精品解析：陕西咸阳市秦都区彩虹初中2025 ～ 2026学年第二学期八年级第二次素养调研数学试卷

彩虹初中2025~2026学年第二学期初二年级第二次素养调研数学 （考试时间：120分钟 总分：120分 卷面分：3分） 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名、班级、考场、座位号、考号． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列代数式中，是分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：选项A、的分母5是常数，不含字母，属于整式，不是分式； 选项B、是常数，属于整式，不是分式； 选项C、中是固定常数，不是字母，分母不含字母，属于整式，不是分式； 选项D、的分母是字母，符合分式的定义，是分式． 2. 下列图案由正多边形拼成，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此逐项判断即可． 【详解】解：A选项不是中心对称图形； B选项不是中心对称图形； C选项不是中心对称图形； D选项是中心对称图形． 3. 因式分解代数式，应提取的公因式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】公因式是多项式各项都含有的公共因式，确定规则为：相同字母取最低次幂，乘积即为所求公因式． 【详解】解：∵ 多项式为，各项均含有的公共字母为和， 又∵在两项中的次数分别为和，最低次数为；在两项中的次数分别为和，最低次数为， ∴公因式为． 4. 要使分式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】分式有意义的条件是分母不为，对于分式，分母为， ， 解得， 故选：B． 5. 下列式子从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据因式分解的定义，即把一个多项式化为几个整式的积的形式，逐一判断选项即可得到答案． 【详解】选项A、属于整式乘法，右边是多项式的差，不是整式积的形式，故A不符合题意； 选项B、结果为，不是几个整式积的形式，故B不符合题意； 选项C、将多项式化为两个整式与的积，符合因式分解的定义，故C符合题意； 选项D中，左边是单项式，不是多项式，不属于因式分解，故D不符合题意． 6. 如图，将沿方向平移个单位长度得到，点的对应点在边上，连接，若四边形的周长为，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平移的性质可得、，再根据四边形的周长公式即可求解． 【详解】解：将沿方向平移个单位长度得到， 、 四边形的周长为， 即的周长为11． 7. 若关于x的不等式组，恰有2个整数解，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组， 首先解不等式组，得到解集为，根据恰好有2个整数解的条件，确定整数解的可能值，进而推导a的取值范围． 【详解】解：由，得解集为， 关于x的不等式组，恰有2个整数解， a的取值范围为， 故选：D． 8. 小蕊在作业本上写完一个题的正确计算过程，不小心墨水洒了，遮住了原题的一部分（被墨水遮住的部分用⊕代替），其计算过程为，则被墨水遮住部分⊕所表示的代数式可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将⊕单独整理到等式一侧，利用分式运算法则计算即可，注意符号的处理和约分． 【详解】解：由题意得： ， ， ， 即⊕表示的代数式为． 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 用提公因式的方法分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 10. 若分式的值为，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题利用分式值为的条件解题，即分子等于且分母不等于，先求出分子为时的值，再验证分母是否满足不为的条件，即可得到最终结果． 【详解】解：根据分式值为的条件，可得 由，解得  对任意实数，都有， 因此，即恒不为  所以的值为． 11. 如图，在五边形中，若，则的度数为___________． 【答案】 【解析】 【分析】边形的内角和为，据此求出五边形的内角和即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∵， ∴． 12. 在一场篮球比赛中，某队罚球得分10分，投进2分球和3分球共48个，如果这支球队在本场比赛中总得分超过110分，则他们至少投进________个3分球． 【答案】 【解析】 【分析】设投进个3分球，则投进2分球的个数为，然后根据题意列不等式求解，并取最小整数值即可解答． 【详解】解：设投进个3分球，则投进个2分球， 由题意得， 解得， ∵为正整数， ∴的最小值为， 即他们至少投进个3分球． 13. 已知，则代数式________． 【答案】 【解析】 【分析】把所求式子因式分解为，再把已知条件整体代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，正确把所求式子因式分解为是解题的关键． 14. 如图，在中，，，点是边上的动点，点、是边上的动点（点可与端点重合），且点在点的左侧，连接、，若，是等边三角形，则周长的最大值为______． 【答案】18 【解析】 【分析】利用等边三角形外角性质，算出，证得；结合等边，等量代换得，推出；周长，故最大时周长最大； F最右到时，算出，求得最大周长18． 【详解】解：为等边三角形， ，， 是外角， ， ， ， ， （等角对等边）， ， ， ， ，， 越大，越长，周长越大， 、F在线段上，在左侧，向右最远可与重合， 当与重合时，，此时，点在线段内部，动点位置符合题意 ， ， ． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 因式分解：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 16. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，先分别求解不等式组中的两个不等式，然后取公共部分，得到不等式组的解集． 【详解】解： ， 由①得，， 由②得，， 故不等式组的解集为：． 17. 解分式方程：． 【答案】 【解析】 【详解】解：， 两边同乘以，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 解得， 经检验，是原方程的解． 18. 如图，在中，，请用尺规作图法在内部找一点，连接、，使得是等腰三角形，且．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】如图，是所求作等腰三角形，即为所求 【解析】 【详解】解：分别作的角平分线和线段的垂直平分线，两者交于点P，连，即为所求． ∵，平分， ∴， ∵垂直平分线线段， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∴ 19. 如图，在中，点在边上，连接，，的角平分线交于点，交于点，求证：． 【答案】证明：∵平分角， ∴， ∵， 又∵， ， ∴， ∵， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】由角平分线得到，再由推出，再利用三角形的外角性质证明，进而推出． 【详解】略 20. 请用因式分解法计算：． 【答案】800 【解析】 【详解】解： ． 21. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】根据平方差公式和完全平方公式化简所求式子，再将代入化简后的式子求解即可． 【详解】解： 当时，原式． 22. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为点，，． （1）画出将先向下平移个单位；再向左平移个单位后所得；（点、、的对应点分别为点、、） （2）画出将绕着原点顺时针旋转后所得的，并写出点的坐标．（点、的对应点分别为点、） 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）利用平移的性质得出对应点，再顺次连接得即可； （2）确定绕点O按顺时针方向旋转的对应点，再顺次连接得；直接写出坐标即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略，点的坐标． 23. 某学校体育社团利用周末时间去某滑雪场滑雪，滑雪场全天畅滑单人票元．由于该体育社团人数较多，滑雪场负责人提供了两种优惠方案．方案一：所有人一律九折；方案二：人数超过人，超出部分打七五折．（体育社团人数为人，其中） （1）分别写出方案一所需费用元、方案二所需费用元与社团人数之间的函数关系式； （2）当社团人数在什么范围时，选择方案一所需费用小于选择方案二所需费用． 【答案】（1）（，且为整数），（，且为整数） （2）当社团人数满足（为整数），即人数多于15人且少于25人时，方案一费用小于方案二费用 【解析】 【分析】（1）根据收费方案分别列出函数关系式即可； （2）根据得到不等式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，，则（，且为整数）； ，则（，且整数）； 【小问2详解】 解：由题意得， 解得， 而 ∴（为整数）， 故当社团人数满足（为整数），即人数多于15人且少于25人时，方案一费用小于方案二费用． 24. 先阅读材料，再解答问题： 已知，求的值． 解：将“”看成一个整体，设， 则原式可变形为． 将代入，得， 则，所以． 以上解题过程中用到的是“整体思想”，它是数学中常用的一种思想． （1）因式分解：； （2）应用：已知一个长方形的长为，宽为，且满足，求该长方形的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，则原式可变形为，据此可得答案； （2）设，则可推出，得出，可得到答案． 【小问1详解】 解：设，则原式可变形为， 将代入，得原式； 【小问2详解】 ， 设， ， 解得： ，即， 该长方形的周长为． 25. 甲、乙两名采购员去同一家超市各自购买两次大米，两次购买的大米售价分别为元/千克和元/千克，且，两名采购员的采购方式也不同，其中甲采购员每次购买千克，乙采购员每次购买用去元，而不管购买到多少千克的大米． （1）甲、乙两名采购员各自购买两次大米的平均售价分别是多少元/千克？（用含有字母，的式子表示并化简） （2）请通过计算说明谁的购买方式更合算？ 【答案】（1） 甲两次购买大米的平均售价为元/千克，乙两次购买大米的平均售价为元/千克 （2） 乙的购买方式更合算 【解析】 【分析】（1）根据平均售价=总花费÷总购买重量，分别计算甲、乙两次购买的总花费和总重量，化简即可得到结果； （2）利用作差法比较两个平均售价的大小，平均售价更低的购买方式更合算． 【小问1详解】 解：甲两次购买总重量为：(千克) ， 甲两次购买总花费为：(元) ， 因此甲的平均售价为：(元/千克)； 乙两次购买总花费为： (元) ， 乙两次购买总重量为：(千克) ， 因此乙的平均售价为：(元/千克)． 【小问2详解】 解：比较两个平均售价的大小，作差得： ， 由题意得， 因此，， 可得， 即， 因此乙的平均售价更低，乙的购买方式更合算． 26 根据题意解答下列问题： （1）【问题提出】如图，在中，，，点在边上，连接，将线段绕点逆时针旋转一定角度得到线段，过点作于点，点为的中点，连接，若，求的度数； （2）【问题解决】如图，某市计划修建一个形如的休闲观景水池，其中，，景观休息平台在边上，沿修建景观廊道，将绕点逆时针方向旋转得到景观廊道，同时搭建廊道．在廊道与边的交点处安装景观灯，为防护围栏，点在的延长线上，区域为绿植区，已知，请帮助施工团队验证．（休息平台、景观灯的大小及各种廊道、围栏的宽度均忽略不计） 【答案】（1） （2）证明：如图，过点A作于点G，过点E作交延长线于点H ∵， ∴， ∵ ∴， 由旋转得，， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， ∴，即 ∵ ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴ ∵ ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴ ∴． 【解析】 【分析】（1）根据题意证明，得到，然后等量代换求出； （2）过点A作于点G，过点E作交延长线于点H，证明，得到，，然后得到，证明，得到，然后证明即可． 【小问1详解】 解：∵在中，，，点为中点 ∴，即 ∵ ∴ 由旋转得， 又∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 彩虹初中2025~2026学年第二学期初二年级第二次素养调研数学 （考试时间：120分钟 总分：120分 卷面分：3分） 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名、班级、考场、座位号、考号． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列代数式中，是分式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图案由正多边形拼成，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 因式分解代数式，应提取的公因式是（ ） A. B. C. D. 4. 要使分式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 下列式子从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，将沿方向平移个单位长度得到，点对应点在边上，连接，若四边形的周长为，则的周长为（ ） A. B. C. D. 7. 若关于x的不等式组，恰有2个整数解，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 小蕊在作业本上写完一个题的正确计算过程，不小心墨水洒了，遮住了原题的一部分（被墨水遮住的部分用⊕代替），其计算过程为，则被墨水遮住部分⊕所表示的代数式可能是（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 因式分解：______． 10. 若分式值为，则的值为_____． 11. 如图，在五边形中，若，则的度数为___________． 12. 在一场篮球比赛中，某队罚球得分10分，投进2分球和3分球共48个，如果这支球队在本场比赛中总得分超过110分，则他们至少投进________个3分球． 13. 已知，则代数式________． 14. 如图，在中，，，点是边上的动点，点、是边上的动点（点可与端点重合），且点在点的左侧，连接、，若，是等边三角形，则周长的最大值为______． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 因式分解：． 16. 解不等式组：． 17. 解分式方程：． 18. 如图，在中，，请用尺规作图法在内部找一点，连接、，使得等腰三角形，且．（保留作图痕迹，不写作法） 19. 如图，在中，点在边上，连接，，的角平分线交于点，交于点，求证：． 20. 请用因式分解法计算：． 21. 先化简，再求值：，其中． 22. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为点，，． （1）画出将先向下平移个单位；再向左平移个单位后所得的；（点、、的对应点分别为点、、） （2）画出将绕着原点顺时针旋转后所得的，并写出点的坐标．（点、的对应点分别为点、） 23. 某学校体育社团利用周末时间去某滑雪场滑雪，滑雪场全天畅滑单人票为元．由于该体育社团人数较多，滑雪场负责人提供了两种优惠方案．方案一：所有人一律九折；方案二：人数超过人，超出部分打七五折．（体育社团人数为人，其中） （1）分别写出方案一所需费用元、方案二所需费用元与社团人数之间的函数关系式； （2）当社团人数在什么范围时，选择方案一所需费用小于选择方案二所需费用． 24 先阅读材料，再解答问题： 已知，求的值． 解：将“”看成一个整体，设， 则原式可变形为． 将代入，得， 则，所以． 以上解题过程中用到的是“整体思想”，它是数学中常用的一种思想． （1）因式分解：； （2）应用：已知一个长方形的长为，宽为，且满足，求该长方形的周长． 25. 甲、乙两名采购员去同一家超市各自购买两次大米，两次购买的大米售价分别为元/千克和元/千克，且，两名采购员的采购方式也不同，其中甲采购员每次购买千克，乙采购员每次购买用去元，而不管购买到多少千克的大米． （1）甲、乙两名采购员各自购买两次大米的平均售价分别是多少元/千克？（用含有字母，的式子表示并化简） （2）请通过计算说明谁的购买方式更合算？ 26 根据题意解答下列问题： （1）【问题提出】如图，在中，，，点在边上，连接，将线段绕点逆时针旋转一定角度得到线段，过点作于点，点为的中点，连接，若，求的度数； （2）【问题解决】如图，某市计划修建一个形如的休闲观景水池，其中，，景观休息平台在边上，沿修建景观廊道，将绕点逆时针方向旋转得到景观廊道，同时搭建廊道．在廊道与边的交点处安装景观灯，为防护围栏，点在的延长线上，区域为绿植区，已知，请帮助施工团队验证．（休息平台、景观灯的大小及各种廊道、围栏的宽度均忽略不计） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $