广东省广州十六中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题

广州市第十六中学2025学年第二学期高中中段教学质量反馈 高一年级数学试卷 第I卷 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1．已知复数在复平面内对应的点为，则（ ） A． B． C． D． 2．已知为的重心，则（ ） A． B． C． D． 3．下列命题中正确的是（ ） A．垂直于同一条直线的两条直线平行 B．过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面垂直 C．过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线平行 D．如果平面垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面 4．已知，为非零向量，则“”是“存在实数，使”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．一艘海轮从处出发，以每小时24海里的速度沿南偏东的方向直线航行，30分钟后到达处，在处有一座灯塔，海轮在处观察灯塔，其方向是南偏东，在处观察灯塔，其方向是北偏东，那么，两点间的距离是（ ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 6．已知非零向量，满足在方向的投影向量是，且，则与的夹角是（ ） A． B． C． D． 7．直三棱柱的所有棱长均为4，D为侧棱的中点，M为侧棱上一点，N为上一点，且，且平面，则的长为（ ） A．1 B．2 C． D． 8．在中，，，且边上的高为，则满足条件的的个数为（ ） A．3 B．2 C．1 D．0 二、多选题（共3小题，每题6分．若有两个正确答案，答对一个得3分；若有三个正确答案，答对一个得2分；答错一个不得分） 9．已知，都是复数，下列选项中正确的是（ ） A．若，则或 B．若，则是实数 C． D．若，则 10．在中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则（ ） A． B． C． D．的范围为 11．如图，在正四棱柱中，，E，F，N分别是棱，，的中点，P是上一点，Q在平面内，则（ ） A．平面 B．直线与是异面直线 C．当取得最小值时，的最小值为 D．多面体的外接球与内切球的半径之比为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12．在中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则__________． 13．某同学做了一个木制陀螺，该陀螺由两个底面重合的圆锥组成．已知该陀螺上、下两个圆锥的体积之比为1∶3．上面圆锥的高与其底面半径相等，则上、下两个圆锥的母线长之比为__________． 14．设是边长为2的正六边形所在平面上的一点，若点、、满足，则的最小值是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．如图，在棱长为2的正方体中，，，分别是，，的中点； （1）求证：，，，四点共面（6分） （2）点为的中点，求证：平面（7分） 16．在直角梯形中，已知，，，点是边上的中点，点是边上一个动点（含端点）．请建立适当的直角坐标系解决下列问题： （1）若， ①求的大小；（5分） ②求向量与向量的夹角的余弦值；（5分） （2）求的取值范围．（5分） 17．如图1，的内角，，的对边分别为，，，直线与的边，分别相交于点，，设，满足． （1）求角的大小；（4分） （2）若，的面积为，求的周长．（5分） （3）用向量方法推导正弦定理采取如下操作： 如图2，在锐角中，过点B作与垂直的单位向量，因为， 所以．由分配律得， 即， 也即， 请用上述向量方法探究证明：（6分） 18．如图1，在梯形中，，，将沿翻折到如图2，使平面平面． （1）求证：平面；（5分） （2）已知点为棱上的点，且， ①求三棱锥的体积及其外接球的表面积；（6分） ②过点作平面，使平面，且平面交边于点，平面交于点，求点、的位置．（6分） 19．在中，内角，，所对的边分别为，，，且． （1）求；（5分） （2）若，，求边上的角平分线长；（6分） （3）若为锐角三角形，点为的垂心，，求的取值范围．（6分） 学科网（北京）股份有限公司 $