2026年江苏南通市初中学业水平考试暨中考数学模拟试题

**基本信息** 本试卷以原创情境为载体，融合科技前沿（如光伏装机数据）、文化传承（如圆柱容球定理）与社会热点（如低碳生活），通过基础巩固（如实数运算）、能力提升（如动态几何）、创新应用（如旋转综合探究）的梯度设计，考查数学眼光、思维与语言，适配中考模拟预测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|实数、科学记数法、三视图等|第2题以光伏装机数据考查科学记数法，体现时代性| |填空题|6/22|分式、统计估计、圆与几何综合等|第14题结合圆的性质与角平分线，考查推理能力| |解答题|9/98|概率、数据分析、圆柱容球应用、二次函数等|第21题验证圆柱容球定理，融合文化与应用；第25题旋转探究，体现问题发现到拓展应用的层次性|

绝密★启用前 2026年初中学业水平考试暨中考数学模拟试题 考试时间：120分钟；总分：150分 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1.2025年落笔成序，2026年奔赴新程，旧岁落幕，新章开启。−的倒数是(    ) A. B. C. D. 2.（原创）据国家能源局信息预测，截至年月底，全国光伏发电装机容量将突破亿千瓦，亿千瓦光伏装机约等于个三峡电站，这一数字标志着中国光伏从补充能源迈向主力能源，为全球能源绿色低碳转型树立标杆数据“亿”用科学记数法表示为(    ) A. B. C. D. 3.（原创）某几何体的三视图如图所示，该几何体是(    ) 4.（原创）若 ，则整数的值为(    ) A. B. C. D. 5.（原创）数学探究课堂上，同学们将一副三角板如图所示放置，若，那么的度数是(    ) A. B. C. D. 6.与如图摆放，点在同一条直线上，，，在下列条件中，不能保证的是(    ) A. B. C. D. 7.在直角坐标平面内，一次函数的图象如图所示，那么下列说法正确的是(    ) A. 当时， B. 方程的解是 C. 当时， D. 不等式的解集是 8.如图，是某学校校门入口的智能闸机及其示意图，当双翼展开时，双侧挡板边缘的端点与之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，则可以通过闸机的物体的最大宽度约为参考值：，， A. B. C. D. 9.如图，在矩形中，是上一定点，点从点出发，沿，两边匀速运动，运动到点停止设点运动的路程为，的长为，关于的函数关系图象如图所示，其中，分别是两段曲线的最低点下列选项正确的是(    ) A. B. 点坐标为 C. 的最小值为 D. 点的横坐标为 10.如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，过点分别作轴，轴的垂线，垂足分别为，，函数的图象交于点，交于点，连接，将沿翻折得到给出下面四个结论： 连接，，则与的面积可能相等； ； 有且只有一个点，使得点在轴上； 连接，若点在轴上，则． 上述结论中，所有正确结论的序号是(    ) A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，其中11、12题每题3分，第13-16题每题4分，共22分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上） 11.若分式的值为零，则______． 12.计算：__________． 13.某地区七年级共有名男生．为了解这些男生的体重指数分布情况，从中随机抽取了名男生，测得他们的数据单位：，并根据七年级男生体质健康标准整理如下： 等级 低体重 正常 超重 肥胖 人数 根据以上信息，估计该地区七年级名男生中等级为正常的人数是          ． 14.如图，的直径，点是上一点，，平分交于点、交的延长线于点，，交于点，则的长为        ． 15.如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，，点在轴上运动，以为边作等腰，点，，呈顺时针排列，当点在轴上运动时，点也随之运动．在点的运动过程中，的最小值为          ． 16.如图，菱形的对角线与相交于点，过点作，交的延长线于点，连接并延长，交于点，与相交于点，若，则下列结论：；：：；；；：：其中结论正确的是        填序号． 三、解答题（本大题共9小题，共98分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题10分） 计算：； 解不等式组：． 18.本小题分 在某社区举办的“低碳生活，从我做起”科普宣传活动中，主办方设计了“绿色出行抽球赢奖”的互动活动，在一个不透明的箱子中装有四个除标注文字外完全相同的小球，小球上分别标注了四种低碳出行方式：：步行，：公共交通，：共享单车，：新能源汽车参与者随机从箱中摸出一个小球，记录标注文字后放回箱中，混合摇匀，再随机摸出第二个小球若两次摸到小球标注的出行方式均属于零碳出行，即可获得一个定制环保袋作为奖励已知出行方式碳排放属性为：步行和共享单车为零碳出行，新能源汽车和公共交通为低碳出行． 随机摸取一次，摸到标注代表零碳出行的小球的概率是______； 请用画树状图或列表的方法，求小言两次摸球后能够获得环保袋奖励的概率． 19.本小题分 如图，点在的边上，经过边的中点，且． 求证： 若，，求的长． 20.本小题分 近年来，人工智能的迅速崛起，极大地提高了人们的工作效率某公司计划从，两个人工智能产品中选择一个使用该公司对，两个人工智能产品的语言交互能力、分析能力和学习能力进行了测试每项测试满分为分，且均为整数，每项能力均进行次测试，取次测试得分的平均数作为该项的测试成绩． 【数据收集与整理】 将，两个人工智能产品的语言交互能力次测试得分整理成如下折线统计图，将，两个人工智能产品的分析能力和学习能力测试成绩整理分别取次测试得分的平均数成如表： 分析能力和学习能力测试成绩统计表 人工智能产品 分析能力 学习能力 【数据分析与运用】 将，两个人工智能产品的语言交互能力的次测试得分的平均数、中位数、众数、方差列表如下： 人工智能产品 平均数 中位数 众数 方差 根据以上信息，回答下列问题： 写出表中，，的值：______，______，______； 若，两个产品语言交互能力测试成绩的方差分别为，，则______；填“”“”或“” 如果规定语言交互能力、分析能力、学习能力按：：的比例计算最终成绩，那么该公司应该选择使用哪个人工智能产品？ 21.本小题分 两千多年前，古希腊科学家阿基米德在论球和圆柱中证明了著名的“圆柱容球”定理：当一个球体恰好内切于一个圆柱体时即球与圆柱的上、下底面及侧面都相切，球的体积是圆柱体积的，球的表面积也是圆柱表面积的这一发现被阿基米德视为自己最得意的成就，甚至要求在其墓碑上刻下这一几何图形此题取 现代数学爱好者为了验证这一经典结论，设计了一个实验：使用一个规格与“圆柱容球”中圆柱完全相同的透明玻璃杯杯壁厚度忽略不计，以及一个与图中球同样大小的实心冰球． 已知，求圆柱的体积； 在的条件下，现向玻璃杯中注入立方厘米的水，求杯中水的高度是多少厘米？ 在的条件下，将上述冰球完全置入玻璃杯中，待其完全融化成水后，测得冰与水的体积比为：若融化后水未溢出且均匀分布在杯底，再将一个底面半径厘米的圆柱形铁块缓慢垂直放入杯中铁块底面与杯底平行且完全贴合，此时铁块高出水面的部分与水面下的部分高度之比为：，求圆柱形铁块露出水面的高度为多少厘米？ 22.本小题分 如图，是的直径，内接于，点是的中点，连接交于点，延长至，使． 求证：是的切线； 若，，求的长． 23.本小题分 【阅读理解】 点在平面直角坐标系中，记点到轴的距离为，到轴的距离为，给出以下定义：若，则称为点的“微距值”；若，则称为点的“微距值”；特别地，若点在坐标轴上，则点的“微距值”为例如，点到轴的距离为，到轴的距离为，因为，所以点的“微距值”为． 【知识应用】 点的“微距值”为______； 若点的“微距值”为，求的值； 若点在直线上，且点的“微距值”为，求点的坐标． 24.本小题分 二次函数的图象与轴的交点为． 若点的坐标为，求该二次函数的表达式； 在的条件下，若、在函数图象上，总有，求的取值范围； 判断二次函数的图象与轴正半轴是否一定有交点？ 25.本小题分 在中，，点是边上的一个动点，连接． 【问题发现】 如图，将绕点逆时针旋转得到，连接，，若，则与的数量关系是______ ，______ 度； 【类比迁移】 如图，将绕点逆时针旋转得到，点在上，且，若，，则与的数量关系是______ ，______ 度请证明你的结论； 【拓展应用】 如图，在的条件下，当点在直线上移动时，其他条件不变，取线段的中点，连接，，当是直角三角形时，求线段的长． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $2026年南通中考数学模拟试卷双向细目表 2026年江苏省南通市初中学业水平考试暨中考数学模拟试卷命题双向细目表 题号 考查知识点 题型 分值 难度系数 难度层次 1 实数的概念、倒数的定义 选择题 3 0.9 基础题 2 科学记数法（正指数幂）表示绝对值大于1的数 选择题 3 0.85 基础题 3 几何体的三视图、根据三视图判断几何体的形状 选择题 3 0.8 基础题 4 无理数的估算、立方根的定义 选择题 3 0.75 基础题 5 三角板的角度计算、角的和差关系 选择题 3 0.75 基础题 6 全等三角形的判定定理 选择题 3 0.7 基础题 7 一次函数的图象与性质、一次函数与方程、不等式的关系 选择题 3 0.7 基础题 8 解直角三角形的实际应用、锐角三角函数的定义 选择题 3 0.65 中档题 9 动点问题的函数图象、矩形的性质、勾股定理、二次函数的最值 选择题 3 0.4 较难题 10 反比例函数的图象与性质、图形的翻折变换、相似三角形的判定与性质、平面直角坐标系中点的坐标特征 选择题 3 0.35 难题 11 分式有意义的条件、分式值为零的条件、绝对值的定义 填空题 3 0.85 基础题 12 单项式的乘法运算、同底数幂的乘法 填空题 3 0.9 基础题 13 统计调查、用样本估计总体、频数与频率 填空题 4 0.8 基础题 14 圆的基本性质、圆周角定理、角平分线的定义、相似三角形的判定与性质、平行线的性质 填空题 4 0.6 中档题 15 平面直角坐标系、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、轴对称-最短路径问题 填空题 4 0.45 较难题 16 菱形的性质、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数、三角形的面积计算、线段的数量关系 填空题 4 0.35 难题 17 实数的混合运算、特殊角的三角函数值、绝对值的性质、零指数幂的运算、一元一次不等式组的解法 解答题 10 0.85 基础题 18 概率的计算、简单事件的概率、用列表法或树状图法求概率 解答题 10 0.8 基础题 19 全等三角形的判定与性质、线段中点的定义、平行线的判定与性质 解答题 10 0.75 基础题 20 统计量的计算（平均数、中位数、众数、方差）、折线统计图、加权平均数的计算、数据的分析与决策 解答题 10 0.7 中档题 21 圆柱的体积计算、圆柱的表面积、一元一次方程的实际应用、密度与体积的关系 解答题 10 0.65 中档题 22 圆的基本性质、圆周角定理、切线的判定、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数的定义 解答题 10 0.55 中档题 23 新定义问题、平面直角坐标系中点的坐标特征、一次函数的图象与性质、绝对值的性质 解答题 12 0.45 较难题 24 二次函数的图象与性质、二次函数的表达式求解、二次函数的增减性、二次函数与x轴的交点问题、一元二次方程根的判别式 解答题 12 0.4 较难题 25 几何变换-旋转变换、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理、中点的性质、分类讨论思想 解答题 14 0.3 难题 合计 150 0.61 $ 参考答案与解析 一、选择题： 1.【答案】C  【解析】【分析】 此题主要考查了倒数的定义，熟练掌握基本定义是解题的关键． 倒数的定义：若两个数的乘积是，我们就称这两个数互为倒数，根据倒数的定义即可得出结果． 【解答】 解：， 的倒数是． 故选C． 2.【答案】C  【解析】解：亿． 故选：． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 3.【答案】C  【解析】解：该几何体分上下两层，上层为圆柱，下层为长方体， 故A，，均不符合题意，符合题意，则该几何体如下；     故选：． 本题考查了由几何体的三视图还原几何体，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 4.【答案】C  【解析】解：， ，即， 又， 整数． 故选C． 5.【答案】C  【解析】解：由题意得： ， ， ， ， 故选：． 本题考查了角的计算，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 6.【答案】D  【解析】解：， ，即 在与中，，， A、添加，由全等三角形的判定定理可以判定，故本选项不合题意； B、添加，能判定，故本选项不合题意． C、添加， ，由全等三角形的判定定理可以判定，故本选项不符合题意； D、添加， ，不能判定，故本选项符合题意． 故选：． 7.【答案】B  8.【答案】B  【解析】解：双侧挡板边缘的端点与之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，如图，过点作于点，过点作于点， ，，， ，  同理可得， 可以通过闸机的物体的最大宽度为． 故选：． 本题考查解直角三角形的应用，正确进行计算是解题关键． 9.【答案】D  【解析】解：连接，过点分别作 ，，    由图象可知：当时，，即当点与点重合时，，  当时，，即，此时点与点重合，则，  ，  是直角三角形，且，  ，，  由是上一定点，点是动点可知：当点在线段上运动时，最小值为时，此时点与点重合，  ，，  是第一段曲线的最低点，  点坐标为，故B错误；  当点在上运动时，最小值为时，此时点与点重合，  ，  ，  ，，  ，，  ，  的最小值为，故C错误；  在中，，，  ，故A错误；  点运动的总路程为，  点的横坐标为，故D正确，  故选：． 本题主要考查了矩形的判定与性质，动点问题的函数图象，锐角三角函数的定义，掌握其相关知识点是解题的关键． 10.【答案】C  【解析】解：由条件可知， 由反比例函数的几何意义可得，， ， ， 若，则，即， 但， 令，得， 则，则，与矛盾，错误，不符合题意； 由翻折得，，， ，， ，正确，符合题意； 若点在轴上，设， ，， ，， 解：展开得，， 消去得，， 乘以得，； 解：展开得，， 消去得，， 乘以得； 联立， 化简得， 把它看作关于的一元二次方程，， 解得， ，， ， 其中，可以取取值范围内的任意值，即满足条件的点有无数个，而不仅有一个点，错误，不符合题意； 当点在轴上时，由得，， ， ， ， ， ，即， ， ，正确，符合题意； 故选：． 本题考查反比例函数的几何意义、图形翻折的性质与代数推理，解题的关键是熟练运用反比例函数的坐标特征、翻折前后线段相等的性质，结合方程思想与代数变形逐一分析结论． 二、填空题： 11.【答案】  【解析】【分析】根据分式的值为零的条件得到且，解方程即可确定的值． 【详解】根据题意得且， 解得或， 而， 所以． 故答案为． 本题考查了分式的值为零的条件：分式的分子为，分母不为，则分式的值为． 12.【答案】  【解析】解：原式  故答案为 ． 13.【答案】  【解析】【分析】本题考查了由样本估计总体，用乘以样本中等级为正常的人数所占的比例即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：该地区七年级名男生中等级为正常的人数是人， 故答案为：． 14.【答案】  【解析】解：连接，如图， 是的直径， ， 由勾股定理可知， 平分， ， ， ， ， ， ∽， ， ， ， ， 解得． 故答案为：． 本题考查了圆周角定理，熟练掌握该知识点是关键． 15.【答案】  【解析】过点作直线轴，过，作于点，于点，易证，从而得，作点关于的对称点，由三角形三边长关系得：当，，三点共线时，有最小值，利用勾股定理即可求解． 【详解】如图，过点作直线轴，过，作于点，于点， ，， ， 又，， ， ， ， ， 作点关于的对称点，连接，则点在直线上，，， ， 在中，， 当，，三点共线时，有最小值，此时，， 最小值． 故答案是：． 16.【答案】  【解析】解：四边形是菱形， ，， ， 在和中， ， ≌， ， 故正确； ， ， 在和中， ， ≌， ， ， ，， ，，， 是等腰三角形，是的平分线， ， ，， ∽， ， ，，， ≌， ， ， 即：：：， 故错误； ，， ∽， ，即， 又， ， 故正确； ，， ， ， 故错误； ，即，是等腰三角形， 是等边三角形， ， ， ， ：：：：：， 故正确； 综上所述，正确的为， 故答案为：． 本题主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的性质，解直角三角形，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形与相似三角形的性质． 三、解答题： 17.【答案】解：原式， ， ； 解：解不等式， ， ， ； 解不等式， ， ， ， ， 不等式组的解集为．  18.【解析】解：根据题意可知，：步行，：公共交通，：共享单车，：新能源汽车，四种出行方式中有两种是零碳出行， 摸到标注代表零碳出行的小球的概率为：． 故答案为：； 画树状图：， 由树状图可知，共有种等可能的结果，其中两次摸球后能够获得环保袋奖励的结果共种． 因此小言两次摸球后获得环保袋奖励的概率为：． 本题考查了概率的意义，概率公式，列表法与树状图法，掌握相应的定义是关键． 19.【答案】证明：由题意可知，为的中点， ， 在和中， ≌， 解：由可知，≌， ， ， 的长为．  20.【解析】解：由题意得：产品语言交互能力测试成绩为，，，，，，，，，， 产品语言交互能力测试成绩的平均数分； 产品语言交互能力测试成绩为，，，，，，，，，，从小到大排列为，，，，，，，，，， 中位数， 有个，出现次数最多， 产品语言交互能力测试成绩的众数为分，即； 故答案为：，，； ， ， ， 故答案为：； 产品的最终成绩分， 产品的最终成绩分， ， 该公司应该选择使用人工智能产品． 本题主要考查了数据的统计，平均数，众数，方差，熟练掌握上述公式是解题的关键． 21.【解析】解：由题意可知：圆柱底面半径等于球半径，圆柱的高， 圆柱体积公式为，取， 代入得：， 答：圆柱的体积为； 圆柱底面积，水的体积为， 则水的高度：， 答：杯中水的高度是厘米； 根据题意知，球体积是圆柱体积的， 则冰球体积：， 由冰与水体积比：，得冰融化后水的体积：， 铁块底面积， 水的体积玻璃杯底面积铁块底面积水面高度， 水面下铁块高度， 铁块高出水面的部分与水面下的部分高度之比为：， 铁块露出水面高度， 圆柱形铁块露出水面的高度为厘米． 22.【解析】证明：连接， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的直径， 是的切线； 解：点是的中点， ， ， ，， ， ， ，， ， 设，， ， 负值舍去， 的长为． 本题考查了切线的判定和性质，三角函数的定义，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，正确地找出辅助线是解题的关键． 23.【解析】，即， 点的“微距值”为， 故答案为：． 点到轴的距离， 由条件可知点到轴的距离． 或． 设点的坐标为， 点在直线上， ． 情况一：当时 此时，即． 当时，代入，得， 移项可得，即， 解得， 此时， ， 不满足，舍去． 当时，代入，得， 移项可得，即，解得， 此时，，满足， 点坐标为． 情况二：当时 此时，即． 当时，代入， 得，此时， ，不满足， 舍去． 当时，代入， 得，此时， ，满足， 点坐标为． 综上，点的坐标为或． 本题主要考查了平面直角坐标系中点到坐标轴的距离，以及对新定义“微距值”的理解与应用．解题关键在于准确根据定义判断“微距值”是点到轴还是轴的距离，对于含有参数的情况如第问，要分情况讨论，结合点所在直线方程求解坐标． 24.【解析】解：由题意可得： ， 则， 解得， 该二次函数的表达式为； 由知， ，对称轴为， 抛物线开口向下，则当抛物线上的点离对称轴越近函数值越大， 当、在函数图象上，总有时，， 解得； 令，则， 即， ， ，且， 或， 当时，； 当时，； 综上所述，二次函数的图象与轴正半轴一定有交点． 本题考查抛物线与轴的交点，正确进行计算是解题关键． 25.【解析】解：由旋转的性质可知：，，  又，  ，  即，  在和中：  ，  ≌  ，，  在中，，，  ，    ；  综上，与的数量关系是，；  故答案为：，；  ，，  ，  ，  ，  ，  ，  ，  ∽，  ，，  ，  ，  ，即：，  ，，  故答案为：，；  由知，点是的中点，  ，  ，  ，  ，  是直角三角形，  ，，  ，  ，  设，则，  ，，，  ，  如图，当点在线段上时，  ，    ，  ，  ，  ，舍去，  如图，当点在的延长线上时，  ，    ，  ，  ，  ，  ，舍去，  综上所述，的长为或． 本题是一道几何变换综合题，以直角三角形为背景，结合旋转、相似三角形、直角三角形性质和分类讨论思想，层层递进考查图形的全等相似、角度与线段关系，以及动点问题的多情况求解． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $