第二章《2.1等式性质与不等式性质》教学设计2026-2027学年人教A版高一数学必修第一册

该高中数学教学设计聚焦不等关系表示、作差比较法及重要不等式，通过限速路标、酸奶质量检查等生活实例导入，衔接初中不等式基础，搭建“情境感知—抽象建模—探究证明—应用巩固”的学习支架，为后续不等式性质等内容奠基。 以赵爽弦图探究重要不等式，渗透数形结合思想培养数学眼光，作差比较法“四步曲”总结强化推理能力发展数学思维，生活实例建模提升数学语言表达。助力学生提升抽象建模与逻辑推理能力，为教师提供清晰教学流程与多元评价方法。

《2.1等式性质与不等式性质》教学设计 一、课题：2.1等式性质与不等式性质 二、第1学时 三、教学内容分析 本节课选自人教版高中数学必修第一册第二章 《一元二次函数、方程和不等式》 的第一节第一课时，是本章知识的开篇内容。不等关系是现实世界中最基本的数量关系之一，不等式是刻画不等关系的数学模型。本节课所学习的不等关系表示、作差比较法以及重要不等式，不仅是后续学习不等式性质、求解不等式、研究函数单调性等内容的基础，也是解决实际问题中优化问题的重要工具，在整个高中数学知识体系中具有承上启下的关键作用。 四、学情分析 学生在初中阶段已经学习了简单的不等式概念，掌握了一元一次不等式（组）的解法，能够识别现实生活中基本的不等关系，具备一定的文字语言与符号语言转化能力。同时，学生在初中也接触过作差法比较两个数的大小，为高中阶段进一步深化作差比较法的应用奠定了基础。 五、教学目标 （1）熟练掌握作差比较法的步骤，能运用该方法比较两个实数或代数式的大小。 （2）通过经历 “情境感知 — 抽象建模 — 探究证明 — 应用巩固” 的过程，提升数学抽象与数学建模能力。 （3）在探究作差比较法和重要不等式的过程中，培养逻辑推理能力与数形结合思想。 六、教学重点、难点 教学重点： （1）用不等式（组）表示实际问题中的不等关系。 （2）作差比较法的步骤及应用。 （3）重要不等式的理解与记忆。 教学难点： （1）从复杂的实际问题中梳理不等关系，建立不等式模型（如杂志定价问题）。 （2）作差比较法中差式的变形与符号判断。 （3）重要不等式的几何意义解读与逻辑证明。 七、评价设计 （1）过程性评价：在探究学习过程中，观察学生的参与讨论情况，及时反馈和指导。 （2）表现性评价：在探究活动、概念理解、典例讲解等环节中，学生参与度高，积极性强。 （3）激励性评价：在各个教学环节中，给表现突出的学生及时给与肯定和表扬，激发学生参与课堂的积极性。 （4）诊断性评价：由学生对知识进行分析总结，通过课堂练习来检测学生对本节课所授知识的掌握程度。 八、教学过程活动设计 环节名称 教师活动 学生活动 设计意图 时间 情境导入 新知探究一 问题1 用不等式或不等式组表示不等关系 （1）限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行使时，应使汽车的速度不超过40km/h； （2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于2.5%，蛋白质的含量应不少于2.3% （3）三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边； （4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短； 【答案】（1） （2） （3）设的三条边为，则有 （4）（D点是垂足，E点是直线上不与D点重合的点） 问题2 某种杂志原以每本2.5的价格销售，可以售出8万本.据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能减少2000本.如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元？ 答案：设提价后每本杂志的定价为 销量减少了万本 销售总收入 问题探究 思考讨论 分享展示 通过例题，使学生熟悉不等关系与不等式，培养数学运算的核心素养 10分钟 新知探究二 比较两个实数的大小 在数轴上，如果表示实数和的两个点分别为和，则点和点在数轴上的位置关系有以下三种： （1）当点和点重合： （2）当点在点的左边： （3）当点在点的右边： 【归纳新知】 关于实数大小的比较，有以下基本事实： 如果是正数，那么；如果等于，那么；如果是负数，那么.反过来也对. 这个基本事实可以表示为： 思考讨论 归纳新知 利用数轴，帮助学生理解比较两个实数大小的基本事实 5分钟 典例讲解 例1 比较和的大小. 【答案】 因为 所以 【归纳总结】比较两个实数（或代数式）大小的步骤：（1）作差（2）变形（3）判断差的符号（4）作出结论 巩固练习 归纳总结 通过例题的讲解，使学生熟练掌握作差法比较大小的方法及过程，培养数学运算的核心。 7分钟 新知探究三 重要不等式 该图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客.你能在这个图中找出一些相等关系和不等关系吗？ 【答案】上图的风车可抽象成如下该图： 设直角三角形的两条直角边的长为, 那么正方形的边长为 四个三角形的面积为 正方形的面积之和为 由于正方形的面积大于四个直角三角形的面积和，则有 当直角三角形变为等腰直角三角形时，即时，正方形的面积和4个直角三角形的面积相等 这时会有 【重要不等式】 一般地，,有 当且仅当时等号成立 思考：能否使用本节课学习的知识来证明该不等式？ 问题探究 思考讨论 分享展示 通过引导学生发现赵爽弦图之中的相等关系和不等关系，培养学生的思维能力，留下疑问，让学生自行用本节课所学习的内容进行证明该重要不等式。 7分钟 课堂练习 1、比较的大小. 2、已知，证明 【答案】1、解： 2、因为 所以 同理 所以 巩固练习 加深印象 通过课堂练习巩固，深化作差比较大小的过程 7分钟 课堂小结 1、 这节课你有什么收获 2、 布置作业 归纳总结 巩固本节课的知识内容 4分钟 九、板书设计 1、关于实数大小的比较，有以下基本事实： 2、 重要不等式 一般地，,有 当且仅当时等号成立 例1 解：因为 所以 十、作业设计 课本第43页练习 3.比较下列各组中两个代数式的大小 （1） （2） （3） （4） 十一、教学反思和改进 1、亮点：以生活实例与赵爽弦图为载体，将抽象的不等关系转化为可感知的具体问题，有效激发了学生的学习主动性，尤其是弦图的探究环节，多数学生能自主提炼面积关系，体现了数形结合的教学价值。从 “表示关系” 到 “比较大小” 再到 “证明结论”，逻辑链条层层递进，符合学生 “直观感知 — 抽象概括 — 逻辑验证” 的认知规律，作差比较法的 “四步曲” 总结，降低了学生的应用难度。 2、不足：杂志定价问题中，部分学生对 “单价提高量与销量减少量的比例关系” 理解困难，导致时间超出预期，压缩了后续练习的时间。作差比较法的 “变形” 环节，未系统梳理因式分解、通分等不同变形场景的适用条件，导致部分学生在比较分式或多项式代数式时无从下手。 3、改进措施：将杂志定价问题拆解为 “阶梯式小问题”：（1）单价提 0.1 元，销量减多少？（2）提 0.2 元呢？（3）提t元呢？通过梯度提问降低理解难度，预设讨论时间，确保教学节奏。增加 1-2 个不同类型的比较分式或多项式变形例题，通过对比讲解加深理解。 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $