专题01 期末真题百练通关（97题35大易错题型）（期末复习专项训练）八年级数学下学期新教材北京版

**基本信息** 97题覆盖35大易错题型，融合代数、几何与统计，以真题为载体构建从概念辨析到综合应用的递进训练体系。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |代数|51题（函数15题型、方程10题型）|聚焦概念辨析（变量与常量）、性质应用（函数象限/增减性）、实际建模（一次函数应用）、方程解法（换元法）及根的判别|从函数定义到图象性质，再到方程与函数综合，形成“概念-性质-应用”逻辑链| |几何|34题（四边形9题型、图形变换2题型）|突出判定与性质（平行四边形/矩形）、中点应用（中位线/中点四边形）、旋转性质|以多边形为基础，递进至特殊四边形，结合图形变换，强化空间观念与推理意识| |统计|12题（方差等4题型）|考查数据描述（方差/离差平方和）、图表分析（频数分布/箱线图）|从数据特征量到图表解读，培养数据意识与分析能力|

专题01 期末真题百练通关（97题35大易错题型） 题型1 变量与常量 题型19 菱形 题型2 函数 题型20 正方形 题型3 函数的表示法 题型21 三角形中位线 题型4 函数图象的画法 题型22 中点四边形 题型5 平面直角坐标系 题型23 中心对称图形 题型6 正比例函数 题型24 图形的旋转 题型7 一次函数 题型25 一元二次方程定义 题型8 已知函数经过的象限求参数范围 题型26 一元二次方程解法 题型9 一次函数图象与坐标轴的交点问题 题型27 换元法解一元二次方程 题型10 一次函数解析式 题型28 根的判别式 题型11 一次函数的增减性 题型29 根据一元二次方程根的情况求参数 题型12 一次函数的平移 题型30 一元二次方程根与系数的关系 题型13 一次函数与方程 题型31 一元二次方程的实际应用 题型14 一次函数与不等式 题型32 方差 题型15 一次函数的实际应用 题型33 离差平方和 题型16 多边形 题型34 频数分布表与频数分布直方图 题型17 平行四边形 题型35 四分位数与箱线图 题型18 矩形 题型一 变量与常量（共3小题） 1．（25-26八年级下·北京·期中）在圆的周长公式中，下列说法正确的是（    ） A．2是常量，、、是变量 B．2是常量，、是变量 C．2是常量，、是变量 D．2、是常量，、是变量 【答案】D 【分析】在一个变化过程中，数值不发生变化的量称为常量，数值发生变化的量称为变量，根据定义直接判断即可． 【详解】解：∵在圆的周长公式中，和是固定不变的常数，圆的周长随半径的变化而变化． ∴、是常量，、是变量． 2．（24-25八年级下·河北唐山·期末）关于常量和变量表述不正确的是（   ） A．矩形的面积是，宽为，长为．在这个问题中为常量； B．在圆的周长公式中，2，为常量，C，r均为变量； C．在匀速运动公式中，v、S和t均为变量； D．a比b的2倍多1，在这个问题中，2和1是常量，a和b是变量． 【答案】C 【分析】本题考查常量与变量的概念．常量是问题中固定不变的量，变量是可以取不同值的量．逐一分析各选项，判断其表述是否正确即可． 【详解】解：选项A：矩形面积公式为，其中3是固定值，为常量；和随矩形形状变化，是变量．表述正确． 选项B：周长公式中，2和π是固定数值，为常量；和随圆的大小变化，是变量．表述正确． 选项C：匀速运动公式中，速度是固定不变的，为常量；路程和时间是变量．选项中将视为变量，表述错误． 选项D：关系式中，2和1是固定数值，为常量；和可变化，是变量．表述正确． 综上，选项C的表述不正确． 故选：C 3．（25-26七年级上·山东潍坊·期末）在男子1000米赛跑中，运动员的平均速度，其中变量是 ________ ，常量是 _________ ． 【答案】 v，t 1000 【分析】本题考查了函数的定义，正确理解变量是指可以取不同值的量，常量是指固定不变的量，即可解题． 【详解】解：在平均速度公式中，时间t变化时，速度v也随之变化，故v和t都是变量，而距离1000米是固定值，故是常量． 故答案为：v，t；1000． 题型二 函数（共3小题） 4．（25-26八年级下·北京·期中）有下列关于x和y的式子：①；②；③；④．其中y是x的函数的是_____（填序号）． 【答案】 ①② 【分析】根据函数的定义逐个判断即可，对于的每一个确定值，有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量． 【详解】解：根据函数的定义，逐一判断： ① ：对于的每一个确定值，都有唯一确定的值与之对应，符合函数定义； ② ：对于的每一个确定值，都有唯一确定的值与之对应，符合函数定义； ③ ：当取一个正数时，有两个值与之对应，不符合函数定义； ④ ：当取一个正数时，有两个值与之对应，不符合函数定义． 因此是的函数的是①②． 5．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列是关于变量与的八个解析式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧．其中不是关于的函数的是________________（填序号）． 【答案】②④⑦ 【分析】根据函数的定义：对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与之对应，据此逐一分析每个解析式． 【详解】解：①：对于每一个的值，都有唯一的值对应，是的函数； ②：当 取一个正数时，有两个值（正、负）与之对应，不满足“唯一确定”，不是的函数； ③，即：对于每一个的值，都有唯一的值对应，是的函数； ④，即：当取正数时，有两个值与之对应，不满足“唯一确定”，不是的函数； ⑤：对于每一个的值，都有唯一的值对应，是的函数； ⑥：对于每一个的值，都有唯一的值对应，是的函数； ⑦：当 取一个正数时，有两个值（正、负）与之对应，不满足“唯一确定”，不是的函数； ⑧，即：对于每一个不为的值，都有唯一的值对应，是的函数． ∴，不是的函数的是②④⑦． 故答案为：②④⑦． 【点睛】本题考查了函数的定义，解题关键是紧扣“对于的每一个确定值，有唯一确定的值对应”这一核心条件，判断每个解析式是否满足该要求． 6．（25-26八年级上·全国·单元复习）求下列函数中自变量x的取值范围． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)x是任意实数 (2)且 (3) 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围：函数自变量的范围一般从三个方面考虑：当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． （1）根据对任意的实数，整式都有意义即可求解； （2）根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围； （3）根据0的0次幂无意义即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：x为任意实数； （2）解：根据题意得：， 解得：且； （3）解：根据题意得：， 解得：． 题型三 函数的表示法（共3小题） 7．（25-26八年级下·北京西城·期中）下列各曲线中，不能表示y是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】函数中，对于x的每一个值，y都有唯一的值与其对应．根据函数是一一对应的关系，给自变量一个值，有且只有一个函数值与其对应，就是函数，如果不是，则不是函数．由此逐项判断即可． 【详解】解：A、B、D选项中，对于一定范围内自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，所以y是x的函数； C选项中，对于一定范围内x取值时，y可能有2个值与之相对应，所以y不是x的函数． 8．（25-26八年级下·北京·期中）A，B两地相距，李明从A地出发骑自行车以的速度前往B地，用x（单位：）表示骑行时间，y（单位：）表示李明与B地的距离，写出y关于x的函数解析式：______． 【答案】 【分析】根据题意，李明与B地的距离等于A，B两地总距离减去李明骑行的路程，先得到y与x的等量关系，再确定自变量x的取值范围，即可得到函数解析式． 【详解】解：由题意可得，李明骑行的路程为， ∵A，B两地总路程为，为李明与B地的距离， ∴ ， 根据题意得：， 解得， ∴y关于x的函数解析式为． 9．（25-26八年级下·北京·期中）如图①，长方形的边为，动点H以的速度从点A出发沿折线匀速运动到终点D．设点H的运动时间为，的面积为． (1)图②反映了两个变量S与t之间的函数关系，其中自变量是______； (2)根据图①②可得______，______，______． 【答案】(1)点H的运动时间t； (2)4；14；10 【分析】（1）根据题意及函数的定义即可作答； （2）根据函数图象可得当时，点H在线段上，当时，点H在线段上，当时，点H在线段上，据此可求出的长，进而求出a的值，再求出点H运动到点B时，的面积即可求出b的值； 【详解】（1）解：由题意得，自变量是点H的运动时间t； （2）解：由函数图象可知，当时，点H在线段上， 当时，点H在线段上， 当时，点H在线段上， ∴， ∴， 当点H运动到点B时，此时，即； 题型四 函数图象的画法（共3小题） 10．（25-26八年级下·北京·期中）萍萍在学习中遇到了这样一个问题：探究函数的性质，此函数是我们未曾学过的函数，于是他尝试结合一次函数的学习经验研究此问题，下面是萍萍的探究过程，请你补充完整． (1)列表： … … … … 直接填空：_______； (2)描点并正确地画出该函数图象； (3)①根据函数图象可得：该函数的最小值为_______； ②观察函数的图象，写出该图象的一条性质：_______． 【答案】(1)1 (2)函数图象如图所示： (3)①；②图象关于直线对称 【分析】（1）将代入即可； （2）描出表格中的点，再连线即可； （3）①结合图象判断最小值；②由图象写出函数的性质，如对称性，增减性和最值． 【详解】（1）解：当时，， ∴； （2）略 （3）解：①由图可知，该函数的最小值为； ②图象关于直线对称；当时，随的增大而减小．（答案不唯一） 11．（25-26八年级下·全国·课后作业）画出函数的图象． (1)列表： x … －2 －1 0 1 2 … y … … (2)描点：根据表中数据描出各点． (3)连线：用平滑的线依次连接各点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）选取包含原点的对称值，代入计算对应值，形成坐标列表，为描点提供数据； （2）根据列表的坐标，在坐标系中精准标记各点位置，为连线确定参考点； （3）因正比例函数图象是过原点的直线，用平滑直线连接所有点并延伸，得到完整图象． 【详解】（1）解：将代入，依次计算对应值： 、、0、3、6． x … －2 －1 0 1 2 … y … －6 －3 0 3 6 … （2）解：描点如图所示． （3）解：连线如图所示． 【点睛】本题考查了正比例函数的图象画法，掌握列表-描点-连线的基本作图步骤，以及正比例函数的图象是经过原点的直线这一性质是解题的关键． 12．（25-26九年级上·四川绵阳·开学考试）通过学习“函数的图象”，我们学会了用列表、描点、连线的方法来画出函数图象．小明想应用这个方法来探究函数的图象．下面是他的探究过程，请你补充完整： x … 0 1 2 3 4 … y … 4 m 2 1 n 3 4 … (1)列表，补全表格：______，______； (2)描点并画出该函数的图象； (3)观察（2）中的图象，当______时，该函数的因变量的值最小，最小值为_____． 【答案】(1)3，2 (2)见解析 (3)1，1 【分析】本题主要考查了画函数图象，求函数值． 对于（1），将，代入函数关系式，可得答案； 对于（2），用描点、连线的方法来画出函数图象； 对于（3），观察图象可得答案． 【详解】（1）解：当时，，即， 当时，，即， 故答案为：3，2； （2）解：如图： （3）解：当时，该函数的因变量的值最小，最小值为1． 故答案为：1，1． 题型五 平面直角坐标系（共3小题） 13．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，平行四边形的顶点A，B，C的坐标分别是，，，则顶点D的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是坐标与图形，平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是解本题的关键．本题考查坐标与图形，平行四边形的性质，由B，C的坐标求出线段的长度，再利用平行四边形的性质可得答案． 【详解】解：平行四边形的顶点A，B，C的坐标分别是，，， ， B，C的纵坐标相等， 轴， ， 轴， 又顶点A的坐标是，， ∴顶点D的坐标为， 故选C． 14．（25-26七年级下·北京·期中）已知在平面直角坐标系中，点，都不在坐标轴上，将线段平移，使点，平移后的对应点分别同时落在两条坐标轴上，则点平移后的对应点的坐标为__________． 【答案】 或 【分析】根据平移的性质，平移后点分别落在两条坐标轴上，分两种情况讨论，结合坐标轴上点的坐标特征计算即可得到结果 【详解】解：设平移时横坐标变化量为，纵坐标变化量为，则平移后点的坐标为，点的坐标为， 分两种情况讨论： 情况1：平移后点落在轴，点落在轴， 由坐标轴上点的坐标特征得： 得，， 此时点平移后的坐标为; 情况2：平移后点落在轴，点落在轴， 由坐标轴上点的坐标特征得： 得，， 此时点平移后的坐标为； 综上，点平移后的对应点的坐标为或 15．（14-15七年级下·河北廊坊·期末）如图，在平面直角坐标系中，三角形的顶点都在正方形网格的格点上，其中点的坐标为． (1)写出点，的坐标； (2)将三角形先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到三角形，分别写出三角形的三个顶点的坐标； (3)求三角形的面积． 【答案】(1)， (2)，， (3) 【分析】本题考查作图-平移变换，利用割补法求三角形的面积，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键． （1）由图可直接得出答案； （2）根据平移的性质可直接得出答案； （3）利用割补法求三角形的面积即可． 【详解】（1）解：根据图形可得、； （2）解：、、三点经过平移后， 坐标变为，，， 平移后的三角形在图中表示如下： （3）解：三角形的面积为：． 题型六 正比例函数（共3小题） 16．（25-26八年级上·陕西汉中·期中）下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与正比例函数的定义，根据一次函数（形式为，）和正比例函数的定义，逐一验证各选项是否符合“一次函数但”的条件． 【详解】解：∵ 一次函数需满足自变量x的次数为1且为整式；正比例函数是一次函数中的特殊情况， A项：，形式为，，是正比例函数，不符合要求； B项：，x的次数为2，不是一次函数，不符合要求； C项：，形式为，，，故是一次函数但不是正比例函数，符合要求； D项：，即，x的次数为，不是一次函数，不符合要求， 故选：C． 17．（2025八年级下·全国·专题练习）若是关于x的正比例函数，则的值为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，注意正比例函数的未知数系数不能为零是解题关键． 利用正比例函数的定义列方程和不等式可求得a的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵是关于x的正比例函数， ∴且， 解得：， ∴． 故答案为：． 18．（25-26七年级上·山东淄博·阶段检测）已知函数． (1)m的取值满足什么条件时，y是x的一次函数？ (2)m，n的取值满足什么条件时，y是x的正比例函数？ 【答案】(1) (2)、 【分析】本题主要考查了一次函数和正比例函数的知识, （1）根据一次函数的定义可得且，求解即可获得答案； （2）根据正比例函数的定义可得且，且，求解即可获得答案． 【详解】（1）解：由题意得且， 解，可得， ∴或， 解，可得， ∴当时函数是一次函数； （2）由题意得且，且， 解，可得， ∴或， 解，可得， 解，可得， 综上所述，当、时，函数是正比例函数． 题型七 一次函数（共3小题） 19．（25-26八年级下·北京·期中）下列各点中，在函数 的图象上的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，代入各选项中点的横坐标，求出纵坐标，比较后即可得出结论． 【详解】解：A．当时，， ∴点不在函数的图象上，选项A不符合题意； B．当时，， ∴点不在函数的图象上，选项B不符合题意； C．当时，， ∴点在函数的图象上，选项C符合题意； D．当时，， ∴点不在函数的图象上，选项D不符合题意． 故选：C． 20．（24-25八年级上·辽宁本溪·期末）若点在直线上，且，都是正整数，则点坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，由点在直线上，则，然后根据题意求二元一次方程组的正整数解即可，解题的关键是掌握一次函数的图象与性质． 【详解】解：∵点在直线上， ∴， ∵，都是正整数， ∴，， ∴点坐标是， 故答案为：． 21．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知函数． (1)当为何值时，是的一次函数？ (2)若函数是一次函数，则为何值时，的值为3？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是根据一次函数求函数中参数的值以及根据函数值求自变量的值，掌握一次函数的定义是解决此题的关键． （1）根据一次函数的定义即可列出关于m的方程和不等式，从而求出m的值； （2）将代入一次函数中，即可求出x的值． 【详解】（1）解：由是一次函数得， 解得． 故当时，是一次函数； （2）解：由（1）可知． 当时，，解得． 故当时，y的值为3． 题型八 已知函数经过的象限求参数范围（共3小题） 22．（25-26八年级上·安徽合肥·阶段检测）已知直线经过点，且不经过第三象限，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质、一元一次不等式组的应用等知识点，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键． 由直线经过点可得与的关系，再由直线不经过第三象限确定的取值范围，代入表达式，根据的范围求的范围． 【详解】直线经过点， ，即， 直线不经过第三象限， 且， ，即， ， 又， 当时，； 当时，， ∴． 故选：． 23．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）一次函数的图象经过第一、三、四象限，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查根据一次函数经过的象限求参数的范围，求不等式组的解集，根据一次函数的图象过第一、三、四象限，得到，求不等式组的解集即可． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、三、四象限， ∴，解得； 故答案为：． 24．（24-25八年级下·福建泉州·期末）已知函数，（为常数）． (1)若该函数的图象与直线平行，求的值； (2)若这个函数是一次函数，且该函数的图象不经过第二象限，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了两条直线的平行问题，一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的性质是关键． （1）依据题意，由函数的图象与直平行得出，解方程求出的值，即可； （2）依据题意，由函数是一次函数，且该函数的图象不经过第二象限得出，解不等式组，即可求出的取值范围． 【详解】（1）解：∵函数的图象与直平行， ∴， 解得：． （2）解：∵函数是一次函数，且该函数的图象不经过第二象限， ∴ 解得：． 题型九 一次函数图象与坐标轴的交点问题（共3小题） 25．（25-26八年级下·北京房山·期中）一个一次函数的图象经过点，且和x轴交于点B，如果该函数图象与坐标轴围成的三角形的面积为6，那么该一次函数的表达式为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征和三角形的面积公式，有一定的综合性，注意点的坐标和线段长度的转化．先求出一次函数与x轴和y轴的交点，再利用三角形的面积公式得到关于k的方程，解方程即可求出k，即可得到答案． 【详解】解：设一次函数图象过点， ∴， ∴ 令，则， ∴一次函数与x轴交点为， ∵函数图象与两坐标轴围成的三角形面积为6， ∴， 即， 解得：， 则函数的解析式是或. 故选：C． 26．（24-25八年级下·北京·期中）在平面直角坐标中，一次函数过点，其图象与x轴交于正半轴，写出一个符合条件的该一次函数的解析式______． 【答案】（不唯一） 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质，由一次函数过点，可得出，利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出一次函数的图象与x轴交点坐标，结合一次函数的图象与x轴交于正半轴，即可得出结论．牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数过点， ； 当时，可得， 解得： ， 其图象与x轴交于正半轴， ， ∴k的值可以为，此时该一次函数的解析式为． 故答案为：（答案不唯一）． 27．（25-26八年级下·北京·期中）已知一次函数的图象经过两点． (1)求的值； (2)若一次函数的图象与轴，轴的交点分别为．求交点坐标以及函数图象与坐标轴围成三角形的面积（为坐标原点）． 【答案】(1)， (2)，，的面积为 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）求出的坐标，然后根据三角形的面积公式求得即可． 【详解】（1）解：把，两点坐标代入， 得，， 解得：，； （2）解：由（1）得，，即， 当时，； 当时，； ∴，， ∴的面积为． 题型十 一次函数解析式（共3小题） 28．（25-26八年级·全国·假期作业）已知y是x的一次函数，下表列出了部分对应值： x … ﹣2 1 3 … y … 7 ﹣2 ﹣8 … 则y与x的函数表达式为（　　） A．y＝﹣2x+1 B．y＝2x﹣3 C．y＝3x﹣1 D．y＝﹣3x+1 【答案】D 【分析】根据表格中的数据，利用待定系数法即可求出y与x的函数表达式． 【详解】解：设y与x的函数表达式为y＝kx+b（k≠0）， 将（﹣2，7），（1，﹣2）代入y＝kx+b得：， 解得：， ∴y与x的函数表达式为y＝﹣3x+1． 当x=3时，y=-3×3+1=-8 故选：D． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，根据给定数据，利用待定系数法求出一次函数表达式是解题的关键． 29．（25-26八年级下·北京·期中）已知直线经过和，把直线沿轴向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到直线，则直线的解析式为_____． 【答案】 【分析】本题考查平移的性质，待定系数法求一次函数解析式；先求出原直线上两个点平移后的坐标，再利用待定系数法即可求解直线的解析式． 【详解】解：根据题意可得：平移后得到点，平移后得到点， 设直线的解析式为， 将两点坐标代入得， 解得， 因此直线的解析式为． 30．（24-25八年级下·北京·期中）当，是正实数，且满足时，就称点为“完美点”．已知与点的坐标满足，且点是“完美点”，则点坐标为_____． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算．先根据点A坐标确定一次函数的解析式为，设点，根据题意，，结合m，n是正实数，且满足m，n是正实数，得，得到，据此计算即可求解． 【详解】解：∵点与点B的坐标满足，且点B是“完美点”， ∴， 解得， ∴一次函数的解析式为， 设点， 根据题意，， ∵m，n是正实数，且满足m，n是正实数，， ∴，即， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 题型十一 一次函数的增减性（共3小题） 31．（25-26八年级下·北京西城·期中）已知一次函数（为实数），当时，，则m的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据一次函数性质可得，当时，，要使时，，即要使，然后解关于的一元一次不等式即可． 【详解】解：由当时，，可得随着的减小而增大，即， ∵， ∴当时，， ∴要使时，，即要使， ∴． 32．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知正比例函数（k为常数，且），y随x的增大而减小．当时，函数有最大值5，则k的值是________． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的性质，掌握当时正比例函数单调递减，区间内最大值出现在的最小值处是解题的关键． 根据正比例函数的性质，随的增大而减小，当时，取最小值时取得最大值，代入函数解析式求解． 【详解】解：∵ 中随的增大而减小， ∴当时，时最大，最大值为． 将,代入， 得， 解得． 故答案为：． 33．（25-26八年级下·北京昌平·期中）已知一次函数， (1)当值为何值时，该函数为正比例函数； (2)当值为何值时，一次函数的图象与轴交于； (3)当值为何值时，一次函数的图象与轴交于负半轴； (4)当值为何值时，一次函数随的增大而增大； (5)当值为何值时，一次函数的图象经过一、二、四象限． 【答案】(1) (2) (3)且 (4) (5) 【分析】（1）由函数为正比例函数时可得，据此求解即可； （2）把代入函数解析式，得关于的方程，求解方程即可； （3）由题意可得，据此即可求出的取值范围即可； （4）根据一次函数的性质得到，然后解不等式即可； （5）若一次函数的图象经过一、二、四象限，可知且，由此列不等式可解答． 【详解】（1）解：∵一次函数是正比例函数， ∴， 解得：； （2）解：∵一次函数的图象与轴交于， ∴， 解得：； （3）解：∵一次函数的图象与轴交于负半轴， ∴， 解得：且； （4）解：∵一次函数随的增大而增大， ∴， 解得：； （5）解：∵一次函数的图象经过一、二、四象限， ∴， 解得，     ∴当时，该一次函数的图象经过一、二、四象限． 题型十二 一次函数的平移（共3小题） 34．（2025·陕西西安·一模）在平面直角坐标系中，将直线向上平移3个单位后，恰好经过点，则m的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图象的平移，正确求出平移后的直线解析式是解题的关键． 先根据平移规律求出直线向上平移3个单位的直线解析式，再把点代入，即可求出m的值． 【详解】解：将直线向上平移3个单位， 得到直线， 把点代入， 得， 解得，． 故选：B． 35．（24-25八年级上·山东威海·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，将沿轴向左平移2个单位得到，则图中阴影部分的面积为______________． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的图象与坐标交点，一次函数的平移，熟练掌握一次函数的平移，以及求一次函数与坐标轴交点的坐标是解题的关键．先求出一次函数与坐标轴交点和的坐标，再利用平移求出直线的解析式，求出其与坐标轴交点和的坐标，再求面积即可． 【详解】解：如图， 当时，， 则， 当时，， 解得：， 则， ∵将沿轴向左平移2个单位得到， ∴直线向左平移2个单位得到直线，且， 则直线的解析式为， 时，， 则， ∴． 故答案为： 36．（25-26八年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)若函数与一次函数的图象的交点位于直线的右侧，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)或或 【分析】（1）平移，得到，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出当函数过时，，然后分三种情况解答即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象由函数的图象平移得到， ∴， ∴， 把代入上式，得：，解得：， ∴； （2）解：当时，， 则当函数过时，， 当时，两个函数图象交点在直线的右侧； 当时，直线与直线平行， 当且时，两个函数图象交点在直线的右侧； ∴m的取值范围为：或或． 题型十三 一次函数与方程（共3小题） 37．（25-26八年级上·重庆·期末）如图，已知一次函数与（，且k，m为常数）的交点坐标为，则关于x，y的方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象交点坐标与方程组解的关系．把代入求出的值，根据函数图象即可求解． 【详解】解：把代入，得 ， ∴， ∵一次函数与的图象相交于点， ∴方程组的解是． ∴关于x，y的方程组的解为． 故选：C． 38．（25-26八年级下·北京·期中）如图，直线与直线相交于点，则关于，的方程组的解为 ______． 【答案】 【分析】把点的坐标代入直线的解析式，求出点的坐标，因为直线与直线相交于点，所以方程组的解为． 【详解】解：把点的坐标代入直线的解析式， 可得：， 点的坐标为， 关于，的方程组的解为． 39．（25-26八年级上·河北张家口·期末）如图，直线与x轴交于点，直线与y轴交于点，与直线交于点C． (1)求k，b的值； (2)关于x，y的方程组的解为 ； (3)若直线平行于x轴，且到x轴的距离为1，求直线被，所截得的线段长． 【答案】(1)， (2) (3)3或9 【分析】（1）依据题意，由直线与x轴交于点，则，可得k的值，又直线与y轴交于点，故，则，从而得解； （2）联立方程组，解方程组，进而可以得解； （3）根据直线平行于x轴，且到x轴的距离为1，分两种情况求出结果即可． 【详解】（1）解：∵直线与x轴交于点， ∴，解得：， ∵直线与y轴交于点， ∴， 解得：； （2）解：由题意，结合（1）联立方程组， 解得：， ∴方程组的解为． （3）解：由题意，∵直线平行于x轴，且到x轴的距离为1， ∴令，则；，则， 故直线被，所截得的线段长为； 令，则；，则， 故直线被，所截得的线段长为； 答：直线被，所截得的线段长为3或9． 【点睛】本题主要考查了一次函数与二元一次方程（组）、待定系数法求一次函数解析式，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键． 题型十四 一次函数与不等式（共3小题） 40．（25-26八年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，函数，的图象交于点，则关于x的不等式 的解集为__________． 【答案】 【分析】本题考查了根据两直线的交点求不等式的解集，一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质，利用数形结合的思想方法是解题的关键． 先根据点P的坐标求得m的值，进而求得的解集，然后根据函数图象得到直线在直线上方时的x的取值范围，即可解答． 【详解】解：∵点在函数的图象上， 把代入，得， 解得， ∴， 则， 解得， ∴的解集为， 由图象可知，当时，直线的图象在直线的图象的上方， ∴的解集为， 综上，的解集为． 故答案为：． 41．（25-26八年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，一次函数的图象过点，且平行于直线． (1)求一次函数的解析式； (2)求该一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积． (3)当时，对于的每一个值，一次函数的值都小于一次函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1)一次函数的解析式为 (2)该一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积为 (3) 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）当时，；当时，，则面积可求； （3）先求出的解集，再根据当时，对于的每一个值，一次函数的值都小于一次函数的值列不等式求解即可. 【详解】（1）解：∵一次函数的图象过点，且平行于直线， ∴解得：， 即：； （2）解：当时，； 当时，， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵当时，对于的每一个值，一次函数的值都小于一次函数的值， ∴，解得：. 42．（25-26八年级下·北京·期中）小明根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究并解决了相关问题，请补全下面的过程. (1)列表： x … 0 1 2 3 4 … y … 0 2 4 b 0 … 请根据表格中的信息，确定b的值，_____； (2)根据（1）中的列表，请在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象． (3)结合函数图象，解决问题： ①写出函数的一条性质 ． ②若点,在函数图象上，且，则与的大小关系为__． ③若关于x的方程有两个解，请直接写出满足条件的m的取值范围 ． ④若点，都在函数的图象上，且，直接写出t的取值范围 ． 【答案】(1)2 (2) (3)①图像关于直线对称（答案不唯一）；② <；③；④ 【分析】本题考查一次函数与绝对值函数的综合，熟练掌握一次函数的性质，数形结合的运用是解题的关键． （1）将代入函数解析式，计算得到对应y值即为b； （2）根据表格中格点的坐标，在坐标系中描点，再用平滑线段顺次连接各点即可； （3）①观察画出的函数图象，从对称性、最值、增减性等角度选取一条描述即可； ②根据的条件，结合函数在区间的增减性判断即可； ③将方程解的个数问题转化为函数与的交点个数问题，求直线过绝对值函数顶点时的临界情况的m值，再确定范围； ④画出函数图象，利用，，可得点位于直线的左侧，点位于直线的右侧，分别代入函数解析式建立不等式，求解即可． 【详解】（1）解：当时，， 则； （2）略； （3）解：①由（2）中图象可得函数关于直线对称； ②由图象可知，当时，随的增大而增大， ； ③方程有两个解， 函数与有两个交点， 当直线经过点时，， 解得：， 因此，方程有两个解时，的取值范围为； ④当时，函数， 当时，函数， 函数的图象如下： 由图可知，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， ，且， 将点代入得：， 将点代入得：， ， 解得：． 题型十五 一次函数的实际应用（共3小题） 43．（24-25八年级下·北京房山·期中）为落实国家发展改革委办公厅，市场监管总局办公厅《关于规范电动自行车充电收费行为的通知》，长阳某小区完成充电桩“商改民”线路改造，将原商业电价调整为居民合表电价，并推出两种合规套餐，引导居民安全、经济充电． 套餐 计费规则 制定依据 A套餐 按实际充电量计费，单价1元/度（含充电电费0.51元/度及充电服务费0.49元/度） 居民合表电价及服务费标准 B套餐 充电量不超过1度免费，超出部分按1.5元/度计费（含充电服务费） 鼓励短充，减少夜间长时充电隐患 (1)分别写出两种套餐费用的函数表达式（充电量为度，费用为元）； (2)若用户充电2.5度，选择哪种套餐更经济？请说明理由． 【答案】(1)A套餐函数表达式：；B套餐函数表达式： (2)选择套餐更经济，理由见解析 【分析】本题考查一次函数的应用． （1）根据计费规则分别写出两种套餐费用的函数表达式即可； （2）将分别代入两函数表达式，求出对应的函数值并比较大小即可得出结论． 【详解】（1）解：A套餐函数表达式：， 套餐函数表达式：； （2）解：当时， 若选择套餐：， 若选择套餐：， ， 选择套餐更经济． 44．（2025·辽宁盘锦·一模）据灯塔专业版数据，截至2025年2月18日，《哪吒之魔童闹海》总票房达123.2亿元，登顶全球动画电影票房榜，是亚洲首部票房过百亿的影片，并创造了全球单一电影市场最高票房纪录．该片来源于哪吒闹海的传统故事，但又重塑了全新的“魔童”哪吒形象：表面吊儿郎当，实则勇敢坚毅，强烈反差引发情感共鸣；“我命由我不由天”的不屈精神，让观众泪目．为满足儿童对哪吒的喜爱，某玩具店决定各用300元购进了、两种哪吒玩偶．已知一个种哪吒玩偶是一个种玩偶价格的2倍，且购进两种玩偶的数量共15个． (1)求购进、两种哪吒玩偶的单价各是多少元？ (2)因销售效果不错，该玩具店决定再次购进、两种哪吒玩偶共80个，且种哪吒玩偶的数量不多于种哪吒玩偶数量的2倍，问此次购进最少要花多少钱？ 【答案】(1)A种哪吒玩偶单价是30元，B种哪吒玩偶单价是60元 (2)此次购进至少要花元钱 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用． （1）设购进A种哪吒玩偶的单价是x元，则购进B种哪吒玩偶的单价是元，利用数量=总价÷单价，结合购进两种玩偶的数量共15个，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即购进A种哪吒玩偶的单价），再将其代入中，即可求出购进B种哪吒玩偶的单价； （2）设购进A种哪吒玩偶个，则购进B种哪吒玩偶个，根据购进A种哪吒玩偶的数量不多于B种哪吒玩偶数量的2倍，可列出关于a的一元一次不等式，解之可得出a的取值范围，设该玩具店再次购进A、B两种哪吒玩偶共花费w元，利用总价=单价×数量，可找出w关于a的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设A种哪吒玩偶的单价为元，则B种哪吒玩偶的单价为元． 根据题意，得： 解得： 经检验：是原分式方程的解 B种：元 答：A种哪吒玩偶单价是30元，B种哪吒玩偶单价是60元． （2）解：设购进A种哪吒玩偶个，则购进B种哪吒玩偶个 根据题意，得： 解得： 设该玩具店再次购进A、B两种哪吒玩偶共花费w元， 花费 整理，得： ∵，当时，随的增大而减小 ∴当时，取得最小值，最小值元 答：此次购进至少要花元钱． 45．（25-26八年级下·北京·期中）甲、乙两地距离，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地．如图，线段表示货车离甲地的距离与时间之间的关系，折线表示轿车离甲地的距离与时间之间的关系，根据图象，解答下列问题： (1)轿车比货车提前______到达乙地； (2)在段货车的速度为________，轿车的速度为________； (3)从图象上可以看出，货车比轿车提前出发，轿车出发3小时离甲地________． 【答案】(1) (2)60，110 (3)245 【分析】（1）从函数图象中获取信息进行计算即可； （2）利用速度、时间和路程的关系公式进行计算即可； （3）先求解轿车的剩余时间，再运用速度、时间和路程的关系公式进行计算即可． 【详解】（1）解：货车到达乙地的时间是，轿车到达乙地的时间是， 那么轿车比货车提前到达乙地的时间为：； （2）解：货车速度：在段，货车行驶的路程是，所用时间是， 可得货车速度， 轿车速度：在段，轿车行驶的路程是，所用时间是， 可得轿车速度； （3）解：货车比轿车提前出发，轿车出发3小时，还有， 则． 题型十六 多边形（共3小题） 46．（25-26八年级下·北京·课后作业）如图，要使四边形木架（由四根木条钉成）不变形，可以再钉上几根木条． (1)请在图①中画出你想到的方法（至少画两种），至少要钉几根木条？ (2)五边形呢？请在图②中画出你想到的方法（至少画两种），至少要钉几根木条？ (3)由以上探究猜想，要使n边形的木架不变形，至少要钉上几根木条？ 【答案】(1)1 (2)2 (3)根 【分析】（1）从n边形的一个顶点出发，可以引条对角线，据此解答； （2）从n边形的一个顶点出发，可以引条对角线，据此解答； （3）从n边形的一个顶点出发，可以引条对角线，据此解答． 【详解】（1）解：如图①根据三角形具有稳定性可知：要使木架不变形，则需要将四边形木架钉木条转化为三角形，至少需再钉（根）木条； （2）解：如图②五边形木架钉木条转化为三角形，至少需再钉（根）木条； （3）解：四边形木架至少需再钉1根木条，五边形木架至少需再钉2根木条，综上可得要使n边形木架不变形，至少需要再钉根木条． 47．（25-26七年级上·山西临汾·阶段检测）阅读与思考 连接多边形任意两个不相邻顶点的线段叫做多边形的对角线． 如图所示，过多边形的一个顶点作出所有的对角线，可以把多边形分割成若干个三角形．请仔细观察下面的图形和表格，并回答下列问题： 多边形的顶点数/个 4 5 6 7 8 …… 从一个顶点出发的对角线的条数/条 1 2 3 4 5 …… ①_____ 分割成的三角形个数/个 2 3 4 5 6 …… ②_____ (1)观察探究：请仔细观察上面的图形和表格，并用含的代数式填写表格①______，②______； (2)n边形有n个顶点，那么所有对角线的条数可表示为______； (3)类比应用：数学社团共有11名同学，大家约定，春节期间每人都要给同社团的其他同学打一个电话拜年．请问，按照此约定，数学社团的同学们一共将拨打电话多少个？ 【答案】(1)①，② (2) (3)44个 【分析】本题考查了多边形对角线规律及其应用，难点是理解这个规律的应用． （1）根据所给图形总结规律解答即可； （2）当多边形的顶点数为n时，从一个顶点可以引出条对角线，则n个顶点可以引出条对角线，其中每一条都重复算了一次，因此实际的对角线条数为． （3）根据（2）的结论求解即可． 【详解】（1）∵4边形从一个顶点出发的对角线有条，分割成的三角形有个， 5边形从一个顶点出发的对角线有条，分割成的三角形有个， 6边形从一个顶点出发的对角线有条，分割成的三角形有个， 7边形从一个顶点出发的对角线有条，分割成的三角形有个， 8边形从一个顶点出发的对角线有条，分割成的三角形有个， …， ∴n边形从一个顶点出发的对角线有条，分割成的三角形有个， 故答案为：①，②； （2）当多边形的顶点数为n时，从一个顶点可以引出条对角线，则n个顶点可以引出条对角线，其中每一条都重复算了一次，因此实际的对角线条数为． 故答案为：； （3）11名学生看成是顶点数为11的多边形，每人都要给同社团的其他同学打一个电话拜年是这个多边形的对角线，则由（2）可得，数学社团的同学们一共将拨打电话（个）． 48．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）已知边形（且为整数）的内角和公式为，边形的外角和为． (1)一个多边形的内角和比它的外角和的2倍少，求这个多边形的边数； (2)如图，分别平分，，，求的值． 【答案】(1)5 (2)120度 【分析】本题考查多边形的内角和和外角和问题，熟练掌握边形的内角和公式以及边形的外角和为，是解题的关键： （1）根据题意，列出方程进行求解即可； （2）根据四边形的内角和为360度，求出的度数，再根据角平分线的定义和三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】（1）解：设这个多边形的边数为，依题意，， 解得， 这个多边形的边数为5． （2）解：四边形的内角和为， ， ， 又分别平分，， ∴， ， ． 题型十七 平行四边形（共3小题） 49．（25-26八年级下·北京·期中）如图，在平行四边形中，对角线，交于点O，E，F为上两点，连接，，，，且，求证：四边形为平行四边形． 【答案】证明：∵四边形是平行四边形， ∴ ∵， ∴即， ∴四边形是平行四边形． 【分析】先利用平行四边形的对角线互相平分，得到，通过等量代换，得到，再利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可． 【详解】略． 50．（25-26八年级下·北京海淀·阶段检测）如图，在中，，为边上一点，连接，为中点，过点作交的延长线于，连接交于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据“”证明，得出，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可证明结论； （2）过点作于点，根据直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半，求出，根据勾股定理求出，同理求出，根据平行四边形的面积公式，即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵是中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． （2）解：过点作于点， ∵，，， ∴， ∴， 在中，，， ∴； ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 51．（25-26八年级下·北京顺义·期中）如图，在四边形中，，对角线交于点，且． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)过点作，交于点，交于点，连接，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由平行线的性质得到，则可利用证明，得到，据此可证明结论； （2）由平行线的性质得到的度数，证明垂直平分，得到，则可得到，据此可得答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形； （2）解：∵，， ∴； ∵四边形为平行四边形， ∴， 又∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴． 题型十八 矩形（共3小题） 52．（25-26八年级下·北京延庆·期中）在矩形中，的平分线交于点F，的平分线交于点E，连接并延长交于点G． (1)如图1，当时，求证：； (2)如图2，当时，用等式表示线段的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∵的平分线交于点F，的平分线交于点E， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （2）解：，证明如下： 过点E作于点M，交于点N，于点P，则， ∵的平分线交于点F，的平分线交于点E， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴，， 在和中， ∴， ∴， ∴． 53．（25-26九年级上·陕西渭南·期末）如图，在中，的平分线和的平分线交于点，点在边上，以、为边作． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的性质，角平分线的性质，矩形的判定，勾股定理，含30度的直角三角形的性质，求矩形的面积； （1）根据平行四边形的性质，角平分线的性质求出即可； （2）根据题意，结合勾股定理求出，，再利用矩形的面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵和分别是和的平分线， ∴，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形． （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）得四边形是矩形， ∴． 54．（24-25八年级下·北京石景山·期末）如图，在矩形中，，点，分别在，边上，将四边形沿直线翻折，点恰好落在点处，点的对应点为点． (1)求证：         (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】此题考查了矩形的折叠问题、勾股定理、等角对等边等知识，熟练掌握折叠的性质是关键． （1）证明，根据等角对等边即可得到结论； （2）设，则．得到，．在中，由勾股定理，得，据此列方程并解方程即可得到答案． 【详解】（1）证明：如图， ∵四边形是矩形， ∴． ∴． ∵四边形沿直线翻折得到四边形， ∴． ∴． ∴． （2）解：设，则． ∵四边形沿直线翻折得到四边形， ∴， ∴． ∵四边形是矩形， ∴． 在中，由勾股定理，得， 即． 解得．即． 题型十九 菱形（共3小题） 55．（2026·北京昌平·二模）如图，在四边形中，，，对角线平分，过点作，垂足为． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据菱形的判定定理，先由题干条件证明四边形为平行四边形，再结合即可证明四边形为菱形； （2）设，由四边形为菱形，可得，再在中，用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）证明：， ． 对角线平分， ， ． ， ，且， 四边形为平行四边形，且， 四边形为菱形． （2）设， 由（1）得四边形为菱形， ． ，， ， ，垂足为， 在中，，即， 解得， 的长为． 56．（25-26八年级下·北京·期中）如图，已知四边形是菱形，延长到点使，延长到点使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若平分，菱形的边长为3，求矩形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查矩形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定； （1）根据菱形的性质得到，根据对角线相等且平分的四边形是矩形证明即可； （2）根据菱形的性质得到，即可得到，根据角平分线可得，进而可得，然后根据勾股定理求出长，根据矩形的面积公式计算即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴， 又∵，， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵是矩形， ∴，     ∴， ∴． 57．（25-26八年级下·北京·期中）如图，菱形的对角线，交于点，于，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求矩形的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2)14 【分析】（1）先由、，证得四边形是平行四边形；再利用菱形对角线互相垂直的性质，得，根据矩形判定定理，证得四边形是矩形； （2）利用面积法，由，求得；再结合勾股定理，用完全平方公式求出，进而得矩形周长为． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， 又∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：在菱形中，对角线，且，，边长， ∴是直角三角形，， ∵，， ∴ 将，代入， 得 解得， 在中，， ∴， ∴， ∵、均为正数， ∴， 又∵，， ∴矩形的周长． 题型二十 正方形（共3小题） 58．（2025·北京朝阳·一模）在正方形中，E为边上一点（不与点A，D重合），将线段沿直线翻折，得到线段，连接并延长，与线段的延长线相交于点G，连接． (1)依题意补全图形； (2)求的度数； (3)用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2) (3)，证明见解析 【分析】本题考查了正方形的性质、翻折的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）依题意补全图形即可； （2）设，利用正方形和翻折的性质得到，，再利用等腰三角形的性质即可求出的度数； （3）作，交的延长线于点H，连接，利用正方形和翻折的性质证明，得到，，推出是等腰直角三角形，则有，等量代换即可得出结论． 【详解】（1）解：补全图形如图1所示： （2）解：设． 四边形是正方形， ，， ， 将线段沿直线翻折，得到线段， ，， ， ， ． （3）解：，证明如下： 如图2，作，交的延长线于点H，连接． ， ， 四边形是正方形， ，， ，即， 将线段沿直线翻折，得到线段， ，， ，， ， ， ，， 是等腰直角三角形，， ， ， ． 59．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，正方形的对角线交于点，是边上的一点，连接，过点作交于点，若，求四边形的面积． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，由正方形的性质可得，进而可证，得到，即得，由求出即可求解，掌握正方形的性质是解题的关键． 【详解】解：四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ． 60．（2026·北京东城·二模）如图，在正方形中，E为边上一点，连接，作交的延长线于点F，作交于点G，过点G作交于点H，延长交的延长线于点M． (1)依题意补全图形； (2)求证：； (3)用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)证明：∵四边形是正方形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴； (3)结论：． 证明：如图，过点A作的垂线，过点F作的垂线，两条垂线交于点P，连接， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 由可知，即 ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 题型二十一 三角形中位线（共3小题） 61．（25-26八年级下·北京·期中）如图，中，是边上一点，连接，，分别是，的中点，连接，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的判定与性质、三角形中位线定理，灵活运用垂直平分线的性质和中位线定理是解题的关键．根据 “过线段中点且垂直于该线段的直线是线段的垂直平分线”，可判定垂直平分，进而得到；再利用三角形中位线定理，即可求出的长度． 【详解】解：是中点且， 垂直平分， ， ， ， ，分别是，的中点， 是的中位线， ． 故选：． 62．（25-26八年级下·北京·期中）如图，中，，D，E，F分别为，，的中点，已知，则___________． 【答案】4 【分析】根据三角形中位线及直角三角形斜边中线定理可进行求解． 【详解】解：∵D，F分别为，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵，E为的中点， ∴． 63．（2026·北京顺义·一模）如图，在中，交于点O，E是的中点，过点O，E分别作直线的垂线，垂足分别为G，F． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）首先证明为的中位线，易得，再证明，可知四边形为平行四边形，然后根据“有一个角为直角的平行四边形为矩形”，即可获得答案； （2）首先根据平行四边形的性质以及勾股定理解得，再证明为等腰直角三角形，易得，进而确定的长度，进一步由三角形中位线的性质确定，由矩形的性质可得，然后由求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形为平行四边形，交于点O， ∴，即为中点， ∵E是的中点， ∴为的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， 又∵，即， ∴四边形是矩形； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为的中位线， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴． 题型二十二 中点四边形（共3小题） 64．（25-26九年级下·湖南邵阳·阶段检测）如图，点，，，分别是四边形边，，，的中点，如果，，则四边形的面积为（     ） A．20 B．24 C．32 D．48 【答案】B 【分析】根据三角形中位线定理分别求出、、、，再由菱形的判定得出四边形为菱形，连接，交于点O，利用勾股定理得出，确定，再由菱形的性质求面积即可． 【详解】解：，，，分别是四边形边，，，的中点， 是的中位线，是的中位线，是的中位线，是的中位线， ∵， ， ∴四边形为菱形， 连接，交于点O，如图所示： ∴， ∵， ∴， ∴， 四边形的面积为：． 65．（25-26八年级下·上海·期中）在四边形中，已知对角线，顺次连接四边形各边中点，得到四边形；再顺次连接四边形各边中点，得到四边形．则四边形的形状为______． 【答案】菱形 【分析】先确定第一次连接各边中点得到的四边形的形状，再推导四边形的形状即可． 【详解】解：在四边形中，，，，分别是四边形各边的中点， 根据三角形中位线定理，得，，，， ，， 四边形是平行四边形， 又，， ，即， 平行四边形是矩形， ∴矩形的对角线相等，即， ，，，分别是矩形各边的中点， 根据三角形中位线定理，可得 ， ， ， ， ， ， 由四边相等的平行四边形是菱形，即四边形是菱形． 66．（25-26八年级下·湖南邵阳·期中）阅读下面材料，完成相应的任务． 类比三角形中位线，我们把连接四边形对边中点的线段叫做四边形的中位线． 如图1，在四边形中，点，分别是，的中点，则就是四边形的中位线．求四边形中位线的长度，可以通过找对角线中点，将其转化为三角形中位线解决． 例：如图2，在四边形中，点，分别是，的中点．若，，，，求的长． 解：取的中点，连接，． 因为点、分别是，的中点， 所以，，，．（依据） …… 任务： (1)将材料中的解题过程补充完整． (2)如图3，在四边形中，点，分别是，的中点，，，，延长，交于点，延长交于点．求证：． (3)对角线互相垂直的四边形叫垂美四边形．已知四边形是垂美四边形，、、、分别为边、、、的中点，连接，，，，若，，则与的关系是______，______． 【答案】(1)过程见解析 (2)证明过程见解析 (3)互相平分且相等；50 【分析】（1）由三角形中位线定理得，，，，根据平行线的性质可得出，再由勾股定理即可求解； （2）连接，取的中点，连接，，根据三角形中位线定理得，，，，进而可得，，用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，即可得结论； （3）根据已知条件证明四边形是矩形，即可得解； 【详解】（1）解：取的中点，连接，， 点、分别是，的中点， ，，，，（三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半） ，， ， ， 在中，由勾股定理得； （2）证明：连接，取的中点，连接，， 点，分别是，的中点， ，，，， ，， ，，， ， 是直角三角形，且， ， ； （3）解：如图，四边形是垂美四边形，、、、分别为边、、、的中点，连接，，，， 是的中位线，是的中位线，是的中位线，是的中位线， ，， 四边形是平行四边形， ， ， 平行四边形是矩形， ，是矩形的对角线， 与互相平分且相等， ，， ，， 中，， ， ， ． 题型二十三 中心对称图形（共3小题） 67．（25-26九年级下·北京·阶段检测）窗棂（即窗格）作为中国传统建筑的重要构件，承载着丰富的文化象征．窗棂上雕刻有线槽和各种花纹，构成了种类繁多的优美图案．下列窗棂样式结构图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】轴对称图形是沿某条直线折叠后直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形是绕某点旋转后能与自身重合的图形，据此逐项判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，但不是中心对称图形，故A不符合题意； B．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故B不符合题意； C．是中心对称图形，但不是轴对称图形，故C不符合题意； D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故D符合题意． 68．（2026·浙江丽水·二模）小明用若干个火柴棒首尾相接摆成了下面四个图形，下列选项结论正确的是（     ） A．①②③是轴对称图形 B．②③④是中心对称图形 C．①②是中心对称图形，但不是轴对称图形 D．③④是轴对称图形，但不是中心对称图形 【答案】B 【分析】如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，如果一个图形绕某一点旋转后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，根据概念判断，即可解题． 【详解】解：①③是中心对称图形，但不是轴对称图形，②④既是中心对称图形，也是轴对称图形． 69．（25-26八年级下·江西九江·阶段检测）如图，与关于点成中心对称，若，，，则的长为_____． 【答案】 【分析】根据中心对称的性质可得点是和的中点，从而求出的长，再在直角三角形中利用勾股定理求出的长，进而求出的长； 【详解】解：与关于点成中心对称， 点是和的中点， ， ， ， ， 是直角三角形， 在直角三角形中，， 由勾股定理得：， ． 题型二十四 图形的旋转（共3小题） 70．（25-26八年级下·江苏南通·阶段检测）如图，在中，，，将绕点顺时针旋转得到，若点的对应点恰好落在线段上，连接，则______． 【答案】 【分析】利用三角形内角和定理求得，由旋转知，，从而求出的度数，即可解决问题． 【详解】在中，，， ∴， 由旋转得，， ∴． 71．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，已知中，，将绕点顺时针方向旋转到的位置，连接，则的长为______． 【答案】 / 【分析】连接，延长交于点，根据旋转性质和等腰直角三角形性质证明为等边三角形，证明垂直平分，在和中利用勾股定理分别求出和的长，进而求解． 【详解】解：如图，连接，延长交于点， 在中，， 由勾股定理得 由旋转性质可知：，，， 为等边三角形 ， 点和点都在线段的垂直平分线上 垂直平分 ， 在中，由勾股定理得： 在中，由勾股定理得： ． 72．（25-26八年级下·湖北襄阳·期中）如图，平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴、y轴上，连接，的两条外角平分线、交于第一象限的点P，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为C、D． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，，求点B的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明四边形是矩形，过点作，根据角平分线的性质定理得到，即可得证； （2）根据三角形的内角和定理，角平分线的定义，外角的定义求出，将绕点旋转，得到，证明，得到，可知，设，正方形的边长为，则，点坐标为，根据勾股定理求出的值即可． 【详解】（1）证明：∵过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为C、D， ∴， ∴四边形为矩形， 过点作， ∵的两条外角平分线、交于第一象限的点P，， ∴， ∴矩形为正方形； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵的两条外角平分线、交于第一象限的点P， ∴， ∴， ∴， 将绕点旋转，得到， ∴，， ∴三点共线， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，正方形的边长为， 则，点坐标为， ∵， ∴， 即， 在中，， 由勾股定理：， 且， ∴， 解得， ∴． 题型二十五 一元二次方程定义（共3小题） 73．（25-26九年级下·山东威海·期中）下列关于x的方程： ①；②；③；④；⑤，⑥，其中一元二次方程的是（     ） A．①②④ B．②④⑥ C．①③④ D．①④⑥ 【答案】B 【分析】本题根据一元二次方程的定义判定，一元二次方程需满足三个条件：是整式方程，只含一个未知数，未知数最高次数为2且二次项系数不为0，逐个验证每个方程即可得出结果． 【详解】解：①，由于题目未规定，当时方程不是二次方程，则①不是一元二次方程； ②展开整理得：，则②是一元二次方程； ③是分式方程，不是整式方程，则③不是一元二次方程； ④，由于，则，则④是一元二次方程； ⑤是无理方程，不是整式方程，则⑤不是一元二次方程； ⑥，满足一元二次方程所有定义条件，则⑥是一元二次方程； 综上所述，②④⑥是一元二次方程． 74．（25-26八年级下·江苏·期末）若关于x的方程是一元二次方程，则m的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的定义，需满足两个条件：最高次项的次数为2，且二次项系数不为0，据此列等式和不等式求解即可． 【详解】解：方程是一元二次方程， ∴且， 解得且， ∴． 75．（25-26八年级下·山东烟台·期中）关于x的方程是一元二次方程，则m的值为______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程中未知数的最高次数为2，可得，根据二次项系数不为0，可得，据此求解即可． 【详解】解：由一元二次方程的定义得 解得， 即， 解得， 因此的值为． 题型二十六 一元二次方程解法（共3小题） 76．（25-26八年级下·江苏苏州·阶段检测）解一元二次方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用直接开平方法解方程即可； （2）利用配方法解方程即可. 【详解】（1）解：， ∴， ∴， ∴， 解得：，； （2）解：， ∴两边都加得：， ∴， ∴， ∴， 解得：，． 77．（25-26八年级下·湖南长沙·阶段检测）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【详解】（1）解：∵， ∴，，， ∴， ∴， 解得，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得，． 78．（25-26八年级下·全国·课后作业）小明在解方程时出现了错误，解答过程如下： （第一步） （第二步） （第三步） （第四步） (1)小明解答过程开始出错的是_______； (2)写出此题正确的解答过程． 【答案】(1)第三步 (2)见解析 【分析】（1）将方程化为一般形式，再根据公式法解一元二次方程的步骤进行判断即可； （2）运用公式法求解即可． 【详解】（1）解：小明的解答是从第三步开始出错的； （2）解：方程化为一般式为， ， ， ， ． 题型二十七 换元法解一元二次方程（共3小题） 79．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）一元二次方程的两根分别为，1，则方程的两根分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握换元法是解题关键．令，则所求的方程可转化为方程，从而可得，，将代入计算即可得． 【详解】解：令， 则方程可转化为方程， ∵一元二次方程的两根分别为，1， ∴方程的两根分别为，1， ∴，， 即，， ∴，， 即方程的两根分别为，， 故选：D． 80．（25-26八年级上·上海·阶段检测）若x、y为实数，且，则___________． 【答案】 3 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，利用得出关于t的一元二次方程是解题关键，注意平方都是非负数． 通过换元法，设 ，将原方程转化为关于 的二次方程，求解并考虑非负性． 【详解】解：设 ，则 ． 原方程化为 ， 即 ． 解得 或 ． 由于 ， 故 ． 因此 ． 故答案为：3 81．（25-26八年级下·安徽合肥·阶段检测）【材料阅读】 已知实数m，n满足，试求的值． 解：设， 则原方程可化为，即，解得． ， ． 上面这种解方程的方法属于转化的数学思想，即在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（换元），则能使复杂的问题简单化． 【方法应用】 请仿照材料中的方法解决下列问题： (1)已知，求的值． (2)解方程：． (3)解方程：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设，则原方程可化为，求出，再根据，得到，即可解答； （2）设，则原方程可化为，求出，再根据，得到，求出x的值即可； （3）设，则原方程可化为，求出，得到或，进而求出x的值即可． 【详解】（1）解：设，则原方程可化为 ， ， ， 解得， ∵， ∴； （2）解：设，则原方程可化为 ， 解得， ∵， ∴， 解得； （3）解：原方程可化为， 设，则原方程可化为 解得， ∴或， 即或， 解得，． 题型二十八 根的判别式（共3小题） 82．（25-26九年级上·新疆喀什·期末）对于实数定义运算“*”为，例如：，则关于x的方程的根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查新定义运算，一元二次方程根的判别式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据新运算的定义，将方程转化为一元二次方程，再计算判别式判断根的情况． 【详解】， ， 方程化为， 整理得， 判别式， 方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 83．（2024·北京门头沟·一模）已知一元二次方程，有两个根，两根之和为正数，两根之积是负数，写出一组符合条件的a、b的值_________． 【答案】，（答案不唯一） 【分析】本题考查了根的判别式，根与系数的关系，一元二次方程的两个根为，，则两根分别与方程系数之间有如下关系：，． 根据得到，两根之和为正数，两根之积是负数可知，，找出一组符合题意的数即可． 【详解】解：一元二次方程有两个根， ， ， 两根之和为正数，两根之积是负数， ∴，， ， 令，． 故答案为：，（答案不唯一）． 84．（25-26八年级下·安徽淮北·期中）已知关于的一元二次方程，其中为实数． (1)求证：该方程有两个不相等的实数根； (2)若该方程的一个根为，求另一个根； (3)若该方程的一个根大于，另一个根小于，求的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）由根的判别式计算即可证明； （2）将已知的方程根代入方程后可求得的值，再根据根与系数的关系得到的值，进而可得另一个根； （3）方程的两个实数根为，，由根与系数的关系得到，，再根据两个根的取值范围得到，然后解不等式即可． 【详解】（1）证明：一元二次方程化为一般形式为， ， 该方程有两个不相等的实数根； （2）解：将代入方程得，，解得， 此方程为， ， 另一根为； （3）解：设方程的两个实数根为，， ，， 方程的一个根大于，另一个根小于， ， ， ，解得． 题型二十九 根据一元二次方程根的情况求参数（共3小题） 85．（2026·北京西城·二模）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值是________． 【答案】 【详解】解：方程 是关于的一元二次方程，且有两个相等的实数根， ∴且， 解得． 86．（25-26八年级下·山东泰安·期中）已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求k的取值范围； (2)如果取符合条件的最大整数，且一元二次方程与有一个相同的根，求常数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可得，解之即可得到答案； （2）根据（1）所求结合题意可得，解方程可得，则是方程的一个根，把代入方程中计算求解即可． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， ∴； （2）解：∵取符合条件的最大整数，且， ∴， ∴方程即为方程，即， 解得； ∵一元二次方程与有一个相同的根， ∴是方程的一个根， ∴， ∴． 87．（25-26九年级上·湖北咸宁·期末）已知关于一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若是原方程的两个根，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，熟练掌握根的判别式和根与系数的关系是解答的关键． （1）根据一元二次方程根的判别式与根的关系：当时，方程有两个不相等的实数根，列不等式求解即可； （2）根据根与系数的关系得到，，进而列方程求得k值，结合k的取值范围求解即可． 【详解】（1）解：； ． ， 方程有两个不相等的实数根 ， 解得：； （2）解：由根与系数的关系得：， ， ，即， 解得：， 的值为． 题型三十 一元二次方程根与系数的关系（共3小题） 88．（25-26九年级上·湖北黄冈·阶段检测）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根． (2)若方程的两实数根为满足，求k的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据方程的系数结合一元二次方程根的判别式，可得出，进而可证出方程总有两个实数根； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得出，代入得出方程解之即可． 【详解】（1）解：关于x的一元二次方程， ， ∴方程总有两个实数根． （2）解：∵方程的两实数根为， ， ， ， 解得：． 89．（2026九年级上·福建泉州·专题练习）已知关于的一元二次方程， (1)求证：该一元二次方程总有两个不相等的实数根； (2)若该方程的两个根是一个矩形的两边长，矩形对角线长为5，试求的值． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】（1）求出判别式的符号，即可得出结论； （2）根据勾股定理结合根与系数之间的关系，列出关于的方程，进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴该一元二次方程总有两个不相等的实数根； （2）解：∵该方程的两个根是一个矩形的两边长，矩形对角线长为5， ∴，， ∴， 整理，得， 解得或； ∵是一个矩形的两边长， ∴， ∴， ∴， ∴． 90．（25-26九年级上·贵州遵义·期中）已知关于的一元二次方程． (1)若此方程的根为与，当时，求的值； (2)求证：对于任意实数，方程总有两个不相等的实数根； 【答案】(1) (2) 证明见解析 【分析】本题考查了方程的根与系数的关系，根的判别式， （1）根据根与系数的关系求出与，然后代入求解即可； （2）根据一元二次方程根的判别式进行计算，得出，即可得证． 【详解】（1）解：当时，原方程为， ∵此方程的根为与， ∴，， ∴． （2）证明：方程 的判别式 ， 变形得：， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 对于任意实数 ，方程总有两个不相等的实数根． 题型三十一 一元二次方程的实际应用（共3小题） 91．（25-26八年级下·北京·期末）学校为了让学生观察植物的生长习性．打算在校区建立一个如图所示的实验田（矩形），该实验田两面靠墙（位置的墙最大可用27米，位置的墙最大可用15米），另外两边用栅栏围成，中间也用栅栏隔开，分成两个场地及一个1米宽的通道，两个场地分别留出一个1米宽的门（门不用栅栏，处使用栅栏），建成后栅栏总长为45米，设实验田的长为x米． (1)的长为 米（用含x的式子表示）； (2)若实验田（矩形）的面积为180平方米，求x的值； (3)通过计算说明该实验田的面积能否为240平方米． 【答案】(1) (2)或 (3)解：假设该实验田的面积能为240平方米， ∴， ∴， ∴， 方程没有实数根，假设不成立， 答：该实验田的面积不能为240平方米． 【分析】（1）直接根据建造要求计算即可； （2）根据“面积为180平方米”求出x的值，再根据墙长求出x的取值范围，进而可知x的值； （3）假设该实验田的面积能为240平方米，列出方程，根据根的判别式判断即可． 【详解】（1）解：由题意得：米； （2）解：由题意得：， 解得：， 又∵， ∴， ∴或； （3）略． 92．（25-26八年级下·安徽蚌埠·期中）错题本是同学们整理知识点，提升复习效率的好帮手．某校周边文具店销售的新款活页错题本深受学生喜爱．经销商统计了该款错题本3月份到5月份的销量：3月份销售125本，5月份销售180本． (1)求该款活页错题本3月至5月销售量的月平均增长率； (2)若该款错题本的进价为每本8元，经市场调研发现，当售价为每本12元，月销售量为200本，若在此基础上售价每本上涨0.5元，则月销售量将减少10本．为使月销售利润达到960元，现需适当涨价且尽可能让学生得到实惠，则该款错题本的实际售价应定为每本多少元？ 【答案】(1) (2)14元 【分析】（1）设该款活页错题本销售量的月平均增长率为x，根据题意，得：，即可得到答案； （2）设该款错题本的售价上涨了元/本，根据题意，得：，要尽可能让学生得到实惠，所以，即可得到答案． 【详解】（1）解：设该款活页错题本销售量的月平均增长率为x， 根据题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：该款活页错题本销售量的月平均增长率为； （2）解：设该款错题本的售价上涨了元/本， 根据题意，得：， 解得：，， 因为要尽可能让学生得到实惠，所以，此时实际售价为：（元/本）， 答：该款错题本的实际售价应定为14元/本． 93．（25-26八年级下·浙江湖州·期中）如图，在长方形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果、分别从、同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为秒． (1)填空： ， ．（用含的代数式表示） (2)当五边形的面积等于时，求此时的值． (3)是否存在的值，使线段的长度最小，若存在，请求出此时的值和最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当五边形的面积等于104cm2时，此时的值为1 (3)存在，当时，线段的长度最小，最小值为 【分析】（1）根据P、Q两点的运动速度可得、的长度； （2）根据五边形的面积等于，代入相应数据解方程即可； （3）根据勾股定理求得，再根据配方法，求得最小值，即可求解． 【详解】（1）解：∵点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动， ∴； ∵P从点A开始沿边向终点B以的速度移动， ∴， ∵， ∴， （2）解：， ， ，， ， 整理得：， 解得：， 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意； ∴当五边形的面积等于104cm2时，此时的值为1． （3）解：， ∵， ∴， ∴当时，线段的长度最小，此时． 题型三十二 方差（共1小题） 94．（2026·北京·模拟预测）校篮球队教练选出甲、乙、丙、丁四名队员参加定点投篮测试．对这四名队员最近10轮测试（每轮投10球，记录命中数）的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．乙、丙两名队员10轮测试命中数的折线图： b．丁队员10轮测试命中数：6，7，7，8，8，8，9，9，9，9 c．四名队员10轮测试命中数的平均数、中位数、方差： 甲 乙 丙 丁 平均数 8 7 8 中位数 8 7 m 8 方差 0.6 (1)表中的值为_____，p的值为_____；表中q________0.6（填“”“”或“”）； (2)根据这10轮测试成绩，教练按如下方式评估这四名队员的实力强弱：首先比较平均数，平均数大者实力更强；若平均数相等，则比较方差，方差小者实力更强；若平均数、方差分别相等，则测试命中数大于平均数的次数较多者实力更强．评估结果：这四名队员按实力由强到弱依次为_____． 【答案】(1) (2)甲、丁、乙、丙 【分析】（1）根据中位数、平均数、方差的定义分别进行解答即可； （2）根据方差、平均数、测试命中数大于平均数的次数结合题意分析即可． 【详解】（1）解：由题意可得，乙队员10轮测试命中数为：， 丙队员10轮测试命中数为：，从小到大排列为 ∴丙的中位数，丙的平均数， 丁队员10轮测试命中数的方差为， ∴， 故答案为：； （2）解：丙的平均数， 由表格可知，甲和丁的平均数相等，且最大，乙和丙的平均数相等， ∴甲和丁的实力强于乙和丙； ∵， ∴甲的方差小于丁的方差， ∴甲的实力强于丁的实力， 由题意可得，乙的方差， 丙的方差， ∴乙和丙的平均数都是，方差都是，方差和平均数均相等， ∵乙的测试命中数大于平均数的次数为3次，丙的测试命中数大于平均数的次数为2次， ∴乙实力强于丙的实力， 综上可知，这四名队员按实力由强到弱依次为：甲、丁、乙、丙， 故答案为：甲、丁、乙、丙． 题型三十三 离差平方和（共1小题） 95．（25-26八年级上·贵州贵阳·期末）“爽爽贵阳”生动地描绘了贵阳市夏季凉爽舒适的气候特点．在综合与实践活动“哪个城市夏天更热”中，某实践小组收集了贵阳和A城夏季某周的日最高气温数据，并绘制成如下的统计图表（如图）： 城市 平均数/℃ 中位数℃ 众数/℃ 方差 A城 36 b 35，38 d 贵阳 a 26 c 6.9 回答下列问题： (1)表格中：________，________，________； (2)已知A城这一周的日最高气温的离差平方和为20，请计算d的值（精确到0.1）； (3)根据表格中的数据，任选两个角度对比贵阳和A城的气温特点． 【答案】(1)，36，25 (2) (3)从平均数的角度，这一周贵阳市的平均气温低于城平均气温；从方差的角度，这一周贵阳市的气温波动比城的大（答案不唯一） 【分析】题目主要考查平均数、中位数和众数、方差的计算方法，及利用它们作决策，熟练掌握是解题关键． （1）根据平均数、中位数和众数的定义求解即可； （2）根据方差的计算方法求解即可； （3）根据平均数、方差、中位数即可得出结论． 【详解】（1）解：贵阳的数据为：， ∴，， A城的数据为：， ∴36， 故答案为：27，36，25； （2）解：； （3）解：从平均数的角度，这一周贵阳市的平均气温低于城平均气温； 从方差的角度，这一周贵阳市的气温波动比城的大．（答案不唯一） 题型三十四 频数分布表与频数分布直方图（共1小题） 96．（2026·北京丰台·二模）某校开展了校园创新大赛，比赛分为知识竞答和实践成果两个板块，每个板块评分均采用100分制（分值为整数），每名选手的个人综合得分由知识竞答和实践成果两个板块的分数按照计算得到．七年级和八年级各选派了10名选手参加．下面给出了部分信息． a．七、八年级各10名选手的知识竞答和实践成果两个板块得分情况统计图： b．七、八年级各10名选手的个人综合得分频数分布直方图（数据分7组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组，第7组）： 根据以上信息，回答下列问题： (1)七年级知识竞答得分最高的选手，在本年级的实践成果得分中排名是第________名； (2)八年级选手中个人综合得分的最高分是________； (3)在两个年级各10名选手中，记七、八年级选手知识竞答得分的中位数分别是，，则________（填“”“”或“”），记七、八年级选手实践成果得分的方差分别是，，则________（填“”“”或“”）； (4)经计算所有选手的个人综合得分均不相同，在个人综合得分前十名的选手中，七年级人数________八年级人数（填“多于”“等于”或“少于”）． 【答案】(1)3 (2)88 (3)<，> (4)多于 【分析】（1）观察图即可得出结论； （2）分别根据知识竞答和实践成果所占的比例求出个人综合得分，比较得出答案； （3）根据中位数的定义解答，再根据方差的性质解答； （4）先判断得分超过80分的人数，再比较确定人数即可． 【详解】（1）解：观察图可知，七年级知识竞答得分最高的选手为图中最右边的点，其在实践成果得分中处于第三名； （2）解：八年级知识竞答最高得分是90分，实践成果得分是85分，所以其个人综合得分是（分）；八年级实践成果得分最高得分是90分，知识竞答得分是85分，所以其个人综合得分是（分）， 则八年级选手中个人综合得分的最高分是88分； （3）解：七年级知识竞答得分的中位数是第5,6个数的平均数，在80和85之间，可知在80和85之间；八年级知识竞答得分的中位数是第5,6个数的平均数，一个数是85，另一个超过85，可知大于85，所以；观察七年级和八年级的实践成果得分可知八年级实践成果的成绩比较集中，数据比较稳定，所以； （4）解：观察频数分布直方图可知七年级个人综合得分超过80分有6人，八年级超过80分的有5人，七年级第6名的成绩大约为（分），八年级第5名的成绩大约为（分），所以个人综合得分前十名的选手中七年级的人数多于八年级人数． 题型三十五 四分位数与箱线图（共1小题） 97．（25-26八年级下·全国·期末）【数据收集】 某市射击队为了从A，B两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，现组织两人在相同的条件下进行八轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并对A，B两名选手每轮的射击成绩进行了数据收集． 【数据整理】 如图①，将A，B两名选手八轮射击成绩绘制成如下统计图． 【数据分析】 (1)小明利用平均数、方差进行分析．通过计算平均数，环，__________环，可以看出，选手__________（填“A”或“B”）的平均成绩更高；通过计算方差，，__________，可以看出，选手__________（填“A”或“B”）的射击水平更稳定． (2)小颖利用四分位数（如下表）、箱线图（如图②）进行分析． 表格中，①处应填__________，②处应填__________，③处应填__________；基于四分位数或箱线图，可以发现选手A射击成绩的中位数__________（填“>”“<”或“=”）选手B射击成绩的中位数，且选手A的射击成绩明显比选手B的射击成绩波动大． 选手 最小值、四分位数和最大值 最小值 最大值 A 6 ① ② 9.5 10 B 8 8 9 ③ 10 【作出决策】 (3)请你根据八轮射击成绩，从，两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，并说明理由． 【答案】(1)9；B；0.75；B (2)7.5；9；10 (3)选择选手B参加青少年射击比赛，见解析 【分析】（1）根据平均数、方差计算公式求解，再根据方差的意义判断稳定性； （2）先把选手的数据从小到大排列，再根据上四分位数、中位数、下四分位数的定义求解，然后比较大小即可； （3）根据中位数、平均数和方差进行决策即可． 【详解】（1）解：由图可得：， ， ∴选手的平均成绩更高．； ， ∵， ∴选手的射击水平发挥更稳定； （2）解：选手的数据从小到大排列为， 则下四分位数为，即；中位数为，即； 选手的数据从小到大排列为， 则上四分位数为，即； 可以发现选手射击成绩的中位数选手射击成绩的中位数； （3）解：选择选手B参加青少年射击比赛． 理由：因为A，B两名选手的中位数相等，但选手B的方差更小，成绩更加稳定，且平均数更高，能力更强． 1．如图是某次测试成绩的箱线图．根据图中的信息，下列判断错误的是（   ） A．本次测试的最高分是99分 B．本次测试的平均分是79分 C．本次测试成绩的上四分位数是88分 D．本次测试成绩在65~88分的人数占了50% 【答案】B 【分析】准确识别箱线图中五个关键统计量：最小值、下四分位数、中位数、上四分位数和最大值，同时理解四分位数间距（箱体部分）所代表的数据占比，据此逐一分析各个选项的判断即可． 【详解】A项：由图可知，箱线图最上方的横线（上须末端）对应的数值是99，这代表数据的最大值，故A项判断正确，不符合题意； B项：箱线图中间的横线代表中位数，而非平均数，图中显示中位数为79，平均数需要所有数据之和除以数据个数，仅凭箱线图无法直接得出平均数，故B项判断错误，符合题意； C项：由图可知，图中箱体上沿的横线表示本次测试成绩的上四分位数，即为88分，故C项判断正确，不符合题意； D项：箱线图的箱体部分（从下四分位数到上四分位数）包含了数据集中间的数值，图中下四分位数为65，上四分位数为88，这意味着成绩在65分到88分之间的数据占总人数的，故D项判断正确，不符合题意． 2．已知关于的方程，下列说法正确的是（   ） A．时，方程有两个相等的实数解 B．时，方程有一个实数解 C．时，方程无实数解 D．时，方程总有两个不相等的实数解 【答案】A 【分析】本题分和两种情况讨论，时方程为一元一次方程，可直接求解判断，时利用一元二次方程根的判别式判断根的情况，逐一验证选项即可． 【详解】解：分情况讨论： 当时，原方程化为，解得，有一个实数解，因此选项C错误． 当时，原方程是一元二次方程，计算根的判别式： 因此 当时， ，方程有两个相等的实数解，选项A正确． 当时， ，方程有两个不相等的实数解，因此选项B错误． 当时，，方程有两个相等的实数解，因此选项D错误． 3．如图，对角线，交于点O，E是的中点，连结，，，若，则等于（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理求直角三角形的边长以及中位线的定义与性质．先运用平行四边形的性质，得到，再运用勾股定理，在中，求出线段的长度，最后运用中位线的性质求得． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 在中， ∵，，， ∴． ∵对角线，交于点O， ∴点O是的中点， ∵E是的中点， ∴是的中位线， ∴． 4．把直线向上平移m个单位后，与直线的交点在第二象限，则m可以取得的整数值有（     ） A．3个 B．5个 C．4个 D．2个 【答案】B 【分析】先根据一次函数图象平移规律得到平移后直线的解析式，再联立两直线解析式求出交点坐标，根据第二象限内点的横纵坐标特征列不等式组，求出m的取值范围，即可得到m可取的整数值个数. 【详解】解：直线向上平移个单位后，解析式为 联立两直线解析式得 ， 解得， ∴两直线交点坐标为， ∵交点在第二象限， ∴，解得； ∴可以取得的整数值为，共5个. 5．为落实“健康第一”的理念，实施学生体质强健计划，学校体育课上加强了学生的长跑训练．在一次女子1000米耐力测试中，小蕊和小敏在校园内200米的环形跑道上同时同向起跑，同时到达终点．所跑的路程（米）与所用的时间（秒）之间的函数图象，如图所示，则她们第一次相遇的时间是在起跑后的第____________秒． 【答案】 【分析】根据函数图象，分别求得直线，的解析式，联立解析式求得交点坐标，即可求解． 【详解】解：如图， 设直线的解析式为，代入 得， 解得， 故直线的解析式为， 设的解析式为， 由题意得：， 解得：， ∴的解析式为， 当时，， 解得：． 则她们第一次相遇的时间是起跑后的第秒． 6．如图，在矩形中，，，将矩形翻折，使得点落在边上的点处，折痕交于点，则的长为____________． 【答案】 【分析】设，则，由矩形的性质可得，，，由折叠可得，，利用勾股定理计算出，进而得到，最后在中，利用勾股定理构造方程，并求解即可． 【详解】解：设，则， 由折叠的性质可得，，， ∵四边形是矩形， ∴，，， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴． 7．如图，正方形的边长为8，，N 为上一点，则的最小值为_______． 【答案】10 【分析】连接交于，连接交于，根据正方形的性质推出关于对称，求出，在中勾股定理求出即可． 【详解】解：连接交于， ∵四边形是正方形， ， 即关于对称， ， 连接交于，则此时最小， ， ， ∵四边形是正方形， ， 由勾股定理得：， 的最小值为． 8．某企业对员工进行综合素质测试，测试由10位评委打分，每位评委最高打10分，评委给甲、乙的打分的折线图如图：则，根据图中信息，比较甲的方差与乙的方差的大小：___．（填“＞”“＝”或“＜”） 【答案】 【分析】观察统计图可知数据的波动性，根据方差越小数据越稳定解答即可． 【详解】解：由折线统计图可知，甲的得分的波动比乙大，所以甲的方差大于乙的方差，即． 9．若，是一元二次方程的两个实数根，若满足，我们称此类方程为“差根方程”． （1）已知关于x的方程是“差根方程”，则_________； （2）已知是直角三角形，，，若的两边、的长是一个“差根方程”的两个实数根，请写出一个符合条件的“差根方程”：_______． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】（1）解方程求出方程的两个解，再根据“差根方程”的定义建立方程求解即可； （2）根据“差根方程”的定义和勾股定理求出的长，设出满足题意的方程，再利用根与系数的关系求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， 解得或， ∵关于x的方程是“差根方程”， ∴， 解得； （2）不妨设， ∵的两边、的长是一个“差根方程”的两个实数根， ∴， ∴，即， ∵是直角三角形，且，， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴； 设符合题意的方程为， 则由根与系数的关系可得， ∴， ∴符合题意的方程为（答案不唯一）． 10．已知关于的一元二次方程有两个不相等的整数根和，且，如果是正整数，则的值为______________． 【答案】或 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，由一元二次方程根与系数的关系得出，，再根据整数，是正整数，可得出或，然后分情况求出c的值，再验证即可得出答案． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的整数根和， ∴， ∵， ∴， 即可得出：，， ∵整数，是正整数， ∴或， 根据题意可知：， 当时，则，， 把，代入， 解得：， 当时，，满足题意， 当时，则，， 把，代入， 解得：， 当时，，满足题意， 综上：或． 故答案为：或． 11．在箱线图中（如图1），箱体中部的粗实线表示中位数；中间箱体的上、下底，分别是数据的第三四分位数（75%分位数）和第一四分位数（25%分位数）；整个箱体的高度为四分位距；位于最下面和最上面的实横线分别表示最小值和最大值（有时候箱子外部会有一些点，它们是数据中的异常值）．图2为某地区今年5月和6月的空气质量指数（AQI）箱线图．AQI值越小，空气质量越好；AQI值超过200，说明污染严重． (1)该地区今年5月有没有严重污染天气？ (2)该地区哪个月的AQI值比较集中？ 【答案】(1)该地区今年5月有严重污染天气 (2)该地区5月的AQI值比较集中 【详解】（1）解： 该地区今年5月空气质量指数（）箱线图外部有点， 即有一个异常值超过200， 该地区今年5月有严重污染天气； （2）解：该地区今年5月和6月的空气质量指数（AQI）最小值相同，第一四分位数相同，中位数相同，但5月最大值和第三四分位数小于6月的最大值和第三四分位数， 该地区5月的AQI值比较集中． 12．2026年4月5日是清明节，清明节前一周，铂航妈妈到超市购买了6个肉松青团和8个红豆青团，共付款54元，已知每个红豆青团比每个肉松青团贵元． (1)求每个肉松青团和每个红豆青团各多少元． (2)为进一步提升青团的销量，超市将两种青团分别包装成A，B两种礼盒销售，两种礼盒每盒都有16个青团（包装成本忽略不计），A礼盒中有个肉松青团，B礼盒中有个红豆青团．包装后每个青团降价元，统计发现，A，B两种礼盒的销量分别为盒、盒，A，B两种礼盒的销售总额为4100元，求m的值． 【答案】(1)每个肉松青团的价格为3元，每个红豆青团的价格为元 (2)6 【分析】（1）设每个肉松青团的价格为元，则每个红豆青团的价格为元，根据“6个肉松青团和8个红豆青团，共付款54元”列方程求解即可； （2）降价后，肉松青团单价为元，红豆青团单价为元，则每盒A礼盒有个肉松、个红豆，单盒价格为；每盒B礼盒有个红豆、个肉松，单盒价格为；根据“A，B两种礼盒的销售总额为4100元”列方程求解即可． 【详解】（1）解：设每个肉松青团的价格为元，则每个红豆青团的价格为元， 由题意得： 解得， ∴每个红豆青团的价格为（元）， 答：每个肉松青团的价格为3元，每个红豆青团的价格为元； （2）解：由题意得，降价后，肉松青团单价为（元），红豆青团单价为（元）， 则每盒A礼盒：个肉松、个红豆，单盒价格为； 每盒B礼盒：个红豆、个肉松，单盒价格为； 根据题意，得 解得，（不符合实际，舍去）， 即m的值为6． 13． 如图，点，是平行四边形对角线上的两点，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，．求线段的长． 【答案】(1)证明：如图，连接交于点， ∵ 平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形． (2) 【分析】（1）连接平行四边形的对角线交于点，利用平行四边形对角线互相平分的性质得到，，再结合已知推出，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可证明四边形是平行四边形； （2）先根据得到是直角三角形，利用勾股定理结合和的长度求出的长度，再用的总长度减去的长度，即可求出线段的长． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，， ∴， ∵， ∴． 14．如图，点在直线上，直线经过点，且与轴交于点． (1)求的值及直线的表达式； (2)过点且垂直于轴的直线与，分别交于，两点． 若，直接写出的取值范围 ； 当时，连接，求的面积． 【答案】(1)， (2)； 【分析】（1）先把点坐标代入中求出点坐标，再利用待定系数法求解直线的解析式即可； （2） 先表示出，的坐标，根据列出关于的不等式组，解不等式组即可得解；先求出、坐标，进而求出的长，再根据三角形面积计算公式求解即可． 【详解】（1）解：点在直线上， ， ， 直线经过点，且与轴交于点， ，解得， 直线的表达式为； （2）解：在中，当时，，则，即； 在中，当时，，则，即； ， ，解得． 当时，，， ， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 期末真题百练通关（97题35大易错题型） 题型1 变量与常量 题型19 菱形 题型2 函数 题型20 正方形 题型3 函数的表示法 题型21 三角形中位线 题型4 函数图象的画法 题型22 中点四边形 题型5 平面直角坐标系 题型23 中心对称图形 题型6 正比例函数 题型24 图形的旋转 题型7 一次函数 题型25 一元二次方程定义 题型8 已知函数经过的象限求参数范围 题型26 一元二次方程解法 题型9 一次函数图象与坐标轴的交点问题 题型27 换元法解一元二次方程 题型10 一次函数解析式 题型28 根的判别式 题型11 一次函数的增减性 题型29 根据一元二次方程根的情况求参数 题型12 一次函数的平移 题型30 一元二次方程根与系数的关系 题型13 一次函数与方程 题型31 一元二次方程的实际应用 题型14 一次函数与不等式 题型32 方差 题型15 一次函数的实际应用 题型33 离差平方和 题型16 多边形 题型34 频数分布表与频数分布直方图 题型17 平行四边形 题型35 四分位数与箱线图 题型18 矩形 题型一 变量与常量（共3小题） 1．（25-26八年级下·北京·期中）在圆的周长公式中，下列说法正确的是（    ） A．2是常量，、、是变量 B．2是常量，、是变量 C．2是常量，、是变量 D．2、是常量，、是变量 2．（24-25八年级下·河北唐山·期末）关于常量和变量表述不正确的是（   ） A．矩形的面积是，宽为，长为．在这个问题中为常量； B．在圆的周长公式中，2，为常量，C，r均为变量； C．在匀速运动公式中，v、S和t均为变量； D．a比b的2倍多1，在这个问题中，2和1是常量，a和b是变量． 3．（25-26七年级上·山东潍坊·期末）在男子1000米赛跑中，运动员的平均速度，其中变量是 ________ ，常量是 _________ ． 题型二 函数（共3小题） 4．（25-26八年级下·北京·期中）有下列关于x和y的式子：①；②；③；④．其中y是x的函数的是_____（填序号）． 5．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列是关于变量与的八个解析式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧．其中不是关于的函数的是________________（填序号）． 6．（25-26八年级上·全国·单元复习）求下列函数中自变量x的取值范围． (1)； (2)； (3)． 题型三 函数的表示法（共3小题） 7．（25-26八年级下·北京西城·期中）下列各曲线中，不能表示y是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级下·北京·期中）A，B两地相距，李明从A地出发骑自行车以的速度前往B地，用x（单位：）表示骑行时间，y（单位：）表示李明与B地的距离，写出y关于x的函数解析式：______． 9．（25-26八年级下·北京·期中）如图①，长方形的边为，动点H以的速度从点A出发沿折线匀速运动到终点D．设点H的运动时间为，的面积为． (1)图②反映了两个变量S与t之间的函数关系，其中自变量是______； (2)根据图①②可得______，______，______． 题型四 函数图象的画法（共3小题） 10．（25-26八年级下·北京·期中）萍萍在学习中遇到了这样一个问题：探究函数的性质，此函数是我们未曾学过的函数，于是他尝试结合一次函数的学习经验研究此问题，下面是萍萍的探究过程，请你补充完整． (1)列表： … … … … 直接填空：_______； (2)描点并正确地画出该函数图象； (3)①根据函数图象可得：该函数的最小值为_______； ②观察函数的图象，写出该图象的一条性质：_______． 11．（25-26八年级下·全国·课后作业）画出函数的图象． (1)列表： x … －2 －1 0 1 2 … y … … (2)描点：根据表中数据描出各点． (3)连线：用平滑的线依次连接各点． 12．（25-26九年级上·四川绵阳·开学考试）通过学习“函数的图象”，我们学会了用列表、描点、连线的方法来画出函数图象．小明想应用这个方法来探究函数的图象．下面是他的探究过程，请你补充完整： x … 0 1 2 3 4 … y … 4 m 2 1 n 3 4 … (1)列表，补全表格：______，______； (2)描点并画出该函数的图象； (3)观察（2）中的图象，当______时，该函数的因变量的值最小，最小值为_____． 题型五 平面直角坐标系（共3小题） 13．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，平行四边形的顶点A，B，C的坐标分别是，，，则顶点D的坐标是（　　） A． B． C． D． 14．（25-26七年级下·北京·期中）已知在平面直角坐标系中，点，都不在坐标轴上，将线段平移，使点，平移后的对应点分别同时落在两条坐标轴上，则点平移后的对应点的坐标为__________． 15．（14-15七年级下·河北廊坊·期末）如图，在平面直角坐标系中，三角形的顶点都在正方形网格的格点上，其中点的坐标为． (1)写出点，的坐标； (2)将三角形先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到三角形，分别写出三角形的三个顶点的坐标； (3)求三角形的面积． 题型六 正比例函数（共3小题） 16．（25-26八年级上·陕西汉中·期中）下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的是（  ） A． B． C． D． 17．（2025八年级下·全国·专题练习）若是关于x的正比例函数，则的值为_______． 18．（25-26七年级上·山东淄博·阶段检测）已知函数． (1)m的取值满足什么条件时，y是x的一次函数？ (2)m，n的取值满足什么条件时，y是x的正比例函数？ 题型七 一次函数（共3小题） 19．（25-26八年级下·北京·期中）下列各点中，在函数 的图象上的点是（   ） A． B． C． D． 20．（24-25八年级上·辽宁本溪·期末）若点在直线上，且，都是正整数，则点坐标是______． 21．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知函数． (1)当为何值时，是的一次函数？ (2)若函数是一次函数，则为何值时，的值为3？ 题型八 已知函数经过的象限求参数范围（共3小题） 22．（25-26八年级上·安徽合肥·阶段检测）已知直线经过点，且不经过第三象限，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 23．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）一次函数的图象经过第一、三、四象限，则的取值范围是________． 24．（24-25八年级下·福建泉州·期末）已知函数，（为常数）． (1)若该函数的图象与直线平行，求的值； (2)若这个函数是一次函数，且该函数的图象不经过第二象限，求的取值范围． 题型九 一次函数图象与坐标轴的交点问题（共3小题） 25．（25-26八年级下·北京房山·期中）一个一次函数的图象经过点，且和x轴交于点B，如果该函数图象与坐标轴围成的三角形的面积为6，那么该一次函数的表达式为（    ） A． B． C．或 D．或 26．（24-25八年级下·北京·期中）在平面直角坐标中，一次函数过点，其图象与x轴交于正半轴，写出一个符合条件的该一次函数的解析式______． 27．（25-26八年级下·北京·期中）已知一次函数的图象经过两点． (1)求的值； (2)若一次函数的图象与轴，轴的交点分别为．求交点坐标以及函数图象与坐标轴围成三角形的面积（为坐标原点）． 题型十 一次函数解析式（共3小题） 28．（25-26八年级·全国·假期作业）已知y是x的一次函数，下表列出了部分对应值： x … ﹣2 1 3 … y … 7 ﹣2 ﹣8 … 则y与x的函数表达式为（　　） A．y＝﹣2x+1 B．y＝2x﹣3 C．y＝3x﹣1 D．y＝﹣3x+1 29．（25-26八年级下·北京·期中）已知直线经过和，把直线沿轴向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到直线，则直线的解析式为_____． 30．（24-25八年级下·北京·期中）当，是正实数，且满足时，就称点为“完美点”．已知与点的坐标满足，且点是“完美点”，则点坐标为_____． 题型十一 一次函数的增减性（共3小题） 31．（25-26八年级下·北京西城·期中）已知一次函数（为实数），当时，，则m的取值范围是______． 32．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知正比例函数（k为常数，且），y随x的增大而减小．当时，函数有最大值5，则k的值是________． 33．（25-26八年级下·北京昌平·期中）已知一次函数， (1)当值为何值时，该函数为正比例函数； (2)当值为何值时，一次函数的图象与轴交于； (3)当值为何值时，一次函数的图象与轴交于负半轴； (4)当值为何值时，一次函数随的增大而增大； (5)当值为何值时，一次函数的图象经过一、二、四象限． 题型十二 一次函数的平移（共3小题） 34．（2025·陕西西安·一模）在平面直角坐标系中，将直线向上平移3个单位后，恰好经过点，则m的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 35．（24-25八年级上·山东威海·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，将沿轴向左平移2个单位得到，则图中阴影部分的面积为______________． 36．（25-26八年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)若函数与一次函数的图象的交点位于直线的右侧，直接写出的取值范围． 题型十三 一次函数与方程（共3小题） 37．（25-26八年级上·重庆·期末）如图，已知一次函数与（，且k，m为常数）的交点坐标为，则关于x，y的方程组的解为（   ） A． B． C． D． 38．（25-26八年级下·北京·期中）如图，直线与直线相交于点，则关于，的方程组的解为 ______． 39．（25-26八年级上·河北张家口·期末）如图，直线与x轴交于点，直线与y轴交于点，与直线交于点C． (1)求k，b的值； (2)关于x，y的方程组的解为 ； (3)若直线平行于x轴，且到x轴的距离为1，求直线被，所截得的线段长． 题型十四 一次函数与不等式（共3小题） 40．（25-26八年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，函数，的图象交于点，则关于x的不等式 的解集为__________． 41．（25-26八年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，一次函数的图象过点，且平行于直线． (1)求一次函数的解析式； (2)求该一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积． (3)当时，对于的每一个值，一次函数的值都小于一次函数的值，直接写出的取值范围． 42．（25-26八年级下·北京·期中）小明根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究并解决了相关问题，请补全下面的过程. (1)列表： x … 0 1 2 3 4 … y … 0 2 4 b 0 … 请根据表格中的信息，确定b的值，_____； (2)根据（1）中的列表，请在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象． (3)结合函数图象，解决问题： ①写出函数的一条性质 ． ②若点,在函数图象上，且，则与的大小关系为__． ③若关于x的方程有两个解，请直接写出满足条件的m的取值范围 ． ④若点，都在函数的图象上，且，直接写出t的取值范围 ． 题型十五 一次函数的实际应用（共3小题） 43．（24-25八年级下·北京房山·期中）为落实国家发展改革委办公厅，市场监管总局办公厅《关于规范电动自行车充电收费行为的通知》，长阳某小区完成充电桩“商改民”线路改造，将原商业电价调整为居民合表电价，并推出两种合规套餐，引导居民安全、经济充电． 套餐 计费规则 制定依据 A套餐 按实际充电量计费，单价1元/度（含充电电费0.51元/度及充电服务费0.49元/度） 居民合表电价及服务费标准 B套餐 充电量不超过1度免费，超出部分按1.5元/度计费（含充电服务费） 鼓励短充，减少夜间长时充电隐患 (1)分别写出两种套餐费用的函数表达式（充电量为度，费用为元）； (2)若用户充电2.5度，选择哪种套餐更经济？请说明理由． 44．（2025·辽宁盘锦·一模）据灯塔专业版数据，截至2025年2月18日，《哪吒之魔童闹海》总票房达123.2亿元，登顶全球动画电影票房榜，是亚洲首部票房过百亿的影片，并创造了全球单一电影市场最高票房纪录．该片来源于哪吒闹海的传统故事，但又重塑了全新的“魔童”哪吒形象：表面吊儿郎当，实则勇敢坚毅，强烈反差引发情感共鸣；“我命由我不由天”的不屈精神，让观众泪目．为满足儿童对哪吒的喜爱，某玩具店决定各用300元购进了、两种哪吒玩偶．已知一个种哪吒玩偶是一个种玩偶价格的2倍，且购进两种玩偶的数量共15个． (1)求购进、两种哪吒玩偶的单价各是多少元？ (2)因销售效果不错，该玩具店决定再次购进、两种哪吒玩偶共80个，且种哪吒玩偶的数量不多于种哪吒玩偶数量的2倍，问此次购进最少要花多少钱？ 45．（25-26八年级下·北京·期中）甲、乙两地距离，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地．如图，线段表示货车离甲地的距离与时间之间的关系，折线表示轿车离甲地的距离与时间之间的关系，根据图象，解答下列问题： (1)轿车比货车提前______到达乙地； (2)在段货车的速度为________，轿车的速度为________； (3)从图象上可以看出，货车比轿车提前出发，轿车出发3小时离甲地________． 题型十六 多边形（共3小题） 46．（25-26八年级下·北京·课后作业）如图，要使四边形木架（由四根木条钉成）不变形，可以再钉上几根木条． (1)请在图①中画出你想到的方法（至少画两种），至少要钉几根木条？ (2)五边形呢？请在图②中画出你想到的方法（至少画两种），至少要钉几根木条？ (3)由以上探究猜想，要使n边形的木架不变形，至少要钉上几根木条？ 47．（25-26七年级上·山西临汾·阶段检测）阅读与思考 连接多边形任意两个不相邻顶点的线段叫做多边形的对角线． 如图所示，过多边形的一个顶点作出所有的对角线，可以把多边形分割成若干个三角形．请仔细观察下面的图形和表格，并回答下列问题： 多边形的顶点数/个 4 5 6 7 8 …… 从一个顶点出发的对角线的条数/条 1 2 3 4 5 …… ①_____ 分割成的三角形个数/个 2 3 4 5 6 …… ②_____ (1)观察探究：请仔细观察上面的图形和表格，并用含的代数式填写表格①______，②______； (2)n边形有n个顶点，那么所有对角线的条数可表示为______； (3)类比应用：数学社团共有11名同学，大家约定，春节期间每人都要给同社团的其他同学打一个电话拜年．请问，按照此约定，数学社团的同学们一共将拨打电话多少个？ 48．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）已知边形（且为整数）的内角和公式为，边形的外角和为． (1)一个多边形的内角和比它的外角和的2倍少，求这个多边形的边数； (2)如图，分别平分，，，求的值． 题型十七 平行四边形（共3小题） 49．（25-26八年级下·北京·期中）如图，在平行四边形中，对角线，交于点O，E，F为上两点，连接，，，，且，求证：四边形为平行四边形． 50．（25-26八年级下·北京海淀·阶段检测）如图，在中，，为边上一点，连接，为中点，过点作交的延长线于，连接交于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求四边形的面积． 51．（25-26八年级下·北京顺义·期中）如图，在四边形中，，对角线交于点，且． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)过点作，交于点，交于点，连接，若，求的度数． 题型十八 矩形（共3小题） 52．（25-26八年级下·北京延庆·期中）在矩形中，的平分线交于点F，的平分线交于点E，连接并延长交于点G． (1)如图1，当时，求证：； (2)如图2，当时，用等式表示线段的数量关系，并证明． 53．（25-26九年级上·陕西渭南·期末）如图，在中，的平分线和的平分线交于点，点在边上，以、为边作． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的面积． 54．（24-25八年级下·北京石景山·期末）如图，在矩形中，，点，分别在，边上，将四边形沿直线翻折，点恰好落在点处，点的对应点为点． (1)求证：         (2)若，，求的长． 题型十九 菱形（共3小题） 55．（2026·北京昌平·二模）如图，在四边形中，，，对角线平分，过点作，垂足为． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，，求的长． 56．（25-26八年级下·北京·期中）如图，已知四边形是菱形，延长到点使，延长到点使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若平分，菱形的边长为3，求矩形的面积． 57．（25-26八年级下·北京·期中）如图，菱形的对角线，交于点，于，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求矩形的周长． 题型二十 正方形（共3小题） 58．（2025·北京朝阳·一模）在正方形中，E为边上一点（不与点A，D重合），将线段沿直线翻折，得到线段，连接并延长，与线段的延长线相交于点G，连接． (1)依题意补全图形； (2)求的度数； (3)用等式表示线段与的数量关系，并证明． 59．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，正方形的对角线交于点，是边上的一点，连接，过点作交于点，若，求四边形的面积． 60．（2026·北京东城·二模）如图，在正方形中，E为边上一点，连接，作交的延长线于点F，作交于点G，过点G作交于点H，延长交的延长线于点M． (1)依题意补全图形； (2)求证：； (3)用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 题型二十一 三角形中位线（共3小题） 61．（25-26八年级下·北京·期中）如图，中，是边上一点，连接，，分别是，的中点，连接，，，则（   ） A． B． C． D． 62．（25-26八年级下·北京·期中）如图，中，，D，E，F分别为，，的中点，已知，则___________． 63．（2026·北京顺义·一模）如图，在中，交于点O，E是的中点，过点O，E分别作直线的垂线，垂足分别为G，F． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求的长． 题型二十二 中点四边形（共3小题） 64．（25-26九年级下·湖南邵阳·阶段检测）如图，点，，，分别是四边形边，，，的中点，如果，，则四边形的面积为（     ） A．20 B．24 C．32 D．48 65．（25-26八年级下·上海·期中）在四边形中，已知对角线，顺次连接四边形各边中点，得到四边形；再顺次连接四边形各边中点，得到四边形．则四边形的形状为______． 66．（25-26八年级下·湖南邵阳·期中）阅读下面材料，完成相应的任务． 类比三角形中位线，我们把连接四边形对边中点的线段叫做四边形的中位线． 如图1，在四边形中，点，分别是，的中点，则就是四边形的中位线．求四边形中位线的长度，可以通过找对角线中点，将其转化为三角形中位线解决． 例：如图2，在四边形中，点，分别是，的中点．若，，，，求的长． 解：取的中点，连接，． 因为点、分别是，的中点， 所以，，，．（依据） …… 任务： (1)将材料中的解题过程补充完整． (2)如图3，在四边形中，点，分别是，的中点，，，，延长，交于点，延长交于点．求证：． (3)对角线互相垂直的四边形叫垂美四边形．已知四边形是垂美四边形，、、、分别为边、、、的中点，连接，，，，若，，则与的关系是______，______． 题型二十三 中心对称图形（共3小题） 67．（25-26九年级下·北京·阶段检测）窗棂（即窗格）作为中国传统建筑的重要构件，承载着丰富的文化象征．窗棂上雕刻有线槽和各种花纹，构成了种类繁多的优美图案．下列窗棂样式结构图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 68．（2026·浙江丽水·二模）小明用若干个火柴棒首尾相接摆成了下面四个图形，下列选项结论正确的是（     ） A．①②③是轴对称图形 B．②③④是中心对称图形 C．①②是中心对称图形，但不是轴对称图形 D．③④是轴对称图形，但不是中心对称图形 69．（25-26八年级下·江西九江·阶段检测）如图，与关于点成中心对称，若，，，则的长为_____． 题型二十四 图形的旋转（共3小题） 70．（25-26八年级下·江苏南通·阶段检测）如图，在中，，，将绕点顺时针旋转得到，若点的对应点恰好落在线段上，连接，则______． 71．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，已知中，，将绕点顺时针方向旋转到的位置，连接，则的长为______． 72．（25-26八年级下·湖北襄阳·期中）如图，平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴、y轴上，连接，的两条外角平分线、交于第一象限的点P，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为C、D． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，，求点B的坐标． 题型二十五 一元二次方程定义（共3小题） 73．（25-26九年级下·山东威海·期中）下列关于x的方程： ①；②；③；④；⑤，⑥，其中一元二次方程的是（     ） A．①②④ B．②④⑥ C．①③④ D．①④⑥ 74．（25-26八年级下·江苏·期末）若关于x的方程是一元二次方程，则m的值是（    ） A． B． C． D． 75．（25-26八年级下·山东烟台·期中）关于x的方程是一元二次方程，则m的值为______． 题型二十六 一元二次方程解法（共3小题） 76．（25-26八年级下·江苏苏州·阶段检测）解一元二次方程： (1)； (2)． 77．（25-26八年级下·湖南长沙·阶段检测）解方程： (1)； (2)． 78．（25-26八年级下·全国·课后作业）小明在解方程时出现了错误，解答过程如下： （第一步） （第二步） （第三步） （第四步） (1)小明解答过程开始出错的是_______； (2)写出此题正确的解答过程． 题型二十七 换元法解一元二次方程（共3小题） 79．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）一元二次方程的两根分别为，1，则方程的两根分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 80．（25-26八年级上·上海·阶段检测）若x、y为实数，且，则___________． 81．（25-26八年级下·安徽合肥·阶段检测）【材料阅读】 已知实数m，n满足，试求的值． 解：设， 则原方程可化为，即，解得． ， ． 上面这种解方程的方法属于转化的数学思想，即在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（换元），则能使复杂的问题简单化． 【方法应用】 请仿照材料中的方法解决下列问题： (1)已知，求的值． (2)解方程：． (3)解方程：． 题型二十八 根的判别式（共3小题） 82．（25-26九年级上·新疆喀什·期末）对于实数定义运算“*”为，例如：，则关于x的方程的根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 83．（2024·北京门头沟·一模）已知一元二次方程，有两个根，两根之和为正数，两根之积是负数，写出一组符合条件的a、b的值_________． 84．（25-26八年级下·安徽淮北·期中）已知关于的一元二次方程，其中为实数． (1)求证：该方程有两个不相等的实数根； (2)若该方程的一个根为，求另一个根； (3)若该方程的一个根大于，另一个根小于，求的取值范围． 题型二十九 根据一元二次方程根的情况求参数（共3小题） 85．（2026·北京西城·二模）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值是________． 86．（25-26八年级下·山东泰安·期中）已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求k的取值范围； (2)如果取符合条件的最大整数，且一元二次方程与有一个相同的根，求常数的值． 87．（25-26九年级上·湖北咸宁·期末）已知关于一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若是原方程的两个根，且，求的值． 题型三十 一元二次方程根与系数的关系（共3小题） 88．（25-26九年级上·湖北黄冈·阶段检测）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根． (2)若方程的两实数根为满足，求k的值． 89．（2026九年级上·福建泉州·专题练习）已知关于的一元二次方程， (1)求证：该一元二次方程总有两个不相等的实数根； (2)若该方程的两个根是一个矩形的两边长，矩形对角线长为5，试求的值． 90．（25-26九年级上·贵州遵义·期中）已知关于的一元二次方程． (1)若此方程的根为与，当时，求的值； (2)求证：对于任意实数，方程总有两个不相等的实数根； 题型三十一 一元二次方程的实际应用（共3小题） 91．（25-26八年级下·北京·期末）学校为了让学生观察植物的生长习性．打算在校区建立一个如图所示的实验田（矩形），该实验田两面靠墙（位置的墙最大可用27米，位置的墙最大可用15米），另外两边用栅栏围成，中间也用栅栏隔开，分成两个场地及一个1米宽的通道，两个场地分别留出一个1米宽的门（门不用栅栏，处使用栅栏），建成后栅栏总长为45米，设实验田的长为x米． (1)的长为 米（用含x的式子表示）； (2)若实验田（矩形）的面积为180平方米，求x的值； (3)通过计算说明该实验田的面积能否为240平方米． 92．（25-26八年级下·安徽蚌埠·期中）错题本是同学们整理知识点，提升复习效率的好帮手．某校周边文具店销售的新款活页错题本深受学生喜爱．经销商统计了该款错题本3月份到5月份的销量：3月份销售125本，5月份销售180本． (1)求该款活页错题本3月至5月销售量的月平均增长率； (2)若该款错题本的进价为每本8元，经市场调研发现，当售价为每本12元，月销售量为200本，若在此基础上售价每本上涨0.5元，则月销售量将减少10本．为使月销售利润达到960元，现需适当涨价且尽可能让学生得到实惠，则该款错题本的实际售价应定为每本多少元？ 93．（25-26八年级下·浙江湖州·期中）如图，在长方形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果、分别从、同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为秒． (1)填空： ， ．（用含的代数式表示） (2)当五边形的面积等于时，求此时的值． (3)是否存在的值，使线段的长度最小，若存在，请求出此时的值和最小值，若不存在，请说明理由． 题型三十二 方差（共1小题） 94．（2026·北京·模拟预测）校篮球队教练选出甲、乙、丙、丁四名队员参加定点投篮测试．对这四名队员最近10轮测试（每轮投10球，记录命中数）的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．乙、丙两名队员10轮测试命中数的折线图： b．丁队员10轮测试命中数：6，7，7，8，8，8，9，9，9，9 c．四名队员10轮测试命中数的平均数、中位数、方差： 甲 乙 丙 丁 平均数 8 7 8 中位数 8 7 m 8 方差 0.6 (1)表中的值为_____，p的值为_____；表中q________0.6（填“”“”或“”）； (2)根据这10轮测试成绩，教练按如下方式评估这四名队员的实力强弱：首先比较平均数，平均数大者实力更强；若平均数相等，则比较方差，方差小者实力更强；若平均数、方差分别相等，则测试命中数大于平均数的次数较多者实力更强．评估结果：这四名队员按实力由强到弱依次为_____． 题型三十三 离差平方和（共1小题） 95．（25-26八年级上·贵州贵阳·期末）“爽爽贵阳”生动地描绘了贵阳市夏季凉爽舒适的气候特点．在综合与实践活动“哪个城市夏天更热”中，某实践小组收集了贵阳和A城夏季某周的日最高气温数据，并绘制成如下的统计图表（如图）： 城市 平均数/℃ 中位数℃ 众数/℃ 方差 A城 36 b 35，38 d 贵阳 a 26 c 6.9 回答下列问题： (1)表格中：________，________，________； (2)已知A城这一周的日最高气温的离差平方和为20，请计算d的值（精确到0.1）； (3)根据表格中的数据，任选两个角度对比贵阳和A城的气温特点． 题型三十四 频数分布表与频数分布直方图（共1小题） 96．（2026·北京丰台·二模）某校开展了校园创新大赛，比赛分为知识竞答和实践成果两个板块，每个板块评分均采用100分制（分值为整数），每名选手的个人综合得分由知识竞答和实践成果两个板块的分数按照计算得到．七年级和八年级各选派了10名选手参加．下面给出了部分信息． a．七、八年级各10名选手的知识竞答和实践成果两个板块得分情况统计图： b．七、八年级各10名选手的个人综合得分频数分布直方图（数据分7组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组，第7组）： 根据以上信息，回答下列问题： (1)七年级知识竞答得分最高的选手，在本年级的实践成果得分中排名是第________名； (2)八年级选手中个人综合得分的最高分是________； (3)在两个年级各10名选手中，记七、八年级选手知识竞答得分的中位数分别是，，则________（填“”“”或“”），记七、八年级选手实践成果得分的方差分别是，，则________（填“”“”或“”）； (4)经计算所有选手的个人综合得分均不相同，在个人综合得分前十名的选手中，七年级人数________八年级人数（填“多于”“等于”或“少于”）． 题型三十五 四分位数与箱线图（共1小题） 97．（25-26八年级下·全国·期末）【数据收集】 某市射击队为了从A，B两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，现组织两人在相同的条件下进行八轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并对A，B两名选手每轮的射击成绩进行了数据收集． 【数据整理】 如图①，将A，B两名选手八轮射击成绩绘制成如下统计图． 【数据分析】 (1)小明利用平均数、方差进行分析．通过计算平均数，环，__________环，可以看出，选手__________（填“A”或“B”）的平均成绩更高；通过计算方差，，__________，可以看出，选手__________（填“A”或“B”）的射击水平更稳定． (2)小颖利用四分位数（如下表）、箱线图（如图②）进行分析． 表格中，①处应填__________，②处应填__________，③处应填__________；基于四分位数或箱线图，可以发现选手A射击成绩的中位数__________（填“>”“<”或“=”）选手B射击成绩的中位数，且选手A的射击成绩明显比选手B的射击成绩波动大． 选手 最小值、四分位数和最大值 最小值 最大值 A 6 ① ② 9.5 10 B 8 8 9 ③ 10 【作出决策】 (3)请你根据八轮射击成绩，从，两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，并说明理由． 1．如图是某次测试成绩的箱线图．根据图中的信息，下列判断错误的是（   ） A．本次测试的最高分是99分 B．本次测试的平均分是79分 C．本次测试成绩的上四分位数是88分 D．本次测试成绩在65~88分的人数占了50% 2．已知关于的方程，下列说法正确的是（   ） A．时，方程有两个相等的实数解 B．时，方程有一个实数解 C．时，方程无实数解 D．时，方程总有两个不相等的实数解 3．如图，对角线，交于点O，E是的中点，连结，，，若，则等于（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．把直线向上平移m个单位后，与直线的交点在第二象限，则m可以取得的整数值有（     ） A．3个 B．5个 C．4个 D．2个 5．为落实“健康第一”的理念，实施学生体质强健计划，学校体育课上加强了学生的长跑训练．在一次女子1000米耐力测试中，小蕊和小敏在校园内200米的环形跑道上同时同向起跑，同时到达终点．所跑的路程（米）与所用的时间（秒）之间的函数图象，如图所示，则她们第一次相遇的时间是在起跑后的第____________秒． 6．如图，在矩形中，，，将矩形翻折，使得点落在边上的点处，折痕交于点，则的长为____________． 7．如图，正方形的边长为8，，N 为上一点，则的最小值为_______． 8．某企业对员工进行综合素质测试，测试由10位评委打分，每位评委最高打10分，评委给甲、乙的打分的折线图如图：则，根据图中信息，比较甲的方差与乙的方差的大小：___．（填“＞”“＝”或“＜”） 9．若，是一元二次方程的两个实数根，若满足，我们称此类方程为“差根方程”． （1）已知关于x的方程是“差根方程”，则_________； （2）已知是直角三角形，，，若的两边、的长是一个“差根方程”的两个实数根，请写出一个符合条件的“差根方程”：_______． 10．已知关于的一元二次方程有两个不相等的整数根和，且，如果是正整数，则的值为______________． 11．在箱线图中（如图1），箱体中部的粗实线表示中位数；中间箱体的上、下底，分别是数据的第三四分位数（75%分位数）和第一四分位数（25%分位数）；整个箱体的高度为四分位距；位于最下面和最上面的实横线分别表示最小值和最大值（有时候箱子外部会有一些点，它们是数据中的异常值）．图2为某地区今年5月和6月的空气质量指数（AQI）箱线图．AQI值越小，空气质量越好；AQI值超过200，说明污染严重． (1)该地区今年5月有没有严重污染天气？ (2)该地区哪个月的AQI值比较集中？ 12．2026年4月5日是清明节，清明节前一周，铂航妈妈到超市购买了6个肉松青团和8个红豆青团，共付款54元，已知每个红豆青团比每个肉松青团贵元． (1)求每个肉松青团和每个红豆青团各多少元． (2)为进一步提升青团的销量，超市将两种青团分别包装成A，B两种礼盒销售，两种礼盒每盒都有16个青团（包装成本忽略不计），A礼盒中有个肉松青团，B礼盒中有个红豆青团．包装后每个青团降价元，统计发现，A，B两种礼盒的销量分别为盒、盒，A，B两种礼盒的销售总额为4100元，求m的值． 13． 如图，点，是平行四边形对角线上的两点，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，．求线段的长． 14．如图，点在直线上，直线经过点，且与轴交于点． (1)求的值及直线的表达式； (2)过点且垂直于轴的直线与，分别交于，两点． 若，直接写出的取值范围 ； 当时，连接，求的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $