2025-2026学年上海市高一数学下学期末复习综合测试卷（1）

**基本信息** 2025-2026学年上海市高一数学下学期末复习卷，涵盖向量、复数、三角、统计、立体几何等核心知识，以天津相声文化、人脸识别、工业安全检测为情境，融合数学抽象与应用，体现用数学眼光观察、语言表达现实世界的素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|12题|向量运算、复数性质、三角面积、统计合并、斜二测画法|第11题结合天津相声文化考查概率，体现文化传承；第12题引入三面角余弦定理，培养创新意识| |单选题|4题|函数单调性、频率分布直方图、立体几何折叠、余弦距离|第16题以人脸识别为背景考查余弦距离，关联科技前沿，发展数学应用意识| |解答题|5题|复数几何意义、直线与不等式、统计概率应用、立体几何证明与计算、向量表示|第19题工业安全检测统计问题，通过频率分布直方图分析漏报率、误报率，培养数据观念与逻辑推理能力|

2025-2026学年上海市高一数学下学期末复习综合测试卷（1）（解析版） 一、填空题 1．已知向量，若，则的值为_____． 【答案】2 【分析】根据向量平行的坐标表示计算即可. 【详解】，则，解得. 故答案为：2. 2．已知为虚数，且，则_____. 【答案】1 【分析】设（且），利用复数的除法运算法则计算可得结论. 【详解】由题可设（且）， ，， ，. 故答案为：. 3．已知，则__________． 【答案】/ 【分析】已知，倍角公式求出，，利用诱导公式求解即可. 【详解】已知，则， 得. 故答案为： 4．已知△ABC的A，B，C所对这分别的a，b，c．若，，且△ABC的面积是，则______． 【答案】 【分析】根据题意,先求出，再分别求出边长，，即可求出 【详解】根据题意,△ABC中,若 ，则. 又由△ABC的面积是,即,则有bc=3,又由，解得：. 由余弦定理得：,则    . 所以，所以 故答案为: . 5．若一组样本数据的平均数为10，另一组样本数据的方差为8，则两组样本数据合并为一组样本数据后的平均数是__________，方差是__________. 【答案】 【分析】计算出、的值，再利用平均数和方差公式可求得合并后的新数据的平均数和方差. 【详解】由题意可知，数据的平均数为， 所以，则， 所以数据、、、的平均数为， 方差为 ， 所以， 将两组数据合并后，得到新数据， 则其平均数为 ， 方差为 . 故答案为：；. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是充分理解平均数与方差的计算公式，并进行计算. 6．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的直角梯形，其中，，则线段在原平面图形中对应的线段长为__________．    【答案】5 【分析】画出原图形，利用勾股定理进行求解. 【详解】画出原图形，如下： 则，， 由勾股定理得，线段在原平面图形中对应的线段.    故答案为：5 7．已知向量，，且，则______． 【答案】 【分析】由向量线性运算及垂直的数量积表示可得方程解出m，即可由坐标计算向量模. 【详解】，由得 ，解得． 则，故． 故答案为：. 8．已知，若函数的图像如图所示，则_________ 【答案】 【分析】根据函数图象有，可求得，又函数图象过点，点，代入可求得，，求得，然后利用函数的周期性求解. 【详解】由图可知：，， 所以函数， 又函数图象过点，点，， ， 所以， ， 故答案为： 【点睛】方法点睛：求函数解析式的步骤： (1)求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则，. (2)求，确定函数的周期，则 (3)求，常用方法如下：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入． 9．在中，，则__________；的值为__________. 【答案】 / 【分析】化简得到，再根据正弦定理得到，得到，计算得到答案. 【详解】，，故，，； ，则，即，， ，则，，. 故答案为：； 10．函数的定义域是______． 【答案】， 【分析】直接根据对数函数的定义域及余弦函数的图象求解即可． 【详解】由题意可得，即， 所以，， 故答案为：，． 11．天津相声文化是天津具有代表性的地域文化符号，天津话妙趣横生，天津相声精彩纷呈，是最具特色的旅游亮点之一.某位北京游客经常来天津听相声，每次从北京出发来天津乘坐高铁和大巴的概率分别为0.6和0.4，高铁和大巴准点到达的概率分别为0.9和0.8，则他准点到达天津的概率是_________（分数作答）.若他已准点抵达天津，则此次来天津乘坐高铁准点到达比乘坐大巴准点到达的概率高__________（分数作答）. 【答案】 【分析】根据互斥事件的概率公式，求得他准点到达天津的概率，再结合条件概率的计算公式，即可求解. 【详解】设事件为他准点到达天津，事件为他乘坐高铁到达天津，事件为他乘坐大巴到达天津， 若他乘坐高铁，且正点到达天津的概率为； 若他乘坐大巴，且正点到达天津的概率为； 则，且, 所以乘坐高铁准点到达比乘坐大巴准点到达的概率高. 故答案为：， 12．三面角是立体几何的基本概念之一，而三面角余弦定理是解决三面角问题的重要依据.三面角是由公共端点且不共面的三条射线以及相邻两条射线之间的平面部分组成的图形.设，，，平面与平面所成的角为，由三面角余弦定理得.在三棱锥中，，，，，，则三棱锥体积的最大值为________. 【答案】/ 【分析】作出图形，，，,平面与平面所成的角为，作，平面，则该二面角的平面角为.要解决三棱锥体积的最大值，需要先把体积用函数式表示出来，即，接下来就根据条件把和用同一个变量表示出来即可求解. 【详解】 由题意，，,平面与平面所成的角为， 作，平面，则该二面角的平面角为， 由题意得：， 因为，， 所以，， ， ， ， 当时，的最大值为. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：关键是等体积转换法，再结合条件等式将体积表示成同一个变量的函数即可求解. 二、单选题 13．已知函数在上单调，且，则的取值不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知易得、，结合，利用正弦型函数的图象讨论不同对应点求的取值，即可得答案. 【详解】由在上单调，，故， 而，则，又，如下图依次讨论对应为点四种情况， 若，则，满足； 若，则，满足； 由，若，则，满足； 若，则，不满足，其它情况均不符合； 综上，B不可能，A、C、D可能. 故选：B 14．为了解某校学生的某次数学测试情况，随机抽取部分学生成绩（最低分为50分，满分100分），得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论不正确的是（   ） A．对应矩形的高度为0.016 B．样本众数估计值为75 C．样本平均数估计值为77.4 D．样本成绩的第70百分位数落在内 【答案】D 【分析】A选项利用矩形的面积之和为1列方程求解，B选项根据众数的定义以及直方图中最高的矩形条来判断，C选项根据平均值的公式计算，D选项判断样本数据在的频率和的频率，可得到70百分位数的范围. 【详解】设对应矩形的高度为，则，解得，A选项正确； 由图可知，的数据最多，众数的估计值为，B选项正确； 平均值为：，C选项正确； 样本数据的频率为， 样本数据的频率为， 故样本成绩的第70百分位数落在内，所以D选项错误. 15．如图，在边长为2的正方形中，分别为的中点，为的中点，沿将正方形折起，使重合于点，在构成的四面体中，下列结论错误的是 A．平面 B．直线与平面所成角的正切值为 C．四面体的内切球表面积为 D．异面直线和所成角的余弦值为 【答案】C 【分析】由可判断；连接，则为与平面所成的角，求出正切值可判断；设四面体内切球半径为，表面积为，体积为，利用求出半径可判断；取的中点，可得为异面直线和所成角，求出余弦值可判断. 【详解】 翻折前，，故翻折后，, 又平面，故正确. 连接，则为与平面所成的角， ，是的中点，， ，又,，故正确. 设四面体内切球半径为，表面积为，体积为， 则，又因为， ， 所以，内切球的表面积为，错， 取的中点，连接，则， 为异面直线和所成角， ， ， ，故正确，故选C. 【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查线面垂直、线面角、异面直线所成的角以及多面体的内切球，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题. 16．人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度来识别身份的一种技术，余弦距离是检测相似度的常用方法．假设平面内有两个点，，O为坐标原点，定义余弦相似度为，余弦距离为．已知点，，则A，B两点的余弦距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量数量积的定义求出夹角，根据题意计算即可. 【详解】根据题意，， 则， 所以两点的余弦距离为. 故选：D. 三、解答题 17．复平面内表示复数的点为． (1)当实数取何值时，复数表示纯虚数？并写出的虚部； (2)当点位于第四象限时，求实数的取值范围； (3)当点位于直线上时，求实数的值． 【答案】(1)，虚部为 (2) (3)或 【分析】（1）根据纯虚数的定义求解，然后可求虚部； （2）根据复数的几何意义列式计算； （3）根据点Z位于直线上，可得，从而可求. 【详解】（1）依题意得，当且，即时，复数是纯虚数，虚部为． （2）依题意，得且，解得．所以当时，点位于第四象限． （3）依题意得当，即或时，点位于直线上． 18．已知为坐标原点，，过点且斜率为的直线与轴负半轴及轴正半轴分别交于点. (1)求的最小值； (2)若的面积为，且对于每一个的值满足条件的值只有2个，求的取值范围. 【答案】(1)4 (2). 【分析】（1）设的倾斜角为，根据题意求得，得到，结合三角函数的性质，即可求解； （2）设的方程为，求得，得到，转化为方程有2个不同的正根，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】（1）因为过点且斜率为的直线与轴负半轴及轴正半轴分别交于点， 如图所示，可得斜率，设直线的倾斜角为， 则，所以， 可得， 所以当时，即时，取得最小值. （2）根据题意，设直线的方程为，即， 可得，所以， 整理得， 因为对于每一个的值满足条件的值只有2个，所以该方程有2个不同的正根， 则满足，解得，所以的取值范围是. 19．某工业安全检测系统发现，正常设备与故障设备在运行温度上有明显差异，经过长期监测统计，得到两类设备运行温度的频率分布直方图：      系统要设定一个报警阈值，当设备运行温度大于时判定为故障，发出警报，否则判定为正常.漏报率指实际设备故障但是未发出警报的概率，用表示；误报率指实际设备正常但是发出警报的概率，用表示.假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.例如当报警阈值时，漏报率为故障设备运行温度在区间上的频率，故漏报率为. (1)求的值，并求出当报警阈值时误报率的值； (2)现从故障设备运行温度在与两个区间段内，按分层抽样的方式抽取5台设备，再从这5台设备中随机抽取2台设备，求这2台设备的运行温度在同一个区间段内的概率； (3)设，当时，求的解析式，并求在区间上的最小值. 【答案】(1)， (2) (3)， 【分析】（1）由频率之和为1求的值，时误报率对应的频率，求解即可； （2）由排列组合求解古典概型问题即可； （3）由题意根据频率分布直方图求解的解析式并求最小值即可. 【详解】（1）依题意可得：，解得. 误报率为； （2）故障设备运行温度在与两个区间段内的数量之比为， 所以按分层抽样的方式抽取5台设备中，各自有3台和2台. 故这2台设备的运行温度在同一个区间段内的概率； （3）当时，， ， ∴. 所以当时，. 20．已知平行六面体，底面是边长为2的菱形，且，． （Ⅰ）证明：平面平面； （Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）． 【分析】（Ⅰ）根据面面垂直的判定定理主要证线面垂直，依题意可证面，则原命题可证明； （Ⅱ）以为原点，为轴，为轴建系，求直线的方向向量与平面的一个法向量，根据向量夹角公式即可求解． 【详解】（Ⅰ）, 连接 ∵是菱形   又为中点 面 面 ∴面面； （Ⅱ）以为原点，为轴，为轴建系． ，， ， 设平面的一个法向量为，则 取，得所以 设直线与平面所成角为，则 直线与平面所成角的正弦值 【点睛】求直线与平面所成的角的一般步骤： （1）、①找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成；②计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解； （2）、用空间向量坐标公式求解． 21．已知中，，，，点D在边BC上且满足.    (1)用、表示，并求； (2)若点E为边AB中点，求与夹角的余弦值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据向量的线性运算即可求解， （2）由向量的线性运算表示向量，由数量积，利用夹角公式即可求解. 【详解】（1），                    所以, （2）易知, 所以,                         又, 所以, 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年上海市高一数学下学期末复习综合测试卷(1)（解析版) 一、填空题 1.已知向量=(-4,2)，=(m-1),若/乃，则m的值为 2.已知z为虚数，且z+是∈R,则川z= 3.已知sin(号+a)=青，则sin(-2a)= 4.己知△ABC的A,B,C所对这分别的a,b,c.若cosA=青，b=号c,且△ABC的面 积是y2,则sinC= 5.若一组样本数据x1x2…,n的平均数为10，另一组样本数据 2x1十4,2x2十4，…，2xn十4的方差为8，则两组样本数据合并为一组样本数据后的平均数 是 ，方差是 6.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的直角梯形，其中 D'C=3,DA=2,则线段AC在原平面图形中对应的线段长为 A /0(D) 7.已知向量=(-3,1)，6=(m,2),且1（a+26),则a+= 8.已知f(x)=Asin(ωx+p),若函数y=f(x的图像如图所示，则 f1)+f(2)+f(3)+.+f(2020)= 衣 9.在△ABC中，sinA=sin2A2a=V3b,则∠A= :名的值为 10.函数f(x)=ln(2cosx-1)的定义域是 11.天津相声文化是天津具有代表性的地域文化符号，天津话妙趣横生，天津相声精彩纷呈， 是最具特色的旅游亮点之一某位北京游客经常来天津听相声，每次从北京出发来天津乘坐 高铁和大巴的概率分别为0.6和0.4，高铁和大巴准点到达的概率分别为0.9和0.8，则他准 点到达天津的概率是 (分数作答)若他已准点抵达天津，则此次来天津乘坐高铁 试卷第1页，共3页 准点到达比乘坐大巴准点到达的概率高 (分数作答) 12.三面角是立体几何的基本概念之一，而三面角余弦定理是解决三面角问题的重要依据 三面角P一ABC是由公共端点P且不共面的三条射线PA、PB、PC以及相邻两条射线之间的 平面部分组成的图形.设∠APC=《,∠BPC=B,∠APB=Y,平面APC与平面BPC所 成的角为8，由三面角余弦定理得c0s0=aa=吧在三陵锥P-ABC中，PA=6, ∠APC=60°，∠BPC=45°，∠APB=90°，PB+PC=6,则三棱锥P-ABC体积的 最大值为 二、单选题 13.已知函数f(x)=sin(wx+p(ω>0)在[-号，]上单调，且 f(晋)=f(誓)=-f(-),则ω的取值不可能为() A. B.子 c. D.号 14.为了解某校学生的某次数学测试情况，随机抽取部分学生成绩（最低分为50分，满分 100分)，得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论不正确的是() ◆频率/组距 0.034 0.024 0.020 0.006- 5060708090100数学成绩 A.[90,100]对应矩形的高度为0.016B.样本众数估计值为75 C.样本平均数估计值为77.4 D.样本成绩的第70百分位数落在70,80)内 15.如图，在边长为2的正方形ABCD中，E,F分别为BC,CD的中点，H为EF的中点， 沿AE,EF,FA将正方形折起，使B,C,D重合于点O,在构成的四面体O-AEF中，下列 结论错误的是 试卷第1页，共3页 D E A.AO⊥平面EOF B.直线AH与平面EOF所成角的正切值为2√2 C.四面体O一AEF的内切球表面积为π D.异面直线0H和AB所成角的余弦值为受 16.人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度来识别身份的一种技术，余弦距离是检 测相似度的常用方法.假设平面内有两个点Axy,B(x2y,O为坐标原点，定义余 弦相似度为dA)=cos<OAO市>，余弦距离为1-dA.已知A停，引， B(0,一1)，则A,B两点的余弦距离为() A. B.2+5 2 C.25 D.2 三、解答题 17.复平面内表示复数z=(m2-2m-3)+(m-3)i(m∈R)的点为Z. (1)当实数m取何值时，复数z表示纯虚数？并写出z的虚部： (2)当点Z位于第四象限时，求实数m的取值范围； (3)当点Z位于直线y=x上时，求实数m的值， 18.已知0为坐标原点，A(一1,2)，过点A且斜率为k的直线1与x轴负半轴及y轴正半轴 分别交于点B、C (1)求AB|·AC的最小值： (2)若△OBC的面积为S,且对于每一个S的值满足条件的k值只有2个，求S的取值范围 19.某工业安全检测系统发现，正常设备与故障设备在运行温度上有明显差异，经过长期监 测统计，得到两类设备运行温度的频率分布直方图： 试卷第1页，共3页 频率/组距 0.036 频率/组距 0.030 m---- 0.024 0.028 0.014 0.008 0.004 0.002 5565758595105运行温度/℃ 8595105115125135运行温度/℃ 正常设备 故障设备 系统要设定一个报警阈值t,当设备运行温度大于t时判定为故障，发出警报，否则判定为 正常漏报率指实际设备故障但是未发出警报的概率，用F(t)表示；误报率指实际设备正常 但是发出警报的概率，用g(t)表示.假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应 事件发生的概率.例如当报警阈值t=100时，漏报率为故障设备运行温度在区间[85,100) 上的频率，故漏报率为f(100)=(100-95)×0.008+(95-85)×0.002=0.06 (1)求m的值，并求出当报警阈值t=100时误报率的值； (2)现从故障设备运行温度在[115,125)与[125,135]两个区间段内，按分层抽样的方式抽 取5台设备，再从这5台设备中随机抽取2台设备，求这2台设备的运行温度在同一个区间 段内的概率； (3)设h(t)=f(t)+g(t),当t∈[95,105]时，求h(t)的解析式，并求h(t)在区间 [95,105]上的最小值 20.已知平行六面体ABCD-A1B:C1D1,底面ABCD是边长为2的菱形，且∠DAB=号 ，A1B=A1D=2, AA=V3 D (I)证明：平面A1BD⊥平面ACC1A1: (Ⅱ)求直线A1B与平面AAD所成角的正弦值， 21.已知△ABC中，AB=2,AC=1,∠BAC=120°，点D在边BC上且满足 试卷第1页，共3页 CD=2BD. C D B ()用A、AC表示A,并求A: (2)若点E为边AB中点，求CE与A⑦夹角的余弦值 试卷第1页，共3页