精品解析：2026年甘肃天水市天水麦积区联盟校中考联考模拟预测数学试题

2026年甘肃省初中学业水平考试冲刺卷（一） 数学 考生注意：本试卷共8页，满分为120分，考试时间为120分钟．所有试题均要求在答题卡上作答，否则无效． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项． 1. 中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家，早在我国秦汉时期的《九章算术》中就引入了负数．若在粮谷计算中，益实一斗（增加1斗）记为斗，那么损实七斗（减少7斗）记为（ ） A. 斗 B. 斗 C. 斗 D. 斗 2. 鲁班锁起源于我国古代建筑中的榫卯结构． 图（2）是六根鲁班锁图（1）中的一个构件，从前面看这个构件，可以得到的图形是（ ） A. B. C. D. 3. 下列整式计算正确的是（ ） A. B. C D. 4. 图1为我国高铁座位的实物图，图2是将其抽象得到的图形，座位和座椅靠背的夹角，小桌板支撑杆与桌面的夹角，则座椅靠背与小桌板支撑杆形成的夹角的度数是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，是的直径，弦交于点E，连接、．若，则（　　） A. 24° B. 28° C. 31° D. 32° 6. 网络是第五代移动通信网络，它将推动我国数字经济发展迈上新台阶．据预测，2020年到2030年中国直接经济产出和间接经济产出的情况如图所示，根据如图提供的信息，下列推断不合理的是（ ） A. 2024年直接经济产出比间接经济产出少3万亿元 B. 2020年到2030年，直接经济产出和间接经济产出都是逐年增长 C. 2030年间接经济产出大约为2020年间接经济产出的9倍 D. 2024年到2025年，间接经济产出的增长率和直接经济产出的增长率相同 7. 如图，在菱形中，对角线相交于点O，点E是的中点，若，则菱形的周长为（ ） A. 4 B. 16 C. 12 D. 20 8. 已知点，都在直线上，则，大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 9. 如图，用若干个全等正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是（ ） A. 15 B. 12 C. 10 D. 8 10. 如图1， 点E在正方形的边上， 且 点P沿从点 B运动到点D，设B，P两点间的距离为x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，若图象的最低点M的纵坐标为 则最高点N的纵坐标a的值为（ ） A. 6 B. C. D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 因式分解：______． 12. 分式方程的解为_______． 13. 对于实数a，b定义一种新运算“”如下：，例如，则关于x的方程的根为__________． 14. 某圆形喷水池中心O有一雕塑，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为，则两个水柱的最高点M，N之间的距离为__________m． 15. 临夏回族自治州的传统砖雕被称为“河州砖雕”，匠人常以扇面为外形，边框刻回纹（寓意连绵不绝、家道兴盛），内缘常嵌莲瓣/海棠等吉祥纹样（象征清净、吉庆）．如图1是一个砖雕，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图（阴影部分为花窗）．通过测量得到扇形的圆心角为，，点B，C分别为的中点，则花窗的弧长________m． 16. 如图，点E在正方形的对角线上，于点F，连接并延长，交边于点M，交边的延长线于点G，若，，则_________ ． 三、解答题：本大题共6小题，共33分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 解不等式组：． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 在中国古代，数学被称为“算术”或“九章之学”，而几何知识常用于天文、测地、建筑、乃至器物制作中．古人用“矩”、“规”巧妙地构建出各类精妙图形．在这样的背景下，匠人们常以尺规作图解决实际问题，体现“法天则地”的智慧精神． 如今，借助尺规来完成一道几何构造题： 如图，已知：，尺规作图得四边形．作图步骤如下： ①分别以B、C为圆心，大于的长为半径作弧，两条弧分别相交于点P，Q； ②作直线交于点D，连接； ③以B为圆心，的长为半径作弧，交直线于点E，连接． （1）请用上面方法，用没有刻度的直尺和圆规作出四边形．（不写作法，保留作图痕迹）； （2）若，，则四边形面积是__________． 21. 甘肃红色旅游承载着长征精神与革命记忆．小华走进甘肃多处红色景区，买到了四枚纪念徽章（A．会宁红军会师旧址、B．高台红西路军纪念馆、C．腊子口战役纪念馆、D．两当兵变纪念馆）．他将这四枚徽章分别装入四个相同的不透明袋子中．（B，C为圆形徽章，A，D不是圆形徽章） （1）小华从四个袋子中随机抽取一个，抽到C（腊子口战役纪念馆）的概率是________； （2）小华从四个袋子中随机抽取一个，不放回，再从剩下的三个袋子中随机抽取一个．请用树状图或列表法，求两次都抽到圆形徽章的概率． 22. 在甘肃省瓜州县戈壁难上，有一尊命名为“大地之子”的巨大雕塑格外显眼（如图①），雕塑的周边都是荒漠，而荒漠又是生态很脆弱的地方，在一定意义上说，这座雕塑警示人们要爱护好赖以生存的环境．某数学兴趣小组开展了测量“大地之子”高度的实践活动，具体过程如下： 【方案设计】如图②，点为雕塑的最高点，在雕塑头部和尾部选取两处，分别将无人机竖直向上飞至处观测点，通过无人机携带的观测设备测得无人机两次飞行高度及仰角和的度数（点均在同一竖直平面内，且三点在同一条直线上，）． 【数据收集】通过实地测量，地面上两点的距离为，，，． 【问题解决】求雕塑的最高点到地面的高度（结果保留一位小数，参考数据：） 根据上述方案及数据，请你完成求解过程． 四、解答题：本大题共5小题，共39分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 某学校组织八年级的学生进行篮球联赛．下面是甲、乙两名学生在10场比赛中的得分（单位：分）、篮板（单位：个）和助攻（单位：个）的数据． 甲、乙两名学生10场比赛的篮板数据： 甲 6 4 5 6 5 3 5 5 6 5 乙 2 8 7 5 3 5 7 6 4 3 甲、乙两名学生10场比赛的得分、篮板和助攻的平均数： 得分平均数 篮板平均数 助攻平均数 甲 乙 根据以上信息，回答下列问题： （1）场比赛中，甲学生篮板众数是______，乙学生篮板的中位数是______； （2）场比赛中，篮板更稳定的是______学生（填“甲”或“乙”）； （3）记某学生的得分为分，篮板为个，助攻为个．若的值越大，则认为该名学生的综合表现越好．根据以上信息，学生______在这10场比赛中的综合表现更好（填“甲”或“乙”） 24. 已知反比例函数的图像与正比例函数的图像交于点，点P在线段OA的延长线上． （1）求反比例函数的表达式； （2）如图，过点P作y轴的平行线l，与的图像交于点B，与轴交于点，当线段时，求点B的坐标． 25. 如图，为的直径，点是上一点，点是外一点，，连接交于点． （1）求证：是的切线． （2）若，求的长度． 26. 已知正方形，点E，F分别为边上两点． 【建立模型】 （1）如图1，连接，如果，求证：； 【模型应用】 （2）如图2，点E为边上一点，连接，作的垂直平分线交于点G，交于点F，若，，求的周长； 【模型迁移】 （3）如图3，将沿折叠，使点B落在上的点G处，与交于点M，若，，求的长． 27. 如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）如图①，点为第四象限内抛物线上一动点，连接，当时，求点的坐标； （3）如图②，连接是线段上的两个动点，且，连接，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年甘肃省初中学业水平考试冲刺卷（一） 数学 考生注意：本试卷共8页，满分为120分，考试时间为120分钟．所有试题均要求在答题卡上作答，否则无效． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项． 1. 中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家，早在我国秦汉时期的《九章算术》中就引入了负数．若在粮谷计算中，益实一斗（增加1斗）记为斗，那么损实七斗（减少7斗）记为（ ） A. 斗 B. 斗 C. 斗 D. 斗 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正数和负数，根据正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可求得答案． 【详解】解：若在粮谷计算中，益实一斗（增加1斗）记为斗，那么损实七斗（减少7斗）记为斗， 故选：C 2. 鲁班锁起源于我国古代建筑中的榫卯结构． 图（2）是六根鲁班锁图（1）中的一个构件，从前面看这个构件，可以得到的图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了从不同方向看几何体．找到从前面看到的图形即可． 【详解】解：从前面看这个构件，可以得到的图形是， 故选：C． 3. 下列整式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的除法，积的乘方，合并同类项、完全平方公式．根据同底数幂的除法，积的乘方，合并同类项、完全平方公式，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A、不能合并，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：C． 4. 图1为我国高铁座位的实物图，图2是将其抽象得到的图形，座位和座椅靠背的夹角，小桌板支撑杆与桌面的夹角，则座椅靠背与小桌板支撑杆形成的夹角的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质定理,熟练掌握两直线平行内错角相等是解题的关键． 由题意得，推出，即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∵， ∴ 故选：C． 5. 如图，是的直径，弦交于点E，连接、．若，则（　　） A. 24° B. 28° C. 31° D. 32° 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键． 连接，根据直径所对的圆周角是直角得出，同弧所对的圆周角相等可得，进而即可求解． 【详解】解：如图，连接， 是的直径， ， ， ， 故选：B． 6. 网络是第五代移动通信网络，它将推动我国数字经济发展迈上新台阶．据预测，2020年到2030年中国直接经济产出和间接经济产出的情况如图所示，根据如图提供的信息，下列推断不合理的是（ ） A. 2024年直接经济产出比间接经济产出少3万亿元 B. 2020年到2030年，直接经济产出和间接经济产出都是逐年增长 C. 2030年间接经济产出大约为2020年间接经济产出的9倍 D. 2024年到2025年，间接经济产出的增长率和直接经济产出的增长率相同 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了折线统计图，根据折线统计图数据逐一选项进行分析即可得到答案． 【详解】解：A、2024年直接经济产出比间接经济产出少万亿元，原推断合理，不符合题意； B、2020年到2030年，直接经济产出和间接经济产出都是逐年增长，原推断合理，不符合题意； C、2030年间接经济产出大约为2020年间接经济产出倍，原推断合理，不符合题意； D、2024年到2025年，间接经济产出的增长率为，直接经济产出的增长率为，二者不相同，原推断不合理，符合题意； 故选：D． 7. 如图，在菱形中，对角线相交于点O，点E是的中点，若，则菱形的周长为（ ） A. 4 B. 16 C. 12 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质以及三角形中位线定理的运用，关键是掌握：菱形的四条边都相等，菱形的两条对角线互相垂直平分．根据是的中位线，即可得到的长，然后根据菱形的周长公式计算即可得． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， 又点E是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴菱形的周长， 故答案选：B． 8. 已知点，都在直线上，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了比较一次函数的函数值的大小，掌握一次函数的增减性是解题关键．由题意得出随的增大而增大，结合即可得出答案． 【详解】解：直线， ， 随的增大而增大， 点，都在直线上，且， ， 故选：C． 9. 如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是（ ） A. 15 B. 12 C. 10 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正多边形内角和，掌握多边形内角和定理是解题的关键． 根据题意可得正五边形的每个内角的度数为，由此可得每个正五边形所对圆心角为，即可求解． 【详解】解：如图所示， ∴正五边形的每个内角的度数为，即， ∴， ∴，即每个正五边形所对圆心角为， ∵， ∴共需要正五边形的个数是10个， 故选：C ． 10. 如图1， 点E在正方形的边上， 且 点P沿从点 B运动到点D，设B，P两点间的距离为x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，若图象的最低点M的纵坐标为 则最高点N的纵坐标a的值为（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定、三角形三边之间的关系、勾股定理等，解题的关键是准确分析图1与图2的对应变化关系． 根据正方形的对角线的轴对称性得到，则得到y的最小值是AE，对应到图2中的最低点M的纵坐标，结合之间的关系及勾股定理可求得的长，再观察到当点P运动到D点时，y达到最大值a，勾股定理求得长，则可求得a的值． 【详解】连接， ∵四边形是正方形，是其对角线， ∴， 又， ∴， ∴， ， 连接交于点， （三角形两边之和大于第三边）． 当点P运动到时， ， 解得， ． 连接，则． 在图1中，当P运动到D点时，对应图2中最高点N，此时y取最大值a，， 故选：C． 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】先提公因式，再利用完全平方公式，即可解答． 本题考查了提公因式法和公式法进行因式分解，解决本题的关键是熟记提公因式法和公式法． 【详解】解； ． 故答案为：． 12. 分式方程的解为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解分式方程，原方程去分母后得到整式方程，求出整式方程的解，再进行检验判断即可． 【详解】解：， 移项得 ， 两边同乘 得 ， 即 ， 解得 ， 检验：当 时，分母 ，满足条件， 原分式方程的解为， 故答案为：． 13. 对于实数a，b定义一种新运算“”如下：，例如，则关于x的方程的根为__________． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，新定义，根据运算“”的定义将方程转化为一般式，然后根据因式分解法解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得，， 故答案为：，． 14. 某圆形喷水池中心O有一雕塑，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为，则两个水柱的最高点M，N之间的距离为__________m． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据已知易得：N点的坐标为和M点的坐标为，然后进行计算即可解答． 【详解】解：由二次函数的图象可知， 当时，， 故N点的坐标为； ∵从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同， ∴M点的坐标为， ∴之间的距离为． 故答案为：10． 15. 临夏回族自治州的传统砖雕被称为“河州砖雕”，匠人常以扇面为外形，边框刻回纹（寓意连绵不绝、家道兴盛），内缘常嵌莲瓣/海棠等吉祥纹样（象征清净、吉庆）．如图1是一个砖雕，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图（阴影部分为花窗）．通过测量得到扇形的圆心角为，，点B，C分别为的中点，则花窗的弧长________m． 【答案】 【解析】 【分析】根据弧长公式进行计算即可. 【详解】解：点为的中点，， ， 扇形的圆心角为， 花窗的弧长对应的圆心角为， 弧的长. 16. 如图，点E在正方形的对角线上，于点F，连接并延长，交边于点M，交边的延长线于点G，若，，则_________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．根据相似三角形的性质得出，进而在，勾股定理即可求解即可． 【详解】解：∵是正方形，， ∴，而，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵M为中点， ∴ ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得：． 故答案为：． 三、解答题：本大题共6小题，共33分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 ． 18. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【详解】解：， 由①，得； 由②，得； ∴不等式组的解集为. 19 先化简，再求值：，其中． 【答案】，2 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 根据分式的运算法则进行化简，再代入求值． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 20. 在中国古代，数学被称为“算术”或“九章之学”，而几何知识常用于天文、测地、建筑、乃至器物制作中．古人用“矩”、“规”巧妙地构建出各类精妙图形．在这样的背景下，匠人们常以尺规作图解决实际问题，体现“法天则地”的智慧精神． 如今，借助尺规来完成一道几何构造题： 如图，已知：，尺规作图得四边形．作图步骤如下： ①分别以B、C为圆心，大于的长为半径作弧，两条弧分别相交于点P，Q； ②作直线交于点D，连接； ③以B为圆心，的长为半径作弧，交直线于点E，连接． （1）请用上面方法，用没有刻度的直尺和圆规作出四边形．（不写作法，保留作图痕迹）； （2）若，，则四边形的面积是__________． 【答案】（1）图见解析 （2）80 【解析】 【分析】本题考查尺规作图—作垂线，作线段，菱形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据题干给出的作图方法作图即可； （2）证明四边形为菱形，菱形的性质结合勾股定理，求出菱形的面积即可． 小问1详解】 解：由题意，作图如下： 【小问2详解】 解：根据作图可得，垂直平分， ∴，， ∵由作图得，， ∴， ∴四边形是菱形， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积． 故答案为：80． 21. 甘肃红色旅游承载着长征精神与革命记忆．小华走进甘肃多处红色景区，买到了四枚纪念徽章（A．会宁红军会师旧址、B．高台红西路军纪念馆、C．腊子口战役纪念馆、D．两当兵变纪念馆）．他将这四枚徽章分别装入四个相同的不透明袋子中．（B，C为圆形徽章，A，D不是圆形徽章） （1）小华从四个袋子中随机抽取一个，抽到C（腊子口战役纪念馆）的概率是________； （2）小华从四个袋子中随机抽取一个，不放回，再从剩下的三个袋子中随机抽取一个．请用树状图或列表法，求两次都抽到圆形徽章的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 分析】（1）直接利用概率公式进行求解即可； （2）列出表格，利用概率公式进行求解即可. 【小问1详解】 解：随机抽取一个袋子，共有4种等可能的结果，抽到C的结果只有1种， 故抽到C的概率为； 【小问2详解】 解：由题意，列如下：  A B C D A A，B A，C A，D B B，A B，C B，D C C，A C，B C，D D D，A D，B D，C  由表可知，共有12种等可能的结果，其中两次都抽到圆形徽章的结果共2种， 故两次都抽到圆形徽章的概率为. 22. 在甘肃省瓜州县戈壁难上，有一尊命名为“大地之子”的巨大雕塑格外显眼（如图①），雕塑的周边都是荒漠，而荒漠又是生态很脆弱的地方，在一定意义上说，这座雕塑警示人们要爱护好赖以生存的环境．某数学兴趣小组开展了测量“大地之子”高度的实践活动，具体过程如下： 【方案设计】如图②，点为雕塑的最高点，在雕塑头部和尾部选取两处，分别将无人机竖直向上飞至处观测点，通过无人机携带的观测设备测得无人机两次飞行高度及仰角和的度数（点均在同一竖直平面内，且三点在同一条直线上，）． 【数据收集】通过实地测量，地面上两点的距离为，，，． 【问题解决】求雕塑的最高点到地面的高度（结果保留一位小数，参考数据：） 根据上述方案及数据，请你完成求解过程． 【答案】雕塑的最高点到地面的高度约为4.3米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． 根据题意，结合图形，在中表示出，在中表示出，结合已知条件，得到方程，解方程得到结果． 【详解】解：如图②，过点作于点，过点作于点， 设米，则米， 在中，米，， （米， （米， 在中，米，， （米， （米， ， 解得， （米， 答：雕塑的最高点到地面的高度约为4.3米． 四、解答题：本大题共5小题，共39分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 某学校组织八年级的学生进行篮球联赛．下面是甲、乙两名学生在10场比赛中的得分（单位：分）、篮板（单位：个）和助攻（单位：个）的数据． 甲、乙两名学生10场比赛的篮板数据： 甲 6 4 5 6 5 3 5 5 6 5 乙 2 8 7 5 3 5 7 6 4 3 甲、乙两名学生10场比赛的得分、篮板和助攻的平均数： 得分平均数 篮板平均数 助攻平均数 甲 乙 根据以上信息，回答下列问题： （1）场比赛中，甲学生篮板的众数是______，乙学生篮板的中位数是______； （2）场比赛中，篮板更稳定的是______学生（填“甲”或“乙”）； （3）记某学生的得分为分，篮板为个，助攻为个．若的值越大，则认为该名学生的综合表现越好．根据以上信息，学生______在这10场比赛中的综合表现更好（填“甲”或“乙”） 【答案】（1） （2）甲 （3）乙 【解析】 【分析】本题考查中位数、众数、平均数以及方差，理解中位数、众数、平均数以及方差的定义，掌握中位数、众数、平均数以及方差的计算方法是正确解答的关键． （1）根据中位数、众数的定义进行计算即可； （2）求出甲、乙学生篮板的方差即可得出答案； （3）计算甲、乙学生的综合表现得分，再进行比较得出答案． 【小问1详解】 解：样本中甲学生10场比赛中，每场篮板的个数出现最多的是5个，共出现5次，因此甲学生篮板的众数是5个， 将乙学生10场比赛中，每场篮板的个数从小到大排列为，处在中间位置的两个数的平均数为个，即乙学生篮板的中位数是5个， 故答案为：5，5； 【小问2详解】 解：甲学生的平均数为，乙学生篮板的平均数为， ， ， ， 甲学生的比较稳定， 故答案为：甲； 【小问3详解】 解：甲的综合得分为；乙的综合得分为， ， 乙学生的综合表现更好， 故答案为：乙． 24. 已知反比例函数的图像与正比例函数的图像交于点，点P在线段OA的延长线上． （1）求反比例函数的表达式； （2）如图，过点P作y轴的平行线l，与的图像交于点B，与轴交于点，当线段时，求点B的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知交点坐标满足两个函数关系式是关键． （1）待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）设点，那么则，，根据列方程解出，即可得点B的坐标． 【小问1详解】 解：将代入得， ， 将代入得，解得， 反比例函数表达式为， 【小问2详解】 解：如图，设，则，， ∴，， ∵ ， ∴， ∴，（舍去） ∴点B的坐标为 25. 如图，为的直径，点是上一点，点是外一点，，连接交于点． （1）求证：是的切线． （2）若，求的长度． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由直径对直角得，由等腰三角形的性质推出，即可求得，由此得到结论； （2）过O作于F，由垂径定理可得，由中位线的性质可得，在，由勾股定理求解即可； 【小问1详解】 证明：连接， 为的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的切线； 【小问2详解】 过O作于F， 在中，， ， ，， ， ， ， ， ， 在中， ． 【点睛】本题考查了圆周角定理及其推论，切线的判定，三角形的中位线，勾股定理，垂径定理，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线，综合运用以上知识是解题的关键． 26. 已知正方形，点E，F分别为边上两点． 【建立模型】 （1）如图1，连接，如果，求证：； 【模型应用】 （2）如图2，点E为边上一点，连接，作的垂直平分线交于点G，交于点F，若，，求的周长； 【模型迁移】 （3）如图3，将沿折叠，使点B落在上的点G处，与交于点M，若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，折叠的性质，熟练掌握正方形的性质和折叠的不变性是解题的关键． （1）证明即可； （2）连接，过点作于点H，由垂直平分，则，，可得四边形为矩形，证明，则，同理可证明四边形为矩形，设，则，，则，那么，在中，由勾股定理建立方程，求解，即可求解周长； （3）由折叠可得：，同（1），，，则，，由勾股定理得，由面积法得到，再由即可求解． 【详解】（1）证明：如图， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接，过点作于点H， ∵垂直平分， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可证明四边形为矩形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴设， 则， ∴， ∴， 在中， 由勾股定理得： ∴ 解得：， ∴， ∴， ∴的周长为：； （3）如图： 由折叠可得：，， 同（1），， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 27. 如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）如图①，点为第四象限内抛物线上一动点，连接，当时，求点的坐标； （3）如图②，连接是线段上的两个动点，且，连接，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）设点，，结合点为第四象限内抛物线上一动点， ，可得，再解方程并检验即可； （3）过点C作且，连接、， 证明， 则， 当O、N、D共线时，取等号， 再进一步求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可得：， 解得：， ∴抛物线表达式为：； 【小问2详解】 解：由抛物线的表达式知， ，则，， ∴点，则， 设点，， ∵点为第四象限内抛物线上一动点， ， 则， 整理得， 解得：， （不符合题意舍去） ∴， 则点； 【小问3详解】 解：过点C作且，连接、， 则，点， ∵， 则， 则， 则， 当O、N、D共线时，取等号， 即的最小值． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到三角形全等、面积的计算、求函数表达式等，确定三角形全等是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $