专题01 直线方程（高效培优期末专项训练）高二数学沪教版选择性必修第一册

**基本信息** 以直线方程核心概念为起点，通过12个递进式考点构建从基础计算到综合应用的知识网络，强化数学思维与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |求斜率|6题|含两点斜率、倾斜角转化、参数求解|斜率概念→倾斜角关系→参数计算| |斜率范围|6题|结合线段相交求范围|几何直观→边界斜率→范围确定| |直线方程|6题|点斜式、截距式及综合应用|方程形式→条件转化→实际情境| |直线关系|12题|平行垂直判断、参数及方程求解|位置关系判定→参数计算→方程构建| |面积问题|7题|坐标轴围成图形面积及最值|方程截距→图形构建→面积计算| |定点问题|6题|含定点证明、参数范围|方程变形→定点提取→应用拓展| |距离问题|12题|点线距、平行线距及参数求解|距离公式→条件转化→参数计算| |对称问题|8题|光线反射、直线对称|对称性质→坐标转化→方程求解|

专题01 直线方程 考点01 求直线斜率 考点02 利用直线与线段的相交求斜率范围 考点03 求直线方程 考点04 判断两条直线关系 考点05 利用两条直线关系求参数 考点06 利用两条直线关系求方程 考点07 直线与坐标轴围成图形的面积问题 考点08 直线过定点问题 考点09 求点到线的距离 考点10 求两条平行线的距离 考点11 已知距离求方程以及求参 考点12 点线、线线对称的问题 考点01 求直线斜率 1．经过两点，的直线的斜率为_________，倾斜角为_________. 【答案】 【详解】设此直线的倾斜角为，则. 因为，所以. 2．已知直线经过点和，求直线的一个方向向量和法向量，并求直线的斜率和倾斜角． 【答案】直线的一个方向向量为，一个法向量为，斜率，倾斜角为 【详解】由点和，得， 直线的一个方向向量为，由于法向量与方向向量垂直． ∴直线的一个法向量为，斜率， 设直线的倾斜角为，所以，所以． 3．直线经过、两点，且倾斜角是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由直线的倾斜角为，所以 直线的斜率； 又直线经过、两点，可得，且， 整理得， 解得，经检验符合题意. 4．直线经过两点，直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由直线经过两点，得直线的斜率， 则直线的倾斜角，直线的倾斜角为， 所以的斜率为. 5．直线经过点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知直线经过点， ， 设直线的倾斜角为，则， ． 6．过点，的直线的斜率为1，那么m的值为（    ） A．1或4 B．4 C．1或3 D．1 【答案】D 【详解】因为直线过点，，且斜率为1， 所以，解得． 考点02 利用直线与线段的相交求斜率范围 7．已知点，若过点的直线与线段相交，则直线斜率的取值范围是_________ ． 【答案】 【详解】点，点，可得，， 如下图示，所以. 8．已知点，，若过的直线与线段相交，则实数的取值范围为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【详解】解析 过的直线与线段相交，如图所示： 可得，即，即．故选D． 9．过点作直线，使得直线和连接点的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据图象，求出直线的斜率的取值范围，再求倾斜角的取值范围. 【详解】如图，当过点时，，当过点时，， 故直线和连接点的线段总有公共点，则， 又，所以 故答案为：    10．已知过点作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，直线l的倾斜角的取值范围为__________． 【答案】 【分析】应用斜率的两点式求端点处直线的斜率，数形结合确定直线的斜率范围，再求倾斜角范围． 【详解】由题意得，直线的倾斜角为， ，直线的倾斜角为． 如图： 由图可知，的斜率的取值范围为， 则的倾斜角的取值范围为． 故答案为：. 11．已知直线过点且与以为端点的线段有公共点，则直线斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在坐标系中标出这三个点，然后根据直线和线段有公共点的临界情况分析. 【详解】由题， 如图，由图可知直线斜率. 故选：B 12．经过点作直线，若直线与连接两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求得PA、PB的斜率，设直线的斜率为，分析可得，根据倾斜角与斜率的关系，分析即可得答案. 【详解】由题意得， 与线段相交，由题意设直线的斜率为， ，，   或， 由于在及上均单调递增， ∴直线的倾斜角的范围为. 故选：D 考点03 求直线方程 13．过点且在轴的截距相等的直线方程是_________ 【答案】或 【分析】根据题意，分直线过原点和不过原点，两种情况分类讨论，即可求解. 【详解】当所求直线过原点时，此时直线的斜率为，直线的方程为； 当所求直线不过原点时，设直线的方程为， 把点代入上式，可得，解得，所以直线的方程为， 综上可得，直线的方程或. 14．四边形的顶点，，，，求这个四边形四条边所在的直线方程． 【答案】边所在直线方程为，边所在直线方程为， 边所在直线方程为，边所在直线方程为 【分析】根据截距式、两点式求得四边形四条边所在的直线方程． 【详解】如图，由截距式，得边所在直线方程为，即， 边所在直线方程为，即， 由两点式，得边所在直线方程为，即， 边所在直线方程为，即． 15．根据条件写出下列直线的点斜式方程： (1)经过点，倾斜角为； (2)经过原点，倾斜角为； (3)经过点，倾斜角为． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为直线斜率为， 所以直线的点斜式方程为． （2）因为直线斜率为， 所以直线的点斜式方程为． （3）因为直线斜率为，所以直线的点斜式方程为． 16．若是直线的一个法向量，则直线的倾斜角大小为__________． 【答案】 【分析】先由直线的法向量推导直线的斜率，再结合倾斜角的取值范围，根据斜率与倾斜角的对应关系求解倾斜角. 【详解】已知是直线的一个法向量，可设直线的一般式方程为（为常数）， 将其化为斜截式即，因此直线的斜率， 设直线的倾斜角为，其中，由斜率的定义可得， 因为，故，因此. 17．直线在轴上的截距是_________． 【答案】 【详解】由，令，得． 18．已知直线过点，且与直线的夹角为，则直线的方程为______________. 【答案】或 【分析】先求出直线的倾斜角，再根据直线和直线夹角为，可得直线的倾斜角，进而得到直线的斜率，从而求得直线的方程. 【详解】由题意得：直线的斜率为，所以其倾斜角为， 设直线的倾斜角为， 又直线与直线的夹角为，所以或， 又直线过点， 当时，直线的方程为：， 当时，斜率，所以直线的方程为：， 即. 考点04 判断两条直线关系 19．设，，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由，若，则、重合，充分性不成立， 由，则必有，必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件. 20．下列直线中与直线平行的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用两直线平行的条件判断即可. 【详解】对于直线，可化为， 对于A，因为，所以，与目标直线不平行，故A错误， 对于B，因为，所以，与目标直线平行，故B正确， 对于C，因为，所以，与目标直线不平行，故C错误， 对于D，因为，所以，与目标直线不平行，故D错误. 故选：B 21．已知直线的倾斜角为，直线经过点，，则直线与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．平行或重合 D．重合 【答案】C 【分析】由斜率的定义及坐标公式分别求出两条直线的斜率即可判断位置关系. 【详解】由直线的倾斜角为， 所以直线的斜率为：， 又直线经过， 所以直线的斜率为：， 所以， 所以直线与直线平行或重合. 故选：C. 22．已知直线，则与的位置关系是（   ） A．平行 B．重合 C．相交但不垂直 D．垂直 【答案】D 【分析】根据判断. 【详解】因为直线，的斜率分别为，且，所以与的位置关系是垂直. 故选：D 23．直线和的位置关系是（   ） A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．重合 【答案】C 【详解】因为直线的斜率，直线的斜率， 要判断两直线的位置关系，需要找到与的关系，是否满足两直线平行、垂直、相交但不垂直、重合四种情况， 也就是验证是否相等、是否等于， 验证结果，， 所以两条直线不平行，也不垂直，也不重合. 故选：C. 24．已知直线经过，两点，直线的斜率为，那么与（    ） A．平行 B．重合 C．垂直 D．相交但不垂直 【答案】C 【分析】利用两直线的位置关系求解. 【详解】因为直线经过，两点， 所以直线的斜率为，而， 所以，所以与垂直， 故选：C 考点05 利用两条直线关系求参数 25．已知直线：，直线：，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】直线：，直线：， 当时，代入可得：，直线：，两条直线不平行， 当时，代入可得：，直线：，两条直线不平行， 设直线方程为，直线方程为， 若，则，即， 化简可得，即，解得，， 当时，代入可得：，：， 两直线重合，所以舍去， 当时，代入可得：，：， 和的斜率都为，所以， 因此是的充要条件. 26．若直线与直线平行，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行系数关系计算求解. 【详解】由直线与直线平行，得， 所以. 27．已知两条直线 和 (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用直线与直线垂直的条件直接求解； （2）利用直线与直线平行的条件直接求解． 【详解】（1）若，则，解得：. （2）若，则， 当时，即，解得：或， 又，所以. 综上，； 28．已知直线：与直线：平行，则实数的值为（   ） A．-1 B．0 C．3 D．-1或3 【答案】A 【详解】当时，直线：与直线：，显然直线与不平行； 当时，因为直线：与直线：平行， 所以，解得，检验符合. 29．若直线与直线垂直，则m=（   ） A． B．15 C． D． 【答案】A 【分析】根据两直线垂直的充要条件求解即可. 【详解】因为直线与直线垂直， 所以，解得. 30．已知直线与直线垂直，则______． 【答案】 【详解】因为直线与直线垂直， 所以，得. 考点06 利用两条直线关系求方程 31．经过点且与直线平行的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】直线 的斜率为 。 因为所求直线与已知直线平行，故设所求直线方程为 。 将点 代入方程得： ， 因此，所求直线方程为：。 32．（1）求经过直线和的交点，且平行于直线的直线方程； （2）已知点，若直线过点，且与线段相交，求直线的斜率的取值范围. 【答案】（1）；（2）或 【分析】（1）联立两直线方程即可求其交点，由题意两直线平行，则斜率确定，使用点斜式即可求解； （2）分别求出，，画出图象，由图象分析斜率的变化过程即可. 【详解】（1）联立，得，所以直线与的交点为， 因为直线平行于直线，所以直线的斜率为， 所以的方程为，即； （2）直线的斜率为，直线的斜率为，画出图象，如图： 结合图象可知：当直线与线段相交时， 当直线从到时，直线的斜率应由逐渐变大，直到正无穷，再由负无穷，到， 故直线的斜率的取值范围为或. 33．在轴上的截距为5，且与直线平行的直线的方程为__________. 【答案】 【分析】根据截距的概念和两直线平行的性质，设出直线方程，根据截距求出参数，求出结果即可. 【详解】设与直线平行的直线的方程为， 在轴上的截距为5，即当时，得，解得， 所以直线的方程为. 故答案为：. 34．过点且垂直于直线的直线方程为______． 【答案】 【详解】垂直于直线的直线斜率为，又过点， 由点斜式可得所求直线方程为，即. 35．已知三角形的三个顶点分别为、、； (1)求边上中线的方程， (2)过点作的垂线，垂足为，求直线的方程并求出点的坐标， 【答案】(1) (2)直线的方程为； 【分析】（1）首先求的中点坐标，再求直线方程； （2）根据垂直关系求直线的斜率，再求直线方程；联立直线和的方程，求交点坐标. 【详解】（1）设边上的中点为点，且、， 则，即， 边上的中线为，，所以直线, 所以边上中线的方程为； （2）， 因为，所以，则， 所以直线的方程为， 直线，整理为：， 联立，得，， 则点的坐标为. 36．若点既是，所连线段的中点，又是直线与的交点，则线段AB的垂直平分线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将两直线方程相减可得过两直线交点的直线方程，再将代入化简可求出直线的斜率，从而可求出线段的垂直平分线的方程. 【详解】直线与直线的方程相减， 可得， 把点代入，可得， 所以，又是线段AB的中点， 所以线段AB的垂直平分线的方程是， 即. 考点07 直线与坐标轴围成图形的面积问题 37．在中顶点，边上的高所在直线的方程为，边上的中线所在直线的方程为. (1)求直线的方程； (2)求顶点、的坐标； (3)求的面积. 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）根据直线垂直和经过的点坐标求出直线的方程. （2）联立两直线方程即可求得交点坐标. （3）根据点到直线的距离公式和三角形面积公式计算即可. 【详解】（1）由题可设直线的方程为， 把点代入可得，解得. 直线的方程为. （2）设，则，，联立解得，.. 设，则，，联立解得，. . （3）是的中点，，到的距离， 又点到的距离，.    38．已知直线的方程为，若与轴的正半轴，轴的正半轴分别交于两点，为坐标原点，且的面积为2，则（    ） A． B．-1 C． D．0 【答案】B 【分析】由题意，求出点A的横坐标、B的纵坐标，根据三角形的面积公式建立关于b的方程，解之即可. 【详解】如图， 在中， 令，得；令，得， 由题意，得，， 所以的面积， 即，解得. 故选：B. 39．已知直线过点，且与两个坐标轴的正半轴分别交于点、，为坐标原点，则面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设直线的方程为，可得出，利用基本不等式可求得的最小值，由此可得出的最小值. 【详解】不妨设直线的方程为，将点的坐标代入直线的方程得， 由基本不等式可得，可得，即， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故，即面积的最小值为. 故选：B. 40．若直线与平行，求的值. 41．将直线绕其与轴的交点逆时针旋转得直线，求与两坐标轴所围成的三角形面积. 【答案】40．3或5 41． 【分析】（1）根据两直线平行求出； （2）利用到角公式求出直线的斜率，再利用点斜式求出直线的方程，求出其与轴，轴的交点坐标，求出所围成的三角形面积. 【详解】40．因为直线与平行， 所以. 当时，，两直线平行，符合题意； 当时，由得（舍去）或， 此时，两直线平行，符合题意. 综上，的值为3或5. 41．在直线中，令，得，即. 设直线的斜率为，由题意得 ，解得； 所以直线的方程为，即. 在中，令，得；令，得. 所以直线与两坐标轴围成的三角形面积为. 42．已知0＜k＜4，直线l1：kx﹣2y﹣2k+8=0和直线l2：2x+k2y﹣4k2﹣4=0与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的k值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定两条直线的公共定点，求出它们与坐标轴的交点，建立面积的二次函数表达式，再利用二次函数性质求最小值对应的值. 【详解】直线可化为，由 可得，即直线恒过定点， 直线可化为，由， 解得，即直线恒过定点， 由可得，即直线与轴交点为， 由可得，即直线与轴交点为， 则四边形由点围成， 其面积， 当时，取得最小值. 故选：D. 43．已知直线均过点． (1)若直线过点，且，求直线的方程； (2)若直线在轴和轴上的截距互为相反数，求直线的方程； (3)若直线与两坐标轴的正半轴能够围成三角形，求该三角形面积最小时直线的方程． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据题意，求得，由，得到，进而求得直线的方程； （2）根据题意，分直线过坐标原点和线不过坐标原点，两种情况讨论，即可求解； （3）设直线的方程为，则满足，结合基本不等式，求得面积最小值，进而求得直线的方程. 【详解】（1）解：由点和，可得，即 因为，可得，所以直线的方程为，即. （2）解：由直线在轴和轴上的截距互为相反数， 当直线过坐标原点时，可得，此时直线的方程为，即； 当直线不过坐标原点时，可设直线的方程为， 将点代入直线方程，可得，解得， 所以直线的方程为， 综上可得，直线的方程为或. （3）解：设直线的方程为，则满足， 由，即，解得， 当且仅当时，即时，取等号， 则，即围成三角形的面积的最小值为，此时直线的方程为. 考点08 直线过定点问题 44．直线过定点________，倾斜角的最小值是________． 【答案】 【分析】将直线方程化为，由求定点；直线方程化为，从而斜率为，再利用斜率和倾斜角的关系求解. 【详解】直线方程可以化为， 由得， 直线方程化为， 则直线的斜率为， 因为，所以，则 ， 即， 设直线的倾斜角为，则， 则， 所以倾斜角的最小值是. 故答案为： 45．设点 ,，若直线与线段AB没有交点，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】因为直线过定点，直线与线段没有交点，转化为过定点的直线与线段无公共点，画出图像，结合图像，即可求得答案. 【详解】 直线与线段没有交点， 即直线与线段没有交点， 对于直线， 令，则，则直线恒过点 . 根据题意，作出如下图像： ，， 根据两点求斜率公式可得：直线的斜率为 ， ， 根据两点求斜率公式可得：直线的斜率为 ， 直线的斜率为， 若直线与线段没有交点， 则. 46．设直线的方程为． (1)求经过定点的坐标； (2)若直线在轴上的截距是在轴上的截距的2倍，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）整理可得，进而分析定点即可； （2）求直线在坐标轴上的截距，结合题意列式求解即可直线方程. 【详解】（1）由整理可得， 令，解得， 所以不论为何值，直线必过一定点. （2）由题意可知：，且， 令，解得；令，解得； 因为，解得或， 当时，直线的方程为：； 当时，直线的方程为：； 综上所述：所求直线的方程为或. 47．已知直线． (1)若直线不经过第四象限，求实数的取值范围； (2)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出直线所过定点，数形结合，结合直线图象可得出关于实数的不等式，解之即可； （2）求得直线与坐标轴的交点，可得面积，进而利用二次函数的性质可得最值. 【详解】（1）由，即， 则，解得，所以直线过定点. 因为直线不过第四象限，结合图形可知，直线的斜率存在，所以， 此时，直线的方程可化为，记点，则， 由图可得，解得，因此，实数的取值范围是. （2）已知直线，且由题意知， 令，得，得， 令，得，得， 则， 所以当时，取最小值， 此时直线的方程为，即. 48．已知直线. (1)求证：直线过定点； (2)若直线不经过第四象限，求实数的取值范围； (3)当直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小时，求直线的方程. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）由方程变形可得，列方程组，解方程即可； （2）数形结合，结合直线图象可得出关于实数的不等式，解之即可； （3）求得直线与坐标轴的交点，可得面积，进而利用二次函数的性质可得最值. 【详解】（1）直线，即. 由，解得. 所以直线过定点. （2）当时，直线斜率不存在，方程为，经过第四象限，不成立； 当时，直线斜率存在，方程为， 又直线不经过第四象限，则，解得. 综上，实数的取值范围是. （3）由题，直线，且. 令，得，得； 令，得，得，即. 则， 又，， 所以当时，取最小值，最小值为. 此时直线的方程为. 49．已知直线的方程为． (1)求证：不论为何值，直线必过定点； (2)过点的直线交坐标轴正半轴于两点，当面积最小时，求的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）将直线方程整理为关于参数的表达式，利用其对任意恒成立的条件，即可证明直线过定点； （2）通过直线过定点，设点斜式方程来求两坐标轴上的截距，再求面积，利用基本不等式求最小值，然后求出对应三角形的周长即可. 【详解】（1）由可得，， 令所以直线过定点． （2）由（1）知，直线恒过定点， 由题意可设直线的方程为，直线与轴、轴正半轴的交点分别为， 令，得；令，得． 所以的面积， 当且仅当，即时等号成立，此时面积最小， ，， 的周长为． 所以当面积最小时，的周长为． 考点09 求点到线的距离 50．点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用点到直线的距离公式计算即得. 【详解】点到直线的距离为. 故选：B. 51．已知的三个顶点是. (1)求边所在直线的方程； (2)求的面积. 【答案】(1) (2)17 【分析】（1）求出边所在直线的斜率，根据直线的点斜式方程，写出边所在直线的方程； （2）利用两点间距离公式求边的长度，利用点到直线的距离公式求边上的高，进而求得的面积. 【详解】（1）直线的斜率为， 所以边所在直线的方程为，即. （2）线段， 设为点到直线的距离，则， . 即的面积为. 52．已知的三个顶点的坐标分别为，，. (1)求点到直线的距离； (2)求边上的高所在直线的方程； (3)求边上的中线所在直线的方程. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用斜率公式求出，利用点斜式求出直线的方程，利用点到直线的距离求出点到直线的距离； （2）两直线垂直，且都存在斜率，则有； （3）利用中点坐标公式求出的中点，利用斜率公式求出直线的斜率，利用点斜式求出直线的方程. 【详解】（1），，则，直线的方程为， 即，，点到直线的距离为； （2）设边上的高所在直线的斜率为 ， ，，， 边上的高所在的直线过， 边上的高所在直线的方程为，即； （3）设中点，，， ，， ，， 则边上的中线所在直线的方程为， 即. 53．写一个到直线：，：的距离相等的点的坐标_____． 【答案】 【详解】，， 因为，所以到和距离相等的点在这两条直线的中位线上， 设中位线的方程为， 根据平行线间的距离公式可得到的距离为，到的距离为， ，解得，即， 当时，代入可得，即到直线和的距离相等. 54．点到直线的最大距离是______． 【答案】 【分析】分析直线恒过定点，进而利用几何关系结合两点间距离公式求解最大距离. 【详解】由，得，对任意， 当时，恒成立，即直线恒过定点. 设点到直线的距离，满足：， 当且仅当直线时，等号成立，即最大距离为. ， 因此点到直线的最大距离为. 55．已知点，向量，若与直线垂直，则到直线的距离等于（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据直线的方向向量与垂直求出，再由点到直线的距离求解. 【详解】因为直线的一个方向向量为， 又与直线垂直，所以， 解得，所以直线， 所以到直线的距离为. 考点10 求两条平行线的距离 56．直线与直线之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】直线，即， 所以直线与直线之间的距离. 57．平行线与之间的距离为________． 【答案】 【分析】利用两条平行线间的距离公式即可求出答案. 【详解】由题设，两直线平行，故它们的距离. 58．两平行直线与间的距离为______． 【答案】 【分析】首先根据两直线平行求，再代入两直线间的距离公式求解. 【详解】因为直线与平行，所以，解得， 即直线方程为， 将化为， 故这两平行直线间的距离为. 59．已知直线（其中）． (1)若直线与直线垂直，求直线的方程； (2)若直线与直线平行，求它们之间的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助两直线垂直性质计算即可得； （2）借助两直线平行性质计算可得，再利用两平行线间距离公式计算即可得. 【详解】（1）由直线与直线垂直，可得，解得， 将代入直线方程中，化简可得直线方程为； （2）由直线与直线平行，可得，解得， 将代入直线方程中，化简可得直线方程为， 设直线与直线间的距离为，由平行线间的距离公式可得： ， 即直线与直线间的距离为. 60．若直线与平行，则与的距离为（   ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】由题意得，解得， 当时，不重合，故， 可化为， 所以与的距离为. 61．直线与直线间的距离为__________. 【答案】 【分析】根据两平行直线之间的距离公式计算即可求解. 【详解】直线可化为：，则. 考点11 已知距离求方程以及求参 62．求下列直线方程： (1)已知直线经过直线和的交点，且到的距离为，求直线的方程； (2)求与直线平行且到距离为的直线方程． 【答案】(1)或； (2)或. 【分析】（1）先求两直线的交点，再分斜率存在与不存在两种情况设直线方程，利用点到直线距离公式求解即可； （2）设平行直线方程，利用两平行直线距离公式列方程求参数，即可得所求直线方程. 【详解】（1）由题意，联立，解得，所以两直线的交点为， 当直线的斜率存在时，设的方程为，即， 则点到直线的距离为，解得， 所以直线的方程为； 当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 点到直线的距离为，成立； 综上所述，直线的方程为或. （2）因为所求直线与直线平行， 所以设所求直线为， 又所求直线到直线的距离为， 所以，解得或， 所以所求直线方程为或. 63．若直线与直线间的距离为1，则__________. 【答案】6或 【分析】由平行线间距离公式即可求解. 【详解】直线化为， 根据平行线间的距离公式：， 解得：或. 故答案为：6或-14 64．若直线与直线：之间的距离是，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】A 【详解】∵直线与直线之间的距离为，   ，，或（负值舍去）． ． 65．已知直线经过定点且与直线垂直．若点和点到直线的距离相等，则实数的值为（   ） A．1或 B．1或 C． D．1 【答案】A 【分析】设直线的方程为，根据所过的点得，再根据点到直线的距离公式求出或. 【详解】设直线的方程为，因为直线经过定点， 故即，故直线的方程为， 而点和点到直线的距离相等，故， 所以，所以或，A正确. 66．求以下直线方程 (1)已知直线若直线过点，且，求直线的方程； (2)已知直线经过点，且点和点到直线的距离相等，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用两条直线垂直的斜率关系，结合直线的点斜式方程求解即可； （2）点和到直线距离相等，分两种情况：①直线，②直线过中点，分别求出直线方程即可. 【详解】（1）因为直线的方程为，所以直线的斜率为．因为，所以直线的斜率为． 因为直线过点，所以直线的方程为， 即． （2）点和到直线距离相等，分两种情况： ①直线，因为直线斜率， 故直线方程为，即． ②直线过中点．中点为，又直线经过点， 所以直线方程为． 综上，直线的方程为或． 67．求下列直线方程： (1)已知直线过点，且与点，点的距离相等，求直线的方程． (2)已知直线经过点，且与坐标轴围成的三角形面积为2，求直线的方程． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）利用距离相等得出直线与直线平行或经过的中点，分别求解方程即可； （2）设出直线方程，表示出三角形的面积，根据面积可得答案. 【详解】（1）由题意可知，直线与直线平行时或者经过线段的中点时符合题意； 直线的斜率为：，当直线与直线平行时，可设直线方程为， 故，，直线方程为； 线段的中点为，当经过线段的中点时，方程为，即. 综上，求直线的方程为或. （2）显然直线的斜率存在，设方程为， 令，得，令，得， 因为与坐标轴围成的三角形面积为2，所以， 解得或，即直线的方程为或. 68．若，分别为两平行直线：，：上任意一点，则的值为______；的最小值为______． 【答案】 【分析】题空1：根据两直线平行的系数关系，可建立关于的方程并求解； 题空2：利用两平行直线间的距离公式计算最小值. 【详解】题空1：两条直线平行的条件是：对于，， 平行满足，且不重合，代入得：， 解得，验证，两直线不重合，故. 题空2：两平行直线上任意两点距离的最小值，就是两平行线之间的距离. 先将直线化为同系数形式：， 根据平行线距离公式可得：， 即的最小值为. 69．过两点作两条平行线，分别求满足下列条件的两条平行线方程． (1)两平行线间的距离为4； (2)这两条平行线各自绕点和点旋转，使它们之间的距离取最大值． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）结合点到直线的距离公式，分两直线的斜率都不存在与两直线的斜率都存在进行讨论即可得； （2）结合（1）中所得与点到直线的距离公式，分两直线的斜率都不存在与两直线的斜率都存在进行讨论即可得. 【详解】（1）当两直线的斜率都不存在时，方程分别为，满足题意； 当两直线的斜率都存在时，设方程分别为与， 即与， 由题意得，解得， 所以所求的直线方程分别为， 综上，所求的直线方程为或； （2）由（1）知，当两直线的斜率都不存在时，； 当两直线的斜率都存在时，， 则，即有， ，故， 即，由，解得，故， 此时有，即，解得， 此时对有， 对有， 即此时两直线的方程分别为. 考点12 点线、线线对称的问题 70．一条光线从点射出后，与轴相交于点，经轴反射，则反射光线所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】法一：可知反射光线所在直线的斜率为，且经过点，结合直线的点斜式方程运算求解；法二：根据对称性可知反射光线所在直线经过点和点，结合直线的两点式方程运算求解. 【详解】法一：由题可知：直线的斜率，则反射光线所在直线的斜率为， 且反射光线所在直线经过点，所以反射光线所在直线方程为，即； 法二：因为点关于轴的对称点在反射光线所在直线上，可知反射光线所在直线经过点和点， 所以反射光线所在直线方程为，即. 故选：D． 71．一束光线从点出发，经直线反射后又经过点，则光线从点A到点B走过的路程为（    ） A．5 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】先求出点A关于直线的对称点C坐标，根据反射的性质，结合两点间距离公式，即可得答案. 【详解】可设光线与直线交于点P， 由题意可得，点关于直线的对称点C在反射光线上， 设点，则，解得，即， 故光线从点A到点B所经过的路程是.    故选：B 72．古代数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点为，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再到军营的总路程最短，则将军在河边饮马的地点坐标为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出点关于直线的对称点，求出直线与河岸线的交点即可得出饮马的地点坐标. 【详解】设点关于直线的对称点为点, 根据对称点的性质知中点在直线上， 即,可得, 又直线与直线垂直，即,可得, 即可得,即点, 直线的斜率为,得直线方程，即, 将军在河边饮马的地点坐标为直线与河岸线的交点 ， 将代入得,即坐标点为. 则将军在河边的饮马地点为. 故选：C 73．如图所示，已知，，从点射出的光线经直线反射后再射到直线上，最后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程是（    ） A． B．6 C． D． 【答案】A 【详解】由题意，直线的方程为，设关于直线的对称点为， 则，解得，即，又关于轴的对称点为， 所以光线所经过的路程为. 74．一束光线从点射出，与直线相交于点．经直线反射，则反射光线所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出点关于直线的对称点，然后结合点可得直线方程. 【详解】设点关于直线的对称点，则， 解得，即点，故所求直线的斜率为， 所以，所求直线的方程为，即. 故选：A 75．一条光线从点射出，与直线相交于点，经反射后，经过点，则（    ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【分析】先求点关于直线的对称点为，利用对称得到，利用两点间距离公式计算求解. 【详解】设点关于直线的对称点，则中点在直线上， 且与直线垂直，的斜率为，则的斜率为. 根据垂直斜率关系，即. 将中点代入直线得， 将代入可得：，解得， 把代入得，所以， 所以. 故选：C. 76．在平面直角坐标系中，直线关于直线对称的直线的方程是（   ） A．3 B．3 C．3 D．3 【答案】A 【分析】先求两直线的交点，再求另一点的对称点根据两点可求方程. 【详解】由可得交点为， 在直线上取一点，设其关于直线的对称点为， 则，解得，即， 由两点式方程可得，即. 故选：A 77．直线关于直线对称的直线方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 利用关于直线的对称点为求解. 【详解】设为所求直线上的任意一点， 关于直线的对称点为， 则在直线上， 则，整理得到即为所求. 故选：B. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 直线方程 考点01 求直线斜率 考点02 利用直线与线段的相交求斜率范围 考点03 求直线方程 考点04 判断两条直线关系 考点05 利用两条直线关系求参数 考点06 利用两条直线关系求方程 考点07 直线与坐标轴围成图形的面积问题 考点08 直线过定点问题 考点09 求点到线的距离 考点10 求两条平行线的距离 考点11 已知距离求方程以及求参 考点12 点线、线线对称的问题 考点01 求直线斜率 1．经过两点，的直线的斜率为_________，倾斜角为_________. 2．已知直线经过点和，求直线的一个方向向量和法向量，并求直线的斜率和倾斜角． 3．直线经过、两点，且倾斜角是，则（    ） A． B． C． D． 4．直线经过两点，直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则的斜率为（   ） A． B． C． D． 5．直线经过点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 6．过点，的直线的斜率为1，那么m的值为（    ） A．1或4 B．4 C．1或3 D．1 考点02 利用直线与线段的相交求斜率范围 7．已知点，若过点的直线与线段相交，则直线斜率的取值范围是_________ ． 8．已知点，，若过的直线与线段相交，则实数的取值范围为（   ） A． B． C．或 D． 9．过点作直线，使得直线和连接点的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是________． 10．已知过点作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，直线l的倾斜角的取值范围为__________． 11．已知直线过点且与以为端点的线段有公共点，则直线斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 12．经过点作直线，若直线与连接两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点03 求直线方程 13．过点且在轴的截距相等的直线方程是_________ 14．四边形的顶点，，，，求这个四边形四条边所在的直线方程． 15．根据条件写出下列直线的点斜式方程： (1)经过点，倾斜角为； (2)经过原点，倾斜角为； (3)经过点，倾斜角为． 16．若是直线的一个法向量，则直线的倾斜角大小为__________． 17．直线在轴上的截距是_________． 18．已知直线过点，且与直线的夹角为，则直线的方程为______________. 考点04 判断两条直线关系 19．设，，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 20．下列直线中与直线平行的是（    ） A． B． C． D． 21．已知直线的倾斜角为，直线经过点，，则直线与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．平行或重合 D．重合 22．已知直线，则与的位置关系是（   ） A．平行 B．重合 C．相交但不垂直 D．垂直 23．直线和的位置关系是（   ） A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．重合 24．已知直线经过，两点，直线的斜率为，那么与（    ） A．平行 B．重合 C．垂直 D．相交但不垂直 考点05 利用两条直线关系求参数 25．已知直线：，直线：，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 26．若直线与直线平行，则（    ） A．3 B． C． D． 27．已知两条直线 和 (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值. 28．已知直线：与直线：平行，则实数的值为（   ） A．-1 B．0 C．3 D．-1或3 29．若直线与直线垂直，则m=（   ） A． B．15 C． D． 30．已知直线与直线垂直，则______． 考点06 利用两条直线关系求方程 31．经过点且与直线平行的直线方程为（    ） A． B． C． D． 32．（1）求经过直线和的交点，且平行于直线的直线方程； （2）已知点，若直线过点，且与线段相交，求直线的斜率的取值范围. 33．在轴上的截距为5，且与直线平行的直线的方程为__________. 34．过点且垂直于直线的直线方程为______． 35．已知三角形的三个顶点分别为、、； (1)求边上中线的方程， (2)过点作的垂线，垂足为，求直线的方程并求出点的坐标， 36．若点既是，所连线段的中点，又是直线与的交点，则线段AB的垂直平分线的方程是（    ） A． B． C． D． 考点07 直线与坐标轴围成图形的面积问题 37．在中顶点，边上的高所在直线的方程为，边上的中线所在直线的方程为. (1)求直线的方程； (2)求顶点、的坐标； (3)求的面积. 38．已知直线的方程为，若与轴的正半轴，轴的正半轴分别交于两点，为坐标原点，且的面积为2，则（    ） A． B．-1 C． D．0 39．已知直线过点，且与两个坐标轴的正半轴分别交于点、，为坐标原点，则面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 40．若直线与平行，求的值. 41．将直线绕其与轴的交点逆时针旋转得直线，求与两坐标轴所围成的三角形面积. 42．已知0＜k＜4，直线l1：kx﹣2y﹣2k+8=0和直线l2：2x+k2y﹣4k2﹣4=0与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的k值为（   ） A． B． C． D． 43．已知直线均过点． (1)若直线过点，且，求直线的方程； (2)若直线在轴和轴上的截距互为相反数，求直线的方程； (3)若直线与两坐标轴的正半轴能够围成三角形，求该三角形面积最小时直线的方程． 考点08 直线过定点问题 44．直线过定点________，倾斜角的最小值是________． 45．设点 ,，若直线与线段AB没有交点，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 46．设直线的方程为． (1)求经过定点的坐标； (2)若直线在轴上的截距是在轴上的截距的2倍，求直线的方程． 47．已知直线． (1)若直线不经过第四象限，求实数的取值范围； (2)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求直线的方程． 48．已知直线. (1)求证：直线过定点； (2)若直线不经过第四象限，求实数的取值范围； (3)当直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小时，求直线的方程. 49．已知直线的方程为． (1)求证：不论为何值，直线必过定点； (2)过点的直线交坐标轴正半轴于两点，当面积最小时，求的周长． 考点09 求点到线的距离 50．点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 51．已知的三个顶点是. (1)求边所在直线的方程； (2)求的面积. 52．已知的三个顶点的坐标分别为，，. (1)求点到直线的距离； (2)求边上的高所在直线的方程； (3)求边上的中线所在直线的方程. 53．写一个到直线：，：的距离相等的点的坐标_____． 54．点到直线的最大距离是______． 55．已知点，向量，若与直线垂直，则到直线的距离等于（    ） A．1 B． C．2 D． 考点10 求两条平行线的距离 56．直线与直线之间的距离为（   ） A． B． C． D． 57．平行线与之间的距离为________． 58．两平行直线与间的距离为______． 59．已知直线（其中）． (1)若直线与直线垂直，求直线的方程； (2)若直线与直线平行，求它们之间的距离． 60．若直线与平行，则与的距离为（   ） A． B．2 C．3 D．4 61．直线与直线间的距离为__________. 考点11 已知距离求方程以及求参 62．求下列直线方程： (1)已知直线经过直线和的交点，且到的距离为，求直线的方程； (2)求与直线平行且到距离为的直线方程． 63．若直线与直线间的距离为1，则__________. 64．若直线与直线：之间的距离是，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 65．已知直线经过定点且与直线垂直．若点和点到直线的距离相等，则实数的值为（   ） A．1或 B．1或 C． D．1 66．求以下直线方程 (1)已知直线若直线过点，且，求直线的方程； (2)已知直线经过点，且点和点到直线的距离相等，求直线的方程． 67．求下列直线方程： (1)已知直线过点，且与点，点的距离相等，求直线的方程． (2)已知直线经过点，且与坐标轴围成的三角形面积为2，求直线的方程． 68．若，分别为两平行直线：，：上任意一点，则的值为______；的最小值为______． 69．过两点作两条平行线，分别求满足下列条件的两条平行线方程． (1)两平行线间的距离为4； (2)这两条平行线各自绕点和点旋转，使它们之间的距离取最大值． 考点12 点线、线线对称的问题 70．一条光线从点射出后，与轴相交于点，经轴反射，则反射光线所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 71．一束光线从点出发，经直线反射后又经过点，则光线从点A到点B走过的路程为（    ） A．5 B． C．6 D． 72．古代数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点为，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再到军营的总路程最短，则将军在河边饮马的地点坐标为（   ）． A． B． C． D． 73．如图所示，已知，，从点射出的光线经直线反射后再射到直线上，最后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程是（    ） A． B．6 C． D． 74．一束光线从点射出，与直线相交于点．经直线反射，则反射光线所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 75．一条光线从点射出，与直线相交于点，经反射后，经过点，则（    ） A． B．4 C． D． 76．在平面直角坐标系中，直线关于直线对称的直线的方程是（   ） A．3 B．3 C．3 D．3 77．直线关于直线对称的直线方程是（　　） A． B． C． D． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $