求函数的最值问题，再利用导数法求函数的最值即可求解. 【详解】（1）函数的定义域为. 则.因为曲线在处的切线斜率为1， 所以 ，解得； （2）函数的定义域为. 则在上恒成立，即在上恒成立， 令，则 ，当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 所以，所以． 60．已知函数 (1)若，求曲线在点处的切线方程; (2)讨论的单调性; (3)若，求正数a的取值范围. 【答案】(1) (2)当时： 在上单调递减；在上单调递增；当时： 在上单调递减；在上单调递增；当时：在上单调递增。当时：在上单调递减；在上单调递增； (3) 【分析】（1）利用导数来求函数在某点处的切线方程即可； （2）利用分类讨论思想，结合导数的正负来回答函数的单调性； （3）利用函数的单调性求最值来解决不等式恒成立问题. 【详解】（1）由解得， 则，求导得：， 则，由点斜式得切线方程：， 整理得：； （2）求导得：， 当时： 由，解得，由，解得， 所以在上单调递减；在上单调递增； 当，即时： 由，解得，由，解得， 所以在上单调递减；在上单调递增； 当时：，故在上单调递增。 当时： 由，解得，由，解得， 所以在上单调递减；在上单调递增； （3）已知，由(2)结论：在上单调递减；在上单调递增； 故最小值为，要使恒成立，只需， 则， 解得,即正数a的取值范围是. 61．已知函数（）． (1)讨论函数的单调性； (2)若，且在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. (2) 【分析】（1）求导，分和两种情况，结合导数的符号分析函数的单调性即可； （2）分和两种情况，再结合（1）即可求出的取值范围． 【详解】（1）因为，，所以， 当时，恒成立，所以在上单调递减； 当时，令，解得， 若时，，所以在上单调递减； 若时，，所以在上单调递增， 综上，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增． （2）当时，，且其值域为，不满足恒成立，不符合题意； 由（1）可知，当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，也是最小值， 若要满足恒成立，则的最小值，解得， 所以实数的取值范围为． 62．已知函数的极值点为，函数，若对任意恒成立，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【分析】根据函数的极值点求出的值，将所求不等式变形为，令，则有，构造函数，其中，利用导数分析函数的单调性，并求出函数的值域，结合题意得出，可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】因为函数的极值点为，则， 由题意可得，解得， 此时，则， 当时，；当时，. 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在处取得极大值，符合题意， 对任意的，恒成立，即，且有， 即， 令，则有， 构造函数，其中，且有，， 由可得，由可得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则， 故当时，，当时，， 对函数求导得， 当时，；当时，. 所以函数在上递增，在上递减， 所以，即， 要使得，则，即，解得， 故实数的取值范围是. 63．若函数，且，则正实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，化简得；不等式进行同构处理得，分析同构后对应函数的单调性，转化为关于和的不等式恒成立问题，利用导数法求函数在定义域内的最大值，得到的取值范围. 【详解】由，得的定义域为； ， 由得，即. ，，； 当时，，，，此时恒成立； 当时，，得； ，即； 令，则； ，，，得； 在上单调递增. 由，得，即； ，即. 令，则. 令，则，得； 当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增； 当时，取得极小值，也是最小值，即， 由在上恒成立，得，即，解得； ，； 正实数的取值范围是. 64．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)对任意的，恒成立，求实数a的取值范围； 【答案】(1)时，在上是增函数；时，在上是减函数，在上是增函数． (2)； 【分析】（1）求出导函数，按和分类讨论确定的正负得单调性； （2）用分离参数法化不等式为，引入函数，求出导函数，通过分子确定存在唯一零点，其中，然后求出的最小值即可得结论，对作一些变化：，利用同构法得，，代入后可得； 【详解】（1）， 当时，，在上是增函数； 当时，时，，时，， 所以在上是减函数，在上是增函数． 综上，时，在上是增函数； 时，在上是减函数，在上是增函数． （2）不等式即为，， 设，则， 设，则在上恒成立， 所以在上单调递增， ，因为， 所以，所以， 又， 所以存在唯一的，使得，即， ，， 在时，是单调增函数，所以，即，从而， 时，，即，单调递减， 时，，即，单调递增， 所以， 代入，，得， 所以； 考点12 利用导数研究能成立问题 65．已知函数． (1)若，求的极值； (2)若，且，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1)极小值为2，极大值为． (2) 【分析】（1）求导得到导数零点，判断单调性，确定极值点并计算极值; （2）求导得出是函数在上的最大值点，将问题转化为最大值不小于并解不等式即可. 【详解】（1）依题意，． 令，解得或． 故当时，单调递减； 当时，单调递增； 当时，单调递减． 所以的极小值为，极大值为． （2）依题意，．因为， 令，解得，当时，，单调递增， 当时，单调递减． 故当时，取得极大值，也是最大值， 则，即，整理得，解得， 故实数的取值范围为． 66．已知函数，. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若存在，使，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义求解即可； （2）求导，根据导数求得函数，结合题意可得成立，令，求导，根据导数计算即可求解. 【详解】（1）若，则，， 则，， 所以过点的切线方程为，即； （2）函数的定义域为， ， 当时，，当时，， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 当时，函数有最小值，即， 若存在，使，则成立， 即，即， 令， ， 令，则， 当时，，当时，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以当时，函数有最小值，即， 所以在区间恒成立， 所以函数在区间上单调递增， 因为， 所以当 时， 成立，故的取值范围为. 67．已知函数，其中．若存在，使成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将条件不等式变形后分离参数，根据分离参数所得不等式构造函数，再利用导数求解出所构造函数的最小值，则的范围可知. 【详解】由题意可知，变形得， 令，则， 所以在上单调递增，所以， 所以存在使得， 令，故只需要让， 因为，令， 当时，，则单调递减， 当时，，则单调递增， 所以， 又，因此，所以在上单调递增， 故，故． 68．已知函数．若存在，使得成立，则的取值范围为___________． 【答案】 【详解】 ， 若存在，使得成立，则有解， 所以有解， 令，因为，所以，即有解． 令，则有解， ，令 ，则 ， 因为，所以， 当时， ， 所以在上单调递增，所以， 所以在上单调递增，所以恒成立，与有解矛盾，不符合题意； 当时，令 ，则 ．又在上单调递增， 所以当 时，，所以在上单调递减， 因为，所以在区间上， 因此在上单调递减，又，故存在，使得．综上，． 69．已知函数 (1)讨论的单调性； (2)若函数在上的最大值为；求的值； (3)设，若，使得，求的取值范围． 【答案】(1)当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. (2) (3) 【分析】（1）根据导函数，分、讨论函数的单调性； （2）结合（1）中的单调性分类讨论最值； （3）将题意转化为，易求得，再结合（1）分与两种情况求解，进而求解即可． 【详解】（1）依题意可得， 当时，，此时在上单调递增； 当时，由得，得， 则在上单调递增，在上单调递减； 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）由（1）知，当或时，在上单调递增； 所以，得（舍去）； 当，即时，在上单调递增，在上单调递减， 所以，得； 综上，若函数在上的最大值为，则， （3）由已知转化为， 又时，， 由（1）知，当时，在上单调递增，值域为，不合题意； 当时，在上单调递增，在上单调递减， 则，解得， 综上，的取值范围是． 70．已知函数，若存在唯一的，使得，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知构造函数，求出导函数，进而根据正负得出函数单调性，最后结合根的唯一性得出参数范围. 【详解】函数，满足， 即得，即得， 设，则， 当单调递增； 当单调递减； 比较为正整数时的函数值，可知， 要使不等式有唯一正整数解，需满足 则实数的取值范围为. 考点13 利用导数研究函数的零点（根） 71．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)令，若函数在上存在两个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求，再求，，然后根据导数的几何意义求切线方程即可； （2）根据题意可知存在，使，参变分离得，令函数，再利用导数结合交点个数求参数范围即可． 【详解】（1）解：由题意，，则， . ∴曲线在点处的切线方程为， 即； （2）解：由题意，. 在上存在两个零点， ∴存在，使， 即. 令函数，则直线与函数的图象有两个交点. ， 由，得. 当时，；当时，， ∴函数在上单调递减，在上单调递增，则. ∵当时，；当时，， ∴当时，直线与函数的图象有两个不同交点， ∴实数的取值范围是． 72．已知，若有两个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由令，，转化为与的图象有两个交点，利用导数求出的图象可得答案. 【详解】令， 得， 令，， 即与的图象有两个交点， ， 当时，，单调递增， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递减， 所以当时，有极小值，为， 当时，有极小值，为， 当时，， 再由 可得的大致图象如下图: 所以当时，函数有两个零点. 73．已知函数（），当时，有极大值3． (1)求的值； (2)若方程在区间上恰有一个根，求实数的取值范围． 【答案】(1) ， (2) 【分析】（1）利用极值点处导数为0、对应函数值为3列方程组求解，再验证为极大值点即可； （2）先求函数在上的单调性与关键点函数值，结合与的交点个数确定的取值范围. 【详解】（1）对求导得. 由题意，处取极大值3，故满足 ， 化简得，将代入第二个方程得，则. 此时，时，时， 故为极大值点，符合题意，因此. （2）由（1）得，， 令得或，均在区间内. 时，，单调递减； 时，，单调递增； 时，，单调递减。 计算关键点函数值得 ，，，. 方程恰有一个根等价于与在区间内仅有1个公共点，结合单调性得 当 时，仅在上有一个交点； 当 时，在和上各有一个交点，共两个； 当时，在三个区间上各有一个交点，共三个； 当时，在和处各有一个交点，共两个； 当 时，仅在上有一个交点； 当或时，无交点. 因此的取值范围为. 74．已知关于的方程有且仅有两个不同的实数解，则实数的取值范围为_____. 【答案】 【分析】首先将方程转化为，再由的单调性及零点可得，进而转化为函数与的交点问题，用导数判断函数的单调性及极值，再用数形结合判断可得. 【详解】由，得，即. 由函数在上单调递增，且，得，即. 令，则， 当时，；当时，； 所以函数在上单调递增，在上单调递减，故. 且当时，，当时，，当时，，如图： 若方程有且仅有两个交点，则，即. 因此，实数的取值范围为. 75．已知函数有两个零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】法一：参变分离，构造函数，求导，得到函数单调性，数形结合得到的取值范围； 法二：求导，分和两种情况，结合函数单调性和最值得到不等式，求出，并验证其满足要求，得到答案 【详解】法一：由得到：； 令，由题意得与有两个交点： 则，其中， 是单调递减的，并且时，； 因此函数存在唯一零点，； 当时，；时，；； 得如下函数图像： 显然当时，与有两个交点： 法二：由题意得，显然恒成立， ①当时，，故恒成立， 故在R上单调递减，至多有一个零点，不符合题意： ②当时，令得，令得， 故在上单调递减，在上单调递增， 在处取到最小值．要使有两个零点，需， 解得． 当时，令，则， 故， 又在上单调递减，所以在区间上存在唯一的零点． 接下来证明，记， 当单调递增，所以，故， 令，则， 故 ．而在上单调递增， 所以在区间上存在唯一的零点． 综上，a的取值范围是． 76．若，，使得关于的方程有个不同的实根，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【分析】令，且，化简函数的解析式，分析可知直线与函数的图象有个交点，结合导数法可得出的取值范围. 【详解】令，且， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，. 即， 函数在区间上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 且，，，如下图所示： 因为， 当时，，即， 要使得直线与函数的图象有个交点， 则，则， 令，其中，则对任意的恒成立， 所以函数在上单调递减，， 令，其中，则， 故函数在上单调递增，所以， 此时； 当时，，则，， 要使得直线与函数的图象有个交点，则，解得； 当时，，要使得直线与函数的图象有个交点， 则，可得， 令，其中，则， 所以函数在上单调递增，则， 令，其中，则， 当时，；当时，. 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 因为，，， 所以，且，此时， 此时. 综上所述，实数的取值范围是. 考点14 利用导数研究双变量问题 77．已知函数，，若存在，对任意，使得恒成立，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用导数研究函数的单调性与最值，将问题化为计算两个函数的最大值即可. 【详解】易知，令得，得， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以时，单调递增，即， 而时，， 由题意可知，所以，即. 故选：A 78．已知函数． (1)求函数在上的最值及其零点个数； (2)若对于任意的，均有，求的取值范围． 【答案】(1)最大值为，最小值为，只有1个零点； (2) 【分析】（1）利用导数计算函数的单调性计算最值，再根据零点存在性定理确定零点个数即可； （2）构造函数，将问题化为函数定义域上单调递增，即恒成立，分离参数，再利用导数研究函数的单调性、最值计算即可. 【详解】（1）易知， 则定义域上恒成立， 所以在上单调递增，则， 即最大值为，最小值为， 又，根据零点存在定理和函数的单调性，则在上只有一个零点； （2）设，则对于任意的，均有， 即在上单调递增， 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 令，则， 令，则，即在上单调递增， 又，则在上单调递减，在上单调递增， 所以，故. 79．已知，其中，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，，求出函数的单调区间，结合已知可得，不妨设，记，，解法一：设，利用导数求出的范围即可； 解法二：由题设易得，再结合对数均值不等式即可得解. 【详解】令，，则， 故当时，单调递增，当时，单调递减， 因为，所以， 又，不妨设，记，. 解法一：设， 则在上恒成立， 所以在上单调递减，所以， 则，又，且在上单调递减， 所以，则，所以，故选D. 解法二：由，两式相减整理得， 由对数均值不等式，可得. 故选：D. 80．已知函数，，，且． (1)讨论函数的单调性； (2)若曲线和存在公切线，求a的取值范围； (3)若存在相异实数m，n，使得，且，求a的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) (3) 【分析】（1）通过求导，根据的取值分类讨论导函数的符号，即得原函数的单调性； （2）利用导数的几何意义分别求出曲线在点处的切线方程与曲线在点处的切线方程，由题意得，消去，得，利用求导求得的最小值，即得； （3）依题意将问题转化成函数至少有两个零点，利用导数判断函数的单调性，结合零点存在定理分类讨论函数的零点情况即得参数范围. 【详解】（1）因，， 则， 当时，，在上单调递增； 当时，令，解得， 所以当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 综上所述，当时，在区间上单调递增； 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增． （2）因，则曲线在点处的切线方程为：，即， 又因，则曲线在点处的切线方程为，，即， 所以，故，且， 所以，整理得，（*）， 设，则， 当时，，当时，， 故在区间单调递减，在区间单调递增， 所以的极小值，也是最小值为， 由（*），可得，解得，所以a的取值范围是． （3）依题意，且．由得，代入得， 即．设，则，代入上式得，整理得． 同理，设，可得．因为，所以，即． 故问题转化为函数至少有两个零点． 则，设函数，则， 因,当时，,当时，, 在区间上单调递减，在区间上单调递增，且， 若，则，在上单调递减，至多1个零点，不符题意； 若，即，则函数存在两个零点，记为，， 且，其中， 所以在区间和上单调递减，在区间上单调递增， ， 同理，可得， 设，则， 所以在上单调递减，，即， 所以，， 因为，且， 所以，且，， 所以，且， 所以在区间，，上各存在一个零点，所以符合题意； 综上所述，a的取值范围是． 81．已知函数，其中． (1)讨论的单调性； (2)当时，，求实数a的取值范围； (3)若存在不等实数和，满足，且，求的取值范围． 【答案】(1)答案见解析； (2)； (3). 【分析】（1）求出函数的定义域，再利用导数分类求出单调区间. （2）利用导数求出函数的单调区间，再将给定不等式等价转化并分离参数，构造函数并利用导数求出最值即可. （3）由给定等式可得，令，将表示为的函数，再利用导数求出的范围，结合函数的单调性即可求出范围. 【详解】（1）函数中，当时，；当时， 当时，函数的定义域为；当时，函数的定义域为， 求导得，令，解得， 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. （2）函数，求导得，当时，；当时，， 函数在单调递增，在单调递减，而， ，则， 而，因此当时，恒成立， 令函数，求导得，当时，； 当时，，函数在上递减，在上递增， ，令函数，求导得， 函数在上单调递增，当时，，则， 所以a的取值范围为. （3）由，得，则，即， 令，则，， 令函数，求导得， 令函数，求导得， 函数在上单调递增，， 因此，函数在上单调递增，则， 由函数的单调性可知，其在上单调递减，则， 即，所以的取值范围是. 82．已知，，，则的最小值为______． 【答案】 【分析】对已知条件进行变形，结合同构法构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值即可. 【详解】由，得，即. 取函数，，则. 因为，所以在上单调递增， 所以，即，所以. 记，，则. 令，则，解得. 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，即，所以的最小值为. 故答案为：. 考点15 利用导数研究函数图象及性质 83．已知正实数满足，则的大小关系不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用数形结合法求解. 【详解】由， 令， 在同一坐标系中作出其图象，如图所示： 由上图可知，选项ABC都成立，D不成立. 故选：D 84．已知函数且函数恰有6个零点，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D．. 【答案】D 【分析】通过换元将函数零点问题转化为二次方程根的分布问题，结合的图象性质，确定二次方程需有一个根大于、另一个根小于，从而求出的取值范围. 【详解】定义域为且，且对定义域内任意，满足，所以是奇函数， 当且时，，，令得， 当时，，单调减区间为；当时，，单调递增， 所以当时，取得极小值， 当时，，当时，， 当时，，当时，， 由奇函数对称性可知，当时，在处取得极大值， 据此得到大致图象如图 设，则即， 要使恰好有个零点，则方程需有两个根且满足每个值对应个， 由图象可知，当时，有个解；当时，有个解； 当时，有个解；当时，有个解； 当时，有个解；当时，有个解. 则若恰有个零点，则方程的两个根（不妨设）， 应满足，， 设，则，解得， 故选：D. 85．若函数的零点有两个，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】函数有两个零点，即函数的图像与的图像有两个交点，由导数判断函数的单调性、极值、由函数图像的交点个数得的取值范围. 【详解】函数有两个零点，即函数的图像与的图像有两个交点， 函数的定义域为， ， 令，解得：， 当时，，得在区间上单调递减； 当时，，得在区间上单调递增； 故当时，取得极小值，极小值为， 令，解得， 当时，；当时，， 当无限趋向于负无穷大时，无限趋向于； 当无限趋向于正无穷大时，无限趋向于正无穷大， 由此作出函数的大致图像： 由图像可得当时，交点为个； 当或时，交点为1个； 当时，交点为2个. 若函数的图像与的图像有两个交点， 则由图可知：实数的取值范围为. 故选：B 86．已知关于的方程有三个不相同的实根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过分离参数和分析函数的单调性、极值最值即可得. 【详解】由方程，得，且.令. ①当时，，所以，， 令，得，即. 当时，，； 当时，，； 所以在上单调递增，在上单调递减，在处取得极大值也是最大值， ，当. ②当时，，， 所以在单调递增，且，. 因方程有三个不相同的实根，所以函数与有三个不同的交点，如图： 所以. 故选：A. 87．已知定义在上的函数，其导函数为，若对，则不等式的解集是__________. 【答案】 【分析】先根据条件构造辅助函数，求导判断出在上单调递增；再将原不等式等价变形为，结合定义域与单调性，解不等式组即可得到解集． 【详解】构造函数，， 因为，，所以， 所以在上单调递增， 定义域要求，即， 不等式等价于， 即，所以，解得， 所以不等式的解集是． 88．已知函数与有两个交点，交点横坐标分别为，，且． (1)求的取值范围； (2)证明：； 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】根据函数解析式判断单调性画出函数图象，结合图象求参数范围即可； 如图先求两条直线的方程，再结合要证明的不等式构造新函数，判断函数单调性，找到四个横坐标之间的关系，结合不等式性质得以证明. 【详解】（1）因为，， 所以在单调递增；在单调递减，且当 时，，，作出函数图象，如下图所示. 则结合图象可得的取值范围为； （2）如图，作出的图象，的极值点为e，设，，，直线与直线，的交点对应的横坐标分别为，， 此时等价于证明， 直线的方程为：，令解得：， 因为，进而可得，即直线的方程为，易得； 令， 当时，，且在单调递减， 所以，且， 可得，在恒成立，故，所以. 同理可证在上恒成立,故. 又因为代入可得， 此时得以证明. 考点16 导数中的极值偏移问题 89．已知是函数的两个零点，且，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】分和两种情况讨论，把函数的两个零点问题转化为曲线与直线有两个交点的问题， 求导得到的单调性，进而得到，且，从而把要证， 转化为证明，再通过构造函数进行证明． 【详解】当时，，0不是的零点； 当，问题可以转化为曲线与直线有两个交点， 曲线求导得，当时，；当时，；当时，， 在和上单调递减，在上单调递增，且时，， 当时，，当时，，如下图所示， ，且，，则有， 要证，即证，即证． 令，，，不等式转化为，即证明， 设，求导得， 令，求导得，，， 单调递增，， 单调递增，． 原不等式成立，即，命题得证． 90．设函数． (1)判断函数的单调性； (2)若，且，求证：． 【答案】(1)在上单调递增 (2)证明见解析 【分析】（1）由题意得，令，根据的正负确定的单调性， 得，即得函数的单调性. （2）构造函数，其中，则， 令，得，从而可得在上单调递减，然后根据函数的单调性可得. 【详解】（1）∵，， ∴． 令，则． 令，得或． 当时，；当时，；当时，． ∴在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减． 又，，故对一切恒成立， ∴，于是，故在上单调递增． （2）易知当时，由（1）知，， 所以，当且仅当时取等号，与题意不符， 当，由（1）知，，与题意不符， 所以中一个在内，一个在内，不妨设． 构造函数，其中， 则． 由，得． 令， ∵， ∴在上单调递增，则． ∴在上单调递减，∴， 即对恒成立． ∵，∴， ∴． 由（1）知在上单调递增， ∴，故． 91．已知函数． (1)若，求的取值范围； (2)证明：若有两个零点，，则． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）求导，分别解不等式，即可； （2）设，结合（1）可知，构造函数，利用导数判断单调性即可得，结合在上单调递减即可得证. 【详解】（1）由题意知函数的定义域为， 解得，解得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 又，所以，解得， 所以的取值范围为． （2）不妨设，则由（）知，， 构造函数， 则， 所以函数在上单调递增， 所以当时，，即当时，， 所以， 又在上单调递减， 所以，即． 92．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若有两个零点，求的取值范围； (3)若有两个零点，，证明. 【答案】(1)当时，在单调递减；当时，在单调递减，在单调递增． (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求导，分，讨论导函数的符号，可得函数的单调性. （2）根据函数的单调性，求函数的极值，根据极值的符号和函数零点的存在性判定定理求实数的取值范围. （3）问题转化为极值点偏移问题进行证明.设，分析函数的单调性，即可证明问题. 【详解】（1）因为， 所以. （ⅰ）若，则，所以在上单调递减； （ⅱ）若，则由得． 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增． （2）（ⅰ）若，由（1）知，至多有一个零点，不合题意； （ⅱ）若，由（1）知，当时，取得最小值为． ①当时，由于，故只有一个零点，不合题意； ②当时，因，即，故无零点，不合题意； ③当时，，即． 又，故在有一个零点． 设正整数满足， 则． 由于，因此在有一个零点． 综上，的取值范围为． （3）由（2）可设极值点，即，且，． 由（2）不妨设. 要证．只需证，其中. 而在单调递增，故只需证． 又，即证：． 令， 则， , 设，根据基本不等式，（因为，等号不可取）. 设，则为开口向上的抛物线，对称轴为. 因为当时，，所以在上单调递增. 因为. 所以当时，，即. 所以在上恒成立． 因此在单调递增，故． 即，结合，得， 因、，且函数在该区间单调递增，故． 整理得：，得证． 93．已知函数，其中． (1)讨论的单调性． (2)若函数有两个不同的零点． ①求实数的取值范围； ②证明：． 【答案】(1)若在内单调递减，在内单调递增; 若在内单调递增，在内单调递减; 若在内单调递增; 若在内单调递增，在内单调递减. (2)①；②证明见解析 【分析】（1）先确定函数定义域为，对函数求导并通分因式分解，把导函数化成整式乘积形式.以参数为分类依据，先讨论时导函数符号，再讨论时比较导函数两个零点与1的大小，分三种情况判断导函数正负，进而得到每一段的单调区间，分类标准清晰、不重不漏. （2）①先化简解析式，将函数有两个零点转化为对应方程有两个正根，分离参数变形为构造新函数.求导研究的单调性、最值与极限趋势，判断函数变化特征，利用直线与曲线有两个交点的条件，列出不等式求解出的取值范围. ②利用零点满足的方程，作和作差得到对数关系式，两式相除构造齐次式.采用极值点偏移常规证法，换元设，把待证不等式转化为关于的函数不等式.构造辅助函数，求导判断单调性，由端点值推出，逆向还原即可证得结论. 【详解】（1）由题意可知:的定义域为，且， 若，则， 当，则;当，则; 可知在内单调递减，在内单调递增; 若，令，解得或， 当，即时，令，解得或;令，解得; 可知在内单调递增，在内单调递减; 当，即时，则 ， 可知在内单调递增; 当，即时，令，解得或;令，解得; 可知在内单调递增，在内单调递减; 综上所述:若在内单调递减，在内单调递增; 若在内单调递增，在内单调递减; 若在内单调递增; 若在内单调递增，在内单调递减. （2）①有两个不同的零点， 即有两个不同实根， 若，则，只有一个实数根，不符合题意， 故，得， 令， 令，得， 当时，，可知在上单调递增， 当时，，可知在上单调递减， 当时，取得最大值，且时，， 当时，可得 可得不等式：. 先解，即，解得或. 再解，移项通分得， 等价于，即 . 因为，故不等式等价于 ， 解得， 结合或，取交集得. 所以实数的取值范围为. ②当时，有两个不同的零点. 两根满足， 两式相加得:，两式相减得:， 上述两式相除得， 不妨设，要证:，只需证: ， 即证， 设，令 ， 则 ， 可知函数在上单调递增，且. 可得，即，所以. 94．已知函数． (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)当时，若函数有个不同的零点，． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明： 【答案】(1) . (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）利用导数判断函数的单调区间； （2）（ⅰ）转化为函数与有两个交点的问题； （ⅱ）由函数的两个零点可得，再利用构造函数的方法证明即可. 【详解】（1）当时，，则 ， ，切线方程为 ，即. （2）（ⅰ）当时，若函数有个不同的零点，， ∴恰有个正实根，，即方程恰有个正实根，， 令，则与有两个不同交点， ∴， ∴当时，；当时，， ∴在上单调递减，在上单调递增，又， 当从的右侧无限趋近于时，趋近于； 当无限趋近于时，的增速远大于的增速，则趋近于， 则图象如下图所示， ∴当时，与有两个不同交点， ∴实数a的取值范围为． （ⅱ）由（ⅰ）知：，， ∴，， ∴，则， 不妨设， 要证，则需证， ∵，∴，∴，则只需证， 令，则只需证时，恒成立， 令， ∴， ∴在上单调递增，∴， ∴当时，恒成立， ∴原不等式得证． 【点睛】方法归纳：研究时函数的零点个数，可通过分离参数将问题转化为，通过研究函数的单调性、极值与值域，结合函数图象与直线的交点个数确定参数范围；证明双变量不等式，属于极值点偏移问题，可通过将两个零点满足的等式变形，统一为单变量，构造辅助函数，利用导数研究辅助函数的单调性与最值完成证明. 易错归纳：求解过程中易忽略定义域的限制，导致参数范围求解错误；求导运算失误，造成函数单调性、极值点判断错误；极值点偏移证明中变量替换不严谨，辅助函数构造或单调性分析出错，导致证明逻辑断裂. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $