第4章立体几何初步测试卷-2024-2025学年高一下学期数学湘教版必修第二册

相教版高中数学必修第二册第4章《立体几何初步》测试卷 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 第一部分（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的： 1、4,b,c是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是() A.若直线a,b异面，b,c异面，则a,c异面B.若直线a,b相交，b,c相交，则a,c相交 C.若a∥b,则a,b与c所成的角相等 D.若a⊥b,b⊥c,则a∥c 2、如图所示，ABCD一A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M,则下列结 论正确是() A.A,M,O三点共线 B.A,M,O,A1不共面 C.A,M,C,O不共面 D.B,B1,O,M共面 3、己知，n是两条不同的直线，a,B,y是三个不同的平面，则下列说法正确的是( A.若m∥a,n∥a,则∥n B.若a⊥Y,B⊥y,则a∥B C.若∥a,n∥B,∥n,则a∥B D.若⊥a,n⊥a,则∥n 4、如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AB=2,则异面直线A1B 与AD所成角的余弦值为() AI B.2 c.3 D.4 5 5 5 5、在正方体ABCD一AB1CD1中，E为棱CC的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为() A15 B 1G 2 cv 2 2 6、甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S甲和S乙，体积分别为 V和v2·2,号 A.V5 B.22 C.V10 D.5v10 4 7、已知球0的半径为1，四棱锥的顶点为O,底面的四个顶点均在球0的球面上，则当该四棱锥的体积 最大时，其高为() A.司 8.月 C. 3 0号 8、已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为3v3和45，其项点都在同一球面上，则该球的表面 积为() A.100π B.128π C.144π D.192π 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9、如图是正四面体的平面展开图，G,H,M,N分别为DE,BE,EF,EC的中点， 则在这个正四面体中() D A.GH与EF平行 B.BD与N为异面直线 GM C.GH与MN成60°角 D.DE与MN垂直 10、四棱锥P一ABCD的所有棱长都相等，M,N分别为PA,CD的中点，下列说法正确的是() A.MN与PD是异面直线 B.N∥平面PBC CMN∥AC D.IN⊥PB 11、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在线段BC1上运动，则下列判断中正确的是() A.平面PBD⊥平面ACD1 B.AP∥平面ACD: C.异面直线41P与AD所成角的范围是0，人 D.三棱锥D1-APC的体积不变 第二部分（非选择题共92分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12、已知圆锥的顶点为A,过母线AB,AC的截面面积是2V3.若AB,AC的夹角是60°，且AC与圆锥底 面所成的角是30°，则该圆锥的表面积为_ 13、己知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3,AC=4,AB⊥AC,AA1=12, 则球O的半径为 14、在空间中，给出下面四个命题，其中假命题为 ·(填序号) ①过平面a外的两点，有且只有一个平面与平面a垂直； ②若平面β内有不共线三点到平面a的距离都相等，则a∥B: ③若直线1与平面a内的任意一条直线垂直，则1L: ④两条异面直线在同一平面内的射影一定是两条相交直线 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15、(13分)如图所示，在正方体ABCD一AB1CD1中，E,F分别是AB和AA1的中点.求证： (I)E,C,D1,F四点共面： D (2)CE,DF,DA三线共点. 16、(15分)如图所示，己知在正方体ABCD一A1B1CD1中，E,F分别为D1C1,CB1的中点，AC∩BD =P,A1C1∩EF=Q.求证： D (I)D,B,F,E四点共面； (2)若A1C交平面DBFE于R点，则P,Q,R三点共线. R D B 17、(15分)如图，在四棱锥PABCD中，AD∥BC,AB=BC=AD,E,F,H分别为线段AD,PC, CD的中点，AC与BE相交于点O,G是线段OF上一点，求证： (I)AP∥平面BEF: (2)GH∥平面PAD. D E H B 18、(17分)如图，在三棱柱ABC一A1B1C1中，E,F,G分别为B1C1,AB1,AB的中点. (I)求证：平面A1CG∥平面BEF: (2)若平面A1CG∩BC=H,求证：H为BC的中点. A1下 C E B 19、（17分)在三棱柱ABC-AB1C1中 (I)若E,F,G,H分别是AB,AC,AB1,AC的中点，求证：平面EFA1∥平面BCHG. ②若点D,D1分别是AC,A1C上的点，且平面BCD∥平面ABD,试求AD的值 DC 湘教版高中数学必修第二册第4章《立体几何初步》测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 1、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1、a，b，c是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是(　　) A．若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面 B．若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交 C．若a∥b，则a，b与c所成的角相等 D．若a⊥b，b⊥c，则a∥c 2、如图所示，ABCD－A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确是(　　) A．A，M，O三点共线 B．A，M，O，A1不共面 C．A，M，C，O不共面 D．B，B1，O，M共面 3、已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列说法正确的是(　　) A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β C．若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n 4、如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为(　　) A.　　　 　B. C. D. 5、在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为(　　) A. B. C. D. 6、甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和．若，则（       ） A． B． C． D． 7、已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（       ） A． B． C． D． 8、已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（       ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9、如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，则在这个正四面体中(　　) A.GH与EF平行 B.BD与MN为异面直线 C.GH与MN成60°角 D.DE与MN垂直 10、四棱锥P－ABCD的所有棱长都相等，M，N分别为PA，CD的中点，下列说法正确的是(　　) A.MN与PD是异面直线 B.MN∥平面PBC C.MN∥AC D.MN⊥PB 11、如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点P在线段BC1上运动，则下列判断中正确的是(　　) A．平面PB1D⊥平面ACD1 B．A1P∥平面ACD1 C．异面直线A1P与AD1所成角的范围是 D．三棱锥D1­APC的体积不变 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12、已知圆锥的顶点为A，过母线AB，AC的截面面积是2.若AB，AC的夹角是60°，且AC与圆锥底面所成的角是30°，则该圆锥的表面积为________. 13、已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为________. 14、在空间中，给出下面四个命题，其中假命题为________．(填序号) ①过平面α外的两点，有且只有一个平面与平面α垂直； ②若平面β内有不共线三点到平面α的距离都相等，则α∥β； ③若直线l与平面α内的任意一条直线垂直，则l⊥α； ④两条异面直线在同一平面内的射影一定是两条相交直线． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15、（13分）如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点．求证： (1)E，C，D1，F四点共面； (2)CE，D1F，DA三线共点． 16、（15分）如图所示，已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求证： (1)D，B，F，E四点共面； (2)若A1C交平面DBFE于R点，则P，Q，R三点共线． 17、（15分）如图，在四棱锥PABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝AD，E，F，H分别为线段AD，PC，CD的中点，AC与BE相交于点O，G是线段OF上一点．求证： (1) AP∥平面BEF； (2) GH∥平面PAD. 18、（17分）如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G分别为B1C1，A1B1，AB的中点． (1)求证：平面A1C1G∥平面BEF； (2)若平面A1C1G∩BC＝H，求证：H为BC的中点． 19、（17分）在三棱柱ABC－A1B1C1中 (1)若 E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：平面EFA1∥平面BCHG. (2) 若点D，D1分别是AC，A1C1上的点，且平面BC1D∥平面AB1D1，试求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 湘教版高中数学必修第二册第4章《立体几何初步》测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 1、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1、a，b，c是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是(　　) A．若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面 B．若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交 C．若a∥b，则a，b与c所成的角相等 D．若a⊥b，b⊥c，则a∥c 【答案】C 【解析】　若直线a，b异面，b，c异面，则a，c相交、平行或异面；若a，b相交，b，c相交， 则a，c相交、平行或异面；若a⊥b，b⊥c，则a，c相交、平行或异面； 由异面直线所成的角的定义知C正确．故选C. 2、如图所示，ABCD－A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确是(　　) A．A，M，O三点共线 B．A，M，O，A1不共面 C．A，M，C，O不共面 D．B，B1，O，M共面 【答案】A　 【解析】　连接A1C1，AC，则A1C1∥AC，∴A1，C1，A，C四点共面，∴A1C⊂平面ACC1A1， ∵M∈A1C，∴M∈平面ACC1A1，又M∈平面AB1D1， ∴M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上， 同理A，O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上．∴A，M，O三点共线． 3、已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列说法正确的是(　　) A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β C．若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n 【答案】D 【解析】　若m⊥α，n⊥α，则m∥n，D正确；分析知选项A，B，C中位置不能确定，均不正确，故选D. 4、如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为(　　) A.　　　 　B. C. D. 【答案】　D 【解析】连接BC1，易证BC1∥AD1，则∠A1BC1或其补角为异面直线A1B与AD1所成的角．连接A1C1，由AB＝1，AA1＝2，易得A1C1＝，A1B＝BC1＝，故cos∠A1BC1＝＝，即异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为. 5、在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】　如图，因为AB∥CD，所以AE与CD所成角为∠EAB. 在Rt△ABE中，设AB＝2，则BE＝，则tan∠EAB＝＝， 所以异面直线AE与CD所成角的正切值为. 6、甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和．若，则（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】：设母线长为，甲圆锥底面半径为，乙圆锥底面圆半径为， 则，所以，又，则，所以， 所以甲圆锥的高，乙圆锥的高，所以.故选：C. 7、已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设该四棱锥底面为四边形ABCD，四边形ABCD所在小圆半径为r，设四边形ABCD对角线夹角为，则 （当且仅当四边形ABCD为正方形时等号成立） 即当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为 又则 当且仅当即时等号成立，故选：C 8、已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设正三棱台上下底面所在圆面的半径，所以，即，设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为，所以，，故或，即或，解得符合题意，所以球的表面积为． 故选：A． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9、如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，则在这个正四面体中(　　) A.GH与EF平行 B.BD与MN为异面直线 C.GH与MN成60°角 D.DE与MN垂直 【答案】　BCD 【解析】　还原成正四面体A－DEF，如图所示， 其中H与N重合，A，B，C三点重合，易知GH与EF异面，BD与MN异面. 连接GM，∵△GMH为等边三角形， ∴GH与MN成60°角. 由图易得DE⊥AF，又MN∥AF， ∴MN⊥DE， 因此正确的选项是B，C，D. 10、四棱锥P－ABCD的所有棱长都相等，M，N分别为PA，CD的中点，下列说法正确的是(　　) A.MN与PD是异面直线 B.MN∥平面PBC C.MN∥AC D.MN⊥PB 【答案】　ABD 【解析】　如图所示，取PB的中点H，连接MH，HC， 由题意知，四边形MHCN为平行四边形，且MN∥HC，所以MN∥平面PBC，设四边形MHCN确定平面α，又D∈α，故M，N，D共面，但P∉平面α，D∉MN，因此MN与PD是异面直线；故A，B说法均正确. 若MN∥AC，由于CH∥MN，则CH∥AC， 事实上AC∩CH＝C，C说法不正确； 因为PC＝BC，H为PB的中点，所以CH⊥PB，又CH∥MN，所以MN⊥PB，D说法正确. 11、如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点P在线段BC1上运动，则下列判断中正确的是(　　) A．平面PB1D⊥平面ACD1 B．A1P∥平面ACD1 C．异面直线A1P与AD1所成角的范围是 D．三棱锥D1­APC的体积不变 【答案】：ABD 【解析】：对于A，根据正方体的性质，有DB1⊥平面ACD1，又DB1⊂平面PB1D，则平面PB1D⊥平面ACD1，故A正确；对于B，连接A1B，A1C1，易证明平面BA1C1∥平面ACD1，又A1P⊂平面BA1C1，所以A1P∥平面ACD1，故B正确；对于C，当P与线段BC1的两端点重合时，A1P与AD1所成角取最小值，当P与线段BC1的中点重合时，A1P与AD1所成角取最大值，故A1P与AD1所成角的范围是，故C错误；对于D，三棱锥D1­APC与三棱锥C­AD1P的体积相等，因为点C到平面AD1P的距离不变，且△AD1P的面积不变，所以三棱锥C­AD1P的体积不变，故D正确．故选ABD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12、已知圆锥的顶点为A，过母线AB，AC的截面面积是2.若AB，AC的夹角是60°，且AC与圆锥底面所成的角是30°，则该圆锥的表面积为________. 【答案】　(6＋4)π 【解析】　如图所示，∵AB，AC的夹角是60°，AB＝AC，∴△ABC是等边三角形， ∴×AC2＝2， 解得AC＝2. ∵AC与圆锥底面所成的角是30°， ∴圆锥底面半径r＝OC＝ACcos 30°＝2×＝. 则该圆锥的表面积＝π×()2＋×2π××2＝(6＋4)π. 13、已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为________. 【答案】　 【解析】　如图所示，由球心作平面ABC的垂线， 则垂足为BC的中点M. 又AM＝BC＝， OM＝AA1＝6， 所以球O的半径R＝OA＝＝. 14、在空间中，给出下面四个命题，其中假命题为________．(填序号) ①过平面α外的两点，有且只有一个平面与平面α垂直； ②若平面β内有不共线三点到平面α的距离都相等，则α∥β； ③若直线l与平面α内的任意一条直线垂直，则l⊥α； ④两条异面直线在同一平面内的射影一定是两条相交直线． 【答案】　①②④ 【解析】　对于①，当平面α外两点的连线与平面α垂直时，此时过两点有无数个平面与平面α垂直，所以①不正确； 对于②，若平面β内有不共线三点到平面α的距离都相等，平面α与β可能平行，也可能相交，所以②不正确； 对于③，直线l与平面内的任意直线垂直时，得到l⊥α，所以③正确； 对于④，两条异面直线在同一平面内的射影可能是两条相交直线或两条平行直线或直线和直线外的一点，所以④不正确． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15、（13分）如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点．求证： (1)E，C，D1，F四点共面； (2)CE，D1F，DA三线共点． 【证明】　(1)连接EF，CD1， A1B. ∵E，F分别是AB，AA1的中点，∴EF∥BA1.又A1B∥D1C， ∴EF∥CD1， ∴E，C，D1，F四点共面． (2)∵EF∥CD1，EF<CD1， ∴CE与D1F必相交，设交点为P， 则由P∈CE，CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD. 同理P∈平面ADD1A1. 又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈直线DA. ∴CE，D1F，DA三线共点． 16、（15分）如图所示，已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求证： (1)D，B，F，E四点共面； (2)若A1C交平面DBFE于R点，则P，Q，R三点共线． 证明　(1)∵EF是△D1B1C1的中位线，∴EF∥B1D1. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，B1D1∥BD，∴EF∥BD. ∴EF，BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面． (2)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，设平面A1ACC1为α，平面BDEF为β. ∵Q∈A1C1，∴Q∈α.又Q∈EF，∴Q∈β，则Q是α与β的公共点，同理，P是α与β的公共点， ∴α∩β＝PQ.又A1C∩β＝R，∴R∈A1C.∴R∈α，且R∈β，则R∈PQ，故P，Q，R三点共线． 17、（15分）如图，在四棱锥PABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝AD，E，F，H分别为线段AD，PC，CD的中点，AC与BE相交于点O，G是线段OF上一点．求证： (1) AP∥平面BEF； (2) GH∥平面PAD. 【解析】 (1) 连结EC. 因为AD∥BC，BC＝AD，E为AD的中点，所以BC＝AE，BC∥AE， 所以四边形ABCE是平行四边形，所以O为AC的中点． 又因为F是PC的中点，所以FO∥AP. 因为FO⊂平面BEF，AP⊄平面BEF，所以AP∥平面BEF. (2) 连结FH，OH. 因为F，H分别是PC，CD的中点，所以FH∥PD，所以FH∥平面PAD. 又因为O是BE的中点，H是CD的中点，所以OH∥AD，所以OH∥平面PAD. 又FH∩OH＝H，FH，OH⊂平面OHF，所以平面OHF∥平面PAD. 又因为GH⊂平面OHF，所以GH∥平面PAD. 18、（17分）如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G分别为B1C1，A1B1，AB的中点． (1)求证：平面A1C1G∥平面BEF； (2)若平面A1C1G∩BC＝H，求证：H为BC的中点． 证明　(1)∵E，F分别为B1C1，A1B1的中点， ∴EF∥A1C1， ∵A1C1⊂平面A1C1G，EF⊄平面A1C1G，∴EF∥平面A1C1G， 又F，G分别为A1B1，AB的中点， ∴A1F＝BG，又A1F∥BG， ∴四边形A1GBF为平行四边形， 则BF∥A1G， ∵A1G⊂平面A1C1G，BF⊄平面A1C1G， ∴BF∥平面A1C1G， 又EF∩BF＝F，EF，BF⊂平面BEF， ∴平面A1C1G∥平面BEF. (2)∵平面ABC∥平面A1B1C1，平面A1C1G∩平面A1B1C1＝A1C1， 平面A1C1G与平面ABC有公共点G，则有经过G的直线，设交BC于点H，如图， 则A1C1∥GH，得GH∥AC， ∵G为AB的中点，∴H为BC的中点． 19、（17分）在三棱柱ABC－A1B1C1中 (1)若 E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：平面EFA1∥平面BCHG. (2) 若点D，D1分别是AC，A1C1上的点，且平面BC1D∥平面AB1D1，试求的值． 【证明】　(1)∵E，F分别是AB，AC的中点，∴EF∥BC. ∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG， ∴EF∥平面BCHG.∵A1G∥EB，A1G＝EB，∴四边形A1EBG是平行四边形， ∴A1E∥GB. 又∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG， ∴A1E∥平面BCHG. 又∵A1E∩EF＝E，A1E，EF⊂平面EFA，∴平面EFA1∥平面BCHG. (2)连接A1B交AB1于O，连接OD1. 由平面BC1D∥平面AB1D1，且平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O，∴BC1∥D1O，则＝＝1.又由题设＝，∴＝1，即＝1. 学科网（北京）股份有限公司 $相教版高中数学必修第二册第4章《立体几何初步》测试卷 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 第一部分（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的 1、4,b,c是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是() A.若直线a,b异面，b,c异面，则a,c异面B.若直线a,b相交，b,c相交，则a,c相交 C.若a∥b,则a,b与c所成的角相等 D.若a⊥b,b⊥c,则a∥c 【答案】c 【解析】若直线a,b异面，b,c异面，则a,c相交、平行或异面：若a,b相交，b,c相交， 则a,c相交、平行或异面：若a⊥b,b⊥c,则a,c相交、平行或异面： 由异面直线所成的角的定义知C正确.故选C B 2、如图所示，ABCD一AB1CD1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点 M,则下列结论正确是() A.A,M,O三点共线 B.A,M,O,A1不共面 B C.A,MC,O不共面 D.B,B1,O,M共面 【答案】A 【解析】连接A1C1,AC,则AC1∥AC,A1,C,A,C四点共面，A1CC平面ACCA1, :M∈A1C,.M∈平面ACCA1,又M∈平面AB1D1, .M在平面ACCA1与平面AB1D1的交线上， 同理A,O在平面ACCA1与平面AB1D1的交线上.∴，A,M,O三点共线. 3、己知，是两条不同的直线，a,B,是三个不同的平面，则下列说法正确的是() A.若∥au,n∥a,则∥n B.若a⊥y,B⊥y,则a∥B C.若∥a,n∥B,m∥n,则a∥B D.若⊥a,n⊥a,则∥n 【答案】D 【解析】若m⊥a,n⊥a,则m∥，D正确；分析知选项A,B,C中位置不能确定，均不正确，故选 D D 4、如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD-A1B1CD1中，AA1=2AB=2, A1 则异面直线AB与AD1所成角的余弦值为() 61 82 C3 5 【答案】D 【解析】连接BC1,易证BC1∥AD1,则∠A1BC1或其补角为异面直线AB与AD1所成的角.连 接AC,由AB=1,AM=2,易得AC1=2,B=BC1=5,故cos∠ABC=5+5-2=4即异面 2X\5X\55 直线4B与4D所成角的余搭值为号 5、在正方体ABCD-A1B1CD1中，E为棱CC的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为() 1 B13 2 2 2 2 【答案】C D C 【解析】如图，因为AB∥CD,所以AE与CD所成角为∠EAB B 在Rt△ABE中，设AB=2,则BE=5,则tan∠B4B=BE-5, AB 2 所以异面直线AB与CD所成角的正切值为 B 2 6、甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S甲和S乙，体积分别为 U和v·若2，则号C》 A.V5 B.2W2 C.V10 D.5v10 4 【答案】c 【解析】：设母线长为l,甲圆锥底面半径为T1,乙圆锥底面圆半径为r2, 吃-器=共=2，所以n=2受4领=2,4=1所以n=n 所以甲圆锥的高h1 、P--9,乙圆锥的高h2=P--9,所以之=%_x兰 3 3 √10.故选：C. 7、已知球0的半径为1，四棱锥的项点为O,底面的四个顶点均在球0的球面上，则当该四棱锥的体积 最大时，其高为() A.月 B. C. 3 D.② 2 【答案】c 【解析】设该四棱锥底面为四边形ABCD,四边形ABCD所在小圆半径为「，设四边形ABCD对角线夹角为 a,则SABCD=子AC,BD·sina≤AC·BD≤5·2r·2r=2r2 2 (当且仅当四边形ABCD为正方形时等号成立) 即当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为2r2 又r2+2=1则0-ABcD=吉22.h=号P722m≤号 r2+r2+2h2 3 4v3 3 27 当且仅当r2=2h2即h=时等号成立，故选：C 8、已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为3√和43，其顶点都在同一球面上，则该球的表面 积为() A.100π B.128π C.144π D.192π 【答案】A 【解析】设正三棱台上下底面所在圆面的半径，所以2n=品，22=品斯1=3.r2=4设 sin60 球心到上下底面的距离分别为d1,d2,球的半径为R,所以d1=√R2-9,d2=√R2-16,故d1-d2=1 或d1+d2=1,即NR2-9-VR2-16=1或VR2-9+√R2-16=1,解得R2=25符合题意，所以球 的表面积为S=4πR2=100m. 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9、如图是正四面体的平面展开图，G,H,M,N分别为DE,BE,EF,EC的中 点，则在这个正四面体中() A.GH与EF平行 0 B.BD与N为异面直线 C.GH与MN成60°角 H E N D.DE与MN垂直 【答案】BCD 【解析】还原成正四面体A-DEF,如图所示， A 其中H与N重合，A,B,C三点重合，易知GH与EF异面，BD与MN异面. 连接GM,.·△GH为等边三角形， ∴.GH与MN成60°角 由图易得DE⊥AF,又N∥AF, .N⊥DE, 因此正确的选项是B,C,D 10、四棱锥P一ABCD的所有棱长都相等，M,N分别为PA,CD的中点，下列说法正确的是() A.MN与PD是异面直线 B.MN∥平面PBC C.N∥AC D.N⊥PB 【答案】ABD 【解析】如图所示，取PB的中点H,连接MH,HC, 由题意知，四边形MHCN为平行四边形，且MN∥HC,所以MN∥平面PBC,设四边形 MHCN确定平面a,又D∈a,故M,N,D共面，但P平面a,DMN,因此MN与PD 是异面直线；故A,B说法均正确 若MN∥AC,由于CH∥N,则CH∥AC, 事实上AC∩CH=C,C说法不正确； 因为PC=BC,H为PB的中点，所以CH⊥PB,又CH∥N,所以MN⊥PB,D说法正确. 11、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在线段BC1上运动，则下列判断中正确的是() A.平面PB1D⊥平面ACD1 B.A1P∥平面ACD1 0,π7 C.异面直线AP与AD1所成角的范围是 3 D.三棱锥D1-APC的体积不变 【答案】：ABD 【解析】：对于A,根据正方体的性质，有DB1⊥平面ACD1,又DB1C平面PB1D,则平面PB1D⊥平面 ACD1,故A正确：对于B,连接A1B,A1C1,易证明平面BA1C∥平面ACD1,又A1PC平面BAC1,所 以API平面ACD,故B正确：对于C,当P与线段BC的两端点重合时，AP与4D,所成角取最小值 ππ 当P与线段BC1的中点重合时，A1P与AD1所成角取最大值，故AP与AD所成角的范围是3'2，故 2 C错误；对于D,三棱锥D1~APC与三棱锥CADP的体积相等，因为点C到平面AD1P的距离不变，且 △ADP的面积不变，所以三棱锥CADP的体积不变，故D正确.故选ABD. 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12、已知圆锥的顶点为A,过母线AB,AC的截面面积是2V3.若AB,AC的夹角是60°，且AC与圆锥底 面所成的角是30°，则该圆锥的表面积为 【答案】(6+4V3)元 【解析】如图所示，：AB,AC的夹角是60°，AB=AC,.△ABC是等边三角形， ÷3x4ce=23, 4 解得AC=2V2. 0 ,AC与圆锥底面所成的角是30°， :圆锥底面半径r=0c=ACcos30°=2N2×3-6 2 则该圆锥的表面积=π×(O+】×2m×V6×22=(6+43)m 2 13、已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个J顶点都在球O的球面上，若AB=3,AC=4,AB⊥AC,AA1=12, 则球O的半径为 【答案】 2 【解析】 如图所示，由球心作平面ABC的垂线， A B 则垂足为BC的中点M. 又Awr3c-子 2 o1-6 52 所以球O的半径R=OA= 2》 +62=13 2 14、在空间中，给出下面四个命题，其中假命题为 (填序号) ①过平面a外的两点，有且只有一个平面与平面a垂直： ②若平面$内有不共线三点到平面a的距离都相等，则a∥B; ③若直线1与平面a内的任意一条直线垂直，则1La: ④两条异面直线在同一平面内的射影一定是两条相交直线. 【答案】①②④ 【解析】对于①，当平面a外两点的连线与平面a垂直时，此时过两点有无数个平面与平面a垂直，所以 ①不正确； 对于②，若平面B内有不共线三点到平面a的距离都相等，平面α与B可能平行，也可能相交，所以②不正 确； 对于③，直线1与平面内的任意直线垂直时，得到l⊥α，所以③正确； 对于④，两条异面直线在同一平面内的射影可能是两条相交直线或两条平行直线或直线和直线外的一点， 所以④不正确. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15、(13分)如图所示，在正方体ABCD一AB1CD1中，E,F分别是AB和AA1的中点.求 D 证： (I)E,C,D1,F四点共面： (2)CE,DF,DA三线共点， D八------ 【证明】(1)连接EF,CD, AB.E,F分别是AB,AA1的中点，EF∥BA1.又AB∥D1C, ,∴.EF∥CD1, E,C,D1,F四点共面. (2)EF∥CD,F<CD1, ,.CE与DF必相交，设交点为P, 则由P∈CE,CEC平面ABCD,得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADDIA1. 又平面ABCD∩平面ADDA1=DA,∴.P∈直线DA.∴.CE,DF,DA三线共点. 16、(15分)如图所示，己知在正方体ABCD一A1B1CD1中，E,F分别为D1C1,CB1的中点，AC∩BD =P,A1C1∩EF=Q.求证： (I)D,B,F,E四点共面； (2)若A1C交平面DBE于R点，则P,Q,R三点共线. B 证明(I),EF是△DB1C的中位线，∴EF∥B1D1 在正方体ABCD-A1B1CD1中，B1D1∥BD,.EF∥BD. .EF,BD确定一个平面，即D,B,F,E四点共面. (2)在正方体ABCD-A1B1CD1中，设平面AACC为a,平面BDEF为B ,Q∈A1C1,∴Q∈a.又Q∈EF,∴.Q∈B,则Q是a与B的公共点，同理，P是a与B的公共点， ∴.a∩f=PO.又ACnB=R,∴.R∈AC.∴.R∈a,且R∈B,则R∈PO,故P,Q,R三点共线. 17、(15分)如图，在四棱锥PABCD中，AD∥BC,AB=BC=1AD,E,F,H分别为线段AD,PC, CD的中点，AC与BE相交于点O,G是线段OF上一点.求证： (I)AP∥平面BEF; (2)GH∥平面PAD. 【解析】(1)连结EC. 因为AD/BC,BCD,E为AD的中点，所以BC-AE,BC∥AE 所以四边形ABCE是平行四边形，所以O为AC的中点. 又因为F是PC的中点，所以FO∥AP 因为FOC平面BEF,API平面BEF,所以AP∥平面BEF (2)连结FH,OH 因为F,H分别是PC,CD的中点，所以FH∥PD,所以FH∥平面PAD 又因为O是BE的中点，H是CD的中点，所以OH∥AD,所以OH∥平面PAD 又FH∩OH=H,FH,OHc平面OF,所以平面OHF∥平面PAD. 又因为GHc平面OHF,所以GH∥平面PAD 18、(17分)如图，在三棱柱ABC一AB1C中，E,F,G分别为B1C1,AB1,AB的中点. (I)求证：平面A1C1G∥平面BEF: (2)若平面A1CG∩BC=H,求证：H为BC的中点. A C 证明(I),E,F分别为B1C,A1B1的中点， .EF∥AC, ,A1C1C平面A1C1G,EF对平面A1C1G,.EF∥平面A1C1G, 又F,G分别为AB1,AB的中点， ∴A1F=BG,又A1F∥BG, .四边形A1GBF为平行四边形， 则BF∥A1G, ,A1GC平面A1CG,BF平面A1C1G ∴.BF∥平面A1C1G, 又EF∩BF=F,EF,BFC平面BEF, C G ∴.平面A1CG∥平面BEF B (2),平面ABC∥平面A1B1C1,平面A1C1Gn平面A1B1C1=A1C1, 平面A1CG与平面ABC有公共点G,则有经过G的直线，设交BC于点H, 如图， 则A1C1∥GH,得GH∥AC, B G为AB的中点，∴H为BC的中点 19、(17分)在三棱柱ABC-AB1C1中 (I)若E,F,G,H分别是AB,AC,AB1,AC的中点，求证：平面FA1∥平面BCHG. ②若点D,D分别是AC,AC1上的点，且平面BCD/平面ABD,武求化的值， 【证明】(I),E,F分别是AB,AC的中点，∴EF∥BC.,EFd平面BCHG,BCC平面BCHG, ∴.EF∥平面BCHG.,A1G∥EB,A1G=EB,∴.四边形AEBG是平行四边形， D .'.AE∥GB.又.AE4平面BCHG,GBC平面BCHG, ∴.AE∥平面BCHG 又，AE∩EF=E,AE,EFC平面EFA,.平面EFA1∥平面BCHG (2)连接AB交AB1于O,连接OD1 由平面BCD∥平面ABD1,且平面ABC1∩平面BCD=BC1,平面ABC∩平 面ABD=DO,BC∥DO,则AD=A0=1又由题设AD-DC,:DC=1,即AD =1 DiCi OB DC1AD'·AD C