专题07 排列与组合（高效培优期末专项训练）高二数学沪教版选择性必修第二册

专题07 排列与组合 考点01 排列与组合公式的计算 考点02 元素(位置)有限制的排列问题 考点03 相邻与不相邻问题 考点04 其他排列模型（定序、成环） 考点05 几何计数问题 考点06 数字排列问题 考点07 涂色问题 考点08 分组分配问题 考点09 x+y+z=n的整数解的个数 考点10 其他排列组合模型（多排、多面手） 考点01 排列与组合公式的计算 1．不等式的解集为（    ） A．(5，10) B． C． D． 【答案】D 【分析】根据排列数的定义计算即可. 【详解】由，得， 整理得，解得， 又因为根据排列数的定义，需满足，解得，则. 2．求解下列问题： (1)计算：； (2)求证：. (3)解关于的不等式：； 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）（2）（3）应用排列数公式化简求值、证明恒等关系及解不等式； 【详解】（1）； （2），. （3）依题意，有，可得， 由，得，即， 整理得，解得，所以， 又，得，所以的解集为. 3．（1）解不等式： （2）证明：. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【分析】（1）根据排列数的公式，将原不等式化简为，求解，再根据，即可求出结果； （2）由排列数的公式将左边化简整理，即可得出结果. 【详解】（1）由，得， 化简得，解之得，① 又，可得，② 由①②及得. （2） ， 因此，. 4．使得的最小自然数为__________. 【答案】7 【分析】依次计算组合数求解. 【详解】当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 所以的最小自然数为. 5．（1）解方程：； （2）求关于的不等式的解集. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）借助排列数公式计算即可得； （2）借助组合数公式计算即可得. 【详解】（1）， 即，则或， 由，即，故； （2），， 则有，化简得， 即， 解得，又，故， 即该不等式的解集为. 6．若，则__________． 【答案】6或2 【详解】由组合数的性质可知：或， 解得或2，经检验均满足题意. 考点02 元素(位置)有限制的排列问题 7．从（包含甲）人中选派人参加这三项不同的活动，且每项活动有且仅有人参加，若甲不参加和活动，则不同的选派方案有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【分析】分甲被选中和甲未被选中两类情况计算，再由分类加法计数原理可得. 【详解】根据题意，分两类完成： 第一类：甲被选派参加活动：由于甲不参加和活动，故甲仅能参加活动， 剩余两项活动需从其余人中选人参加，方案数为种； 第二类：甲未被选派参加活动：需从其余人中选人分别参加三项不同活动， 方案数为种. 根据分类加法计数原理，总方案数为种. 8．诗句”花落知多少”的平仄格式为平仄平平仄．现将该诗句中的5个字重新排列，要求重新排列后的平仄序列与原诗的平仄序列不同，则不同的排列种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】5个字的全排列种数为， “落”与“少”放在第二个和第五个位置的排列种数为， 所求不同的排列种数为． 9．现有甲､乙等五名学生参加“弘扬中华文化”的演讲比赛，已知甲既不在第一个出场，又不在最后一个出场，且乙不在第三个出场，则不同的出场顺序共有（    ） A．120种 B．96种 C．72种 D．60种 【答案】D 【分析】根据题意，分甲在第三个出场和甲不在第一个、第三个和最后一个出场两种情况讨论求解即可. 【详解】若甲在第三个出场，则不同的出场顺序有种； 若甲不在第一个、第三个和最后一个，则不同的出场顺序有种． 根据分类加法计数原理可知，不同的出场顺序共有种． 10．某游客计划一天内游览重庆 5 个景点: 洪崖洞、解放碑、长江索道、磁器口古镇、李子坝轻轨站，每个景点仅游览一次，要求洪崖洞与解放碑必须相邻， 且长江索道不能排在第一位， 则不同的游览顺序共有（    ） A．24 种 B．28 种 C．32 种 D．36 种 【答案】D 【详解】先捆绑洪崖洞与解放碑共有种， 再与剩下3个景点排，又长江索道不能排在第一位， 则共有种． 11．解决下列问题，写出计算过程，用具体数字回答 (1)4名男生和3名女生排成一排，4名男生站在一起，3名女生站在一起，有多少种排法？ (2)4名男生和3名女生排成一排，女生不相邻的排法有多少种？ (3)4名男生和3名女生排成一排，甲、乙二人不能站在两端的排法有多少种？ (4)4名男生和3名女生排成一排，甲、乙两人中间有且只有2人的排法有多少种？ (5)4名男生和3名女生排成一排，甲不站在排头，乙不站在排尾，有多少种排法？ 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）利用捆绑法即可求解； （2）利用插空法即可求解； （3）利用特殊位置优先排的方法，结合排列数的计算方法及分步乘法计数原理即可求解； （4）利用捆绑法即可求解； （5）利用考虑反面的方法即可求解． 【详解】（1）4名男生站在一起，共有种排法， 3名女生站在一起，共有种排法， 所以共有种排法． （2）女生不相邻的排法有种排法． （3）从除甲、乙以外的5人中选2人站两端，共有种排法， 剩下5人共有种排法， 所以共有种排法． （4）甲、乙两人中间有且只有2人的排法有种排法． （5）人共有种排法， 甲站在排头共有种排法， 乙站在排尾共有种排法， 所以甲不站在排头，乙不站在排尾，共有种排法． 12．从包含甲、乙2人的6人中选4人参加米接力赛，求在下列条件下，各有多少种不同的排法？（结果用数字作答） (1)甲、乙2人都被选中且必须跑中间两棒； (2)甲、乙2人都被选中且必须跑相邻两棒； (3)甲、乙2人都被选中且不能相邻两棒. 【答案】(1)24 (2)72 (3)72 【分析】（1）先安排甲、乙的位置，再从剩余的4人中选2人并安排在剩余位置； （2）采用捆绑法，先选后排； （3）插空法，先从其余4人中选2人进行排列，再将甲乙两人插入空位. 【详解】（1）甲乙两人在中间两棒，则有种排法， 从剩下4人选出2人排列到两边，有种排法， 所以共有种排法；                                           （2）将甲乙绑定到一起，内部有2种排法，从剩下4人选出2人，有种选法， 全排列3个元素有种排法，所以共有种排法； （3）先从剩下4人选出2人先排列，有种排法， 将甲乙插入到已排列的两个元素邻近的3个空位中，以保证甲乙不相邻，有种排法， 所以共有种排法. 考点03 相邻与不相邻问题 13．3人观看表演，现有5个空位，则安排座位时两空位恰好相邻的坐法数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】5个空位中，2个空位恰好相邻的组合为：，共4种； 剩余3个座位安排3人进行全排列，共有：种， 安排座位时两空位恰好相邻的坐法数为：． 14．某登山团队的7名成员站在山顶排成一排合影留念，其中队长甲必须站在正中间，好友乙和丙必须相邻，小朋友丁不能站在边上，则符合条件的排法有_________种（用数字作答）． 【答案】120 【分析】将队伍从左到右依次按1到7编号，先将队长甲固定在4号位，再考虑乙和丙必须相邻的排法种数，接下来分情况讨论小朋友丁不能站在边上的情况，最后找出符合条件的排法种数. 【详解】将队伍从左到右依次按1到7编号，其中队长甲必须站在正中间的4号位置， 因为好友乙和丙必须相邻，可能的相邻位置组为：，，，. 乙丙内部有种排列，所以乙丙的位置选择有种. 当乙丙在的位置上，剩余的位置为3、5、6、7， 因为小朋友丁不能站在边上， 所以丁可选3、5、6三个位置，剩余三个位置排其余三人，有种排法， 这种情况的排法有种. 同理当乙丙在的位置上，也有种排法. 当乙丙在的位置上，剩余的位置为1、2、3、7， 因为小朋友丁不能站在边上， 所以丁可选2、3两个位置，剩余三个位置排其余三人，有种排法， 这种情况的排法有种. 同理当乙丙在的位置上，也有种排法， 综上，符合条件的排法共有种 15．甲、乙、丙、丁、戊5名同学排成一列，甲、乙不相邻，且丙、丁相邻，则不同的排法种数为________．（用数字作答） 【答案】24 【详解】因为丙、丁相邻，所以将丙、丁“捆绑”，可得丙、丁的排列方法有种； “丙、丁”整体与戊的排列方法有种； “丙、丁”整体与戊排列后，形成3个空位，从这3个空位中选2个安排给甲、乙，排列方法有； 所以，满足甲、乙不相邻，且丙、丁相邻，则不同的排法种数为种. 16．现有4名男生和3名女生（分别为甲、乙、丙）站成一排照相. (1)两端要站女生，有多少种不同的站法？ (2)若女生甲乙相邻且都不与女生丙相邻，有多少种不同的站法？ (3)女生甲要在女生乙的右方（可以不相邻），有多少种不同的站法？ (4)女生甲不在左端，女生乙不在右端，有多少种不同的站法？ 【答案】(1)720 (2)960 (3)2520 (4)3720 【分析】（1）先排两端的女生，再排其余学生，利用分步乘法计数原理计算站法总数； （2）先排无特殊要求的男生，再将相邻的女生甲乙捆绑成一个整体，最后把 “甲乙整体” 和女生丙插入男生形成的空隙中，利用分步乘法计数原理计算站法总数； （3）先计算 7 人无限制的全排列总数，再利用定序问题的对称性，甲在乙右方的情况占总排列数的一半，直接除以 2 得到结果即可； （4）用间接法，先计算 7 人无限制的全排列总数，再减去甲在左端、乙在右端的不符合条件的情况，最后加回重复减去的 “甲在左端且乙在右端” 的情况，得到站法总数即可. 【详解】（1）优先排两端的女生：从3名女生中选2名排在两端，则， 排中间5个位置：剩余5人全排列：， 所以. （2）先排4名男生，形成5个空隙：， 将甲乙捆绑成一个整体，内部排列：， 从男生形成的5个空隙中选2个，分别放入“甲乙整体”和丙（两者不相邻）： ， 所以. （3）7人全排列：， 甲在乙的右方与甲在乙的左方的情况数相等，各占一半： . （4）7人全排列：， 甲在左端：， 乙在右端：， 甲在左端且乙在右端：， 所以. 17．为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列选项中不正确的是（   ） A．课程“礼”“乐”“射”排在相邻的三周，共有144种排法 B．课程“礼”排在“乐”的后面（可以不相邻），共有360种排法 C．课程“射”“御”排在不相邻的两周，共有240种排法 D．课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有504种排法 【答案】C 【详解】对A：利用“捆绑法”，满足条件的排法有种，故A正确； 对B：因为课程“礼”排在“乐”的后面和课程“乐”排在“礼”的后面的情况一样多，所以满足条件的排法有种，故B正确； 对C：利用“插空法”，满足条件的排法有种，故C错误； 对D：满足条件的排法可分为两类： 第一类，“御”排在第一周，这样的排法有种； 第二类，“御”不排在第一周，这样的排法有种. 所以满足条件的排法种.故D正确. 18．3个女生和5个男生排成一排． (1)如果女生全排在一起，有多少种不同排法？ (2)如果女生互不相邻，有多少种不同排法？ (3)如果女生不站两端，有多少种不同排法？ 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）（捆绑法）由于女生排在一起，可把她们看成一个整体， 这样和5个男生合在一起有6个元素，排成一排有种排法， 而每一种排法中，3个女生间又有种排法． 因此共有（种）不同排法． （2）（插空法）先排5个男生，有种排法，这5个男生之间和两端有6个位置， 从中选取3个位置排女生，有种排法． 因此共有（种）不同排法． （3）法一（位置分析法）因为两端不排女生，所以只能从5个男生中选2人排列， 有种排法，剩余的位置没有特殊要求，有种排法． 因此共有（种）不同排法． 法二（元素分析法）从中间6个位置选3个安排女生，有种排法，其余位置无限制， 有种排法． 因此共有（种）不同排法． 考点04 其他排列模型（定序、成环） 19．现有4名男生和3名女生．若安排这7名学生站成一排照相，分别按以下要求计算各自的排法有多少种？ (1)4名男生互不相邻； (2)若4名男生身高都不等，按从左到右由高到低的顺序站； (3)男生甲不站最左端，女生乙不站最右端． 【答案】(1) 种 (2) 种 (3) 种 【分析】（1）利用不相邻问题插空法列式求解. （2）利用定序问题倍分法列式计算. （3）利用排除法列式计算. 【详解】（1）先排3名女生，再把4名男生插入每种排法形成的4个间隙中， 所以4名男生互不相邻的排法种数是（种）. （2）7名学生站成一排照相有种站法，其中4名男生的不同站法有种， 所以所求不同站法种数是（种）. （3）7名学生站成一排照相有种站法，其中男生甲站最左端的有种， 女生乙站最右端的有种，男生甲站最左端且女生乙站最右端的有种， 所以所求不同站法种数是（种）. 20．8个人按如下方式排队，计算排列数 (1)8人排成前后两排，每排4人，其中甲乙在前排，丙在后排，共有多少排法 (2)8人排成一排，其中甲与乙相邻，甲乙与丙不相邻共有多少排法 (3)8人排成一个圆圈，共有多少种排法 【答案】(1)5760 (2)7200 (3)5040 【分析】（1）特殊位置特殊元素问题，考虑特殊位置特殊元素优先排列来解决问题； （2）相邻问题捆绑法，不相邻问题插空法解决； （3）8人排成一个圆圈，固定一人位置后，其余7人全排列即可. 【详解】（1）8人排成前后两排，相当于8人坐8把椅子，可以把椅子排成一排来考虑. 先排前排的甲乙，从前排4个位置中选2个给甲乙排列，有种排法； 再排后排的丙，从后排4个位置中选1个给丙，有种排法； 其余的5人在剩下的5个位置上任意排列，有种排法. 根据分步乘法计数原理，共有种排法. （2）先将甲乙看成一个整体（甲乙之间有种排法），此时相当于7个元素. 除甲乙整体和丙外的5个元素全排列，有种排法，这5个元素排列后形成6个空， 将甲乙整体与丙插入这6个空中，有种排法. 根据分步乘法计数原理，共有种排法. （3）8人排成一个圆圈，固定一人位置后，其余7人全排列， 共有种排法. 21．甲、乙等6人围成一圈，且甲、乙两人相邻，则不同的排法共有______种. 【答案】 【分析】根据环状排列的计算方法，结合元素相邻的计算方法求解. 【详解】由于环状排列没有首尾之分， 将个不同元素围成的环状排列剪开看成个元素排成一排，即共有种排法， 由个不同元素共有种不同的剪法，则环状排列共有种排法. 甲､乙两人相邻而坐，可将此2人当作1人看，即5人围一圆桌，有种坐法， 又因为甲､乙2人可换位，有种坐法，故所求坐法为种. 22．某次文艺晚会上计划演出7个节目，其中2个歌曲节目，3个舞蹈节目，2个小品节目，需要制作节目单： (1)三个舞蹈节目相邻且不排两端，有多少种排法？ (2)唱歌节目相邻，舞蹈节目也相邻，两个个小品节目不相邻，有多少种排法？ (3)由于特殊原因，需要在定好的节目单上加上两个新节目：一个育才师生的诗歌朗诵《育才赋》和一个快板节目，但是不能改变原来节目的相对顺序，有多少种排法？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将三个舞蹈节目看成整体，先排剩下4个节目，再把三个舞蹈节目放入不含两端的3个空中，据此可得答案； （2）将舞蹈，歌曲看成整体并优先安排，然后把小品放入舞蹈歌曲整体排布产生的空中可得答案. （3）将新增两个节目放入7个节目排布产生的空中，分放入同一个空和放入两个不同的空两种情况，据此可得答案. 【详解】（1）将3个舞蹈节目看成整体，优先排布，有种排法．再将剩下4个节目全排列，有种排法．最后，将舞蹈节目整体放入剩下4个节目排布时产生的不含两端的3个空中，有3种排法，故共有种排法； （2）将舞蹈，歌曲看成整体并优先安排，有种排法．再将小品分放入排布舞蹈，歌曲时产生的三个空中，有种排法．则共有种排法． （3）将新增两个节目放入7个节目排布产生的8个空中．若两个节目放入同一个空，有种排法，若两个节目不放入同一个空，有种排法，故共有种排法． 23．年月，国产AI视频生成模型“通义万相”上线“角色一致性”功能，支持在多个场景中保持主角形象不变.现有个互不相同的场景模板，需从中选出个并按顺序生成短视频，每个模板至多使用一次.则不同的生成方案共有（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用排列计数原理可得结果. 【详解】因为现有个互不相同的场景模板，需从中选出个并按顺序生成短视频，每个模板至多使用一次. 则不同的生成方案种数为种. 故选：B. 24．7个人围圆桌而坐，设甲、乙是这7个人中的两个，问： (1)甲、乙相邻就座有几种方法？ (2)甲、乙之间恰有一个人就座有几种方法？ (3)甲、乙之间恰有两个人就座有几种方法？ 【答案】(1)240 (2)240 (3)240 【分析】（1）利用捆绑法以及圆桌模型计算即可； （2）利用捆绑法以及圆桌模型计算即可； （3）利用捆绑法以及从剩余5人种选2人排列，再根据圆桌模型进行计算即可. 【详解】（1）由题可知：有种. （2）由题可知：有种. （3）由题可知：有种 考点05 几何计数问题 25．如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是（　　） A．48 B．18 C．24 D．36 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用分类加法计数原理列式计算作答. 【详解】正方体的两个顶点确定的直线有棱、面对角线、体对角线， 对于每一条棱，都可以与两个侧面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有（个）； 对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有12个， 不存在四个顶点确定的平面与体对角线垂直， 所以正方体中“正交线面对”共有（个）. 故选：D 26．以正五棱柱的顶点为顶点的三棱锥的个数是（     ） A．210 B．190 C．195 D．180 【答案】D 【分析】应用组合数求从10个顶点任选4个的情况数，再排除4点共面的情况数，即可得. 【详解】正五棱柱共10个顶点，任取4个顶点，有种不同选法， 底面为正五边形，任取4个顶点，有种不同选法， 5条侧棱互相平行，任取2条，有种不同选法， 四点共面中，出现底面对角线（不含侧棱与侧棱平行）的共有10种情况， 则以正五棱柱的顶点为顶点的三棱锥的个数为. 27．过某正方体的任意两个顶点作直线，在这些直线中，不同的异面直线共有（    ） A．173对 B．174对 C．183对 D．186对 【答案】B 【分析】使用“正难则反”的原则，从总数中剔除所有相交和平行的共面情况即可求解. 【详解】从正方体的8个顶点中任取4个顶点，共有种取法， 每4个顶点可分为共面与不共面两种情况， 其中共面的情况包括6个表面和6个对角面共12种情况， 此外，每组不共面的4个点构成的四面体中，均有3组异面直线， 所以共有对不同的异面直线． 28．以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是（    ） A．70 B．58 C．64 D．62 【答案】B 【分析】从8个顶点中选4个，再减去四点共面的情况种数即可得. 【详解】首先从8个顶点中选4个，共有种结果， 在这些结果中，有四点共面的情况，此时不能组成三棱锥， 6个表面有6个四点共面，6个对角面有6个四点共面， 故满足条件的结果有， 即以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是. 29．在空间中有8个点，其中任何4个点不共面，过每3个点作一个平面，可以作（   ）个平面 A．56 B．70 C．210 D．336 【答案】A 【分析】应用组合数求可作的平面数即可. 【详解】由题意不可能出现3点共线的情况，所以一共可以作个平面. 故选：A 30．正八边形的对角线的条数为（    ） A．20 B．28 C．40 D．56 【答案】A 【分析】正八边形中，分析可得：任取2个顶点可以得到一条线段，利用组合数计算可得得到线段的数目，排除其中正八边形的8条边即可得答案． 【详解】正八边形中，任取2个顶点可以得到一条线段，则可以得到条线段，其中包括了正八边形的8条边，则正八边形对角线的条数为条. 故选：A. 考点06 数字排列问题 31．用0，2，3，5，7，8可以组成多少个无重复数字的六位偶数（   ） A．360 B．312 C．606 D．322 【答案】B 【分析】分别按照0排在个位和0不排在个位这两类讨论求解. 【详解】0排在个位的无重复数字的六位偶数有， 0不排在个位的无重复数字的六位偶数有. 故用0，2，3，5，7，8可以组成无重复数字的六位偶数的个数为， 故选项B正确. 32．用数字组成没有重复数字的数（结果用数字作答）. (1)求可组成多少个三位数； (2)将（1）中的三位数按从小到大的顺序排成一排，求第55个数. 【答案】(1)100 (2)342 【分析】（1）先排百位数，再排其余数位； （2）按百位数字分类讨论，逐步缩小范围． 【详解】（1）百位数字可以从中选择，共种选择. 十位数字可以从剩下的个数字选择，共种选择，个位数字可以从剩下个数字选择，共种选择. 可以组成个三位数. （2）按百位分类计数：百位为的三位数：共个（对应第个数）； 百位为的三位数：共个（对应第个数）. 因此第55个数的百位是，且是百位为的数中第个. 再按十位从小到大分类计数（百位固定为）： 十位为：个位可选，共个数（对应百位为3的第个）； 十位为：个位可选，共个数（对应第个）； 十位为：个位可选，共个数（对应第个）. 此时累计到第12个，接下来十位从小到大是， 按顺序排列，第13个：，第14个：，第15个：. 因此第55个数是. 33．定义“各位数字之和为6的三位数叫幸运数”，如123，222，则所有幸运数的个数为（    ） A．21 B．16 C．11 D．6 【答案】A 【详解】设三位数的百位、十位、个位数字分别为， 因为， 所以， 当时，，， 幸运数为，共6个， 当时，，， 幸运数为，共5个， 当时，，， 幸运数为，共4个， 当时，，， 幸运数为，共3个， 当时，，， 幸运数为，共2个， 当时，，， 幸运数为，共1个， 综上所述三位数字之和为6的幸运数总计21个. 34．从标有，，，，的五张卡片中随机选取张放入如图所示的空格处组成一个四位数的偶数，则这个数大于的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用分类讨论及加法原理求所有的偶数、大于的偶数，再由古典概型的概率求法求概率. 【详解】先计算从，，，，这五张卡片选取4张组成的四位偶数的个数： 当个位数是时，直接从其余4个数中选3个作全排列，有个； 当个位数是或时，先填个位数，再填千位数，最后填中间两个数，有种， 所以组成的四位数的偶数共有个； 再计算上述四位偶数中大于的数的个数： 当千位数是时，比大的偶数，先填个位数，再从余下的3个数中选2个作全排列，有种； 当千位数是时，比大的偶数，先填个位数，再从余下的3个数中选2个作全排列，有种； 当千位数是时，分成两类情况：①个位是且比大，在余下的3个数中任选2个作全排列，有种， ②个位是且比大的偶数有，共5种， 综上，比大的偶数共有种， 故所求概率为. 35．将一枚骰子连续抛掷三次，掷出的数字顺次排成一个三位数． (1)可以排出多少个不同的三位数？ (2)各位数字互不相同的三位数有多少个？ (3)恰好有两个数字相同的三位数共有多少个？ 【答案】(1)216 (2)120 (3)90 【分析】（1）可先排百位，再排十位，最后排个位，结合分步乘法计数原理，即可求解； （2）根据题意，先排百位，再排十位，最后排个位，结合分步乘法计数原理，即可求解； （3）根据题意，可分为百位、十位相同，十位、个位相同，百位、个位相同，且每种都有个，进而得到答案. 【详解】（1）解：根据题意，可分三步进行：先排百位，再排十位，最后排个位， 根据分步乘法计数原理知，可以排出（个）不同的三位数． （2）解：根据题意，可分三步进行：先排百位，再排十位，最后排个位， 百位上数字的排法有6种，十位上数字的排法有5种，个位上数字的排法有4种， 根据分步乘法计数原理知，各位数字互不相同的三位数有（个）． （3）解：两个数字相同有三种可能，即百位、十位相同，十位、个位相同，百位、个位相同， 且每种都有（个），故满足条件的三位数共有（个）． 36．（1）从高三年级的四个班中共抽出22人，其中一、二、三、四班分别为4人，5人，6人，7人，他们自愿组成数学课外小组，选其中一人为组长，有多少种不同的选法？ （2）在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？ 【答案】（1）22;（2）36 【分析】（1）分别确定从四个班中选一人为组长的情况 ，将各类情况求和即可； （2）法一：满足题意的两位数十位上的数可以是1，2，3，4，5，6，7，8，共8类，分别确定每类满足条件的两位数的个数，再求和即可； 法二：满足题意的两位数个位上的数字可以是2，3，4，5，6，7，8，9，共8类，分别确定每类满足条件的两位数的个数，再求和即可. 【详解】（1）由题可知选其中一人为组长分四类： 从一班中选一人为组长，有4种选法； 从二班中选一人为组长，有5种选法； 从三班中选一人为组长，有6种选法； 从四班中选一人为组长，有7种选法． 共有不同选法（种）． （2）法一：按十位上的数字分别是1，2，3，4，5，6，7，8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别是8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个．由分类加法计数原理知，符合题意的两位数共有（个）． 法二：按个位上的数字是2，3，4，5，6，7，8，9分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别是1个，2个，3个，4个，5个，6个，7个，8个，所以按分类加法计数原理知，满足条件的两位数共有（个）． 考点07 涂色问题 37．如图，某社区为墙面四块区域宣传标语进行涂色装饰，每个区域涂一种颜色，相邻区域（共边）不能用同一颜色，若只有4种颜色可供使用，则涂法有（   ） A．12种 B．24种 C．48种 D．84种 【答案】D 【分析】不妨先涂，再分和同色或异色，结合分步乘法和分类加法计数原理进行求解即可． 【详解】解：不妨先涂，共有4种颜色可选， 当和同色时，和有三种颜色可选，也有3种颜色可选， 当和异色时，不妨先涂，则有3种颜色可选，再涂，则有种颜色可选， 最后涂D，则有种颜色可选， 综上，共有种涂法． 38．用五种不同颜色的涂料涂在如图所示的五个区域，相邻两个区域不能同色，则不同的涂色方法有（    ） A．240 B．480 C．420 D．360 【答案】C 【分析】考查排列组合涂色问题，利用分步乘法计数原理和分类加法计数原理来求解. 【详解】完成涂色需要分5步，按照顺序依次涂，区域有5种颜色可选，区域有4种颜色可选，区域有3种颜色可选， 若区域与区域颜色相同，区域有1种颜色可选，则区域有3种颜色可选； 若区域与区域颜色不同，区域有2种颜色可选，则区域有2种颜色可选； 再由分步乘法计数原理和分类加法计数原理计算，可得共有. 39．某公园设计了如图所示的观赏花坛，现有四种不同的鲜花可供摆放，要求有公共边的区域摆放不同种类的鲜花，则摆放鲜花的不同方法种数为__________.    【答案】120 【分析】根据分步乘法计数原理，结合4，5以及1，2是否同色，分类即可求解. 【详解】先排1，3，5区域，此时从4种鲜花中任选3种全排列，故共有种方法， 接下来排区域4，2，6， 若4与5同色，1，2同色，此时区域6有2种选择， 若4与5同色，1，2不同色，此时区域2只有一种选择，区域6也只有1种选择， 若4与5不同色，此时1，2只能同色，此时区域6有2种选择， 故涂区域2，4，6共有种方法， 因此总的涂法共有， 故答案为：120 40．现用3种不同的颜色给正六边形ABCDEF的六条边涂色，要求每种颜色都要使用，相邻两条边颜色不同，则不同的涂法有__________种.    【答案】60 【分析】对三条边所涂颜色的种数进行分类讨论，确定另外三条边所涂颜色的方法种数，利用分步乘法和分类加法计数原理可得结果，注意去掉只有两种颜色的涂法数． 【详解】第一类，三条边用同一种颜色， 先涂有3种方法，再涂有2种方法，再涂有2种方法，再涂有2种方法，若颜色相同，方法数为，则不合题意，共有方法数为种； 第二类，三条边用2种颜色， 由三条边用2种颜色，可得必有2条边涂同一种颜色，先涂有种方法，再涂，有2种方法，共有方法数为种； 第三类三条边用种颜色， 先涂有种方法，再涂有1种方法，再涂有1种方法，再涂有1种方法，共有方法数为种； 由分类加法计数原理可得，共有方法数种． 故答案为：60. 41．用种不同颜色的粉笔写黑板报，板报设计如图所示，要求相邻区域不能用同一种颜色的粉笔，则该板报共有______种不同的书写方案． 【答案】 【分析】利用分步乘法计数原理进行求解即可. 【详解】完成工作可分四步： 第一步，“英语角”用的粉笔颜色有种不同的选法； 第二步，“语文学苑”用的粉笔颜色不能与“英语角”用的粉笔颜色相同，有种不同的选法； 第三步，“理综世界”用的粉笔颜色与“英语角”和“语文学苑”用的粉笔颜色都不相同，有种不同的选法； 第四步，“数学天地”用的粉笔颜色只要与“理综世界”用的粉笔颜色不同即可，有种不同的选法． 由分步乘法计数原理知，该板报共有种不同的书写方案． 故答案为：． 42．用4种不同的颜色给图中6个区域染色，要求边界有重合部分的区域染上不同的颜色，则不同的染色方法有（   ） A．384种 B．168种 C．108种 D．192种 【答案】D 【分析】先涂区域，再分类讨论涂4的种数，根据对称性知3，6的涂法，利用分步乘法计数原理得解. 【详解】先给2，5染色，有种方法， 若1和5同色，则4有2种涂法；若1和5不同色，则4有种涂法． 因为1，4分别与3，6对称，所以不同的染色方法有种． 故选：D 考点08 分组分配问题 43．已知有甲、乙、丙、丁、戊五名同学． (1)将这五名同学排成一排，且甲、乙不相邻，共有多少种不同的排列方法？ (2)将这五名同学排成两排，第一排2个人，第二排3个人，共有多少种不同的排列方法？ (3)这五名同学计划分成三组去附近的3个景点游玩，若每个景点至少有一组同学，且每组同学至少有一人，问共有多少种不同的安排方法？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用插空法，先排无限制的丙、丁、戊产生空位，再将甲、乙插入空位中排列，由分步计数原理相乘即得； （2）直接分步从五人中选二人排在第一排、余下三人排在第二排； （3）先将五名同学分成三组，求出总的分组方法，再求出将三组同学分到三个景点中的分法，最后通过分步计数原理求解即可. 【详解】（1）将甲、乙、丙、丁、戊五名同学排成一排，且甲、乙不相邻，可分两步进行： 第一步，先排丙、丁、戊，有种不同的排法； 第二步，在丙、丁、戊周围的四个空隙中插入甲、乙，有种不同的排法． 由分步计数原理，不同的排法种数为． （2）将甲、乙、丙、丁、戊五名同学排成两排可分两步进行： 第一步，第一排2个人，有种不同的排法； 第二步，第二排3个人，有种不同的排法． 由分步计数原理，不同的排法种数为． （3）第一步，将五名同学分成三组，有两种分法： 第一种：一组有3个人，另外两组均有1个人，共有种分法； 第二种：一组有1个人，另外两组均有2个人，共有种分法． 所以总的分组方法数为． 第二步，将三组同学分到三个景点中，有种分法， 由分步计数原理，不同的安排方法种数为． 44．将5名上海世博会的志愿者分配到中国馆、美国馆、英国馆工作，要求每个志愿者只能去一个国家馆，每个馆至少分配一名志愿者，其中甲、乙两名志愿者不同时在同一个国家馆工作，则不同的分配方案有________种． 【答案】 114 【分析】由题意可得每一个馆的人数分别是2，2，1；1，1，3；分类计算再减去不符合题意的情况即可求解. 【详解】每个国家馆至少分配一名志愿者，则有两种不同的情况， 每一个馆的人数分别是2，2，1或1，1，3； 当按照2，2，1安排时，共有种不同情况； 当按照1，1，3安排时，有种不同情况； 其中包括甲和乙在一个馆里的情况， 当甲和乙在同一个馆里时，将甲、乙视为一个整体， 等价于将4个元素分配到3个馆且每个馆至少1个， 此时分组仅为2，1，1，分组数为，分配到3个馆的分配数为， 因此甲乙同馆的方案数为， ∴满足条件的排列法共有种. 45．某学校派出包括小明，小红在内的12名志愿者参加志愿活动，活动过程中需要将他们随机平均分成3个小组，那么小明和小红出现在同一个小组的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，求出均分成3组的分法数，再求出小明和小红出现在同一组的分法数并求出概率. 【详解】将12名志愿者随机平均分成3个小组，有种方法， 其中小明和小红出现在同一个小组，有种方法， 所以小明和小红出现在同一个小组的概率为. 46．将6个各不相同的小球全部放入4个颜色各不相同的盒子中，每个盒子至少放一个小球，其中红色盒子至多放两个小球，则一共有（    ）种不同的放法. A．480 B．540 C．1440 D．4320 【答案】C 【分析】若红色盒子放一个小球，则剩下三个盒子按照1:2:2或1:1:3来放；若红色盒子放两个小球，则剩下三个盒子按照1:1:2来放，再利用分组分配求解. 【详解】若红色盒子放一个小球，则剩下三个盒子按照1:2:2或1:1:3来放， 若按照1:2:2来放：有种， 若按照1:1:3来放：有种， 若红色盒子放两个小球，则剩下三个盒子按照1:1:2来放， 共有种， 故一共有540+360+540=1440种不同的放法. 故选：C. 47．现有五名同学报名参加数学，物理，化学三个兴趣小组讲解员，每个小组至少需要一名同学，每名同学只能报名其中一个小组（每个同学都参加了小组），已知甲同学不参加化学小组，则不同的分配方法数量是________． 【答案】100 【分析】先分组，然后将含甲同学的小组分配到数学或物理小组，再分配另外两个小组即可. 【详解】第一步，将五人分成三个小组，各小组人数有和两类情况， 当按照分组时，有种分组方法， 当按照分组时，有， 所以总的分组方法有种； 第二步，将含有甲的小组分到数学或物理兴趣小组，有2种方法； 第三步，将剩余两组分配到另外两个兴趣小组，有种方法. 又分步乘法计数原理可得满足条件的分配方法有种方法. 48．现安排甲、乙、丙、丁、戊5位志愿者到三个社区做志愿服务工作，每个社区至少安排1人，每位志愿者只到一个社区，其中甲、乙安排在同一个社区的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出将5位志愿者安排到三个社区做志愿服务工作的分法种数，然后就甲、乙所安排的社区的志愿者人数进行分类讨论，利用计数原理结合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率． 【详解】将甲、乙、丙、丁、戊5位志愿者安排到三个社区做志愿服务工作，每个社区的人数分别为3、1、1或2、2、1， 所以不同的分法种数为种； 现在考虑甲、乙安排在同一个社区， 若甲、乙所在社区有人，需从另外人中选人与甲、乙同组， 再将此人组和另外两个人组安排到三个社区，分法种数为种； 若甲、乙所在社区只有他们两人，需将剩余人分为一个人组和一个人组， 再将这三组（甲、乙组，人组，人组）安排到三个社区，分法种数为种． 综上所述，甲、乙安排在同一个社区的概率为． 考点09 x+y+z=n的整数解的个数 49．不定方程的正整数解有_____组，非负整数解有_____组. 【答案】 【分析】利用隔板法求解不定方程的解的组数. 【详解】第一空: 利用隔板法求解，不定方程的正整数解, 相当于将100个名额分配给50个班级，每班至少一人，也就是将100个名额分成50堆， 每堆至少一个名额，因此，把这100个名额排成一队，除去队前队后的空外， 有99个空，在这99个空中选49个空，插入49个板子，则把这100个名额分成了50堆，故有组，每一堆的名额数就是的数值，则不定方程的正整数解的组数为组； 第二空: 设， ，，， 不定方程的非负整数解 就是不定方程正整数解， 利用隔板法求解，不定方程的正整数解, 相当于将150个名额分配给50个班级，每班至少一人，也就是将150个名额分成50堆， 每堆至少一个名额.把这150个名额排成一队，除去队前队后的空外， 有149个空，在这149个空中选49个空，插入49个板子，则把这150个名额分成了50堆， 故有组，每一堆的名额数就是的数值， 则不定方程的非负整数解的组数为组. 故答案为：，. 50．（1）将个不同的小球放入个不同的盒子中，没有空盒子，共有多少种不同的放法? （2）将个不同的小球放入个不同的盒子中，盒子可空，共有多少种不同的放法? （3）将个相同的小球放入个不同的盒子中，没有空盒子，共有多少种不同的放法? （4）将个相同的小球放入个不同的盒子中，盒子可空，共有多少种不同的放法? （注：要写出算式，结果用数字表示） 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）. 【分析】（1）先将个不同的小球分为三组，确定每组小球的数量，然后将三组小球放入三个盒子，结合分步计数原理可得结果； （2）确定每个小球的放法种数，利用分步乘法计数原理可得结果； （3）只需在个相同的小球中间所形成的个空位中插入块板即可，利用隔板法可求得结果； （4）问题等价于在个相同的小球中间所形成的个空位中插入块板即可，利用隔板法可求得结果. 【详解】解：（1）将个不同的小球分为三组，每组的小球数量分别为、、或、、， 然后再将这三组小球放入三个盒子中， 因此，不同的放法种数为种； （2）每个小球有种方法，由分步乘法计数原理可知， 将个不同的小球放入个不同的盒子中，盒子可空，不同的放法种数为种； （3）将个相同的小球放入个不同的盒子中，没有空盒子， 只需在个相同的小球中间所形成的个空位中插入块板即可， 所以，不同的放法种数为种； （4）将个相同的小球放入个不同的盒子中，盒子可空， 等价于将个相同的小球放入个不同的盒子中，每个盒子不空， 只需在个相同的小球中间所形成的个空位中插入块板即可， 所以，不同的放法种数为种. 51．（多选）下列选项正确的是（    ） A．有6个不同的球，取5个放入5个不同的盒子中，每个盒子恰好放1个，则不同的存放方式有720种 B．有7个不同的球，全部放入5个相同的盒子中，每个盒子至少放1个，则不同的存放方式有140种 C．有7个相同的球，取5个放入3个不同的盒子中，允许有盒子空，则不同的存放方式有18种 D．有7个相同的球，全部放入3个相同的盒子中，允许有盒子空，则不同的存放方式有8种 【答案】ABD 【分析】用排列的定义求解判断A，用分组分配法求解判断B，用插隔板法求解判断C，用列举法求解判断D． 【详解】选项A，6个球选5个的排列，方法数为，A正确； 选项B，按球的个数分类讨论得方法数为：，B正确； 选项C，用插隔板法，相当于8 个相同的球放入3个不同的盒子，每个盒子里至少一个球，方法数为，C错误； 选项D，存放方法在于球的个数，相当于把7分成3 个数的和（可以是0）， ，共8种方法，D正确． 故选：ABD． 52．若方程：，则方程的正整数解的个数为___________. 【答案】35 【分析】将问题转化为将8个相同的小球装入4个不同的盒子中，每个盒子中至少有1个小球，采用隔板法求解即可. 【详解】解：原问题相当于将8个相同的小球装入4个不同的盒子中，每个盒子中至少有1个小球， 采用隔板法，将8个小球排成一排，在其中的7个空位上插入3个隔板即可， 故共有种. 故答案为：35. 53．方程的正整数解的个数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先确定变量的正整数取值，再对剩余变量的和用挡板法分情况计算分组数，累加得到结果. 【详解】已知均为正整数，即. 由， 结合，得，解得，故可取. 利用挡板法：将个相同元素分为3组且每组至少1个，分组方式数为. 当时，，分组数， 当时，，分组数， 当时，，分组数， 当时，，分组数， 因此，总分组方式数为. 54．关于x，y，z的方程（其中x，y，）的解共有______组． 【答案】21 【分析】本题可以转化为8个相同的球放入3个不同的盒子，每个盒子不空，利用隔板法结合组合数运算求解. 【详解】本题可以转化为8个相同的球放入3个不同的盒子，每个盒子不空， 则8个球有7个空，7个空中插入2个隔板，共有种不同选择， 所以原方程共有21组解. 故答案为：21. 考点10 其他排列组合模型（多排、多面手） 55．2个老师、4个女学生、12个男学生，排成三排拍照，要求第一排5人，第二排6人，第三排7人，且老师在第一排，女学生在第二排，则不同的排法共有______种. 【答案】 【分析】由特殊元素优先法，先安排老师与女学生，再安排男学生的位置，最后由分步乘法计数原理求解即可. 【详解】①先在第一排的5个位置中排入2个老师，有种； ②再在第二排的6个位置中排入4个女学生，有种； ③在其余位置上安排12个男学生，有种. 由乘法原理知，共有种. 故答案为：. 56．名同学，其中名男同学，名女同学： （1）站成一排，共有多少种不同的排法？ （2）站成两排，前排名同学，后排名同学，共有多少种不同的排法？ （3）站成两排，前排名女同学，后排名男同学，共有多少种不同的排法？ （4）站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？ （5）站成三排，前排名同学，中间排名同学，后排名同学，其中甲站在中间排的中间位置，共有多 少种不同的排法？ （6）站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？ （7）站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？ （8）站成一排，甲、乙两名同学必须相邻的排法共有多少种？ （9）站成一排，名男同学必须站在一起，名女同学也必须站在一起. （10）站成一排，甲、乙两名同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？ （11）站成一排，甲、乙两名同学不能相邻的排法共有多少种？ （12）站成一排，甲、乙和丙三名同学都不能相邻的排法共有多少种？ （13）站成一排，名男同学都不能相邻，名女同学也不能相邻的排法共有多少种？ （14）站成一排，甲必要站在乙的前面(可以相邻也可以不相邻)的排法共有多少种？ （15）名同学座圆桌吃饭，只考虑谁挨着谁的排法共有多少种？ 【答案】（1）5040；（2）5040；（3）144；（4）720；（5）720；（6）240；（7）2400；（8）1440；（9）288；（10）960；（11）3600；（12）1440；（13）144；（14）2520；（15）720. 【解析】（1）根据全排列公式即可计算； （2）根据分步计数原理即可列式求出； （3）根据分步计数原理，得出可求出； （4）将剩下6人排列即可； （5）先把甲放在中间排的中间位置，剩下6人全排列即可； （6）先排甲乙，再排剩下5人，根据分布计数原理即可求解； （7）先选2人在排头排尾，再排剩下5人，利用分布计数原理即可求解； （8）先将甲乙看作一个元素，再和其余5人一起排列； （9）分别把男同学和女同学“捆绑”排列即可求出； （10）可列式求解； （11）可利用排除法求解； （12）可以插空法求解； （13）先排女同学，有4个空，将男同学排入这4个空中即可； （14）可知甲必要站在乙的前面是总数的； （15）任意固定一名同学，将剩下的6人全排列即可. 【详解】（1）问题可以看作个元素的全排列，故有种排列方法. （2）根据分步计数原理，共有种排列方法. （3）根据分步计数原理，共有种排列方法. （4）首先先把甲放在中间的位置，则问题可以看作余下的个元素的全排列， 共有种排列方法. （5）首先把甲放在中间排的中间位置，则问题可以看作余下的个元素的全排列， 共有种排列方法. （6）第一步甲、乙站在两端有种，第二步余下的名同学进行全排列有种， ∴共有种排列方法. （7）第一步从(除去甲、乙)其余的名同学中选名同学站在排头和排尾有种方法， 第二步从余下的名同学中选名进行排列(全排列)有种方法， ∴一共有种排列方法； （8）先将甲、乙两名同学“捆绑”在一起看成一个元素，有种方法， 再与其余的个元素(同学)一起进行全排列有种方法， ∴这样的排法一共有种方法. （9）先将名女同学“捆绑”在一起看成一个元素，有种情况， 再将名男同学“捆绑”在一起看成一个元素，有种情况， 这时一共有个整合的后元素，有种情况， ∴一共有排法种数：(种). （10）将甲、乙“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有个元素， ∵丙不能站在排头和排尾， ∴可以从其余的个元素中选取个元素放在排头和排尾，有种方法， 将剩下的个元素进行全排列有种方法， 最后将甲、乙“松绑”进行排列有种方法， ∴这样的排法一共有种方法. （11） (排除法)七名同学全排，有种可能，甲、乙两名同学相邻，有种可能， 则甲、乙两名同学不能相邻有种方法. （12）先将其余四个同学排好有种方法，此时他们留下五个“空”， 再将甲、乙和丙三名同学分别插入这五个“空”有种方法， ∴一共有种. （13）先将名女同学排好有种方法，此时她们留下四个“空”， 再将名男同学分别插入这四个“空”有种方法， ∴一共有种. （14）先将名同学全排有种方法，再将甲、乙两名同学全排有种方法， ∵甲必要站在乙的前面，∴只需要总数的种方法，∴一共有种. （15）把任意一名同学固定在任意一个位置， 再把其他名同学往其他位置里全排，有种方法， 则一共有种方法. 【点睛】本题考查排列排列的应用，常用的方法有捆绑法、插空法、隔板法、排除法. 57．花灯，又名“彩灯”“灯笼”，是中国传统农业时代的文化产物，兼具生活功能与艺术特色.元宵节灯展后，悬挂有8盏不同的花灯需要取下，如图所示，每次取1盏，则不同的取法共__________种. 【答案】 【详解】由题意，对8盏不同的花灯进行取下， 先对8盏不同的花灯进行全排列，共有种方法， 因为取花灯每次只取一盏，而且只能从下往上取， 所以必须除去重复的排列顺序，即先取上方的顺序， 故共有取法总数为. 58．某次灯谜大会共设置6个不同的谜题，分别藏在如图所示的6只灯笼里，每只灯笼里仅放一个谜题.并规定一名参与者每次只能取其中一串最下面的一只灯笼并解答里面的谜题，直到答完全部6个谜题，则一名参与者一共有（   ）种不同的答题顺序. A．60 B．75 C．12 D．720 【答案】A 【分析】定序问题，使用倍缩法，用全排列除以内部排序即可. 【详解】首先将6只灯笼全排，即， 因为每次只能取其中一串最下面的一只灯笼内的谜题，每次取灯的顺序确定， 即除以内部排序即可，故取谜题的方法有. 59．有8名划船运动员，其中2人只会划左舷，3人只会划右舷，其他3人既会划左舷又会划右舷，现要从这8名运动员中选出6人平均分在左、右舷参加划船比赛，则不同的选法共有（   ） A．52种 B．53种 C．54种 D．55种 【答案】D 【分析】以划右舷的人进行分类：（1）只会划右舷的3人去划右舷；（2）从只会划右舷的人中选2人去划右舷；（3）从只会划右舷的人中选1人划右舷.确定划右舷的人之后，再选划左舷的人，根据分类加法和分步乘法计数原理，可得答案. 【详解】（1）若只会划右舷的3人去划右舷，则划左舷的人有种，共有种； （2）若从只会划右舷的人中选2人去划右舷，则需从3名既会划左舷又会划右舷的运动员中选1人划右舷， 再从余下能划左舷的4名运动员中选3人划左舷，有种； （3）若从只会划右舷的人中选1人划右舷，则需从左、右都会划的人中选2人划右舷， 则另3人去划左舷，有种. 因此，共有种选法. 60．回答下列问题 (1)把本不同的书分给位学生，每人至少一本，有多少种方法？ (2)有个相同的口罩全部分给名同学，每名同学至少发两个口罩，则不同的发放方法种数是多少？ (3)某旅行社有导游人，其中人只会英语，人只会日语，其余人既会英语，也会日语，现从中选人，其中人进行英语导游，另外人进行日语导游，则不同的选择方法有多少种？ 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）把本不同的书分给位学生，每人至少一本，有和两类， 分配方式为时，共有种分法， 分配方式为时，共有种分法， 由分类加法计数原理可得共有种分法. （2）个相同的口罩，每位同学先拿一个， 剩下的个口罩排成一排有个间隙，插入块板子分成份， 每一种分法所得份给到个人即可， 所以不同的发放方法有种. （3）若只会英语的人中选了人做英语导游，共有种选法， 若只会英语的人中选了人做英语导游，共有种选法， 若只会英语的人中选了人做英语导游，共有种选法， 由分类加法计数原理可得共有种选法. 61．中华文化源远流长，为了让青少年更好地了解中国的传统文化，某培训中心计划利用暑期开设“围棋”、“武术”、“书法”、“剪纸”、“京剧”、“刺绣”六门体验课程． (1)若体验课连续开设六周，每周一门，求“京剧”和“剪纸”课程排在不相邻的两周的所有排法种数； (2)现有甲、乙、丙三名学生报名参加暑期的体验课程，每人都选两门课程，甲和乙仅有一门共同的课程，丙和甲、乙的课程都不同，求所有选课的种数； (3)计划安排A、B、C三名教师教这六门课程，每门课程只由一名教师任教，每名教师至少任教一门课程，求所有课程安排的种数． 【答案】(1)480 (2)360 (3)540 【分析】（1）采用插空法，先排其余四科，再插空； （2）特殊的先排，再用分步乘法； （3）先分组后分配. 【详解】（1）第一步，先将另外四门课排好，有种情况； 第二步，将“京剧”和“剪纸”课程分别插入5个空隙中，有种情况； 所以“京剧”和“剪纸”课程排在不相邻的两周的排法有种； （2）第一步，先将甲和乙的不同课程排好，有种情况； 第二步，将甲和乙的相同课程排好，有种情况； 第三步，因为丙和甲、乙的课程都不同，所以丙的排法种情况； 因此，所有选课种数为. （3）①将6个科目分成1、1、4三组，然后分给三名教师：种情况； ②将6个科目分成1、2、3三组，然后分给三名教师：种情况； ③将6个科目分成2、2、2三组，然后分给三名教师：种情况； 综上，所有的课程安排共有种情况. 62．（1）从3男3女共6名志愿者中，选出3人参加社会实践活动．共有多少种不同的选择方法？（写出必要的数学式，结果用数字作答） （2）若选出的3人中至少有1名男生，共有多少种不同的选择方法？（写出必要的数学式，结果用数字作答） （3）若要求选出的3名志愿者中有2男1女，且安排他们分别从事经济、文化和民生三项问卷调查工作，每人负责一项问卷，每项问卷一人负责，求共有多少种不同的选派方法？（写出必要的数学式，结果用数字作答） 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）为组合问题，（2）至多至少问题用排除法；（3）综合问题先选后排. 【详解】（1）6名志愿者中选出3人属组合问题，不同的选择方法有种； （2）选出的3人中至少有1名男生，不同的选择方法有种； （3）选出的3名志愿者中有2男1女，且安排他们分别从事经济、文化和民生三项问卷调查工作不同的选择方法有种； 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 排列与组合 考点01 排列与组合公式的计算 考点02 元素(位置)有限制的排列问题 考点03 相邻与不相邻问题 考点04 其他排列模型（定序、成环） 考点05 几何计数问题 考点06 数字排列问题 考点07 涂色问题 考点08 分组分配问题 考点09 x+y+z=n的整数解的个数 考点10 其他排列组合模型（多排、多面手） 考点01 排列与组合公式的计算 1．不等式的解集为（    ） A．(5，10) B． C． D． 2．求解下列问题： (1)计算：； (2)求证：. (3)解关于的不等式：； 3．（1）解不等式： （2）证明：. 4．使得的最小自然数为__________. 5．（1）解方程：； （2）求关于的不等式的解集. 6．若，则__________． 考点02 元素(位置)有限制的排列问题 7．从（包含甲）人中选派人参加这三项不同的活动，且每项活动有且仅有人参加，若甲不参加和活动，则不同的选派方案有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 8．诗句”花落知多少”的平仄格式为平仄平平仄．现将该诗句中的5个字重新排列，要求重新排列后的平仄序列与原诗的平仄序列不同，则不同的排列种数为（    ） A． B． C． D． 9．现有甲､乙等五名学生参加“弘扬中华文化”的演讲比赛，已知甲既不在第一个出场，又不在最后一个出场，且乙不在第三个出场，则不同的出场顺序共有（    ） A．120种 B．96种 C．72种 D．60种 10．某游客计划一天内游览重庆 5 个景点: 洪崖洞、解放碑、长江索道、磁器口古镇、李子坝轻轨站，每个景点仅游览一次，要求洪崖洞与解放碑必须相邻， 且长江索道不能排在第一位， 则不同的游览顺序共有（    ） A．24 种 B．28 种 C．32 种 D．36 种 11．解决下列问题，写出计算过程，用具体数字回答 (1)4名男生和3名女生排成一排，4名男生站在一起，3名女生站在一起，有多少种排法？ (2)4名男生和3名女生排成一排，女生不相邻的排法有多少种？ (3)4名男生和3名女生排成一排，甲、乙二人不能站在两端的排法有多少种？ (4)4名男生和3名女生排成一排，甲、乙两人中间有且只有2人的排法有多少种？ (5)4名男生和3名女生排成一排，甲不站在排头，乙不站在排尾，有多少种排法？ 12．从包含甲、乙2人的6人中选4人参加米接力赛，求在下列条件下，各有多少种不同的排法？（结果用数字作答） (1)甲、乙2人都被选中且必须跑中间两棒； (2)甲、乙2人都被选中且必须跑相邻两棒； (3)甲、乙2人都被选中且不能相邻两棒. 考点03 相邻与不相邻问题 13．3人观看表演，现有5个空位，则安排座位时两空位恰好相邻的坐法数为（   ） A． B． C． D． 14．某登山团队的7名成员站在山顶排成一排合影留念，其中队长甲必须站在正中间，好友乙和丙必须相邻，小朋友丁不能站在边上，则符合条件的排法有_________种（用数字作答）． 15．甲、乙、丙、丁、戊5名同学排成一列，甲、乙不相邻，且丙、丁相邻，则不同的排法种数为________．（用数字作答） 16．现有4名男生和3名女生（分别为甲、乙、丙）站成一排照相. (1)两端要站女生，有多少种不同的站法？ (2)若女生甲乙相邻且都不与女生丙相邻，有多少种不同的站法？ (3)女生甲要在女生乙的右方（可以不相邻），有多少种不同的站法？ (4)女生甲不在左端，女生乙不在右端，有多少种不同的站法？ 17．为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列选项中不正确的是（   ） A．课程“礼”“乐”“射”排在相邻的三周，共有144种排法 B．课程“礼”排在“乐”的后面（可以不相邻），共有360种排法 C．课程“射”“御”排在不相邻的两周，共有240种排法 D．课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有504种排法 18．3个女生和5个男生排成一排． (1)如果女生全排在一起，有多少种不同排法？ (2)如果女生互不相邻，有多少种不同排法？ (3)如果女生不站两端，有多少种不同排法？ 考点04 其他排列模型（定序、成环） 19．现有4名男生和3名女生．若安排这7名学生站成一排照相，分别按以下要求计算各自的排法有多少种？ (1)4名男生互不相邻； (2)若4名男生身高都不等，按从左到右由高到低的顺序站； (3)男生甲不站最左端，女生乙不站最右端． 20．8个人按如下方式排队，计算排列数 (1)8人排成前后两排，每排4人，其中甲乙在前排，丙在后排，共有多少排法 (2)8人排成一排，其中甲与乙相邻，甲乙与丙不相邻共有多少排法 (3)8人排成一个圆圈，共有多少种排法 21．甲、乙等6人围成一圈，且甲、乙两人相邻，则不同的排法共有______种. 22．某次文艺晚会上计划演出7个节目，其中2个歌曲节目，3个舞蹈节目，2个小品节目，需要制作节目单： (1)三个舞蹈节目相邻且不排两端，有多少种排法？ (2)唱歌节目相邻，舞蹈节目也相邻，两个个小品节目不相邻，有多少种排法？ (3)由于特殊原因，需要在定好的节目单上加上两个新节目：一个育才师生的诗歌朗诵《育才赋》和一个快板节目，但是不能改变原来节目的相对顺序，有多少种排法？ 23．年月，国产AI视频生成模型“通义万相”上线“角色一致性”功能，支持在多个场景中保持主角形象不变.现有个互不相同的场景模板，需从中选出个并按顺序生成短视频，每个模板至多使用一次.则不同的生成方案共有（    ） A． B． C． D． 24．7个人围圆桌而坐，设甲、乙是这7个人中的两个，问： (1)甲、乙相邻就座有几种方法？ (2)甲、乙之间恰有一个人就座有几种方法？ (3)甲、乙之间恰有两个人就座有几种方法？ 考点05 几何计数问题 25．如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是（　　） A．48 B．18 C．24 D．36 26．以正五棱柱的顶点为顶点的三棱锥的个数是（     ） A．210 B．190 C．195 D．180 27．过某正方体的任意两个顶点作直线，在这些直线中，不同的异面直线共有（    ） A．173对 B．174对 C．183对 D．186对 28．以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是（    ） A．70 B．58 C．64 D．62 29．在空间中有8个点，其中任何4个点不共面，过每3个点作一个平面，可以作（   ）个平面 A．56 B．70 C．210 D．336 30．正八边形的对角线的条数为（    ） A．20 B．28 C．40 D．56 考点06 数字排列问题 31．用0，2，3，5，7，8可以组成多少个无重复数字的六位偶数（   ） A．360 B．312 C．606 D．322 32．用数字组成没有重复数字的数（结果用数字作答）. (1)求可组成多少个三位数； (2)将（1）中的三位数按从小到大的顺序排成一排，求第55个数. 33．定义“各位数字之和为6的三位数叫幸运数”，如123，222，则所有幸运数的个数为（    ） A．21 B．16 C．11 D．6 34．从标有，，，，的五张卡片中随机选取张放入如图所示的空格处组成一个四位数的偶数，则这个数大于的概率为（    ） A． B． C． D． 35．将一枚骰子连续抛掷三次，掷出的数字顺次排成一个三位数． (1)可以排出多少个不同的三位数？ (2)各位数字互不相同的三位数有多少个？ (3)恰好有两个数字相同的三位数共有多少个？ 36．（1）从高三年级的四个班中共抽出22人，其中一、二、三、四班分别为4人，5人，6人，7人，他们自愿组成数学课外小组，选其中一人为组长，有多少种不同的选法？ （2）在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？ 考点07 涂色问题 37．如图，某社区为墙面四块区域宣传标语进行涂色装饰，每个区域涂一种颜色，相邻区域（共边）不能用同一颜色，若只有4种颜色可供使用，则涂法有（   ） A．12种 B．24种 C．48种 D．84种 38．用五种不同颜色的涂料涂在如图所示的五个区域，相邻两个区域不能同色，则不同的涂色方法有（    ） A．240 B．480 C．420 D．360 39．某公园设计了如图所示的观赏花坛，现有四种不同的鲜花可供摆放，要求有公共边的区域摆放不同种类的鲜花，则摆放鲜花的不同方法种数为__________.    40．现用3种不同的颜色给正六边形ABCDEF的六条边涂色，要求每种颜色都要使用，相邻两条边颜色不同，则不同的涂法有__________种.    41．用种不同颜色的粉笔写黑板报，板报设计如图所示，要求相邻区域不能用同一种颜色的粉笔，则该板报共有______种不同的书写方案． 42．用4种不同的颜色给图中6个区域染色，要求边界有重合部分的区域染上不同的颜色，则不同的染色方法有（   ） A．384种 B．168种 C．108种 D．192种 考点08 分组分配问题 43．已知有甲、乙、丙、丁、戊五名同学． (1)将这五名同学排成一排，且甲、乙不相邻，共有多少种不同的排列方法？ (2)将这五名同学排成两排，第一排2个人，第二排3个人，共有多少种不同的排列方法？ (3)这五名同学计划分成三组去附近的3个景点游玩，若每个景点至少有一组同学，且每组同学至少有一人，问共有多少种不同的安排方法？ 44．将5名上海世博会的志愿者分配到中国馆、美国馆、英国馆工作，要求每个志愿者只能去一个国家馆，每个馆至少分配一名志愿者，其中甲、乙两名志愿者不同时在同一个国家馆工作，则不同的分配方案有________种． 45．某学校派出包括小明，小红在内的12名志愿者参加志愿活动，活动过程中需要将他们随机平均分成3个小组，那么小明和小红出现在同一个小组的概率为（ ） A． B． C． D． 46．将6个各不相同的小球全部放入4个颜色各不相同的盒子中，每个盒子至少放一个小球，其中红色盒子至多放两个小球，则一共有（    ）种不同的放法. A．480 B．540 C．1440 D．4320 47．现有五名同学报名参加数学，物理，化学三个兴趣小组讲解员，每个小组至少需要一名同学，每名同学只能报名其中一个小组（每个同学都参加了小组），已知甲同学不参加化学小组，则不同的分配方法数量是________． 48．现安排甲、乙、丙、丁、戊5位志愿者到三个社区做志愿服务工作，每个社区至少安排1人，每位志愿者只到一个社区，其中甲、乙安排在同一个社区的概率为（    ） A． B． C． D． 考点09 x+y+z=n的整数解的个数 49．不定方程的正整数解有_____组，非负整数解有_____组. 50．（1）将个不同的小球放入个不同的盒子中，没有空盒子，共有多少种不同的放法? （2）将个不同的小球放入个不同的盒子中，盒子可空，共有多少种不同的放法? （3）将个相同的小球放入个不同的盒子中，没有空盒子，共有多少种不同的放法? （4）将个相同的小球放入个不同的盒子中，盒子可空，共有多少种不同的放法? （注：要写出算式，结果用数字表示） 51．（多选）下列选项正确的是（    ） A．有6个不同的球，取5个放入5个不同的盒子中，每个盒子恰好放1个，则不同的存放方式有720种 B．有7个不同的球，全部放入5个相同的盒子中，每个盒子至少放1个，则不同的存放方式有140种 C．有7个相同的球，取5个放入3个不同的盒子中，允许有盒子空，则不同的存放方式有18种 D．有7个相同的球，全部放入3个相同的盒子中，允许有盒子空，则不同的存放方式有8种 52．若方程：，则方程的正整数解的个数为___________. 53．方程的正整数解的个数为（     ） A． B． C． D． 54．关于x，y，z的方程（其中x，y，）的解共有______组． 考点10 其他排列组合模型（多排、多面手） 55．2个老师、4个女学生、12个男学生，排成三排拍照，要求第一排5人，第二排6人，第三排7人，且老师在第一排，女学生在第二排，则不同的排法共有______种. 56．名同学，其中名男同学，名女同学： （1）站成一排，共有多少种不同的排法？ （2）站成两排，前排名同学，后排名同学，共有多少种不同的排法？ （3）站成两排，前排名女同学，后排名男同学，共有多少种不同的排法？ （4）站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？ （5）站成三排，前排名同学，中间排名同学，后排名同学，其中甲站在中间排的中间位置，共有多 少种不同的排法？ （6）站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？ （7）站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？ （8）站成一排，甲、乙两名同学必须相邻的排法共有多少种？ （9）站成一排，名男同学必须站在一起，名女同学也必须站在一起. （10）站成一排，甲、乙两名同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？ （11）站成一排，甲、乙两名同学不能相邻的排法共有多少种？ （12）站成一排，甲、乙和丙三名同学都不能相邻的排法共有多少种？ （13）站成一排，名男同学都不能相邻，名女同学也不能相邻的排法共有多少种？ （14）站成一排，甲必要站在乙的前面(可以相邻也可以不相邻)的排法共有多少种？ （15）名同学座圆桌吃饭，只考虑谁挨着谁的排法共有多少种？ 57．花灯，又名“彩灯”“灯笼”，是中国传统农业时代的文化产物，兼具生活功能与艺术特色.元宵节灯展后，悬挂有8盏不同的花灯需要取下，如图所示，每次取1盏，则不同的取法共__________种. 58．某次灯谜大会共设置6个不同的谜题，分别藏在如图所示的6只灯笼里，每只灯笼里仅放一个谜题.并规定一名参与者每次只能取其中一串最下面的一只灯笼并解答里面的谜题，直到答完全部6个谜题，则一名参与者一共有（   ）种不同的答题顺序. A．60 B．75 C．12 D．720 59．有8名划船运动员，其中2人只会划左舷，3人只会划右舷，其他3人既会划左舷又会划右舷，现要从这8名运动员中选出6人平均分在左、右舷参加划船比赛，则不同的选法共有（   ） A．52种 B．53种 C．54种 D．55种 60．回答下列问题 (1)把本不同的书分给位学生，每人至少一本，有多少种方法？ (2)有个相同的口罩全部分给名同学，每名同学至少发两个口罩，则不同的发放方法种数是多少？ (3)某旅行社有导游人，其中人只会英语，人只会日语，其余人既会英语，也会日语，现从中选人，其中人进行英语导游，另外人进行日语导游，则不同的选择方法有多少种？ 61．中华文化源远流长，为了让青少年更好地了解中国的传统文化，某培训中心计划利用暑期开设“围棋”、“武术”、“书法”、“剪纸”、“京剧”、“刺绣”六门体验课程． (1)若体验课连续开设六周，每周一门，求“京剧”和“剪纸”课程排在不相邻的两周的所有排法种数； (2)现有甲、乙、丙三名学生报名参加暑期的体验课程，每人都选两门课程，甲和乙仅有一门共同的课程，丙和甲、乙的课程都不同，求所有选课的种数； (3)计划安排A、B、C三名教师教这六门课程，每门课程只由一名教师任教，每名教师至少任教一门课程，求所有课程安排的种数． 62．（1）从3男3女共6名志愿者中，选出3人参加社会实践活动．共有多少种不同的选择方法？（写出必要的数学式，结果用数字作答） （2）若选出的3人中至少有1名男生，共有多少种不同的选择方法？（写出必要的数学式，结果用数字作答） （3）若要求选出的3名志愿者中有2男1女，且安排他们分别从事经济、文化和民生三项问卷调查工作，每人负责一项问卷，每项问卷一人负责，求共有多少种不同的选派方法？（写出必要的数学式，结果用数字作答） 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $