2.3二次函数与一元二次方程、不等式课件-2026-2027学年高一数学人教A版必修第一册

该高中数学课件围绕二次函数与一元二次方程、不等式的内在关联展开，通过类比初中一次函数与方程、不等式的关系导入，搭建新旧知识桥梁，引导学生理解一元二次不等式概念、二次函数零点及图像解法。 其亮点在于以数形结合为核心，通过园艺围矩形问题抽象概念，例题分Δ>0、Δ=0、Δ<0系统讲解，表格化总结解题步骤，培养学生几何直观与推理意识。学生能深化知识联系，教师可借助反思优化教学，提升课堂效率。

第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式第1课时 函数、方程、不等式知识回顾 在初中，我们从一次函数的角度看一元一次方程，一元一次不等式， 发现了三者之间的内在联系，利用这种联系可以让我们更简便的解决问题： 方程的解为 的解为 的解为 对于二次函数、一元二次方程和一元二次不等式， 他们的联系又是怎样的呢？ 一元二次不等式的概念 【问题】园艺师傅打算在绿地上用栅栏围成一个矩形区域种 植花卉，若栅栏的长度是24 m，围成的矩形区域的面积要大 于20 m 2，则这个矩形的长和宽应该是多少？ 【解】由题意设这个矩形的两条边长分别为米，则： ，其中， ， ，则，即长和宽都在2到10米之间. 即 或 一元二次不等式的概念 【定义】在上题中我们得到这样一个不等式 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式， 称为一元二次不等式.它的一般形式是 ， ， ，， 其中都是常数且 . 1.“一元”指的是只有一个未知数，不代表只有一个字母，如等； 2.“二次”指的是未知数的最高次必须存在并且是2，并且最高次系数不为0. 二次函数的零点 观察一下一元二次不等式和二次函数的关系. 在初中，我们学习了从一次函数的观点看一元一次方程、一元一次不等式的思想方法.类似的，能否从二次函数的观点来看一元二次不等式，进而得到一元二次不等式的求解方法呢？ 如图在坐标系中画出二次函数的图像，图像与 轴有两个交点.它们的横坐标就是方程 的两个实根，即交点坐标为(2,0) 和(10，0). 【注意】零点不是点，是交点的横坐标，是数 我们把使得的实数叫做 函数的零点. 的零点就是 一元二次不等式的解法 从图中可以看出，二次函数的两个零点将轴分成三段. 当，函数图像位于轴下方，此时，即 ，所以，一元二次不等式的解集为： {} 上述方法可以推广到求一般的一元二次不等式 的解集.首先求出一元二次方程的根，再根据二次函数图像求解. 当时，函数图像位于轴上方，此时 ，即 ； 一元二次不等式的解法 () 两个不等实根 () 两个相等实根 没有实数根 {} {} R {} ∅ ∅ 【例1】求不等式的解集. 【分析】方程的根是函数的零点，所以先求 出的根，再根据图像求的解集. 【解】方程，因为，所以它有 两个实数根.解方程得.画出函数 的图像如图所示， 结合图像可知不等式的解集为{|} 典例讲解 5 【例2】求不等式的解集. 【分析】方程的根是函数的零点，所以先求 出的根，再根据图像求的解集. 【解】方程，因为，所以它有 一个实数根.解方程得.画出函数 的图像如图所示， 结合图像可知不等式的解集为{|} 【例3】求不等式的解集. 【分析】不等式可方程的根是函数的零点，所以先求出的根，再根据图像求的解集. 【解】原式方程，因为，所以它无实数根.画出函数的图像如图所示， 结合图像可知不等式的解集为 【练习巩固】求不等式的解集. 解一元二次不等式的过程 将原不等式化成的形式 计算的值 方程有两个不等实根( ) 原不等式的解集为 {|｝ 方程有两个相等实根( ) 原不等式的解集为 {|｝ 方程 没有实根 原不等式的解集为 R 6 课堂小结 这节课你有什么收获 课后练习 （1）课本第53页练习第2题 （2）课本第55页习题2.3第1、2题 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式第1课时 教学阐释 教学分析 1、教学内容分析 本节课选自人教版高中数学必修第一册第二章 《一元二次函数、方程和不等式》 的第三节第一课时，是对初中阶段函数、方程、不等式知识的深化与系统整合，也是高中数学 “数形结合” 思想的重要载体。其核心价值在于建立二次函数、一元二次方程与一元二次不等式三者之间的内在逻辑关联，通过二次函数的图像与性质推导一元二次不等式的解法，为后续学习函数单调性、最值问题及线性规划等内容奠定基础，同时为解决实际生活中的优化、范围界定等问题提供数学工具。 教学分析 1、教学内容分析 学生在初中阶段已掌握二次函数的图像与性质（开口方向、顶点坐标等）、一元二次方程的解法（求根公式、因式分解法）及根的判别式，同时熟悉 “从一次函数角度看一元一次方程与不等式” 的数形结合思想，具备类比迁移的知识基础。具备基本的代数运算能力与图像分析能力，能通过函数图像判断函数值的正负区间，且经过高中前期的学习，已初步形成 “抽象概括” 与 “逻辑推理” 的思维意识。 教学分析 2、学情分析 学生在初中阶段已掌握二次函数的图像与性质（开口方向、顶点坐标等）、一元二次方程的解法（求根公式、因式分解法）及根的判别式，同时熟悉 “从一次函数角度看一元一次方程与不等式” 的数形结合思想，具备类比迁移的知识基础。具备基本的代数运算能力与图像分析能力，能通过函数图像判断函数值的正负区间，且经过高中前期的学习，已初步形成 “抽象概括” 与 “逻辑推理” 的思维意识。 教学目标和重难点 1、教学目标 （1）能准确表述一元二次不等式的概念，明确其一般形式；理解二次函数零点的定义，知晓零点与一元二次方程根的关系。 （2）掌握借助二次函数图像解一元二次不等式的方法，能根据判别式的三种情况准确写出不等式的解集。 （3）经历 “类比一次函数关联 — 探究二次函数与方程关系 — 推导不等式解法” 的过程，提升类比推理与数形结合核心素养。 （4）感受函数、方程、不等式三者的内在统一性，体会数学知识的系统性与逻辑美，激发对数学探究的兴趣。 教学目标和重难点 2、教学重点 （1）函数、方程、不等式之间的内在关联。 （2）借助二次函数图像求解一元二次不等式的方法与步骤。 3、教学难点 （1）理解二次函数零点与一元二次方程根的关系，建立 “图像特征—解集” 的对应逻辑 （2）处理二次项系数为负数时的不等式转化，及判别式 Δ=0、Δ<0 时解集的推导与理解。 教学过程设计 （1）通过一次函数、方程、不等式之间的关系引入课题，探究二次函数、方程、不等式之间的关系 （2）学习一元二次不等式的概念，以及零点的概念，知道零点与根的关系。讨论二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系。 （3）借助二次函数图像解一元二次不等式，能根据判别式的三种情况准确写出不等式的解集。 （4）通过例题和课堂练习不断巩固解一元二次不等式的方法。 （5）总结归纳解一元二次不等式的步骤。 教学反思 1、亮点： 一次函数的 “三者关联” 为切入点，成功搭建了新旧知识的桥梁，多数学生能快速理解本节课的研究思路，对 “借助函数图像解不等式” 的接受度较高。通过亲手绘制函数图像、分析函数值正负区间，将抽象的不等式解集转化为直观的图像区域，有效突破了 “解集推导” 的难点。通过表格系统梳理不同判别式下的解集规律，帮助学生形成结构化知识，避免了零散记忆的混乱，对 Δ=0、Δ<0 等特殊情况的理解更透彻。 2、不足：面对二次项系数为负数的不等式时，虽强调了 “化正” 步骤，但未预留足够时间让学生自主探究 “为何要化正”“不化正会怎样”，部分学生仍存在 “忘记变号” 或 “变号错误” 的问题。对 “二次函数零点” 的讲解仅停留在 “方程的根” 的表层，未结合具体例子强调 “零点是数而非点”，导致依旧有学生认为零点是点。 3、改进措施：强化对零点 “数” 的本质的理解。设计 “对比实验”， 通过结果对比明确 “化正” 的必要性；提供 “转化步骤模板”。 本节课的实践表明，“数形结合” 是突破本节课难点的核心方法，但需兼顾概念的严谨性与学生的认知节奏。未来教学中，需进一步细化概念讲解与技巧指导，关注个体差异，让学生真正理解 “三者关联” 的本质，而非机械套用解题步骤。 感谢聆听 $