专题08 二项式定理（高效培优期末专项训练）高二数学沪教版选择性必修第二册

**基本信息** 以13个考点系统构建二项式定理知识网络，从基础展开式到综合应用，分层覆盖概念理解、性质探究与实际问题，体现数学抽象与推理能力的培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础展开式|6题|展开式判断、化简|从二项式定理概念出发，建立展开式基本认知| |项与系数|12题|第k项、指定项系数|通过通项公式深化项的定位与系数计算| |二项式系数性质|6题|增减性、最值、有理项|结合组合数性质探究系数变化规律| |系数和|12题|各项/奇偶次项系数和|运用赋值法建立代数式求值联系| |综合应用|24题|乘积/三项展开式、整除余数等|从单一到复杂情境，培养数学建模能力| |拓展应用|12题|杨辉三角、数列结合|融合历史背景与跨知识，发展创新意识|

专题08 二项式定理 考点01 二项展开式及其应用 考点02 二项展开式的第k项的问题 考点03 求指定项的二项式系数与系数 考点04 二项式系数的增减性和最值 考点05 求有理项及其系数最值问题 考点06 二项展开式各项的系数和 考点07 奇次项与偶次项的系数和 考点08 两个二项式乘积展开式的系数问题 考点09 三项展开式的系数问题 考点10 整除和余数问题 考点11 近似计算问题 考点12 杨辉三角的问题 考点13 二项式定理与数列 考点01 二项展开式及其应用 1．已知二项式的展开式共有19项，则（    ） A．18 B．19 C．20 D．21 2．（   ） A． B． C． D． 3．________．（结果用组合数表示） 4．（    ） A． B． C．1 D． 5．（1）求的展开式； （2）化简：． 6．设是正整数，表达式化简的结果是______ 考点02 二项展开式的第k项的问题 7．的展开式的第3项为______． 8．的展开式的常数项为____________． 9．的展开式的第3项是___________． 10．若的二项展开式中，第5项为常数项，则__________. 11．若的展开式中第4项为160，则__________. 12．若的展开式中第4项为常数项，则n的值为______． 考点03 求指定项的二项式系数与系数 13．在的展开式中，含有项的系数为_____________． 14．若的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，则______． 15．已知（）的展开式中，第4项系数与第6项系数之比为5∶6，则展开式一共有__________项． 16．在的二项展开式中，第项的二项式系数是（    ） A． B． C． D． 17．的展开式中的系数是（    ） A． B．8 C． D．32 18．在的展开式中，的系数为______．（用数字作答） 考点04 二项式系数的增减性和最值 19．在展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则二项式系数和为（     ） A．128 B．256 C．512 D．1024 20．二项式展开式的二项式系数和为64 (1)求n的值； (2)求展开式中各项的系数和； (3)求展开式中的常数项； (4)求二项式系数最大的项 21．在的展开式中，只有第7项的二项式系数最大，则（    ） A．14 B．13 C．12 D．11 22．在的展开式中，二项式系数最大的项的系数为__________． 23．已知在的二项展开式中，只有第6项的二项式系数最大，若在展开式中任取2项，其中抽到有理项的个数为1，这个事件记为事件A，则______． 24．若的展开式中有且仅有第五项的二项式系数最大，则展开式中第6项系数为（   ） A．1120 B． C． D．448 考点05 求有理项及其系数最值问题 25．已知在二项式的展开式中，第项的二项式系数为，且展开式中含的项的系数为. (1)求和的值； (2)求该二项式展开式中所有的有理项. 26．已知的展开式中，二项式系数和为256. (1)求n的值； (2)求该展开式中的常数项； (3)求该展开式中所有的有理项. 27．已知，二项式的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等. (1)展开式中是否存在含的项？若存在，求出的系数；若不存在，说明理由； (2)求展开式中系数最大的项. 28．已知的展开式中各项的二项式系数之和为64． (1)求展开式中的第5项； (2)求展开式中系数最大的项． 29．已知展开式中前三项的二项式系数和为. (1)求的值； (2)求展开式中含的项的系数； (3)求展开式中系数最大的项. 30．已知，其中满足．对于的展开式，求： (1)值； (2)含项的系数； (3)系数最大的项． 考点06 二项展开式各项的系数和 31．已知，则________． 32．，二项式系数和为128，则________（结果用数字表示）． 33．已知，其中，，，，且的展开式中各二项式系数的和为256． (1)求n的值及展开式中二项式系数最大的项； (2)求的值． 34．已知，则=______. 35．已知展开式共有11项. (1)求n的值，并求二项式系数的最大值； (2)求的值； (3)求的值. 36．的二项展开式中，各项系数的和为________． 考点07 奇次项与偶次项的系数和 37．已知，且． (1)求的值； (2)求的值． 38．已知． (1)求； (2)求； (3)求． 39．已知，则的值是（ ） A．30 B．31 C．32 D．33 40．设． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 41．已知，则下列结论中正确的个数是（   ） ①； ②； ③； ④ A．1 B．2 C．3 D．4 42．设． (1)求值； (2)求值； (3)求值． 考点08 两个二项式乘积展开式的系数问题 43．展开式中的系数是（     ） A．5 B．10 C．15 D．20 44．的展开式中的系数为（    ） A．2 B．－2 C．4 D．－4 45．在的展开式中，常数项为__________．（用数字作答） 46．的展开式中的系数是_________. 47．在的展开式中，二项式系数和为 (1)求的值并求展开式中的常数项； (2)求展开式中的系数． 48．已知展开式中项的系数为30，则（   ） A．2 B． C．4 D． 考点09 三项展开式的系数问题 49．已知的展开式中只有第3项的二项式系数最大，则的展开式中的常数项是（    ） A．20 B．70 C．84 D．864 50．的展开式中的常数项为______． 51．已知，若，且，则m的值为________. 52．已知，则（    ）． A． B． C． D． 53．在的展开式中，含的项的系数为（   ） A．10 B．20 C．30 D．60 54．的展开式中含的项为____. 考点10 整除和余数问题 55．除以8的余数为（     ） A．1 B．2 C．6 D．7 56．今天是星期三，再过天是星期几（   ） A．星期三 B．星期五 C．星期六 D．星期日 57．除以得到的余数是________ 58．昨天是2026年5月6日星期三，再过天是星期（    ） A．一 B．三 C．五 D．日 59．设n为正奇数，则被6整除的余数为（    ） A． B．0 C．4 D．5 60．被7除所得的余数为4，则实数m可以为（） A．1 B．2 C．3 D．4 考点11 近似计算问题 61．实数的近似值（精确到0.001）是（    ） A．31.680 B．31.681 C．31.682 D．31.683 62．求精确到0.001的近似值． 63．（1）求精确到0.001的近似值； （2）若今天是星期一，再过天是星期几？ 64．的小数点后第三位数字为（ ） A． B． C． D． 65．的第一位小数为，第二位小数为，第三位小数为，则分别为（   ） A． B． C． D． 66．计算保留到小数点后3位的结果是（    ） A．0.945 B．0.905 C．0.904 D．0.903 考点12 杨辉三角的问题 67．“杨辉三角”是我国古代数学的瑰宝，它本身蕴含着非常丰富的数学规律和许多有趣的性质.如图所示，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第__________行中从左到右第12与第13个数的比为. 68．如图，“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现，比欧洲发现早500年左右.则第2025行所有数的和为（   ） A． B． C． D． 69．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出著名的杨辉三角.由此可见我国古代数学的成就就是非常值得中华民族自豪的.如上图所示，由杨辉三角的左腰上的各数出发，引一组平行线，从上往下每条线上各数之和依次为，以下关于杨辉三角的猜想中正确的序号有______.（写出所有正确的序号） ①由“与首末两端等距离的两个二项式系数相等”猜想 ②由“在相邻两行中，除1以外的每个数都等于它肩上的两个数之和”猜想 ③第9条斜线上各数之和为55 ④在第条斜线上，各数从左往右先增大后减小 70．我国南宋数学家杨辉在《详解九章算术》中记载了“杨辉三角”，在如图所示的“杨辉三角”中，除每行两端的数值外，每一个数值等于其肩上两数之和，若第n行所有数字之和为128，则______. 71．“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，激发起一批又一批数学爱好者的探究欲望.“杨辉三角”如图所示，则 （    ）    A．160 B．165 C．168 D．170 72．在探究的展开式的二项式系数性质时，我们把系数列成一张表，借助它发现了一些规律．在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中，出现了这个表，我们称这个表为杨辉三角，如图，第3行到第10行的各行的第4个数的和为（   ） A． B． C． D． 考点13 二项式定理与数列 73．已知函数，其中． (1)若，，求的值； (2)若，，求(，1，2，3，…，8)的最大值； (3)若，求证：． 74．设. (1)求； (2)若是，，，，中唯一的最大值，求的所有可能取值； (3)若，求. 75．若数列的前9项满足，记的前项和为，则______. 76．设的第项系数为. (1)当时，求的最大值； (2)表示的整数部分，，求的值. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 二项式定理 考点01 二项展开式及其应用 考点02 二项展开式的第k项的问题 考点03 求指定项的二项式系数与系数 考点04 二项式系数的增减性和最值 考点05 求有理项及其系数最值问题 考点06 二项展开式各项的系数和 考点07 奇次项与偶次项的系数和 考点08 两个二项式乘积展开式的系数问题 考点09 三项展开式的系数问题 考点10 整除和余数问题 考点11 近似计算问题 考点12 杨辉三角的问题 考点13 二项式定理与数列 考点01 二项展开式及其应用 1．已知二项式的展开式共有19项，则（    ） A．18 B．19 C．20 D．21 【答案】A 【详解】由二项式的展开式共有19项， 则，故. 2．（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据的展开式和计算即可判断 【详解】由， 所以. 3．________．（结果用组合数表示） 【答案】 【详解】由二项式定理， 因为 所以两边展开式中的系数相等． 左边展开式中，要得到，可取第一项中的与第二项中的相乘，其中 ． 因此的系数为 又由组合数性质 所以左边展开式中的系数为 右边展开式中的系数为 因此 4．（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】根据二项式定理即可得到答案. 【详解】因为 . 5．（1）求的展开式； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）法一：直接利用二项式的展开式即可得到结果；法二：整理可得，结合二项式的展开式即可得到结果； （2）根据题意，反向利用二项式定理，即可得到结果. 【详解】法一： ． 法二：． （2）原式． 6．设是正整数，表达式化简的结果是______ 【答案】 【分析】根据二项式定理化简. 【详解】 故答案为：. 考点02 二项展开式的第k项的问题 7．的展开式的第3项为______． 【答案】 【分析】根据二项式展开式的通项公式求解即可. 【详解】的展开式的第3项． 8．的展开式的常数项为____________． 【答案】135 【分析】首先写出二项式展开式的通项，令，即可求出，再代入计算可得； 【详解】解：二项式的展开式的通项公式为， 令，求得， 所以展开式中常数项为. 9．的展开式的第3项是___________． 【答案】 【详解】由的展开式的第3项是． 10．若的二项展开式中，第5项为常数项，则__________. 【答案】 【分析】利用二项展开式通项以及已知条件可得出关于的等式，即可得解. 【详解】根据二项式定理，其展开式的第项通项为： ， 当时，第5项为为常数， 则， 解得：. 11．若的展开式中第4项为160，则__________. 【答案】 【分析】根据二项式展开的通项公式，结合题意，列出等式，化简计算，即可得答案. 【详解】的展开式中第4项为， 所以，解得. 故答案为： 12．若的展开式中第4项为常数项，则n的值为______． 【答案】12 【详解】由题得展开式的通项为， 当时，，所以 考点03 求指定项的二项式系数与系数 13．在的展开式中，含有项的系数为_____________． 【答案】 【详解】根据二项式展开得，含有项的系数为. 14．若的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，则______． 【答案】 【分析】根据二项式定理及组合数的计算，即可求解. 【详解】二项式的展开式中第3项与第6项的二项式系数分别为与， 由题意可得，，解得. 15．已知（）的展开式中，第4项系数与第6项系数之比为5∶6，则展开式一共有__________项． 【答案】7 【分析】由二项展开式通项公式得系数比，从而求得． 【详解】， 由第4项系数与第6项系数之比为得 ，解得：. 所以展开式一共有7项. 16．在的二项展开式中，第项的二项式系数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】给出的二项展开式即可求解. 【详解】的二项展开式的通项为， 所以第项为，其二项式系数为，故B正确. 17．的展开式中的系数是（    ） A． B．8 C． D．32 【答案】C 【详解】展开式的通项是， 根据题意，得，解得， 所以的系数是. 18．在的展开式中，的系数为______．（用数字作答） 【答案】240 【详解】对于，其第项为， 因为，所以其第项为， 则， 当时， ，则， 故. 考点04 二项式系数的增减性和最值 19．在展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则二项式系数和为（     ） A．128 B．256 C．512 D．1024 【答案】B 【详解】因为展开式中只有第项二项式系数最大，所以，解得， 所以的二项式系数和为． 20．二项式展开式的二项式系数和为64 (1)求n的值； (2)求展开式中各项的系数和； (3)求展开式中的常数项； (4)求二项式系数最大的项 【答案】(1)6 (2)4096 (3)960 (4) 【分析】（1）根据的二项式系数和为结合题设即可求解； （2）利用赋值法，令即可求解； （3）求出二项式展开式的通项，令的指数为零即可求解； （4）根据二项式系数的性质和的值可判断二项式系数最大的项，从而求解. 【详解】（1）由题意，二项式展开式的所有二项式系数之和为，解得. （2）令，得， 则展开式中各项的系数和为4096. （3）展开式的通项为， 令，得，则展开式中的常数项为. （4）由于为偶数，则二项式系数最大的项为第4项， 即为. 21．在的展开式中，只有第7项的二项式系数最大，则（    ） A．14 B．13 C．12 D．11 【答案】C 【分析】结合二项式系数的性质求解即可. 【详解】二项展开式的二项式系数满足： 若为偶数，展开式共项，只有中间1项的二项式系数最大，该中间项为第项； 由题知第7项的二项式系数最大，即为偶数的情况， 所以，解得， 22．在的展开式中，二项式系数最大的项的系数为__________． 【答案】 【分析】根据二项式系数的性质及二项展开式通项公式求解. 【详解】对于二项式，当为偶数时，中间项（第项）的二项式系数最大. 本题中（偶数），因此第项的二项式系数最大，此时. 二项式的通项为 将代入通项 因此，该项的系数为. 23．已知在的二项展开式中，只有第6项的二项式系数最大，若在展开式中任取2项，其中抽到有理项的个数为1，这个事件记为事件A，则______． 【答案】 【分析】利用二项式系数的性质可知，再由二项展开式的通项求出有理项的个数，即可求解. 【详解】在的二项展开式中只有第6项的二项式系数最大，则， 可得的二项展开式的通项， 当为整数时，该项为有理项，因为且，所以当时， 分别为是整数，即有理项有3项，可得. 24．若的展开式中有且仅有第五项的二项式系数最大，则展开式中第6项系数为（   ） A．1120 B． C． D．448 【答案】C 【详解】由题意得，故， 则展开式的通项为 且， 令，则，所以展开式中第6项系数为. 考点05 求有理项及其系数最值问题 25．已知在二项式的展开式中，第项的二项式系数为，且展开式中含的项的系数为. (1)求和的值； (2)求该二项式展开式中所有的有理项. 【答案】(1)， (2)，， 【分析】（1）利用的展开式的通项公式，结合条件，即可求解； （2）根据条件，利用二项展开式的通项公式，得，即可求解. 【详解】（1）因为的展开式的通项公式为， 由第项的二项式系数为，得，解得，所以， 又展开式中含的项的系数为，令，解得， 所以，解得， 故和的值分别为. （2）由（1）知， 要求二项式展开式中的有理项，则为整数，所以， 当时，，当时，， 当时，， 所以该二项式展开式中所有的有理项为，，. 26．已知的展开式中，二项式系数和为256. (1)求n的值； (2)求该展开式中的常数项； (3)求该展开式中所有的有理项. 【答案】(1) 8 (2) 1792 (3) 【分析】（1）根据二项式系数和的性质，即二项式系数和为，可求出的值； （2）先写出二项展开式的通项公式，再令通项公式中的指数为，求出对应的值，进而得到常数项； （3）根据有理项的定义，即的指数为整数，结合通项公式确定的取值，从而得到所有的有理项． 【详解】（1）由二项式系数和为，得． （2）展开式的通项为， 令，得，故常数项为． （3）要使为整数，需为的倍数，又，故． 当时，； 当时，； 当时，． 故有理项为． 27．已知，二项式的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等. (1)展开式中是否存在含的项？若存在，求出的系数；若不存在，说明理由； (2)求展开式中系数最大的项. 【答案】(1)存在，的系数为 (2)系数最大的项为 【分析】（1）根据第4项与第8项的二项式系数相等，列出等式，求出n，再通过二项式展开通项，取的指数为2，求出项数，代入通项中，求出系数即可； （2）设第项的系数最大得，求解即可. 【详解】（1）存在，因为展开式的第4项与第8项的二项式系数相等， 所以，解得， 则展开式的通项公式为 ， 令，解得，代入通项公式有：， 所以的系数为； （2）设第项的系数最大，故， 即，即， 解得， 因为，所以， 故系数最大的项为. 28．已知的展开式中各项的二项式系数之和为64． (1)求展开式中的第5项； (2)求展开式中系数最大的项． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由条件结合二项式系数性质列方程求， 法一：求出二项式展开式的通项公式，再利用通项公式求第项； 法二：求出二项式展开式，直接确定第项； （2）法一：设第项的系数最大，列不等式求，由此确定系数最大的项， 法二：由展开式直接确定系数最大的项. 【详解】（1）法一：由二项式系数的性质得，故． 由二项式定理得展开式的第项为． 展开式中的第5项为． 法二：由二项式系数的性质得，故． 由二项式定理得展开式的第项为． ． 所以展开式中的第5项为． （2）法一：设第二项到第六项中系数最大的项为第项，， 则， 所以，解得，所以， 又第项的系数为，第项的系数为，第项的系数为， 故展开式中系数最大项为． 法二：由分析得展开式中的系数最大项为． 29．已知展开式中前三项的二项式系数和为. (1)求的值； (2)求展开式中含的项的系数； (3)求展开式中系数最大的项. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据及组合数公式得到方程，解得即可； （2）写出展开式的通项，利用通项计算可得； （3）设第项的系数最大，得到关于系数的不等式组，求出，再代入通项计算可得. 【详解】（1）因为展开式中前三项的二项式系数和为， 所以，即，解得或（舍去）， 所以； （2）因为展开式的通项为（其中且）， 令，解得， 所以，所以展开式中含的项的系数为； （3）设第项的系数最大， 所以，即，解得， 又，所以， 所以，所以展开式中系数最大的项为. 30．已知，其中满足．对于的展开式，求： (1)值； (2)含项的系数； (3)系数最大的项． 【答案】(1) (2) (3)第6项和第7项 【分析】（1）根据组合数公式列方程求解即可. （2）利用二项展开式的通项公式求指定项的系数. （3）设第项的系数，利用，可确定的值，进而得到系数最大的项. 【详解】（1）根据，知， 整理得， 即，又，， 所以． （2）由于，所以． 则展开式中第项，，1，2，…，8． 当时，解得． 所以含项的系数为． （3）因为的展开式的第项的系数为，，1，2，…，8． 不妨设第最大，，2，…，7， 则，， 即，， 解得， 又， 所以为最大． 所以系数最大的项为第6项和第7项． 考点06 二项展开式各项的系数和 31．已知，则________． 【答案】2059 【详解】令，得； 令，得； . 32．，二项式系数和为128，则________（结果用数字表示）． 【答案】0 【分析】先根据二项式系数和公式求出的值，再用赋值法令代入展开式即可得到所有项的系数和. 【详解】二项式的所有二项式系数之和为，由题意得，解得， 对展开式， 令代入，左边为 ，右边为， 因此. 33．已知，其中，，，，且的展开式中各二项式系数的和为256． (1)求n的值及展开式中二项式系数最大的项； (2)求的值． 【答案】(1) ，二项式系数最大项为 (2) 【分析】（1）利用二项式系数和为的性质列方程求，再根据偶数次二项展开式中二项式系数最大项为中间项计算对应项； （2）采用赋值法分别求出常数项和所有项的系数和，两式作差得到所求系数和. 【详解】（1）二项展开式的所有二项式系数之和为，由题意得，解得（）. 因为为偶数，故展开式中二项式系数最大的项为第项. 由二项展开式通项公式（），得 . （2）由（1）知，. 令，代入原式得，解得. 令，代入原式得，即 . 因此. 34．已知，则=______. 【答案】 【详解】展开式通项为，得，， 相加得. 35．已知展开式共有11项. (1)求n的值，并求二项式系数的最大值； (2)求的值； (3)求的值. 【答案】(1)，252 (2) (3)0 【分析】（1）根据展开式的项数特征可求得，进而求得二项式系数的最大值； （2）先分析原二项式展开式系数的正负性，再通过赋值法，将原二项式中的负号转化为正号后令，从而得到值； （3）利用赋值法，令，代入原二项式展开式直接得到值. 【详解】（1）二项式展开式的项数为， 由题知展开式共11项，因此，得， 因为10是偶数，故二项式系数的最大值为； （2）展开式中，系数的符号由决定， 即对应将原式中换为1后的系数， 等价于令代入原式：， 计算得，因此结果为； （3）令，代入等式得， 左边等于，因此结果为0. 36．的二项展开式中，各项系数的和为________． 【答案】64 【详解】令即可求出二项展开式各项的系数和为. 考点07 奇次项与偶次项的系数和 37．已知，且． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)1 (2)243 【详解】（1）令，得，即， 令，得， 则. （2）令，得， 则 . 38．已知． (1)求； (2)求； (3)求． 【答案】(1)8 (2)－2 (3)－64 【详解】（1）令，则，则原式转化为， 则，所以； （2）令，得， 令，得，所以＝－2； （3）由（2）得：①， 令，得：②， ①＋②得：，即＝8， ①－②得：，即＝－8， 所以. 39．