专题03 期末真题百练通关（60题20大压轴题型）（期末复习专项训练）八年级数学下学期新教材北京版

**基本信息** 60题覆盖20大期末压轴题型，以题载法构建函数与几何综合突破体系，强化数学抽象与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |函数综合|1-9题（27题）|图象信息提取、动态平移规律、几何综合建模|从基础图象到实际应用，构建"性质-变换-综合"递进链条| |几何综合|10-15题（18题）|特殊四边形判定、中位线转化、存在性分类讨论|按"平行四边形-特殊四边形-动态存在性"逻辑展开| |方程与数据|16-20题（15题）|配方法、根与系数关系、换元法、数据分析|从代数变形到统计应用，体现模型思想与数据意识|

专题03 期末真题百练通关（60题20大压轴题型） 题型1 从函数图象获取信息 题型11 矩形的判定与性质 题型2 坐标的平移问题 题型12 菱形的判定与性质 题型3 点坐标规律探索 题型13 正方形的判定与性质 题型4 一次函数的图象 题型14 特殊平行四边形的存在性问题 题型5 一次函数的性质 题型15 三角形的中位线 题型6 一次函数的平移问题 题型16 一元二次方程配方法的应用 题型7 一次函数的实际应用 题型17 一元二次方程根与系数的应用 题型8 一次函数与不等式、方程的关系 题型18 换元法解一元二次方程 题型9 一次函数与几何综合 题型19 一元二次方程的实际应用 题型10 平行四边形的判定与性质 题型20 数据的分析大题汇总 题型一 从函数图象获取信息（共3小题） 1．（25-26八年级下·北京·期中）同一条公路连接，，三地，地在，两地之间．甲、乙两车分别从地、地同时出发前往地．甲车速度始终保持不变，乙车中途休息一段时间，继续行驶，乙车休息前、后的速度不变（乙车加、减速时间忽略不计）．甲、乙两车之间的距离 与时间的函数关系如图所示．，两地相距__________；当甲、乙两车出发后行驶__________h时，两车第一次相遇． 【答案】 20 【分析】时对应y的值即A，B两地之间的距离；当时，乙车在休息，甲车一直在行驶，据此求出甲车的速度，当时乙车继续行驶，与甲车同时到达C地，据此求出乙车的速度，再求解即可． 【详解】解：当时，， ∴A，B两地相距， 甲车的速度为， 乙车的速度为， 则两车第一次相遇的时间为． 2．（24-25八年级上·全国·期末）甲、乙两人同时骑自行车分别从A，B两地出发到A，B两地之间的C地，且A，B，C三地在同一直线上．当乙到达C地时甲还未到达，乙在C地等了5分钟，接到甲的电话说他的自行车坏了需要工具修理，于是乙在C地拿了工具箱立即以原来倍的速度前往甲坏车处，乙与甲汇合后帮助甲花了10分钟修好自行车，然后两人以甲原来倍的速度骑行同时到达C地．甲、乙两人距C地的距离之和y（米）与甲所用时间x（分钟）之间的函数关系如图所示（乙接电话和找工具箱的时间忽略不计）．则以下说法错误的是（　　） A．甲原来的速度为150米/分钟，乙原来的速度为200米/分钟 B．甲坏车处距离C地2625米 C．A，C两地之间的距离为4125米 D．A，B两地之间的距离为6875米 【答案】C 【分析】本题主要考查了函数的实际应用，熟练掌握函数图像的实际应用是解决本题的关键． 根据图像，分析出每段函数图像所代表的实际涵义，通过路程速度时间的等量关系进行求解即可． 【详解】解：甲车坏处距C地距离：米，故B不符合题意； 乙用原来倍的速度行驶这段路程需要时间为：分，因此乙用原来倍的速度为：米/分，乙原来速度为：米/分； 甲用原来倍的速度行驶这段路程需要时间为：分，因此甲用原来倍的速度为：米/分，甲原来速度为：米/分； 故A不符合题意； 设乙行至C地用时x分，则甲行至车坏处分， 由题意得：， 解得：， ∴A、B两地之间的距离为：米， 故D不符合题意； ∵车坏处距C地距离：米， ∴两地的距离为（米）， 故C错误，符合题意； 故选：C． 3．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期中）根据素材，探索完成任务． 如何设计游览时间的方案？ 【素材1】 某风景区内景点示意图如图1所示．景区内有一辆免费的有轨电动车匀速在景区大门和影视城之间不间断的来回载客，最后一班有轨电动车19：00到景区大门，游客只能在每个景点乘车到下一个景点游览（假设游客上下车时间忽略不计）． 【素材2】 小聪和小明相约到风景区游玩，小聪12：40到景区大门，13：00乘坐从景区大门到影视城的有轨电动车前往景点，图2表示了小聪、有轨电动车离景区大门的路程s（米）与经过的时间t（分）之间关系的不完整图像． 【素材3】 小明13：30到景区大门，两人相约在秀湖见面后共同在秀湖游玩一段时间，然后一起先去湿地公园再去影视城游玩，最后直接返回景区大门，两人游玩影视城后，必须在17：15之前到景区大门处，并且两人相约在湿地公园游览时间不少于50分钟，在影视城游览时间不少于70分钟． 问题解决 【任务1】 确定车速：有轨电动车的平均速度是___________米/分． 【任务2】探究时间：求小明几点到达秀湖？ 【任务3】 拟定游览时间方案：请你根据素材直接写出符合条件的游览湿地公园和影视城的方案共有几种？并设计其中一种符合条件的游览湿地公园和影视城的方案． 共有____________种游览方案； 你设计的方案： 到达湿地公园时间：___________；在湿地公园停留___________分钟； 到达影视城时间：___________；在影视城停留___________分钟； 回到景区大门时间：___________； 【答案】任务1：500米/分钟；任务2：小明13:44到达秀湖；任务3：    三，14:07，60，15:10，100，17:00 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息以及行程问题， 任务1：根据图二中提供的信息即可作答； 任务2：先确定有轨电车的出行规律，结合小明13：30到景区大门，依次顺延时间即可作答； 任务3：根据图二以及小聪12：40到景区大门，13：00乘坐从景区大门到影视城的有轨电动车前往景点，即可确定13:04达到秀湖，在秀湖游玩60分钟后14:04从秀湖出发，14:07到达湿地公园，再根据有轨电车的出行规律作出其出现在湿地公园、影视城的时刻表，再根据游玩的时间要求即可推出：两人最早离开湿地公园的时间是15:07，最早达到影视城的时间是15:10；最晚会在17:00到达景区大门，离开影视城的最晚时间是16:50，到达影视城的最晚时间是15:30，离开影视城的最早时间是16:30，最晚离开湿地公园的时间是15:27，据此即可作答． 【详解】任务1：根据图二可知有轨电车一个循环耗时20分钟，行驶的距离为米， 则有轨电车的速度为：（米/分钟）， 任务2：有轨电车由景区大门抵达秀湖所花时间为：（分钟）， ∵最后一班有轨电动车19：00到景区大门，有轨电车一个循环耗时20分钟， ∴有轨电车在整点，整点过20分钟，整点过40分钟时均在景区大门， ∵小明13：30到景区大门， ∴小明13：40能在景区大门坐上有轨电车，经过4分钟的车程可以到达秀湖， 即：小明13：44到达秀湖； 任务3：由图2可知：小聪13:00从景区大门出发，13:04达到秀湖，在秀湖游玩60分钟后14:04从秀湖出发，14:07到达湿地公园， 时刻表如下：（车的到站时间也是车的离站时间） 湿地公园 影视城 景区大门 14:07 14:10 14:20 14:27 14:30 14:40 14:47 14:50 15:00 15:07 15:10 15:20 15:27 15:30 15:40 15:47 15:50 16:00 16:07 16:10 16:20 16:27 16:30 16:40 16:47 16:50 17:00 17:07 17:10 17:20 两人一起游玩，则二人14:07到达湿地公园， 因为游玩的在湿地公园游览时间不少于50分钟， 所以两人最早离开湿地公园的时间是15:07， 则最早达到影视城的时间是15:10； 因为两人游玩影视城后，必须在17：15之前到景区大门处， 所以两人最晚会在17:00到达景区大门， 所以两人离开影视城的最晚时间是16:50， 又因为在影视城游览时间不少于70分钟，最早达到影视城的时间是15:10， 所以两人到达影视城的最晚时间是15:30，离开影视城的最早时间是16:30， 因为两人到达影视城的最晚时间是15:30， 所以最晚离开湿地公园的时间是15:27， 综上：总体方案有3种： 方案一：14:07到达湿地公园，在湿地公园游玩60分钟，15:07从湿地公园出发，15:10达到影视城，在影视城游玩80分钟，16:30离开，16:40回到景区大门； 方案二：14:07到达湿地公园，在湿地公园游玩60分钟，15:07从湿地公园出发，15:10达到影视城，在影视城游玩100分钟，16:50离开，15:00回到景区大门； 方案三：14:07到达湿地公园，在湿地公园游玩80分钟，15:27从湿地公园出发，15:30达到影视城，在影视城游玩80分钟，16:50离开，15:00回到景区大门； 即：共有三种游览方案； 你设计的方案： 到达湿地公园时间：14:07；在湿地公园停留60分钟； 到达影视城时间：15:10；在影视城停留100分钟； 回到景区大门时间：17:00． 题型二 坐标的平移问题（共3小题） 4．（25-26七年级下·北京海淀·期中）在平面直角坐标系中，．若为矩形内（不包括边界）一点，过点分别作轴和轴的平行线，这两条平行线将矩形分为四个小矩形，若这四个小矩形中有一个矩形的周长等于的长，则称为矩形的矩宽点．例如：下图中的点为矩形的一个矩宽点． (1)在点，，中，矩形的矩宽点是_____； (2)若点为矩形的矩宽点，直接写出的值_____； (3)将矩形的矩宽点按其坐标特征平移：若点横坐标大于纵坐标，则点向左平移一个单位；若点的横坐标小于等于纵坐标，则点向右平移一个单位．点平移后的点为点，则称点为矩形的矩宽平移点．已知点恰好为矩形的矩宽平移点，请直接写出点的坐标_____． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（）根据矩宽点的定义逐一判断即可求解； （）根据矩宽点的定义列出方程解答即可求解； （）分点横坐标大于纵坐标和点的横坐标小于等于纵坐标两种情况，据矩宽点的定义列出方程解答即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 当点时，如图，，矩形的周长为 ，此时点为矩形的矩宽点； 当点时，如图，点位于矩形的中心，小矩形的周长为 ，故点不是矩形的矩宽点； 当点时，点位于矩形的外部，不符合矩宽点的定义，故点不是矩形的矩宽点； （2）解：如图，∵点为矩形的矩宽点， ∴ 或 ， 解得：或， （3）解：当点横坐标大于纵坐标时，则点的坐标为， ∵点在矩形内部， ∴， 解得， ∵点是矩形的矩宽点， ∴ 或 或 或 ， 解得或（不合，舍去）， ∴； 当点的横坐标小于等于纵坐标，则点的坐标为， ∵点在矩形内部， ∴， 解得， ∵点是矩形的矩宽点， ∴ 或 或 或 ， 解得（不合，舍去）或， ∴； 综上，点的坐标为或， 故答案为：或． 5．（24-25八年级上·北京·期中）在平面直角坐标系中，对于给定的两点P，Q，若存在点M，使得的面积等于1，即，则称点M为线段的“单位面积点”． 解答下列问题： 如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为． (1)在点，，，中，线段的“单位面积点”是_____． (2)已知点，，将线段沿y轴向上平移个单位长度，使得线段上存在线段的“单位面积点”，直接写出的取值范围． (3)已知点，，点M，N是线段的两个“单位面积点”，点M在的延长线上，若，直接写出点N纵坐标的取值范围． 【答案】(1)A，C (2)或 (3)①当点在轴上时，点纵坐标的取值范围为或；②当点在直线上时，点纵坐标的取值范围为或 【分析】（1）由点的坐标得出，根据三角形的面积公式即可得到结论； （2）当点为线段的“单位面积点”时，，或，当点为线段的“单位面积点”时，，解得：或，即可得出结果； （3）先求出，得出线段的“单位面积点”在轴上或的直线上，则点在的直线与延长线的交点上，求出直线的解析式为：，则，是线段的“单位面积点”，则，， ①当点在轴上时，，得出，列不等式求解即可得出的纵坐标的取值范围； ②当点在直线上时，，得出，列不等式求解即可得出的纵坐标的取值范围． 【详解】（1）解：如图1所示： 点的坐标为， ， ，，，， ，，，， 点、点是线段的“单位面积点”， 故答案为：，； （2）解：如图2所示： 当点为线段的“单位面积点”时，，解得或； 当点为线段的“单位面积点”时，，解得或； 线段上存在线段的“单位面积点”时，的取值范围为或， 故答案为：或； （3）解：点的坐标为，， ， 线段的“单位面积点”在轴上或的直线上， 点在的延长线上， 点在的直线与延长线的交点上，如图3所示： 设直线的解析式为，则，解得， 直线的解析式为：，则， 是线段的“单位面积点”， ， ， ①当点在轴上时，， ， ， 当时，，解得；当时，，解得； 点纵坐标的取值范围为或； ②当点在直线上时，， ， ， 当时，，解得；当时，，解得； 点纵坐标的取值范围为或． 综上， ①当点在轴上时，点纵坐标的取值范围为或；②当点在直线上时，点纵坐标的取值范围为或． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了新概念“单位面积点”、图形与坐标、三角形面积的计算、含绝对值不等式解法、求一次函数的解析式、分类讨论等知识，熟练掌握新概念“单位面积点”是解题的关键． 6．（25-26七年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，对于点，和图形，将图形沿射线方向平移，平移距离为线段的长，得到图形，若点在图形上，则称点为图形关于点的“移动关联点”．如图，点，． (1)若点为线段关于点的“移动关联点”，则点可以是____；，，； (2)已知正方形，点，点，点，点． ①当时，点在上，若点为正方形关于点的“移动关联点”，则点的横坐标的取值范围是____； ②已知点，，点在正方形上，若线段上任意一点，都是线段关于点的“移动关联点”，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2)①；②或 【分析】（1）如图，把线段沿方向平移个单位长度得到线段，再结合图形分析即可； （2）①当，可得点，点，点，，画图可得把正方形沿方向，平移距离为线段的长度，平移后的轨迹为如图所示的阴影部分，不包括正方形内部，再进一步分析即可； ②结合①点落在如图所示的阴影内（包含边界，不包含正方形内部），此时左右两侧的阴影边界之间的水平距离为个单位长度，再进一步分情况讨论即可. 【详解】（1）解：如图，把线段沿方向平移个单位长度得到线段， ∵点，， ∴的中点坐标为， ∴，， ∴的中点坐标为， ∴点为线段关于点的“移动关联点”，则点可以是，. （2）解：①∵正方形，点，点，点，点，， ∴点，点，点，， 把正方形沿方向，平移距离为线段的长度，平移后的轨迹为如图所示的阴影部分，不包括正方形内部； ∵点为正方形关于点的“移动关联点”， ∴点落在轨迹内（包含边界）； ∴点的横坐标的取值范围是. ②∵点在正方形上，线段上任意一点，都是线段关于点的“移动关联点”， 结合①可得：点落在如图所示的阴影内（包含边界，不包含正方形内部）， 此时左右两侧的阴影边界之间的水平距离为个单位长度， 此时平移后即，即， ∴的中点， 当与重合时， ∴， 解得：； 如图，当在阴影边界上时， ∵， ∴阴影端点， 此时，解得：， ∴当时，线段上任意一点，都是线段关于点的“移动关联点”； 如图，当落在阴影部分右边区域，且与边界重合时， 此时点， 的横坐标相等， ∴， ∴， 如图，当落在阴影的最右边边界时，而向右平移个单位时坐标为， ∴， 解得：， ∴当时，线段上任意一点，都是线段关于点的“移动关联点”； 综上：当或时， 线段上任意一点，都是线段关于点的“移动关联点”. 题型三 点坐标规律探索（共3小题） 7．（25-26七年级下·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“”方向排列，如，根据这个规律探索可得第2026个点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将第个点作为第列，作为第列，以此类推，则第列有个坐标，第列有个坐标，，第列有个坐标，，列共有坐标总数为，据此找出第2026个点的位置即可求解． 【详解】解：将第个点作为第列，作为第列，以此类推， 则第列有个坐标，第列有个坐标，，第列有个坐标，列共有坐标总数为， ， ， 第个坐标在第列， ， 从下往上数第个坐标的纵坐标为， 第个点的坐标是． 8．（25-26七年级下·北京海淀·期中）在平面直角坐标系中，对点进行“幂变换”后得到新的坐标，第一次“幂变换”记为，“幂变换”法则如下：，且规定（为大于1的整数）． 例如：， ， ， 则___________，___________． 【答案】 【分析】先根据“幂变换”法则计算前几次变换的结果，归纳得到偶数次变换的规律，再根据规律计算目标值。 【详解】根据“幂变换”法则，计算： 继续计算归纳规律： 可得规律：当为偶数，且时， 对于，因为，即，因此 故答案为； 9．（25-26七年级下·北京大兴·期中）在平面直角坐标系中，对于点，，称点为点P关于点M的变换点． (1)点Q为点关于点的变换点，点Q的坐标为_____； (2)如图，正方形四个顶点的坐标分别是，，，．已知点，点为点关于点M的变换点． ①若点在正方形的边上，则a的值为_____； ②点，分别为点，关于点M的变换点，若三角形与正方形有公共点，则a的最大值为___，a的最小值为____． 【答案】(1) (2)①6或10；②10；2 【分析】（1）根据“变换点”的定义解答即可； （2）①根据题意先求出，结合正方形四点的坐标可得若点在正方形的边上，则或，解答即可； ②先求出坐标，根据题意得出，解答即可； 【详解】（1）解：∵点Q为点关于点的变换点， ∴，即； （2）解：①∵，，点为点关于点M的变换点， ∴， 根据题意可得正方形的范围：，， ∴在正方形y范围内，因此在正方形边上时，横坐标只能是正方形左右边的或， ∴，即， 或，即， 因此或10； ② ∵点，分别为点，关于点的变换点， ∴，， 三个点的纵坐标都在正方形y范围：内， 若三角形与正方形有公共点， 则三角形的x范围与正方形的x范围有交集， 即， 解得：， 因此的最大值为，最小值为． 题型四 一次函数的图象（共3小题） 10．（25-26八年级上·全国·期末）一次函数与（m，n常数，且）是在同一平面直角坐标系中的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查一次函数图象与系数的关系，分析一次项系数与常数项判断一次函数的大致图象是解题的关键． 首先通过分析一次项系数与常数项的符号，再逐一验证选项是否符合图象特征即可． 【详解】解：对于A：的图象从左到右上升，∴，与y轴交于正半轴，∴，即；此时的斜率，，图象应下降，且与y轴交于负半轴，∴与图象不符，故A错误； 对于B：的图象从左到右上升，∴，与y轴交于正半轴，∴，即；此时的斜率，，图象应下降，且与y轴交于负半轴，∴与图象相符合，故B正确； 对于C：的图象从左到右上升，∴，与y轴交于负半轴，∴，即；此时的斜率，，图象应上升，且与y轴交于负半轴，∴与图象不符，故C错误； 对于D：的图象从左到右上升，∴，与y轴交于负半轴，∴，即；此时的斜率，，图象应上升，且与y轴交于负半轴，∴与图象不符，故D错误； 故选：B． 11．（24-25八年级上·北京·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，． (1)若一次函数的图象经过M点，则b_____0 (填“”或“”或“”)； (2)若一次函数的图象经过三个点中的某一点，求b的最大值； (3)①已知直线，则此直线一定过定点 ； ②当时，在图中用阴影表示直线扫过的区域，并判断在点M，N，P中直线不可能经过的点是 ． 【答案】(1) (2)8 (3)①；②图见解析；N 【分析】本题考查一次函数的图象和性质的应用．用到的知识点为：一次函数的比例系数大于0，常数项大于0，图象过第一、二、三象限，一次函数的比例系数越大，随的增大越明显． （1）把点M的坐标代入一次函数求出b的值，即可得出答案； （2）根据一次函数的比例系数大于0，图象过第一、三象限，求的最大值，那么把第二象限内的点代入即可； （3）①把代入得：，即可得出答案； ②求出当时直线与轴的交点，进而根据经过点和可得直线扫过的区域，即可求得直线不可能经过的点． 【详解】（1）解：把代入一次函数得： ， 解得：， ∵， ∴； （2）解：∵一次函数的比例系数为，， ∴一次函数一定经过第一、三象限， ∵求b的最大值， ∴图象还应该经过第二象限的点， ∴， ∴； 答：b的最大值为8； （3）解：①把代入得：， ∴直线一定过定点； ②当时，， 把代入得：， 解得：， ∴图象经过 ∵图象必过点，， ∴直线扫过的区域为过点和点的直线l与y轴之间的区域（不包括直线l和y轴）． ∴直线不可能经过的点是N． 故答案为：N． 12．（2025·河北唐山·一模）定义：平面直角坐标系中，对于，两点，称为E，F两点的“折线距离”，记为． 【探究应用】 平面直角坐标系中，、． （1）如图1，轴，轴，________； （2）如图2，一次函数的图象与x轴交于点M，与y轴交于点N，在线段上任取一点P，是否为定值？如果是，请求出定值，如果不是，请说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图3，若点Q是直线的图象上一动点，画出满足的所有点Q构成的线段，并直接写出此线段的长度； （4）直接写出满足的所有点R围成图形的面积． 【答案】（1）4；（2）是定值，且；（3）；（4）32 【分析】（1）根据定义代入数据计算即可； （2）先求出点的坐标，设点，再根据定义得到，即可解答； （3）设，根据定义得，解不等式，求出临界点，再利用勾股定理即可解答； （4）设，由题意得到的点构成以为中心的正方形，顶点为，，，，据此求解即可． 【详解】解：（1）设， ∵、，且轴，轴， ∴，，即， ∴，， 根据题意：； 故答案为：4； （2）是定值， ∵一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点， 令，则，令，则， ∴，， 设点， 则， ∴是定值，且； （3）设，根据定义得， 令，则，令，则， ①当时， ∴，， 则，解得：， ∴，； ②当时， ∴，， 则，解得：， ∴，； ③当时， ∴，， 则，解得：（舍去）； 综上，时，， 此时，所有点构成的线段为点到点的线段长， 长度为； （4）设， ∵， ∴， 当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， ∴的点构成以为中心的正方形，顶点为，，，，如图， 则对角线长为8， ∴，即满足的所有点R围成图形的面积为32． 【点睛】本题考查了一次函数综合，一次函数图形的性质，勾股定理，熟练掌握数形结合的思想是解题的关键． 题型五 一次函数的性质（共3小题） 13．（25-26八年级下·北京·期中）小明探究函数的图象和性质的过程如下．请将小明的探究过程补充完整，并解决问题． (1)函数的自变量的取值范围是_______，的取值范围是______； (2)由设计如下画图方案：将直线在轴下方的部分沿轴翻折，直线的其余部分保持不变，得到函数的图象．在平面直角坐标系中画出函数的图象； (3)利用函数图象解决问题： ①当时，的取值范围是___________； ②当时，的取值范围是___________； ③若对于的每一个值，函数的值都小于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1)全体实数； (2)见详解 (3)①；②或；③． 【详解】（1）解：函数，根据绝对值的性质可知，x的取值范围是：全体实数，y的取值范围是：； （2）解：函数的图象，如下图所示： （3）解： ①观察（2）中函数的图象，当时，的取值范围是； ②观察（2）中函数的图象，当时，的取值范围是或； ③可以由平移得到，如果都小于，只能向下平移，所以． 14．（25-26八年级上·四川成都·期末）如图，已知直线与轴交于点，直线与轴，轴分别交于点和点，且两直线交于点点坐标为． (1)求的值． (2)在轴上是否存在一点，使得与面积相等？若存在，请求出的坐标；若不存在，请说明理由． (3)直线上是否存在点，使得．若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题考查了一次函数与几何图形综合，待定系数法求一次函数解析式，全等三角形的性质与判定． （1）将代入，得出，再代入，即可求解； （2）由（1）可得的解析式为，进而求得，设交轴于点，得出，进而求得面积为，根据与面积相等得出，即可求解； （3）根据，将绕点逆时针旋转得到，得到等腰直角三角形，连接，过点作轴，过点作交于点，过点作交于，则为的交点，证明，求出，直线与直线的交点为；点关于点的对称点，则直线与直线的交点为另一个． 【详解】（1）解：依题意，将代入，得 ∴ 将代入得， 解得：； （2）解：由（1）可得的解析式为， 当时，，解得： ∴ 如图，设交轴于点， 当时，， ∴ ∴ ∵直线与轴交于点， 当时，，则 ∴， ∴ ∵， ∴ ∵与面积相等 ∴ 解得： ∵ ∴或 （3）存在点，使得，理由如下； 将绕点逆时针旋转得到，连接，过点作轴，过点作交于点，过点作交于，则是等腰直角三角形， ∴为的交点 ，， ， ， ， ， ， ，， ， 直线与轴交于点 当时，，解得 设直线的解析式为，代入得 解得： 直线的解析式为， ， 同理可得直线的解析式为， 解得： 设关于的对称点为， 的中点为， 即 同理可得直线的解析式为 解得： ∴ 综上所述，或 15．（25-26八年级上·广东茂名·期末）【基础知识】 将含有的三角板的直角顶点放在直线上，过两个锐角顶点分别向直线作垂线，这样就可以得到两个全等的直角三角形． （1）如图1，等腰直角中，，过点作交于点，过点作交于点．直接写出与的数量关系__________． 【基本技能】 （2）已知：直线的图象与轴交于点，与轴交于点． ①如图2，当时，在第一象限构造等腰直角，求直线的表达式； ②如图3，当的取值变化，点随之在负半轴上运动，在第二象限构造等腰直角，，连接，问的面积是否发生变化？若不变，求出面积；若变，请说明理由． 【应用拓展】 （3）如图4，直线的图象与轴交于点，与轴交于点，若点在轴上，且，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）；（2）①直线为，②不变，；（3）或 【分析】（1）根据，过点作交于点，过点作交于点，得出，证明，即可证出． （2）①当时，则直线为直线，先求出，，则，过点E作于，如图所示：证明，得出，求出点的坐标为，待定系数法求出直线的解析式为． ②根据当的取值变化，点随之在轴负半轴上运动，得出，过点作于，证明，得出，再根据，即可求解； （3）根据点C的位置分两种情况：①如图，过作轴交于点，过作轴于点，先求出点的坐标是，点的坐标是，得出，根据，得出，则，证明，则，求出，待定系数法求出直线的解析式为，再令，即可求出； ②如图，过作交于点，过作轴，过作交于点，过作交于点，根据，得出，证出，证明，则，设，则，得出，根据点在直线的图象上，代入求解即可． 【详解】解：（1）． 证明：，过点作交于点，过点作交于点， ， ， 在和中 ， ， ∴． （2）①当时，则直线为直线， 当时，， ∴， 当时，， ∴， ∴， 过点E作于，如图所示：     ， ， 是以为直角顶点的等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 把与代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为． ②当变化时，的面积是定值，， 理由如下： ∵当的取值变化，点随之在轴负半轴上运动， ， 过点作于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 变化时，的面积是定值，； （3）①如图，过作轴交于点，过作轴于点， ∵直线与轴交于点，与轴交于点， ∴点的坐标是，点的坐标是， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 令，则，解得：， 则； ②如图， 如图，过作交于点，过作轴，过作交于点，过作交于点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， 则， ∴， ∵点在直线的图象上， ∴， ∴， ∴． 综上，或． 【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数的图像及性质、一次函数解析式求解、坐标与图形、等腰直角三角形的性质和判定、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握一次函数的图像及性质，正确作出辅助线构造全等三角形解题是关键． 题型六 一次函数的平移问题（共3小题） 16．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图1，在平面直角坐标系中，点A坐标为，点B坐标为，以线段为底边向右作等腰直角． (1)求边的长和点C的坐标． (2)如图2，将等腰直角向右平移m个单位，记平移后的三角形为，点F恰好在直线上，求直线对应的函数表达式． (3)在（2）的条件下，若点G为直线上的动点，使，请直接写出点G的坐标． 【答案】(1) (2)直线DF对应的函数表达式为 (3)或． 【分析】（1）过点作轴垂足为，过点作轴，与交于点，先证得，然后设点坐标为，根据全等三角形的对应边相等及线段的长度关系列方程解答即可；利用勾股定理求出，再利用等腰直角三角形的性质即可求出； （2）由平移得到，，然后点代入直线，求出，进而求出两点坐标，再用待定系数法求解即可； （3）过点作轴于点，在轴上截取，连接交于点，作关于的对称点，先求出直线，进而求出点，再利用垂直平分线性质以及中点坐标即可求出． 【详解】（1）解：过点作轴垂足为，过点作轴，与交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点A坐标为，点B坐标为， ∴，， ∴，， ∵等腰直角， ∴， 设点坐标为， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴点坐标为； （2）解：∵点坐标为，点A坐标为，将等腰直角向右平移m个单位得到， ∴，， 又∵点F恰好在直线上， ∴， 解得， ∴，， 设直线对应的函数表达式为， ∴， ∴， ∴直线对应的函数表达式为． （3）解：如图，过点作轴于点，在轴上截取，连接交于点，作关于的对称点， 由（2）可知等腰直角向右平移4个单位，记平移后的三角形为， ∴点坐标为：，，， ∵等腰直角， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，即， ∵， ∴设直线为：， 故， ∴， ∴直线为：， ∵为与的交点， ∴， 解得：， ∴； ∵作关于的对称点， ∴垂直平分， ∴，即，为中点， 设， ∴， 解得； ∴ ∴综上，的点坐标为：或． 【点睛】本题考查一次函数与几何综合，涉及勾股定理，全等三角形等知识点，能够对知识点进行综合应用是解题关键． 17．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，点是轴上一点，把坐标平面沿直线折叠，使点的对应点刚好落在轴上，作直线． (1)求直线对应的函数表达式； (2)求的值： (3)点为直线上一点，点，连接．若，求点的坐标； (4)若直线上的一点到直线的距离是2，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【分析】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法，一次函数及其图象性质，一次函数与二元一次方程组，全等三角形的判定和性质，三角形面积，勾股定理，解决问题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线． （1）先求出、两点的坐标，由勾股定理求出的长，由折叠的性质求出点的坐标，再根据待定系数法即可求出直线对应的函数表达式； （2）连接，由题意得，，在中，,列方程即可求出的值； （3）过点作的平行线，交轴于点，易证，由此可得点的纵坐标，代入中，即可得点的坐标； （4）在线段上取一点，使点到线段的距离为2，连接，过点作于点，过点作直线的平行线，交轴于点，则直线与直线的交点即为点；过点作点的对称点，过点作直线的平行线，交直线于点；求出点、的坐标即可 【详解】（1）解：， 令，则， ． 令，则， ． ，． ． 由折叠得：, ． ． 设直线的函数表达式为， 将，，代入得， ，解得， ∴直线的函数表达式为． （2）解：如图，连接， ∵点， ， ． 由折叠得：， 在中，, 即，解得． （3）解：如图，过点作的平行线，交轴于点， ． ． ． ， 轴． ． 又， ． ． ， ． ． ． ． 在中，令，则， ． （4）解：如图，在线段上取一点，使点到线段的距离为2，连接，过点作于点，则， 过点作直线的平行线，交轴于点，则直线上所有点到直线的距离均为2， ∴直线与直线的交点即为点． ， ． ． ． ∵， ∴直线的函数表达式为． 联立，解得， ． 在中，令，则． ． 如图，过点作点的对称点，则，过点作直线的平行线，交直线于点， ∵直线与直线关于直线对称， ∴直线上每一点到直线的距离也为2． ∴点即为所求． ， ∴直线的函数表达式为． 联立，解得， ． 综上所述，点的坐标为或． 18．（2025·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，点，点，若将直线向上平移c个单位长度后与线段有交点，则c的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数图象与几何变换、一次函数的平移等知识点，灵活运用极值法求解是解题的关键． 先求出平移后的解析式为，分别代入A、B的坐标，求得对应的c的值， 根据函数图象即可解答． 【详解】解：把直线向上平移c个单位长度后得到， 若直线过，则，解得：， 若直线过，则，解得， ∴将直线向上平移c个单位长度后与线段有交点，则． 故答案为：． 题型七 一次函数的实际应用（共3小题） 19．（2024·河南郑州·三模）“五一”期间，某服装商场举行促销活动，活动方案如下： 方案 促销方案 方案一 所有服装全场六折 方案二 “满送”（如：购买元服装，赠元购物券；购买元服装，赠元购物券） 方案三 “满减”（如：购买元服装，只需付元；购买元服装，只需付元） （注：一人只能选择一种方案） (1)小明想买一件上衣和一件裤子，已知上衣的标价为元，小明通过计算发现，若按方案一购买这两种服装与用方案二先买上衣再买裤子的花费相同． 求裤子的标价； 请你帮小明设计此次购买应选择哪种方案，并说明理由； (2)小明研究了该商场的活动方案三，发现实际售价（元）可以看成标价（元）的函数，请你写出，当时，关于的函数表达式为______，当时，关于的函数表达式为______，当时，关于的函数表达式为______； (3)小明准备用方案一或方案三购买一件标价为元的服装，当的取值范围是多少时，用方案三购买更合算？ 【答案】(1)元；应选择方案三，理由见解析； (2)，，； (3)当时，用方案三购买更合算． 【分析】（）设裤子的标价为元，根据题意列出方程解答即可求解；分别算出每一种方案的花费即可判断求解； （）根据题意列出函数解析式即可； （）分和两种情况讨论即可求解； 本题考查了一元一次方程的应用，一次函数的应用，求一次函数的解析式，根据题意，正确列出一元一次方程和一次函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：设裤子的标价为元， 根据题意得，， 解得， 答：裤子的标价为元； 选择方案三，理由如下： 方案一的花费为：元， 方案二的花费为：元， 方案三的花费为：元， ∵， ∴应选择方案三； （2）解：当时，关于的函数表达式为，当时，关于的函数表达式为，当时，关于的函数表达式为； 故答案为：，，； （3）解：当时，方案一购买需花费元，方案三需花费元， ∵， ∴ 用方案一购买更合算； 当时，方案一购买需花费元，方案三需花费元， 当时，解得， ∴当时，用方案三购买更合算； 当时，两种方案购买花费一样多； 当时，用方案一购买更合算； 综上，当时，用方案三购买更合算． 20．（2026·河南·一模）河南水果特产资源丰富，诸如灵宝苹果、孟津葡萄、西峡猕猴桃、荥阳柿子……数不胜数，某电商对甲、乙两种河南特产精品水果进行销售，若销售甲种水果千克，乙种水果千克，共收入元；若销售甲种水果千克，乙种水果千克，共收入元．若顾客在限定时间内拍下甲种水果超过千克，则超过部分的价格打八折，乙种水果的销售价格不变，设电商销售甲种水果千克，甲种水果的销售额（元）与（千克）之间的函数关系如图所示． (1)求的值； (2)若电商计划在限定时间内销售甲、乙两种水果共千克，且甲种水果不少于千克，但又不超过千克，如何分配甲、乙两种水果的销售量，才能使电商的销售额达到最大？最大值为多少？ 【答案】(1) (2)电商销售甲种水果千克，乙种水果千克时销售额达到最大；最大销售额为元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用． (1)设甲种水果打折前的售价元/千克，乙种水果的售价为元/千克，列二元一次方程组求出即为甲种水果打折前的售价，根据销售额单价销量即可求出； (2)设甲种水果销售千克，则乙种水果销售千克，销售额为元，根据销售额单价销量可得，利用一次函数的性质求出销售额的最大值． 【详解】（1）解：设甲种水果打折前的售价元/千克，乙种水果的售价为元/千克， 根据题意得：， 解得：， ；   （2）解：设甲种水果销售千克，则乙种水果销售千克，销售额为元， 当时， ； 则， ， 随的增大而增大， 当时，有最大值，, 此时(千克)， 答：电商销售甲种水果千克，乙种水果千克时销售额达到最大．最大销售额为元. 21．（2026八年级下·全国·专题练习）甲、乙两地间的直线公路长为400km，一辆轿车和一辆货车分别沿该公路从甲、乙两地以各自的速度匀速相向而行．货车比轿车早出发1h，途中轿车出现了故障，停下维修，货车仍继续行驶，1h后轿车故障排除，此时接到通知，轿车立刻掉头按原路原速返回甲地．已知两车距各自出发地的距离y（单位：km）与轿车所用的时间x（单位：h）的关系如图所示，请结合图象解答下列问题： (1)货车的速度是________km/h；轿车的速度是________km/h；t的值为________． (2)求轿车距其出发地的距离y关于所用时间x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围． (3)请直接写出货车出发多长时间两车相距90km． 【答案】(1)50；80；3 (2) (3)距货车出发3h或5h两车相距90km 【分析】（1）由函数的图象，结合速度、时间和路程的关系，可得所求； （2）分别求出得、、的坐标，运用待定系数法解得即可； （3）根据题意列方程解答即可，注意分为相遇前和相遇后两种情况． 【详解】（1）解：，，． 由函数图象可知，货车的速度是， 轿车的速度是：， 轿车从出发到出现故障用时． （2）解：由（1）得，，． 设直线的表达式为． ∵过点， ∴，解得， ； 当时，． 设直线的表达式为． ∵过点，， ∴ 解得： ， （3）解：距货车出发或两车相距． 设货车出发小时后两车相距千米， 根据题意得：或, 解得：或． 答：距货车出发或两车相距． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，从函数图象获取信息，解题的关键是熟练掌握待定系数法确定函数的解析式． 题型八 一次函数与不等式、方程的关系（共3小题） 22．（25-26八年级上·江苏淮安·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，点在直线上，直线经过点和点． (1)直接写出点的坐标为_____，直线的函数表达式为______； (2)判断的形状并说明理由； (3)点是直线上一个动点，且，请仅用无刻度的直尺和圆规在图2中画出满足条件的点，并直接写出点的坐标为______．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1)， (2)直角三角形，说理过程见解析 (3)作图见解析，或 【分析】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法、一次函数与坐标轴的交点问题，勾股定理的运用等知识，解题的关键是掌握作辅助线解决问题． （1）利用待定系数法求解即可； （2）利用两点间距离公式先求出的长度的平方，利用勾股定理逆定理判断即可； （3）根据作一个角等于已知角的作图方法作图，得到两个满足要求点，分两种情况分别求解即可． 【详解】（1）解：当时， 当时，，解得 ∴点的坐标为，点的坐标为； 把代入得到，解得， ∴， 设直线的函数表达式为，把和代入得到， ， 解得 ∴直线的函数表达式为； （2）解：直角三角形，理由见解析 ∵，，， ∴， ∴是直角三角形， （3）解：如图，点和点即为所求， 由（1）可知点的坐标为，点的坐标为； ①当点E在线段上时，即为，设与x轴的交点为M， ∵， ∴， 设，则，， ∴， 解得， ． 设直线的解析式为，把代入可得， 解得 ∴直线的函数表达式为． 联立直线和直线的函数解析式得到，， 解得， ∴． ②当点在线段的延长线上时,即为， ∵， ， ， 把代入得到，解得， ． 综上所述，点E的坐标为或． 23．（24-25八年级下·北京怀柔·期末）小明根据学习函数的经验，探究了函数的图象与性质，请将小明的探究过程补充完整，并解决相关问题． (1)下表是y与x的几组对应值： x … 0 1 2 3 … y … 0 2 m 2 0 … 写出表中m的值：______． (2)如图，在平面直角坐标系中，画出该函数的图象． (3)小明结合该函数图象，解决了以下问题： ①对于函数，当时，的取值范围是______； ②方程有______个解； ③直接写出不等式的解集为______． 【答案】(1)4； (2)函数的图象见详解 (3)①；②两；③或． 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，熟练掌握该知识点是关键． （1）将代入即可求出值； （2）画出函数图象即可； （3）①根据函数图象，写出的取值范围即可； ②根据函数图象看两个函数的交点个数即可； ③画出一次函数图象，根据图象直接写出不等式的解集即可． 【详解】（1）解：当时，， 故答案为：4 ； （2）解：函数的图象如图所示： （3）解：①由函数图象可知：当时，； 故答案为：； ②由图象可知：函数与直线有两个交点； 则方程有两个解； 故答案为：两； ③如图，画出的图象， 由图象可知不等式的解集为：或． 故答案为：或． 24．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，直线 分别与x轴、y轴交于点， B，直线 分别与x轴、y轴交于点C，D，点C在点A的左边，且 ，直线与直线交于点． (1)求直线与 的函数表达式． (2)求的面积． (3)根据图像写出关于x的不等式 的解集． (4)在直线 上是否存在一点 P，使得 ？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线函数表达式为；直线函数表达式为； (2) (3) (4)点坐标为或 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数点的坐标特征、坐标与图形性质等内容，分类讨论是解题的关键． （1）由点和点坐标可求出直线函数表达式，再求出点坐标，根据点和点坐标可求出直线函数表达式； （2）分别求出点和点坐标，进而根据面积公式求解即可； （3）根据图象即可解答； （4）分类讨论，点在点上方和下方，然后表示出的面积，再根据面积公式求解即可． 【详解】（1）解：将点代入得，， 解得：， ∴直线函数表达式为； 由题可知， ， 将代入得，， 解得：， ∴直线函数表达式为； （2）解：令，得， ∴， 令，得， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴当时，， ∴关于x的不等式 的解集是． （4）解：当点在点上方时，如图， 此时， ， 解得：（负值已舍去）， 此时， ； 当点在点下方时，如图， 此时， ， 解得：（正值舍去）， 此时， ； 综上，满足题意的点坐标为或． 题型九 一次函数与几何综合（共3小题） 25．（25-26八年级上·安徽宿州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于点，，点C为x轴正半轴上一点，连接，将沿所在直线折叠，点B恰好与y轴上的点D重合． (1)求直线对应的函数表达式； (2)求的长； (3)P为直线上一点，，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了一次函数表达式的求解，勾股定理的应用及三角形面积公式的运用． （1）利用待定系数法，将直线所过的两个点的坐标代入一次函数表达式，求解出函数表达式； （2）先根据勾股定理求出的长度，再利用折叠的性质得到相关线段的长度关系，通过设未知数，根据勾股定理列出方程求解的长； （3）设出点P的坐标，根据三角形面积公式列出方程，求解得到点P的坐标． 【详解】（1）解：设直线对应的函数表达式为：， ∵直线交坐标轴于点，， ∴， 解得：， ∴直线对应的函数表达式为：． （2）解：由题意可知：，，， ∴， ∵将沿所在直线折叠，点B恰好与y轴上的点D重合， ，， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， 解得， 即． （3）解：∵P在直线上， ∴设， ∵， ∴， 解得或， ①当时，， ②当时，， ∴或． 26．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的全等模型． 【模型学习】如图1，已知在中，，直线EF经过点A，于点E，于点F．易证：． （1）如图2，平面直角坐标系中，点B的坐标为，求直线的函数关系式； 【类比探究】 （2）如图3，一次函数的图象分别交x轴和y轴于M、N两点，点D坐标为． ①连接，则_____； ②点P在直线上，连接，当与直线的夹角为时，求出点P的坐标； 【拓展探究】 （3）在（2）的条件下，若一次函数的图象与直线相交所夹锐角大于，请直接写出k的取值范围． 【答案】（1）；（2）①90，②或；（3）且 【分析】本题考查一次函数与几何的综合，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． (1)过点A作轴于D，过点B作轴于E，推导出，得到，求出，设直线的函数关系式为，求出直线的函数关系式为，即可解答； (2)①推导出，，在x轴上取点过点F作轴，交于E，求出，得到，继而证明，得到推导出，则即可解答； ②先证明，连接，推导出是等腰直角三角形，得到，则点P与点E重合时，与直线的夹角为，得到；当点P在x轴下方时，过点P作轴于G，推导出是等腰直角三角形，得到进而证明，得到，则得到，即可解答； (3)先求出直线的函数关系式为，直线的函数关系式为，推导出直线必定经过点，过点Q分别作和的平行线，交y轴于，求出或，由一次函数的图象与直线相交所夹锐角大于，得到，求出直线的解析式为，得到，则且，，即可解答． 【详解】解：(1)过点A作轴于D，过点B作轴于E，如图， 则， ， ， ， ， ， ， 点B的坐标为， ， ， ， 设直线的函数关系式为，则 解得： 直线的函数关系式为； (2)①当时， ， 解得：， ， 当时， ， ， ∴在x轴上取点过点F作轴，交于E，如图， 则， 当时， ， ∴， ∴， ∵D坐标为， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴ ∵， ∴，即 故答案为：90； ②由①知， ∴， 连接，如图， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴点P与点E重合时，与直线的夹角为，则； 当点P在x轴下方时，过点P作轴于G， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴ ∴，且点P在直线上； 综上所述，点P的坐标为或； (3)由(2)知， 同理可得，直线的函数关系式为，直线的函数关系式为， ∵，且 ∴当时， ， ∴直线必定经过点，如图， 过点Q分别作和的平行线，交y轴于， ∴或， ∵一次函数的图象与直线相交所夹锐角大于， ∴． 设直线的解析式为， 将分别代入，得 ， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，一次函数的图象与直线平行，此时一次函数的图象与直线垂直，不符合题意， ∴， 综上所述，且，． 27．（24-25八年级上·河南郑州·期末）【模型呈现】如图1，在中，，直线m经过点A，过点B作于点D，过点C作于点E，试说明：． 【模型应用】如图2，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点A作线段且，直线交x轴于点D． ①点B的坐标为 ，点C的坐标为 ； ②求直线的函数表达式． 【模型迁移】如图3，在平面直角坐标系中，点是点C关于y轴的对称点，点Q是x轴上一个动点，点P是直线上一个动点，若是以点为直角顶点的等腰直角三角形，请求出点Q的坐标． 【答案】【模型呈现】证明见解析 【模型应用】①，；② 【模型迁移】点Q的坐标为或 【分析】本题属于一次函数综合题，主要考查了一次函数的图象与性质，全等三角形判定与性质，待定系数法，等腰直角三角形的性质； 【模型呈现】利用证明即可 【模型应用】过C作轴于K，求出，，得到，，同理，所以，，即得，然后利用待定系数法解答即可； 【模型迁移】过点作轴于点N，过点P作于点M，设，，分两种情况，结合模型呈现，利用全等三角形对应边相等列方程组即可求解． 【详解】【模型呈现】∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【模型应用】①过C作轴于K，如图2： 一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B， 当时，即，解得：， 当时，即， ∴，， ∴，， 由【模型呈现】可得：， ∴，， ∴， ∴， ②设直线解析式为，将点，点的坐标分别代入得： ，解得：， ∴直线的函数表达式为． 【模型迁移】如图，过点作轴于点N，过点P作于点M，设，，分两种情况： ①如图，当在点左侧时， ∵点是点C关于y轴的对称点， ∴， ∵是以点为直角顶点的等腰直角三角形， ∴，， 由【模型呈现】可得， ∴， ∴，解得：， ∴， ②如图，当在右侧时， ，解得：， ∴， 综上：点Q的坐标为或． 题型十 平行四边形的判定与性质（共3小题） 28．（2026·北京·模拟预测）如图，在中，，，是边上两点，且，．点与点关于直线对称，点与点关于直线对称，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)7 【分析】（1）先根据对称性可得，，进而得，再说明，可得，然后根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得出答案； （2）先根据对称性可得，，然后说明，接下来作，再根据直角三角形的性质得， 并根据勾股定理求出，即可得，接下来求出，最后根据平行四边形的对边相等得出答案． 【详解】（1）证明：∵点D与点F关于直线对称， ∴． ∵点E与点G关于直线对称， ∴． ∵ ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵，且， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵点D与点F关于直线对称， ∴． ∵点E与点G关于直线对称， ∴． ∵， ∴，即， ∴． 过点F作，交延长线于点H， 在中，则， ∴． 根据勾股定理，得． ∵， ∴， 在中，． ∵四边形是平行四边形， ∴． 29．（25-26八年级下·北京·期中）如图，中，，，为边上一动点，为平面内一点，则以点、、、为顶点的平行四边形有______个，的最小值为______． 【答案】 3 【分析】①根据平行四边形的判定可得结论；②以为对角线的平行四边形为，此时，故当时，最小，即最小，设、相交于O，则，利用等腰三角形的性质和勾股定理求得，再利用三角形的面积相等可求得的最小值． 【详解】解：如图， 以为边的平行四边形为，，此时， 以为对角线的平行四边形为，此时，故当时，最小，即最小， 如图，设、相交于O，则， ∵，， ∴，， ∴， 由得， ∵， ∴的最小值为， 故以点、、、为顶点的平行四边形有3个，的最小值为． 30．（25-26八年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，对于没有公共点的两个图形M，N给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，若P，Q两点间距离的最大值为，最小值为，则称比值为图形M和图形N的“距离关联值”，记为．已知顶点坐标为，，，． (1)若E为边上任意一点，则的最大值为_____，最小值为_____，因此 (2)若为对角线上一点，为对角线上一点，其中． ①若，则_____； ②若，请直接写出m的取值范围． 【答案】(1)2，1，2 (2)①6；②或 【分析】（1）当点E在点B或点D处时，的长最大，根据两点间距离公式求解即可，当点E在平行四边形与y轴的交点处时，的长最小，即可解答； （2）①先求出，再求出，，即可得到答案； ②先求出，分和两种情况，分别求出，的值，即可分别列不等式求解． 【详解】（1）解：由图可知，当点E在点B或点D处时，的长最大，最大值为， 当点E在平行四边形与y轴的交点处时，的长最小，最小值为1， ，， ； （2）解：①如图，当时，，， 设直线为， 把代入，得， ， 直线的解析式为， 把代入，得， 解得， ， 由图可知，线段上的点到上的点之间的距离的最大值为的长， ，即， 最小值为线段与之间的距离，即， ； ②将代入，得， ， ， 当时，线段上的点到上的点之间的最大距离为的长， ，即， 最小距离为线段与之间的距离，即， ， ， 解得； 当时，线段上的点到上的点之间的最大距离为的长， ，即， 最小距离为线段与之间的距离，即， ， ， 解得； 综上所述，m的取值范围是或． 【点睛】本题在解答时要先理解“距离关联值”的定义，并结合图形逐步求解，对于第（2）小题要注意分类讨论． 题型十一 矩形的判定与性质（共3小题） 31．（25-26九年级上·四川泸州·期中）如图，矩形中，O为中点，过点O的直线分别与，交于点E，F，连接交于点M，连接，．若，，则下列结论： ①，； ②； ③四边形是菱形； 其中正确结论的个数是（ ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质、菱形的判定、等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的性质和菱形的判定是解题关键．连接，先根据矩形的性质可得点共线，，，，再根据等边三角形的判定可得是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，，则垂直平分，由此即可判断①正确；假设成立，根据全等三角形的性质可得，再根据在直角三角形中，斜边大于直角边可得，由此即可判断②错误；先证出，根据全等三角形的性质可得，则可证四边形是平行四边形，再证出，根据全等三角形的性质可得，根据菱形的判定即可得③正确． 【详解】解：如图，连接， ∵在矩形中，为对角线中点， ∴点共线，，，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， 又∵， ∴垂直平分， ∴，，则结论①正确； 假设成立，则， 在中，，与矛盾， ∴假设不成立，则结论②错误； ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形，则结论③正确； 综上，正确结论的个数是2个， 故选：B． 32．（24-25八年级下·北京·期中）已知矩形，点E在射线上，是矩形外角的角平分线． (1)如图1，当四边形是正方形，点E是边的任意一点，且交于点G． ①求证：． ②在①的条件下，如图2，连接，过点E作，垂足为P，若正方形边长为4，当四边形是平行四边形时，直接写出的长_______． (2)如图3，四边形是矩形，在线段的延长线上取一点E，使，交于点H，交于点G，连接，依题意补全图形，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)①见解析；② (2)图见解析，，证明见解析 【分析】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）①在上截取，连接，由正方形的性质可得，则，可证明，；再证明，进而可证明，则； ②在上截取，连接，同理可证明，则；可证明是等腰直角三角形，得到，则；由平行四边形的性质得到，则可推出，由勾股定理得到，则，据此可得答案； （2）连接，可证明是等腰直角三角形，得到，，再证明是等腰直角三角形，则可得到，，证明，得到，证明，由勾股定理得，，则，即． 【详解】（1）解：①如图所示，在上截取，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵是矩形外角的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图所示，在上截取，连接， 同理可证明， ∴； ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：补全图形如下所示，，证明如下： 如图所示，连接， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵是矩形外角的角平分线， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴． 33．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）如图，在矩形中，，的平分线交于点，，垂足为，连结并延长交于点，连结交于点下列结论：① ②③是的中点④；其中正确的是_____． 【答案】①②③④ 【分析】由“”可证，由“”可证，由全等三角形的性质和矩形的性质依次判断可求解． 【详解】解：在矩形中，平分， ， 是等腰直角三角形， ， ， ，故①正确， 在和中， ， ， ， ， ， ， ，故②正确； ，， ， ， ，， ， ， ， 又，， 在和中， ， ， ，， 点是的中点，故③正确； ，， ， ，所以④正确； 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，熟记各性质并仔细分析题目条件，根据相等的度数求出相等的角，从而得到三角形全等的条件或判断出等腰三角形是解题的关键，也是本题的难点． 题型十二 菱形的判定与性质（共3小题） 34．（25-26八年级下·北京·期中） 如图，在中， ，点在上，．过点分别作，的平行线交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，若，求的长． 【答案】(1)证明：∵过点分别作，的平行线交于点． ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． (2) 【分析】（1）先得出四边形是平行四边形，再得出则，根据菱形的判定即可证明结论； （2）如图：过点A作于点F，先求出的长，则可得的长，再在中，利用勾股定理求得，最后运用等面积法求解即可． 【详解】（1）证明：略． （2）解：如图：过点A作于点F，连接， ∵，，， ∴， ∵， ∴在中，， 由（1）已证：， ∴， ∴在中，． ∵， ∴，解得：． 35．（25-26九年级上·北京·阶段检测）如图，在菱形中，，点分别是上的动点（不与端点重合），且，连接交于点，则四边形的面积的最大值为_______． 【答案】 【分析】由“”可证，可得，求得，连接，过G作于N，过作于，则，由，可证明当重合时，有最大值，此时四边形的面积最大，接着证明垂直平分，得到，求出，利用勾股定理和含30度角的直角三角形的性质求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴和 都是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，连接，过G作于N，过作于， 则，其中，的长度都是不变的， 那么当最大时，四边形的面积最大， ∵ ∴当重合时，有最大值， ∵是等边三角形，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形的面积的最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 36．（25-26九年级上·江西鹰潭·阶段检测）如图，在中，，点D为的中点，过点D作，交于点E，过点A作，交的延长线于点F，连接． (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)当，时，求四边形的面积； (3)当满足什么条件时，四边形是正方形？ 【答案】(1)菱形；理由见解析 (2) (3)（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、菱形的判定、角平分线的性质、正方形的判定等知识，证明是解题的关键． （1）由得，而即可根据“”证明得，则四边形是平行四边形，因为，所以四边形是菱形； （2）先根据菱形的性质、等腰三角形的判定与性质可证，即四边形的面积倍的面积，再求得的面积即可解答； （3）当时，四边形是正方形，由，点C与点E重合，则，所以当时，四边形是正方形，据此即可解得． 【详解】（1）解：四边形是菱形．理由如下： ∵， ． ∵点D为的中点， ． 在和中 ， ， ， ∴四边形是平行四边形． ，交的延长线于点F， ， ∴四边形是菱形． （2）解：，四边形是菱形， ， ， ∵，， ∴, ∵, ∴， ∴四边形的面积倍的面积． ，， 的面积， ∴四边形的面积． （3）解：∵四边形是菱形， ∴当时，四边形是正方形． ， ∴点C与点E重合， ， ∴当满足时，四边形是正方形（答案不唯一）． 题型十三 正方形的判定与性质（共3小题） 37．（25-26八年级下·北京·期中）如图，已知为正方形对角线，为线段上一点，连接，过点作，，连接， (1)求 (2)连接，已知为中点，请写出与的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】（1）由正方形边性质得，，，结合，，可证明，从而得出； （2）延长至使，结合为中点证明，可得，，进而得，结合得，即可得，利用证，可得，由，得，即可得出． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ​∴， ∴； （2）解：， 证明：如图，延长到点，使，连接， ∵为中点， ∴， 在和中， ， ​∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵且， ∴， ∴． 【点睛】第一问是共顶点双直角手拉手全等模型（，共顶点），这是正方形中最经典的全等构造，通过“同角的余角相等”快速得到夹角相等，结合边相等证全等；第二问是倍长中线法，这是处理“中点+线段倍数关系”问题的通用方法，通过延长中线一倍构造全等，将分散的线段集中到同一个三角形中，再结合第一问的角证第二次全等． 38．（24-25八年级下·北京·期中）如图，在正方形中，M是对角线上的一动点，且，连接，过点B作的垂线，交的延长线于点E，交于点F，且． (1)依题意补全图1，求的大小（用含的式子表示）； (2)若点N在线段上，，连接．用等式表示，，之间的数量关系，并证明； (3)连接．若，请直接写出线段长度的最小值． 【答案】(1)补全图形见解析， (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据题意先补全图形，根据，，再进一步可得答案； （2）如图，连接，，交于，证明，可得共线，证明，再进一步利用勾股定理解答即可； （3）如图，取的中点，连接，，，证明，，，求解，结合，可得线段长度的最小值为. 【详解】（1）解：如图，补全图形如下： ∵正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 如图，连接，，交于， ∵正方形， ∴， ∵由（1）得：，，而， ∴， ∴， ∴， ∴共线， ∵正方形， ∴，，， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，取的中点，连接，，， ∵，，正方形， ∴，，， ∴， ∵， ∴线段长度的最小值为. 【点睛】本题考查的是互余的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，化为最简二次根式，作出合适的辅助线是解本题的关键. 39．（25-26八年级下·北京西城·期中）如图，正方形的边长为2，点为对角线上任意一点（不与、重合），连接，过点作，交线段于点，以、为邻边作矩形，连接． (1)如图1，求证：；    (2)如图2，当为的三等分点时（靠近点），求证：；    (3)设四边形的周长为，直接写出的取值范围是_________．    【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)． 【分析】（1）过点E作PQ⊥AD于点P，交BC于点Q，证明△AEP≌△EFQ，即可得出结论； （2）连接，过点作于点，利用正方形的性质及线段的和差关系可得，据此即可证明结论成立； （3）由正方形的判定与性质可得，再由全等三角形的判定与性质及最值问题即可求解． 【详解】（1）证明：如图，过点E作于点P，交于点Q，则，    ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图，连接，过点作于点，    ∵四边形是正方形，点在上， ∴，，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵、是的三等分点 ∴， ∴， ∴； （3）解：由（1）得，， 四边形是矩形， 四边形是正方形， ，， 四边形是正方形， ，， ， ， ， 在和中，， ， ， ， 随的增大而增大， 当时，最小，的值最小， 此时， 的最小值为， 当点E与点B或点D重合时，最大，m的值最大， 此时，m的最大值为， ∵点E不与B、D重合， ∴， 【点睛】此题重点考查正方形的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识与方法，解题的关键是正确地作出所需要的辅助线，构造全等三角形和矩形，此题难度较大，属于考试压轴题． 题型十四 特殊平行四边形的存在性问题（共3小题） 40．（25-26八年级下·北京·期中）对于平面直角坐标系中的点（不与原点重合），通过点和的直线上的任意一点称为的控制点．设． (1)点是中_________的控制点（填入所有满足要求的点）； (2)若点是线段上一点，点是的控制点，则线段长度的最小值是_________； (3)设，将线段向左平移个单位长度，向上平移个单位长度后得到线段．若存在点在正方形内（含边界），点在线段上，使得是的控制点，直接写出的取值范围． 【答案】(1)B、D (2) (3) 【分析】（1）因为点的控制点是在过点和的直线上，所以先分别求出A、B、C、D四点对应的直线方程；如果给定的点满足某条直线方程，那么该点就是对应点的控制点． （2）因为P是线段上的点，所以先设出P点坐标，再根据控制点定义写出Q点所在直线的方程；要求长度的最小值，可利用面积法求直角三角形斜边上的高，结合P点坐标的范围，求出距离的最小值． （3）先根据平移规则求出、的坐标；因为Q是P的控制点，所以Q点满足P对应的直线方程，结合P在正方形内（含边界）的条件，分类讨论点P在四个顶点处的解析式逐一验证，确定t的取值范围． 【详解】（1）解：对于点，其控制点在直线为过和的直线上， 设直线解析式为： 把代入得， 解得， ∴直线解析式为 ∴对：过的直线为， 点代入得，不满足； 对：过的直线为， 点代入得，满足； 对：过的直线为， 点代入得，不满足； 对：过的直线为， 点代入得，满足． 故点的控制点是B、D． （2）解：∵线段上的点满足，， 对应直线解析式为，设交x轴于点M，交y轴于N， 令，则； 令，则； ∴， ∴， ∴， ∵原点到直线的距离就是的最小值，设为d， ∴， ​​∴， 平方得​， ∵随增大而减小， ∴随增大而增大，即随增大而增大， ∴当时最小： ． （3）解：∵线段向左平移个单位、向上平移个单位，得到线段， ∴，， 对：过的直线为， 点代入， 得 ， 解得； 点代入， 得 ， 解得； ∴． 对：过的直线为， 点代入， 得 ， 解得； 点代入， 得 ， 解得； ∴； 对：过的直线为， 点代入， 得 ， 解得； 点代入， 得 ， 解得；∴． 对：过的直线为， 点代入， 得 ， 解得； 点代入， 得 ， 解得； ∴． 综上，的范围是． 41．（25-26八年级下·北京·阶段检测）在平面直角坐标系中，点和点是图形上的任意两点，记的最大值为，的最大值为，若，则称图形是“奇妙图形”．已知点，． (1)点，，，下列图形：①线段；②；③四边形，其中是“奇妙图形”的是________；（填序号） (2)在（1）的条件下，点在直线上，若线段是“奇妙图形”，求点的横坐标的值； (3)已知边长为的正方形中心为，两条对角线均垂直于坐标轴，若正方形上存在点，使得是“奇妙图形”，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①② (2)或 (3)或 【分析】（1）根据题意，分别找到每种图形的最左端与最右端，最高点与最低点，计算出对应的与的值，根据是否符合，进行判断即可； （2）设点的横坐标，先用待定系数法求出直线的解析式为，则，根据题意表示出线段的与，由构造方程，解出的值； （3）先分析点所在区域，分别过点、作坐标轴的平行线，将平面直角坐标系分为块区域，结合题干所给的新定义可得，符合要求的点在两段折线上．利用正方形的性质可得点，点，计算出点与点落在折线上时，对应的的值，从而确定的取值范围． 【详解】（1）解：如图， 对于①线段：由图可知，，， ∵， ∴线段是“奇妙图形”； 对于②：由图可知，，， ∵， ∴是“奇妙图形”； 对于③四边形：由图可知，，， ∵， ∴四边形不是“奇妙图形”； 综上，是“奇妙图形”的是①②； （2）解：设直线的解析式为，点的横坐标， 将，代入，得， ， 解得， ∴直线的解析式为， ∴点的坐标为， 根据题意，线段的，， ∵线段是“奇妙图形”， ∴，即， 解得或， ∴点的横坐标的值为或； （3）解：设点， 先分析点需满足的要求， 如图，分别过点、作坐标轴的平行线，将平面直角坐标系分为块区域， 当点在区域，即，时， ，， ∵， ∴，即， ∴此时点在直线上； 当点在区域，即，时， ，， ∴，解得， ∴此时点在直线上； 当点在区域，即，时， ，， ∴，即， ∴此时点在直线上； 同理，当点在区域、、时，对应的直线分别为，，， 当点在区域，即，时， ，， ∴，即，与题设矛盾， ∴该区域不存在符合要求的点； 同理，区域和区域也不存在符合要求的点； 综上，符合要求的点在上下两段折线上； 设正方形四个顶点分别为、、、， ①当点在点所在的上半折线上时，如图， ∵点的坐标为， ∴点在直线上， ∵四边形是正方形， ∴，， 在直角中，， ∴，解得， ∴， ∵、都与坐标轴垂直， ∴点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， 由图可知，点在直线上， ∴，解得； ②当点在点所在的上半折线上时，如图， 由图可知，点在直线上， ∴，解得， ∴当正方形与点所在的上半折线相交时，的取值范围为； ③当点在点所在的下半折线上时，如图， 由图可知，点在直线上， ∴，解得； ④当点在点所在的下半折线上时，如图， 由图可知，点在直线上， ∴，解得， ∴当正方形与点所在的下半折线相交时，的取值范围为； 综上所述，的取值范围为或． 【点睛】本题是图形与坐标的综合题，考查新定义，绝对值的意义，解绝对值方程，灵活运用数形结合思想和分类讨论思想是解题关键． 42．（25-26八年级下·北京·阶段检测）在平面直角坐标系中，不同的两点，给出如下定义： 若，则称点互为“等距点”．例如，点互为“等距点”． (1)四个点中，能与坐标原点互为“等距点”的是_____． (2)已知， ①若点是点的等距点，且点在轴上方，且满足的面积为1，求点的坐标． ②已知正方形对角线的交点为，正方形的各边均与坐标轴平行，且边长为2，若正方形上存在一点与点互为等距点，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)； (2)①点的坐标为或；②或． 【分析】（1）根据“等距点”定义，逐点验证即可得到答案； （2）①设，由题意得到，或再由面积为，列式，解得，代入或，即可得到点的坐标为或； ②根据题意，作出图形，设，当与点互为等距点，则情况：在正方形左边上；当在正方形右边上；当在正方形上边时；当在正方形下边时，分类讨论即可得到答案． 【详解】（1）解：根据“等距点”定义，得： ， ，即与坐标原点不是“等距点”， ∵， ，即与坐标原点互为“等距点”， ，， ，即与坐标原点不是“等距点”， ，， ，即与坐标原点互为“等距点”； 综上所述，与坐标原点互为“等距点”的是； （2）解：①∵，点是点的等距点， ∴设，则，即， 或， 如图所示： 的面积为1， 由图可知，， 解得：， ∵点在轴上方， ∴ ∴当点在上时，由得到；由得到， ∴点的坐标为， 当点在上时，由得到， ∴点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或； ②如图所示： ∵，正方形边长为，设，当与点互为等距点，则， ∴当在正方形左边上，有，，即，得到， 解得：或， 当在正方形右边上，有，，即，得到， 解得：或， 当在正方形上边时，有，，再由，解得或，则或， 解得：或， 当在正方形下边时，有，，再由，解得或，则或， 解得：或， 综上所述，若以点为中心，边长为正方形上存在一点与点互为等距点，的取值范围为或． 题型十五 三角形的中位线（共3小题） 43．（25-26八年级下·北京·期中）如图，，且，点E为中点，连接，绕着点A逆时针旋转，则的最大值是______． 【答案】 【分析】取的中点，连接、，则，由勾股定理可得，由三角形中位线定理可得，最后结合，计算即可得出结果． 【详解】解：如图，取的中点，连接、，则， ∵， ∴， ∵点E为中点， ∴为的中位线， ∴， ∵， ∴当点、、在同一直线上时，的值最大，为． 44．（25-26八年级下·北京·期中）如图，在中，，以为边在外作，对角线，交于点，连接．若，，则的最大值为_______．    【答案】 【分析】取的中点，连接、，由平行四边形的性质可得点是的中点，从而判断是的中位线，则．由直角三角形的性质可得，结合，从而求出的最大值． 【详解】解：如图，取的中点，连接、，    ∵在中，点为斜边的中点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴点是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴当、、三点共线时，取得最大值． 45．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）探究下列问题： 【问题提出】 (1)如图①，菱形的边长为10，对角线的长为16，点E，F分别是边，的中点，连接并延长与的延长线相交于点G，则的长为 ． 【问题探究】如图②，在中，点D，E分别是，的中点，点F是延长线上的一点，且，连接，． (2)求证：四边形是平行四边形； (3)若，求四边形的周长． 【问题解决】 (4)如图③，在矩形中，，E是上一点，，是上一动点，连接，取的中点F，连接，当线段取得最小值时，线段的长度是 ． 【答案】(1)； (2)证明见解析 (3) (4) 【分析】（1）根据菱形的性质求解，证明四边形是平行四边形即可得到答案． （2）证是的中位线，得，，再证，即可得出四边形是平行四边形； （3）由（2）得：，，四边形是平行四边形，得，再由勾股定理求出，即可求解． （4）如图，取的中点，的中点为F，证明在与的距离为的线段上运动，当时最小，此时四边形为矩形，四边形是矩形，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：①∵菱形的边长为10，对角线的长为16，记对角线的交点为， ∴，，，，， ∴，， ∵点E，F分别是边，的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴； （2）证明：∵点D，E分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （3）解：由（2）得：，，四边形是平行四边形， ∴， ∵D是的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形的周长． （4）解：∵矩形，， ∴，，， 如图，取的中点，的中点为F，取的中点，的中点，连接， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴在与的距离为的线段上运动， ∴当时最小，此时， 此时四边形为矩形，四边形是矩形， ∴，共线，， ∴，， ∴． 题型十六 一元二次方程配方法的应用（共3小题） 46．（25-26八年级上·湖南湘西·期末）通过课堂的学习知道，我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：例如，，像这样先添加一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称之为配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等等，如：因为，可知当时，的最小值是． 请阅读以上材料，并用配方法解决下列问题： (1)填空：多项式的最小值为______； (2)若满足，求的值； (3)已知是任何实数，若，，通过计算判断的大小关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了配方法、因式分解以及作差法比较大小： （1）通过配方法将多项式转化为平方项减常数的形式，利用平方的非负性求最小值； （2）把等式左边拆分为两个完全平方式的和，根据非负数的性质求出的值，再代入计算； （3）通过作差法比较与的大小，将差式配方后，利用平方的非负性判断差的正负，从而确定大小关系． 【详解】（1）解：， ， ． 故答案为：． （2）解：， ， ， ， ， 即， 解得：， ． （3）解： ， ， ， 即， 则． 47．（25-26九年级上·广东汕头·期末）阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值． 例题：求多项式的最小值． 解：．因为，所以， 因此，当时，有最小值，其最小值为1，即的最小值为1．通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题： (1)【理解探究】 已知代数式，则的最小值为_____； (2)【类比应用】 张大爷家有甲、乙两块长方形菜地，已知甲菜地的两边长分别是米、米，乙菜地的两边长分别是米、米，试比较这两块菜地的面积和的大小，并说明理由； (3)【拓展应用】 如图，在中，，，，点分别是线段和上的动点，点从点出发以的速度向点运动；同时点从点出发以的速度向点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设运动的时间为，则当为何值时？的面积最大，其最大值为多少？ 【答案】(1) (2)，见解析 (3)当时，的面积最大，且最大面积为 【分析】本题主要考查了配方法求最值、非负数的性质等知识点，根据阅读材料、理解配方法是解答本题的关键． （1）根据阅读材料提供的方法解答即可； （2）先列出甲乙两块菜地的面积的代数式，然后作差比较即可； （3）先用t表示出，然后表示出的面积，然后用配方法求得面积的最大值即可． 【详解】（1）解： 当时，，因此 有最小值，最小值为， ∴ A的最小值为， 故答案为：； （2）解：，理由如下： ，， ； （3）解：由题意得：， 当时，的面积最大，且最大面积为． 48．（25-26九年级上·辽宁本溪·阶段检测）【发现问题】 由得，；如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取到等号． 【提出问题】 若，，利用配方能否求出的最小值呢？ 【分析问题】 例如：已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【解决问题】 请根据上面材料回答下列问题： （1）______；______．（用“＝”“＞”“＜”填空） （2）当，式子的最小值为______； 【能力提升】 （3）当，则当______时，式子取到最大值； （4）用篱笆围一个面积为32平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米），问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ （5）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，、的面积分别是8和14，求四边形ABCD面积的最小值． 【答案】（1）＞，＝； （2）2； （3）； （4）这个长方形的长、宽分别为8米，4米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是16米； （5）四边形面积的最小值为． 【分析】本题主要考查阅读材料，材料阅读题是中学阶段所学习的重要内容，体会材料中的数学思想与方法，学会用新方法去解决数学中的问题，对学生的要求较高，是一道拔高型的综合题目． 【详解】解：（1）∵当，时， 有，即， 令，，则 ． 当且仅当，时，取“=”， 显然，， ∴． 同理可得，， 当且仅当，时，能取“=”， ∴． 故答案为：>，=． （2）当，令，， 则由，得 ． 当且仅当，时，即时，式子有最小值，最小值为2． ∴的最小值为：2． 故答案为：2． （3）∵， ∴， 则根据，得到 ， 当且仅当，时，， 又∵， ∴． 故答案为：． （4）设这个长方形垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边为y米， 则， ∴， ∴所用篱笆的长为米， （米）， ∵当且仅当时，的值最小， ∴或（舍）． ∴这个长方形的长、宽分别为8米，4米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是16米． （5）设点到的距离为，点到的距离为， 又∵、的面积分别是8和14， ∴， ∴ ∴ 。 当且仅当时，取等号， ∴四边形ABCD面积的最小值为． 题型十七 一元二次方程根与系数的应用（共3小题） 49．（25-26八年级下·安徽六安·期中）能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数称为勾股数． (1)已知a、b、c为勾股数，且，，求证：； (2)以正整数a、b、c为系数的方程有两个实数根、，已知存在实数p满足：，，求证：a、b、c一定是一组勾股数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据勾股定理得到，则，根据平方差公式得到，即可证明； （2）根据根与系数的关系得到：，，即，，进而得到，即可证明a、b、c一定是一组勾股数． 【详解】（1）证明：∵为勾股数，且，， ∴，则， ∴， ∴； （2）证明：根据根与系数的关系得到：，， 又∵，， ∴，， ∴， ∴，即， 则a、b、c一定是一组勾股数． 50．（25-26八年级下·浙江·期中）已知关于的一元二次方程：（）． (1)判断是否是方程的根，并说明理由； (2)现有一个关于的一元二次方程：，若方程，仅有一个相同的根，求证：； (3)若，方程的两实数根，满足，求，的值． 【答案】(1)不是，见解析 (2)见解析 (3)， 【分析】（1）把代入方程求解即可； （2）根据题意可得，则有，然后分类进行求解即可； （3）由题意易得，，则有，，然后根据进行分类求解即可． 【详解】（1）解：把代入， 得，不成立， 故不是方程的根． （2）证明：由题意，得， 则，即， 当时，方程，完全相同，不合题意， 当时，则，故（舍去），， 把代入，得． （3）解：由题意及一元二次方程根与系数的关系得，， ∵， ∴，， ∵， ∴． 当时，，可得，， ∴， 此时，舍去． 当时，即， 可得， ∴． 综上所述，，． 51．（25-26八年级下·安徽合肥·阶段检测）阅读以下材料，利用一元二次方程根与系数的关系解答下列问题： 已知实数a，b满足，，则可将a，b看作一元二次方程的两个不相等的实数根． (1)材料理解：已知实数a，b满足，，且，求的值． (2)思维拓展：已知实数a，b满足，，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系求得，然后对所求代数式因式分解后整体代入求值即可； （2）在方程的两边同时除以得，易得可将a，看作方程的两个不相等的实数根，则，，然后对所求代数式因式分解后整体代入求值即可． 【详解】（1）解：∵实数a，b满足，，且， ∴可将a，b看作方程的两个不相等的实数根， ，， ∴． （2）解：在方程的两边同时除以得， 又∵实数a满足，且， ∴可将a，看作方程的两个不相等的实数根， ，， ． 题型十八 换元法解一元二次方程（共3小题） 52．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）阅读材料，解答问题： 【材料1】 为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法． 【材料2】 已知实数m，n满足，且，显然m，n是方程的两个不相等的实数根，由一元二次方程根与系数的关系可知：，． 根据上述材料，解决以下问题： (1)直接应用： 材料1解题过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了 的数学思想方法，若实数a，b满足，则的值为 ； 用换元法解方程：． (2)间接应用： 已知实数m，n满足：，则的值 (3)拓展应用： 已知实数x，y满足：，求的值 【答案】(1)整体（或转化、化归）；5； (2)2或 (3)6 【分析】本题考查了换元法解方程和一元二次方程根与系数的关系，正确理解题意是解题的关键． （1）仿照题意利用换元法解方程即可； （2）仿照题意利用韦达定理进行求解即可； （3）设，则可得，进一步得到，再证明，推出，由 ，可得，即． 【详解】（1）解：材料1解题过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了整体的数学思想方法， 令，则， ， 解得，（舍）， ， 故的值为5； ， ， 令，则， ， 解得，（舍）， ， 解得； （2）实数m，n满足：， 当时，， 当实数m，n是方程的两个不相等的实数根， ， ， 的值为2或； （3）设， ， ， ， 整理得， ， ， ， ， ， ， ． 53．（24-25九年级上·江西吉安·期中）定义：我们把关于的一元二次方程与称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是． (1)写出一元二次方程的“友好方程”________； (2)已知一元二次方程的两根为，，它的“友好方程”的两根________，________．根据以上结论，猜想的两根，，与其“友好方程”的两根，之间存在的一种特殊关系为________； (3)已知关于的方程的两根是，，请利用（2）中的结论，求出关于的方程的两根． 【答案】(1)； (2)，，互为倒数； (3)， 【分析】本题主要考查了新定义问题，一元二次方程的一般形式，一元二次方程的解，用因式分解法和换元法解一元二次方程，掌握并灵活运用新定义是解题的关键． （1）根据“友好方程”的定义，即得答案； （2）先写出的友好方程，然后再解得其友好方程的答案，通过观察，可猜想出原方程与友好方程两根之间的关系； （3）由（2）可知，的两个根分别是，，将整理为：，那么有或，从而解得答案． 【详解】（1）解：一元二次方程与称为一对“友好方程”， 一元二次方程的“友好方程”为； 故答案为：； （2）解：根据题意可知，一元二次方程的友好方程为， 解，得到， 解得，， 观察可知，，； 所以猜想的两根，，与其“友好方程”的两根，之间存在的一种特殊关系是互为倒数． 故答案为：，，互为倒数； （3）解：已知关于的方程的两根是，， 那么的两个根分别是，， 将整理为：， 那么有或， 即，； 故答案为：，． 54．（25-26八年级上·上海虹口·期中）请阅读下列材料： 已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以， 把代入已知方程，得， 化简，得，故所求方程为， 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数． (2)关于的一元二次方程有一个实数根为2025，则方程一定有实数根_______． (3)已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为3、-2，求一元二次方程的两根． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解答该题的关键是弄清楚“换根法”的具体解题方法． （1）利用题中解法，设所求方程的根为，则，即，把代入已知方程即可； （2）根据方程根的定义得到，则，即可求出答案； （3）一元二次方程整理可得：，再与一元二次方程比较即可． 【详解】（1）解：设所求方程的根是，则， 所以， 把代入， 得； （2）解：关于的一元二次方程有一个实数根为2025， ， ， 是方程的实数根． 故答案为：． （3）解：关于的一元二次方程的两个实数根分别为3、-2， ， ， 方程 化为：方程， 整理得， 因式分解得， 解得． 题型十九 一元二次方程的实际应用（共3小题） 55．（25-26八年级下·广西百色·期中）为庆祝五四青年节，某校组织八年级男子班级篮球赛，为达到活动效果又节省比赛时间，先分A、B两个小组，由所有参赛班级随机抽签，再分别进行小组赛．当参赛队伍总数为偶数个时，A组、B组队伍数一样多；当参赛队伍总数为奇数个时，B组比A组队伍数多1个．小组赛采取单循环赛制（即每支队伍与组内其他队伍各打一场），按积分排名，取每组前2名晋级半决赛，最后进行决赛．积分规则：胜一场得2分，负一场得0分．小组赛结束后，某数学学习小组针对全部队伍累计总得分开展数学讨论．具体如下： (1)已知该校八年级共有10个班级参加比赛．小组赛结束后，全部队伍累计总得分共 分； (2)若当参赛队伍总数为偶数个时，小组赛结束后，全部队伍累计总得分为112分．求本次比赛参赛队伍个数； (3)当参赛队伍总数为奇数个时．小组赛结束后，全部队伍累计总得分能是162分吗？若能，请求出此时参赛的队伍数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)40 (2)本次比赛参赛队伍个数为16队 (3)能，参赛的队伍数为19队时，小组赛结束后，全部队伍累计总得分能是162分 【分析】（1）先求出A组、B组队伍数同为5个班级，且每个小组内场次为场，进而求出结论； （2）设A组、B组队伍数均为x队，列方程求解即可； （3）设A组有y队，则B组有队，列方程求解即可； 【详解】（1）解：∵该校八年级共有10个班级参加比赛， ∴A组、B组队伍数一样多，同为5个班级， ∴每个小组内场次为场， ∴小组赛结束后，全部队伍累计总得分共分； （2）解：因为参赛队伍总数为偶数个， 所以A组，B组队伍数一样多． 所以设A组、B组队伍数均为x队．则， 解得，（不符合题意，舍去）， 则队， 答：本次比赛参赛队伍个数为16队； （3）解：能，理由如下： 因为参赛队伍总数为奇数，所以设A组有y队，则B组有队． 所以， 解得，（不符合题意，舍去）， 所以， 则队， 答：参赛的队伍数为19队时，小组赛结束后，全部队伍累计总得分能是162分． 56．（2026·山东潍坊·二模）如图，点，分别是正方形的边和上的动点，连接，，且．过点作交于点，过点作交于点，与交于点，为了探究矩形的面积与矩形的面积之间的关系，数学兴趣小组进行了如下探索： (1)如图1，当，时，将绕点顺时针旋转得到，证得__________．在中用勾股定理可求得正方形的边长，进而求出，，，的值，则__________，__________． 【一般探究】 (2)当，时，借助图2探究与之间的关系，并说明理由． 【探究推广】 (3)如图3，若点，分别在线段，的延长线上，其它条件均不变，探究与之间的关系，并说明理由． 【答案】(1)，， (2)，理由如下： 将绕点顺时针旋转得到，连接， ，，，， ∵四边形是正方形， ， ， ， ∴点，，共线， ， ， ， ∴在和中， ， ， ， ， ， ， ∵， ∴四边形为平行四边形， ， ∴平行四边形为矩形， 同理可得，四边形为矩形， ∵四边形，为矩形， 设正方形边长为，已知，， ， ， ， ， ， ∴在中，， ， 整理得 ， ∵矩形的面积 ， 矩形的面积 ， ； (3)将绕点顺时针旋转得到，连接， ，，，， ∵四边形是正方形， ，， ， ， ∴点，，共线， ， ， ， ∴在和中， ， ， ， ， ， ， ， 同理可得， ∵， ∴四边形为矩形， ∵四边形为矩形， ， 设正方形边长为，，， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ∴四边形的面积 ， 四边形的面积 ， ． 【分析】（1）首先根据旋转的性质可得，，进而证明，利用“”证明，易得；设正方形的边长为，则，在中，利用勾股定理解得的值，进而确定的长度，再证明四边形，为矩形，可确定的长度，即可获得答案； （2）结合旋转的性质证明，易得；证明四边形，为矩形，设正方形边长为，进而可得， ，，，，在中，利用勾股定理可得 ，在利用矩形面积公式可得，，即可证明结论； （3）结合旋转的性质证明，利用全等三角形的性质证明；设正方形边长为，，，则， ， ，进而可得，，，在中，利用勾股定理可得，然后证明结论即可． 【详解】（1）解：根据题意，将绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设正方形的边长为，则， 在中，可得，即， 整理可得， 解得（舍去）， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ， ∴平行四边形为矩形， 同理可得，四边形为矩形， ∴， ∴，； （2）略 （3）略 57．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）如图，在中，，，，，垂足为．甲虫由点以的速度沿向点爬行，同时乙虫由点以的速度沿向点爬行，当乙虫到达目的地点时，甲乙两虫停止爬行． （1）则在_______秒时，甲、乙两虫所在位置与点组成的三角形是等腰三角形． （2）则在_______秒时，甲、乙两虫所在位置与点组成的三角形的面积等于． 【答案】 5 或 7 或 6+ 【分析】（1）设运动x秒时，甲虫所在位置为点P，乙虫所在位置为点Q，根据题意，得，，根据题意，分和时，两种情况求解即可． （2）利用分类思想，解方程计算即可． 【详解】（1）解：∵，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 设运动x秒时，甲虫所在位置为点P，乙虫所在位置为点Q， 根据题意，得，， 当即时，点P在线段上，连接， 此时 ， ∵甲、乙两虫所在位置与点组成的三角形是等腰三角形， ∴， ∴， 解得； 当即时，此时点P在线段上， ∴ ， ∵甲、乙两虫所在位置与点组成的三角形是等腰三角形， ∴， ∴， 解得；不满足范围，舍去， 综上所述，在秒时，甲、乙两虫所在位置与点组成的三角形是等腰三角形． （2）设运动x秒时，甲虫所在位置为点P，乙虫所在位置为点Q，根据题意，得，， 当点P在上时，此时 ， 根据题意，得， 即 ， 解得，； 当点P在上时，此时 ， 根据题意，得， 即 ， 整理，得， 解得， 故，（时间不能为负，舍去）； 此时， 综上所述，在5秒或7秒或秒时，甲、乙两虫所在位置与点组成的三角形的面积等于． 题型二十 数据的分析大题汇总（共3小题） 58．（2026·北京东城·一模）某学校组织“数学传统文化知识”竞赛，分为团体赛和个人赛．九年级组建了A，B两个各20人的集训团队，经过阶段性训练后进行预赛，对选手成绩（百分制）进行整理分析，给出如下部分信息： a．A队成绩的频数分布直方图如下（数据分成4组：，，，）： 其中组的数据是：80，82，82，84，85，88． b．B队成绩如下： 61，67，72，72，74，76，78，80，81，81， 83，83，83，83，85，85，87，92，93，95． c．A，B两队成绩的平均数、众数、中位数如下表： 平均数 众数 中位数 A队 81.55 76 m B队 80.55 n 82 根据以上信息，解答下列问题： (1)______，______； (2)若团队成绩按去掉一个最高分和一个最低分计算，则去掉后B队的平均分______（填“增大”“不变”“减小”），方差______（填“增大”“不变”“减小”）； (3)为选拔个人赛种子选手，年级对本次预赛得分90分及以上的甲、乙、丙三名选手进行了5次附加测试，测试成绩如下： 测试1 测试2 测试3 测试4 测试5 甲 90 96 93 96 90 乙 93 94 94 94 95 丙 95 91 93 92 t 排名规则为：5次测试成绩的平均数高的选手排名靠前；若平均数相同，方差小的选手排名靠前． 若丙在甲、乙、丙三名选手中的排名居中，则表中整数t的最小值为______，最大值为______． 【答案】(1)81，83 (2)增大，减小 (3)94，99 【分析】（1）根据中位数和众数的定义求解即可； （2）根据平均数和方差的定义求解即可； （3）分别求出甲、乙、丙的平均数，甲和乙的方差然后分三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：B队成绩中的数据出现的次数最多，故众数； A队中，两组的人数分别为2和7，而20个数据的中位数是第10，11个数据的平均数，那么第10，11个数据在这一组，是80，82， 因此中位数； （2）解：B队原来平均分为 则去掉一个最高分95和一个最低分61后平均数为，故平均数增大； 而方差反映的是数据波动程度，当去掉最高分和最低分两个极端值之后，数据更加集中，波动减小，故方差减小； （3）解：，； ，； ， ∴， 丙在甲、乙、丙三名选手中的排名居中，即丙排第2名， ∴①，， 解得 ∵为整数， ∴可取； ②， 则，解得 此时， 故符合题意； ③， 则，解得， 则， 故符合题意， 综上：的取值为， 故最小值为，最大值为． 59．（25-26九年级下·重庆永川·阶段检测）中考体考临近，为掌握本校九年级学生的体育训练情况，小开从甲、乙班各随机抽取20名学生，对其本月体测成绩进行了整理、描述和分析（成绩用x表示，满分50，共分为四组：A．，B．， C．，D．），下面给出了部分信息： 甲班20名学生的体测成绩在分数段的数据为：47，48，48，49，49，49，49，49， 乙班20名学生的体测成绩为：40，44，45，45，46，47， 47，48，48，48，49，49，49，49，49，50，50，50，50． 甲、乙两班抽取的学生体测成绩统计表 甲班 乙班 平均数 47.6 47.6 众数 50 b 中位数 a 48.5 方差 18.24 6.14 (1)上述表中，______，______，请补全条形统计图； (2)根据上述数据，你认为甲、乙两班中哪个班级的学生体测成绩更好？请说明理由（写出一条即可）； (3)该校三个校区九年级共有3600名学生参加本月体测，根据以上信息，试估计此次体测成绩获得满分的学生人数是多少？ 【答案】(1)49；49；图见解析 (2)甲班成绩较好，理由见解析 (3)估计这次体测成绩为满分的学生人数是1170人 【分析】（1）根据中位数的意义，将甲班的抽查的20人成绩排序找出处在中间位置的两个数的平均数即可为中位数，从乙班成绩中找出出现次数最多的数即为众数，再由甲班总人数可得D组人数，从而补全统计图； （2）根据题意和表格中的数据，甲班的平均数与乙班一样，根据中位数，众数可以分析得出； （3）根据题意，计算出两班级达到满分人数的百分比，然后乘以总人数即可解答本题． 【详解】（1）解：由题意得：甲班学生成绩处在中间位置的两个数是分数段的最后两个数：49，49． 故中位数． ∵乙班20名学生的体测成绩49出现了5次，最多次． ∴． 由题意，∵共抽取了20名学生， ∴D组人数为：（名），故可补全条形统计图如下． （2）解：甲班成绩较好，理由：甲班的平均数与乙班一样、但中位数，众数均大于乙班； （3）解：20个人中，甲班满分的有9人，乙班满分4人． ∴估计这次体测成绩为满分的学生人数是：（人）． 答：估计这次体测成绩为满分的学生人数是1170人． 60．（25-26九年级下·福建福州·期中）综合与实践 刻漏是中国古代科技的重要发明．体现了古人对“匀速运动”“流体力学”的早期探索，其原理影响了后续计时工具的发展，如图1所示为唐代制造的一种四级漏刻的示意图． 如图2所示，综合实践小组用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作了一个简易计时装置． 【实验操作】 综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为，开始放水后每隔观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如表： 0 1 2 3 4 观察值 【建立模型】 小组讨论发现：“”是初始状态下的数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似的刻画水面高度与流水时间的关系． (1)任务1：利用时，这两组数据求水面高度与流水时间的函数表达式． 【模型优化】 经检验，发现表中有三组观察值不满足任务1中求出的函数表达式，存在偏差，小组决定优化函数表达式，减少偏差．通过查阅资料后知道：为表中数据时，根据表达式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应的观察值之差的平方和，记为w，w越小，偏差越小． 为了减少偏差，小组同学利用“”和“”这两组数据得到函数表达式为：；利用“”和“”这两组数据得到函数表达式为：；利用“”和“”这两组数据得到函数表达式为：． 把自变量值代入各函数所对应的表达式，所得的值如表： 0 1 2 3 4 观察值 对于，计算，同理，的值为的值为． 任务2： (2)计算任务1得到的函数表达式的值； (3)写出你认为最优的函数表达式：__________． 【设计刻度】 得到优化的函数表达式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间． 任务3： (4)小方同学也记录了一组数据，请你结合实际情况，判断这组数据的准确性并说明原因． 0 1 2 3 4 观察值 10 5 2 【答案】(1) (2) (3) (4)准确性较高，原因见解析 【分析】（1）用待定系数法求出一次函数表达式； （2）利用题干所给偏差计算公式求出对应的值； （3）通过比较偏差确定最优函数表达式； （4）结合实际情况作答即可． 【详解】（1）解：设一次函数解析式是， ，，时，， 则， 解得：， 一次函数的解析式是； （2）解：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ； （3）解：由题意可知： 对于，， 的值为， 的值为， 其中对应的值最小为， 即的偏差最小， 为最优函数表达式； （4）解：准确性较高． 因为随着h降低，液体对容器底部压强变小，会使得水流速度变慢，满足题中出现的方程， 因此数据准确性较高． 1．已知方程，则该方程所有的实数根之和为（        ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系．通过换元法将原方程转化为关于的二次方程，求解后得到的值，再代回解关于的方程，仅有一个二次方程有实数根，利用根与系数关系求和． 【详解】解：设，则原方程化为． ∵， ∴判别式， ∴， 即，． ∴或． 对于，即，判别式，无实数根． 对于，即，有实数根，根之和为． ∴所有实数根之和为． 故选：A． 2．如图，在平面直角坐标系中，将置于第一象限，且轴．直线从原点出发沿轴正方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度与直线在轴上平移的距离的函数图象如图2所示，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意得，，进而，又根据，过点作于点，可得，则可求． 【详解】解：根据题意得：直线向右平移个单位长度时，直线经过点，此时直线的解析式为， 设直线与轴的交点为，与轴的交点为， 当时，，当时，， 则， ∴， ∴， 当直线经过点，点时， 设过点的直线与的交点为，过点的直线与的交点为， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 根据函数图象得， 设直线分别与轴交于点，点， 则四边形是平行四边形， ∴， ∴， 过点作于点， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．矩形中，为的中点，过点的直线分别与，交于点，． 连接 交于点．连接 ，．若 ， ．则下列结论：① ；② ；③ ， ；④四边形 是菱形；⑤．其中正确结论的个数是（     ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】根据矩形的性质以及已知条件证明，即可判断①，结合，证明为等边三角形，再证明，得到是的角平分线，故可证明③；根据，可得，即可证明四边形是平行四边形，再证明即可得到，故可证明④；根据，故无法证明，故②错误；根据含有角的直角三角形的三边关系和勾股定理可得，故可判断⑤． 【详解】解：连接 ∵四边形是矩形，O为的中点， ∴， ∴， ∴，故①正确； 四边形是矩形，O为的中点， ， 为等腰三角形， ， 为等边三角形， ， ， ， ， ，故③正确； , ， ， ， ，， ， 即， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， 平行四边形是菱形， 故④正确； ， 无法证明， 故②错误； ， ， 在中，， ， ， 在中，， ，故⑤正确． 故正确的为①③④⑤，为4个． 4．在等边中，为边的中线，将此三角形沿剪开成两个三角形，然后把这两个三角形拼成一个平行四边形．如果，那么在所有能拼成的平行四边形中，对角线长度的最大值是(     ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定方法作出图形，结合勾股定理分析计算． 【详解】解：∵在等边中，为边的中线，， ，， ∴ ①若拼成下图的平行四边形，则此时对角线长度为， ②若拼成下图的平行四边形，延长，过点作，交的延长线于点， 则四边形是矩形， ，， 在中， ③若拼成下图的平行四边形，延长，过点作，交的延长线于点， 则四边形是矩形， ， 在中， 综上，在所有能拼成的平行四边形中，对角线长度的最大值是． 5．如图，在正方形外取一点E，连接．过点A作的垂线交于点P．若，．下列结论正确的有（    ） ①；②点B到直线的距离为；③；④． A．①② B．②③ C．①③ D．①③④ 【答案】D 【分析】证明，则，进一步即可得到，即可判断①；过B作，交的延长线于F，则，得，，可得，证明是等腰直角三角形，得到，则，即可判断②；连接，由全等三角形的性质可得到，，根据，即可判断③；根据，得到，得到，即可判断④． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴；故①正确； 过B作，交的延长线于点F，则， ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 即点B到直线的距离为，故②不正确； 如图，连接， ∵， ∴，， ∴ ，故③正确； ∵， ∴， ∴， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有①③④ 6．如图，将直线向右平移个单位后得到直线，直线与直线：交于点，直线，分别交轴于点，，则的面积为（    ） A． B．5 C． D．7 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象平移问题，求直线围成的图形面积，两直线的交点与二元一次方程组的解等知识．先求得直线的解析式，再分别求出点，，的坐标，从而可求得的面积． 【详解】解：∵将直线向右平移个单位后得到直线， ∴直线的解析式为， 即直线的解析式为， ，解得：， ∵直线与直线：交于点， ∴， ， 当时，，解得：， ， 当时，，解得：， ∵直线，分别交轴于点，， ∴，， ∴， ∴的面积为． 故选：A． 7．已知平面直角坐标系中有三点，若直线将分成面积之比为两部分，则的值是（   ） A．2 B．2或 C．2或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了求一次函数解析式，一次函数与几何综合，求直线围成的图形面积等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 直线恒过点，与x轴交于点D，将分成两个小三角形，点D一定在线段上，分、两种情况求解，分别求出k的值． 【详解】解：设过点C的直线与x轴交于点D， ∵，， ∴， 当点为原点时，如图， ∵，， ∴，， ∴，符合要求， 此时直线过原点， ∴， 解得：； 当点在时，如图， 此时，， ∴，符合要求， 此时直线过和， ∴， ∴， 综上，k的值是或， 故选：D． 8．在箱线图中，上下四分位数之间的高度反映了中间50％数据的集中程度，中位数越靠近下四分位数，说明中间50％的数据中的________部分越集中（填“后半”或“前半”），这组数据的平均数________中位数（填“大于”或“小于”） 【答案】 前半 大于 【分析】本题考查箱线图（箱形图）的统计意义，涉及知识点：四分位数、中位数、平均数与数据分布的关系．解题技巧是理解箱线图中 “上四分位数 - 下四分位数” 代表中间 50% 数据的范围，中位数靠近下四分位数说明前半部分数据更集中；解题关键是结合数据偏态判断平均数与中位数的大小，易错点是混淆数据偏态对平均数和中位数的影响． 【详解】箱线图的中间 50% 数据是下四分位数（Q1）到上四分位数（Q3）之间的数据．中位数（Median）靠近下四分位数，说明从 Q1 到 Median 的距离小于 Median 到 Q3 的距离，即中间 50% 数据的前半部分（Q1 到 Median）更集中．中位数靠近下四分位数，说明数据呈右偏分布（大部分数据集中在左侧，右侧有长尾）．在右偏分布中，平均数会被右侧的长尾拉高，因此平均数大于中位数． 故答案为：前半；大于． 9．实数，，满足和． （1）若和均为正整数，则的值为______； （2）若存在唯一的实数使得这两个关系式都成立，则的值为______． 【答案】 3 【分析】（1）根据及，是正整数得出，或，，分别代入得出的值即可； （2）把代入可得，根据存在唯一的实数，得出判别式为，即可求出，代入方程求出，进而可得答案． 【详解】解：（1）∵，均为正整数且， ∴，或，， ∵， ∴当，时，； 当，时，． ∴的值为； （2）∵， ∴， ∵， ∴， 整理得：， ∵“存在唯一的实数b”， ∴该方程有且只有一个实数解， ∴， 解得：， 将代入方程得：， 解得：， ∴． 10．定义新运算，对于两个不相等的实数，我们规定符号表示中较小值，如．，，按照这样的规定，若，则的值是_________ 【答案】 或 【分析】本题考查了定义新运算．根据新运算定义，分 和 两种情况讨论，分别求解方程 【详解】当 时，， 代入得 ， 整理得 ， 解得 ， 取 （舍去 ）； 当 时，， 代入得 ， 整理得 ， 解得 ， 取 （舍去 ）； 当时，， ∵， ∴不成立． 故答案为： 或 ． 11．如图，在边长为6的正方形中，点E，F分别是边上的动点，且满足，与交于点O，点M是的中点，G是边上的点，，则的最小值是_______. 【答案】5 【分析】先根据正方形的性质证明，可得，再根据直角三角形的性质得，然后在延长线上截取，连接，根据“边角边”证明，可得，接下来说明当H、D、F三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值即为的长的一半，最后根据勾股定理解答即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴． ∵点M是的中点， ∴， 如图所示，在延长线上截取，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当H、D、F三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值即为的长的一半， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得． ∴的最小值为5． 12．如图，矩形中，在上，连接，，将沿翻折，点的对应点恰好落在上．若，，则________，，两点间的距离为________． 【答案】 / 【分析】根据折叠的性质可得，，，在中利用勾股定理求出的长，设，在中利用勾股定理构建关于的方程求解即可得到的长；连接交于点，根据线段垂直平分线的判定可得垂直平分，在中利用勾股定理求出，再利用等面积法求出的长，进而可得的长． 【详解】解：由折叠的性质可知，， 四边形是矩形， ，， 点在上 在中， 由勾股定理得 设，则， 在中，由勾股定理得 即 解得 连接交于点 ，， 垂直平分， ，， 在中，由勾股定理得， ， ， ， ． 13．在平面直角坐标系中，对于点，给出如下定义：当点满足时，称点是点的对消点． 已知，点． (1)在，，中，点的对消点有 ； (2)点在直线上，若点的对消点也是点的对消点，求点的坐标； (3)已知线段和正方形，其中，正方形的四个顶点的坐标分别为，，，，对于正方形边上的每一个点F，线段上总存在线段上每个点的对消点．若的最小值为4，直接写出t的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）由对消点的定义得出点的对消点满足，由此分析即可得出结果； （2）设，由对消点的定义并结合题意得出，，，从而可得，求出的值即可得出结果； （3）由对消点的定义得出，即一个点和它的“对消点”连接的中点的横纵坐标互为相反数，画出图象，结合图象计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵点， ∴根据对消点的定义可得，点的对消点满足，即， ∴满足条件，，不满足条件， ∴点的对消点是； （2）解：∵点在直线上， ∴设， ∵点的对消点也是点的对消点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为； （3）解：由对消点定义可得：， ∴，即一个点和它的“对消点”连接的中点的横纵坐标互为相反数， 如图： 由题意可得，对消点并不只有一个点，而是一条与平行的直线，且点和这条与平行的直线到的距离相等，即在的方向上，使点与正方形跨度的宽度为， ∴或， 解得或． 14．在平面直角坐标系中，对于任意两点，，定义如下：点与点的“直角距离”为，记作． 例如：点与的“直角距离”． (1)已知点、，中，与原点的“直角距离”等于的点是________． (2)如图，已知点，，根据定义可知线段上的任意一点与原点的“直角距离”都等于．若点与原点的“直角距离”，即． ①若，则点的坐标为________． ②请你在图中将所有满足条件的点组成的图形补全； (3)已知直线和点，若直线上存在点，满足，直接写出的取值范围________． 【答案】(1) (2)①或②见解析 (3) 【分析】（1）根据“直角距离”分别计算四个点到原点的距离，即可判断； （2）①由得，把代入，求出的值即可； ②的图形是以为顶点的正方形，补全图形即可； （3）根据，并由（2）可得：点D在正方形边上，如图，通过观察图可得：k的最大值是过点E，Ｎ的直线，k的最小值是过F的直线，代入可得结论． 【详解】（1）解：∵点、， ∴，，， ∴与原点的“直角距离”等于的点是； （2）解：∵，即， ∴， 把代入，得：， ∴， 解得或， ∴点的坐标为或； ②补全图形如下： （3）解：∵，则点D在正方形边上，如图2， ∴，，， 又∵点D在直线，又直线过点， 由图2可知：当直线过点E，Ｎ时，通过观察图可得：k的最大值是过点E，Ｎ的直线，k的最小值是过F的直线， 把点代入中，，， 把点F的坐标代入中，，， 故k的取值范围是：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 期末真题百练通关（60题20大压轴题型） 题型1 从函数图象获取信息 题型11 矩形的判定与性质 题型2 坐标的平移问题 题型12 菱形的判定与性质 题型3 点坐标规律探索 题型13 正方形的判定与性质 题型4 一次函数的图象 题型14 特殊平行四边形的存在性问题 题型5 一次函数的性质 题型15 三角形的中位线 题型6 一次函数的平移问题 题型16 一元二次方程配方法的应用 题型7 一次函数的实际应用 题型17 一元二次方程根与系数的应用 题型8 一次函数与不等式、方程的关系 题型18 换元法解一元二次方程 题型9 一次函数与几何综合 题型19 一元二次方程的实际应用 题型10 平行四边形的判定与性质 题型20 数据的分析大题汇总 题型一 从函数图象获取信息（共3小题） 1．（25-26八年级下·北京·期中）同一条公路连接，，三地，地在，两地之间．甲、乙两车分别从地、地同时出发前往地．甲车速度始终保持不变，乙车中途休息一段时间，继续行驶，乙车休息前、后的速度不变（乙车加、减速时间忽略不计）．甲、乙两车之间的距离 与时间的函数关系如图所示．，两地相距__________；当甲、乙两车出发后行驶__________h时，两车第一次相遇． 2．（24-25八年级上·全国·期末）甲、乙两人同时骑自行车分别从A，B两地出发到A，B两地之间的C地，且A，B，C三地在同一直线上．当乙到达C地时甲还未到达，乙在C地等了5分钟，接到甲的电话说他的自行车坏了需要工具修理，于是乙在C地拿了工具箱立即以原来倍的速度前往甲坏车处，乙与甲汇合后帮助甲花了10分钟修好自行车，然后两人以甲原来倍的速度骑行同时到达C地．甲、乙两人距C地的距离之和y（米）与甲所用时间x（分钟）之间的函数关系如图所示（乙接电话和找工具箱的时间忽略不计）．则以下说法错误的是（　　） A．甲原来的速度为150米/分钟，乙原来的速度为200米/分钟 B．甲坏车处距离C地2625米 C．A，C两地之间的距离为4125米 D．A，B两地之间的距离为6875米 3．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期中）根据素材，探索完成任务． 如何设计游览时间的方案？ 【素材1】 某风景区内景点示意图如图1所示．景区内有一辆免费的有轨电动车匀速在景区大门和影视城之间不间断的来回载客，最后一班有轨电动车19：00到景区大门，游客只能在每个景点乘车到下一个景点游览（假设游客上下车时间忽略不计）． 【素材2】 小聪和小明相约到风景区游玩，小聪12：40到景区大门，13：00乘坐从景区大门到影视城的有轨电动车前往景点，图2表示了小聪、有轨电动车离景区大门的路程s（米）与经过的时间t（分）之间关系的不完整图像． 【素材3】 小明13：30到景区大门，两人相约在秀湖见面后共同在秀湖游玩一段时间，然后一起先去湿地公园再去影视城游玩，最后直接返回景区大门，两人游玩影视城后，必须在17：15之前到景区大门处，并且两人相约在湿地公园游览时间不少于50分钟，在影视城游览时间不少于70分钟． 问题解决 【任务1】 确定车速：有轨电动车的平均速度是___________米/分． 【任务2】探究时间：求小明几点到达秀湖？ 【任务3】 拟定游览时间方案：请你根据素材直接写出符合条件的游览湿地公园和影视城的方案共有几种？并设计其中一种符合条件的游览湿地公园和影视城的方案． 共有____________种游览方案； 你设计的方案： 到达湿地公园时间：___________；在湿地公园停留___________分钟； 到达影视城时间：___________；在影视城停留___________分钟； 回到景区大门时间：___________； 题型二 坐标的平移问题（共3小题） 4．（25-26七年级下·北京海淀·期中）在平面直角坐标系中，．若为矩形内（不包括边界）一点，过点分别作轴和轴的平行线，这两条平行线将矩形分为四个小矩形，若这四个小矩形中有一个矩形的周长等于的长，则称为矩形的矩宽点．例如：下图中的点为矩形的一个矩宽点． (1)在点，，中，矩形的矩宽点是_____； (2)若点为矩形的矩宽点，直接写出的值_____； (3)将矩形的矩宽点按其坐标特征平移：若点横坐标大于纵坐标，则点向左平移一个单位；若点的横坐标小于等于纵坐标，则点向右平移一个单位．点平移后的点为点，则称点为矩形的矩宽平移点．已知点恰好为矩形的矩宽平移点，请直接写出点的坐标_____． 5．（24-25八年级上·北京·期中）在平面直角坐标系中，对于给定的两点P，Q，若存在点M，使得的面积等于1，即，则称点M为线段的“单位面积点”． 解答下列问题： 如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为． (1)在点，，，中，线段的“单位面积点”是_____． (2)已知点，，将线段沿y轴向上平移个单位长度，使得线段上存在线段的“单位面积点”，直接写出的取值范围． (3)已知点，，点M，N是线段的两个“单位面积点”，点M在的延长线上，若，直接写出点N纵坐标的取值范围． 6．（25-26七年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，对于点，和图形，将图形沿射线方向平移，平移距离为线段的长，得到图形，若点在图形上，则称点为图形关于点的“移动关联点”．如图，点，． (1)若点为线段关于点的“移动关联点”，则点可以是____；，，； (2)已知正方形，点，点，点，点． ①当时，点在上，若点为正方形关于点的“移动关联点”，则点的横坐标的取值范围是____； ②已知点，，点在正方形上，若线段上任意一点，都是线段关于点的“移动关联点”，直接写出的取值范围． 题型三 点坐标规律探索（共3小题） 7．（25-26七年级下·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“”方向排列，如，根据这个规律探索可得第2026个点的坐标是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26七年级下·北京海淀·期中）在平面直角坐标系中，对点进行“幂变换”后得到新的坐标，第一次“幂变换”记为，“幂变换”法则如下：，且规定（为大于1的整数）． 例如：， ， ， 则___________，___________． 9．（25-26七年级下·北京大兴·期中）在平面直角坐标系中，对于点，，称点为点P关于点M的变换点． (1)点Q为点关于点的变换点，点Q的坐标为_____； (2)如图，正方形四个顶点的坐标分别是，，，．已知点，点为点关于点M的变换点． ①若点在正方形的边上，则a的值为_____； ②点，分别为点，关于点M的变换点，若三角形与正方形有公共点，则a的最大值为___，a的最小值为____． 题型四 一次函数的图象（共3小题） 10．（25-26八年级上·全国·期末）一次函数与（m，n常数，且）是在同一平面直角坐标系中的图象大致是（    ） A． B． C． D． 11．（24-25八年级上·北京·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，． (1)若一次函数的图象经过M点，则b_____0 (填“”或“”或“”)； (2)若一次函数的图象经过三个点中的某一点，求b的最大值； (3)①已知直线，则此直线一定过定点 ； ②当时，在图中用阴影表示直线扫过的区域，并判断在点M，N，P中直线不可能经过的点是 ． 12．（2025·河北唐山·一模）定义：平面直角坐标系中，对于，两点，称为E，F两点的“折线距离”，记为． 【探究应用】 平面直角坐标系中，、． （1）如图1，轴，轴，________； （2）如图2，一次函数的图象与x轴交于点M，与y轴交于点N，在线段上任取一点P，是否为定值？如果是，请求出定值，如果不是，请说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图3，若点Q是直线的图象上一动点，画出满足的所有点Q构成的线段，并直接写出此线段的长度； （4）直接写出满足的所有点R围成图形的面积． 题型五 一次函数的性质（共3小题） 13．（25-26八年级下·北京·期中）小明探究函数的图象和性质的过程如下．请将小明的探究过程补充完整，并解决问题． (1)函数的自变量的取值范围是_______，的取值范围是______； (2)由设计如下画图方案：将直线在轴下方的部分沿轴翻折，直线的其余部分保持不变，得到函数的图象．在平面直角坐标系中画出函数的图象； (3)利用函数图象解决问题： ①当时，的取值范围是___________； ②当时，的取值范围是___________； ③若对于的每一个值，函数的值都小于函数的值，直接写出的取值范围． 14．（25-26八年级上·四川成都·期末）如图，已知直线与轴交于点，直线与轴，轴分别交于点和点，且两直线交于点点坐标为． (1)求的值． (2)在轴上是否存在一点，使得与面积相等？若存在，请求出的坐标；若不存在，请说明理由． (3)直线上是否存在点，使得．若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由． 15．（25-26八年级上·广东茂名·期末）【基础知识】 将含有的三角板的直角顶点放在直线上，过两个锐角顶点分别向直线作垂线，这样就可以得到两个全等的直角三角形． （1）如图1，等腰直角中，，过点作交于点，过点作交于点．直接写出与的数量关系__________． 【基本技能】 （2）已知：直线的图象与轴交于点，与轴交于点． ①如图2，当时，在第一象限构造等腰直角，求直线的表达式； ②如图3，当的取值变化，点随之在负半轴上运动，在第二象限构造等腰直角，，连接，问的面积是否发生变化？若不变，求出面积；若变，请说明理由． 【应用拓展】 （3）如图4，直线的图象与轴交于点，与轴交于点，若点在轴上，且，请直接写出点的坐标． 题型六 一次函数的平移问题（共3小题） 16．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图1，在平面直角坐标系中，点A坐标为，点B坐标为，以线段为底边向右作等腰直角． (1)求边的长和点C的坐标． (2)如图2，将等腰直角向右平移m个单位，记平移后的三角形为，点F恰好在直线上，求直线对应的函数表达式． (3)在（2）的条件下，若点G为直线上的动点，使，请直接写出点G的坐标． 17．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，点是轴上一点，把坐标平面沿直线折叠，使点的对应点刚好落在轴上，作直线． (1)求直线对应的函数表达式； (2)求的值： (3)点为直线上一点，点，连接．若，求点的坐标； (4)若直线上的一点到直线的距离是2，请直接写出点的坐标． 18．（2025·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，点，点，若将直线向上平移c个单位长度后与线段有交点，则c的取值范围是________． 题型七 一次函数的实际应用（共3小题） 19．（2024·河南郑州·三模）“五一”期间，某服装商场举行促销活动，活动方案如下： 方案 促销方案 方案一 所有服装全场六折 方案二 “满送”（如：购买元服装，赠元购物券；购买元服装，赠元购物券） 方案三 “满减”（如：购买元服装，只需付元；购买元服装，只需付元） （注：一人只能选择一种方案） (1)小明想买一件上衣和一件裤子，已知上衣的标价为元，小明通过计算发现，若按方案一购买这两种服装与用方案二先买上衣再买裤子的花费相同． 求裤子的标价； 请你帮小明设计此次购买应选择哪种方案，并说明理由； (2)小明研究了该商场的活动方案三，发现实际售价（元）可以看成标价（元）的函数，请你写出，当时，关于的函数表达式为______，当时，关于的函数表达式为______，当时，关于的函数表达式为______； (3)小明准备用方案一或方案三购买一件标价为元的服装，当的取值范围是多少时，用方案三购买更合算？ 20．（2026·河南·一模）河南水果特产资源丰富，诸如灵宝苹果、孟津葡萄、西峡猕猴桃、荥阳柿子……数不胜数，某电商对甲、乙两种河南特产精品水果进行销售，若销售甲种水果千克，乙种水果千克，共收入元；若销售甲种水果千克，乙种水果千克，共收入元．若顾客在限定时间内拍下甲种水果超过千克，则超过部分的价格打八折，乙种水果的销售价格不变，设电商销售甲种水果千克，甲种水果的销售额（元）与（千克）之间的函数关系如图所示． (1)求的值； (2)若电商计划在限定时间内销售甲、乙两种水果共千克，且甲种水果不少于千克，但又不超过千克，如何分配甲、乙两种水果的销售量，才能使电商的销售额达到最大？最大值为多少？ 21．（2026八年级下·全国·专题练习）甲、乙两地间的直线公路长为400km，一辆轿车和一辆货车分别沿该公路从甲、乙两地以各自的速度匀速相向而行．货车比轿车早出发1h，途中轿车出现了故障，停下维修，货车仍继续行驶，1h后轿车故障排除，此时接到通知，轿车立刻掉头按原路原速返回甲地．已知两车距各自出发地的距离y（单位：km）与轿车所用的时间x（单位：h）的关系如图所示，请结合图象解答下列问题： (1)货车的速度是________km/h；轿车的速度是________km/h；t的值为________． (2)求轿车距其出发地的距离y关于所用时间x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围． (3)请直接写出货车出发多长时间两车相距90km． 题型八 一次函数与不等式、方程的关系（共3小题） 22．（25-26八年级上·江苏淮安·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，点在直线上，直线经过点和点． (1)直接写出点的坐标为_____，直线的函数表达式为______； (2)判断的形状并说明理由； (3)点是直线上一个动点，且，请仅用无刻度的直尺和圆规在图2中画出满足条件的点，并直接写出点的坐标为______．（不写作法，保留作图痕迹） 23．（24-25八年级下·北京怀柔·期末）小明根据学习函数的经验，探究了函数的图象与性质，请将小明的探究过程补充完整，并解决相关问题． (1)下表是y与x的几组对应值： x … 0 1 2 3 … y … 0 2 m 2 0 … 写出表中m的值：______． (2)如图，在平面直角坐标系中，画出该函数的图象． (3)小明结合该函数图象，解决了以下问题： ①对于函数，当时，的取值范围是______； ②方程有______个解； ③直接写出不等式的解集为______． 24．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，直线 分别与x轴、y轴交于点， B，直线 分别与x轴、y轴交于点C，D，点C在点A的左边，且 ，直线与直线交于点． (1)求直线与 的函数表达式． (2)求的面积． (3)根据图像写出关于x的不等式 的解集． (4)在直线 上是否存在一点 P，使得 ？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 题型九 一次函数与几何综合（共3小题） 25．（25-26八年级上·安徽宿州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于点，，点C为x轴正半轴上一点，连接，将沿所在直线折叠，点B恰好与y轴上的点D重合． (1)求直线对应的函数表达式； (2)求的长； (3)P为直线上一点，，求点P的坐标． 26．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的全等模型． 【模型学习】如图1，已知在中，，直线EF经过点A，于点E，于点F．易证：． （1）如图2，平面直角坐标系中，点B的坐标为，求直线的函数关系式； 【类比探究】 （2）如图3，一次函数的图象分别交x轴和y轴于M、N两点，点D坐标为． ①连接，则_____； ②点P在直线上，连接，当与直线的夹角为时，求出点P的坐标； 【拓展探究】 （3）在（2）的条件下，若一次函数的图象与直线相交所夹锐角大于，请直接写出k的取值范围． 27．（24-25八年级上·河南郑州·期末）【模型呈现】如图1，在中，，直线m经过点A，过点B作于点D，过点C作于点E，试说明：． 【模型应用】如图2，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点A作线段且，直线交x轴于点D． ①点B的坐标为 ，点C的坐标为 ； ②求直线的函数表达式． 【模型迁移】如图3，在平面直角坐标系中，点是点C关于y轴的对称点，点Q是x轴上一个动点，点P是直线上一个动点，若是以点为直角顶点的等腰直角三角形，请求出点Q的坐标． 题型十 平行四边形的判定与性质（共3小题） 28．（2026·北京·模拟预测）如图，在中，，，是边上两点，且，．点与点关于直线对称，点与点关于直线对称，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的长． 29．（25-26八年级下·北京·期中）如图，中，，，为边上一动点，为平面内一点，则以点、、、为顶点的平行四边形有______个，的最小值为______． 30．（25-26八年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，对于没有公共点的两个图形M，N给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，若P，Q两点间距离的最大值为，最小值为，则称比值为图形M和图形N的“距离关联值”，记为．已知顶点坐标为，，，． (1)若E为边上任意一点，则的最大值为_____，最小值为_____，因此 (2)若为对角线上一点，为对角线上一点，其中． ①若，则_____； ②若，请直接写出m的取值范围． 题型十一 矩形的判定与性质（共3小题） 31．（25-26九年级上·四川泸州·期中）如图，矩形中，O为中点，过点O的直线分别与，交于点E，F，连接交于点M，连接，．若，，则下列结论： ①，； ②； ③四边形是菱形； 其中正确结论的个数是（ ） A．3 B．2 C．1 D．0 32．（24-25八年级下·北京·期中）已知矩形，点E在射线上，是矩形外角的角平分线． (1)如图1，当四边形是正方形，点E是边的任意一点，且交于点G． ①求证：． ②在①的条件下，如图2，连接，过点E作，垂足为P，若正方形边长为4，当四边形是平行四边形时，直接写出的长_______． (2)如图3，四边形是矩形，在线段的延长线上取一点E，使，交于点H，交于点G，连接，依题意补全图形，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 33．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）如图，在矩形中，，的平分线交于点，，垂足为，连结并延长交于点，连结交于点下列结论：① ②③是的中点④；其中正确的是_____． 题型十二 菱形的判定与性质（共3小题） 34．（25-26八年级下·北京·期中） 如图，在中， ，点在上，．过点分别作，的平行线交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，若，求的长． 35．（25-26九年级上·北京·阶段检测）如图，在菱形中，，点分别是上的动点（不与端点重合），且，连接交于点，则四边形的面积的最大值为_______． 36．（25-26九年级上·江西鹰潭·阶段检测）如图，在中，，点D为的中点，过点D作，交于点E，过点A作，交的延长线于点F，连接． (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)当，时，求四边形的面积； (3)当满足什么条件时，四边形是正方形？ 题型十三 正方形的判定与性质（共3小题） 37．（25-26八年级下·北京·期中）如图，已知为正方形对角线，为线段上一点，连接，过点作，，连接， (1)求 (2)连接，已知为中点，请写出与的数量关系，并证明． 38．（24-25八年级下·北京·期中）如图，在正方形中，M是对角线上的一动点，且，连接，过点B作的垂线，交的延长线于点E，交于点F，且． (1)依题意补全图1，求的大小（用含的式子表示）； (2)若点N在线段上，，连接．用等式表示，，之间的数量关系，并证明； (3)连接．若，请直接写出线段长度的最小值． 39．（25-26八年级下·北京西城·期中）如图，正方形的边长为2，点为对角线上任意一点（不与、重合），连接，过点作，交线段于点，以、为邻边作矩形，连接． (1)如图1，求证：；    (2)如图2，当为的三等分点时（靠近点），求证：；    (3)设四边形的周长为，直接写出的取值范围是_________．    题型十四 特殊平行四边形的存在性问题（共3小题） 40．（25-26八年级下·北京·期中）对于平面直角坐标系中的点（不与原点重合），通过点和的直线上的任意一点称为的控制点．设． (1)点是中_________的控制点（填入所有满足要求的点）； (2)若点是线段上一点，点是的控制点，则线段长度的最小值是_________； (3)设，将线段向左平移个单位长度，向上平移个单位长度后得到线段．若存在点在正方形内（含边界），点在线段上，使得是的控制点，直接写出的取值范围． 41．（25-26八年级下·北京·阶段检测）在平面直角坐标系中，点和点是图形上的任意两点，记的最大值为，的最大值为，若，则称图形是“奇妙图形”．已知点，． (1)点，，，下列图形：①线段；②；③四边形，其中是“奇妙图形”的是________；（填序号） (2)在（1）的条件下，点在直线上，若线段是“奇妙图形”，求点的横坐标的值； (3)已知边长为的正方形中心为，两条对角线均垂直于坐标轴，若正方形上存在点，使得是“奇妙图形”，直接写出的取值范围． 42．（25-26八年级下·北京·阶段检测）在平面直角坐标系中，不同的两点，给出如下定义： 若，则称点互为“等距点”．例如，点互为“等距点”． (1)四个点中，能与坐标原点互为“等距点”的是_____． (2)已知， ①若点是点的等距点，且点在轴上方，且满足的面积为1，求点的坐标． ②已知正方形对角线的交点为，正方形的各边均与坐标轴平行，且边长为2，若正方形上存在一点与点互为等距点，请直接写出的取值范围． 题型十五 三角形的中位线（共3小题） 43．（25-26八年级下·北京·期中）如图，，且，点E为中点，连接，绕着点A逆时针旋转，则的最大值是______． 44．（25-26八年级下·北京·期中）如图，在中，，以为边在外作，对角线，交于点，连接．若，，则的最大值为_______．    45．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）探究下列问题： 【问题提出】 (1)如图①，菱形的边长为10，对角线的长为16，点E，F分别是边，的中点，连接并延长与的延长线相交于点G，则的长为 ． 【问题探究】如图②，在中，点D，E分别是，的中点，点F是延长线上的一点，且，连接，． (2)求证：四边形是平行四边形； (3)若，求四边形的周长． 【问题解决】 (4)如图③，在矩形中，，E是上一点，，是上一动点，连接，取的中点F，连接，当线段取得最小值时，线段的长度是 ． 题型十六 一元二次方程配方法的应用（共3小题） 46．（25-26八年级上·湖南湘西·期末）通过课堂的学习知道，我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：例如，，像这样先添加一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称之为配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等等，如：因为，可知当时，的最小值是． 请阅读以上材料，并用配方法解决下列问题： (1)填空：多项式的最小值为______； (2)若满足，求的值； (3)已知是任何实数，若，，通过计算判断的大小关系． 47．（25-26九年级上·广东汕头·期末）阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值． 例题：求多项式的最小值． 解：．因为，所以， 因此，当时，有最小值，其最小值为1，即的最小值为1．通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题： (1)【理解探究】 已知代数式，则的最小值为_____； (2)【类比应用】 张大爷家有甲、乙两块长方形菜地，已知甲菜地的两边长分别是米、米，乙菜地的两边长分别是米、米，试比较这两块菜地的面积和的大小，并说明理由； (3)【拓展应用】 如图，在中，，，，点分别是线段和上的动点，点从点出发以的速度向点运动；同时点从点出发以的速度向点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设运动的时间为，则当为何值时？的面积最大，其最大值为多少？ 48．（25-26九年级上·辽宁本溪·阶段检测）【发现问题】 由得，；如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取到等号． 【提出问题】 若，，利用配方能否求出的最小值呢？ 【分析问题】 例如：已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【解决问题】 请根据上面材料回答下列问题： （1）______；______．（用“＝”“＞”“＜”填空） （2）当，式子的最小值为______； 【能力提升】 （3）当，则当______时，式子取到最大值； （4）用篱笆围一个面积为32平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米），问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ （5）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，、的面积分别是8和14，求四边形ABCD面积的最小值． 题型十七 一元二次方程根与系数的应用（共3小题） 49．（25-26八年级下·安徽六安·期中）能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数称为勾股数． (1)已知a、b、c为勾股数，且，，求证：； (2)以正整数a、b、c为系数的方程有两个实数根、，已知存在实数p满足：，，求证：a、b、c一定是一组勾股数． 50．（25-26八年级下·浙江·期中）已知关于的一元二次方程：（）． (1)判断是否是方程的根，并说明理由； (2)现有一个关于的一元二次方程：，若方程，仅有一个相同的根，求证：； (3)若，方程的两实数根，满足，求，的值． 51．（25-26八年级下·安徽合肥·阶段检测）阅读以下材料，利用一元二次方程根与系数的关系解答下列问题： 已知实数a，b满足，，则可将a，b看作一元二次方程的两个不相等的实数根． (1)材料理解：已知实数a，b满足，，且，求的值． (2)思维拓展：已知实数a，b满足，，且，求的值． 题型十八 换元法解一元二次方程（共3小题） 52．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）阅读材料，解答问题： 【材料1】 为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法． 【材料2】 已知实数m，n满足，且，显然m，n是方程的两个不相等的实数根，由一元二次方程根与系数的关系可知：，． 根据上述材料，解决以下问题： (1)直接应用： 材料1解题过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了 的数学思想方法，若实数a，b满足，则的值为 ； 用换元法解方程：． (2)间接应用： 已知实数m，n满足：，则的值 (3)拓展应用： 已知实数x，y满足：，求的值 53．（24-25九年级上·江西吉安·期中）定义：我们把关于的一元二次方程与称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是． (1)写出一元二次方程的“友好方程”________； (2)已知一元二次方程的两根为，，它的“友好方程”的两根________，________．根据以上结论，猜想的两根，，与其“友好方程”的两根，之间存在的一种特殊关系为________； (3)已知关于的方程的两根是，，请利用（2）中的结论，求出关于的方程的两根． 54．（25-26八年级上·上海虹口·期中）请阅读下列材料： 已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以， 把代入已知方程，得， 化简，得，故所求方程为， 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数． (2)关于的一元二次方程有一个实数根为2025，则方程一定有实数根_______． (3)已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为3、-2，求一元二次方程的两根． 题型十九 一元二次方程的实际应用（共3小题） 55．（25-26八年级下·广西百色·期中）为庆祝五四青年节，某校组织八年级男子班级篮球赛，为达到活动效果又节省比赛时间，先分A、B两个小组，由所有参赛班级随机抽签，再分别进行小组赛．当参赛队伍总数为偶数个时，A组、B组队伍数一样多；当参赛队伍总数为奇数个时，B组比A组队伍数多1个．小组赛采取单循环赛制（即每支队伍与组内其他队伍各打一场），按积分排名，取每组前2名晋级半决赛，最后进行决赛．积分规则：胜一场得2分，负一场得0分．小组赛结束后，某数学学习小组针对全部队伍累计总得分开展数学讨论．具体如下： (1)已知该校八年级共有10个班级参加比赛．小组赛结束后，全部队伍累计总得分共 分； (2)若当参赛队伍总数为偶数个时，小组赛结束后，全部队伍累计总得分为112分．求本次比赛参赛队伍个数； (3)当参赛队伍总数为奇数个时．小组赛结束后，全部队伍累计总得分能是162分吗？若能，请求出此时参赛的队伍数；若不能，请说明理由． 56．（2026·山东潍坊·二模）如图，点，分别是正方形的边和上的动点，连接，，且．过点作交于点，过点作交于点，与交于点，为了探究矩形的面积与矩形的面积之间的关系，数学兴趣小组进行了如下探索： (1)如图1，当，时，将绕点顺时针旋转得到，证得__________．在中用勾股定理可求得正方形的边长，进而求出，，，的值，则__________，__________． 【一般探究】 (2)当，时，借助图2探究与之间的关系，并说明理由． 【探究推广】 (3)如图3，若点，分别在线段，的延长线上，其它条件均不变，探究与之间的关系，并说明理由． 57．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）如图，在中，，，，，垂足为．甲虫由点以的速度沿向点爬行，同时乙虫由点以的速度沿向点爬行，当乙虫到达目的地点时，甲乙两虫停止爬行． （1）则在_______秒时，甲、乙两虫所在位置与点组成的三角形是等腰三角形． （2）则在_______秒时，甲、乙两虫所在位置与点组成的三角形的面积等于． 题型二十 数据的分析大题汇总（共3小题） 58．（2026·北京东城·一模）某学校组织“数学传统文化知识”竞赛，分为团体赛和个人赛．九年级组建了A，B两个各20人的集训团队，经过阶段性训练后进行预赛，对选手成绩（百分制）进行整理分析，给出如下部分信息： a．A队成绩的频数分布直方图如下（数据分成4组：，，，）： 其中组的数据是：80，82，82，84，85，88． b．B队成绩如下： 61，67，72，72，74，76，78，80，81，81， 83，83，83，83，85，85，87，92，93，95． c．A，B两队成绩的平均数、众数、中位数如下表： 平均数 众数 中位数 A队 81.55 76 m B队 80.55 n 82 根据以上信息，解答下列问题： (1)______，______； (2)若团队成绩按去掉一个最高分和一个最低分计算，则去掉后B队的平均分______（填“增大”“不变”“减小”），方差______（填“增大”“不变”“减小”）； (3)为选拔个人赛种子选手，年级对本次预赛得分90分及以上的甲、乙、丙三名选手进行了5次附加测试，测试成绩如下： 测试1 测试2 测试3 测试4 测试5 甲 90 96 93 96 90 乙 93 94 94 94 95 丙 95 91 93 92 t 排名规则为：5次测试成绩的平均数高的选手排名靠前；若平均数相同，方差小的选手排名靠前． 若丙在甲、乙、丙三名选手中的排名居中，则表中整数t的最小值为______，最大值为______． 59．（25-26九年级下·重庆永川·阶段检测）中考体考临近，为掌握本校九年级学生的体育训练情况，小开从甲、乙班各随机抽取20名学生，对其本月体测成绩进行了整理、描述和分析（成绩用x表示，满分50，共分为四组：A．，B．， C．，D．），下面给出了部分信息： 甲班20名学生的体测成绩在分数段的数据为：47，48，48，49，49，49，49，49， 乙班20名学生的体测成绩为：40，44，45，45，46，47， 47，48，48，48，49，49，49，49，49，50，50，50，50． 甲、乙两班抽取的学生体测成绩统计表 甲班 乙班 平均数 47.6 47.6 众数 50 b 中位数 a 48.5 方差 18.24 6.14 (1)上述表中，______，______，请补全条形统计图； (2)根据上述数据，你认为甲、乙两班中哪个班级的学生体测成绩更好？请说明理由（写出一条即可）； (3)该校三个校区九年级共有3600名学生参加本月体测，根据以上信息，试估计此次体测成绩获得满分的学生人数是多少？ 60．（25-26九年级下·福建福州·期中）综合与实践 刻漏是中国古代科技的重要发明．体现了古人对“匀速运动”“流体力学”的早期探索，其原理影响了后续计时工具的发展，如图1所示为唐代制造的一种四级漏刻的示意图． 如图2所示，综合实践小组用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作了一个简易计时装置． 【实验操作】 综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为，开始放水后每隔观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如表： 0 1 2 3 4 观察值 【建立模型】 小组讨论发现：“”是初始状态下的数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似的刻画水面高度与流水时间的关系． (1)任务1：利用时，这两组数据求水面高度与流水时间的函数表达式． 【模型优化】 经检验，发现表中有三组观察值不满足任务1中求出的函数表达式，存在偏差，小组决定优化函数表达式，减少偏差．通过查阅资料后知道：为表中数据时，根据表达式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应的观察值之差的平方和，记为w，w越小，偏差越小． 为了减少偏差，小组同学利用“”和“”这两组数据得到函数表达式为：；利用“”和“”这两组数据得到函数表达式为：；利用“”和“”这两组数据得到函数表达式为：． 把自变量值代入各函数所对应的表达式，所得的值如表： 0 1 2 3 4 观察值 对于，计算，同理，的值为的值为． 任务2： (2)计算任务1得到的函数表达式的值； (3)写出你认为最优的函数表达式：__________． 【设计刻度】 得到优化的函数表达式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间． 任务3： (4)小方同学也记录了一组数据，请你结合实际情况，判断这组数据的准确性并说明原因． 0 1 2 3 4 观察值 10 5 2 1．已知方程，则该方程所有的实数根之和为（        ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，将置于第一象限，且轴．直线从原点出发沿轴正方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度与直线在轴上平移的距离的函数图象如图2所示，则的面积为（     ） A． B． C． D． 3．矩形中，为的中点，过点的直线分别与，交于点，． 连接 交于点．连接 ，．若 ， ．则下列结论：① ；② ；③ ， ；④四边形 是菱形；⑤．其中正确结论的个数是（     ） A．5 B．4 C．3 D．2 4．在等边中，为边的中线，将此三角形沿剪开成两个三角形，然后把这两个三角形拼成一个平行四边形．如果，那么在所有能拼成的平行四边形中，对角线长度的最大值是(     ) A． B． C． D． 5．如图，在正方形外取一点E，连接．过点A作的垂线交于点P．若，．下列结论正确的有（    ） ①；②点B到直线的距离为；③；④． A．①② B．②③ C．①③ D．①③④ 6．如图，将直线向右平移个单位后得到直线，直线与直线：交于点，直线，分别交轴于点，，则的面积为（    ） A． B．5 C． D．7 7．已知平面直角坐标系中有三点，若直线将分成面积之比为两部分，则的值是（   ） A．2 B．2或 C．2或 D．或 8．在箱线图中，上下四分位数之间的高度反映了中间50％数据的集中程度，中位数越靠近下四分位数，说明中间50％的数据中的________部分越集中（填“后半”或“前半”），这组数据的平均数________中位数（填“大于”或“小于”） 9．实数，，满足和． （1）若和均为正整数，则的值为______； （2）若存在唯一的实数使得这两个关系式都成立，则的值为______． 10．定义新运算，对于两个不相等的实数，我们规定符号表示中较小值，如．，，按照这样的规定，若，则的值是_________ 11．如图，在边长为6的正方形中，点E，F分别是边上的动点，且满足，与交于点O，点M是的中点，G是边上的点，，则的最小值是_______. 12．如图，矩形中，在上，连接，，将沿翻折，点的对应点恰好落在上．若，，则________，，两点间的距离为________． 13．在平面直角坐标系中，对于点，给出如下定义：当点满足时，称点是点的对消点． 已知，点． (1)在，，中，点的对消点有 ； (2)点在直线上，若点的对消点也是点的对消点，求点的坐标； (3)已知线段和正方形，其中，正方形的四个顶点的坐标分别为，，，，对于正方形边上的每一个点F，线段上总存在线段上每个点的对消点．若的最小值为4，直接写出t的值． 14．在平面直角坐标系中，对于任意两点，，定义如下：点与点的“直角距离”为，记作． 例如：点与的“直角距离”． (1)已知点、，中，与原点的“直角距离”等于的点是________． (2)如图，已知点，，根据定义可知线段上的任意一点与原点的“直角距离”都等于．若点与原点的“直角距离”，即． ①若，则点的坐标为________． ②请你在图中将所有满足条件的点组成的图形补全； (3)已知直线和点，若直线上存在点，满足，直接写出的取值范围________． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $