专题07 计数原理（4大考点35题）（期末真题汇编，上海专用）高二数学下学期

**基本信息** 聚焦计数原理四大高频考点，精选上海多校期末调研真题，35题分层覆盖排列、组合、古典概率应用及二项式定理。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |填空题|23|排列（节目出场顺序）、组合（选送志愿者）、二项式定理（系数计算）|基础题为主，注重概念直接应用| |解答题|6|组合（分层抽样概率）、古典概率（成绩统计）、二项式定理（系数规律探究）|综合题结合统计情境，如身高调查、成绩分析| |单选题|3|组合（充要条件判断）、排列（出游安排方案）|考查逻辑推理，如“至少一天同时出现”的方案数|

专题07 计数原理（4大考点35题） 4大高频考点概览 考点01排列 考点02组合 考点03计数原理在古典概率中的应用 考点04 二项式定理 一、填空题 地 城 考点01 排列 1．(24-25高二下·上海宜川中学·期末)某校艺术节汇演，已知高一，高二，高三分别选送了3，2，2个节目，若高一的节目彼此都不相邻，则共计有__________种不同的出场顺序. 2．(24-25高二下·上海闵行区五校联考·调研)从5名同学中选2名分别去A、B两个不同地点做志愿者，不同的安排方案种数为________． 3．(24-25高二下·上海桃浦中学·期末)在由1，2，3，4这四个数组成的无重复数字的三位数中，偶数的概率为______． 4．(23-24高二下·上海中学·)将 的所有排列按如下方式排序： 首先比较从左至右第一个数的大小，较 大的排列在后； 若第一个数相同， 则比较第二个数的大小， 较大的排列在后， 依此类 推． 按这种排序方式，排列2，3，4，5，6，1的后一个排列是___________． 5．(23-24高二下·上海延安中学·期末)若，则正整数______. 二、解答题 6．(24-25高二下·上海普陀区长征中学·期末)在某次社会实践活动中，学校高二年级有甲、乙等7名同学排成一列照相，求下列排法种数. (1)甲乙两人不相邻； (2)甲在排头并且乙不在末尾. 地 城 考点02 组合 一、单选题 7．(24-25高二下·上海松江区·期末)已知是正整数，“ ”是 “ ” 的（    ） A．充要条件 B．充分非必要条件 C．必要非充分条件 D．既非充分又非必要条件 8．(24-25高二下·上海闵行区五校联考·调研)北京的小王和深圳的小李是好朋友，两人恰好都计划于2025年国庆节的7天假期中，到上海连续游玩三日，他们约定至少有一天同时出现在上海，则他们不同的出游安排方案共有（   ） A．12种 B．13种 C．19种 D．21种 9．(24-25高二下·上海静安区·期末)下列关于排列组合的等式成立的个数为（   ）． ① ； ②；③；④ A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 10．(24-25高二下·上海七宝中学·期末)已知，当取最大值时，从这100个实数中任取两个数，则这两个数的和不大于10的概率是__________．（用最简分数表示） 11．(24-25高二下·上海华东师范大学第二附属中学·期末)从3名男生和2名女生中选出3人去比赛,则至少有1名女生的选法共__________种． 12．(24-25高二下·上海松江区·期末)5 名篮球队员甲、乙、丙、丁、戊，排成一排. 若甲不能站在排头，乙不能站在排尾，则不同的排法有_____种. 13．(24-25高二下·上海闵行区五校联考·调研)已知，若，则________． 14．(24-25高二下·上海普陀区长征中学·期末)把这五个数随机地排成一列组成一个数列，要求该数列恰好先递减后递增，则这样的数列共有__________个. 三、解答题 15．(24-25高二下·上海松江区·期末)为增强学生的数学应用能力，学校举行了一次 “数学应用能力竞赛” . 为了解参加本次竞赛学生的成绩情况， 从中抽取了部分学生的成绩( 得分取正整数， 满分100分 )作为样本 (样本容量为)进行统计，按照的分组作出频率分布直方图，并作出部分样本分数的茎叶图(茎叶图中仅列出了得分在的数据)， 如图所示.       (1)求样本容量和频率分布直方图中的值，并估测本次竞赛学生成绩的平均数；(备注:当没有提供每个数据的精确值，只提供了它们所在的区间时，为计算平均数，可用区间的中点值给区间内的每个数据赋值.) (2)在内按分层抽样的方法抽取8名学生的成绩，从这8名学生中随机抽取2人，求至少1名学生的成绩在的概率. 16．(24-25高二下·上海虹口区·期末)某校为了解学生的身高情况，从高一、高二、高三三个年级中采用分层抽样的方法抽取了100名学生进行调查，其中高一、高二、高三的学生人数之比为4：3：3． (1)求从高一、高二、高三各年级抽取的学生人数； (2)从抽取的100名学生中随机选取2人协助工作人员调查，求这2人来自不同年级的概率(用最简分数表示)； (3)经过调查，抽取的高二学生身高的平均数为，方差为60，其中被抽中的小李身高是．试求除去小李后其余被抽中的高二学生身高的平均数与方差(结果精确到0.1) 17．(24-25高二下·上海静安区·期末)从某学校随机抽取100名学生作为样本进行学生体重分布情况调查．得到频数分布表（体重单位：kg）（假设在每一区间内，体重数据均匀分布，用区间中点值估计区间内含有的数据） 分组 频数 5 25 40 20 10 (1)估计样本的中位数； (2)从样本区间和中按分层抽样抽取6名学生，再从这6人中随机抽取3人，求其中2人体重在，1人体重在的概率． 地 城 考点03 计数原理在古典概率中的应用 一、填空题 18．(24-25高二下·上海奉贤区·期末)某班要选举班干部，现有10名候选人，从这10名候选人中任选5人组成班委，有________种不同的选法.（结果用数字表示） 19．(24-25高二下·上海虹口区·期末)从甲、乙等7名学生中选派4名学生参加演讲比赛，则甲和乙至少一人参加的概率为_____． 二、解答题 20．(24-25高二下·上海青浦区·调研)某校为了增强学生的身体素质，积极开展体育锻炼，并给学生的锻炼情况进行测评打分.现从中随机选出100名学生的成绩（满分为100分），按分数分为，共6组，得到如图所示的频率分布直方图.    (1)求的值； (2)现采用分层抽样的方式从和的学生中抽取名学生参加运动交流会，大会上需要从这名学生中随机抽取名学生进行经验交流发言，求抽取的名发言者分数差大于分的概率. 地 城 考点04 二项式定理 一、填空题 21．(24-25高二下·上海大同中学·期末)设，则的值为________． 22．(24-25高二下·上海宜川中学·期末)在的展开式中，的系数是__________（结果用数字表示）． 23．(24-25高二下·上海七宝中学·期末)若二项式的展开式中，所有的奇数次幂项的系数和为，则实数__________． 24．(24-25高二下·上海松江区·期末)在探究 展开式的二项式系数性质时，我们把二项式系数写成一张表，借助它发现二项式系数的一些规律， 我们称这个表为杨辉三角 (如图 1). 现进行类比探究， 将 的展开式按 的升幂排列，将各项系数列表如下(如图 2):         1     1     图 1                                     图 2 图 2 表中第 行的第 个数用 表示，即 展开式中 的系数为 ，以下四个结论: ① ; ② ; ③ ; ④ ，正确的有__________. 25．(24-25高二下·上海松江区·期末)若的二项展开式中所有项的系数之和与二项式系数之和的比为 64，则二项展开式中项的系数是__________ . 26．(24-25高二下·上海嘉定区·期末)在的二项展开式中，系数最大的项是______． 27．(24-25高二下·上海曹杨第二中学·)已知，则______. 28．(24-25高二下·上海建平中学·期末)已知且且则________． 29．(24-25高二下·上海奉贤区·期末)在的二项展开式中系数最大的项的系数是________（结果用数字表示） 30．(24-25高二下·上海闵行区五校联考·调研)的二项展开式中，常数项为________．（用数字作答） 31．(24-25高二下·上海静安区·期末)_______． 32．(23-24高二下·上海交通大学附属中学·期末)设（m、n为正整数）对任意实数x都成立，若，则的最小值为______. 33．(24-25高二下·上海青浦区·调研)的展开式中含项的系数为_____. 二、解答题 34．(24-25高二下·上海华东师范大学第二附属中学·期末)在的展开式中，把的系数记作，称为三项式系数．数列，，……称为三项式n次系数列，如三项式0次系数列为1，三项式1次系数列为1，1，1． (1)试写出三项式的2次和3次系数列； (2)类比杨辉三角形中的规律，探究三项式系数的规律（不需要给出证明）； (3)写出两个三项式n次系数列的性质(不需要给出证明)． 35．(23-24高二下·上海交通大学附属中学·期末)设，其中n是正整数，a为正实数． (1)设，若展开式中含项的系数与含的系数相等，求展开式中的常数项； (2)设，，求展开式中系数最大项的系数（保留组合数以及2的幂）． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 计数原理（4大考点35题） 4大高频考点概览 考点01排列 考点02组合 考点03计数原理在古典概率中的应用 考点04 二项式定理 一、填空题 地 城 考点01 排列 1．(24-25高二下·上海宜川中学·期末)某校艺术节汇演，已知高一，高二，高三分别选送了3，2，2个节目，若高一的节目彼此都不相邻，则共计有__________种不同的出场顺序. 【答案】1440 【分析】不相邻问题运用插空法求解即可，即先将高二的2个节目和高三2个节目全排列，再把高一的3个节目插入高二和高三节目所成的5个空中的4个，根据分步乘法计数原理即可求解. 【详解】先将高二的2个节目和高三2个节目全排列，共有种方法； 再把高一的3个节目插入高二和高三节目所成的5个空中的3个，共有种方法， 根据分步乘法计数原理可知共有种不同的出场顺序. 故答案为：. 2．(24-25高二下·上海闵行区五校联考·调研)从5名同学中选2名分别去A、B两个不同地点做志愿者，不同的安排方案种数为________． 【答案】 【分析】根据排列的知识求得正确答案. 【详解】从5名同学中选2名分别去A、B两个不同地点做志愿者， 不同的安排方案种数为. 故答案为：. 3．(24-25高二下·上海桃浦中学·期末)在由1，2，3，4这四个数组成的无重复数字的三位数中，偶数的概率为______． 【答案】/ 【分析】利用排列组合先确定无重复的三位数，再分别计算个位是2和4时的情况，由古典概率求解可得. 【详解】首先无重复的三位数共有个， 当个位是2时，有； 同理当个位是4时，也有， 所以偶数的概率为. 故答案为： 4．(23-24高二下·上海中学·)将 的所有排列按如下方式排序： 首先比较从左至右第一个数的大小，较 大的排列在后； 若第一个数相同， 则比较第二个数的大小， 较大的排列在后， 依此类 推． 按这种排序方式，排列2，3，4，5，6，1的后一个排列是___________． 【答案】2,3,4,6,1,5 【分析】通过比较各个位数得出后一个排列. 【详解】根据题意，已知排列与后一个排列位置关系应当由最后两个数进行大小比较得来的，但是将后两个数比较所得排列为2,3,4,5,1,6， 根据规则，此排列应该为已知排列的前一个排列。 因此，应当从第四个数开始比较，前三个数相同，第四个数比5大，然后要保证第五个数尽量小.即2,3,4,6,1,5. 故答案为：2,3,4,6,1,5. 5．(23-24高二下·上海延安中学·期末)若，则正整数______. 【答案】5 【分析】根据排列数公式，展开求解，即得答案. 【详解】由，得， 即， 故答案为：5 二、解答题 6．(24-25高二下·上海普陀区长征中学·期末)在某次社会实践活动中，学校高二年级有甲、乙等7名同学排成一列照相，求下列排法种数. (1)甲乙两人不相邻； (2)甲在排头并且乙不在末尾. 【答案】(1)3600 (2)600 【分析】（1）利用插空法求解即可； （2）先排甲乙，剩余5人全排列即可. 【详解】（1）先排其余人，有种情况， 再把甲乙插入人之间的个空中，共有种， 所以共有种排法； （2）首先排甲有种排法，再排乙有种排法，排其余人有种情况， 所以共有种排法. 地 城 考点02 组合 一、单选题 7．(24-25高二下·上海松江区·期末)已知是正整数，“ ”是 “ ” 的（    ） A．充要条件 B．充分非必要条件 C．必要非充分条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B 【分析】首先判断充分性是否成立，即讨论在的条件下，是否成立；随后判断必要性是否成立，即讨论在的条件下，是否成立. 【详解】充分性证明：当时，，， 故，充分性成立； 必要性证明：当时，可得或， 解得或，故必要性不成立. 综上，“ ”是 “ ” 的充分不必要条件. 故选：B. 8．(24-25高二下·上海闵行区五校联考·调研)北京的小王和深圳的小李是好朋友，两人恰好都计划于2025年国庆节的7天假期中，到上海连续游玩三日，他们约定至少有一天同时出现在上海，则他们不同的出游安排方案共有（   ） A．12种 B．13种 C．19种 D．21种 【答案】C 【分析】利用对立事件的方法求得正确答案. 【详解】记出行日期为， 则两人的出行日期为，各有种方法， 所以两人出行的总的方案数有种， 其中，两人没有同一天的为： 小王，小李； 小王，小李； 小王，小李； 小王，小李； 共种，则至少有一天同时出现在上海的有种. 故选：C 9．(24-25高二下·上海静安区·期末)下列关于排列组合的等式成立的个数为（   ）． ① ； ②；③；④ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据排列，组合的定义，逐一分析各个等式即可. 【详解】对①，由，可知等式①不成立； 对②，由阶乘的定义，得，等式②成立； 对③，由排列组合的定义可知：等式左边， 等式右边，等式③成立； 对④，等式左边, 等式右边=， 与左边相等，等式④成立. 综上，等式②、③、④成立，等式①不成立，成立的个数为 3. 故选：C 二、填空题 10．(24-25高二下·上海七宝中学·期末)已知，当取最大值时，从这100个实数中任取两个数，则这两个数的和不大于10的概率是__________．（用最简分数表示） 【答案】 【分析】要使，则需方差最大，为此应尽可能多取1和10，则可得44个10，55个1，1个5可满足题意，据此可得答案. 【详解】平均数，方差为，则要使取最大值，需方差最大， 则应尽可能多取1和10，假设这组数中有个1，则有个10， 有，解得. 若取45个10，55个1，则和为505，不满题意； 取44个10，55个1，1个5，和为500，满足题意， 设从中任取两个数，和为，则 两数和不大于10，即. 故答案为： 11．(24-25高二下·上海华东师范大学第二附属中学·期末)从3名男生和2名女生中选出3人去比赛,则至少有1名女生的选法共__________种． 【答案】9 【分析】分别求出从5名学生中选3名学生的选法总数，及所选出的3名学生中没有女生的选法总数，二者相减，可得到答案. 【详解】从3名男生和2名女生中选出3人，共有种选法， 若所选出的3名代表中没有女生，则有种选法， 所以所选出的3名代表中至少有1名女生的选法共有种. 故答案为：9 12．(24-25高二下·上海松江区·期末)5 名篮球队员甲、乙、丙、丁、戊，排成一排. 若甲不能站在排头，乙不能站在排尾，则不同的排法有_____种. 【答案】 【分析】根据题意，分为两类：甲在排尾和甲不在排尾，两种情况讨论，结合排列数、组合数的公式，进行计算，即可求解. 【详解】甲不能站在排头，乙不能站在排尾，可分为两类： （1）甲在排尾，其他任意排列，共有种不同的排法； （2）甲不在排尾，甲有种，此时乙有种，其他任意排列有种， 所以甲不能站在排头，乙不能站在排尾，共有种不同的排法. 故答案为：. 13．(24-25高二下·上海闵行区五校联考·调研)已知，若，则________． 【答案】或 【分析】根据组合数的知识求得的范围，然后结合组合数的性质求得正确答案. 【详解】依题意，，解得， 由于，所以或， 解得或. 故答案为：或 14．(24-25高二下·上海普陀区长征中学·期末)把这五个数随机地排成一列组成一个数列，要求该数列恰好先递减后递增，则这样的数列共有__________个. 【答案】14 【分析】根据数列的单调性确定在的两侧，然后根据那些数字在的右侧进行分类讨论，从而求得正确答案. 【详解】依题意，数列恰好先递减后递增，所以在的两侧， 从中选出一个数排在的右侧，其余排在的左侧， 得到先减后增的数列有， 从中选出两个数排在的右侧，其余排在的左侧，得到先减后增的数列有， 从中选出三个数排在的右侧，其余排在的左侧，得到先减后增的数列有， 故满足条件的数量总个数为个. 故答案为： 三、解答题 15．(24-25高二下·上海松江区·期末)为增强学生的数学应用能力，学校举行了一次 “数学应用能力竞赛” . 为了解参加本次竞赛学生的成绩情况， 从中抽取了部分学生的成绩( 得分取正整数， 满分100分 )作为样本 (样本容量为)进行统计，按照的分组作出频率分布直方图，并作出部分样本分数的茎叶图(茎叶图中仅列出了得分在的数据)， 如图所示.       (1)求样本容量和频率分布直方图中的值，并估测本次竞赛学生成绩的平均数；(备注:当没有提供每个数据的精确值，只提供了它们所在的区间时，为计算平均数，可用区间的中点值给区间内的每个数据赋值.) (2)在内按分层抽样的方法抽取8名学生的成绩，从这8名学生中随机抽取2人，求至少1名学生的成绩在的概率. 【答案】(1)，70.46 (2) 【分析】（1）根据给定条件的频率分布直方图及茎叶图求出，再估算平均数. （2）利用分层抽样求出给定3个区间内的人数，再利用对立事件的概率公式求出概率. 【详解】（1）由茎叶图知，得分在的频数分别为， 由频率分布直方图知，得分在的频率为，因此， ，由，得， 所以； 各组的平均数分别是54.5，65，75，85，93.5，相应的频率分别是0.16，0.3，0.4，0.1，0.04， 所以估测本次竞赛学生成绩的平均数. （2）设在内的人数分别是，抽取的人数分别是 ， 由，解得； 由，解得， 所以从这8名学生的成绩中随机抽取2名，至少1名学生的成绩在的概率是. 16．(24-25高二下·上海虹口区·期末)某校为了解学生的身高情况，从高一、高二、高三三个年级中采用分层抽样的方法抽取了100名学生进行调查，其中高一、高二、高三的学生人数之比为4：3：3． (1)求从高一、高二、高三各年级抽取的学生人数； (2)从抽取的100名学生中随机选取2人协助工作人员调查，求这2人来自不同年级的概率(用最简分数表示)； (3)经过调查，抽取的高二学生身高的平均数为，方差为60，其中被抽中的小李身高是．试求除去小李后其余被抽中的高二学生身高的平均数与方差(结果精确到0.1) 【答案】(1)高一抽取的学生人数为40人，高二抽取的学生人数为30人，高三抽取的学生人数为30人 (2) (3)； 【分析】（1）根据分层抽样计算即可； （2）根据对立事件与互斥事件，转化为求来自高一，高二，高三的概率即可得解； （3）根据平均值与方差的定义，利用已知30人的平均值与方差计算即可得解. 【详解】（1）高一抽取的学生人数为人， 高二抽取的学生人数为人， 高三抽取的学生人数为人. （2）. （3）设从高二学生中抽出的30人的身高分别为， 则由条件，这30人身高的平均数为， 身高的方差为． 设小李的身高为，则除去小李后其余被抽中的29位高二学生的身高平均 数、方差分别为， 17．(24-25高二下·上海静安区·期末)从某学校随机抽取100名学生作为样本进行学生体重分布情况调查．得到频数分布表（体重单位：kg）（假设在每一区间内，体重数据均匀分布，用区间中点值估计区间内含有的数据） 分组 频数 5 25 40 20 10 (1)估计样本的中位数； (2)从样本区间和中按分层抽样抽取6名学生，再从这6人中随机抽取3人，求其中2人体重在，1人体重在的概率． 【答案】(1)65 (2) 【分析】（1）根据中位数定义易得； （2）根据分层抽样确定抽取的6人中中应抽取4人，在中应抽取2人，再运用古典概型概率公式计算即得. 【详解】（1）因体重有序样本的第50个值和第51个值都在内，所以估计样本的中位数为. （2）样本和中分别有40人和20人，分层抽样按照2:1抽取6人， 即从样本中抽取4人，在中抽取2人. 6人抽取3人，其中2人体重在，1人体重在的概率为：. 地 城 考点03 计数原理在古典概率中的应用 一、填空题 18．(24-25高二下·上海奉贤区·期末)某班要选举班干部，现有10名候选人，从这10名候选人中任选5人组成班委，有________种不同的选法.（结果用数字表示） 【答案】252 【分析】根据给定条件，利用组合计数问题列式计算. 【详解】从这10名候选人中任选5人组成班委，不同选法种数是. 故答案为：252 19．(24-25高二下·上海虹口区·期末)从甲、乙等7名学生中选派4名学生参加演讲比赛，则甲和乙至少一人参加的概率为_____． 【答案】 【分析】应用组合数及对立事件的概率求法求概率即可. 【详解】由题设，4名学生来自甲乙以外其它5人有种， 所以甲和乙至少一人参加的概率为. 故答案为： 二、解答题 20．(24-25高二下·上海青浦区·调研)某校为了增强学生的身体素质，积极开展体育锻炼，并给学生的锻炼情况进行测评打分.现从中随机选出100名学生的成绩（满分为100分），按分数分为，共6组，得到如图所示的频率分布直方图.    (1)求的值； (2)现采用分层抽样的方式从和的学生中抽取名学生参加运动交流会，大会上需要从这名学生中随机抽取名学生进行经验交流发言，求抽取的名发言者分数差大于分的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据矩形面积和为求出； （2）利用抽样比得出在中抽取人，在中抽取人，再利用古典概型的概率公式即可. 【详解】（1）根据题意可得 解得； （2）和的学生的频率之比为， 在中抽取人，在中抽取人， 要从这名学生中随机抽取名学生进行经验交流发言，一共有种结果， 而抽取的名发言者分数差大于分有种结果， 抽取的名发言者分数差大于分的概率为. 地 城 考点04 二项式定理 一、填空题 21．(24-25高二下·上海大同中学·期末)设，则的值为________． 【答案】 【分析】由二项式定理即可得解. 【详解】由二项式定理得， 所以. 故答案为：. 22．(24-25高二下·上海宜川中学·期末)在的展开式中，的系数是__________（结果用数字表示）． 【答案】0 【分析】根据多项式乘法展开式的原理及分步乘法计数原理和分类加法计数原理即可求解. 【详解】根据多项式乘法展开式的原理及分步乘法计数原理和分类加法计数原理可知：有以下几种方法得到： ①从的个括号中选个，的个括号中选个； ②从的个括号中选个，的个括号中选个； ③从的个括号中选个，的个括号中选个； ④从的个括号中选个，的个括号中选个； ∴的系数为：. 故答案为：. 23．(24-25高二下·上海七宝中学·期末)若二项式的展开式中，所有的奇数次幂项的系数和为，则实数__________． 【答案】 【分析】设，通过赋值和，即可求解. 【详解】设， 令， 令， 故， 即. 故答案为： 24．(24-25高二下·上海松江区·期末)在探究 展开式的二项式系数性质时，我们把二项式系数写成一张表，借助它发现二项式系数的一些规律， 我们称这个表为杨辉三角 (如图 1). 现进行类比探究， 将 的展开式按 的升幂排列，将各项系数列表如下(如图 2):         1     1     图 1                                     图 2 图 2 表中第 行的第 个数用 表示，即 展开式中 的系数为 ，以下四个结论: ① ; ② ; ③ ; ④ ，正确的有__________. 【答案】②③ 【分析】由图2得到，可直接判断①②③，对于④，运用赋值法分析计算即可判断； 【详解】依据题意结合图②可知图②中每一行的每一个数等于其上一行头顶和左、右肩上共三个数的和（没有的用0代替）， 如：第四行的第三个数10，等于上一行头顶上的数3加上左、右肩上的数1和6， 第三行中的第二个数3，等于上一行头顶上的数1加上左、右肩上的数0（左肩上没有数，故用0代替）和2， 所以， 对于①项，由上可得，故①项错误； 对于②项，由图可知， 依此类推可得，故②项正确； 对于③项，由上可知，，故③项正确； 对于④项，已知. 令，则， 即. 又因为. 由，展开式中的系数为. 而 ， 其展开式中的系数为，故④项错误. 故答案为：②③. 25．(24-25高二下·上海松江区·期末)若的二项展开式中所有项的系数之和与二项式系数之和的比为 64，则二项展开式中项的系数是__________ . 【答案】 【分析】令，求得展开式的所有项的系数之和为，再由二项式系数之和为，根据题意，列出方程，求得，进而求得展开式中项的系数. 【详解】令，可得二项式的展开式的所有项的系数之和为， 又由二项式的展开式的二项式系数之和为， 可得，即，解得，即二项式为， 则二项式的展开式中项的系数为. 故答案为：. 26．(24-25高二下·上海嘉定区·期末)在的二项展开式中，系数最大的项是______． 【答案】 【分析】二项式展开式列出系数不等式组计算求解即可得答案. 【详解】令第项的系数最大，则，解得， 因为，所以时，二项展开式中系数最大， 则二项展开式中系数最大的项为. 故答案为：. 27．(24-25高二下·上海曹杨第二中学·)已知，则______. 【答案】 【分析】由，结合通项公式即可求解系数. 【详解】， 的通项公式为：， 令，得，所以. 故答案为： 28．(24-25高二下·上海建平中学·期末)已知且且则________． 【答案】 【分析】根据组合数的性质和二项式定理对原式进行化简求和. 【详解】. 所以原式. 根据二项式定理，令，则. 所以原式. 故答案为：. 29．(24-25高二下·上海奉贤区·期末)在的二项展开式中系数最大的项的系数是________（结果用数字表示） 【答案】20412 【分析】根据二项展开式得到第项系数为，再利用二项式系数最大项的求法得出的值即可求最大项的系数. 【详解】的展开式通项为，则系数为， 设第项系数最大，则 即，解得，又，所以， 所以最大项系数为第7项，最大系数为. 故答案为：20412. 30．(24-25高二下·上海闵行区五校联考·调研)的二项展开式中，常数项为________．（用数字作答） 【答案】 【分析】根据二项式展开式的通项公式求得正确答案. 【详解】展开式的通项公式为， 令，解得， 所以常数项为. 故答案为： 31．(24-25高二下·上海静安区·期末)_______． 【答案】 【分析】根据二项式定理及逆用求解即得. 【详解】 . 故答案为：. 32．(23-24高二下·上海交通大学附属中学·期末)设（m、n为正整数）对任意实数x都成立，若，则的最小值为______. 【答案】25 【分析】利用组合数公式，表示和，再结合条件转化为二次函数求最值. 【详解】， 则， ，， 当或6时，的最小值是25. 故答案为：25 33．(24-25高二下·上海青浦区·调研)的展开式中含项的系数为_____. 【答案】 【分析】根据展开式的通项公式计算求解. 【详解】因为含展开式的通项为，所以含项的系数为. 故答案为：. 二、解答题 34．(24-25高二下·上海华东师范大学第二附属中学·期末)在的展开式中，把的系数记作，称为三项式系数．数列，，……称为三项式n次系数列，如三项式0次系数列为1，三项式1次系数列为1，1，1． (1)试写出三项式的2次和3次系数列； (2)类比杨辉三角形中的规律，探究三项式系数的规律（不需要给出证明）； (3)写出两个三项式n次系数列的性质(不需要给出证明)． 【答案】(1)答案见解析 (2)规律：每一个数等于它上面一行三个数的和 (3)答案见解析 【分析】（1）按照三项式n次系数列的定义即可得解； （2）按规律写出三项式系数即可发现规律； （3）通过赋值法即可发现规律. 【详解】（1）由题意， 三项式的2次系数列为：1 , 2 ,3 ,2,1；     三项式的3次系数列为：1,3,6 ,7,6 ,3,1； （2） 规律：每一行收尾均为1，其余数字每一个数等于它上面一行两个数或三个数的和. （3）性质1：在中，令，可得， 性质2：在中，令，可得. 35．(23-24高二下·上海交通大学附属中学·期末)设，其中n是正整数，a为正实数． (1)设，若展开式中含项的系数与含的系数相等，求展开式中的常数项； (2)设，，求展开式中系数最大项的系数（保留组合数以及2的幂）． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）当时,,由展开式中含项的系数与含的系数,可求得,进而可求得展开式中的常数项; （2）当时,,其通项,设第项的系数最大,列不等式求解即可. 【详解】（1）当时,, 其二项展开式的通项为, 展开式中含项的系数与含的系数相等, 又 , 展开式中的常数项为. （2）当时，, 其通项. 设第项的系数最大， 则， 整理得, 解得, 或. 经检验,. 展开式中系数最大项的系数为：或. / 学科网（北京）股份有限公司 $厨学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题07计数原理(4大考点35题) 目目 考点01 排列 1.1440 2.20 4.2,3,4,6,1,5 5.5 6.(1)3600 (2)600 目目 考点02 组合 7.B 8.C 9.C 45 11.9 12.78 13.1或2 14.14 15.(1)n=50,y=0.004,x=0.03,70.46 o4 16.(1)高一抽取的学生人数为40人，高二抽取的学生人数为30人，高三抽取的学生人数为30人 a号 (3)170.4;51.8 17.(1)65 o号 目目 考点03 计数原理在古典概率中的应用 18.252 厨学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 19. 20.(1)m=0.025 @号 目目 考点04 二项式定理 21.-160 22.0 23.1±√2 24.②③ 25.135 26.672x 27.60 28. n+1 29.20412 30.-20 31.-1 32.25 33.-160 34.(1)答案见解析 (2)规律：每一个数等于它上面一行三个数的和 (3)答案见解析 35.(1)15 (2)C382或C624