7.1 为什么要证明（课件）-2026-2027学年北师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦“为什么要证明”，通过视觉错觉情境（如图中黑点数量、直线曲线判断）引发认知冲突，结合线段比较、地球赤道铁丝间隙等探究活动，构建“观察-猜想-验证-证明”的学习支架，帮助学生从直觉认知过渡到逻辑推理思维。 其亮点在于以生活情境激发数学眼光，通过代数式反例（n=11时n²-n+11为合数）和推理计算（赤道间隙≈0.16m）培养数学思维中的推理意识，用实验验证、举反例等方法强化数学语言表达。学生能发展严谨思维，教师可依托此资料提升教学效率。

北师大版数学八年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月10日 7.1 为什么要证明 第7章 命题与证明 北师大版八年级上册7.1 为什么要证明 练习题 一、核心知识点回顾 本节核心是建立几何推理与严谨证明的思维。仅凭眼睛观察、直观感觉、少数特例归纳得出的结论不一定正确。判断一个数学结论是否成立，必须经过严谨的逻辑证明、推理验证，不能只靠直觉、经验、举例、测量。常见易错误区：视觉误差、以偏概全、测量误差、主观臆断。数学结论必须有理有据，推理严谨、步步有据，才能保证结论绝对正确。 二、基础夯实题 1. 判断正误：（1）眼睛看到的图形一定是准确的；（2）举几个例子成立，就能说明结论一定成立。 2. 观察思考：有人认为“所有偶数都是合数”，请举出一个反例推翻该结论。 3. 简单填空：判断数学结论是否正确，不能依靠直觉，必须进行________。 三、能力提升题 1. 观察猜想：对于代数式$$n^2-n+11$$，当n=1、2、3、4时结果均为质数，小明断言：“n为任意正整数时，该式结果都是质数”。请举反例证明小明的结论错误。 2. 视觉辨析：两条水平线段，看起来一长一短，实际长度相等。说说为什么不能仅凭观察下结论。 四、综合应用题 有人得出结论：“如果两个数的差是正数，那么这两个数都是正数”。请你通过举反例的方法，证明这个结论不成立，并说明推理依据。 五、参考答案与解析 一、基础夯实 1. （1）错误，视觉存在误差，观察结果不一定准确；（2）错误，少量特例不能代表全部，无法证明普遍结论。 2. 反例：数字2是偶数，但2是质数，不是合数，因此结论不成立。 3. 严谨的推理证明。 二、能力提升 1. 当$$n=11$$时，$$11^2-11+11=121$$，121=11×11，是合数，不是质数，推翻原结论。说明有限次举例无法证明所有情况。 2. 人眼容易受图形背景、线条摆放角度影响，产生视觉误差，观察只能作为猜想，不能作为数学结论，必须通过测量、推理、证明验证。 三、综合应用 反例：取两个数5和-1，两数之差$$5-(-1)=6$$，差为正数，但其中-1不是正数。由此可证：“两数差为正数，则两数都是正数”的结论错误。判断数学结论必须经过逻辑证明，不能凭主观感觉片面判断。 六、本节易错总结 1. 混淆“猜想”与“结论”，猜想需要证明，不能直接当真；2. 轻信视觉、经验、特例，忽略数学严谨性；3. 不会用反例推翻错误命题；4. 认为测量、观察可以代替逻辑证明。 经历观察、归纳、验证等活动过程，在活动中体会到观察、实验、归纳所得到的结论未必可靠。 初步感受证明的必要性，发展推理意识。 仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的，必须进行有根有据地证明，培养科学严谨的学习态度。 情境导入 观察下面图片，是运动的还是静止的？ 图中有几个黑点？ 图中是直线还是曲线？ 眼见为实 眼见未必为实！ 新课探究 探究1： a b 线段a和线段b的长度相等吗？ 图中的四边形是正方形吗？ 知识点一 推理证明的必要性 有时候视觉受周围环境的影响，往往误导我们得出错误的结论，所以仅靠经验、观察是不够的，只有通过科学的实验进行严格的推理，才能得出最准确的结论. a b a=b 知识点二 验证数学结论的常用方法 图中的四边形是正方形 探究方法：观察 验证方法：实验验证 观察得出的结论不一定正确 探究2：如图，把地球看成球形，假如用一根比地球赤道长1m的铁丝将地球赤道围起来，铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大？能放进一个拳头吗？ 分析： 铁丝 赤道 铁丝半径 赤道半径 铁丝与赤道之间间隙 先凭感觉想象一下，再具体算一算，看看与你的感觉是否一致. 探究2：如图，把地球看成球形，假如用一根比地球赤道长1m的铁丝将地球赤道围起来，铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大？能放进一个拳头吗？ 解：设赤道的周长为C，则铁丝与地球赤道的间隙为 所以这样的间隙可以放进一个拳头. 探究2：如图，把地球看成球形，假如用一根比地球赤道长1m的铁丝将地球赤道围起来，铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大？能放进一个拳头吗？ 探究方法：感觉 验证方法：推理验证 直觉得出的结论不一定正确 n 0 1 2 3 4 5 n2-n+11 质数/合数 11 11 13 17 23 31 探究3：对于自然数 n，代数式 n2-n+11的值是质数吗？取n=0，1，2，3，4，5 试一试，你能否由此得到结论“对于所有自然数 n，n2-n+11 的值都是质数”？ 当n=11时，n2-n+11的值为121=112， 所以，对于所有自然数n，n2-n+11的值未必都是质数. 质数 质数 质数 质数 质数 质数 尝试·思考 探究方法：归纳 验证方法：举反例 归纳得出的结论不一定正确 探究3：对于自然数 n，代数式 n2-n+11的值是质数吗？取n=0，1，2，3，4，5 试一试，你能否由此得到结论“对于所有自然数 n，n2-n+11 的值都是质数”？ 费马的失误 探究4：如图，在△ABC中，点 D，E 分别是 AB，AC 的中点，连接DE. DE 与 BC 有怎样的位置关系和数量关系？ A D E B C 位置关系：DE∥BC 数量关系： 验证方法：测量推理 测量得出的几何结论不一定正确 思考·交流 观察、实验、归纳是人们认识事物的重要手段. 通过观察、实验、归纳得到的结论都正确吗？在上面的问题中，你是怎样判断一个结论是否正确的？说说你的经验与困惑，并与同伴进行交流. 观察、实验、归纳得到的结论可能正确，也可能不正确. 因此，要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠观察、实验、归纳是不够的，必须进行有理有据的证明. 常用的证明方法：实验验证、举出反例、推理证明. 随堂练习 1. （1）图中有三条线段 a，b，c，哪一条和线段 d 在同一条直线上？请你先观察，再用直尺验证一下. 【选自教材P181 随堂练习 第1题】 a b c d 1. （2）图中两条线段 a 与 b 的长度相等吗？ 相等 a b 随堂练习 2.下列问题用到推理的是（ ） A.根据a=10，b=10，得到a=b B.观察得到三角形有三个角 C.老师告诉我们关于金字塔的许多奥秘 D.由经验可知过两点有且只有一条直线 A 随堂练习 3. 当 n 为正整数时，n2+3n+1 的值一定是质数吗？ 解：不一定. 当 n=6 时，n2+3n+1 = 55 是合数；所以，对于所有正整数n，n2+3n+1的值未必都是质数. 【选自教材P181 随堂练习 第2题】 随堂练习 4.小刚和小明在手工制作课上，用同种小铁丝制作的楼梯模型如图所示，那么他们用的材料长度（ ） A.小明用的多 B.小刚用的多 C.一样多 D.无法判断 C 5cm 6cm 5cm 6cm 小刚 小明 随堂练习 知识点1 证明的必要性 1.下列说法正确的是(　　) A.经验、观察或实验完全可以判断一个数学结论的正确与否 B.推理是科学家的事，与我们没有多大的关系 C.对于自然数n，n2＋n＋37一定是质数 D.有10个苹果，将它放进9个筐中，则至少有一个筐中的苹果不少于2个 返回 D 基础提优题 2.如图，点P是直线l外一点，过点P画直线PA，PB，PC，分别与已知直线l交于点A，B，C，请你用量角器量∠1，∠2，∠3的度数，并量线段PA，PB，PC的长度，你发现的规律是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　. 返回 随着线段与直线l的夹角度数的增大，线段的长度减小 基础提优题 知识点2 推理论证 3.字母a，b，c，d各代表正方形、线段、正三角形、圆四种图形中的一种，将它们两两组合，并用字母连接表示，下表是三种组合与连接的对应表，由此可推断图形 的连接方式为　　　. 返回 组合 连接 a⊕b b⊕d d⊕c a⊕c 基础提优题 4.［成都七中自主招生］南山中学高一年级举办数学竞赛，A，B，C，D，E五位同学得了前五名，发奖前，老师让他们猜一猜各人的名次排列情况. A说：B第三名，C第五名；B说：E第四名，D第五名；C说：A第一名，E第四名；D说：C第一名，B第二名；E说：A第三名，D第四名. 老师说：每个名次都有人猜对，试判断获得第一至第五名的依次为　　　　　　　　. 返回 C，B，A，E，D 基础提优题 【点拨】因为每个名次都有人猜对，只有D猜测“B第二名”，所以B是第二名，所以此时A的“B第三名”错误，E的“A第三名”必须正确以确保第三名被猜对，所以A是第三名；所以C的“A第一名”错误，所以D的“C第一名”正确，所以C是第一名；所以A的“C第五名”错误，所以B的“D第五名”正确，所以D是第五名；所以B的“E第四名”正确，所以E是第四名. 返回 基础提优题 5.若一列数a1，a2，a3，…，a2 026满足任意相邻三个数的和都相等，且a2＝－5，a12＝4，a2 023＝2，则a1＋a2＋a3＋…＋ a2 026＝　　. 返回 677 综合应用题 6.甲、乙、丙三人进行乒乓球赛前训练，每局两人进行比赛，第三个人做裁判，每一局都要分出胜负，胜方和原来的裁判进行新一局的比赛，输方转做裁判，依次进行.半天训练结束时，发现甲共当裁判8局，乙、丙分别进行了12局、11局比赛.在这半天的训练中，甲、乙、丙三人共进行了_____　　　　局比赛，其中最后一局比赛的裁判是_____. 返回 15 甲 综合应用题 课堂小结 为什么要证明 怎么证 实验验证 举出反例 推理证明 观察直觉不可靠 归纳说理不全面 实验测量有误差 $