2025-2026学年上海市高一数学下学期末复习综合测试卷（2）

**基本信息** 上海市高一数学期末复习卷，涵盖函数、复数、数列等核心知识，以混沌系统情境题、三角形动态问题等设计，考查数学抽象、逻辑推理与模型应用能力。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |填空题|12|函数定义域、三角函数周期、复数虚部、向量最值等|基础与中档结合，如向量模长与正四面体中点问题融合几何直观| |单选题|4|不等式比较、函数交点、菱形向量投影、等差数列单调性|聚焦概念辨析，如通过数列单调性判断考查推理能力| |解答题|5|复数几何意义、混沌系统证明、三角形中线与面积、关联函数定义|情境创新，如混沌系统等比数列证明体现数学建模，关联函数定义应用考查抽象思维|

2025-2026学年上海市高一数学下学期末复习综合测试卷(2)（解析版) 一、填空题 1.函数f(x)=1og05(x-1)的定义域是 2.已知函数f&)=tan(2x+号)，则f(x)的最小正周期为 ；对称中心为 3.复数 (其中为虚数单位)的虚部为 4.若不等式mx2+2mx-4<2x2+4x对任意x∈R都成立，则实数m的取值范围是 5.设0<a<1,若g(a2)+(lga)2=3,则a= 6.若c0sa-P)=写，cos2a=票，且a为锐角，B为角，则c+B= 7.已知非零向量a,6满足a+2=3,且a≥2，则cos(a,)的最大值为 8,若非零复数xy满足+y+y2=0,则（高）020+（扁） 2020 的值是 9.已知数列{an}的通项公式为an=2n+6,若am是a1与a2m的等比中项，则m= 10.将函数y=sinx的图象向右平移舞个单位后，再将所得图象各点的横坐标缩小为原来 的品（ω>0，纵坐标不变，得到函数f(x)的图象，若f(x)在区间（兀，2m)内没有零点， 则ω的取值范围是 11.如图，正四面体A1AA3A4中，点A5,A6,A7,A3,Ag,A10分别是所在棱的中点， 则当1≤1≤10,1≤j≤10(i+j),1≤m≤10,1≤n≤10(m≠n)时， AmAn·AA的所有可能取值共有种， |sinx,x∈[-T,π]， 12.已知函数f(x)= Igx X>T ,X1X2X3X4Xs是方程fx)=m的 五个不等的实数根，则x1十X2十3十X4十X5的取值范围是 试卷第1页，共3页 二、单选题 13.实数a,b,c满足a2=2a+c-b一1且a+b2+1=0,则下列关系成立的是（) A.b>azc B.c>a>b C.b>cza D.c>b>a 14.已知函数fx)=sinwx--V3cosωxω>0，gx)=f(x+无)，假如M,P,N是 曲线y=f(x),y=g(x)上从左往右依次连续相邻的三个交点，∠MPN<90°，则ω的 取值范围是() A.(号元+)B.(号元+）c.(9元+0)D.(5m+) 15.己知菱形ABCD的边长为2，设AP=AB+2AD(1∈R),若AP|≥2恒成立，则 向量AD在AB方向上投影的取值范围是() A.「-5,5]B.[0,3] c.[-1,1] D.[0,1] 16.己知等差数列{an}的公差d>0,则下列四个命题： ①数列{an}是递增数列； ②数列{nan}是递增数列； ③数列{=}是递增数列； ④数列{an+3nd}是递增数列； 其中正确命题的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 三、解答题 17.已知复数z1=a+2+(a2-3i,Z2=2-(3a+1)i(aeR,i是虚数单位). (1)若复数z1-22在复平面上对应点落在第一象限，求实数a的取值范围 (2)若虚数z1是实系数一元二次方程x2一6x+m=0的根，求实数m的值. 18.混沌现象普遍存在于自然界和数学模型中，假设在一个混沌系统中，用x来表示系统 在第n个时刻的状态值，且该系统下一时刻的状态值x+1满足x+1=f(x,已知初始状态 值xo∈(0,1)，其中fx)=ax2-ax(a∈R),这样每一时刻的状态值xoxX2,xn构成 数列{xn}(n∈N) (I)若数列{x}为等比数列，求实数a的取值范围； 试卷第1页，共3页 (2)若x0=克，a=-1,证明： ①1<4-是<2； 好≤ 19.锐角△ABC,角AB,C的对边分别是a,b,c.己知2 bsinA-a=0 (1)求B; (2)求sinA+cosC的取值范围 20.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,AD为BC边上的中线，已知 c=1且2 csiAcosB=asinA--bsinB+bsinC,cos∠8AD=年 E B (1)求b; (2)求∠BAC的余弦值： (3)设点E,F分别为边AB,AC上的动点，线段EF交AD于G,且△AEF的面积为△ABC 面积的一半，求向量AG·EF的最小值， 21,设函数y=f(x)和函数y=g(x)的定义域均是D,S是R的非空子集若对任意 X1X2∈D,当81-X2ES时，总有g(x1)-f(x2)∈S,则称函数y=g(x)是函数 y=f(x)的一个“S关联函数” (I)若S={0},求函数y=e的所有“S关联函数”； (2)若S=[0,+∞)，且函数y=x2-lnx+爱是其自身的一个“S关联函数”，求实数m的 取值范围； (3)己知y=p(x)是定义在R上的函数.若存在定义在R上的函数y=q(x),使得对任意 正整数，都满足y=q(x)是y=p(x)的一个“[击，声]关联函数，求证：y=p(x) 是R上的严格增函数。 试卷第1页，共3页 2025-2026学年上海市高一数学下学期末复习综合测试卷（2）（解析版） 一、填空题 1．函数的定义域是___________. 【答案】 【分析】根据对数函数定义求对数函数的定义域. 【详解】解：要使函数有意义就要，即，所以函数的定义域是. 故答案为： 2．已知函数，则的最小正周期为__________；对称中心为__________． 【答案】 / 【分析】根据正切型函数的最小正周期公式、对称性进行求解即可. 【详解】函数的最小正周期为； 令；解得， 所以函数的对称中心为． 故答案为：； 3．复数（其中为虚数单位）的虚部为_________. 【答案】1 【分析】利用复数除法运算求出结果即可作答. 【详解】， 所以复数的虚部为1. 故答案为：1 4．若不等式对任意都成立，则实数的取值范围是____． 【答案】 【分析】先将原不等式变形，然后分和两种情况进行讨论，当时直接判断不等式是否恒成立，当时，根据二次函数的性质列出不等式组求解，最后综合两种情况得出的取值范围. 【详解】原不等式等价于， 当时，对，不等式恒成立； 当时，则有，解得： 综上所述，实数的取值范围是 故答案为：. 5．设，若，则__________． 【答案】/ 【分析】由一元二次方程因式分解结合对数运算求解即可； 【详解】， 即， 即，又， 所以， 解得：， 故答案为： 6．若，且为锐角，为钝角，则___________ 【答案】 【分析】利用配凑法将表示成,再去求解即可得到的值. 【详解】因为为锐角，，所以， 又因为为钝角，所以， 所以, , 所以,, 所以, 因为，所以. 故答案为：. 7．已知非零向量，满足，且，则的最大值为____________． 【答案】/ 【分析】将两边平方，再利用基本不等式即可得解. 【详解】，则， 当且仅当，即时，取等号， 所以， 所以的最大值为. 故答案为：. 8．若非零复数满足，则的值是___________. 【答案】 【分析】由题设有、易得 ，同理，，而，，由此可知，即可求值. 【详解】由题设有：，解得，且， ∴，即，同理有，， ，，又， ∴，， ∴， 故答案为：. 9．已知数列的通项公式为，若是与的等比中项，则____. 【答案】 【分析】根据等比中项的概念列方程，解方程可得结果. 【详解】由得，，，， ∵是与的等比中项， ∴，即，解得或（舍）. 故答案为：. 10．将函数的图象向右平移个单位后，再将所得图象各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，若在区间内没有零点，则的取值范围是_______． 【答案】 【分析】根据三角函数图象的平移伸缩变换可得，进而，结合正弦函数的图象与性质建立关于的不等式组，解之即可求解. 【详解】由题意知，， 由，得， 若在区间内没有零点， 则，解得， 由，当时，，当时，，当时，不符合， 所以的取值范围为. 故答案为： 11．如图，正四面体中，点，，，，，分别是所在棱的中点，则当，（），，（）时，的所有可能取值共有______种. 【答案】13 【分析】分类考虑的两个端点的所处位置情况，即当两点取自四面体的顶点，或当两点取自6条棱的中点，或当两点中一个取自四个顶点中，另一个取自6条棱的中点，再分类考虑的情况，分类计算，综合即可求得答案. 【详解】正四面体中，设棱长为a，四个面上每个顶点与对边中点的连线长均为， 连接，则，则，同理， 则每组相对棱中点的连线长均为， 当两点取自四面体的顶点时，不妨假设为， 此时当，j从2取到10时，则的值为： ， ， ， 同理求出当，j从1取到10时，不取2，则的值为： ， ， ， 同理求出当，j从1取到10时（），则的值，其中有，等， 比较以上数量积的结果可知的不同数值为： 共9个； 当两点取自6条棱的中点时，不妨假设为，同理可计算取等情况时的值； 此时当，j从2取到10时，则的值为： ， ， ， 同理求出当，j从1取到10时，不取2，则的值为： ， ， ， 同理求出当，j从1取到10时（），则的值， 比较以上数量积的结果可知的不同数值为： 共9个； 当两点中一个取自四个顶点中，另一个取自6条棱的中点时， 可求得的不同值为： 共13个， 综合以上可得可能取值共有： 共13种， 故答案为：13 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是要分类讨论，先考虑向量所处的位置情况，再考虑，结合数量积的定义，分类计算，可求得答案. 12．已知函数，是方程的五个不等的实数根，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】作出函数的图像，根据函数图像的对称性和的值域，即得. 【详解】函数的图像如图所示，可得和关于轴对称，和关于轴对称，则有，，若的五个不等的实数根，则，解得：，所以的取值范围是. 故答案为： 【点睛】本题考查方程解的范围，由图像得到和是解题关键，有一定的综合性. 二、单选题 13．实数，，满足且，则下列关系成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等式可变形为，利用完全平方可得大小，由得，做差，配方法比较大小. 【详解】由可得，则， 由可得，利用完全平方可得 所以， ， ， 综上， 故选：D 【点睛】本题主要考查了做差法比较两个数的大小，考查了推理与运算能力，属于难题. 14．已知函数，，假如，，是曲线，上从左往右依次连续相邻的三个交点，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用辅助角公式化简，再根据函数图象的平移规律得到，数形结合得到为等腰三角形，通过添加辅助线，得到关于的不等式，进而求解的取值范围. 【详解】 所以将的图象向左平移个单位长度后可得到的图象，如图所示： 是与图象从左往右依次连续相邻的三个交点， 为等腰三角形，， 由，得 ，即 ， 又因为 解得， 故交点的纵坐标为， 过作交于点，由对称性可知， 为等腰三角形， ，， ，，得， ，解得 实数的取值范围为. 故选：B. 15．已知菱形ABCD的边长为2，设，若恒成立，则向量在方向上投影的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由恒成立解得向量与的夹角的取值范围，再去求向量在方向上投影的取值范围即可. 【详解】设向量与的夹角为 由，可得， 即， 即关于恒成立 则，即 故向量在方向上投影 故选：A 16．已知等差数列的公差d＞0，则下列四个命题： ①数列是递增数列； ②数列是递增数列； ③数列是递增数列； ④数列是递增数列； 其中正确命题的个数为 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】对于各个选项中的数列，计算第n+1项与第n项的差，看此差的符号，再根据递增数列的定义得出结论． 【详解】设等差数列，d＞0 ∵对于①，n+1﹣n＝d＞0，∴数列是递增数列成立，是真命题． 对于②，数列，得， ，所以不一定是正实数，即数列不一定是递增数列，是假命题． 对于③，数列，得，，不一定是正实数，故是假命题． 对于④，数列，故数列是递增数列成立，是真命题． 故选B． 【点睛】本题考查用定义判断数列的单调性，考查学生的计算能力，正确运用递增数列的定义是关键，属于基础题． 三、解答题 17．已知复数，（，是虚数单位）． （1）若复数在复平面上对应点落在第一象限，求实数的取值范围； （2）若虚数是实系数一元二次方程的根，求实数的值． 【答案】（1）；（2）13. 【分析】（1）由复数的减法求，根据其所在的象限可得，即可求的范围； （2）由是实系数一元二次方程的根，则也是它的根，进而可知，即可求. 【详解】（1）． ∵在复平面内对应的点落在第一象限， ∴，解得：． ∴实数的取值范围是； （2）∵虚数是实系数一元二次方程的根，． ∴也是实系数一元二次方程的根， ∴，可得. ∴的值为13. 18．混沌现象普遍存在于自然界和数学模型中，假设在一个混沌系统中，用来表示系统在第个时刻的状态值，且该系统下一时刻的状态值满足，已知初始状态值，其中，这样每一时刻的状态值构成数列. (1)若数列为等比数列，求实数的取值范围； (2)若，证明： ①； ②. 【答案】(1)； (2)①证明见解析；②证明见解析. 【分析】（1）根据给定条件，利用等比数列定义，结合求解即得. （2）①把代入，变形得，再探讨的符号及数列的单调性推理得证；②由已知结合累加法得，再由①结合累加法求得即可推理得证. 【详解】（1）由是等比数列，得，且， 依题意，，则， 于是，即，整理得， 因此，即，解得， 所以实数的取值范围是. （2）①由知，，则， 由，得数列是递减数列，则； 又，则同号，有与同号，即，于是， 所以． ②由，得， 由①知，，则，又，因此， 所以. 【点睛】思路点睛：涉及给出递推公式探求数列性质的问题，认真分析递推公式并进行变形，可借助累加、累乘求通项的方法分析、探讨项间关系而解决问题. 19．锐角，角的对边分别是.已知. (1)求； (2)求的取值范围. 【答案】(1)； (2)的取值范围为. 【分析】（1）利用正弦定理将条件转化为角的关系，化简可求， （2）结合条件求出的范围，结合内角和关系将转化为关于的解析式，再结合正弦函数性质可求结论. 【详解】（1）由正弦定理可得，为的外接圆半径， 所以， 所以，可化为， 所以， 因为为锐角三角形，所以， 所以， 所以，即， 所以； （2）因为为锐角三角形， 所以，， 所以， 因为， 所以， 所以， 因为，所以， 所以， 所以的取值范围为. 20．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，AD为BC边上的中线，已知且，． (1)求； (2)求的余弦值； (3)设点E，F分别为边AB，AC上的动点，线段EF交AD于G，且△AEF的面积为△ABC面积的一半，求向量的最小值． 【答案】(1)4 (2) (3)2 【分析】（1）对已知的式子利用正弦定理和余弦定理化简可求得，从而可求出的值， （2）由于D为的中点，所以，设，从而可表示，，再利用向量的夹角公式列方程可求出的余弦值， （3）设，，由△AEF的面积为△ABC面积的一半，可得，设，则可得，再由E，G，F共线，可设，即，从而可得，得，，然后用表示出，则可表示出，进而可求出其最小值 【详解】（1）∵， ∴由正弦定理得 由余弦定理得， 整理得 又，∴． （2）因为D为的中点，所以，设， ∴， 又， ∴，即， 解得或，又，所以， ∴∠BAC的余弦值为． （3）设，， ∵△AEF的面积为△ABC面积的一半， ∴，即 设，则， 又E，G，F共线， 所以设，则， ∴，解得， ， 又， ∴ ， 又，则， ∵，，，∴ 当时，的最小值为2． 21．设函数和函数的定义域均是是的非空子集.若对任意，当时，总有，则称函数是函数的一个“关联函数”． (1)若，求函数的所有“关联函数”； (2)若，且函数是其自身的一个“关联函数”，求实数的取值范围； (3)已知是定义在上的函数．若存在定义在上的函数，使得对任意正整数，都满足是的一个“关联函数”，求证：是上的严格增函数． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析. 【分析】（1）根据“关联函数” 的定义及换元法找出满足条件的函数即可. （2）应用新定义证明函数是增函数，将问题转化为在上恒成立，结合分离参数求最值，运用导数求在上最值即可. （3）先证明，再结合定义证明结论. 【详解】（1）设是的关联函数， 对于， 当时，即，总有， 所以， 设，则， 所以， 所以的关联函数为. （2）因为是其自身的一个关联函数. 对于，当时，. 所以函数在上单调递增， 所以在上恒成立， 即在上恒成立，所以， 设，则， 令，则；，则， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以， 所以的取值范围为. （3）因为存在定义在上的函数，使得对于任意正整数，都满足是的一个关联函数. 所以对任意，当时，有， 取，则， 取，则， 取，则， 因为 所以 若，则存在，使得，此时，矛盾， 所以， 所以对任意，对于任意正整数，当时， 有， 可得当时，， 则对于任意整数，在上单调递增， 当时，存在整数，使得， 则可得， 则是上的严格增函数. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $