第六单元 三角形、平行四边形和梯形（期末知识清单）四年级数学下学期（苏教版）

第六单元 三角形、平行四边形和梯形 期末知识清单讲义 知识点一：认识三角形 1、三条线段首尾相接围成的图形叫作三角形。 生活中的三角形:生活中的三角形无处不在，如大桥的桥柱、斜拉索与桥面可以组成三角形。生活中一些物体的包装盒的面，一些积木的面等都是三角形。 2、三角形的特点。 （1）三角形有3条边、3个角和3个顶点。 （2）三角形的3条边都是线段。 （3）三角形的三条线段要首尾相接地围起来。 3、画三角形时，先确定三角形的三个顶点,然后把其中的每两个点均用线段连接起来即可。 4、三角形的三个顶点不能在同一条直线上,即过同一条直线上的三个点不能画出三角形。 5、三角形的底和高 （1）从三角形的一个顶点到对边的垂直线段是三角形的高，这条对边是三角形的底。 （2）三角形高的画法:通常用三角尺画三角形的高。 6、画三角形的高。 把三角尺的一条直角边与三角形指定的底重合,沿着这条底平移三角尺,使三角尺的另一条直角边经过这条底所对的顶点,沿着这条直角边从顶点向底边作垂线,顶点到底边的垂直线段就是三角形的高。 知识点二：三角形的三边关系和内角和。 1、三角形的三边关系。 在拼成的三角形中，任意两根小棒的长度一定大于第三根小棒的长度。 判断给定的三条线段能否围成三角形，只要计算出其中两条较短的线段的长度和，若它们的和大于第三条线段的长度，就一定能围成三角形。 2、观察发现：三角形的3个角拼在一起形成了一个平角，平角是180°，即3个内角的度数之和是180°。 3、四边形、五边形、六边形的内角和。 多边形可以分成几个三角形来计算内角和。四边形的内角和是360°，五边形的内角和是540°，六边形的内角和是720°。 4、探索任意多边形内角和的计算方法。 （1）多边形的内角和可以根据三角形的内角和推算出来。 （2）多边形可以分成几个小三角形，多边形的内角和就是几个180°。由此可得多边形得内角和=（多边形的边数-2）✖180°。 知识点三：三角形的分类。 1、三角形按角分类,可以分为三类：3个角都是锐角的三角形是锐角三角形;有一个角是直角的三角形是直角三角形;有一个角是钝角的三角形是钝角三角形。 2、各类三角形之间的联系: 各类三角形之间的联系可以用下图表示，把所有的三角形看作一个整体，锐角三角形、直角三角形和钝角三角形都是这个整体的一部分。 3、等腰三角形和等边三角形。 （1）两条边相等的三角形是等腰三角形。等腰三角形中,相等的两边叫作腰,另一条边叫作底。两腰的夹角叫作顶角,底边上的两个角叫作底角,如图。 （2）等腰三角形的底角相等。 （3）等腰三角形是轴对称图形,有1条对称轴,它底边上的高在它的对称轴上。 4、等边三角形及其特征: （1）3条边都相等的三角形是等边三角形，也叫作正三角形。 （2）等边三角形的3个角相等，等边三角形是轴对称图形，等边三角形有3条对称轴。 （3）三角形按边分类: 知识点四：平行四边形和梯形。 1、平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形。 2、特征: （1）平行四边形有4条边、4个角。 （2）平行四边形的两组对边分别平行。 （3）平行四边形的两组对边分别相等。 3、平行四边形的底和高的认识: 从平行四边形一条边上的一点到它对边的垂直线段,是平行四边形的高,这条对边是平行四边形的底。 4、梯形:只有一组对边平行的四边形叫作梯形。 5、认识梯形的底和高 互相平行的一组对边分别是梯形的上底和下底，不平行的一组对边是梯形的腰。从梯形一条底边上的一点到它对边的垂直线段叫作梯形的高。 6、梯形的分类 （1）直角梯形:如果梯形的一条腰和梯形的底互相垂直，那么这条腰就是梯形的高，这样的梯形叫作直角梯形。 （2）等腰梯形:两腰相等的梯形叫作等腰梯形。 题型1：三角形的认识 【例1】如图，两条平行线上分别有一个点和四个点，以这些点为顶点，一共可以组成（    ）个不同的三角形。 A．3 B．6 C．9 D．12 【练1】…… 数一数，图2中有（ ）个三角形。按这样的规律，图4中一共有（ ）个三角形。 【练2】如图，把两根钢条AB，CD的中点连在一起做成卡钳，可测量工件内槽的宽，已知AC的长度是6cm，则工件内槽的宽BD是（ ）cm。 题型2：三角形的高 【例2】画出下面三角形指定底边上的高。 【练3】画出下面三角形指定底边上的高。 【练4】画出下面三角形指定底边上的高。 题型3：三角形的特性 【例3】学校数学节纸桥承重比赛中，滨滨制作的纸桥放上重物后总是摇摆晃动，按下面选项（    ）的方法进行加固比较合理。 A． B． C． D． 【练5】下图是一台升降机，工人站在升降机上放心工作是因为（    ）。 A．升降机上的三角形具有稳定性 B．三角形有三条边 C．三角形任意两边之和大于第三边 【练6】如图，湛江海湾大桥斜拉桥的设计是利用了三角形（ ）性。 题型4：三角形的三边关系 【例4】聪聪有两根小棒，他想把其中的一根沿着整厘米刻度线剪一刀，哪种剪法可以围成一个三角形（    ）。（长度：厘米） A．① B．② C．③ D．④ 【练7】现有4厘米、5厘米、7厘米和12厘米长的小棒各1根，从中选3根围成一个三角形。要使它的周长最长，应选择（ ）厘米、（ ）厘米和（ ）厘米长的小棒。 【练8】有4根长度分别为7厘米、8厘米、13厘米、15厘米的木棒，利用这些木棒可以围成多少种不同的三角形，请全部列举出来。 题型5：三角形的内角和 【例5】如下图，在三角形ABC中，∠B＝70°。若沿图中的虚线剪出∠B，则∠1＋∠2等于（    ）。 A．250° B．270˚ C．225˚ 【练9】园园想要画一个每个角的度数都大于的三角形，（ ）画成（填“能”或“不能”），理由是（ ）。 【练10】如图，已知∠1＝60°，∠2＝20°，求∠C是多少度？ 题型6：多边形的内角和 【例6】下面可能是一个四边形的四个内角的度数的是（    ）。 A．30°；60°；90°；110° B．60°；140°；140°；20° C．90°；100°；35°；65° 【练11】如图，已知等腰梯形中∠1＝45°，那么∠2＝（ ）。 【练12】如图是三位同学探索五边形的内角和时的想法，你最喜欢哪种？请你任选其中两种想法，并计算出五边形的内角和。 （1）我选择想法（ ），算式：（ ）。 （2）我选择想法（ ），算式：（ ）。 题型7：三角形的分类 【例7】一个三角形的一个内角正好等于其余两个内角之和，它是一个（    ）三角形。 A．锐角 B．直角 C．钝角 【练13】如下图，三角形纸片被撕去了一个角。撕去的这个角的度数是（ ）°，原来这块纸片的形状，按角分是（ ）三角形。 【练14】下面是3块三角形玻璃打碎后分别留下的碎片。你知道它们原来各是什么三角形吗？（先计算，再判断）      题型8：等腰三角形和等边三角形的认识 【例8】两根小棒，长度分别为5cm和10cm，再选一根长（    ）cm的小棒就能拼成一个等腰三角形。 A．4 B．5 C．10 D．15 【练15】一个三角形的三条边长度都是，这是一个（ ）三角形，每个内角的度数都是（ ）。 【练16】“草长莺飞二月天，拂堤杨柳醉春烟。儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢。”又是一年早春时，正是放风筝的好时节。小明想买风筝店里的一个等腰三角形的风筝，已知它的顶角度数是底角度数的2倍。算出这个风筝的顶角是多少度即可半价购买，你能帮帮小明吗？ 题型9：画三角形 【例9】按要求在点子图上画三角形，并在每个三角形中至少画出1条高。 【练17】按要求在下面的方格中画三角形。 （1）既是等腰三角形，又是锐角三角形。 （2）既是等腰三角形，又是直角三角形。 （3）既是等腰三角形，又是钝角三角形。 【练18】画一个锐角三角形。 题型10：平行四边形和梯形的认识 【例10】将一张长方形纸与一张三角形纸随意交叉摆放，重叠部分可能是（    ）。 A．长方形 B．正方形 C．平行四边形 D．梯形 【练19】美术课上，乐乐用剪刀把一个平行四边形剪一刀把它分成两个图形。这两个图形不可能是（    ）。 A．三角形 B．长方形 C．平行四边形 D．梯形 【练20】在下图中，互相平行的线段有（ ）组，互相垂直的线段有（ ）组，有（ ）个梯形，有（ ）个平行四边形。 题型11：平行四边形和梯形的高 【例11】画出下面图形的高。 【练21】画出每个图形底边上的一条高。 【练22】画出下面图形指定底边上的高。 题型12：等腰梯形和直角梯形的认识 【例12】把一个直角梯形的上底延长3厘米，就变成了一个边长7厘米的正方形。原梯形的高是（    ）厘米。 A．10 B．7 C．4 D．3 【练23】下图中四边形ABCD是等腰梯形。现在把这个梯形分为一个平行四边形和一个三角形。这个三角形是（    ）三角形。 A．直角 B．钝角 C．等腰 D．等边 【练24】一个直角梯形下底的长度是上底的5倍，如果将梯形的上底延长16厘米，这个梯形就变成了长方形。这个梯形的上底是（ ）厘米，下底是（ ）厘米。 题型13：画平行四边形和梯形 【例13】画一画（小方格的边长表示1厘米）。 （1）在方格图中画一个上底为4厘米，下底为6厘米的梯形。 （2）在方格图中画一个高比对应的底少2厘米的平行四边形。 【练25】按要求作图。 （1）以线段EF为一条边，画一个平行四边形。 （2）画出这个平行四边形的一条高。 （3）找出点D，使四边形ABCD是直角梯形，画出这个梯形。 【练26】动手画。 （1）下面方格中每个小正方形的边长为1cm，请以给出的线段为底画一个高为3cm的平行四边形，并画出一条高。 （2）在画出的平行四边形中增加一条线段，把它分成两个梯形，并把其中一个梯形用阴影表示出来。    一、选择题 1．把一个平行四边形任意分割成两个梯形，这两个梯形的（    ）总是相等的。 A．周长 B．上底和下底的和 C．高 D．以上都有可能 2．一个长方形长12厘米，宽8厘米，把它拉成一个平行四边形，这个平行四边形的底是12厘米，它的高可能是（    ）厘米。 A．9 B．8 C．6 D．12 3．如图，共有（    ）个梯形。 A．8 B．9 C．10 D．11 4．聪聪准备把一根长10cm的吸管剪成3段围成三角形。如果第一刀剪在3cm处，那么第二刀在（    ）处剪才能围成三角形。 A．a B．b C．c D．d 5．在一个三角形中，有一个角是60°，另外的两个角可能是（    ）。 A．50°和50° B．50°和60° C．50°和70° D．60°和70° 6．如图所示，点A，B，C在方格纸上，任选一点D，使得以点A，B，C，D为顶点的四边形为梯形，则符合条件的点D的个数为（    ）个。 A．3 B．4 C．5 D．6 7．在平行四边形框架上钉一根木条进行加固，加固效果最差的是（    ）。 A． B． C． D． 8．如图，一块三角形的玻璃打碎成了三块，某同学要到玻璃店配一块与此玻璃形状和大小完全一样的玻璃，最省事的办法是带（    ）号玻璃去。 A．① B．② C．③ D．不能确定 二、填空题 9．如果等腰三角形的其中两个角的和是130度，则顶角是（ ）度或（ ）度。 10．一个等腰三角形，它的一个角是30°，那么它的另两个角可能是（ ）°和（ ）°，也可能是（ ）°和（ ）°。 11．下图是由6条直线相交而成，甲是平行四边形，乙是梯形，丙是（ ）形。 12．下图中有一个只露出一个角的三角形，按角分，这个三角形是（ ）。（填三角形种类） 13．长为、、、的四根木条，选其中三根组成三角形，有（ ）种选法。 14．下面每组中的三根小棒能围成三角形吗？（能的在下面括号里画“√”） （    ）               （    ）               （    ）              （    ） 15．如下图，这个直角梯形的上底为5分米，下底为10分米，高为5分米。这个梯形中的锐角是（ ）°。 16．数一数，图中有（ ）个平行四边形，有（ ）个梯形。 三、计算题 17．求出下面图中的∠1，∠2和∠3的度数。 18．如图，已知∠1＝52°，∠2＝32°，∠3＝45°。求∠5的度数。 四、作图题 19．请你在下面的方格纸上按要求量一量，画一画。 （1）量出方格纸中角的度数，并在图上标出来。 （2）以这个角的两条边为一组邻边，画一个平行四边形，并画出它的一条高。 （3）再画一个下底和高分别与题中平行四边形的底和高相等的等腰梯形。 五、解答题 20．数一数，下图中一共有多少个三角形？（每个小三角形的形状、大小都相同） 21．一个等腰三角形的周长是128厘米，一条腰长30厘米。乐乐说的这个三角形存在吗？请说明理由。 22．手工课上，同学们制作一个三角形摆件。其中一个角是36°，另一个角是这个角的2倍，第三个角是多少度？ 23．海海、乐乐和园园分别测量三个不同的等腰三角形的边长，根据他们测量的结果判断谁测量错了，并说明理由。 24．小区里有一个平行四边形的广告牌，相邻两边的长度是140厘米和60厘米，现在要在广告牌的四周钉一圈铝条，至少需要多少厘米的铝条？如果每米铝条的成本是65元，这块广告牌围一圈铝条需要多少钱？（不考虑接合处损耗） 25．一个高2厘米的梯形的下底是上底的3倍，将上底延长6厘米，就变成了一个平行四边形，这个梯形的上底是多少？下底呢？ 26．在一张长12厘米、宽9厘米的长方形纸上剪去两个等边三角形②和③后，刚好剩下图形①，那么图形①的周长是多少厘米？ 27．星期六，小明在家用一根竹条折成了一个等腰三角形的风筝框架。（充分考虑写出所有情况） （1）如果测得其中一个角是48度，另外两个角分别是多少度？ （2）如果量得这根竹条长是60厘米和其中一条边长是18厘米，另外两条边分别是多少厘米？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六单元 三角形、平行四边形和梯形 期末知识清单讲义 知识点一：认识三角形 1、三条线段首尾相接围成的图形叫作三角形。 生活中的三角形:生活中的三角形无处不在，如大桥的桥柱、斜拉索与桥面可以组成三角形。生活中一些物体的包装盒的面，一些积木的面等都是三角形。 2、三角形的特点。 （1）三角形有3条边、3个角和3个顶点。 （2）三角形的3条边都是线段。 （3）三角形的三条线段要首尾相接地围起来。 3、画三角形时，先确定三角形的三个顶点,然后把其中的每两个点均用线段连接起来即可。 4、三角形的三个顶点不能在同一条直线上,即过同一条直线上的三个点不能画出三角形。 5、三角形的底和高 （1）从三角形的一个顶点到对边的垂直线段是三角形的高，这条对边是三角形的底。 （2）三角形高的画法:通常用三角尺画三角形的高。 6、画三角形的高。 把三角尺的一条直角边与三角形指定的底重合,沿着这条底平移三角尺,使三角尺的另一条直角边经过这条底所对的顶点,沿着这条直角边从顶点向底边作垂线,顶点到底边的垂直线段就是三角形的高。 知识点二：三角形的三边关系和内角和。 1、三角形的三边关系。 在拼成的三角形中，任意两根小棒的长度一定大于第三根小棒的长度。 判断给定的三条线段能否围成三角形，只要计算出其中两条较短的线段的长度和，若它们的和大于第三条线段的长度，就一定能围成三角形。 2、观察发现：三角形的3个角拼在一起形成了一个平角，平角是180°，即3个内角的度数之和是180°。 3、四边形、五边形、六边形的内角和。 多边形可以分成几个三角形来计算内角和。四边形的内角和是360°，五边形的内角和是540°，六边形的内角和是720°。 4、探索任意多边形内角和的计算方法。 （1）多边形的内角和可以根据三角形的内角和推算出来。 （2）多边形可以分成几个小三角形，多边形的内角和就是几个180°。