已知，则的值是（ ） A．30 B．31 C．32 D．33 【答案】B 【分析】先根据二项式展开式的通项公式求出的值，再通过对进行赋值，结合已知等式求出的值，进而求出的值. 【详解】，故， 令，则， . 40．设． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）借助赋值法，令代入计算即可得； （2）结合（1）中所得，再令代入计算即可得； （3）借助二项式的展开式的通项公式计算可得每项系数的正负，结合（2）中所得即可得解. 【详解】（1）令，则有， 即； （2）令，则有， 即， 又， 则； （3）对，有，且， 则当为奇数时，为负数，当为偶数时，为正数， 故. 41．已知，则下列结论中正确的个数是（   ） ①； ②； ③； ④ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用赋值法即可求解.对于①，令即可求解；对于②，令即可求解；对于③，令，与时的式子作差即可求解；对于④，令，结合①即可求解. 【详解】令，得，故①正确； 令，得（i），故②错误； 令，得（ii）， 由（i）-（ii）化简得，故③正确； 令，得， 则， 得，故④正确. 42．设． (1)求值； (2)求值； (3)求值． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】（1）利用赋值法，令求出值； （2）利用赋值法，令求出，再减去即可； （3）先求导，再利用赋值法求解． 【详解】（1）令，则． （2）令，得， ， ． （3）已知， 两边求导得， 令，则， 即． 考点08 两个二项式乘积展开式的系数问题 43．展开式中的系数是（     ） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】C 【分析】写出的通项，将前面多项式每一项与通项相乘，根据所求的的系数，对r分类计算系数相加即可． 【详解】的通项为； 因为， 的通项为：， 当时，此项为； 的通项为， 当时，此项为； 综上的系数为． 44．的展开式中的系数为（    ） A．2 B．－2 C．4 D．－4 【答案】A 【分析】利用乘法分配律和二项式展开式的通项公式求得正确答案. 【详解】由二项式定理可知：的展开式中含的项为： ，所以的系数为2. 45．在的展开式中，常数项为__________．（用数字作答） 【答案】 【详解】的常数项为 . 46．的展开式中的系数是_________. 【答案】 【分析】借助二项式的展开式的通项公式计算即可得. 【详解】对，有， 则，， 则的展开式中的系数是. 47．在的展开式中，二项式系数和为 (1)求的值并求展开式中的常数项； (2)求展开式中的系数． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据已知条件结合二项式系数的性质求出，进而求出的展开式的通项公式，从而求出常数项； （2）根据（1）的结论明确问题并求出含和的项，从而求出展开式中的系数． 【详解】（1）已知二项式系数和为，则，解得， 则的展开式的通项公式为：， 令得， 的展开式的常数项为． （2），则问题为求展开式中的系数， 由于， 由（1）知的展开式的通项公式为：， 则展开式中含的项为， 展开式中含的项为， 展开式中含的项为，故其系数为． 48．已知展开式中项的系数为30，则（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【详解】，其中的展开式通项为， 展开式中项来自两部分，当，，当，， 由题意可得，解得. 考点09 三项展开式的系数问题 49．已知的展开式中只有第3项的二项式系数最大，则的展开式中的常数项是（    ） A．20 B．70 C．84 D．864 【答案】B 【分析】先得到，对变形后，由展开式通项公式进行求解 【详解】的展开式中只有第3项的二项式系数最大， 故展开式共5项，所以， 变形为， 展开式为， 令得，所以常数项为. 50．的展开式中的常数项为______． 【答案】49 【分析】分类讨论利用多项式展开式的通项公式求解即可. 【详解】展开式中得到常数项的方法分类如下： （1）4个因式全取1，相乘得到常数项.常数项为； （2）4个因式中有1个取，则再取1个，其余因式取，相乘得到常数项.常数项为； （3）4个因式中有2个取，则再取2个，相乘得到常数项为， 合并同类项，所以展开式中常数项为. 51．已知，若，且，则m的值为________. 【答案】 【分析】把x凑成的形式，再用二项式定理展开，通过对应系数相等建立方程求解 【详解】因为，所以，利用二项式定理展开得， 即， 又因为，对应系数要相等，则 又因为且，即，解得. 52．已知，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用组合计数问题列式求解. 【详解】依题意，展开式中含的项为， 所以. 53．在的展开式中，含的项的系数为（   ） A．10 B．20 C．30 D．60 【答案】C 【分析】根据多项式定理求解即可. 【详解】的展开式的通项为. 令，则 的展开式的通项为， 令，则系数为. 因此含项的总系数为. 54．的展开式中含的项为____. 【答案】 【分析】首先原式变形为，再利用两个二项展开式求含的项. 【详解】, 中项的系数为，的常数项为， 中项的系数为，中项的系数为， 中，常数项为，中项的系数为， 所以展开式中含的项的系数为， 所以的展开式中含的项为. 考点10 整除和余数问题 55．除以8的余数为（     ） A．1 B．2 C．6 D．7 【答案】D 【分析】由，运用二项式定理，结合整除的性质，可得所求余数． 【详解】， 由56能被8整除，所以除以8，所得的余数为． 56．今天是星期三，再过天是星期几（   ） A．星期三 B．星期五 C．星期六 D．星期日 【答案】D 【分析】通过二项式定理将逐步变形为与7相关的展开式，消去能被7整除的项，最终求得除以7的余数，进而推算出对应的选项 【详解】， 因为98能被7整除，所以上式前50项都能被7整除，只需确定最后一项除以7的余数，， 所以除以7的余数为， 因为今天是星期三，所以再过天，是星期日. 57．除以得到的余数是________ 【答案】 【分析】先将转化为与相关的表达式，再利用二项式定理展开，通过分析展开式各项与的关系，从而确定其被除所得的余数即可. 【详解】将改写为，由二项式展开得： ， 展开式中，除第一项外，其余所有项都含有因数，均为的倍数， 因此余数就是第一项的. 58．昨天是2026年5月6日星期三，再过天是星期（    ） A．一 B．三 C．五 D．日 【答案】A 【分析】将写成形式的二项展开式，然后计算除以7余下的天数，最后判断是星期几. 【详解】因为 所以 则的余数为， 又因为昨天是星期三，所以今天是星期四，所以天后是星期，即星期一. 59．设n为正奇数，则被6整除的余数为（    ） A． B．0 C．4 D．5 【答案】D 【分析】先将给出的代数式求和得，再将用二项式定理展开，求出余数. 【详解】 这项中，前项均为6的倍数， 因为为正奇数，所以第项，除以6余5， 所以被6整除的余数为5. 60．被7除所得的余数为4，则实数m可以为（） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】 展开得， 展开式中前项均含因子，能被整除，仅最后一项， 因此除以的余数为1， 因为被除余，所以，， 所以，所以可以为3. 考点11 近似计算问题 61．实数的近似值（精确到0.001）是（    ） A．31.680 B．31.681 C．31.682 D．31.683 【答案】B 【分析】先将变形为，再利用二项式定理展开化简即可得解． 【详解】 ， 将精确到，故近似值为． 62．求精确到0.001的近似值． 【答案】0.951 【分析】根据给定条件可得，再利用二项式定理求解. 【详解】依题意， . 所以精确到0.001的近似值为. 63．（1）求精确到0.001的近似值； （2）若今天是星期一，再过天是星期几？ 【答案】（1）0.995；（2）星期三． 【分析】（1）由并作展开，结合精确数位即可得近似值； （2）由并作展开，判断除以7的余数，即可得. 【详解】（1）， 可以看出，及其后面的项在精确到0.001时都可以忽略， 所以近似值为． （2）因为， 显然，是一个除以7余2的数， 所以，如果今天是星期一，再过天是星期三． 64．的小数点后第三位数字为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二项展开式可得出该小数的前四位数，即可得解. 【详解】因为 ， 因此，的小数点后第三位数字为. 故选：A. 65．的第一位小数为，第二位小数为，第三位小数为，则分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助二项式定理，由，将其展开后计算即可得. 【详解】， 故分别为. 故选：A. 66．计算保留到小数点后3位的结果是（    ） A．0.945 B．0.905 C．0.904 D．0.903 【答案】C 【分析】由结合二项式展开式计算前四项的和即可求解. 【详解】， 由于展开式的第一项，第二项， 第三项，第四项，后面的项绝对值更小，对小数点后3位的影响可以忽略， 由， 所以保留到小数点后3位的结果是. 考点12 杨辉三角的问题 67．“杨辉三角”是我国古代数学的瑰宝，它本身蕴含着非常丰富的数学规律和许多有趣的性质.如图所示，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第__________行中从左到右第12与第13个数的比为. 【答案】27 【详解】“杨辉三角”第行的数依次为：、、、、、、， 所以第行从左到右第12个和第13个数依次为：、， 由题意得：，即：，所以：， 化简得：，解得：， 即：第27行中从左到右第12与第13个数的比为. 68．如图，“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现，比欧洲发现早500年左右.则第2025行所有数的和为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】杨辉三角的第行对应二项式展开 的系数，即 ，这些系数的和为 ，因此第2025行所有数的和为 . 69．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出著名的杨辉三角.由此可见我国古代数学的成就就是非常值得中华民族自豪的.如上图所示，由杨辉三角的左腰上的各数出发，引一组平行线，从上往下每条线上各数之和依次为，以下关于杨辉三角的猜想中正确的序号有______.（写出所有正确的序号） ①由“与首末两端等距离的两个二项式系数相等”猜想 ②由“在相邻两行中，除1以外的每个数都等于它肩上的两个数之和”猜想 ③第9条斜线上各数之和为55 ④在第条斜线上，各数从左往右先增大后减小 【答案】①②④ 【分析】根据二项式系数与杨辉三角判断①，②；通过观察归纳出第条斜线上的数的特征，进而判断③，④选项即可. 【详解】对于①，②，根据二项式系数的性质，结合杨辉三角， 可得，成立，故①，②正确； 对于③，④，第1条斜线上的数为，第2条斜线上的数为， 第3条斜线上的数为，第4条斜线上的数为， 第5条斜线上的数为，第6条斜线上的数为， 第7条斜线上的数为， 由此归纳得到，第条斜线上的数依次为， 第条斜线上的数依次为， 所以第条斜线上各数字为， 和为，故③错误； 而结合二项式性质得在第条斜线上， 各数从左往右先增大后减小，故④正确. 70．我国南宋数学家杨辉在《详解九章算术》中记载了“杨辉三角”，在如图所示的“杨辉三角”中，除每行两端的数值外，每一个数值等于其肩上两数之和，若第n行所有数字之和为128，则______. 【答案】 7 【详解】在“杨辉三角”中，第n行所有数字之和为， 因此，所以. 71．“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，激发起一批又一批数学爱好者的探究欲望.“杨辉三角”如图所示，则 （    ）    A．160 B．165 C．168 D．170 【答案】B 【详解】由，有. 72．在探究的展开式的二项式系数性质时，我们把系数列成一张表，借助它发现了一些规律．在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中，出现了这个表，我们称这个表为杨辉三角，如图，第3行到第10行的各行的第4个数的和为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，得到第3行到第10行的各行的第4个数的和为，结合组合数的性质，即可求解. 【详解】由二项式， 可得第3行到第10行的各行的第4个数的和为， 又由组合数的性质知：且 所以，即第3行到第10行的各行的第4个数的和为. 考点13 二项式定理与数列 73．已知函数，其中． (1)若，，求的值； (2)若，，求(，1，2，3，…，8)的最大值； (3)若，求证：． 【答案】(1) (2)1792 (3)证明见解析 【分析】（1）利用赋值法，令和，两式相加即得解； （2）先求出，设为中的最大值，则，解不等式组即得解； （3）先得到，再利用二项式定理证明. 【详解】（1），时， ， 令得， 令得， 两式相加可得； （2）， ， 不妨设为中的最大值，则， ，， 或6， 所以中最大值为； （3）若，， ， 因为， 所以 ， 故得证. 74．设. (1)求； (2)若是，，，，中唯一的最大值，求的所有可能取值； (3)若，求. 【答案】(1) (2)20，21，22 (3) 【分析】（1）利用赋值法，令，，即可得结果； （2）根据二项式定理可得，根据题意列式求解即可； （3）整理可得，结合二项式系数的性质运算求解. 【详解】（1）由， 令，可得； 令，可得； 所以. （2）由题意知的展开式的通项为，， 所以，. 因为是中唯一的最大值， 可得，即，解得， 所以的所有可能取值为20，21，22. （3）由题意可得：， 所以，， 则. 因为， 所以. 75．若数列的前9项满足，记的前项和为，则______. 【答案】16 【分析】根据二项展开式公式和数列概念即可得到答案. 【详解】令，则有，即. 又因为根据二项展开式通项公式得， 故. 故答案为：16. 76．设的第项系数为. (1)当时，求的最大值； (2)表示的整数部分，，求的值. 【答案】(1) (2)0 【分析】（1）系数最大的项需满足即可求解； （2）分为偶数和为奇数求解． 【详解】（1）解：由题可知，展开式中第项为：， 则系数最大的项需满足，解得或， 所以系数最大为第3项或第4项， 所以最大项系数为. （2）注意到， 令，则， 令，则， 若为偶数，设，则， ，则 其中，于是， 此时为正整数，故， 若为奇数，设，则， ，故 于是，此时为正整数，故， 综上所述，. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $