2026年甘肃省兰州市城关区九年级数学中考模拟试卷

**基本信息** 以甘肃地方文化（甜醅子捣碎器）、科技前沿（郭守敬望远镜数据）及社会热点（节约用水）为情境，覆盖函数、几何、统计等核心知识，通过动态几何、跨学科概率等题设计，培养抽象能力、推理意识与数据观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/33|三视图、科学记数法、平行线判定等|结合古代“斗”考三视图（空间观念）、用LAMOST光谱数据考科学记数法（抽象能力）| |填空题|4/12|因式分解、等腰三角形、扇形面积、概率|基因遗传概率题跨生物学科（模型意识）| |解答题|11/75|解直角三角形、函数综合、统计应用等|黄河楼高度测量（几何直观）、新定义“旋交点”问题（创新意识）|

甘肃省兰州市九年级数学第二学期第三次中考模拟考试试卷 一．选择题（共11小题，每小题3分，共33分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．如图①，古代叫“斗”，官仓、粮栈、米行、家里等都是必备的粮食度量用具．如图②，是它的几何示意图，则其三视图中与主视图相同的是（　　） A． 左视图 B．俯视图 C．右视图 D．后视图 2．根据中国科学院国家天文台发布的公告，截至2025年10月底，我国国家重大科技基础设施——郭守敬望远镜（LAMOST）发布光谱数已达2807万条，数据量稳居世界第一．数据2807万条用科学记数法表示为（　　） A．28.07×106条 B．2.807×107条 C．280.7×105条 D．2807×104条 3．下列运算中，正确的是（　　） A．2a3﹣a3＝2 B．a3+a3＝2a3 C．a3•a3＝a9 D．（a3）3＝a6 4．如图，已知∠2＝95°，要使AB∥CD，则需具备的另一个条件为（　　） A．∠1＝75° B．∠1＝115° C．∠3＝95° D．∠3＝105° 5．关于x的方程x2﹣6x+k＝0没有实数根，则k的值可能是（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 6．已知P为正方形ABCD内的一点，AB＝1，则P到4个顶点距离之和的最小值为（　　） A．2 B． C．2 D．1 7．某种气体在10℃时的体积为100L，温度每升高1C，它的体积增加0.35L，则该气体的体积V（L）与温度t（℃之间的函数表达式是（　　） A．V＝100-0.35（t﹣10） B．V＝100+0.35（t+10） C．V＝100+0.35（t﹣10） D．V＝100﹣0.35（t+10） 8．球类运动能提高青少年运动协调能力，改善心肺功能，增强身体素质．学校在新学期开学后随机选取了若干名学生进行“我最喜欢的球类运动”的调查，并将调查结果绘制成如图所示的扇形统计图．已知最喜欢网球的学生有40人，则下列说法错误的是（　　） A．这次参与调查的学生共400人 B．“羽毛球”部分所占的圆心角的度数为72度 C．喜欢网球，羽毛球和乒乓球的学生人数占总人数的一半 D．被调查的学生中喜欢羽毛球的学生有80人 9．（原创）如图所示为甘肃农村用来的制作甜醅子的捣碎器，已知支撑柱AB的高为0.3米，踏板DE长为1.6米，支撑点A到踏脚D的距离为0.6米，现在踏脚着地，则捣头点E上升了（　　）米． A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.4 10．古代《张丘建算经》中有一个问题，意思是：甲、乙两人各带了若干钱，如果甲得到乙的10钱，那么甲的钱数是乙剩余钱数的5倍；如果乙得到甲的10钱，那么两人钱数相等，甲乙两人各带了多少钱？如果设甲带的钱数为x，乙带的钱数为y，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 11．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2BC＝4，动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段AB匀速运动，当点P运动到点B时，停止运动，过点P作PQ⊥AB交AC于点Q，将△APQ沿直线PQ折叠得到△DPQ，设动点P的运动时间为x秒，△DPQ与△ABC重叠部分的面积为y，在P点运动过程中，y与x之间函数关系为（　　） A．二次函数，一次函数 B．均为二次函数 C．均为一次函数 D．一次函数，二次函数 二．填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 12．分解因式：a2﹣6a+9＝　 　 ． 13．如图，在△ABC中，AB＝AC＝13cm，AD⊥BC于D，△ABC的周长为32cm， 那么BD＝　 　 cm． 14． 如图①是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图．通过测量得到扇形AOB的圆心角为90°，AC＝BD＝1m，点C，D分别 为OA，OB的中点，则花窗的面积为　 　 m2． 15．生物学家研究发现，人体许多特征都是由基因控制的．如人的眼皮性状由常染色体的一对基因控制，双眼皮由显性基因（A）控制，单眼皮由隐性基因（a）控制．当一个人的基因型为（AA）或（Aa）时，这个人就是双眼皮；当一个人的基因型为（aa）时，这个人就是单眼皮．父母分别将他们一对基因中的一个等可能地遗传给子女．若父母都是双眼皮，且他们的基因都是（Aa），则他们的子女是单眼皮的概率为 　 ． 三．解答题（共11小题，共75分。解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（5分）计算：； 17．（5分）解不等式组：． 18．（5分）计算：（x+2y）（x﹣2y）﹣x（x﹣y）． 19．（原创）（7分）被誉为“万里黄河第一楼”的兰州黄河楼是兰州新地标、黄河文化标志性建筑，也是主要的景点．某数学兴趣小组开展了“测量黄河楼的高度”的实践活动，具体过程如下： 工具准备：皮尺，测角仪． 方案设计：如图2，黄河楼AB垂直于地面，在地面上选取C，D两处分别测得∠ACB和∠ADB的度数（C，B，D在同一条直线上）． 数据收集：通过实地测量：地面上C，D两点的距离为197m，∠ACB＝45°，∠ADB＝42°． 问题解决：求黄河楼AB的高度（精确到0.1m）．（参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.9，1.41）． 20．（7分）如图，一次函数经过点A（﹣3，﹣1），与反比例函数图象相交于B（1，n），与y轴交于点C，连接OA，OB． （1）求一次函数和反比例函数的表达式并直接写出不等式的解集； （2）求△AOB的面积． 21．（7分）综合与实践 【项目背景】水是万物之母，生存之本、文明之源．水资源正在变成一种宝贵的稀缺资源，关系到国家经济、社会可持续发展和长治久安．每年的3月22日是联合国确定的“世界水日”，旨在提醒人们要保护水资源、珍惜水、节约用水．某学校组织开展主题为“节约用水，共护地球”的社会实践活动．为了解居民用水情况，进行了抽样调查，并对抽查情况作出统计分析． 【数据收集与整理】 数据收集：A、B两小组同学分别在甲、乙两个小区各随机抽取30户居民，统计其10月份用水量． 数据整理：分别将两个小区居民的用水量x（m3）进行整理，分成5组，第一组：3≤x＜5，第二组：5≤x＜7，第三组：7≤x＜9，第四组：9≤x＜11，第五组：11≤x＜13． 根据统计数据，绘制成如下统计图表： 乙小区10月份的用水量在第三组的数据从小到大排列为：7，7.2，7.3，7.4，7.5，7.7，8，8.4，8.6，8.7． 【数据分析与运用】 根据以上信息，回答下列问题． （1）表中a的值为 　 　 ； （2）下列结论一定正确的是 　 　 （填正确结论的序号）． ①两个小区样本数据的中位数均在第三组； ②乙小区抽取的用户中，10月份用水量低于本小区平均用水量的户数所占百分比为50%； ③两个小区样本数据的最大数与最小数的差相等． （3）若甲小区共有900户居民，乙小区共有750户居民，估计两个小区10月份用水量不低于9m3的总户数． 22．（7分）学习了正方形的判定和尺规作图后，小明进行了拓展性研究，他发现了画正方形的一种方法．现在你作为小明的同伴，请根据他的想法和思路，完成以下作图和填空： 第一步：画垂直平分线，构造正方形． 小明画了平行四边形ABCD，连接BD，其中∠ADB＝45°．请你利用尺规作图，作BD的垂直平分线EF，交AD于点E，交BC于点F，交BD于点O，连接BE，DF． 第二步：证明他的猜想． 证明：∵EF⊥BD，EF平分BD， ∴EB＝ED，①　 　 ，OD＝OB， ∴在△BDE中，∠EBD＝∠EDB＝45°， ∴②　 　 ＝90°， 又在▱ABCD中，③　 　 ， ∴∠EDB＝∠DBF，∠DEF＝∠BFE， 在△DEO和△BFO中， ， ∴△DEO≌△BFO（AAS）， ∴⑤　 　 ， ∴EB＝ED＝FB＝FD， 又∵∠BED＝90°， ∴四边形BFDE是正方形． 23．（7分）如图，AB为⊙O的直径，BC是⊙O的一条弦，点D在⊙O上，BD平分∠ABC，过点D作EF⊥BC，分别交BA、BC的延长线于点E、F． （1）求证：EF为⊙O的切线； （2）若，，求AE的长． 24．（8分）按要求解答问题： 【初步实践】 （1）如图1，在长方形ABCD中，若AC⊥BD，对角线AC与BD相交于点O，在线段OA上任取一点P（端点除外），连接PD，PB．求证：△ABP≌△ADP； 【问题探究】 （2）如图2，将线段BP绕点P逆时针旋转，使点B落在DA的延长线上的点E处，当点P在线段OA上的位置发生变化时，∠BPE的大小是否发生变化？请说明理由． 25．（8分）在平面直角坐标系中，点P1（0，1），P2（0，﹣1）中恰有一点在二次函数y＝ax2+bx+c的图象上，当0＜x＜1时，函数值y随x的增大而增大． （1）若点P3（1，1）在该二次函数的图象上， ①求a+b+c的值； ②已知二次函数y＝ax2+bx+c的最大值为，求该二次函数的表达式； （2）在（1）的条件下，Q1（x1，n），Q2（x2，n）为二次函数y＝ax2+（b+1）x+c﹣2图象上的不同两点，且x1≠1，试判断的值是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 26．（9分）在平面直角坐标系xOy中，对于点A，点B和直线l，点A关于l的对称点为点A′，点B是直线l上一点．将线段A′B绕点A′逆时针旋转90°得到A′C，如果线段A′C与直线l有交点，称点C是点A关于直线l和点B的“旋交点”． （1）若点A的坐标为（1，2），在点C1（﹣1，2），C2（﹣1，0），C3（﹣1，﹣1）中，是点A关于x轴和点B的“旋交点”的是 　 　 ； （2）若点B的坐标是（0，﹣2），点A、C都在直线y＝x+2上，点C是点A关于y轴和点B的“旋交点”，求点A的坐标； （3）点A在以（0，t）为对角线交点，边长为2的正方形M（正方形的边与坐标轴平行）上，直线l：y＝x﹣1，若正方形M上存在点C是点A关于直线l和点B的“旋交点”，直接写出t的取值范围． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $Sheet1 双向细目表 题号 题型 分值 考试内容 数学核心 难易程度 难度系数 简单 中档 难 1 选择题 3 三视图 空间观念 √ 0.9 2 选择题 3 科学记数法 抽象能力 √ 0.9 3 选择题 3 幂的运算 运算能力 √ 0.9 4 选择题 3 平行线的判定与性质 几何直观，推理能力 √ 0.9 5 选择题 3 一元二次方程的判别式 逻辑推理，数学运算 √ 0.8 6 选择题 3 利用“两点之间线段最短”探究距离和最小 几何直观，推理能力 √ 0.8 7 选择题 3 一次函数实际应用 逻辑推理，数学运算 √ 0.85 8 选择题 3 统计（统计图分析） 逻辑推理与应用意识 √ 0.75 9 选择题 3 相似三角形性质 几何直观与模型观念，运算能力 √ 0.8 10 选择题 3 实际情景抽象二元一次方程组 数学抽象，数学建模 √ 0.8 11 选择题 3 几何动点抽象函数类型 数学抽象，数学建模 √ 0.7 12 填空题 3 因式分解 数学抽象，化归与转化 √ 0.9 13 填空题 3 等腰三角形性质 模型思想与数形结合，数学运算 √ 0.9 14 填空题 3 扇形面积计算 推理、应用意识，运算能力 √ 0.75 15 填空题 3 随机事件概率 数学抽象，应用意识 √ 0.85 16 解答题 5 整式运算（二次根式运算） 数学运算，逻辑推理 √ 0.85 17 解答题 5 解一元一次不等式组 数学抽象，逻辑推理 √ 0.85 18 解答题 5 整式的混合运算（化简） 符号意识，运算、推理能力 √ 0.8 19 解答题 7 解直角三角形的综合与探究 数学建模，直观想象 √ 0.6 20 解答题 7 反比例函数与一次函数的综合 几何直观与数形结合，问题解决与应用意识 √ 0.65 21 解答题 7 统计、图表信息题 数据意识，数据分析观念，应用意识 √ 0.75 22 解答题 7 尺规作图阅读信息题 几何直观，逻辑推理 √ 0.7 23 解答题 7 圆的综合（切线的判定与性质） 数学抽象，逻辑推理，应用意识 √ 0.65 24 解答题 8 综合实践（几何探究） 几何直观，逻辑推理，与探究能力 √ √ √ 0.5 25 解答题 8 代数推理：二次函数推理 逻辑推理，运算能力，模型观念 √ √ 0.5 26 解答题 9 新定义：代数综合 符号意识，逻辑推理，数学运算，创新意识 √ √ √ 0.4 Sheet2 Sheet3 $ 甘肃省兰州市九年级数学第二学期第三次中考模拟考试试卷参考答案与试题解析 1． 选择题（共11小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A B B C D A C C A D B 1．【分析】根据简单几何体的三视图解答即可． 【解答】解：由三视图的定义可知，与主视图相同的是左视图， 故选：A． 【点评】本题考查简单几何体的三视图，熟知三视图的特点是解答的关键． 2．【分析】科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【解答】解：数据2807万条用科学记数法表示为：2.807×107条． 故选：B． 【点评】本题考查了科学记数法﹣表示较大的数，掌握形式为a×10n，1≤|a|＜10，n为整数是关键． 3．【分析】A．根据合并同类项法则进行计算，然后判断即可； B．根据合并同类项法则进行计算，然后判断即可； C．根据同底数幂相乘法则进行计算，然后判断即可； D．根据幂的乘方法则进行计算，然后判断即可． 【解答】解：A．∵2a3﹣a3＝a3，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意； B．∵a3+a3＝2a3，∴此选项的计算正确， C．∵a3•a3＝a6，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意； D．∵（a3）3＝a9，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点评】本题主要考查了整式的有关计算，解题关键是熟练掌握合并同类项法则、同底数幂相乘法则和幂的乘方法则． 4．【分析】根据平行线的判定定理，逐项判定即可． 【解答】解：A、∵∠2＝95°，∠1＝75°，∴∠2+∠1＝95°+75°＝170°≠180°，∴AB与CD不平行， 故此选项不符合题意； B、∵∠2＝95°，∠1＝115°，∴∠2+∠1＝95°+115°＝210°≠180°，∴AB与CD不平行， 故此选项不符合题意； C、∵∠2＝95°，∠3＝95°，∴∠2＝∠3，∴AB∥CD， 故此选项符合题意； D、∵∠2＝95°，∠3＝105°，∠2≠∠3，∴AB与CD不平行， 故此选项不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查平行线的判定，熟练掌握内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行是解题的关键． 5．【分析】由方程没有实数根，则Δ＝b2﹣4ac＜0，解得k的取值范围，进而得到答案． 【解答】解：∵关于x的方程x2﹣6x+k＝0没有实数根，∴Δ＝（﹣6）2﹣4k＜0，解得：k＞9， ∴k的值可能为10． 故选：D． 【点评】本题主要考查一元二次方程根的判别式．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根． 6．【分析】先分析点P不在正方形的对角线的交点上时，得出AP+PC＞AC，BP+PC＞BD，当P在O点时，则AP+PC＝AC，BP+PC＝BD，再根据勾股定理计算，即可作答． 【解答】解：如图：AC，BD交于点O，当P不在O点时， 则AP+PC＞AC，BP+PC＞BD， 当P在O点时，如图， 则AP+PC＝AC，BP+PC＝BD， 则P到4个顶点距离之和的最小值为AC+BD， ∵四边形ABCD是正方形， ∴， ∴P到4个顶点距离之和的最小值为， 故选：A． 【点评】本题考查了正方形的性质，掌握勾股定理，三角形三边关系是解题的关键． 7．【分析】根据变量之间的变化规律计算即可． 【解答】解：V与t之间的函数表达式为V＝100+0.35（t﹣10）． 故选：C． 【点评】本题考查一次函数的应用，找到变量之间的变化规律是解题的关键． 8．【分析】根据频率，以及扇形统计图的制作方法逐项进行计算即可． 【解答】解：A．这次参与调查的学生人数为40÷（1﹣17.5%﹣15%﹣12.5%﹣20%﹣25%）＝400（人），因此选项A不符合题意； B．“羽毛球”部分所占的圆心角的度数为360°×20%＝72°，因此选项B不符合题意； C．喜欢网球，羽毛球和乒乓球的学生人数占总人数的20%+25%+10%＝55%，因此选项C符合题意； D．被调查的学生中喜欢羽毛球的学生有400×20%＝80人，因此选项D不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查扇形统计图，掌握频率是正确解答的前提． 9．【分析】利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出捣头点E上升的高度． 【解答】解：如图，AB∥EF，AB＝0.3，AD＝0.6，DE＝1.6， ∴△DAB∽△DEF， ∴，即， 解得：EF＝0.8（经检验，是分式方程的解，且符合题意）， 故选：A． 【点评】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是把实际问题抽象到相似三角形中． 10．【分析】根据如果甲得到乙的10钱，那么甲的钱数比乙剩余的钱数多4倍；如果乙得到甲的10钱，那么两人钱数相等，列出二元一次方程组即可． 【解答】解：根据题意得：， 故选：D． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 11．【分析】当0≤x≤2时，重合部分为△QPD的面积，当2＜x≤4时，重合部分为直角梯形PBEQ的面积，分别画出相关图形，得到相应的函数解析式，即可判断出相应的函数图象． 【解答】解：∵AB＝2BC， ∴tanA， 由题意得：AP＝PD＝x， ∴QPx， 当0≤x≤2时，重合部分为△QPD的面积， 故yx•xx2，此为二次函数； 当2＜x≤4时，重合部分为直角梯形QPBE的面积， ∵AB＝4， ∴PB＝4﹣x，BD＝2x﹣4， ∴BEBD＝x﹣2， ∴根据梯形面积公式得y（x﹣2）（4﹣x）x2+4x﹣4，此为二次函数， 综上，整个过程中y与x的函数关系式均为二次函数， 故选：B． 【点评】本题考查动点问题的函数图象．根据题意进行分类讨论从而得到不同取值范围内的函数解析式是解决本题的关键． 2． 填空题（共4小题） 12.（a﹣3）2 13. 3 14. 15. 12．【分析】直接利用完全平方公式分解因式得出答案． 【解答】解：原式＝（a﹣3）2． 故答案为：（a﹣3）2． 【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键． 13．【分析】由已知可求得等腰三角形的底边长，等腰三角形的性质可得，即可求得结果． 【解答】解：∵AB＝AC＝13cm，△ABC的周长为32cm， ∴AB+AC+BC＝32， 即BC＝32﹣13﹣13＝6（cm）； ∵AB＝AC＝13cm，AD⊥BC， ∴， 故答案为：3． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，掌握等腰三角形三线合一的性质是本题的关键． 14..【分析】用扇形的面积减去△COD的面积即可解答． 【解答】解：由条件可知OA＝OB＝2m， ∴OE＝OA•cos50°≈2×0.64＝1.28（m），OC＝OD＝AC＝BD＝1m， ∴，， ∴花窗的面积为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了扇形面积的计算，掌握扇形的面积公式是解题的关键． 15．【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及他们的子女是双眼皮的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：父母都是双眼皮，且他们的基因都是（Aa），列表如下： A a A AA Aa a Aa aa 共有4种等可能的结果，其中他们的子女是单眼皮的结果有：aa，共1种， ∴他们的子女是单眼皮的概率为． 故答案为：． 【点评】本题考查列表法与树状图法，概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 三．解答题（共11小题） 16．【分析】先算乘法，再算加减法即可； 【解答】解：原式 ＝0； 【点评】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 17．【分析】先分别求出每个不等式的解集，然后再确定出公共解集即可得． 【解答】解：解不等式5x﹣1≤3（x+1）得x≤2， 解不等式x＜3得x＞﹣4， ∴原不等式组的解集为﹣4＜x≤2． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”原则是解题的关键． 18．【分析】先根据平方差公式，单项式乘多项式的法则计算出各数，再算加减即可． 【解答】解：原式＝x2﹣4y2﹣x2+xy＝﹣4y2+xy． 【点评】本题考查的是平方差公式，单项式乘多项式，熟知以上知识是解题的关键． 19．【分析】设AB＝am，先证∠ACB＝∠CAB，则BC＝AB＝am，再由锐角三角函数定义得BD，然后由BC+BD＝CD得a197，解得a≈56.8，即AB≈93.3m； 即开封铁塔AB的高度约为93.3m； 【解答】解：设AB＝am， 在Rt△ABC中，∠ACB＝45°， ∴∠CAB＝90°﹣∠ACB＝45°， ∴∠ACB＝∠CAB， ∴BC＝AB＝am， 在Rt△ADB中，∠ADB＝42°， ∵tan∠ADBtan42°≈0.9， ∴BD， ∵BC+BD＝CD， ∴a197， 解得：a≈93.3， 即黄河楼AB的高度约为93.3m； 【点评】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题，熟练掌握仰角俯角的定义是解题的关键． 20．【分析】（1）将点A坐标代入一次函数解析式可求出b，再求出点B坐标，将点B坐标代入反比例函数解析式可求出k，最后利用数形结合的数学思想即可解决问题． （2）分别求出△AOC和△BOC的面积即可解决问题． 【解答】解：（1）由题知， 将点A坐标代入一次函数解析式得， ， 解得b， 所以一次函数的表达式为y． 将点B坐标代入一次函数解析式得， n＝﹣3， 所以点B坐标为（1，﹣3）． 将点B坐标代入反比例函数解析式得， k＝1×（﹣3）＝﹣3， 所以反比例函数的表达式为y． 由得， x＝1或﹣6， 当x＝﹣6时，y， 即一次函数与反比例函数的另一个交点坐标为（﹣6，）． 由函数图象可知， 当﹣6＜x＜0或x＞1时，反比例函数的图象在一次函数图象的上方，即， 由得， ， 所以不等式的解集为：﹣6＜x＜0或x＞1． （2）将x＝0代入y得， y， 所以点C的坐标为（0，）． 则，， 所以． 【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图象与性质是解题的关键． 21．【分析】（1）据乙小区10月份用水量频数分布直方图可得数据，再将其数据从小到大排列，排在中间的两位数为：7和7.2，根据中位数的定义计算即可； （2）由统计表和统计图可知，两个小区样本数据的中位数均在第三组，可判断①；乙小区抽取的用户中，10月份用水量低于本小区平均用水量的户数所占百分比为50%，可判断②； （3）先分别估算甲、乙两小区10月份用水量不低于9m3的户数，则可估计两个小区共有的总户数． 【解答】解：（1）乙小区10月份用水量排在中间的两位数为7和7.2， ∴7.1； 故答案为：7.1； （2）两个小区样本数据的中位数均在第三组，故①正确； 乙小区抽取的用户中，10月份用水量低于本小区平均用水量的户数所占百分比为50%，故②正确； 两个小区样本数据的最大数与最小数的差不一定相等，故③错误； 故答案为：①②； （3）甲小区：900210（户），乙小区：750150（户）， ∴估计两个小区共有210+150＝360（户）， 答：总户数为360户． 【点评】本题考查的是频数分布直方图和频数分布统计表，中位数，用样本估计总体，熟练掌握中位数的计算方法是解题的关键． 22．【分析】（1）根据要求作出图形； （2）证明四边相等，有一个角是直角可得结论． 【解答】（1）解：图形如图所示： （2）证明：∵EF⊥BD，EF平分BD， ∴EB＝ED，①FD＝FB，OD＝OB， ∴在△BDE中，∠EBD＝∠EDB＝45°， ∴②∠BED＝90°， 又在▱ABCD中，③AD∥BC， ∴∠EDB＝∠DBF，∠DEF＝∠BFE， 在△DEO和△BFO中， ， ∴△DEO≌△BFO（AAS）， ∴⑤DE＝BF， ∴EB＝ED＝FB＝FD， 又∵∠BED＝90°， ∴四边形BFDE是正方形． 故答案为：FD＝FB，∠BED，AD∥BC，OD＝OB，DE＝BF． 【点评】本题考查作图﹣复杂作图，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，平行四边形的性质，正方形的判定，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 23．【分析】（1）连接OD，证∠CBD＝∠ODB，得OD∥BC，再证EF⊥OD，即可得出结论； （2）连接AD，证∠BAD＝∠FDB，则tan∠BAD＝tan∠FDB＝2，得ADBD＝2，BF＝2DF，再由勾股定理得AB＝10，BDDF＝4，则OD＝OA＝OBAB＝5，DF＝4，BF＝8，然后证△ODE∽△BFE，得，即可求解． 【解答】（1）证明：连接OD，如图1所示： ∵BD平分∠ABC， ∴∠OBD＝∠CBD， ∵OD＝OB， ∴∠OBD＝∠ODB， ∴∠CBD＝∠ODB， ∴OD∥BC， ∵EF⊥BC， ∴EF⊥OD， 又∵OD是⊙O的半径， ∴EF为⊙O的切线； （2）解：连接AD，如图2所示： ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴∠BAD+∠ABD＝90°， ∵EF⊥BC， ∴∠F＝90°， ∴∠FDB+∠CBD＝90°， ∵∠ABD＝∠CBD， ∴∠BAD＝∠FDB， ∴tan∠BAD＝tan∠FDB2， ∴ADBD＝2，BF＝2DF， ∴AB10，BDDF＝4， ∴OD＝OA＝OBAB＝5，DF＝4，BF＝8， 由（1）得：OD∥BC， ∴△ODE∽△BFE， ∴， 即， 解得：AE． 【点评】本题考查了切线的判定与性质、圆周角定理、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数定义等知识；熟练掌握切线的判定和圆周角定理是解题的关键． 24．【分析】（1）先得出四边形ABCD是正方形，进一步得出AB＝AD，∠BAC＝∠DAC，再根据全等三角形的判定定理，即可得证； （2）先过点P作PM⊥AD于点M，作PG⊥AB于点G，再根据正方形的性质和判定，角平分线的性质，旋转的性质，得出Rt△BPG≌Rt△EPM（HL），最后根据全等三角形的性质以及推导角之间的关系，即可解答； 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是长方形， 又∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAC． 在△ABP和△ADP中， ，∴△ABP≌△ADP（SAS）； （2）解：∠BPE的大小不发生变化；理由如下： 如图2，四边形ABCD是正方形，过点P作PM⊥AD于点M，作PG⊥AB于点G， ∴AC平分∠BAD，∠BAD＝90°， ∴∠BAC＝∠DAC∠BAD＝45°． 又∵PM⊥AD，PG⊥AB， ∴PM＝PG，∠PMA＝∠PMD＝90°，∠PGA＝∠PGB＝90°， ∴四边形AMPG是矩形． ∵PM＝PG，∴四边形AMPG是正方形，∴∠MPG＝90°，AM＝PM． 由旋转得，PB＝PE， 在Rt△BPG和Rt△EPM中， ，∴Rt△BPG≌Rt△EPM（HL），∴∠BPG＝∠EPM． ∵∠MPG＝∠EPM+∠EPG＝90°，∴∠EPG+∠BPG＝90°，即∠BPE＝90°， ∴∠BPE的大小不发生变化． 【点评】本题主要考查了正方形的判定与性质，矩形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 25．【分析】（1）①由点P3（1，1）在该二次函数的图象上，则1＝a×12+b×1+c，然后整理即可求解； ②若点P1（0，1）在抛物线y＝ax2+bx+c上，则点P1（0，1），P3（1，1）是抛物线上的对称点，则对称轴为直线，从而与“当0＜x＜1时，函数值y随x的增大而增大”矛盾，故只能点P2（0，﹣1）在抛物线y＝ax2+bx+c上，将点P2（0，﹣1）代入得c＝﹣1，再通过二次函数的性质即可求出解析式； （2）由（1）②得a＝﹣1，b＝3，c＝﹣1，则二次函数y＝ax2+（b+1）x+c﹣2解析式为y＝﹣x2+4x﹣3，在y＝﹣x2+4x﹣3中，令y＝n，则﹣x2+4x﹣3＝n，所以x2﹣4x+3+n＝0，又Q1（x1，n），Q2（x2，n）为二次函数y＝ax2+（b+1）x+c﹣2图象上的不同两点，则x1+x2＝4，x1x2＝3+n，再把化简，然后代入即可求解． 【解答】解：（1）①由条件可得1＝a×12+b×1+c， ∴a+b+c＝1； ②若点P1（0，1）在抛物线y＝ax2+bx+c上，则点P1（0，1），P3（1，1）是抛物线上的对称点， ∴对称轴为直线， ∴与“当0＜x＜1时，函数值y随x的增大而增大”矛盾， ∴只能点P2（0，﹣1）在抛物线y＝ax2+bx+c上， 将点P2（0，﹣1）代入y＝ax2+bx+c， 得c＝﹣1， 由（1）①得a+b+c＝1， ∴a+b﹣1＝1，即b＝2﹣a， ∴y＝ax2+（2﹣a）x﹣1， ∴， ∵二次函数y＝ax2+bx+c有最大值， ∴a＜0，， 解得：a＝﹣1，∴b＝2﹣a＝2﹣（﹣1）＝3， ∴该二次函数的解析式为y＝﹣x2+3x﹣1； （2）的值为定值0，理由如下： 由（1）②得a＝﹣1，b＝3，c＝﹣1， ∴二次函数解析式为y＝﹣x2+4x﹣3， 令y＝n，则﹣x2+4x﹣3＝n， ∴x2﹣4x+3+n＝0， ∵Q1（x1，n），Q2（x2，n）为二次函数图象上的不同两点， ∴x1+x2＝4，x1x2＝3+n， ∴ ＝0． 【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系，待定系数法求解析式，掌握知识点的应用是解题的关键． 26．【分析】（1）根据新定义进行判断即可求解； （2）过A′作ED∥y轴，过点B、C作ED的垂线，垂足分别为D、E，证明△A'EC≌△BDA'，设A（m，m+2）得出A'（﹣m，m+2），可得C（m+2，m+2+m），代入y＝x+2即可求解； （3）根据题意，C点轨迹为直线y＝﹣x﹣3、直线y＝﹣x+1及之间的部分，画出图，结合图象求解即可． 【解答】解：（1）∵A（1，2）关于x轴的对称点为A′（1，﹣2）， ∵C1（﹣1，2），C2（﹣1，0），C3（﹣1，﹣1）， ∴线段A′C1和线段A′C2与x轴有交点，线段A′C3与x轴没有交点， 故点C1（﹣1，2），C2（﹣1，0），C3（﹣1，﹣1）中是点A关于x轴和点B的“旋交点”的是C1，C2． 故答案为：C1，C2； （2）由题意画出图形，作出点A关于y轴的对称点A′，则A′B＝A′C，∠BA′C＝90°，过A′作ED∥y轴，交x轴于点G，过点B作BD⊥DE于点D，过点C作CE⊥ED于点E，CE交y轴于点F，如图， ∴∠A′DB＝∠CEA′＝90°， ∴∠CA′E+∠ECA′＝∠CA′E+∠DA′B＝90°， ∴∠ECA′＝∠DA′B， 在△A'EC和△BDA'中， ， ∴△A'EC≌△BDA'（AAS）， ∴A'E＝BD，CE＝A′D， ∵点B的坐标是（0，﹣2）， ∴OB＝DG＝2． 设A（m，m+2），则A'（﹣m，m+2），其中m＞0， ∴BD＝OG＝EF＝m，A′G＝m+2， ∴CE＝A′D＝m+2+2＝m+4，A′E＝BD＝m， ∴FO＝EG＝A′G+A′E＝m+2+m＝m+4， ∴CF＝EC﹣EF＝m+4﹣m＝4． ∴C（4，m+4）， ∵C在直线y＝x+2上， ∴4+2＝m+4， 解得：m＝2， ∴A（2，4）； （3）如图：C点轨迹为直线y＝﹣x﹣3、直线y＝﹣x+1及之间的部分， ∴正方形M与之有交点时t的范围为﹣5≤t≤3． 综上所述，t的取值范围为：﹣5≤t≤3． 【点评】本题主要考查了一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，几何新定义，待定系数法求函数的解析式，旋转的性质，理解新定义中的规定并熟练运用是解题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/5/29 16:34:50；用户：初数5；邮箱：szyi5@xyh.com；学号：60231445 第1页 共2页 ◎ 第2页 共2页 学科网（北京）股份有限公司 $