2025-2026学年上海市高一数学下学期末复习综合测试卷（3）

**基本信息** 立足高一数学核心知识，通过游戏情境、数学史素材及创新定义问题，考查数学抽象、逻辑推理与模型构建能力，如“合成数字游戏”“跳跃数列”等设计体现知识应用与思维创新。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |填空题|12|扇形面积、三角函数、等差数列、复数、向量、解三角形等|第6题以“合成数字游戏”情境考查等比数列求和，体现数学眼光；第9题结合单位向量平行垂直关系，考查空间观念| |单选题|4|复数几何意义、充要条件、向量性质、等比数列求和|第15题辨析向量性质，考查推理意识；第16题通过等比数列前n项和公式应用，强化运算能力| |解答题|5|解三角形、复数方程与代数基本定理、三角函数图像变换、创新数列定义|第18题引入高斯代数基本定理，考查数学语言表达；第21题定义“跳跃数列”，通过分类讨论考查创新意识与逻辑推理|

2025-2026学年上海市高一数学下学期末复习综合测试卷（3）（解析版） 一、填空题 1．已知扇形的半径为6，圆心角为，则扇形的面积为_____． 【答案】 【分析】先计算扇形的弧长，再利用扇形的面积公式可求扇形的面积． 【详解】根据扇形的弧长公式可得， 根据扇形的面积公式可得． 故答案为：． 2．若，则_____. 【答案】2 【分析】由已知条件结合求出，再由可求得答案. 【详解】由，得， 因为，所以， 化简得，得，解得， 所以， 所以， 故答案为：2 3．在等差数列中，，，则公差的取值范围是______. 【答案】 【分析】根据等差数列通项公式得到不等式组，解出即可. 【详解】等差数列中，，， 所以，解得，即公差的取值范围是． 故答案为：. 4．已知角的终边在直线上，则的值为________. 【答案】或. 【解析】在直线上任取一点.则，然后分两种情况讨论即可 【详解】在直线上任取一点.则. （1）当时，，故，， 所以； （2）当时，，故，， 所以. 故等于或. 故答案为：或. 【点睛】本题考查的是三角函数的定义，较简单. 5．若正整数满足（为虚数单位），则的最小值为_____． 【答案】18 【分析】使用三角恒等变换化简得，再使用棣莫弗公式得，因为该式为实数，则，进而可求的最小值. 【详解】 由棣莫弗公式得 上式为实数当且仅当，即，即， 故所求的最小值为18． 故答案为：18. 6．如图，有一款合成数字游戏.游戏规则如下：在一个的方格中，游戏开始时，方格中会随机出现两个数字小方块，只能是2或4.手指向一个方向（上、下、左、右）滑动，所有含有数字的小方块都会向这个方向移动到不能移动为止，滑动过程中相同数字的两个小方块相撞时数字会相加，称为一次合并运算.每次滑动时，空白处会随机刷新出一个含有数字（只能是2或4）的小方块.当界面中最大数字是1024时，最少合并运算的次数为_____. 2 4 16 8 16 32 64 1024 512 256 128 【答案】255 【分析】由题意找到数字4出现的规律，再由等比数列的求和公式可得. 【详解】由题意可知界面中最大数字为1024时， 算式需出现次，算式需出现次， ……以此类推，算式需出现次， 故每次出现的都是数字4，最少合并运算的次数是. 故答案为：255. 7．已知函数()，，若与的图像交于A､B两个不同的点，点P在圆C：上运动，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】计算，，设，计算，得到答案. 【详解】，故，故，. 设， 故 ，， 故. 故答案为： . 【点睛】本题考查了向量模的范围问题，意在考查学生的计算能力和转化能力. 8．如图，在中，是边上一点，且，为直线上一点列，满足：，且，则___________，设数列，则的通项公式为___________. 【答案】 【分析】根据平面向量线性运算得到，结合题干条件得到，整理后得到，从而根据求出，得到，构造法得到为等比数列，求出的通项公式. 【详解】因为是边上一点，且， 故， 为直线上一点列，则， 因为， 则，故， 整理得：，即， 若，则，解得：，此时，解得：， 故为常数为1的数列，但，不合要求，故， 故， 令得：， 因为，所以，解得： 令，则， 即，因此， 所以为等比数列，公比为，首项为， 故，故 故答案为：， 【点睛】由递推公式求解通项公式，根据递推公式的特点选择合适的方法， （1）若，采用累加法； （2）若，采用累乘法； （3）若，可利用构造进行求解； 9．已知平面内有5个互不相等的单位向量，，，，.若这5个向量中恰有1对向量互相平行，恰有3对向量互相垂直，则的最大值为____________. 【答案】/ 【分析】先利用平行向量为相反向量的性质简化问题，再结合题设垂直对数约束，分类讨论并排除不可能情形，最终确定向量分布，利用向量加法的三角不等式求出和向量模长的最大值． 【详解】因为这5个单位向量互不相等，且恰有1对向量互相平行，所以这2个向量互为相反向量， 令，则，若，，中有2个或3个向量与垂直， 则这些向量也与垂直，所以这5个向量中，至少有4对向量互相垂直，不符合题意． 若，，均不与垂直，也不与垂直，则，，两两垂直，不符合平面向量的性质． 故，，中恰有1个向量同时与，垂直，令，， 则由题可知，从而，则 ， 当且仅当与同向时，等号成立，经检验，此时满足题设条件，故的最大值为． 10．在中，，，则BC的最小值为______. 【答案】/0.8 【分析】先得到，由正弦定理和三角恒等变换得，换元后，结合求出最小值. 【详解】因为，，所以． 在，由正弦定理得， 所以． 又， 由，得． 将其代入得， ， 由得，令， 则，当且仅当时，取得最小值． 故答案为： 11．在数列中，，则数列的通项公式____． 【答案】 【分析】由已知得出是以为首项，3为公比的等比数列，即可求解． 【详解】由， 可得， 又，所以是以为首项，3为公比的等比数列， 所以，所以， 故答案为：． 12．如图，在中，，，D，F分别为，的中点，P为与的交点，且．若，则______；若，，，则______． 【答案】 【分析】连接的中位线，利用三角形相似得到，再利用加法的三角形法则表示出，即可得到的值；同理表示出，利用向量的数量积运算即可得到结果. 【详解】 如图所示：连接， 因为D，F分别为，的中点， 所以是的中位线，所以， 则 ， 所以，所以； 因为， 所以 . 故答案为：；. 二、单选题 13．复数满足（为虚数单位）,则的共轭复数在复平面上所对应的点位于（  ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据已知条件及复数的乘除运算求复数，再由共轭复数的概念写出，进而确定其所在的象限. 【详解】由得：， 在复平面上所对应的点的坐标为在第四象限. 故选：D 14．“是第二象限角”是“是钝角”的 A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要 【答案】B 【分析】由α是钝角可得α是第二象限角，反之不成立，则答案可求． 【详解】若α是钝角，则α是第二象限角；反之，若α是第二象限角，α不一定是钝角，如α＝﹣210°． ∴“α是第二象限角”是“α是钝角”的必要非充分条件． 故选B． 【点睛】本题考查钝角、象限角的概念，考查了充分必要条件的判断方法，是基础题． 15．下列关于向量的各个说法不正确的是（    ） A． B．已知非零向量，，满足，则 C．中，为边中点，则有 D．已知点为内一点，满足，则G为的重心 【答案】B 【分析】对于A，由向量加减法的运算法则即可判断；对于B，变形成，即可根据向量数量积的性质判断；对于C，由向量加减法结合数量积公式即可判断；对于D，以，为邻边作平行四边形，由，得到顶点与对边中点比为，即可利用三角形重心的性质判断. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，；由，可得，根据向量数量积的性质可得或，则B不正确； 对于C，因为在中，为边中点， 则，，所以，故C正确； 对于D，以，为邻边作平行四边形，即四边形为平行四边形，其对角线交于， 因为，所以，所以得到顶点与对边中点比为，由三角形重心的性质可得G为的重心，故D正确； 故选：B 16．记为等比数列的前n项和．若，，则（   ） A．39 B．156 C． D． 【答案】D 【分析】利用等比数列通项公式基本量计算出，利用等比数列求和公式得到答案. 【详解】设等比数列的公比为， 由，得，所以， 又因为，所以，所以． 故选：D 三、解答题 17．在中，角的对边分别为．已知向量，，且． (1)求角的大小； (2)若，的面积，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由共线的坐标条件得，由辅助角公式得，结合角的范围求解即可. （2）将的值代入面积公式可求，由余弦定理求边，然后利用正弦定理求，进而应用二倍角公式得的值. 【详解】（1）因为，，且， 所以，即， 于是有， 因为，所以，所以， 解得． （2）由（1）知，，因为，， 所以，解得， 由余弦定理，得， 解得， 由正弦定理，得， 因为，．所以为锐角， 则． 所以． 18．数学家在解决判别式的二次方程时引入了虚数，例如解得：，．实际上高阶方程同样在复数域中有解，如解得：，，；解得：，，，．数学家高斯发现对于一元次多项式方程在复数域内有且只有个根（重根按重数计算，如解得：），这就是著名的代数基本定理． (1)已知方程的复数根在复平面内对应的点必然均分单位圆．试求解方程在复数域中的所有解； (2)已知复数的乘方运算满足，试求在复数域中的所有解； (3)试证明：方程（，且为偶数）在复数域内的所有解的和为． 【答案】(1)答案见解析 (2)． (3)证明见解析 【分析】（1）根据代数基本定理可求得方程的个复数根； （2）化简得，令，利用代数基本定理求出方程的三个复数根据，进而可得出方程的三个复数根； （3）由题意可知方程（，且为偶数），方程的个解对应的点均分单位圆，则相邻两个解夹角为，求出这个复数解与轴正方向的夹角，可知与夹角相差，即，利用并项求和法可证得结论成立. 【详解】（1）有解， 又其余个根在复平面内对应的点与对应的点均分单位圆， 所以复向量与轴正方向夹角分别为、、、、、， 故解为，    ，，，， ． （2）化简得，令，即， 由题知，，则， 其余个解与复数对应点均分单位圆， 所以，， 即，，， 综上，在复数域中的所有解为，， ． （3）对于方程（，且为偶数），设该方程有解， 方程的个解对应的点均分单位圆，则相邻两个解夹角为， 故所有解与轴正方向的夹角分别为， 因为为偶数，所以，……， ， ， 所以与夹角相差，即， 所以当，且为偶数时，方程在复数域内的所有解的和为． 19．某同学用“五点法”画函数在某一周期内的图像时，列表并填入的部分数据如下表： 0 π 2π 0 1 0 -1 0 0 0 0 (1)请填写上表的空格处；并画出函数图像或者写出函数的解析式 (2)将函数的图像向右平移个单位，再所得图像上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，求的单调递增区间； (3)在（2）的条件下，若在上恰有奇数个零点，求实数与零点个数的值． 【答案】(1)答案见解析 (2)增区间为 (3)，在共有个不同的零点 【分析】（1）根据表中数据可得关于的方程组，解出的值后再计算补全表中数据，再由表中数据可得，从而可得函数的解析式. （2）先求出的解析式，再求出的定义域，结合三角函数的单调性可得复合函数的单调增区间. （3）令，设方程的根为，分①；②；③三种情况讨论在及上零点个数，再根据周期性得到的零点个数，结合题设条件可得的值及相应的零点个数. 【详解】（1）解：根据表中的数据可得 ，解得， 故，所以， 又，故. 所以完善表如下：    0 π 2π 0 1 0 -1 0 0    0    0 所以. 函数图像如图： （2）解：将函数的图像向右平移个单位，所得图像的解析式为： ， 再将所得图像上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像， 故. 此时， 令，则，故. 当时，为增函数， 故为减函数； 当时，为减函数； 故为增函数. 所以的增区间为 （3）解：，的周期为， 当时，令，考虑方程的根情况， 因为，故在必有两个不同的实数根， 因为在有奇数个零点，故或. 若，则方程、在共有4个不同的实数根， 在有0个实数根或2个实数根， 故在有个根或个根， 与有奇数个零点矛盾，舍去. 若，则在共有2个不同的实数根，在有0个实数根或2个实数根， 故在有个根或， 与有奇数个零点矛盾，舍去. 同理也不成立，所以或， 若，则，此时的根为， 方程、在共有3个不同的实数根，而在上，有两个不同的根，无解， 所以在有个根， 与有奇数个零点矛盾，舍去； 若，则，方程的根， 方程、在共有3个不同的实数根，而在上，无解，有一个根， 所以故在有个根，符合题意. 综上，，在共有个不同的零点. 【点睛】本题较为全面地考查了三角函数的图像和性质、三角函数的图像变换及复合函数零点的个数判断，注意与三角函数有关的复合函数的单调区间问题，要在定义域的基础上考虑其单调区间，而与三角函数有关的复合方程的零点个数问题，要结合函数的周期性来考虑，而一个周期上的函数零点判断，则需转化为内外两个方程的根的情况来讨论，本题属于难题. 20．如图，在中，，，的面积等于，为边长上一点，. （1）求的长； （2）求的值； （3）求的值. 【答案】（1）7；（2）；（3）或. 【分析】（1）由三角形的面积可求出，再利用余弦定理可求出的长； （2）在中，利用正弦定理直接求解即可； （3）在中利用正弦定理求出，再利用同角三角函数的关系求出的值，而，然后利用两角和的余弦公化简计算即可 【详解】解：（1）设角所对边为，由题知，解得， 在中，由余弦定理可得， 解得，即； （2）在中，由余弦定理可得， 又因为， 则 （3）在中，由正弦定理有， 解得，， ①当时， ②当时， 21．若数列对任意连续三项，均有，则称该数列为“跳跃数列”. （1）判断下列两个数列是否是跳跃数列： ① 等差数列：； ② 等比数列：； （2）跳跃数列满足对任意正整数均有，求首项的取值范围. 【答案】（1）①不是跳跃数列；②是跳跃数列；（2）. 【解析】（1）①根据定义可直接判断其不是跳跃数列；②根据定义可直接判断其是跳跃数列； （2）根据条件分和两种情况求出 的取值范围，再求出首项的取值范围. 【详解】（1）①等差数列：，不满足 ，所以不是跳跃数列；②等比数列：，满足 ，所以是跳跃数列； （2）由，得 ， .若 ，则， 此时；若 ，则，此时 . 若，则 ，所以； 若，则 ，所以， 所以. 【点睛】求解等差等比的综合问题，需要分析清楚条件，根据条件描述的等差数列的性质还是等比数列的性质列式，然后再根据数列是等差或者等比数列，将式子表示为基本量或者 进行化简计算. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年上海市高一数学下学期末复习综合测试卷(3)（解析版） 一、填空题 1.已知扇形的半径为6，圆心角为等，则扇形的面积为 2.若cosx+2sina=-V5,则tan&= 3.在等差数列{an}中，a2=-15,a7ag<0,则公差d的取值范围是 4.已知角a的终边在直线3x+4y=0上，则2sin+cosa的值为 5.若正整数k满足（器+器·）广∈R(1为虚数单位)，则k的最小值为 6.如图，有一款合成数字游戏游戏规则如下：在一个4*4的方格中，游戏开始时，方格中 会随机出现两个数字小方块，只能是2或4.手指向一个方向（上、下、左、右）滑动，所有 含有数字的小方块都会向这个方向移动到不能移动为止，滑动过程中相同数字的两个小方块 相撞时数字会相加，称为一次合并运算每次滑动时，空白处会随机刷新出一个含有数字（只 能是2或4)的小方块.当界面中最大数字是1024时，最少合并运算的次数为 2 4 16 8 16 32 64 1024 512 256 128 7.已知函数f(x)=是(a>0),g(x)=(x-1)3,若f(x)与g(x)的图像交于A 、B两个不同的点，点P在圆C:x2+(y-1)2=1上运动，则PA+PB的取值范围是 8.如图，在△ABC中，D是AC边上一点，且A=D元，En(nEN)为直线AB上一 点列，满足：EnB=（4aH1-1)EnD+方EnC,且a1=6,则a2=，设 数列bn=a马，则{ba}的通项公式为 试卷第1页，共3页 B D 9.己知平面内有5个互不相等的单位向量a1,a2,a3,a4,a5若这5个向量中恰有1对向 量互相平行，恰有3对向量互相垂直， 则引的最大值为 10.在△ABC中，A=B+2C,AB+AC=1,则BC的最小值为 11.在数列an中，a1=5,at1=3an-4,则数列an的通项公式an=· 12.如图，在△ABC中，AB=a,AC=b,D,F分别为BC,AC的中点，P为AD与 BF的交点，且A它=2E.若B户=xa+yb,则x+y=；若AB=3,AC=4, ∠BAC=号，则BP.E= 二、单选题 13.复数z满足(z一3(2一)=5i(1为虚数单位)，则z的共轭复数z在复平面上所对应的点 位于() A.第一象限 B,第二象限 C.第三象限 D.第四象限 14.“a是第二象限角”是“a是钝角”的 A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要 15.下列关于向量的各个说法不正确的是() A.AB=PB-P元-CA B.已知非零向量a,b,满足.b=.,则奶= C.△ABC中，D为边BC中点，则有A.A元=AD2_BD2 D.己知点G为△ABC内一点，满足GA+G2+G元=0，则G为△ABC的重心 试卷第1页，共3页 16.记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a1=言，a34=a5,则S4=() A.39 B.156 c.碧 D. 三、解答题 17.在△ABC中，角AB,C的对边分别为a,b,c.已知向量=（(1，V3), i=(sinA,1+cosA),且ia (1)求角A的大小： (2)若c=5,△ABC的面积S=5V3,求sin2B的值. 18.数学家在解决判别式△<0的二次方程时引入了虚数，例如x2+1=0解得：X1=1, x2=-1.实际上高阶方程同样在复数域中有解，如x3=1解得：名1=1，X2=一专+写】 ，Xg=-支-号：4=1解得：x1=1,x2=1,x=-1,X4=-1.数学家高斯发 现对于一元n次多项式方程(n∈N+)在复数域内有且只有n个根（重根按重数计算，如 x2=0解得：X1=x2=0),这就是著名的代数基本定理. (1)已知方程x=1(n≥2，n∈N+)的复数根在复平面内对应的点必然均分单位圆.试求解 方程x6=1在复数域中的所有解； (2)已知复数的乘方运算满足(cos6+i·sin6)”=cosn6+i·sinn6,试求x3=81在复数 域中的所有解， (3)试证明：方程x+1=0(n∈N+,且n为偶数)在复数域内的所有解的和为0. 19.某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+p)(ω>0，p<)在某一周期内 的图像时，列表并填入的部分数据如下表： X - 10π 3 ωx+p 0 恶 π 婴 2π sin(ax+) 0 0 -1 0 f(x) 0 5 0 0 (1)请填写上表的空格处；并画出函数f(x)图像或者写出函数f(x)的解析式 试卷第1页，共3页 (②)将函数F(x)的图像向右平移琴个单位，再所得图像上各点的横坐标缩小为原来的号，纵 坐标不变，得到历数g(x)的图像，求y=10g:g(x)-]的单调递楷区间， V3 (3)在(2)的条件下，若F(x)=g2(x)+号a·g(x)-1在xE(0,2021π)上恰有奇 数个零点，求实数a与零点个数n的值， 琴 10π 3 ωx+p 0 茎 暨 2π sin(wx+) 0 0 -1 0 f(x) 0 5 0 -5 0 20.如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AC=3,△ABC的面积等于15，D为边 长BC上一点，AD=号 D (1)求BC的长； (2)求sin∠ACD的值； (3)求cos∠CAD的值 21.若数列{an}对任意连续三项a,a+1a+2,均有 (a1-a+2)(a+2-a+1)>0(ieN,则称该数列为跳跃数列 (1)判断下列两个数列是否是跳跃数列： ①等差数列：1,2,3,4,5，…； 试卷第1页，共3页 ②等比数列：1，一支，青，一言，品… (2)跳跃数列(a}满足对任意正整数n均有1=号，求首项1的取值范围 试卷第1页，共3页