专题02 圆的方程（高效培优期末专项训练）高二数学沪教版选择性必修第一册

专题02 圆的方程 考点01 求圆的方程 考点02 二元二次方程表示的曲线与圆的关系 考点03 点与圆的位置关系 考点04 求直线与圆的关系 考点05 利用直线与圆的关系求参数 考点06 利用直线与圆的位置关系求距离的最值 考点07 求圆的切线问题（在与过） 考点08 圆的弦长以及求参 考点09 切线长与切点弦的问题 考点10 两圆的位置关系判断以及求参数 考点11 公切线与公切线的长的问题 考点12 公共弦方程与公共弦的长的问题 考点13 圆内接三角形的面积 考点14 直线与圆的实际应用 考点01 求圆的方程 1．以为圆心且经过点的圆的标准方程为__________． 【答案】 【分析】先计算圆心到点的距离得到圆的半径，再代入圆的标准公式即可求解. 【详解】根据两点间距离公式： ， 所以所求圆的标准方程为. 2．过点的面积最小的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】圆的面积最小时线段为直径，圆心为线段的中点，坐标为，半径为， 故所求的圆的标准方程为． 3．已知圆C过点，，，则圆C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设圆的标准方程为， 将，，代入圆的方程中可得，解得， 故圆的标准方程为 4．若直线与两坐标轴的交点为A，B，则过A、B及原点O三点的圆的方程是________． 【答案】 【分析】设圆的方程，代入三点即可求出. 【详解】由题可得，设圆的方程为， 则，解得， 则所求圆的方程为. 5．在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为、、. (1)求边的高线的直线方程； (2)求边的垂直平分线的直线方程； (3)求的外接圆方程. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求出直线的斜率，根据可得出直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程； （2）求出线段的中点的坐标，求出直线的斜率，根据可求得直线的斜率，再利用斜截式方程可得出直线的方程； （3）设的外接圆的方程为，将三个顶点的坐标代入圆的方程，可得出关于、、的方程组，解出这三个未知数的值，即可得出所求圆的方程. 【详解】（1）因为，且，故直线的斜率为， 因为经过，所以直线的方程为，即. （2）因为线段的中点，且，， 故直线的斜率为，所以直线的方程为，即. （3）设的外接圆的方程为， 因为，解得， 所以的外接圆方程为. 6．已知点． (1)求外接圆的一般方程． (2)为坐标原点，求直线与直线夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设圆的一般方程为，将点代入方程，列出方程组，求得的值，即可求解； （2）根据题意，求得向量，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）设圆的一般方程为， 将点代入上式， 可得，即， 解得， 所以圆的方程为. （2）由，可得， 所以， 设直线与直线所成的角为， 则， 所以直线与直线所成的角的余弦值为. 考点02 二元二次方程表示的曲线与圆的关系 7．若方程为圆的方程，则的值为______. 【答案】1 【分析】根据圆的方程的形式，得，再代入验证求解. 【详解】若方程表示圆，则，即， 当时，方程，即，为圆的方程，成立， 当时，方程，即，不是圆的方程，故舍去， 所以 8．若方程表示圆，则整数m的值为（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】B 【分析】根据二元二次方程表示圆的判别式结合一元二次不等式计算求解. 【详解】因为方程表示圆， 则，即得，解得， 则整数m的值为. 9．已知，方程表示圆，则圆心的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【详解】因为方程表示圆，所以，解得或. 当时，方程化为，此时，方程不表示圆； 当时，方程化为，即，所得圆的圆心坐标为. 综上，圆心坐标为. 10．若方程表示一个圆，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆的一般方程的要求列不等式求解即可. 【详解】方程表示一个圆，则，解得. 故选：D. 11．方程表示圆，的取值范围为_____ 【答案】 【分析】由方程表示圆列出不等式，直接求解即可. 【详解】因为方程表示圆， 所以，化简得. 所以的取值范围为. 故答案为：. 12．已知曲线表示圆，则实数的值为（    ） A．2 B．1 C．1或2 D．-1或-2 【答案】A 【分析】根据圆的一般方程特征列出关系式求解后，再代回检验即可. 【详解】若曲线表示圆，则，解得或. 检验： 若，则曲线，整理得，不能表示圆，故舍去； 若，则曲线，整理得，可以表示圆，故保留. 故选：A. 考点03 点与圆的位置关系 13．若点在圆的外部，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆的一般方程及点与圆的位置关系可得不等式，解不等式即可． 【详解】由已知圆，则， 又点在圆外，则， 即， 解得， 故选：B． 14．点在圆外，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据方程表示圆及点在圆外得到不等式，求出k的取值范围. 【详解】由题意可知：表示圆， 可得：，解得， 又在圆外，所以，得， 所以k的取值范围为. 故选：C 15．点与圆的位置关系为（    ） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．与的值有关 【答案】C 【分析】将点的坐标代入圆的方程即可判断得到结果. 【详解】， 在圆外， 故选：C. 16．若两直线与的交点在圆的内部，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出交点坐标，再利用点与圆的位置关系求的范围即可. 【详解】联立与得，， 则两直线交点坐标为， 因两直线的交点在圆的内部，则，得， 故实数的取值范围是. 故选：B 17．点关于直线的对称点在圆内，则实数的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据题意利用轴对称的性质算出对称点Q的坐标，结合点Q在已知圆的内部，建立关于的不等式，解出实数的取值范围． 【详解】设与关于直线对称，则，解得，即， 因为在圆的内部， 所以，解得，即实数的取值范围是． 故答案为：． 18．已知点，圆的方程为. (1)若A，B中有一点在圆内，另一点在圆外，求实数的取值范围； (2)若线段AB的中点在圆上，判断圆与圆的位置关系． 【答案】(1) (2)圆与圆是相交关系 【分析】（1）分别计算出A，B与圆心之间的距离，结合一内一外列不等式即可求解； （2） 先求AB中点坐标，代入圆方程得半径，再计算两圆圆心距，与半径和、半径差比较，判断两圆位置关系. 【详解】（1）圆心，则， ， 所以，故点在圆外，点在圆内， ，即的取值范围为； （2）∵线段AB的中点在圆上， ，即． 又， ，故圆与圆是相交关系. 考点04 求直线与圆的关系 19．判断直线与圆的位置关系（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【答案】B 【分析】根据点到直线的距离公式，结合直线与圆的位置关系判断即可． 【详解】圆中，圆心坐标为，半径， 直线即， 所以圆心到直线的距离， 故该直线与圆相切． 20．已知圆C：与直线：，则圆C与直线的位置关系为（   ） A．相交 B．相离 C．相切 D．相交或相切 【答案】A 【详解】圆C：的圆心为，半径为， 圆心到：的距离 ， 则圆C与相交，故A正确.. 21．直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 【答案】A 【详解】圆的圆心为，半径为2． 因为圆心到的距离为，所以与圆相离． 22．直线与圆的位置关系为（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．与m的取值有关 【答案】A 【详解】圆，则圆心，半径， 所以圆心C到直线l的距离，所以直线l与圆C相交． 23．已知点在圆外，则直线与圆的位置关系为（ ） A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交 【答案】C 【分析】先根据点与圆的位置关系得出，再根据点到直线距离公式判断出直线与圆的位置关系． 【详解】由题知，圆的圆心为，半径为， 因为点在圆外， 所以，则， 到直线的距离， 所以直线与圆相交． 24．直线：与圆C：的位置关系是（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 【答案】A 【分析】先求出圆心及半径，再应用圆心到直线距离与半径比较即可判断直线与圆的位置关系. 【详解】圆C的圆心坐标为，半径为2， 直线的方程为，圆心到直线的距离为， 所以直线与圆C的位置关系是相交. 故选:A. 考点05 利用直线与圆的关系求参数 25．已知圆C：，直线l：，若l与C有公共点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出圆心到直线的距离，利用直线与圆有交点列不等式求解即可 【详解】由题圆C：，圆心， 圆心到直线l：的距离为， 若l与C有公共点，则 26．已知直线：，：，若圆C的圆心在x轴正半轴上，且与直线，都相切，则圆C的标准方程为__________. 【答案】 【分析】设轴正半轴上圆心为，由圆与两直线相切得圆心到两直线距离相等，去掉分母化简得，舍去不合题意的得，再求出半径平方，即可写出圆的标准方程. 【详解】设圆的圆心为，其中，半径为. 因为圆与直线和都相切， 则圆心到两条直线的距离均等于半径，即，. 化简得，即. 因为，分情况讨论：当时，解得； 当时，解得，不符合，舍去. 将代入距离公式，得，则. 所以圆的标准方程为. 27．已知直线，圆，则“”是“与圆相切”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用直线与圆相切求出的值，再利用集合的包含关系判断即可. 【详解】若直线与圆相切，且圆的圆心为坐标原点，半径为，则， 整理可得，可得，解得或， 因为是的真子集，故“”是“与圆相切”的充分不必要条件. 28．若圆上存在两个不同的点，直线上存在一点，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用直线与圆的位置关系以及点到直线的距离公式建立不等式解出即可. 【详解】设圆，则该圆的圆心为，半径为， 对于圆上两不同点，根据圆的性质，当为圆的切线时，最大， 若，则在中，，则， 所以若直线上存在一点，使得， 则等价于圆心为到直线的距离， 即，解得：， 所以实数的取值范围是. 29．设，若关于的方程有两个不相等的实根，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】将方程的根的个数问题转化为两个函数图象的交点个数问题求解即可. 【详解】关于的方程有两个不相等的实根，即方程有两个不相等的实根. 所以的图象与函数的图象有两个交点. 的图象恒过定点，且直线的斜率，作出的图象，如图所示.    当直线经过点时，直线与的图象恰好有两个交点，此时直线的斜率. 当直线与半圆相切于点时，此时圆心到直线的距离，解得. 由图象可得，当直线的斜率由逐渐增大到时，此时直线与半圆始终有两个交点，符合题意，故的取值范围是. 考点06 利用直线与圆的位置关系求距离的最值 30．若直线与曲线恰有三个不同的公共点，则实数的取值范围为____________. 【答案】 【分析】首先变形曲线，并画出曲线的图象，再根据直线恒过点，利用数形结合，结合临界值，求实数的取值范围. 【详解】由题意得，所以，当时，曲线为； 当时，曲线为， 显然为半圆，如图所示， 易得直线经过定点，当直线与相切时， ，,所以，易得， 故当时，直线与曲线恰有三个公共点，即的取值范围为． 31．已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上，设点在圆上，点在直线上，则的最小值为_____ 【答案】 【分析】根据题意，利用待定系数法，求得圆的标准方程，结合直线与圆的位置关系，以及圆的性质，即可求解. 【详解】设圆的标准方程为， 因为圆经过和点，且圆心在直线上， 可得，解得：， 所以圆的标准方程为. 又因为圆到直线的距离为， 所以直线与圆相离，所以的最小值为. 32．圆上的点到直线距离的最大值是（   ） A．7 B．5 C．3 D．2 【答案】A 【详解】圆的圆心，半径， 直线可化为， 令，得，故直线过定点， 由图知，当且仅当时，点到直线距离取得最大值：， 故圆上的点到直线距离最大值为. 33．已知圆上的点到直线的距离为1，则满足条件的点的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆心到直线的距离， 又因为圆的半径为，则劣弧的中点到直线的距离为， 故到直线的距离为1的点共有4个.    34．直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围为_____． 【答案】 【详解】直线变形得，则直线恒过， 变形得，是单位圆的上半部分， 当半圆与直线相切时，， 解得（舍）或， 设，，则， 由直线和半圆的图象可以知， 当时，直线与半圆没有公共点； 当时，直线与半圆切于一点； 当时，直线与半圆有两个交点； 当时，直线与半圆有一个交点； 当时，直线与半圆没有公共点； 所以当直线与半圆有两个交点时，. 35．已知直线，若为圆上任意一点，则到的距离最大值为（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】C 【分析】求出直线所过定点，结合图形分析即可. 【详解】，可知直线过定点，设定点为. 将点代入圆方程，，所以点在圆外， 先固定，设圆心为，则，半径， 过点作直线的垂线，垂足为， 当与直线不垂直时，根据直角三角形的边长关系可知，， 所以当且仅当时，取得最大值，此时， 而点到点的最大值为（当点位于的延长线上时取到）， 所以最大值为. 36．已知圆：，直线：，设为圆上的一动点，则点到直线的最大距离为（   ） A．4 B．5 C．7 D．13 【答案】C 【分析】先求得圆心到直线的最大距离，再根据圆周上的点到直线距离的最大值为即可求解． 【详解】由题意得圆心，半径为3， 因为直线：，所以直线过定点， 数形结合可知，圆心到直线的最大距离， 所以点到直线的最大距离为． 考点07 求圆的切线问题（在与过） 37．圆在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出过点的半径所在直线的斜率，由垂直关系得切线斜率，从而可得切线方程． 【详解】圆的标准方程是，圆心坐标是, 过点的半径所在直线的斜率, 所以所求切线斜率为，切线方程为，即． 38．圆O是以直线恒过的定点为圆心，半径为3的圆. (1)求经过点的圆的弦的中点P的轨迹方程； (2)求经过点的圆的切线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出直线所过定点及圆的方程，再利用圆的性质确定点P的轨迹，进而求出方程. （2）确定点与圆的位置关系，再利用圆的切线性质求出切线方程. 【详解】（1）直线恒过定点，则圆的方程为， 而，则点在圆内，当点与点都不重合时，， 点在以线段为直径的圆上，当点与点之一重合时，点也在此圆上， 所以点P的轨迹方程为，即. （2）由，得点在圆上，直线的斜率为， 所以经过点的圆的切线方程为，即. 39．过圆上一点的切线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为圆心为，所以， 而切线与垂直，则切线斜率为， 可得所求切线方程为，即. 40．已知圆，过点作圆的两条切线，则这两条切线的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，设过点的切线与圆的切点分别为，连接， 易得，在中，，则， 故这两条切线的夹角为. 41．设直线过点，且与圆相切，则直线的方程为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【详解】圆的圆心，半径，直线过点， 而圆心到直线的距离为1，因此直线是圆的一条切线； 当直线的斜率存在时，设其方程为，即， 由，解得，方程为， 所以直线的方程为或. 42．已知圆，则过点且与圆相切的直线方程为______. 【答案】或 【分析】分析可知切线的斜率存在，设切线的方程为，利用圆心到直线的距离等于圆的半径可得出关于的方程，解之可得出切线的方程. 【详解】圆的标准方程为，该圆圆心为，半径为， 因为，即点在圆外， 若切线的斜率不存在时，此时切线方程为，则圆心到该直线的距离为，不符合题意； 所以切线的斜率存在，设切线的方程为，即， 由题意可得，整理可得，解得或， 故所求切线的方程为或，即或. 考点08 圆的弦长以及求参 43．已知直线：和圆：相交于A、B两点，则弦长______． 【答案】 【分析】求出圆心和半径，利用点到直线的距离公式可求圆心到直线的距离，再利用勾股定理可得弦长. 【详解】圆方程可化为，圆心，半径. 弦心距， 所以. 44．已知直线与圆交于，两点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．2 【答案】C 【分析】根据直线过定点，结合弦长公式计算即可． 【详解】由可变形为，则该直线过定点， 又可变形为，该圆的圆心为，半径为， 设圆心到直线的距离为，则， 所以当直线与直线垂直，即最大时，最小， 又的最大值为,所以， 故的最小值为． 45．已知直线，圆，直线与圆交于，两点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定直线恒过的圆内定点，再利用弦长公式，结合“圆心到直线的距离最大时弦长最小”的几何性质求解. 【详解】将直线 整理为 ， 令 ，得直线 恒过定点 . 圆 的圆心为 ，半径 ， ，故点 在圆 内. 设圆心 到直线 的距离为 ，弦长 . 要使 最小，需 取最大值. 当 时，， 此时 . 46．若斜率为1的直线，被圆截得的弦长为，则该直线方程为____________． 【答案】或 【分析】由点到直线距离公式及垂径定理列出方程即可求解． 【详解】设直线方程为，圆的圆心，半径， 圆心到直线的距离， 由垂径定理得或， 所以直线方程为或． 47．直线与圆相交于两点且，则（   ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据直线与圆相交时的弦长公式求解即可. 【详解】设圆心到直线的距离为， 则， 由题意可得圆的半径， 且有， 所以，， 所以， 即， 即， 解得. 48．已知圆，直线与圆相交于，两点，当取最小值时，的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定的直线方程求出定点坐标，再确定定点与圆的位置关系，求出过定点的圆的直径斜率即可得解. 【详解】直线，由，得， 显然无论取什么实数，直线都过点， 将化为标准形式， 因为，所以点在圆内， 而圆的圆心，由圆的性质知，当时，弦AB的长取最小值， 又直线的斜率，所以. 考点09 切线长与切点弦的问题 49．已知圆心为C的圆经过，，且圆心C在直线上，过点作圆C的一条切线，则切线长为_______. 【答案】 【详解】设圆心坐标为：，圆的半径为，圆的方程为：， 因为圆过，，且圆心在直线上， 联立方程： ，解得：， 所以圆的方程为：， 则， 所以切线长为. 50．过点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两点间距离公式可得，即可由勾股定理求解，由三角形面积公式即可求解. 【详解】由 可得， 所以，进而可得， 故， 所以四边形的面积为. 51．已知圆，直线，过直线上的点作圆的切线 （为切点），则的最小值为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【详解】直线圆心到直线的距离为． 又为切线长，而， 当取最小值时，的值最小， 故． 52．已知直线是圆的对称轴，过点作圆的一条切线，切点为，则_____． 【答案】7 【分析】先利用圆的对称轴过圆心求出的值，再根据切线长公式即可求得结果. 【详解】由圆，可得， 所以圆心，半径为， 又由直线是圆的对称轴，即直线过圆心， 即，解得，即， 则，所以切线长为. 53．过作圆的两条切线，设切点分别为，则直线的方程为___________． 【答案】 【详解】解法一：由图可知，， 所以，所以直线方程为． 解法二：，所以四点均在以为直径的圆上，圆心为，半径为，故圆方程为， 由，得，所以直线方程为． 解法三：直线方程为，即， 故答案为． 54．过点作圆的切线，切点分别为，，则直线的方程为____________. 【答案】 【分析】根据切线的性质易判断，，，四点共圆，且圆心为中点，半径为，进而可以求出新的圆的方程，直线即为公共弦所在的直线，方程即为两个圆方程的差，代入计算即可. 【详解】由题意知，圆心为，半径，点在圆外面， 由切线的性质定理可知，，，即， 所以点，在以为直径的圆上，即，，，四点共圆，且圆心为中点，半径， 设圆心为，根据中点坐标公式，则为，半径， 所以圆的方程为， 因此直线即为圆与圆公共弦所在的直线，方程为两个圆方程的差， 即，化简得， 所以直线的方程为. 考点10 两圆的位置关系判断以及求参数 55．圆与圆的位置关系是（     ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】C 【分析】将两圆的一般方程化为标准方程，求得圆心坐标与半径，计算圆心距后与两半径的和、差比较，即可判断两圆位置关系。 【详解】对于圆：，配方得，故圆心，半径； 对于圆：，配方得，故圆心，半径； 显然两圆圆心距， 两半径之差为，两半径之和为， 显然满足，即，因此两圆相交. 56．圆：与圆：的位置关系是（   ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】D 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 而， 所以圆与圆内切. 57．若圆：与圆：外切，则（   ） A．1 B．2 C．9 D．1或9 【答案】A 【分析】利用两圆外切的性质列方程求解即得. 【详解】圆：的圆心为，半径为， 而圆：的圆心为，半径为， 因两圆外切，则，解得. 故选：A. 58．已知圆. (1)若直线过点，且与圆C相切，求直线的方程； (2)若圆D的半径为1，圆心在直线上，且与圆C外切，求圆D的方程. 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）求出已知圆的圆心和半径，然后按照直线的斜率存在和不存在两种情况分类讨论，进而利用圆心到直线的距离等于半径列方程求解即可； （2）由题意设，利用两圆外切列方程求得或，代入圆的标准方程即可求解. 【详解】（1）圆，化为标准方程为， 所以圆C的圆心为，半径为5， ①若直线的斜率不存在，即直线为，符合题意； ②若直线的斜率存在，设直线的方程为，即. 由题意知，圆心到已知直线的距离等于半径5， 所以，即，解得，所以直线方程为. 综上，所求直线的方程为或； （2）由圆心D在直线上，故设圆D的圆心为， 又已知圆C的圆心为，半径为5， 由两圆外切，可知，所以， 解得或， 所以或，              所以所求圆D的方程为或. 59．若圆上总恰好存在两个点到点的距离为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件，将问题转化成圆与圆有两个交点，再由圆与圆的位置关系，即可求解. 【详解】圆的圆心为，半径为3， 以为圆心，为半径的圆的方程为， 由题意可知，两圆有两个公共点，即两圆相交，所以， 解得，即或． 所以实数b的取值范围是． 60．已知直线平分圆：的面积，圆与圆：外切，则（   ） A． B． C．6 D．7 【答案】C 【分析】由直线过圆心得出，再根据外切得出圆心间距离即可求解参数. 【详解】由题意知，圆的圆心在直线上，则，解得， 所以圆的标准方程为，圆心为，半径为1. 又圆的标准方程为，圆心为，半径为， 因为圆与外切，所以，解得. 考点11 公切线与公切线的长的问题 61．已知圆：与圆：有且仅有三条公切线，则的值为__________． 【答案】 【详解】圆：的圆心为，半径， 与圆：的标准形式为， 圆心为，半径为，，即， 圆心距为：， 已知两圆有且仅有三条公切线，则两圆外切，则： ，故，即， 两边平方得，解得． 62．已知关于直线对称， ，则与的公切线的数量为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】，则，半径， 因为关于直线对称， 所以在上，则有，解得，则， ，则，半径， ，，，故与相交， 则与的公切线的数量为，故选项B正确. 63．设直线，圆，若直线与都相切，则方程为__________． 【答案】 【分析】利用直线与圆相切，得到和，联立方程即可求解出结果． 【详解】因为的圆心为，半径为， 的圆心为，半径为， 又直线与均相切， 所以①，②，由①②得到，即有， 两边平方得，即， 又，所以，即， 代入①式得到，解得， 所以方程为． 64．已知圆与圆相内切，则与的公切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两圆内切求出圆的半径，分析可知公切线与直线垂直，据此可设公切线的方程为，即，利用直线与圆相切可得出关于的方程组，求出的值，即可得出所求公切线的方程. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的标准方程为，则，可得， 其圆心为，半径为， 因为，即圆心在圆外，故圆内切于圆， 故， 易知公切线与直线垂直，且，故公切线的斜率为， 设公切线的方程为，即， 所以，解得，所以两圆公切线方程为. 故选：D. 65．已知圆和圆，则圆与公切线段的长度为__________. 【答案】2 【分析】由圆和圆的圆心和半径确定两圆位置关系，从而得到轴为与的一条公切线，确定与轴相切的点坐标，即可得公切线段的长度. 【详解】圆的圆心为，半径， 则轴为的切线，切点为， 圆的圆心，半径， 则轴为的切线，切点为， 如图所示： 又， 则，故两圆相交，则轴为圆与的一条公切线， 公切线段的长度为. 故答案为：2. 66．若圆与圆（a，）有且仅有一条公切线，则从点到圆的切线长为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】两圆只有一条公切线可得两圆内切，，再利用圆的切线长的公式可解. 【详解】由题，圆与圆内切，所以，即，所以点， 又圆的半径为1，所以切线长为， 故选：C． 考点12 公共弦方程与公共弦的长的问题 67．已知圆与圆交于A，B两点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】两圆方程直接作差，整理可得所求直线方程. 【详解】易知两圆相交，两圆方程作差，， 即， 化简可得直线的方程为. 68．圆与圆的公共弦长为__________． 【答案】 【分析】两圆的方程相减，求得公共弦所在的直线方程为，结合点到直线的距离公式和圆的弦长公式，即可求解. 【详解】由圆与圆， 两圆的方程相减，可得，即， 即圆与的公共弦所在的直线方程为， 又由圆，可得圆心，半径为， 则圆心到直线的距离为， 所以两圆的公共弦长为. 69．在平面直角坐标系中，已知圆：和圆：交于两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】联立方程组求出公共直线的方程，计算原点到直线的距离，根据圆心角与弦心距、半径的关系求出的大小. 【详解】 联立方程组，可得直线的方程， 原点到直线的距离为， 在中，过作的垂线，垂足为，则为的中点， ， 在中，， 所以， 所以. 70．已知圆与圆相交于两点，则直线的方程为___________． 【答案】 【详解】因为两点坐标同时满足圆与圆的方程， 所以将圆与圆两式相减，可得直线的方程为 71．圆与圆的公共弦的长为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【详解】将圆与圆的方程作差可得， 所以两圆相交弦所在直线的方程为， 圆的圆心为原点，半径为， 原点到直线的距离为， 所以两圆的公共弦长为. 72．已知圆，圆，则圆和圆的公共弦长为________. 【答案】 【分析】先用两圆方程相减得到公共弦方程，再用点到直线的距离公式求出圆心到公共弦的距离，最后用勾股定理即可求解. 【详解】圆 ，圆心为，半径为； 圆 ，圆心为，半径为； 圆心距， 因为，所以两圆相交. 两圆方程相减得公共弦方程为：，即， 故圆心到公共弦的距离， 公共弦长为：. 考点13 圆内接三角形的面积 73．直线与圆交于，两点，且的面积为2，则________． 【答案】3或 【详解】圆化为标准形式，圆心，半径； 面积（为圆心到直线的距离）， 由，得，即，解得； 圆心到直线的距离，即，解得或． 74．直线与圆相交于两点，当面积最大时，的值为（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【分析】利用点到直线的距离公式和弦长公式可以求出的面积是关于的一个式子，利用基本不等式即可求出答案. 【详解】圆心到直线的距离， 则弦长， ， 当且仅当，即时， 面积取得最大值. 75．已知O为坐标原点，直线2x+3my+1 =0与圆 交于A，B两点，若 的面积为 则m=_____. 【答案】 【详解】∵ 圆的圆心为原点，半径， ∴ ， 设， 则. ∵ ， ∴ ，解得. ∵ ，∴ 或. 过点作于点，则为圆心到直线的距离，且. 在中，. 当时，；当时，. 由点到直线的距离公式，圆心到直线的距离，故舍去. ∴ ，解得，即. 76．已知圆过点，，圆心在直线上. (1)求的标准方程； (2)直线与交于，两点，点为上任意一点，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意设圆的标准方程为.将两点的坐标代入方程，求出的值，即可得解； （2）求出圆心到直线的距离，再利用几何法求出弦长，分析出点到直线的最大距离为，再根据三角形的面积公式计算即可得解. 【详解】（1）因为圆心在直线上，所以设圆心为，半径为， 则圆的标准方程为. 因为圆过点，， 所以，即. 将上面两式相减，消去，可得，解得， 将其代入，解得. 所以圆的标准方程为； （2）    由（1）知圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离为， 则，要使面积的最大， 只须点到直线的距离最大，最大距离为， 故面积的最大值为. 考点14 直线与圆的实际应用 77．树林的边界是直线l（如图所在的直线），一只兔子在河边喝水时发现了一只狼，兔子和狼分别位于l的垂线上的点A和点B处，（a为正常数），若兔子沿方向以速度2μ向树林逃跑，同时狼沿线段方向以速度μ进行追击（μ为正常数），若狼到达M处的时间不多于兔子到达M处的时间，狼就会吃掉兔子.则兔子的所有不幸点（即可能被狼吃掉的点）的区域面积为__________；若兔子要想不被狼吃掉，则的取值范围为_____________ 【答案】 【分析】建立直角坐标系，由得，由此求圆的面积；设及题意知直线AD与所得圆相离，根据直线与圆的位置关系列出不等式即可求得斜率k的取值范围，从而求得的范围. 【详解】建立如图所示直角坐标系，设， 由，即，整理得， 所以M在以为圆心，半径为的圆及其内部， 所以； 设，由题意该直线与所在的圆相离， 由，得， 所以，由图知. 故答案为：. 78．中国拱桥一般分为圆弧线型、抛物线型和悬链线型．如图在一个圆弧线型拱桥中，圆拱跨度米，拱高米，现有一船，宽8米，露出水面的高度为米，则下列数据中能安全过桥的最高值为（   ）米（参考数据：） A．3.0 B．3.1 C．3.2 D．3.3 【答案】B 【分析】建立平面直角坐标系，设图中矩形EFGH为船刚好能通过桥下时的位置，先求得圆的方程，再将代入求得纵坐标判断. 【详解】如图，以圆拱桥横跨水面上的正投影为轴，过桥的最高点垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系，设图中矩形EFGH为船刚好能通过桥下时的位置， 则，，， 设圆拱桥所在圆的方程为， 由已知得：；， 解得，. 故圆的方程为， 令，解得（负根舍去），， 可得题目数据中能安全过桥的最高值为3.1（米）. 故选：B 79．如图，这是某圆弧形山体隧道的示意图，其中底面的长为16米，最大高度的长为4米，以C为坐标原点，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系. (1)求该圆弧所在圆的方程. (2)若某种汽车的宽约为2.5米，高约为1.5米，车辆行驶时两车的间距要求不小于0.5米以保证安全，同时车顶不能与隧道有剐蹭，则该隧道最多可以并排通过多少辆该种汽车？（将汽车看作长方体） 参考数据： 【答案】(1) (2)4辆 【分析】（1）根据圆的几何性质确定圆心的位置，结合垂径定理与勾股定理求圆心与半径，即可求得圆弧所在圆的方程； （2）确定汽车通过的最大宽度，再分析可得最多可以并排通过该种汽车数量. 【详解】（1）由圆的对称性可知，该圆弧所在的圆的圆心在y轴上， 设圆心为，设该圆的半径为r米，又，     则，∴，     ∴，     ∴圆弧所在的圆的方程为. （2）设与该种汽车等高且能通过该隧道的最大宽度为d米， ∴，∴     若并排通过5辆该种汽车，则安全通行的宽度应为， 故该隧道不能并排通过5辆该种汽车，     若并排通过4辆该种汽车，则安全通行的宽度应为， 则该隧道可以并排通过4辆该种汽车，     综上所述，该隧道最多可以并排通过4辆该种汽车. 80．已知实数满足方程.求： (1)的最大值和最小值； (2)的最大值和最小值； (3)的最大值和最小值． 【答案】(1)最大值为，最小值为 (2)最大值为，最小值为 (3)最大值为，最小值为 【分析】（1）根据圆心坐标和半径可知表示圆上的点与原点连线的斜率，再由直线与圆相切即可得出结果； （2）令，可知其几何意义表示直线在轴上的截距，由点到直线距离计算可得结果； （3）易知表示圆上的点与原点距离的平方，又圆心到原点的距离为2，得出圆上的点到原点距离的最大值和最小值，再平方即可. 【详解】（1）原方程表示以点为圆心，为半径的圆． 设，即，则当直线与圆相切时，斜率取得最大值和最小值， 此时，解得， 故的最大值为，最小值为. （2）设，即， 则当直线与圆相切时，纵截距取得最大值和最小值， 此时，解得， 故的最大值为，最小值为. （3）易知表示圆上的点与原点距离的平方． 由平面几何知识知，它在原点与圆心所在的直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值． 又圆心到原点的距离为2， 故，. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 圆的方程 考点01 求圆的方程 考点02 二元二次方程表示的曲线与圆的关系 考点03 点与圆的位置关系 考点04 求直线与圆的关系 考点05 利用直线与圆的关系求参数 考点06 利用直线与圆的位置关系求距离的最值 考点07 求圆的切线问题（在与过） 考点08 圆的弦长以及求参 考点09 切线长与切点弦的问题 考点10 两圆的位置关系判断以及求参数 考点11 公切线与公切线的长的问题 考点12 公共弦方程与公共弦的长的问题 考点13 圆内接三角形的面积 考点14 直线与圆的实际应用 考点01 求圆的方程 1．以为圆心且经过点的圆的标准方程为__________． 2．过点的面积最小的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 3．已知圆C过点，，，则圆C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 4．若直线与两坐标轴的交点为A，B，则过A、B及原点O三点的圆的方程是________． 5．在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为、、. (1)求边的高线的直线方程； (2)求边的垂直平分线的直线方程； (3)求的外接圆方程. 6．已知点． (1)求外接圆的一般方程． (2)为坐标原点，求直线与直线夹角的余弦值． 考点02 二元二次方程表示的曲线与圆的关系 7．若方程为圆的方程，则的值为______. 8．若方程表示圆，则整数m的值为（   ） A．2 B．1 C．0 D． 9．已知，方程表示圆，则圆心的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 10．若方程表示一个圆，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．方程表示圆，的取值范围为_____ 12．已知曲线表示圆，则实数的值为（    ） A．2 B．1 C．1或2 D．-1或-2 考点03 点与圆的位置关系 13．若点在圆的外部，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 14．点在圆外，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 15．点与圆的位置关系为（    ） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．与的值有关 16．若两直线与的交点在圆的内部，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 17．点关于直线的对称点在圆内，则实数的取值范围是________． 18．已知点，圆的方程为. (1)若A，B中有一点在圆内，另一点在圆外，求实数的取值范围； (2)若线段AB的中点在圆上，判断圆与圆的位置关系． 考点04 求直线与圆的关系 19．判断直线与圆的位置关系（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 20．已知圆C：与直线：，则圆C与直线的位置关系为（   ） A．相交 B．相离 C．相切 D．相交或相切 21．直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 22．直线与圆的位置关系为（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．与m的取值有关 23．已知点在圆外，则直线与圆的位置关系为（ ） A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交 24．直线：与圆C：的位置关系是（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 考点05 利用直线与圆的关系求参数 25．已知圆C：，直线l：，若l与C有公共点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 26．已知直线：，：，若圆C的圆心在x轴正半轴上，且与直线，都相切，则圆C的标准方程为__________. 27．已知直线，圆，则“”是“与圆相切”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 28．若圆上存在两个不同的点，直线上存在一点，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 29．设，若关于的方程有两个不相等的实根，则的取值范围是________． 考点06 利用直线与圆的位置关系求距离的最值 30．若直线与曲线恰有三个不同的公共点，则实数的取值范围为____________. 31．已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上，设点在圆上，点在直线上，则的最小值为_____ 32．圆上的点到直线距离的最大值是（   ） A．7 B．5 C．3 D．2 33．已知圆上的点到直线的距离为1，则满足条件的点的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 34．直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围为_____． 35．已知直线，若为圆上任意一点，则到的距离最大值为（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 36．已知圆：，直线：，设为圆上的一动点，则点到直线的最大距离为（   ） A．4 B．5 C．7 D．13 考点07 求圆的切线问题（在与过） 37．圆在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 38．圆O是以直线恒过的定点为圆心，半径为3的圆. (1)求经过点的圆的弦的中点P的轨迹方程； (2)求经过点的圆的切线方程. 39．过圆上一点的切线方程是（    ） A． B． C． D． 40．已知圆，过点作圆的两条切线，则这两条切线的夹角为（    ） A． B． C． D． 41．设直线过点，且与圆相切，则直线的方程为（    ） A． B．或 C． D．或 42．已知圆，则过点且与圆相切的直线方程为______. 考点08 圆的弦长以及求参 43．已知直线：和圆：相交于A、B两点，则弦长______． 44．已知直线与圆交于，两点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．2 45．已知直线，圆，直线与圆交于，两点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 46．若斜率为1的直线，被圆截得的弦长为，则该直线方程为____________． 47．直线与圆相交于两点且，则（   ） A．1 B． C．2 D．3 48．已知圆，直线与圆相交于，两点，当取最小值时，的值为（   ） A． B． C． D． 考点09 切线长与切点弦的问题 49．已知圆心为C的圆经过，，且圆心C在直线上，过点作圆C的一条切线，则切线长为_______. 50．过点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 51．已知圆，直线，过直线上的点作圆的切线 （为切点），则的最小值为（   ） A． B． C．2 D．4 52．已知直线是圆的对称轴，过点作圆的一条切线，切点为，则_____． 53．过作圆的两条切线，设切点分别为，则直线的方程为___________． 54．过点作圆的切线，切点分别为，，则直线的方程为____________. 考点10 两圆的位置关系判断以及求参数 55．圆与圆的位置关系是（     ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 56．圆：与圆：的位置关系是（   ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 57．若圆：与圆：外切，则（   ） A．1 B．2 C．9 D．1或9 58．已知圆. (1)若直线过点，且与圆C相切，求直线的方程； (2)若圆D的半径为1，圆心在直线上，且与圆C外切，求圆D的方程. 59．若圆上总恰好存在两个点到点的距离为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 60．已知直线平分圆：的面积，圆与圆：外切，则（   ） A． B． C．6 D．7 考点11 公切线与公切线的长的问题 61．已知圆：与圆：有且仅有三条公切线，则的值为__________． 62．已知关于直线对称， ，则与的公切线的数量为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 63．设直线，圆，若直线与都相切，则方程为__________． 64．已知圆与圆相内切，则与的公切线方程为（   ） A． B． C． D． 65．已知圆和圆，则圆与公切线段的长度为__________. 66．若圆与圆（a，）有且仅有一条公切线，则从点到圆的切线长为（   ） A．1 B． C． D．2 考点12 公共弦方程与公共弦的长的问题 67．已知圆与圆交于A，B两点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 68．圆与圆的公共弦长为__________． 69．在平面直角坐标系中，已知圆：和圆：交于两点，则（    ） A． B． C． D． 70．已知圆与圆相交于两点，则直线的方程为___________． 71．圆与圆的公共弦的长为（    ） A．2 B． C．4 D． 72．已知圆，圆，则圆和圆的公共弦长为________. 考点13 圆内接三角形的面积 73．直线与圆交于，两点，且的面积为2，则________． 74．直线与圆相交于两点，当面积最大时，的值为（    ） A．2 B． C． D．4 75．已知O为坐标原点，直线2x+3my+1 =0与圆 交于A，B两点，若 的面积为 则m=_____. 76．已知圆过点，，圆心在直线上. (1)求的标准方程； (2)直线与交于，两点，点为上任意一点，求面积的最大值. 考点14 直线与圆的实际应用 77．树林的边界是直线l（如图所在的直线），一只兔子在河边喝水时发现了一只狼，兔子和狼分别位于l的垂线上的点A和点B处，（a为正常数），若兔子沿方向以速度2μ向树林逃跑，同时狼沿线段方向以速度μ进行追击（μ为正常数），若狼到达M处的时间不多于兔子到达M处的时间，狼就会吃掉兔子.则兔子的所有不幸点（即可能被狼吃掉的点）的区域面积为__________；若兔子要想不被狼吃掉，则的取值范围为_____________ 78．中国拱桥一般分为圆弧线型、抛物线型和悬链线型．如图在一个圆弧线型拱桥中，圆拱跨度米，拱高米，现有一船，宽8米，露出水面的高度为米，则下列数据中能安全过桥的最高值为（   ）米（参考数据：） A．3.0 B．3.1 C．3.2 D．3.3 79．如图，这是某圆弧形山体隧道的示意图，其中底面的长为16米，最大高度的长为4米，以C为坐标原点，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系. (1)求该圆弧所在圆的方程. (2)若某种汽车的宽约为2.5米，高约为1.5米，车辆行驶时两车的间距要求不小于0.5米以保证安全，同时车顶不能与隧道有剐蹭，则该隧道最多可以并排通过多少辆该种汽车？（将汽车看作长方体） 参考数据： 80．已知实数满足方程.求： (1)的最大值和最小值； (2)的最大值和最小值； (3)的最大值和最小值． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $