《2.1等式性质与不等式性质》课件2026-2027学年人教A版高一数学必修第一册

该高中数学课件聚焦一元二次函数、方程和不等式章节，核心内容包括不等关系与不等式表示、作差比较法及重要不等式。通过限速路标、酸奶质量检查等现实情境导入，结合杂志定价问题过渡到比较大小，再用赵爽弦图引出重要不等式，构建连贯知识支架。 其亮点是以生活实例与赵爽弦图为载体，用数学眼光观察现实世界，通过作差比较法“四步曲”培养数学思维，以不等式建模和证明发展数学语言。如赵爽弦图几何意义解读、杂志定价问题阶梯式拆解，助力学生提升抽象建模与逻辑推理能力，为教师提供清晰教学流程与实用改进策略。

第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.1 等式性质与不等式性质 （第1课时） 情景导入 在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多与少、大与小、长与短、高与矮、远与近、快与慢、涨与跌、轻与重、不超过或不少于等。类似于这样的问题，反映在数量关系上，就是相等与不等。 相等用等式表示，不等用不等式表示。 不等关系与不等式 我们用数学符号“”、“”、“”、“”、“”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些符号的式子，叫做不等式。 探究一： 问题1 用不等式或不等式组表示不等关系 （1）限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行使时，应使汽车的速度不超过40km/h； （2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于2.5%，蛋白质的含量应不少于2.3%； （3）三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边； 设的三条边为，则有 探究一： （4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短； ∟ 用不等式（组）表示实际问题中不等关系的步骤： ①审题：通读题目，分清楚已知量和待求量，设出待求量．找出体现不等关系的关键词：“至少”“至多”“不少于”“不多于”“超过”“不超过”等． 归纳总结 ②列不等式（组）：分析题意，找出已知量和待求量之间的约束条件，将各约束条件用不等式表示． 文字语言 至少 至多 不少于 不多于 超过 不超过 符号语言 问题2 某种杂志原以每本2.5的价格销售，可以售出8万本.据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能减少2000本.如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元？ 探究一： 解：设提价后每本杂志的定价为 销量减少了： 销售总收入： 万本 如何解该不等式呢？ 探究二： 实数的大小比较 在数轴上，如果表示实数和的两个点分别为和，则点和点在数轴上的位置关系有以下三种： （1）点和点重合： （2）点在点的左边： （3）点在点的右边： 新课讲授 关于实数大小的比较，有以下基本事实： 如果是正数，那么；如果等于，那么；如果是负数，那么.反过来也对. 这个基本事实可以表示为： 典例讲解 例1 比较和的大小. 解：因为 所以 作差 变形 判断符号 下结论 归纳总结 比较两个实数（或代数式）大小的步骤： （1）作差：对要比较大小的两个数（或式子）作差； （2）变形：对差进行变形（因式分解、通分、配方等）； （3）判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号； （4）作出结论． 这种比较大小的方法通常称为作差比较法． 其思维过程：作差→变形→判断符号→作出结论，其中变形是判断符号的前提． 探究三 该图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客.你能在这个图中找出一些相等关系和不等关系吗？ 探究三 上图的风车可抽象成如下该图： 设直角三角形的两条直角边的长为, 那么正方形的边长为 四个三角形的面积为 正方形的面积之和为 由于正方形的面积大于四个直角三角形的面积和 则有 当直角三角形变为等腰直角三角形时，即时，正方形的面积和4个直角三角形的面积相等 这时会有 新课讲授 重要不等式 一般地，,有 当且仅当时等号成立 思考：能否使用本节课学习的知识来证明该不等式？ 课堂练习 1、比较的大小. 2、已知，证明 1、解： 所以 2、解：因为 所以， 同理 所以 课堂小结 这节课你有什么收获？ 课后练习 课本第43页练习 3.比较下列各组中两个代数式的大小 （1） （2） （3） （4） 2.1 等式性质与不等式性质（第1课时） 教学阐释 教学分析 本节课选自人教版高中数学必修第一册第二章 《一元二次函数、方程和不等式》 的第一节第一课时，是本章知识的开篇内容。不等关系是现实世界中最基本的数量关系之一，不等式是刻画不等关系的数学模型。本节课所学习的不等关系表示、作差比较法以及重要不等式，不仅是后续学习不等式性质、求解不等式、研究函数单调性等内容的基础，也是解决实际问题中优化问题的重要工具，在整个高中数学知识体系中具有承上启下的关键作用。 1、教学内容分析 教学分析 学生在初中阶段已经学习了简单的不等式概念，掌握了一元一次不等式（组）的解法，能够识别现实生活中基本的不等关系，具备一定的文字语言与符号语言转化能力。同时，学生在初中也接触过作差法比较两个数的大小，为高中阶段进一步深化作差比较法的应用奠定了基础。 2、学情分析 教学目标及重难点 1、教学目标 （1）熟练掌握作差比较法的步骤，能运用该方法比较两个实数或代数式的大小。 （2）通过经历 “情境感知 — 抽象建模 — 探究证明 — 应用巩固” 的过程，提升数学抽象与数学建模能力。 （3）在探究作差比较法和重要不等式的过程中，培养逻辑推理能力与数形结合思想。 教学目标及重难点 2、教学重点 （1）用不等式（组）表示实际问题中的不等关系。 （2）作差比较法的步骤及应用。 （3）重要不等式的理解与记忆。 3、教学难点： （1）从复杂的实际问题中梳理不等关系，建立不等式模型（如杂志定价问题）。 （2）作差比较法中差式的变形与符号判断。 （3）重要不等式的几何意义解读与逻辑证明。 教学过程设计 1、通过问题1和问题2的探究，使学生熟悉不等关系与不等式，由问题2提出疑问，如何解不等式，从而引出解不等式要用不等式的性质。探究不等式的性质前我们要先学习关于两个实数大小的基本事实。 2、讲授本节课的新知识：关于比较两个实数大小的基本事实，并且能够运用该基本事实进行比较两个数或式之间的大小关系。基本事实是作差法比较大小的重要依据。并且归纳总结作差比较法的步骤。 3、介绍赵爽弦图，剖析其中的几何关系，得到重要不等式，引导学生能否使用本节课学习的内容（即作差比较法）来证明重要不等式。这既体现了数学知识之间的联系，又说明了两个实数大小关系的基本事实在解决不等式问题中的应用价值。 教学反思 1、亮点：以生活实例与赵爽弦图为载体，将抽象的不等关系转化为可感知的具体问题，有效激发了学生的学习主动性，尤其是弦图的探究环节，多数学生能自主提炼面积关系，体现了数形结合的教学价值。从 “表示关系” 到 “比较大小” 再到 “证明结论”，逻辑链条层层递进，符合学生 “直观感知 — 抽象概括 — 逻辑验证” 的认知规律，作差比较法的 “四步曲” 总结，降低了学生的应用难度。 2、不足：杂志定价问题中，部分学生对 “单价提高量与销量减少量的比例关系” 理解困难，导致时间超出预期，压缩了后续练习的时间。作差比较法的 “变形” 环节，未系统梳理因式分解、通分等不同变形场景的适用条件，导致部分学生在比较分式或多项式代数式时无从下手。 教学反思 3、改进措施：将杂志定价问题拆解为 “阶梯式小问题”：（1）单价提 0.1 元，销量减多少？（2）提 0.2 元呢？（3）提t元呢？通过梯度提问降低理解难度，预设讨论时间，确保教学节奏。增加 1-2 个不同类型的比较分式或多项式变形例题，通过对比讲解加深理解。 感谢聆听 $