专题04 空间向量及其应用（高效培优期末专项训练）高二数学沪教版选择性必修第一册

**基本信息** 以空间向量概念为起点，通过15个考点系统覆盖从基础运算到几何应用的全链条，题型分层递进，突出逻辑推理与空间观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础运算|考点01-05（约25题）|向量表示、共线共面判定及参数求解|从空间向量概念生成到线性运算，构建逻辑基础| |坐标运算|考点06-08（约15题）|坐标表示、平行垂直判定、夹角计算|实现向量运算代数化，衔接几何应用| |几何应用|考点09-15（约45题）|位置关系判断、距离与角的向量求法|以坐标运算为工具，解决立体几何核心问题，体现模型观念|

专题04 空间向量及其应用 考点01 空间向量的运算 考点02 空间向量共线的判定及其求参数 考点03 空间向量的数量积及其应用 考点04 空间向量共面的判定及其求参数 考点05 空间共面向量定理的推论及应用 考点06 空间向量的坐标运算 考点07 空间向量平行、垂直的坐标表示 考点08 空间向量夹角的坐标表示 考点09 利用空间向量判断直线、平面的位置关系 考点10 利用空间向量求点面、面面距离 考点11 利用空间向量求点线距离 考点12 利用空间向量求异面直线距离 考点13 异面直线夹角的向量求法及其应用 考点14 线面角的向量求法及其应用 考点15 面面角的向量求法及其应用 考点01 空间向量的运算 1．如图所示，在三棱柱中，M为的中点，若，则可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】取AC的中点N，连接BN，MN，如图所示， ∵M为的中点，，， ， ． 2．如图，在长方体中，下列各式运算结果不为的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A中，； B中，； C中，； D中，. 3．在正方体中，下列各式的运算结果不为向量的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据空间向量的加法法则及正方体的性质，逐一判断可知A，B，D的运算结果都为，而C中，． 4．如图，在空间四边形中，，连接，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在空间四边形中，， 则. 5．如图所示，如图，三棱锥各棱长均为1，侧棱上的，，满足，线段上的点满足平面，点在上，且与端点不重合，． (1)求证：平面平面； (2)求证：； (3)若，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用线面平行的判定定理得到平面，再结合面面平行的判定定理求解即可. （2）利用面面平行的性质定理求解即可. （3）结合题意与空间向量的线性运算得到，最后利用空间向量基本定理建立方程，求解参数即可. 【详解】（1）平面平面， 平面，平面平面， 而平面平面， 平面平面． （2）由（1）知平面平面， 又平面平面，平面平面，. （3）如图，作出符合题意的图形， ，点是的中点， ，，点是的中点，． ，且三棱锥各棱长均为1， ，． 点在上且与端点不重合，，解得． ，， 又， 而， 由（2）知，， ，使得， 即， 由空间向量基本定理可得，解得. 6．如图，在平行六面体中，（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】. 考点02 空间向量共线的判定及其求参数 7．下列关于空间向量的命题中，正确的是（ ） A．将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆 B．若空间向量，满足，则或； C．若空间向量满足，则； D．若空间向量满足，，则． 【答案】C 【分析】根据单位向量的性质可判断A的正误，根据相等向量的定义可判断BC的正误，根据零向量的性质可判断D的正误. 【详解】对于A，根据空间向量的定义，空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点， 则它们的终点构成一个球面，所以A错误； 对于B，若空间向量，满足， 但由于它们的方向不一定相同或相反，故不一定相等或相反，所以B错误； 对于C，根据向量相等的定义可得，所以C正确； 对于D，向量的平行不具有传递性，比如当为零向量时，零向量与任何向量都平行， 则不一定平行，所以D错误. 故选：C. 8．下列向量中与共线的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据（）可得，进行判断. 【详解】因为，所以C选项满足题意； 其他选项不存在，使写成该选项的形式，所以其他选项均不满足题意. 故选：C 9．已知P、A、B、C为空间中的四点且P,B,C三点不共线，且，则“”是“A、B、C三点共线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据两者之间的推出关系可得条件关系. 【详解】若，则，故， 所以，而共起点，故三点共线， 若三点共线，则存在实数，使得， 故，故， 因为不共线，则不共线，故， 故， 故“”是“A、B、C三点共线”的充分必要条件， 故选：C. 10．设是不共线的向量，已知，若A，B，D三点共线，则实数k为______． 【答案】 【详解】因为，又A，B，D三点共线， 由向量共线的充要条件得，所以． 11．已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，，且， 根据向量平行的充要条件，存在实数，使得， 所以，解得. 12．已知向量，，若A，B，C三点共线，则（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】利用空间向量共线的坐标表示计算即可. 【详解】由题意可知，即，解得. 考点03 空间向量的数量积及其应用 13．如图所示，在棱长为2的正方体中，为与的交点，为的中点，则在上的投影向量的模为________；在平面内的投影向量的模为________． 【答案】 【分析】根据投影向量的知识求得正确答案. 【详解】根据正方体的性质可知，平面， 而平面，所以， 所以在上的投影向量为，模为. 根据正方体的性质可知，平面， 而平面，所以， 所以在平面内的投影向量为，模为. 14．已知向量，，则等于（    ） A．0 B．－1 C．1 D．2 【答案】D 【详解】，故选项D正确. 15．已知正方体的棱长为，若，，，则（    ） A．0 B．2 C．1 D．4 【答案】C 【分析】利用正方体中棱向量两两垂直、模长为的性质，先展开点积，再根据垂直向量点积为，向量自身点积为模长平方，代入计算即可快速得到结果． 【详解】    由题意，正方体棱长为1，所以两两垂直且， 所以， 因为、、，所以，，， 又，代入得． 16．如图，在直三棱柱中， ，，则向量与的夹角的余弦值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用直棱柱的结构特征及空间向量数量积求解. 【详解】在直三棱柱中，平面，平面，平面， 则，由，，得，则， 由，得E为的中点，则， 由，得，则， 因此＝， 所以向量与的夹角的余弦值是. 17．在棱长为2的正方体中，为正方体表面上的动点，若，则点的运动轨迹的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】取的中点为， 则，， 因为，所以， 故点在以为球心，为半径的球面上， 所以点的轨迹在正方体的每个面上均是半径为的圆， 则6个圆的总周长为.    18．如图，在三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于为的中点，为线段上靠近的三等分点. (1)设，试用向量表示； (2)求线段的长度. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据空间向量的加减运算求解即可； （2）根据空间向量的数量积的运算律及数量积的定义运算求解， 【详解】（1） . （2）依题意，， 则 . 考点04 空间向量共面的判定及其求参数 19．已知点、、不共线，为平面外一点，下列能够确定、、、四点共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由空间向量共面的推论，判断是否成立即可. 【详解】对于A：根据给定线性关系式有，A错误； 对于B：根据给定线性关系式有，B错误； 对于C：根据给定线性关系式有，C错误； 对于D：根据给定线性关系式有，D正确. 20．已知向量，，不共面，下列选项中的三个向量不共面的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【详解】已知不共面，逐一判断： A：，故，，共面. B：，故，，共面. C：假设，整理得. 即，因不共面，不存在这样的，故，，不共面. D：，故，，共面. 21．已知为空间中四点，任意三点不共线，O为平面ABC外一点，且，若四点共面，则的最小值为（    ） A． B． C．9 D．4 【答案】A 【详解】因为四点共面，则有， 由共面条件可得，，即， 所以， 当且仅当，即，即时，等号成立. 故选A. 22．已知四点满足任意三点均不共线，但四点共面，为平面外任意一点，且，则实数的值为______． 【答案】 【分析】整理可得，结合四点共面的结论列式求解即可. 【详解】， 因为四点共面，所以，解得． 考点05 空间共面向量定理的推论及应用 23．关于空间向量，以下说法错误的是（   ） A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B．若对空间中任意一点，有，则P，A，B，C四点共面 C．已知是空间向量的一个基底，则也是空间的一个基底 D．若，则是钝角 【答案】D 【分析】利用共线定理和共面定理可判断A；利用共面定理的推论可判断B；假设共面，利用共面定理可否定假设，从而可判断C；考虑共线反向可判断D. 【详解】对A，向量中，若存在，显然满足题意，所以都是非零向量， 不妨设向量共线，则存在实数，使得，故， 由共面向量定理可知，向量共面，正确； 对B，因为，所以，由共面定理的推论可知，P，A，B，C四点共面，正确； 对C，设，则， 因为是空间向量的一个基底，所以， 显然上述方程组无实数解，所以向量不共面，可以作为空间向量的基底，正确； 对D，当时，向量有可能反向，此时若，不是钝角，错误. 故选：D 24．在直三棱柱中，，，.若点满足，且点在平面内，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用空间向量面的推论可求出的值. 【详解】因为点在平面内，设，其中、， 所以， 整理可得， 因为、、不共面，且， 所以，故，因此， 故选：A. 25．已知A，B，C，D四点是平面四边形的四个顶点，O是平面ABCD外一点.若，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】根据给定条件可得，再利用共面向量定理的推论求解. 【详解】由，得， 则，显然，否则， 点共面，矛盾，因此， 由共面向量定理的推论，得，所以. 故选：D 26．已知三点不共线，若，则直线与平面的位置关系是___________. 【答案】平面或平面 【分析】由题设，结合共面向量定理可得向量与向量共面，再由空间向量是自由向量的特点，可判断直线与平面的位置关系. 【详解】因为三点不共线，且，所以向量与向量共面， 即直线可能在平面内，也可能和平面平行. 故答案为：平面或平面. 考点06 空间向量的坐标运算 27．已知空间向量，，若在上的投影向量是，则的值为__________． 【答案】 【分析】根据向量投影向量的计算公式，结合已知条件列出关于的方程，求解的值. 【详解】，， ， ， 在上的投影向量为， 所以，. 28．已知向量，则向量在向量上的投影向量的坐标是_________. 【答案】 【详解】因为， 所以，， 所以向量在向量上的投影向量的坐标为. 29．已知空间四点：，判断四点是否共面． 【答案】四点共面 【详解】， 则， 因此，，说明四点都在直线上，而一条直线上的所有点必然共面，因此四点共面. 30．已知，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的坐标运算法则求解. 【详解】已知，，，分别计算三个坐标： 坐标： 坐标： 坐标： 因此. 考点07 空间向量平行、垂直的坐标表示 31．已知向量，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】根据数量积公式，代入求解，即可得答案. 【详解】由题意，所以. 32．已知，，且，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【详解】由，可得：， 因，则，即：，解得： 33．已知向量，，且与互相垂直，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间向量数量积的运算律及数量积的坐标表示，列式计算即得. 【详解】已知向量，，则，， ， 由与互相垂直， 则， 解得，故D正确. 34．设平面的法向量为，平面的法向量为，若，则等于（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】， ，解得． 35．已知，若，则（   ） A． B．4 C． D．6 【答案】A 【分析】先应用空间向量共线列式求参，再代入计算求解. 【详解】因为，所以，解得，故． 36．已知向量，，若，则实数________. 【答案】1 【详解】因为向量，， 根据∥， 所以，得. 37．已知两平行直线的方向向量的坐标分别为，则______． 【答案】2 【详解】由直线，得，解得，所以． 考点08 空间向量夹角的坐标表示 38．若，则_________． 【答案】 【详解】设， 依题意，，解得 同理可得， 则， 因此， 所以． 39．已知，，求： (1)； (2)向量与夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以， 解得，则， 因为，所以，即， 解得，所以. （2）由（1）得， 所以向量与夹角的余弦值为 . 40．已知空间中三点，，，设，． (1)若且，求实数； (2)求向量与向量的夹角的余弦值． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）利用空间向量的加减运算及数乘运算得，再利用空间向量的模计算即可； （2）利用空间向量的数量积和夹角公式计算得结论． 【详解】（1）， 所以， 则， 解得． （2）因为，，所以， 又，， 所以， 即向量与向量的夹角的余弦值为． 41．如图，在正方体中，点P满足，则向量与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，以D为原点，分别以，，所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系. 设正方体的棱长为3，则，，，， 所以，， 故， 所以向量与夹角的余弦值为.   42．如图，四棱锥中，底面是菱形，，，对角线与相交于点，点在平面上的投影为点． (1)若点与点重合，求证：； (2)若，求直线与直线所成角的余弦值的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）通过全等三角形得到结论； （2）利用，，求出，从而得到的运动轨迹是圆，通过空间向量法得到的方程及方程中的范围，利用数量积得到直线与直线所成角的余弦值，结合的范围得到所求余弦值的范围. 【详解】（1）证明：在平面上的投影为，点与点重合， 平面，平面，，. 四边形为菱形，，，. （2），. ， 是以为圆心，以3为半径的圆上的点， 以为原点，分别为轴，过作的平行线作为，如图所示， 设，则有，则， ，，，， ，，， 设直线与直线所成角为， 则， ，，，， ，故直线与直线所成角的余弦值的取值范围为. 43．已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是______． 【答案】 【详解】若共线则存在实数使得， 则， 即，方程组无解，即不存在实数使得共线. 所以若与的夹角为锐角，则，解得. 故实数的取值范围是. 考点09 利用空间向量判断直线、平面的位置关系 44．如图，在长方体中，，，，为的中点，为的中点．则与的位置关系为（   ） A．平行 B．异面 C．垂直 D．以上都不对 【答案】C 【详解】如图建立空间直角坐标系：以为原点，分别以为轴， 根据已知边长，，，写出各点坐标： ，是中点，得； 是中点，得, 求向量： , 计算向量的数量积可得：， 由数量积为0可判断两向量垂直，即与垂直. 45．设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若⊥，m，则m⊥ C．若m⊥，mn，n，则⊥ D．若＝m，n，n⊥m，则n⊥ 【答案】C 【详解】平行于同一平面的两条直线可能平行、相交或异面，故A错误； 当两个平面垂直时，一个平面内的直线只有垂直于交线才垂直于另一个平面，故B错误； 若m⊥，，则n⊥，又，可得⊥，故C正确； ＝m，n，n⊥m，但不一定垂直于平面内的其他直线， 故不一定垂直于，故D错误． 46．已知向量是直线的一个方向向量，向量是平面的一个法向量，若，则（    ） A．0 B． C．4 D．3 【答案】C 【详解】因为，所以， 则，解得. 47．在棱长为1的正方体中，点、分别是棱、的中点，动点在正方形（包括边界）内运动.若平面，则的最小值是_______. 【答案】 【分析】以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，设点，其中，由平面，利用空间向量法可得出，利用空间向量的模长公式结合二次函数的性质可求得线段的最小值. 【详解】以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 设点，其中， 设平面的法向量为，，， 则，取，可得， ， 因为平面，则，即， 所以， 因为，则当时，取最小值， 即的最小值为. 48．如图，在棱长为1的正方体中，是棱上的一个动点（不含端点），给出下列四个结论： ①三棱锥的体积为定值； ②存在点，使得平面平面； ③为锐角三角形； ④若点在平面上的投影为点，则点的轨迹为一条线段（不含端点）. 其中所有正确结论的序号是________. 【答案】①③ 【分析】由三棱锥体积公式可判断①正确，由空间直角坐标系面面垂直定理可判断②错误，由余弦定理判断③正确，由立体几何证明可判断④正确. 【详解】对于①：三棱锥的底面积为， 所以三棱锥的体积，为定值；结论①正确. 对于②：以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 设，因为，， 设平面的法向量为，则， 取得； 因为，，平面的法向量为， 则，取得； 因为两平面垂直等价于法向量垂直，所以，可得， 判别式，无实根， 所以不存在点，使得平面平面，结论②错误； 对于③：计算三边长度的平方，， ， ， 所以，所以中最大， 因为， 所以最大角为锐角，因此为锐角三角形，结论③正确； 对于④：记，连接， 平面，平面，所以， 所以点到的中点距离等于，为定值，所以点的轨迹不可能是线段，结论④错误. 49．斜三棱柱中，，，，，动点在侧面上，且，则的轨迹长度为______. 【答案】 【分析】建系并标点，设，根据数量积和模长可得，求平面的法向量和点在平面的投影为，可得，，可知点的轨迹是以为圆心，半径的圆，即可得结果. 【详解】如图，以为坐标原点，分别为轴，垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系， 则， 设，则， 由题意可知：， 则，解得， 即，则，， 可得， 注意到，则，可知为矩形， 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 设点在平面的投影为， 则，，， 因为，则，解得， 即，则， 可得，， 又因为，， 则，且， 可得点到直线，，，的距离分别为，均大于1， 所以点的轨迹是以为圆心，半径的圆， 所以的轨迹长度为. 故答案为：. 考点10 利用空间向量求点面、面面距离 50．在正四棱柱中，底面边长为2，侧棱长为4，则到平面的距离为_______． 【答案】 【分析】以D为原点，分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得点到平面的距离. 【详解】如图，以D为原点，分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则 ∴，，． 设平面的法向量为， 则即取，则，所以， 所以点C1到平面AD1C的距离为＝． 51．如图，在棱长为2的正方体中，E为中点，则点C到平面的距离为______ 【答案】/ 【分析】建立空间直角坐标系，求平面的法向量，然后利用点到平面的距离公式求解. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设平面的一个法向量为， , 则， 令，则， 设点到平面的距离为， 则，     即点到平面的距离为. 52．已知正方体的棱长为4，，，直线与交于点，则点到平面的距离为______． 【答案】 【分析】根据题意画出图形，分别以为轴作出空间直角坐标系，写出相应的坐标，求出的坐标，然后利用点到平面距离的向量求法求解即得.. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，因为正方体的棱长为4，，， 则， 在平面内，直线方程为，直线方程为，联立解得， 所以，， 设平面的法向量， 则，令，得， 于是点M到平面的距离. 53．如图，在棱长为的正方体中，平面与平面的距离为__________. 【答案】2 【分析】先由题设求证平面平面得到平面与平面的距离即为点C到平面的距离，接着建立适当空间直角坐标系求出和平面的一个法向量，再由向量法距离公式即可求解. 【详解】由正方体结构性质可知且，且， 所以四边形和四边形均为平行四边形， 所以，又在平面外，平面， 所以平面，平面， 又，平面， 所以平面平面， 所以平面与平面的距离即为点C到平面的距离， 由题可建立如图所示空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，所以，取，则， 所以平面与平面的距离即点C到平面的距离为. 故答案为：2 54．如图，在平行六面体中，，，，，．则____________；该平行六面体的体积为__________． 【答案】 【分析】利用空间向量的数量积求向量模长可得第一空，建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算点面距离求体积即可. 【详解】由题意易知， ； 如图所示，建立空间直角坐标系，则，设， 由题意可知， 不妨取，则， 易知是底面的一个法向量， 所以到底面的距离为. 55．已知是棱长为1的正方体，则平面与平面的距离为_________． 【答案】/ 【分析】建立空间直角坐标系，可证得平面平面，从而平面与平面的距离等于点到平面的距离．求得平面的法向量和，结合点到平面的距离的向量公式，即可得解． 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 可得， 因为，则， 所以， 因为平面，平面，平面，平面， 所以平面，平面， 又，平面， 所以平面平面， 所以平面与平面的距离等于点到平面的距离， 设平面的法向量为，则， 令，可得，所以， 又因为，所以． 所以平面与平面的距离为． 故答案为：． 考点11 利用空间向量求点线距离 56．已知空间三点，，，则点到直线的距离为______. 【答案】/ 【详解】由，，， 可得，， 则，，与同方向的单位向量为， 则点到直线的距离为. 57．已知直线l过点，其方向向量为，则点到直线l的距离为_____________. 【答案】2 【详解】依题意，，所以点到直线l的距离 58．在空间直角坐标系中，已知点，，，AD为的边BC上的高，则______． 【答案】 【详解】，，， 即为在上的投影向量，所以， 所以． 59．已知空间三点，，，则点到直线的距离为______． 【答案】 【分析】使用空间中点到直线的距离公式结合数量积公式即可求解. 【详解】因为，， 则，，， 所以，， 所以点到直线的距离． 60．如图，在直三棱柱中，分别是棱的中点，三棱柱的外接球为球，则过的平面截球所得截面面积的最小值为___________． 【答案】/ 【分析】将三棱柱补成正方体，建立空间直角坐标系，可求出外接球的半径为，利用空间向量求出点到直线的距离，进而求解截面面积的最小值. 【详解】根据题意，将该三棱柱补成正方体，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，所以， 由正方体的性质可得该正方体的外接球球心为，即为点， 则，外接球半径为， 点到直线的距离， 该截面面积最小时，点到该截面的距离为， 则截面面积的最小值为． 考点12 利用空间向量求异面直线距离 61．已知和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，公垂线与两条直线相交的点所形成的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段．两条异面直线的公垂线段的长度，叫做这两条异面直线的距离．在四棱锥中，底面是边长为的正方形，底面，，点在侧棱上，且满足，则异面直线和的距离为________ 【答案】 【分析】以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【详解】如图，以点为原点，分别作为轴正方向，建立空间直角坐标系， 则. 所以， 设为直线和的公垂线的方向向量， 则有，可取， 所以异面直线和的距离为. 故答案为： 62．在长方体中，，为棱的中点，分别为直线上的动点，则线段的长度的最小值为_________. 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，设，，进而可得点的坐标，利用，求解即可. 【详解】以为坐标原点，以所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则， 设，， 所以， 所以， 所以， 当最小时，，， 所以，， 由，得，整理得①， 由，得， 整理得②， 由①②解得， .      故答案为： 63．在直三棱柱中，，，P，Q分别是直线，上的动点，则PQ的最小值为______. 【答案】/ 【分析】如图建系，求得各点坐标及坐标，进而可求得异面直线与的公垂线的方向向量，根据异面直线间距离公式，代入计算，即可得答案. 【详解】取中点D，中点E，连接DA，DE， 因为，所以， 因为直三棱柱，所以平面， 又平面， 所以， 因为，， 所以， 以D为原点，DB、DA、DE为x，y，z轴正方向建系， 所以， 则， 设异面直线与的公垂线的方向向量为， 则，即， 令，则， 所以异面直线与的公垂线的一个方向向量为， 所以PQ的最小距离即为异面直线与的距离d， 根据异面直线间距离公式，即PQ的最小值为. 故答案为：    64．已知正方体的棱长为1，点和分别在和上，则长度的最小值为______． 【答案】/ 【分析】解法1：通过建立空间直角坐标系，将点、的坐标用参数表示，进而得到长度的平方的表达式，再根据二次函数的性质求最小值. 解法2：通过求异面直线与的法向量，再利用向量投影公式求出两异面直线间的距离，此距离即为长度的最小值. 【详解】解法1：如图，分别以，，为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系，设，，，，则． 当，时，得到的最小值为． 解法2：同解法1建系，得，， 设的公共法向量，则. 取，则，，． 故答案为：. 65．在三棱锥中，、均为等腰直角三角形，其中，，，点M，N分别在线段AB，PC上，则的最小值为______. 【答案】 【分析】先利用线面垂直证得平面，然后将求的最小值转化为求异面直线AB，PC的距离，建立空间直角坐标系，利用异面直线距离的向量法公式即可得解. 【详解】因为为等腰直角三角形，， 因为，所以，又，，平面，所以平面， 又，补成长方体，以点为原点，建立空间直角坐标系如图， 则， 故， 点M，N分别在线段AB，PC上，要求的最小值，即求异面直线AB，PC的距离， 设同时垂直于，则， 取，则，故， 所以的最小值为. 故答案为： 考点13 异面直线夹角的向量求法及其应用 66．圆台轴截面是等腰梯形，若，，点在上，，则异面直线和所成角的余弦值为__________． 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量坐标运算求解. 【详解】设上底面圆半径为1，下底面圆半径为2，以下底面圆心为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则由已知有， 连接，因为，所以，所以， 所以， 即. 67．在直三棱柱中，若，，，点为的中点，点为的中点，在线段上，且，则异面直线与所成角的正弦值为________． 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得异面直线与所成角的余弦值，进而求得其正弦值. 【详解】依题意可知两两相互垂直，以为空间坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系， 在中，，，，所以, 设，则， ，则， 设异面直线与所成角为，， 则， 所以. 68．已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，E，F分别为线段BC，PA的中点，G是线段PD上的一点，PA＝AD＝2．若异面直线CF与EG所成角的余弦值为，则三棱锥P﹣EFG的体积为__________________ ． 【答案】 【分析】建系并标出点坐标，设，，利用空间向量的坐标运算结合线线夹角求得，进而可求锥体的体积. 【详解】因为四棱锥的底面为正方形，且平面， 以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则点，，，，， 可得，， 设，， 则，即， 可得， 设异面直线与所成角为， 则， 整理可得，解得或（舍去）， 即，则. 所以. 69．在三棱锥中，且，点为中点，则直线与直线所成角的余弦值为____________． 【答案】 【分析】根据空间向量基本定理和向量数量积、向量的模的公式进行计算即可. 【详解】因为点为中点，所以. 所以. 因为， 所以 . 由于 所以直线与直线所成角的余弦值为. 70．《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．在阳马中，若平面，且，异面直线与所成角的余弦值为，则AD的长度为______． 【答案】4 【分析】建立空间直角坐标系，利用异面直线向量公式列方程求解即可. 【详解】由题意，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系如图，    设，因为， 所以， ， 设异面直线与所成角为， 则， 解得，即. 71．已知四棱锥中，底面为正方形，底面，，分别为线段，的中点，是线段上的一点，.若异面直线与所成角的余弦值为，则三棱锥的体积为________.    【答案】 【分析】建系并标出点，设，，利用空间向量得坐标运算结合线线夹角求得，进而可求锥体的体积. 【详解】因为四棱锥的底面为正方形，且平面， 以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    则点，，，，， 可得，， 设，， 则，即， 可得， 设异面直线与所成角为， 则， 整理可得，解得或（舍去）， 即，则. 所以. 故答案为：. 考点14 线面角的向量求法及其应用 72．如图，为直四棱柱，底面ABCD是等腰梯形，，.点在平面内，是等腰三角形. ①若，直线与平面所成角的正弦值为__________； ②若二面角为，四棱锥的体积为__________. 【答案】 / 【分析】①问求线面角的正弦值，由等腰三角形条件确定点的坐标特征，再利用空间中两点距离公式及线面角的定义，将正弦值转化为垂线段与斜线段的比值直接求解； ②建立空间直角坐标系，依次求出底面梯形几何量（下底长、高、面积），并利用法向量（定义法列方程组）与二面角的余弦值建立方程解出高，最后代入棱锥体积公式得出结果. 【详解】已知直四棱柱底面是等腰梯形，，，. 过点分别作底边的垂线，垂足分别为. 因为，所以四边形为矩形，. 在中，，（腰长），由三角函数定义： ， 由等腰梯形的对称性，得. 因此下底. 上底面与底面全等，其面积：高 以为原点，方向为轴，梯形高方向（在底面内垂直于）为轴， 侧棱方向为轴.设侧棱长为，得各点坐标： ， 平面即为平面.点在该平面内，且为等腰三角形， 故在的垂直平分线上，得. 记为到上底面的距离， 已知，则解得. 设直线与平面所成角为，则 ②在平面内 设平面的法向量，则， 取，，则，故. 设平面的法向量， 点坐标为，取，则.另取. 则，取，则，代入得， 又，故，因此. 二面角的大小为，其余弦值为. 两法向量夹角的余弦值为： ， ， ， 所以：， 结合二面角方向判断，二面角为钝角，余弦值为负， 得：，解得（取正值）. 四棱锥体积： 代入得： 73．如图，在三棱锥中，，，为的中点，若点在棱上，且二面角的大小为，则与平面所成角的正弦值为______． 【答案】 【分析】方法一：建立空间直角坐标系，得到相关点及相关向量的坐标，设出点坐标，结合二面角的向量求法及已知条件求出点，根据线面角的向量求法求解即可. 方法二：根据三正弦定理求解即可. 【详解】方法一：因为，为的中点，所以，且. 连接，因为，，， 所以是等腰直角三角形，又为的中点，所以，且. 在中，，所以是直角三角形，且. 所以，，两两垂直， 以点为原点，以，，为，，轴建立空间直角坐标系. 则，，，，， 设. 则，， 设平面的法向量为， 则，即，取，则，， 所以. 易知平面，所以平面的一个法向量为. 又二面角的大小为，所以， 整理得，解得或（舍去），所以. 又，设与平面所成角为， 所以， 所以与平面所成角的正弦值为. 方法二：设与平面所成角为．由题意知，，二面角的大小是， 由三正弦定理得． 74．在正三棱柱中，，点分别在棱上，已知，则与平面所成角的正弦值为__________． 【答案】 【分析】利用空间向量法求解，求出平面的法向量，利用数量积公式求解. 【详解】取的中点，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， 则， 设平面的法向量， 则，，取，解得， 故平面的法向量，，， ， 设与平面所成的角为， 则， 故与平面所成角的正弦值为． 故答案为： 75．在空间直角坐标系中，平面的一个法向量的坐标为，直线的一个方向向量的坐标为，则直线与平面所成角的余弦值为__________. 【答案】 【分析】利用向量的夹角公式求，再利用平方关系求即可. 【详解】设平面的一个法向量为，直线的一个方向向量， 设直线与平面所成角为，所以， 所以， 故答案为：. 76．如图，在正方体中，点是棱的中点，则与平面所成角的正弦值_____. 【答案】/ 【分析】b依题意以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法计算可得结果. 【详解】以为坐标原点建立空间直角坐标系如下图所示： 设正方体边长为2，可得 所以， 设平面的一个法向量为， 可得， 令，可得，即， 所以与平面所成角的正弦值为， 故答案为： 77．棱长为1的正方体的各顶点均在过点的平面的同侧，若和与平面所成的角的大小均为，则点到平面的距离为___________． 【答案】． 【分析】建立空间直角坐标系，设平面的法向量为，再根据和与平面所成的角的大小均为可解得法向量，进而可求点到平面的距离. 【详解】如图：以A点为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，    则，所以， 设平面的法向量为，因为与平面所成的角的大小均为， 所以，即——① 再由与平面所成的角的大小均为，所以 ，即——②. 联立①②得，解得或. 当时，代入①得，，， 解得，令，得，， 则到平面的距离为； 当，代入①得，， ，即，因为，所以方程无解，舍去. 综上所述，点到平面的距离为. 故答案为： 78．如图，在长方体中，，，点为线段的中点，点是棱上一点，若直线与平面所成角的正弦值为，则_________． 【答案】 【分析】以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，根据直线与平面所成角的向量求法可得答案. 【详解】以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，设， ， 设为平面的一个法向量， 可得，即，令，则， 所以， 因为直线与平面所成角的正弦值为， 所以， 解得，或舍去， 所以，. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量求解. 考点15 面面角的向量求法及其应用 79．已知是棱长为6的正方体，，分别是棱，上的动点，且．当共面时，平面与平面所成锐二面角的余弦值为________． 【答案】/ 【分析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，根据题意，得到时， 四点共面，分别求得平面和平面的法向量和，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】以为坐标原点，所在的直线分别为轴、轴和轴，建立空间直角坐标系，如图所示，当时，即为的中点时，四点共面， 可得，且， 则， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 设平面的法向量为，则 取，可得，所以， 设平面与平面所成的锐二面角为， 则， 所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为. 80．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，，．沿AC把折起，使二面角为直二面角，则二面角的余弦值为________． 【答案】 【分析】以点 为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解二面角即可. 【详解】以点 为坐标原点，平面 为 平面， 方向分别为 轴的正方向， 建立空间直角坐标系，则 ， 在矩形 中，作 于 于 于 ，则 为 在平面 上的射影. 因为 ，所以 . 所以 ，所以 ， ， 所以 ，所以 ， 设平面 的法向量为 . 则 ，令 ，则 ， 因为平面 的一个法向量为 ， 所以 . 由图可知二面角 为锐角. 所以二面角 的余弦值为 . 81．如图，在长方体中，，点E，F分别在上，且，则平面ABCD与平面AEF夹角的余弦值为__________.    【答案】/ 【分析】以为原点，为轴正方向建立空间直角坐标系，易得平面的法向量为，求出平面的法向量为，使用向量夹角公式即可求解. 【详解】以为原点，为轴正方向建立空间直角坐标系，如图：    则有， 且有， 易得为平面的法向量， 设平面的法向量为，， 则有，令，则， 则， 即平面ABCD与平面AEF夹角的余弦值为， 故答案为：. 82．如图所示四棱锥，平面平面，是AB中点，平面PCD与平面POD的夹角的余弦值为，则线段OP的长为___________．    【答案】 【分析】取中点，连接，以为原点，以分别为轴建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，然后利用向量夹角公式列式求解即可. 【详解】取中点，连接，则， 所以， ，是中点，， 平面平面，平面平面，平面， 平面， 平面，， 以为原点，以分别为轴建立空间直角坐标系，    设，， 则，，，，，， ，，设平面的法向量为， ，， 取，解得，则， ，，设平面的法向量为， ，，取，解得，， ，，，， ，， 设平面与平面的夹角为，则， ，，，. 故答案为： 83．如图，在直四棱柱中，，，，、分别是侧棱、上的动点，且平面与平面所成角的大小为，则线段的长的最大值为__________________ 【答案】/ 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，且不同时为，利用空间向量法可得出，即可得出的最大值. 【详解】在长方体中，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 设，且不同时为， 则、、，所以， 设平面的一个法向量为，则， 令，得，，则， 显然为平面的一个法向量. 因为平面与平面所成角的大小为， 所以，即，得， 所以，所以当时，取得最大值，最大值为 故答案为：. 84．在四棱锥中，平面，，，，是四边形内一点，且二面角的平面角的大小为，则动点的轨迹长度为______． 【答案】/ 【分析】根据题设构建合适的空间直角坐标系，由二面角确定点轨迹为平面与平面的交线，与轴交点为，标注出相关点坐标，并求出平面、平面的法向量，应用向量法及面面角大小列方程求参数，最后应用坐标法求向量的模即可得. 【详解】以为坐标原点建立空间直角坐标系，如图，    因为二面角的平面角大小不变，所以点轨迹为平面与平面的交线， 设点的轨迹与轴的交点坐标为，又，， 则，，，且平面的一个法向量， 设平面的一个法向量，则，取，得， 设为二面角，即的平面角，则，解得， 所以动点的轨迹长度. 故答案为： 85．如图，在四棱锥中，底面，为直角，，，为的中点，，且二面角的平面角为60°，则______．    【答案】 【分析】以为原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，根据二面角的平面角为60°建立方程求解即可． 【详解】因为底面，，底面，所以，， 又为直角，所以两两垂直． 以为原点，的方向分别为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，， 因为为的中点，所以，所以，．设为平面的法向量，则 令，得．易知，平面的一个法向量为． 由题意，二面角的平面角为60°，则，解得． 故答案为：.    2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 空间向量及其应用 考点01 空间向量的运算 考点02 空间向量共线的判定及其求参数 考点03 空间向量的数量积及其应用 考点04 空间向量共面的判定及其求参数 考点05 空间共面向量定理的推论及应用 考点06 空间向量的坐标运算 考点07 空间向量平行、垂直的坐标表示 考点08 空间向量夹角的坐标表示 考点09 利用空间向量判断直线、平面的位置关系 考点10 利用空间向量求点面、面面距离 考点11 利用空间向量求点线距离 考点12 利用空间向量求异面直线距离 考点13 异面直线夹角的向量求法及其应用 考点14 线面角的向量求法及其应用 考点15 面面角的向量求法及其应用 考点01 空间向量的运算 1．如图所示，在三棱柱中，M为的中点，若，则可表示为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在长方体中，下列各式运算结果不为的是（   ）    A． B． C． D． 3．在正方体中，下列各式的运算结果不为向量的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，在空间四边形中，，连接，则（    ）    A． B． C． D． 5．如图所示，如图，三棱锥各棱长均为1，侧棱上的，，满足，线段上的点满足平面，点在上，且与端点不重合，． (1)求证：平面平面； (2)求证：； (3)若，求的值． 6．如图，在平行六面体中，（   ） A． B． C． D． 考点02 空间向量共线的判定及其求参数 7．下列关于空间向量的命题中，正确的是（ ） A．将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆 B．若空间向量，满足，则或； C．若空间向量满足，则； D．若空间向量满足，，则． 8．下列向量中与共线的是（   ） A． B． C． D． 9．已知P、A、B、C为空间中的四点且P,B,C三点不共线，且，则“”是“A、B、C三点共线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．设是不共线的向量，已知，若A，B，D三点共线，则实数k为______． 11．已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 12．已知向量，，若A，B，C三点共线，则（   ） A． B．2 C． D． 考点03 空间向量的数量积及其应用 13．如图所示，在棱长为2的正方体中，为与的交点，为的中点，则在上的投影向量的模为________；在平面内的投影向量的模为________． 14．已知向量，，则等于（    ） A．0 B．－1 C．1 D．2 15．已知正方体的棱长为，若，，，则（    ） A．0 B．2 C．1 D．4 16．如图，在直三棱柱中， ，，则向量与的夹角的余弦值是（　　） A． B． C． D． 17．在棱长为2的正方体中，为正方体表面上的动点，若，则点的运动轨迹的长度为（   ） A． B． C． D． 18．如图，在三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于为的中点，为线段上靠近的三等分点. (1)设，试用向量表示； (2)求线段的长度. 考点04 空间向量共面的判定及其求参数 19．已知点、、不共线，为平面外一点，下列能够确定、、、四点共面的是（    ） A． B． C． D． 20．已知向量，，不共面，下列选项中的三个向量不共面的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 21．已知为空间中四点，任意三点不共线，O为平面ABC外一点，且，若四点共面，则的最小值为（    ） A． B． C．9 D．4 22．已知四点满足任意三点均不共线，但四点共面，为平面外任意一点，且，则实数的值为______． 考点05 空间共面向量定理的推论及应用 23．关于空间向量，以下说法错误的是（   ） A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B．若对空间中任意一点，有，则P，A，B，C四点共面 C．已知是空间向量的一个基底，则也是空间的一个基底 D．若，则是钝角 24．在直三棱柱中，，，.若点满足，且点在平面内，则（   ） A． B． C． D． 25．已知A，B，C，D四点是平面四边形的四个顶点，O是平面ABCD外一点.若，则（    ） A． B． C． D．1 26．已知三点不共线，若，则直线与平面的位置关系是___________. 考点06 空间向量的坐标运算 27．已知空间向量，，若在上的投影向量是，则的值为__________． 28．已知向量，则向量在向量上的投影向量的坐标是_________. 29．已知空间四点：，判断四点是否共面． 30．已知，则为（    ） A． B． C． D． 考点07 空间向量平行、垂直的坐标表示 31．已知向量，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 32．已知，，且，则（    ） A． B． C． D．3 33．已知向量，，且与互相垂直，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 34．设平面的法向量为，平面的法向量为，若，则等于（   ） A．2 B． C． D． 35．已知，若，则（   ） A． B．4 C． D．6 36．已知向量，，若，则实数________. 37．已知两平行直线的方向向量的坐标分别为，则______． 考点08 空间向量夹角的坐标表示 38．若，则_________． 39．已知，，求： (1)； (2)向量与夹角的余弦值. 40．已知空间中三点，，，设，． (1)若且，求实数； (2)求向量与向量的夹角的余弦值． 41．如图，在正方体中，点P满足，则向量与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 42．如图，四棱锥中，底面是菱形，，，对角线与相交于点，点在平面上的投影为点． (1)若点与点重合，求证：； (2)若，求直线与直线所成角的余弦值的取值范围． 43．已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是______． 考点09 利用空间向量判断直线、平面的位置关系 44．如图，在长方体中，，，，为的中点，为的中点．则与的位置关系为（   ） A．平行 B．异面 C．垂直 D．以上都不对 45．设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若⊥，m，则m⊥ C．若m⊥，mn，n，则⊥ D．若＝m，n，n⊥m，则n⊥ 46．已知向量是直线的一个方向向量，向量是平面的一个法向量，若，则（    ） A．0 B． C．4 D．3 47．在棱长为1的正方体中，点、分别是棱、的中点，动点在正方形（包括边界）内运动.若平面，则的最小值是_______. 48．如图，在棱长为1的正方体中，是棱上的一个动点（不含端点），给出下列四个结论： ①三棱锥的体积为定值； ②存在点，使得平面平面； ③为锐角三角形； ④若点在平面上的投影为点，则点的轨迹为一条线段（不含端点）. 其中所有正确结论的序号是________. 49．斜三棱柱中，，，，，动点在侧面上，且，则的轨迹长度为______. 考点10 利用空间向量求点面、面面距离 50．在正四棱柱中，底面边长为2，侧棱长为4，则到平面的距离为_______． 51．如图，在棱长为2的正方体中，E为中点，则点C到平面的距离为______ 52．已知正方体的棱长为4，，，直线与交于点，则点到平面的距离为______． 53．如图，在棱长为的正方体中，平面与平面的距离为__________. 54．如图，在平行六面体中，，，，，．则____________；该平行六面体的体积为__________． 55．已知是棱长为1的正方体，则平面与平面的距离为_________． 考点11 利用空间向量求点线距离 56．已知空间三点，，，则点到直线的距离为______. 57．已知直线l过点，其方向向量为，则点到直线l的距离为_____________. 58．在空间直角坐标系中，已知点，，，AD为的边BC上的高，则______． 59．已知空间三点，，，则点到直线的距离为______． 60．如图，在直三棱柱中，分别是棱的中点，三棱柱的外接球为球，则过的平面截球所得截面面积的最小值为___________． 考点12 利用空间向量求异面直线距离 61．已知和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，公垂线与两条直线相交的点所形成的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段．两条异面直线的公垂线段的长度，叫做这两条异面直线的距离．在四棱锥中，底面是边长为的正方形，底面，，点在侧棱上，且满足，则异面直线和的距离为________ 62．在长方体中，，为棱的中点，分别为直线上的动点，则线段的长度的最小值为_________. 63．在直三棱柱中，，，P，Q分别是直线，上的动点，则PQ的最小值为______. 64．已知正方体的棱长为1，点和分别在和上，则长度的最小值为______． 65．在三棱锥中，、均为等腰直角三角形，其中，，，点M，N分别在线段AB，PC上，则的最小值为______. 考点13 异面直线夹角的向量求法及其应用 66．圆台轴截面是等腰梯形，若，，点在上，，则异面直线和所成角的余弦值为__________． 67．在直三棱柱中，若，，，点为的中点，点为的中点，在线段上，且，则异面直线与所成角的正弦值为________． 68．已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，E，F分别为线段BC，PA的中点，G是线段PD上的一点，PA＝AD＝2．若异面直线CF与EG所成角的余弦值为，则三棱锥P﹣EFG的体积为__________________ ． 69．在三棱锥中，且，点为中点，则直线与直线所成角的余弦值为____________． 70．《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．在阳马中，若平面，且，异面直线与所成角的余弦值为，则AD的长度为______． 71．已知四棱锥中，底面为正方形，底面，，分别为线段，的中点，是线段上的一点，.若异面直线与所成角的余弦值为，则三棱锥的体积为________.    考点14 线面角的向量求法及其应用 72．如图，为直四棱柱，底面ABCD是等腰梯形，，.点在平面内，是等腰三角形. ①若，直线与平面所成角的正弦值为__________； ②若二面角为，四棱锥的体积为__________. 73．如图，在三棱锥中，，，为的中点，若点在棱上，且二面角的大小为，则与平面所成角的正弦值为______． 74．在正三棱柱中，，点分别在棱上，已知，则与平面所成角的正弦值为__________． 75．在空间直角坐标系中，平面的一个法向量的坐标为，直线的一个方向向量的坐标为，则直线与平面所成角的余弦值为__________. 76．如图，在正方体中，点是棱的中点，则与平面所成角的正弦值_____. 77．棱长为1的正方体的各顶点均在过点的平面的同侧，若和与平面所成的角的大小均为，则点到平面的距离为___________． 78．如图，在长方体中，，，点为线段的中点，点是棱上一点，若直线与平面所成角的正弦值为，则_________． 考点15 面面角的向量求法及其应用 79．已知是棱长为6的正方体，，分别是棱，上的动点，且．当共面时，平面与平面所成锐二面角的余弦值为________． 80．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，，．沿AC把折起，使二面角为直二面角，则二面角的余弦值为________． 81．如图，在长方体中，，点E，F分别在上，且，则平面ABCD与平面AEF夹角的余弦值为__________.    82．如图所示四棱锥，平面平面，是AB中点，平面PCD与平面POD的夹角的余弦值为，则线段OP的长为___________．    83．如图，在直四棱柱中，，，，、分别是侧棱、上的动点，且平面与平面所成角的大小为，则线段的长的最大值为__________________ 84．在四棱锥中，平面，，，，是四边形内一点，且二面角的平面角的大小为，则动点的轨迹长度为______． 85．如图，在四棱锥中，底面，为直角，，，为的中点，，且二面角的平面角为60°，则______．    2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $