第一章 特殊平行四边形 导学案 2025--2026学年北师大版九年级数学上册

该初中数学导学案以“特殊的平行四边形”为核心，目标是复习矩形、菱形、正方形的性质、判定及相互关系。通过“情景创设-知识回顾-基础练习-典例精析-综合应用-中考链接”的递进式设计，构建连贯的知识建构路径，体现系统性。 亮点在于情景驱动与递进探究结合，如“纸条交叉叠放判断特殊四边形”培养几何直观，典例中例1及拓展（判断ADCE为矩形、ABDE为平行四边形等）发展推理意识。分层作业满足不同需求，助力学生深度学习，为教师单元复习提供实用指导。

( 三、典例精析 形成方法 例 1 如图 1 ，在△ ABC 中， AB = AC ， AD 和 AN 分别为∠ BAC 和∠ CAM 的平分线， AD 交 BC 于 D ，判断 BC 与 AN 的位置关系，并说明理由 . )特殊的平行四边形复习 学习活动单 一、创设情景 回顾知识 将两张对边平行不等宽的纸片，如图随意交叉叠放在一起，重合部分构成了四边形，则这个四边形是我们学过的 哪个特殊四边形？ ( 拓展 1 在例 1 的条件下 , 如图 2 ，若 CE ⊥ AN ，垂足是 E ．判断四边形 ADCE 的形状，并 证明你的结论． )若把纸条变为两张等宽的纸片，重叠部分是我们学过的哪个特殊四边形？ 本章学习了哪些特殊的四边形？是按照什么顺序学习这些四边形的？请说说这些四边形之间的关系。 二、固本夯基 轻松过关 1.正方形具有而菱形不一定具有的性质是 ( ) A. 四边都相等 B.对角线互相垂直且平分 C.对角线相等 D.对角线平分一组对角 2.下列命题中,假命题是 ( ) A.对角线互相平分的四边形是平行四边形. B.两条对角线相等的四边形是矩形. C.两条对角线互相垂直的矩形是正方形. D.两条对角线相等的菱形是正方形 3.如图，在□ABCD 中,BE 平分∠ABC ，则△ABE 的形状是 ． 4.如图，点 A 在直线 BM 上,AC 为一条射线,AD 和 AN 分别为∠BAC和∠MAC 的平分线，则 AD 与 AN 的位置关系是 . ( E E ) 拓展 2 在拓展 1 的条件下,如图3 ,连接 DE 交 AC 于 F． （1）判断四边形 ABDE 的形状,并证明你的结论． （2）线段 DF 与 AB 有怎样的关系？为什么？ （3）当△ABC 满足什么条件时, 四边形 ADCE 为正方形？ 拓展 3 在拓展 2 的条件下,如图 4,取 AB 的中点 G,连接 DG ．判断四边形 AGDF 的形状，并证明你的结论． 四、综合应用 提升能力 如图，在△ABC 中，点 O 是边 AC 上一个动点，过 O 作直线MN∥BC ，设 MN 交∠BCA 的平分线于点 E ，交∠BCA 的外角平分线于点 F． （1）请猜测 OE 与 OF 的大小关系，并说明你的理由； （2）点 O 运动到 AC 中点时，四边形 AECF 是什么特殊四边形？写出证明； （3）在（2）条件下，当△ABC 满足什么条件时，四边形 AECF 是正方形 五、链接中考 夯实基础 如图，在□ABCD 中，E 为 AB 的中点，F 为 ED 延长线上一点，连接 AF ，BF ，过点 B 作 BG∥AF 交 FE 的延长线于点 G ，连接 AG. （1）求证： ΔAEF ≌ ΔBEG; （2） 已知 （从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），请判 断四边形 AGBF 的形状，并证明你的结论. 条件①：E F =1/2 C D 条件②：E F⊥C D （注：如果选择条件①条件②分别进行解答，按第一个解答计分） 六、课堂总结 反思建构 通过本节课的学习你有哪些收获？ 七、分层作业 应用迁移 1 、已知：如图，在□ABCD 中，点 E 、F 分别是 BC 、AD的中点，连接 AE,CF,AC. AB 层（1）求证： △ABE≌△CDF. B 层（2）请给△ABC 添加一个条件，使得四边形 AECF 是矩形. B 层（3）若∠BAC=90 ° , 请判断四边形 AECF 的形状并证明. B 层 2.在平行四边形 ABCD 中，E 为 BC 中点，连接 AE 并延长，交 DC 的延长线于点 F ，连接 BF 、AC. 若∠AEC=2∠D ，判断四边形 ABFC 的形状. 特殊的平行四边形 答案 一、创设情景 回顾知识 1. 不等宽纸条交叉：平行四边形 2. 等宽纸条交叉：菱形 3. 学习顺序：四边形→平行四边形→矩形、菱形→正方形 关系：矩形、菱形是特殊平行四边形；正方形既是特殊矩形，也是特殊菱形。 二、固本夯基 轻松过关 1. C 2. B 3. 等腰三角形 4. 互相垂直 三、典例精析 形成方法 例1 结论： 理由：，平分，得； 分别平分邻补角，，即，故。 拓展1 结论：矩形 证明：，，，四个角为直角，是矩形。 拓展2 (1) 平行四边形 证明：矩形得，又，故，得证。 (2) ， 理由：为中点，中位线性质可得。 (3) 当为等腰直角三角形（）时，是正方形。 拓展3 结论：平行四边形 证明：是中点，结合，可得四边形为平行四边形。 四、综合应用 提升能力 (1) 理由：角平分线平行线，得等角对等边，，，故。 (2) 为中点时，四边形是矩形 证明：对角线互相平分得平行四边形，，故为矩形。 (3) 为**直角三角形（）**时，是正方形。 五、链接中考 夯实基础 (1) 证明： 是中点，；，，， 。 (2) 选①：四边形是矩形 由全等得，又，故是平行四边形； ，，则，对角线相等的平行四边形是矩形。 选②：四边形是菱形 ，，得，对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 七、分层作业 应用迁移 1 (1) 证明：平行四边形中，，，； 为中点，，。 (2) 添加条件：（答案不唯一）。 (3) 四边形是菱形 ，是中点，；结合，得证。 2 四边形是矩形 证明：先证，得，是平行四边形； 由，，推得，，对角线相等，故为矩形。 学科网（北京）股份有限公司 $