由此可得多边形得内角和=（多边形的边数-2）✖180°。 知识点三：三角形的分类。 1、三角形按角分类,可以分为三类：3个角都是锐角的三角形是锐角三角形;有一个角是直角的三角形是直角三角形;有一个角是钝角的三角形是钝角三角形。 2、各类三角形之间的联系: 各类三角形之间的联系可以用下图表示，把所有的三角形看作一个整体，锐角三角形、直角三角形和钝角三角形都是这个整体的一部分。 3、等腰三角形和等边三角形。 （1）两条边相等的三角形是等腰三角形。等腰三角形中,相等的两边叫作腰,另一条边叫作底。两腰的夹角叫作顶角,底边上的两个角叫作底角,如图。 （2）等腰三角形的底角相等。 （3）等腰三角形是轴对称图形,有1条对称轴,它底边上的高在它的对称轴上。 4、等边三角形及其特征: （1）3条边都相等的三角形是等边三角形，也叫作正三角形。 （2）等边三角形的3个角相等，等边三角形是轴对称图形，等边三角形有3条对称轴。 （3）三角形按边分类: 知识点四：平行四边形和梯形。 1、平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形。 2、特征: （1）平行四边形有4条边、4个角。 （2）平行四边形的两组对边分别平行。 （3）平行四边形的两组对边分别相等。 3、平行四边形的底和高的认识: 从平行四边形一条边上的一点到它对边的垂直线段,是平行四边形的高,这条对边是平行四边形的底。 4、梯形:只有一组对边平行的四边形叫作梯形。 5、认识梯形的底和高 互相平行的一组对边分别是梯形的上底和下底，不平行的一组对边是梯形的腰。从梯形一条底边上的一点到它对边的垂直线段叫作梯形的高。 6、梯形的分类 （1）直角梯形:如果梯形的一条腰和梯形的底互相垂直，那么这条腰就是梯形的高，这样的梯形叫作直角梯形。 （2）等腰梯形:两腰相等的梯形叫作等腰梯形。 题型1：三角形的认识 【例1】如图，两条平行线上分别有一个点和四个点，以这些点为顶点，一共可以组成（    ）个不同的三角形。 A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【分析】 以上面直线上的线段为底画三角形时，如图，先根据线段的计数方法数出线段的条数；上面直线上有多少条线段，则就可以以这些点为顶点组成多少个不同的三角形。 【解答】 如图，组成的不同三角形有ABE、ACE、ADE、BCE、BDE、CDE，共6个不同的三角形。 【练1】…… 数一数，图2中有（ ）个三角形。按这样的规律，图4中一共有（ ）个三角形。 【答案】3 10 【分析】观察图形可知，图2中单独的小三角形有2个，由2个小三角形组成的大三角形有1个，所以图2中三角形的个数为2＋1＝3（个）。图4中单独的小三角形有4个，由2个小三角形组成的三角形有3个，由3个小三角形组成的三角形有2个，由4个小三角形组成的大三角形有1个，然后将所有三角形的个数加起来即可。 【解答】根据分析： 图2的三角形个数为：1＋2＝3（个） 图4的三角形个数为：1＋2＋3＋4＝3＋3＋4＝6＋4＝10（个） 则图2中有3个三角形。按这样的规律，图4中一共有10个三角形。 【练2】如图，把两根钢条AB，CD的中点连在一起做成卡钳，可测量工件内槽的宽，已知AC的长度是6cm，则工件内槽的宽BD是（ ）cm。 【答案】6 【分析】 如图，AB，CD的中点是O，根据对顶角相等，所以∠BOD＝∠AOC，因为点O是AB和CD的中点，因此OC＝OD，OA＝OB，△AOC和△BOD是完全一样的两个三角形，AC＝BD，据此分析。 【解答】根据分析，工件内槽的宽BD和AC一样长，是6cm。 题型2：三角形的高 【例2】画出下面三角形指定底边上的高。 【答案】见详解 【分析】从三角形任一顶点向它的对边或者对边的延长线作垂线，从顶点到垂足间的线段叫做三角形的高，这个顶点所对的边叫做三角形的底。据此作图。 【解答】如图所示： 【练3】画出下面三角形指定底边上的高。 【答案】见详解 【分析】经过三角形的顶点（与底相对的点）向对边（底）作垂线，顶点和垂足之间的线段就是三角形的一条高，用三角板的直角可以画出三角形的高；据此画图。 【解答】如图： 【练4】画出下面三角形指定底边上的高。 【答案】见详解 【分析】从三角形一个顶点向它的对边作一条垂线，三角形顶点和垂足之间的线段称三角形这条边上的高。用三角尺的直角边即可画出三角形的高；并标出高即可。 【解答】 题型3：三角形的特性 【例3】学校数学节纸桥承重比赛中，滨滨制作的纸桥放上重物后总是摇摆晃动，按下面选项（    ）的方法进行加固比较合理。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形的特性，三角形结构具有不易变形的特性。四边形具有不稳定性。据此分析各选项，进而确定符合题意答案。 【解答】A．加固结构为四边形，四边形具有不稳定性，无法有效解决纸桥的摇晃问题。 B．加固结构为四边形，四边形具有不稳定性，无法有效解决纸桥的摇晃问题。 C．加固结构形成了三角形，能有效增强纸桥的稳固性，减少摇晃。 D．加固结构均为四边形，四边形具有不稳定性，无法有效解决纸桥的摇晃问题。 所以用选项C的方法进行加固比较合理。 故答案为：C 【练5】下图是一台升降机，工人站在升降机上放心工作是因为（    ）。 A．升降机上的三角形具有稳定性 B．三角形有三条边 C．三角形任意两边之和大于第三边 【答案】A 【分析】根据题意，明确三角形是一种稳定的几何图形，受到外力时三角形不易变形，因此用三角形结构能够让升降机更加稳固、安全。以此答题即可。 【解答】根据分析可知： 下图是一台升降机，工人站在升降机上放心工作是因为升降机上的三角形具有稳定性。 故答案为：A 【练6】如图，湛江海湾大桥斜拉桥的设计是利用了三角形（ ）性。 【答案】稳定 【分析】在实际生活里，像桥梁、建筑等结构常利用三角形稳定性来保持牢固，不会轻易变形。 【解答】三角形具有稳定性，很多建筑结构利用三角形的稳定性来增加牢固性，湛江海湾大桥斜拉桥设计利用了三角形的稳定性这一特性。 题型4：三角形的三边关系 【例4】聪聪有两根小棒，他想把其中的一根沿着整厘米刻度线剪一刀，哪种剪法可以围成一个三角形（    ）。（长度：厘米） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】根据三角形三边关系，三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，对每个选项中三根小棒的长度进行分析判断，看是否能围成三角形。 【解答】A．将8厘米的小棒剪成1厘米和7厘米两段，此时三根小棒长度分别为1厘米、7厘米、5厘米。两边之和：1＋5＝6（厘米），6厘米＜7厘米，不满足三角形任意两边之和大于第三边的条件，所以不能围成三角形，A选项错误。 B．将8厘米的小棒剪成6厘米和2厘米两段，此时三根小棒长度分别为6厘米、2厘米、5厘米。2＋5＞6，2＋6＞5，6＋5＞2，所以能围成三角形，B选项正确。 C．将5厘米的小棒剪成2厘米和3厘米两段，此时三根小棒长度分别为8厘米、2厘米、3厘米。两边之和：2＋3＝5（厘米），5厘米＜8厘米，不满足三角形任意两边之和大于第三边的条件，所以不能围成三角形，C选项错误。 D．将5厘米的小棒剪成1厘米和4厘米两段，此时三根小棒长度分别为1厘米、4厘米、8厘米。两边之和：1＋4＝5（厘米），5厘米＜8厘米，不满足三角形任意两边之和大于第三边的条件，所以不能围成三角形，D选项错误。 故答案为：B 【练7】现有4厘米、5厘米、7厘米和12厘米长的小棒各1根，从中选3根围成一个三角形。要使它的周长最长，应选择（ ）厘米、（ ）厘米和（ ）厘米长的小棒。 【答案】4 5 7 【分析】根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，即可解答。 【解答】要使周长最长，首先选5厘米、7厘米、12厘米的三根小棒，但是不满足任意两边之和大于第三边，因此不能选12厘米；即应选择4厘米、5厘米、7厘米这三根小棒。 故要使它的周长最长，应选择4厘米、5厘米和7厘米长的小棒。 【练8】有4根长度分别为7厘米、8厘米、13厘米、15厘米的木棒，利用这些木棒可以围成多少种不同的三角形，请全部列举出来。 【答案】3种；分别为边长为7厘米、8厘米、13厘米，边长为7厘米、13厘米、15厘米和边长为8厘米、13厘米、15厘米的三角形。 【分析】根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，三角形两边之差小于第三边，合理选用3根木棒围成三角形，再验证是否满足三角形的三边关系条件。 【解答】第一种：7＋8＝15（厘米），15厘米＞13厘米，13－7＝6（厘米），6厘米＜8厘米，因此围成边长为7厘米、8厘米、13厘米的三角形； 第二种：7＋13＝20（厘米），20厘米＞15厘米，15－7＝8（厘米），8厘米＜13厘米，因此围成边长为7厘米、13厘米、15厘米的三角形； 第三种：8＋13＝21（厘米），21厘米＞15厘米，15－8＝7（厘米），7厘米＜13厘米，因此围成边长为8厘米、13厘米、15厘米的三角形。 第四种：7＋8＝15（厘米），15厘米＝15厘米，不满足三角形两边之和大于第三边的要求，因此，7厘米、8厘米、15厘米不能围成三角形。 答：可以围成3种不同的三角形，分别为边长为7厘米、8厘米、13厘米，边长为7厘米、13厘米、15厘米和边长为8厘米、13厘米、15厘米的三角形。 题型5：三角形的内角和 【例5】如下图，在三角形ABC中，∠B＝70°。若沿图中的虚线剪出∠B，则∠1＋∠2等于（    ）。 A．250° B．270˚ C．225˚ 【答案】A 【分析】如图，在三角形ABC中，∠B＝70˚，根据三角形内角和为180˚，用180˚减去∠B即可求出∠A和∠C的和；再根据四边形内角和为360°，用360˚减去∠A和∠C的和，即可得到∠1＋∠2的度数。 【解答】∠A＋∠C： ∠1＋∠2： 故答案为：A 【练9】园园想要画一个每个角的度数都大于的三角形，（ ）画成（填“能”或“不能”），理由是（ ）。 【答案】不能 三角形的内角和是180° 【分析】根据三角形的内角和是180°，如果每个内角都大于60°，那么三个内角的和就大于180°。据此进行分析。 【解答】根据分析得：园园想要画一个每个角的度数都大于的三角形，不能画成，理由是三角形的内角和是180°。 【练10】如图，已知∠1＝60°，∠2＝20°，求∠C是多少度？ 【答案】∠C＝40° 【分析】∠1与它相邻的角组成平角，平角为180°，所以用180°减去∠1的度数，即可得到与∠1右边的角的度数。在大三角形ABC中，已知其中一个角为120°，另一个角为∠2，根据三角形内角和定理，三角形内角和为180°，所以用180°减去∠2和与∠1右边的角的度数，就能得到∠C的度数。据此解答。 【解答】180°－60°＝120° 180°－20°－120° ＝160°－120° ＝40° ∠C是40°。 题型6：多边形的内角和 【例6】下面可能是一个四边形的四个内角的度数的是（    ）。 A．30°；60°；90°；110° B．60°；140°；140°；20° C．90°；100°；35°；65° 【答案】B 【分析】四边形的内角和是360°，分别计算每个选项中四个角的度数之和，等于360°的即为正确选项。 【解答】A. ，，不符合； B. ，，符合； C. ，，不符合。 故答案为：B 【练11】如图，已知等腰梯形中∠1＝45°，那么∠2＝（ ）。 【答案】135° 【分析】等腰梯形是一个四边形，一个四边形的内角和是360°，等腰梯形的两底角相等，用360°减去2个45°，求出的差再除以2，即可求出∠2的度数。 【解答】360°－2×45° ＝360°－90° ＝270° 270°÷2＝135° 所以∠2＝135°。 【练12】如图是三位同学探索五边形的内角和时的想法，你最喜欢哪种？请你任选其中两种想法，并计算出五边形的内角和。 （1）我选择想法（ ），算式：（ ）。 （2）我选择想法（ ），算式：（ ）。 【答案】（1A 180°×3＝540° （2）B 180°×4－180°＝540° 【分析】（1）选择A，五边形被分成3个三角形，利用三角形的内角和是180°，所以五边形的内角和等于3个三角形的内角和。 （2）选择B，五边形被分成4个三角形，五边形的内角和等于4个三角形的内角和减去180°（因为多算了一个平角180°）。 （3）选择C，五边形被分成5个三角形，五边形的内角和等于5个三角形的内角和减去360°（因为多算了一个周角360°）。 据此任选两种解答即可。（答案不唯一） 【解答】（1）我选择想法A，算式：180°×3＝540°。 （2）我选择想法B，算式： 180°×4－180° ＝720°－180° ＝540° 题型7：三角形的分类 【例7】一个三角形的一个内角正好等于其余两个内角之和，它是一个（    ）三角形。 A．锐角 B．直角 C．钝角 【答案】B 【分析】先明确三角形内角和为180°，再通过假设法根据题目条件求出该内角的度数，最后判断三角形类型。 【解答】题目中提到一个内角正好是其余两个内角之和，假设这个内角的度数看作2份，其余两个内角的度数看作各为1份，则两个内角之和的份数为份。又因为三角形内角和为180°，内角和的总份数为份，那么1份的度数为，这个内角的度数占2份，为。根据三角形按角分类的方法，有一个角是直角（90度）的三角形是直角三角形。因此，一个三角形的一个内角正好等于其余两个内角之和，它是一个直角三角形。 故答案为：B 【练13】如下图，三角形纸片被撕去了一个角。撕去的这个角的度数是（ ）°，原来这块纸片的形状，按角分是（ ）三角形。 【答案】57 锐角 【分析】根据三角形的内角和是180°计算出撕去角的度数；再根据三角形按角分类规则判断：三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，有一个角是直角的三角形是直角三角形，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形。 【解答】180°－66°－57° ＝114°－57° ＝57° 三个角都大于0°，小于90°。 所以撕去的这个角的度数是57°，原来这块纸片的形状，按角分是锐角三角形。 【练14】下面是3块三角形玻璃打碎后分别留下的碎片。你知道它们原来各是什么三角形吗？（先计算，再判断）      【答案】（1）钝角三角形； （2）锐角三角形（等边三角形）； （3）直角三角形 【分析】 根据三角形内角和为180°，用180°减去已知的两个角的度数，求出第三个角的度数，再根据角的度数判断三角形类型：三个角都是锐角的三角形是锐角三角形；有一个角是直角（90°）的三角形是直角三角形；有一个角是钝角（大于90°小于180°）的三角形是钝角三角形；三个角都相等（60°）的三角形是等边三角形，等边三角形是特殊的锐角三角形。 【解答】 （1） 因为103°是钝角，所以该三角形是钝角三角形。 答：原来的三角形是钝角三角形。 （2） 三个角都是60°，所以该三角形是锐角三角形（等边三角形）。 答：原来的三角形是锐角三角形（等边三角形）。 （3） 因为90°是直角，所以该三角形是直角三角形。 答：原来的三角形是直角三角形。 题型8：等腰三角形和等边三角形的认识 【例8】两根小棒，长度分别为5cm和10cm，再选一根长（    ）cm的小棒就能拼成一个等腰三角形。 A．4 B．5 C．10 D．15 【答案】C 【分析】等腰三角形要求至少两条边长度相等。已知两根小棒长度分别为5cm和10cm，不相等，因此第三根小棒的长度必须等于5cm或10cm，才能满足等腰条件。结合三角形的任意两边之和大于第三边，分情况进行讨论即可解答。 【解答】如果选取小棒的长度是5cm： 5＋5＝10（cm） 此时不能构成三角形，所以不能选5cm的小棒。 如果选取第三边的长度是10cm： 10＋10＞5 能构成等腰三角形。 所以再选一根长10cm的小棒就能拼成一个等腰三角形。 故答案为：C 【练15】一个三角形的三条边长度都是，这是一个（ ）三角形，每个内角的度数都是（ ）。 【答案】等边 60 【分析】一个三角形的三条边长度相等，这个三角形是等边三角形，三个角相等。根据三角形的内角和为180°，可求出一个内角是180°÷3。据此可得出。 【解答】由分析可得出，三条边长度相等的三角形是等边三角形，等边三角形的3个内角的度数相等，即180÷3＝60°。 【练16】“草长莺飞二月天，拂堤杨柳醉春烟。儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢。”又是一年早春时，正是放风筝的好时节。小明想买风筝店里的一个等腰三角形的风筝，已知它的顶角度数是底角度数的2倍。算出这个风筝的顶角是多少度即可半价购买，你能帮帮小明吗？ 【答案】顶角是90°。 【分析】利用等腰三角形底角相等的性质，结合三角形内角和180°，即可算出顶角的度数。根据“它的顶角度数是底角度数的2倍”，可以将顶角看作2份，则底角就是1份，有两个相等的底角，底角一共有2份。用三角形内角和180°除以总份数，可以算得每份的度数，进而可算出顶角的度数。 【解答】180°÷（2＋1＋1） ＝180°÷4 ＝45° 顶角：45°×2＝90° 答：这个风筝的顶角是90°。 题型9：画三角形 【例9】按要求在点子图上画三角形，并在每个三角形中至少画出1条高。 【答案】见详解 【分析】直角三角形：有一个角是直角的三角形；钝角三角形：有一个角是钝角的三角形；等腰三角形：有两条边相等的三角形。在等腰三角形中，相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底。从三角形任一顶点向它的对边或者对边的延长线作垂线，从顶点到垂足间的线段叫做三角形的高。这个顶点所对的边叫做三角形的底。每个三角形都有三个底和对应的高。 【解答】 【练17】按要求在下面的方格中画三角形。 （1）既是等腰三角形，又是锐角三角形。 （2）既是等腰三角形，又是直角三角形。 （3）既是等腰三角形，又是钝角三角形。 【答案】见详解 【分析】（1）既是等腰三角形，又是锐角三角形，三角形中有两条边长度相等，三个内角都是锐角； （2）既是等腰三角形，又是直角三角形，三角形中有两条边长度相等，有一个内角是直角，直角是等腰三角形的顶角； （3）既是等腰三角形，又是钝角三角形，三角形中有两条边长度相等，有一个内角是钝角，钝角是等腰三角形的顶角，据此画图。 【解答】根据分析画图如下： 【练18】画一个锐角三角形。 【答案】见详解 【分析】根据锐角三角形的意义：三个角都是锐角的三角形，叫做锐角三角形；要使三角形的三个角都小于90°，只需保证所选的三个点连成的三条边互相夹角没有直角或钝角即可。以此画图即可。（答案不唯一） 【解答】根据分析画图如下： 题型10：平行四边形和梯形的认识 【例10】将一张长方形纸与一张三角形纸随意交叉摆放，重叠部分可能是（    ）。 A．长方形 B．正方形 C．平行四边形 D．梯形 【答案】D 【分析】根据题意，长方形有两组平行边，与三角形随意交叉后，若重叠区域是四边形，则必有一组对边平行，因此该重叠部分可能是梯形；特殊情况下也可能重叠成三角形等，但在选项中能出现的四边形就是梯形。以此选择即可。 【解答】根据分析可知： 将一张长方形纸与一张三角形纸随意交叉摆放，重叠部分可能是梯形。 故答案为：D 【练19】美术课上，乐乐用剪刀把一个平行四边形剪一刀把它分成两个图形。这两个图形不可能是（    ）。 A．三角形 B．长方形 C．平行四边形 D．梯形 【答案】B 【分析】根据平行四边形具有对边平行且相等的性质。剪一刀即沿一条直线切割，将平行四边形分成两个部分。判断选项中哪个图形不可能成为分割后的两个图形之一，对于一般平行四边形，剪一刀后可以得到三角形、平行四边形或梯形，但无法得到长方形，因为长方形要求所有角为直角，而一般平行四边形的角不是直角，切割后新图形的角也不会都是直角，据此解答。 【解答】A．三角形。从一个顶点剪到对边，可以得到一个三角形和一个梯形。因此，可能是三角形，不符合题意； B．长方形。长方形必须四个角都是直角。在一般平行四边形中，没有直角。剪一刀后，新形成的图形不可能所有角都是直角，因此不可能得到长方形，符合题意； C．平行四边形。沿着平行于底边的方向剪一刀，可以得到两个较小的平行四边形。因此，可能是平行四边形，不符合题意； D．梯形。梯形是只有一组对边平行的四边形。从一个顶点剪到对边，可以得到一个三角形和一个梯形，所以可能是梯形，不符合题意。 故答案为：B 【练20】在下图中，互相平行的线段有（ ）组，互相垂直的线段有（ ）组，有（ ）个梯形，有（ ）个平行四边形。 【答案】6 4 3 2 【分析】根据垂直和平行的性质：在同一平面内相交成直角的两条直线叫做互相垂直，不相交的两条直线叫做平行线，梯形是只有一组对边平行的四边形，平行四边形是两组对边分别平行的四边形，据此即可得出。 【解答】互相平行的线段有6组，互相垂直的线段有4组，有3个梯形，有2个平行四边形。 题型11：平行四边形和梯形的高 【例11】画出下面图形的高。 【答案】见详解 【分析】在平行四边形中，从一条边上的任意一点向对边作垂线，这点与垂足间的距离叫做以这条边为底的平行四边形的高，平行四边形有无数条高，习惯上作平行四边形的高时都从一个顶点出发作一边的垂线，用三角板的直角可以画出平行四边形的高；梯形两底间的距离叫做梯形的高，梯形也有无数条高，通常过上底的一个顶点作下底的垂线，用三角板的直角可以画出梯形的一条高。 【解答】根据平行四边形和梯形高的画法作图即可，如图： 【练21】画出每个图形底边上的一条高。 【答案】见详解 【分析】从三角形一个顶点向它的对应边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段称为三角形这条边上的高，这条边叫做底； 在平行四边形中，从一条边上的任意一点向对边作垂线，这点与垂足间的距离叫做以这条边为底的平行四边形的高； 梯形的高，过梯形上底的一个顶点向下底作垂线，顶点和垂足之间的线段就是梯形的一条高；据此解题即可。 【解答】画出每个图形底边上的一条高，如下图： （画法不唯一） 【练22】画出下面图形指定底边上的高。 【答案】见详解 【分析】从梯形的上底任取一点向下底所在的直线画垂线，顶点到垂足之间的线段就是梯形的高。 从平行四边形任一顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点到垂足之间的线段就是平行四边形的高。 【解答】 题型12：等腰梯形和直角梯形的认识 【例12】把一个直角梯形的上底延长3厘米，就变成了一个边长7厘米的正方形。原梯形的高是（    ）厘米。 A．10 B．7 C．4 D．3 【答案】B 【分析】梯形是指一组对边平行（称为底）而另一组对边不平行的四边形。直角梯形是指其中有一个角是直角的梯形。在直角梯形中，与两条平行底边相邻的腰中，有一条是垂直于底边的，这条腰就是梯形的高。 根据题意，梯形的上底（较短的底边）延长3厘米后，梯形的形状发生了变化，变成了一个边长为7厘米的正方形。因为正方形的四条边相等，且四个角都是直角，那么原来的梯形是个直角梯形，且高等于正方形的边长。 【解答】由分析可知：把一个直角梯形的上底延长3厘米，就变成了一个边长7厘米的正方形。原梯形的高等于正方形的边长7厘米。 故答案为：B 【练23】下图中四边形ABCD是等腰梯形。现在把这个梯形分为一个平行四边形和一个三角形。这个三角形是（    ）三角形。 A．直角 B．钝角 C．等腰 D．等边 【答案】C 【分析】平行四边形的两组对边相等，则把这个梯形分为一个平行四边形和一个三角形，要画的这条线段必须与梯形的一条腰相等，而这个梯形是等腰梯形，两条腰相等，那么这个三角形是等腰三角形。 【解答】 无论哪种方法，这个梯形分为一个平行四边形和一个三角形后，这个三角形是等腰三角形。 故答案为：C 【练24】一个直角梯形下底的长度是上底的5倍，如果将梯形的上底延长16厘米，这个梯形就变成了长方形。这个梯形的上底是（ ）厘米，下底是（ ）厘米。 【答案】4 20 【分析】直角梯形下底是上底的5倍，如果将上底延长16厘米，就变成了一个长方形，据此可知16厘米相当于梯形上底的（5－1）倍，据此用16除以（5－1）即可求出上底的长度；用上底的长度乘5即可求出下底的长度。 【解答】上底： （厘米） 下底：（厘米） 所以这个梯形的上底是4厘米，下底是20厘米。 题型13：画平行四边形和梯形 【例13】画一画（小方格的边长表示1厘米）。 （1）在方格图中画一个上底为4厘米，下底为6厘米的梯形。 （2）在方格图中画一个高比对应的底少2厘米的平行四边形。 【答案】（1）见详解 （2）见详解 【分析】（1）绘制上底为4厘米、下底为6厘米的梯形：在方格纸上先确定梯形的上下两条水平线。在上边线上量取4格（表示4厘米），在下边线上量取6格（表示6厘米）。连接上下边线两侧的端点，即可得到一个梯形。 （2）绘制“高比对应的底少2厘米”的平行四边形：先在方格纸上画出一条水平线作为底边，设定长度为B格。因为高比底少2厘米，所以高＝B－2（格）。在底边上方竖直向上量出（B－2）格，再画一条与底边等长（B格）且平行的线段作为顶边。将顶边与底边的左右端点用斜线相连，即可得到一个平行四边形。 【解答】（1）在方格图中画一个上底为4厘米，下底为6厘米的梯形如下： （2）5－2＝3（厘米） 在方格图中画一个高比对应的底少2厘米的平行四边形（底是5厘米，高是3厘米）如下： （画法不唯一） 【练25】按要求作图。 （1）以线段EF为一条边，画一个平行四边形。 （2）画出这个平行四边形的一条高。 （3）找出点D，使四边形ABCD是直角梯形，画出这个梯形。 【答案】见详解 【分析】根据平行四边形和梯形的特点画图。 （1）平行四边形的两组对边分别平行且相等，找到线段EF（并数出长度），在网格中任意找一点G，从G点出发作一条与EF平行且长度相等的线段GH，连接E到G，F到H，这样四边形EFHG就是平行四边形。（答案不唯一） （2）高是指从平行四边形的一条边上的任意一点，向它的对边作垂线，这点和垂足之间的线段即为高。以画出的平行四边形EFHG的一条边，选择EF为底边，在它的对边GH上任意找一点，向底边EF作一条垂线，标出直角符号，即为平行四边形的高。 （3）有一个角是直角，并且只有一组对边平行，另一组对边不平行的四边形是直角梯形。观察图中给出三个点A、B、C，需要构造出一个直角，所以从A点出发向上作一条垂直于AB的线段AD，连接D和C，形成四边形ABCD，并且AB和DC是平行的，并且AD垂直于AB，所以ABCD是一个直角梯形。 【解答】（1）（2）（3）画图如下： （答案不唯一） 【练26】动手画。 （1）下面方格中每个小正方形的边长为1cm，请以给出的线段为底画一个高为3cm的平行四边形，并画出一条高。 （2）在画出的平行四边形中增加一条线段，把它分成两个梯形，并把其中一个梯形用阴影表示出来。    【答案】见详解 【分析】（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形，高画出3格；平行四边形作高的方法：从底边对边的一个顶点向底边作一条垂线，这点和垂足之间的距离就是平行四边形的高； （2）只有一组对边平行的四边形叫做梯形，据此在画出的平行四边形中增加一条线段，把它分成两个梯形，并把其中一个梯形用阴影表示出来。 【解答】（1）、（2）如下图所示： （第（2）小题的画法不唯一） 一、选择题 1．把一个平行四边形任意分割成两个梯形，这两个梯形的（    ）总是相等的。 A．周长 B．上底和下底的和 C．高 D．以上都有可能 【答案】C 【分析】平行四边形的两组对边平行，它有无数条高且都是相等的，所以把一个平行四边形任意分割成两个梯形，这两个梯形的高是相等的；梯形的周长、上底和下底的和与它的上下底有关，所以分成的梯形的周长、上底和下底的和不一定相等。据此分析解答。 【解答】把一个平行四边形任意分割成两个梯形，两个梯形的高还是等于原平行四边形的高；把一个平行四边形任意分割成两个梯形，这两个梯形上底和下底并不一定相等，所以周长、上底和下底的和不一定相等。 故答案为：C 2．一个长方形长12厘米，宽8厘米，把它拉成一个平行四边形，这个平行四边形的底是12厘米，它的高可能是（    ）厘米。 A．9 B．8 C．6 D．12 【答案】C 【分析】一个长方形长是12厘米，宽是8厘米。把长方形拉成平行四边形后，底的长度不变（这里底是12厘米），但是高会变小，因为平行四边形的高是从一边向对边作的垂线段，拉的过程中倾斜程度变大，高小于原来长方形的宽（8厘米）。 【解答】A．9厘米＞8厘米，不符合高小于8厘米的要求，该选项错误。 B．8厘米＝8厘米，不符合高小于8厘米的要求，该选项错误。 C．6厘米＜8厘米，拉成平行四边形后高小于8厘米，该选项正确。 D．12厘米＞8厘米，不符合高小于8厘米的要求，该选项错误。 所以平行四边形的高可能是6厘米。 故答案为：C 3．如图，共有（    ）个梯形。 A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【分析】根据题意，明确梯形是有一组对边平行的四边形，仔细观察图形可知，图形共有5条横边，第一条边分别与第二、三、四、五条边组成4个梯形；第二条边分别与第三、四、五条边组成3个梯形；第三条边分别与第四、五条边组成2个梯形；第四条边与第五条边组成1个梯形；把梯形的数量相加，就是梯形的总数量，以此选择即可。 【解答】根据分析可知： 4＋3＋2＋1＝10（个） 如图，共有10个梯形。 故答案为：C 4．聪聪准备把一根长10cm的吸管剪成3段围成三角形。如果第一刀剪在3cm处，那么第二刀在（    ）处剪才能围成三角形。 A．a B．b C．c D．d 【答案】C 【解答】根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，先确定第一刀剪后余下两段长度和，再分析第二刀的位置。 【解答】A．a处剪开，三条边分别是3厘米、1厘米、10－1－3＝6（厘米）； 1＋3＜6，不能围成三角形； B．b处剪开，三条边分别是3厘米、2厘米、10－3－2＝5（厘米）； 2＋3＝5，不能围成三角形； C．c处剪开，三条边分别是3厘米、3厘米、10－3－3＝4（厘米）； 3＋3＞4，能围成三角形； D．d处剪开，三条边分别是3厘米、1厘米、10－3－1＝6（厘米） 3＋1＜6，不能围成三角形；。 所以第2刀应该选在C处。 故答案为：C 5．在一个三角形中，有一个角是60°，另外的两个角可能是（    ）。 A．50°和50° B．50°和60° C．50°和70° D．60°和70° 【答案】C 【分析】三角形的内角和是180°，已知一个角是60°，那么另外两个角的度数之和应该是180°－60°＝120°；只需要依次判断每个选项中两个角的度数之和是否为120°；据此可解此题。 【解答】A．50°和50°，50°＋50°＝100°，100°不等于120°，不符合； B．50°和60°，50°＋60°＝110°，110°不等于120°，不符合； C．50°和70°，50°＋70°＝120°，120°等于120°，符合； D．60°和70°，70°＋60°＝130°，130°不等于120°，不符合； 在一个三角形中，有一个角是60°，另外的两个角可能是50°和70°。 故答案为：C 6．如图所示，点A，B，C在方格纸上，任选一点D，使得以点A，B，C，D为顶点的四边形为梯形，则符合条件的点D的个数为（    ）个。 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】梯形是一组对边平行而另一组对边不平行的四边形，据此在方格中寻找能使以点A，B，C，D为顶点的四边形为梯形的格点。 【解答】如图： 如图所示，点A，B，C在方格纸上，任选一点D，使得以点A，B，C，D为顶点的四边形为梯形，则符合条件的点D的个数为6个。 故答案为：D 7．在平行四边形框架上钉一根木条进行加固，加固效果最差的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】因为三角形具有稳定性，当钉的一根木条能与平行四边形中的边围成三角形稳定，加固效果好，否则加固效果差。 【解答】 A．，在平行四边形框架上钉一根木条进行加固构成三角形，加固效果好； B．，在平行四边形框架上钉一根木条进行加固右边构成三角形，加固效果好； C．，在平行四边形框架上钉一根木条进行加固左下角构成三角形，加固效果好； D．，在平行四边形框架上钉一根木条进行加固没有构成三角形，加固效果最差。 故答案为：D 8．如图，一块三角形的玻璃打碎成了三块，某同学要到玻璃店配一块与此玻璃形状和大小完全一样的玻璃，最省事的办法是带（    ）号玻璃去。 A．① B．② C．③ D．不能确定 【答案】C 【分析】要想还原玻璃的原状，最重要的就是知道三角形各角的度数和各边的长度，据此分析每个选项选择即可。 【解答】A．①只能知道一个角的度数，不知道两条边的长度，无法确定三角形； B．②不能知道边的长短，无法确定三角形； C．③保留了原三角形的两个角和一条边，只要延长另两条边相交就还原了玻璃的形状，能确定三角形。 所以最省事的办法是带③号玻璃去。 故答案为：C 二、填空题 9．如果等腰三角形的其中两个角的和是130度，则顶角是（ ）度或（ ）度。 【答案】50 80 【分析】因为等腰三角形的两个底角相等，且三角形内角和为180°，所以分两种情况分析：一是这两个角为两个底角，二是这两个角为一个底角和顶角，再结合内角和与等腰三角形的性质分别求顶角。 【解答】等腰三角形内角和为180°，分两种情况： 若两个底角的和是130°，则顶角：180°－130°＝50° 若一个底角与顶角的和是130°，则底角：180°－130°＝50° 顶角：180°－50°×2 ＝180°－100° ＝80° 顶角是50度或80度。 10．一个等腰三角形，它的一个角是30°，那么它的另两个角可能是（ ）°和（ ）°，也可能是（ ）°和（ ）°。 【答案】30 120 75 75 【分析】等腰三角形的两腰相等，两个底角相等，三角形的内角和是180°，当30°为底角时，则另一个角也是30°，而用180°减去另外两个角的度数之和，就是顶角的度数；当30°为顶角时，用180°减去30°后，再除以2，就是两个底角的度数，依此解答。 【解答】当30°为底角时： 当30°为顶角时： 一个等腰三角形，它的一个角是30°，那么它的另两个角可能是30°和120°，也可能是75°和75°。 11．下图是由6条直线相交而成，甲是平行四边形，乙是梯形，丙是（ ）形。 【答案】梯 【分析】两组对边分别平行的四边形是平行四边形。只有一组对边平行的四边形是梯形。由题意得，甲是平行四边形，所以图形甲的两组对边所在的直线互相平行。乙是梯形，所以图形乙的一组对边所在的直线互相平行，另一组对边所在的直线会相交（斜着的两条直线）。在图形丙中，一组对边所在的直线互相平行，另一组对边所在的直线会相交，所以图形丙是梯形。 【解答】由分析得，图形丙是梯形。 12．下图中有一个只露出一个角的三角形，按角分，这个三角形是（ ）。（填三角形种类） 【答案】钝角三角形 【分析】直角三角形：有1个直角；锐角三角形：3个角都是锐角；钝角三角形：有一个钝角。观察题干中的三角形，露出的角是钝角，据此可得出三角形的种类。 【解答】由分析可得出，这个三角形是钝角三角形。 13．长为、、、的四根木条，选其中三根组成三角形，有（ ）种选法。 【答案】2 【分析】三角形的三边关系：三角形的两边之和一定大于第三边。需要分别计算每两边之和，并与第三边比较。 【解答】每三根组合，有10，7，5；10，7，3；10，5，3；7，5，3四种情况。 根据三角形的三边关系，得其中的10，7，3；10，5，3不能组成三角形。 能够组成三角形的有2种选法，它们分别是10，7，5；7，5，3。 长为、、、的四根木条，选其中三根组成三角形，有2种选法。 14．下面每组中的三根小棒能围成三角形吗？（能的在下面括号里画“√”） （    ）               （    ）               （    ）              （    ） 【答案】见详解 【分析】三角形三边的关系：任意两边之和大于第三边（较短两边之和大于第三边）。据此解答。 【解答】（1）2＋4＝6（厘米），6厘米＝6厘米，即这三根小棒无法围成三角形。 （2）3＋5＝8（厘米），8厘米＜9厘米，即这三根小棒无法围成三角形。 （3）3＋5＝8（厘米），8厘米＞5厘米，即这三根小棒可以围成三角形。 （4）5＋5＝10（厘米），10厘米＞5厘米，即这三根小棒可以围成三角形。 15．如下图，这个直角梯形的上底为5分米，下底为10分米，高为5分米。这个梯形中的锐角是（ ）°。 【答案】45 【分析】直角梯形有两个直角，过上底的一个顶点作下底的垂线，可将直角梯形分成一个矩形和一个直角三角形。已知上底为5分米，下底为10分米，高为5分米，下底与上底的差就是直角三角形的一条直角边，另一条直角边为梯形的高，根据等腰直角三角形的性质可求出锐角的度数。 【解答】在直角梯形中，有两个角是直角（90°）。已知上底为5分米，下底为10分米，高为5分米。过上底的一个端点作高，可将梯形分成一个矩形和一个直角三角形，其中直角三角形的一条直角边为高（5分米），另一条直角边为下底与上底的差（分米）。 在这个直角三角形中，两条直角边相等，所以它是等腰直角三角形，其锐角为45°，即梯形中的锐角为45°。 16．数一数，图中有（ ）个平行四边形，有（ ）个梯形。 【答案】3 6 【分析】根据题意，明确两组对边分别平行且相等的四边形叫做平行四边形，只有一组对边平行的四边形叫做梯形。在图上各个点标上字母，再数出个数即可。 【解答】根据分析可知： 如上图，ACFD；DFMG；ACMG，是平行四边形，共3个。ADEB；BEFC；DEKG；EFMK；BCMK；BKGA；是梯形，共6个。 图中有3个平行四边形，有6个梯形。 三、计算题 17．求出下面图中的∠1，∠2和∠3的度数。 【答案】 【分析】因为与86°角组成平角，平角为180°，所以； 四边形内角和为360°，已知其中三个角分别为100°，92°，，所以； 因为与100°角组成平角，平角为180°，所以为80°。 【解答】 18．如图，已知∠1＝52°，∠2＝32°，∠3＝45°。求∠5的度数。 【答案】51° 【分析】根据题意，明确三角形的内角和是180°，已知∠2＝32°，∠3＝45°，用180°减去32°，再减去45°，求出三角形中第三个角的度数。可知刚求出的角与∠4构成平角，平角是180°，用180°减去刚求出的角的度数，就是∠4的度数，最后用180°减去∠1，再减去∠4，求出∠5的度数即可。 【解答】根据分析可知： 180°－∠2－∠3 ＝180°－32°－45° ＝148°－45° ＝103° ∠4＝180°－103°＝77° ∠5＝180°－∠1－∠4 ＝180°－52°－77° ＝128°－77° ＝51° ∠5的度数51°。 四、作图题 19．请你在下面的方格纸上按要求量一量，画一画。 （1）量出方格纸中角的度数，并在图上标出来。 （2）以这个角的两条边为一组邻边，画一个平行四边形，并画出它的一条高。 （3）再画一个下底和高分别与题中平行四边形的底和高相等的等腰梯形。 【答案】见详解 【分析】（1）用量角器量角时，先把量角器的中心与角的顶点重合， 0°刻度线与角的一条边重合，角的另一条边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数； （2）过一条边的另一个端点作与另一条长度相等的平行线段，再把这两条平行线段的另一个端点连接起来即可得到一个平行四边形，再从平行四边形的一个端点作对边的垂线段，即可得到平行四边形的一条高； （3）结合等腰梯形两腰相等的特点，让下底和高分别与题中平行四边形的底和高相等，再同时两腰长相等。 【解答】（1）根据量角器得使用方法，量出角度为110°，如图： （2）结合平行四边形特点，两组对边分别平行且相等，分别作出与这两条线段长度相等的平行线段，如图： （3）下底和高分别与题中平行四边形的底和高相等的等腰梯形，两腰长相等，如图： （画法不唯一） 五、解答题 20．数一数，下图中一共有多少个三角形？（每个小三角形的形状、大小都相同） 【答案】27个 【分析】根据题意，仔细观察图形是由若干个形状、大小相同的小三角形构成的。单个的三角形有16个，由4个单个的三角形组成的三角形有7个，由9个单个的三角形组成的三角形有3个，由16个单个的三角形组成的三角形有1个，将每次数的结果相加，即可求出题图中一共有多少个三角形。列式计算即可。 【解答】根据分析可知： 16＋7＋3＋1 ＝23＋3＋1 ＝26＋1 ＝27（个） 数一数，下图中一共有27个三角形。 21．一个等腰三角形的周长是128厘米，一条腰长30厘米。乐乐说的这个三角形存在吗？请说明理由。 【答案】不存在；三角形的两条短边的和小于第三边，构不成三角形。 【分析】我们先根据已知的周长和腰长，求出三角形的底边长，即等腰三角形的底边长＝等腰三角形的周长－一条腰长×2；再根据能否围成三角形的判定方法：三角形两条短边之和必须大于第三边进行判断。 【解答】根据分析，底边长＝128－30－30＝68（厘米） 30厘米＋30厘米＜68厘米 答：乐乐说的这个三角形不存在，理由是三角形的两条短边的和小于第三边，构不成三角形。 22．手工课上，同学们制作一个三角形摆件。其中一个角是36°，另一个角是这个角的2倍，第三个角是多少度？ 【答案】72° 【分析】根据三角形内角和定理来求解第三个角的度数，三角形内角和定理为三角形的内角和等于180°。已知其中一个角是36°，另一个角是这个角的2倍，则另一个角的度数为36°×2＝72°，再用180°减去这两个角的度数，即可得到第三个角的度数，据此解答即可。 【解答】36°×2＝72° 180°－36°－72°＝72° 答：第三个角是72°。 23．海海、乐乐和园园分别测量三个不同的等腰三角形的边长，根据他们测量的结果判断谁测量错了，并说明理由。 【答案】乐乐测量错了。因为乐乐测量的等腰三角形的两条腰长之和小于底长。 【分析】根据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边） ，分别判断海海、乐乐、园园测量的等腰三角形边长是否符合关系，从而确定谁测量错了。 【解答】海海测量的等腰三角形腰长4厘米，底长6厘米， 两条腰长之和为（厘米），，满足三角形三边关系，所以海海测量正确。 乐乐测量的等腰三角形腰长4厘米，底长10厘米，  两条腰长之和为（厘米），，不满足三角形三边关系，所以乐乐测量错误。 园园测量的等腰三角形腰长10厘米，底长4厘米， 两条腰长之和为（厘米），，满足三角形三边关系，所以园园测量正确。 答：乐乐测量错了。因为乐乐测量的等腰三角形的两条腰长之和小于底长。 24．小区里有一个平行四边形的广告牌，相邻两边的长度是140厘米和60厘米，现在要在广告牌的四周钉一圈铝条，至少需要多少厘米的铝条？如果每米铝条的成本是65元，这块广告牌围一圈铝条需要多少钱？（不考虑接合处损耗） 【答案】 400厘米；260元 【分析】根据题意，平行四边形的相邻两边的长度分别为140厘米和60厘米，根据平行四边形的周长等于相邻两边的长度之和乘2，即可求得平行四边形的广告牌的长度，即为铝条长度。先将铝条长度转换为米，再用铝条长度乘每米铝条的成本65元，即可得出总成本。 【解答】（140＋60）×2 ＝200×2 ＝400（厘米） 1米＝100厘米，所以400厘米＝4米； 4×65＝260（元） 答：至少需要400厘米的铝条，这块广告牌围一圈铝条需要260元。 25．一个高2厘米的梯形的下底是上底的3倍，将上底延长6厘米，就变成了一个平行四边形，这个梯形的上底是多少？下底呢？ 【答案】3厘米；9厘米 【分析】由题意可知：下底是上底的3倍，下底比上底长2倍；将上底延长6厘米，就变成一个平行四边形了，说明上底、下底相差6厘米；因此6厘米也就是上底的2倍，据此求出上底是（6÷2）厘米，再用上底乘3，求出下底。 【解答】上底：6÷（3－1） ＝6÷2 ＝3（厘米） 下底：3×3＝9（厘米） 答：这个梯形的上底是3厘米，下底是9厘米。 26．在一张长12厘米、宽9厘米的长方形纸上剪去两个等边三角形②和③后，刚好剩下图形①，那么图形①的周长是多少厘米？ 【答案】51厘米 【分析】等边三角形的三条边都相等，所以图①的周长由2条12厘米长的边，1条9厘米长的边，2条6厘米长的边，2条3厘米长的边组成，相加即可。 【解答】12×2＋9＋6×2＋3×2 ＝24＋9＋12＋6 ＝33＋12＋6 ＝45＋6 ＝51（厘米） 答：图形①的周长是51厘米。 27．星期六，小明在家用一根竹条折成了一个等腰三角形的风筝框架。（充分考虑写出所有情况） （1）如果测得其中一个角是48度，另外两个角分别是多少度？ （2）如果量得这根竹条长是60厘米和其中一条边长是18厘米，另外两条边分别是多少厘米？ 【答案】（1）48度和84度或66度和66度 （2）18厘米和24厘米或21厘米和21厘米 【分析】（1）等腰三角形的两个底角相等，而且等腰三角形的三个角的和是180度。如果48度是等腰三角形的底角，则用三角形的内角和减去2个底角的度数就是顶角的度数；如果48度是等腰三角形的顶角，则用三角形的内角和减去48度，再除以2，即可求出等腰三角形的底角； （2）等腰三角形两条腰相等，其中一条边是18厘米，则腰可能是18厘米；如果腰是18厘米，则用60减去两条腰的长度，即可求出第三条边的长度；再根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，据此判断是否满足要求；如果腰不是18厘米，则用60减去18，然后除以2即可求出腰的长度，再根据三角形三边关系，判断是否满足要求。 【解答】（1）如果48°是等腰三角形的底角，顶角是： （度） 如果48度是等腰三角形的顶角，底角是： （度） 答：如果48度是等腰三角形的底角，则另外两个角分别是48度和84度；如果48度是等腰三角形的顶角，则另外两个角分别是66度和66度； （2）如果腰是18厘米，底边的长度是： （厘米） 此时三条边分别是18厘米、18厘米和24厘米，18＋18＞24，所以满足三角形三边关系； 如果底边是18厘米，腰的长度是： （厘米） 此时三条边分别是18厘米、21厘米和2厘1米，18＋21＞21，所以满足三角形三边关系； 答：如果腰是18厘米，则另外两条边分别是18厘米和24厘米；如果底边是18厘米，则另外两条边分别是21厘米和21厘米。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $