2026年中考数学二次函数综合压轴题考前冲刺专题提升训练（海南）

**基本信息** 聚焦二次函数与几何综合，以分类讨论、模型构造为核心方法，系统覆盖解析式求解、动态最值等中考高频考法。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|1-3题|待定系数法、对称轴分类求最值|从函数概念到性质应用，构建“解析式-图象-性质”逻辑链| |几何综合|4-10题|面积分割法、一线三垂直模型|结合三角形全等/相似，实现代数与几何知识融合| |动态探究|11-20题|平移旋转转化、存在性问题论证|通过动点/图形变换，培养数学抽象与推理能力|

2026年中考数学二轮复习（海南） 《二次函数综合压轴题》考前冲刺专题提升训练 1．如图，已知二次函数（，为常数）的图象经过点，且交轴于点、B，D是抛物线的顶点． (1)求二次函数的解析式； (2)求的面积； (3)当时，求的取值范围； (4)当时，若的最大值与最小值之和为10，求的值． 2．如图，二次函数的图象经过点，点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)求的面积； (3)点在直线下方的抛物线上运动，当时，求点的坐标； (4)动点在抛物线的对称轴上运动，作射线，若射线绕点逆时针旋转与抛物线交于点，是否存在点使？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．已知二次函数的最大值是，其图象记为抛物线．     (1)请求出抛物线的对称轴及函数解析式； (2)当时，函数的最大值是，最小值是，若，求的值； (3)如图，将抛物线：先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到抛物线． ①直接写出抛物线的函数解析式； ②已知直线与轴交于点，与直线：交于点，与抛物线，分别交于点，．当时，请求出点的坐标． 4．如图，抛物线经过点和点，与轴交于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点P是抛物线上的动点，且位于轴的左侧． ①当点为抛物线顶点时，求四边形的面积； ②连接、，当时，求点的坐标． (3)将抛物线的图象向右平移个单位长度后，当，且该函数的最大值与最小值的差为1时，请直接写出的值． 5．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点．已知抛物线的对称轴为直线l，点A与点O关于直线l对称．点P在直线上，连接、分别交抛物线于点B、C，设点P的横坐标为m． (1)求点A的坐标； (2)当时，m的值为 ； (3)当时，求m的取值范围； (4)作点P关于点B的对称点，点P关于点C的对称点，连结．当线段与线段有公共点时，直接写出m的取值范围． 6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、两点，交y轴于点C． (1)求抛物线的表达式及顶点的坐标； (2)点在第一象限的抛物线上，请连接． ①若，且的最小面积为3，请求出t的取值范围； ②若，请求出点的坐标； (3)若、分别为抛物线上在对称轴两侧的点，且，请求出n的取值范围． 7．如图，已知抛物线：过点和． (1)求抛物线的表达式和顶点坐标． (2)若当时，函数的最大值和最小值的差为16，求的值． (3)若抛物线：不经过第三、四象限，直线与抛物线和分别相交于点，（，不重合）． ①求的值； ②当线段的长度随的增大而增大时，直接写出的取值范围． 8．如图，抛物线交轴于两点，与轴交于点，连接．为线段上的一个动点，过点作轴，交抛物线于点，交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)过点作，垂足为点，设点的坐标为， ①请用含的代数式表示线段的长，并求出当为何值时，有最大值，最大值是多少？ ②当时，线段长的取值范围为； ③在①的条件下，直线上有一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转度，使点的对应点恰好落在该抛物线上，求点的坐标． 9．如图，抛物线经过点，与轴的正半轴交于点，点是线段上的动点，过点作轴于点，交抛物线于点，点是此抛物线上的一动点． (1)若． ①求该抛物线的解析式； ②当时，比较与的大小，并说明理由； ③当点不与，重合时，连接，，，求的值； (2)若，，求取何值时线段的长度最大（可用含的代数式表示）． 10．如图1，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，且对称轴为． (1)求该抛物线的表达式； (2)如图1，点为对称轴上一动点，求的周长的最小值； (3)把该抛物线沿轴向右平移个单位长度，若自变量满足时，对应的函数值的最小值为3，求的值； (4)如图2，点为该抛物线的顶点，点为该抛物线上位于第二象限的一个动点，作直线，分别与对称轴交于点，，比较线段和的长度大小． 11．如图，已知抛物线过点和点． (1)求该抛物线的函数关系式； (2)已知点是上方的抛物线上一点，作轴于点，求的最大值； (3)当，函数有最小值为0，求的值． 12．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，B点的坐标为，点M为抛物线上的一个动点． (1)若该二次函数图象的对称轴为直线时： ①求二次函数的表达式； ②当时，求y的取值范围； ③当点M位于x轴下方抛物线图象上时，过点M作x轴的垂线，交于点Q，求线段的最大值； (2)过点M作的平行线，交抛物线于点N，设点M、N的横坐标为m、n．在点M运动的过程中，试问的值是否会发生改变？若改变，请说明理由；若不变，请求出的值． 13．如图1，抛物线与x轴交于A、B（点A在B的左边）两点，点B的坐标是，抛物线与y轴负半轴交于点C，且． (1)求该抛物线的解析式； (2)当时，求y的取值范围； (3)请证明：直线与抛物线一定有两个交点； (4)如图2，抛物线的对称轴与x轴相交于点G，点P是在对称轴右侧且位于第四象限的抛物线上的一点，连接，交对称轴于点M，连接并延长，交对称轴于点N，试求的值． 14．如图，已知二次函数的图象经过点，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点D为抛物线的顶点，求的面积； (3)抛物线上是否存在点P，使是以为底的等腰三角形，若存在求出P点坐标，若不存在说明理由： (4)在第一象限的抛物线上是否存在点N，使点N到的距离最大，若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由． 15．已知抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的解析式； (2)若，分别是第一象限内抛物线上两点，且，求的取值范围； (3)如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，连接，，点G是第四象限内抛物线上一个动点，过点作的平行线，分别交x轴，y轴，于点D，E，F． ①求线段的最大值； ②在点运动的过程中，是否存在点恰好是线段的三等分点？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 16．如图，已知抛物线与轴交于点、与轴交于点． (1)该抛物线的解析式为 ； (2)点的坐标为，点为第一象限内抛物线上的一点，其横坐标为，设四边形的面积为，若与之间的函数关系式为，求、、的值； (3)在（2）条件下，函数≥的图象记为，函数的图象记为，图象合起来得到的图象记为． ①当时，求图象所表示的函数的最大值； ②已知线段的两个端点坐标分别为、．若．当图象能够与线段有两个公共点时，直接写出的取值范围． 17．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)如图，点在第四象限的抛物线上运动，过点作于点，过点作轴交于点，点的横坐标为． ①用含的代数式表示的长； ②求的最大值及此时点的坐标； (3)将该抛物线在间的部分记为图象，将图象在直线下方的部分沿直线翻折，其余部分保持不变，得到一个新的函数的图象，记这个函数的最大值为，最小值为，若，请直接写出的取值范围． 18．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，点． (1)求此二次函数的解析式． (2)当时，求二次函数的最大值和最小值． (3)点为此函数图象上任意一点，其横坐标为，过点作轴，点的横坐标为．已知点与点不重合． ①当线段的长度随的增大而减小时，的取值范围为________． ②当，线段与二次函数（）的图象有1个交点时，直接写出的取值范围． 19．如图1和图2，抛物线与轴分别交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求A，B，C三点的坐标； (2)如图1，是抛物线上一点，连接，若，求点的坐标； (3)如图2，直线与抛物线交于，两点，直线，分别交轴于点，．试探究是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由． 20．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，点． (1)求此二次函数的解析式； (2)当时，求二次函数的最大值和最小值； (3)点为此函数图象上任意一点，其横坐标为，过点作轴，点的横坐标为．已知点与点不重合，且线段的长度随的增大而减小． ①求的取值范围； ②当时，直接写出线段与二次函数的图象只有1个交点时的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2026年中考数学二轮复习（海南） 《二次函数综合压轴题》考前冲刺专题提升训练 1．(1) (2) (3) (4)或 【分析】（1）二次函数图象经过点A、点C，运用待定系数法即可求出函数解析式； （2）过抛物线的顶点D，作x轴的垂线，交x轴于点E，交于点F，分割成与, 以为底，高用横坐标表示，即可求出的面积； （3）函数图象开口向下，对称轴是，x取值范围包含了对称轴，在对称轴处取得最大值，再比较x区间端点与对称轴的距离，距离越大，函数值越小，即可求出的取值范围； （4）先求时，，抛物线顶点为，分两种情况讨论： ①，，即，解方程得，如果，则，y包含了顶点，，不符合题意，舍去；，符合题意； ②，根据抛物线的对称性，x取值范围必然包含对称轴，，，解方程，解得，因为，不符合题意，舍去；符合题意． 【详解】（1）解：将点A，点C坐标代入函数解析式，联立解方程组 解得， ． （2）解：过抛物线的顶点D，作x轴的垂线，交x轴于点E，交于点F，点F与点D横坐标相同，如下图 ， ， 设过点、点的直线为， ∴ 解得， ， 点代入得， 的长度为点D与点F的纵坐标相减， ， ． （3）解：函数图象开口向下，包含了对称轴，则在顶点取得最大值， ， ， 取得最小值， ， ． （4）解：时，， 分两种情况讨论： ① ， 列方程， 解得， 如果，则，，不符合题意，舍去； ，符合题意； ② ， ， 解方程， 解得， 因为，不符合题意，舍去；符合题意， 综上所述，或． 2．(1) (2)6 (3)点 (4)存在，的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据三角形面积公式直接求解； （3）过作轴，交轴于，设，由可得，再列方程即可求解； （4）分当点Q在x轴下方时，当点Q在x轴上方时，两种情况求出对称轴，设出点Q坐标，根据“一线三垂直”模型构造全等三角形，用点Q的坐标表示出点D的坐标，再根据点D在抛物线上构造方程求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图像经过三点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：，边上的高为， ； （3）解：过作轴，交轴于，设， 则， 又， 为等腰直角三角形， ，即， 整理得， 解得或（舍去）， 时，， 则点的坐标为； （4）解：如图3-1所示，当点Q在x轴下方时，设抛物线对称轴交x轴于H， 过点D作交直线于G， ∵抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线， ∴， ∴； ∵， ∴； 设点Q的坐标为，则； 由旋转的性质可得， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴点D的横坐标为，纵坐标为， ∴， ∵点D在抛物线上， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴此时点的坐标为； 如图3-2所示，当点Q在x轴上方时，过点Q作轴， 分别过点A，点D作直线的垂线，垂足分别为R、S，设点Q的坐标为， ∴； 由旋转的性质可得， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点D的横坐标为，纵坐标为， ∴， ∵点D在抛物线上， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴此时点的坐标为； 综上所述，存在点Q使，此时点Q的坐标为或． 3．(1)抛物线的对称轴为直线，抛物线的表达式为； (2) (3)①；②或 【分析】（1）由抛物线的对称轴为直线计算即可得到对称轴，再根据当时，，列式即可得出的值； （2）先得到当和对应的的值，再得到二次函数图象在时的增减性，即可得到、的值，最后根据列式计算即可； （3）①先将抛物线的解析式表示为顶点式，再根据二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”，得到平移后的抛物线的解析式； ②根据题意得到点，，，的坐标，进而可表示出，的长，最后根据列式计算即可． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线， ∵二次函数的最大值是5， ∴当时，， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：由（1）知，抛物线的表达式为：， 当时，， 当时，， 抛物线的对称轴为直线，抛物线的开口向下， 当时，随的增大而减小， 当时，函数的最大值是，最小值是， 当时，取最大值，当时，取最小值， 即，， ， ， 解得，（负值舍去）， ； （3）解：①， 则， ②解：由题意点，则点，，， ， ， 当时，即， 解得或或（不合题意，舍去）， 当时，点的坐标为或． 4．(1) (2)① ；② 或 (3) 【分析】（1）因为已知抛物线经过和两个点，所以将两点坐标代入抛物线表达式，求解b和c，即可得到抛物线解析式． （2）① 先求抛物线与x轴交点A的坐标，再将抛物线解析式配方得到顶点P的坐标；因为四边形是不规则四边形，所以可通过拆分为梯形和三角形，代入长度计算面积．② 先计算的度数，因为，设直线交轴于，所以，分两种情况：点在轴上方和点在轴下方，分别求出的直线方程，联立抛物线方程求解，再根据在y轴左侧筛选坐标． （3）先写出抛物线向右平移n个单位后的解析式，确定其对称轴；因为区间的最值与对称轴和该区间的位置关系有关，所以分对称轴在区间左侧、区间内、区间右侧三种情况，分别求出对应最大值和最小值，根据差值为1列方程求解． 【详解】（1）把 、代入 ， 当 时，； 代入 ：，得 ． 因此抛物线的表达式为：； （2）①抛物线， 顶点 ， 令 得 ，为原点 ． 过 作 轴于， ， ， ； ②， ， ， ． 设直线交轴于， ，分两种情况： 如图，点在轴上方： ， 设直线解析式为 ， 把点代入得，，解得， 直线解析式为 ， 联立抛物线： ，整理得 ， 解得 （点，舍去），， 代入，得 ， ． 如图，点在轴下方： ，同理可得直线解析式为 ， 联立抛物线： ，整理得 ， 解得 （点，舍去），， 代入，得 ， ． 点坐标为 或 ． （3）抛物线向右平移个单位后，解析式为 ， 对称轴为直线 ，开口向下， 在分情况讨论区间 ： 情况1：对称轴在的左侧，即，解得； 此时在上抛物线y随x的增大而减小， 当时，y取最大值：， 当时，y取最小值：， 根据题意最大值与最小值的差为， 解得与的前提矛盾，舍去，此情况无解． 情况2：对称轴在的左半部分，即，解得， 此时顶点在内，开口向下，因此最大值为顶点纵坐标； 对称轴，离对称轴更远，因此最小值在处取得：， ， 解得或（超出范围，舍去）， 符合条件的解． 情况3：对称轴在的右半部分，即，解得， 顶点仍在内，最大值； 对称轴，离对称轴更远， 因此最小值在处取得：， ， 解得或，（均不满足） 情况4：对称轴在的右侧，即，解得， 此时在上抛物线y随x的增大而增大， 最大值在处，最小值在处， 解得 与的前提矛盾，舍去，此情况无解． ． 5．(1) (2)2 (3) (4)或 【分析】（1）根据二次函数对称轴公式确定对称轴，再根据点A与点O关于对称轴对称，求出点A的坐标； （2）根据二次函数的轴对称性和确定m的值； （3）根据中点坐标公式确定的中点D点坐标，再根据确定点C、D之间的位置关系，进而确定纵坐标的大小关系，得到m的取值范围； （4）当与点O重合时，则B是的中点，当与点A重合时，则C是的中点，根据这两种特殊位置确定m的临界值，进而m的取值范围． 【详解】（1）解：已知抛物线的对称轴为直线l，点A与点O关于直线l对称， ∴对称轴直线l：， ∴点A的坐标为； （2）解：∵点和点关于抛物线对称轴直线对称，若点P也在对称轴上，则整个图形关于直线对称，交点B和C也关于直线对称， ∴， ∴； （3）解：设的中点为D， ∵，， ∴，， 当C，D重合时，得：， 解得：，， ∵， ∴D点在C点的下方，靠近A的位置，即， ∴； （4）解： ∵点P关于点B的对称点，点P关于点C的对称点， 当与点O重合时，则B是的中点， ∵，， ∴， 将点B的坐标代入，得：， 解得：； 当与点A重合时，则C是的中点， 由（3）可得， 解得：，， ∵线段与线段有公共点， ∴m的取值范围为或． 【点睛】本题考查了二次函数的性质、一次函数、中点坐标公式、对称性，解题关键是确定特殊位置、特殊情况时的临界值． 6．(1)； (2)①；②P的坐标为或 (3) 【分析】（1）把A、B的坐标代入，求出b、c的值，进而可求出顶点坐标即可得到答案； （2）①过点P作轴，交BC于点Q，求出解析式，由，得，得，得，开口向下，对称轴为，当的最小面积为3时，或，所以；②过点P作轴于点D，过点B作，交延长线于点E，可得四边形是矩形，当时，证明，得，解得，得P的坐标为；当时，证明，得，得，解得或（舍去），P的坐标为；当时，不存在． （3）由，得函数图象开口向下，对称轴为直线，当点M在对称轴的左侧，点N在对称轴的右侧时，，解得，结合，得，解得，综合；另解：当点M在对称轴的左侧，点N在对称轴的右侧时，得，由对称性关于对称轴的对称点为，结合，得，即得；当点N在对称轴的左侧，点M在对称轴的右侧时，不等式组，无解． 【详解】（1）解：抛物线与x轴交于，两点， ， 解得， 抛物线的表达式为， ， 抛物线顶点的坐标为； （2）解：①过点P作轴，交BC于点Q， 令，则， ，又， 设解析式为， 把代入，得， 解得 解析式为， 即， ， ∴， 面积对应的函数图象开口向下，对称轴为， ∴对称轴在范围内， ∵， ∴， 解得或， ∴； ②过点P作轴于点D，过点B作，交延长线于点E， 则， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 设， 则， ∴， 当时，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 化简，得， 解得或（舍去）， ∴P的坐标为； 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴P的坐标为； 当时， ∵，在的内部， ∴， ∴不存在． 综上，P的坐标为或． （3）解：， 函数图象开口向下，对称轴为直线， 当点M在对称轴的左侧，点N在对称轴的右侧时， 由题意得， 解得， ∵， ∴， 解得， ； 另解： Ⅰ、当点M在对称轴的左侧，点N在对称轴的右侧时， 由题意得， 解得， 关于对称轴的对称点为， ∵， ∴， 解得， ； Ⅱ、当点N在对称轴的左侧，点M在对称轴的右侧时， 由题意得， 该不等式组无解； 综上所述，． 7．(1)，顶点为 (2)或 (3)①；②或 【分析】（1）先由待定系数法求解函数表达式，再配方求解顶点坐标； （2）讨论与轴对称之间的关系，结合二次函数的性质求解即可； （3）①抛物线：不经过第三、四象限，且抛物线开口向上，则中，即可求解； ②抛物线：，可得此时，，那么，再分类讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线：过点和 ∴ 解得 ∴ 而， ∴顶点坐标为； （2）解：，可知抛物线的对称轴为直线， 而，抛物线开口向下， 当时，即，随着的增大而增大， ∴当时，， 当时， ∵ ∴ 解得，符合题意； 当时，此时 则当时，， ∵ ∴ ∴ 解得或，均不在范围内，故不符合题意； 当时，随着的增大而减小， ∴当时，， 当时， ∵ ∴ 解得，符合题意 综上：的值为或； （3）解：①∵抛物线：不经过第三、四象限，且抛物线开口向上 ∴中， 则 即 而 ∴ 解得 ∴的值为； ②∵的值为 ∴抛物线： ∵直线与抛物线和分别相交于点，（，不重合） ∴， ∴ ∵点，不重合， ∴ ∴且， 当时，，开口向上，对称轴为直线， ∴此时随着的增大而减小； 当时，，开口向下，对称轴为直线， ∴在时，随着的增大而增大；当时，随着的增大而减小； 当时，，开口向上，对称轴为直线， ∴此时随着的增大而增大； 综上：的取值范围是或． 8．(1) (2)①（或）当时，有最大值；②；③或 【分析】（1）将，代入抛物线，用待定系数法即可求解； （2）由（1）的抛物线解析式可求出点的坐标，直线的解析式，点的坐标为，，可用含的式子表示，，从而表示出的值，求出的值； ②根据二次函数的性质求得最小值，即可求解； ③如图所示（见详解），过点作轴交于点，过点作交于点，可证，设，则，，则，由此即可求解． 【详解】（1）解：将，代入， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为：． （2）解：①令，则， ∴， 设直线的解析式为，代入， ∴，解得， ∴直线的解析式为：， ∵点的坐标为，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵轴， ∴ ∴， ∴ ∴ ∴， ∴当时，有最大值． ②∵ ∵ ∴当时，取得最小值，最小值为 ∴当时， ③解：如图所示，过点作轴交于点，过点作交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设， ∴，， ∴， ∵点在抛物线上， ∴，解得或， ∴或． 9．(1)①；②，理由见解析；③3 (2)当 时，；当 时，；当 时， 【分析】（1）①待定系数法求抛物线的解析式即可； ②先根据抛物线的解析式得出对称轴为轴，开口向下，再根据，可知点在对称轴左侧，点在对称轴右侧，比较点关于轴的对称点的横坐标和点的横坐标大小，再根据抛物线的性质即可比较与的大小； ③根据待定系数法求出直线的解析式，设，则 ，，分别表示出，再化简即可； （2）设抛物线解析式为，根据待定系数法求出，即可求出，根据二次函数的性质分段讨论即可． 【详解】（1）解：① 由题意，抛物线经过，，且 ， 代入坐标得：， 解得：，， 该抛物线的解析式为：； ② ，理由如下： ∵抛物线，，， ∴抛物线的对称轴为轴，开口向下， ， 点在对称轴左侧，点的横坐标在区间内，即点在对称轴右侧， 点关于轴的对称点的横坐标为，且 ， ，且抛物线在时随增大而减小， ， 又， ； ③ 设直线的解析式为， 将，代入得：， 解得 ，， 直线的解析式为， 设，则 ，， ，， ， 点的横坐标为， 的高为 ， ， ． （2）解：设抛物线解析式为， 将，代入得：， 解得，， ， ， 该函数关于的对称轴为， ，抛物线开口向下， 当越接近时，越大， 当时， ①当时，在对称轴左侧，随增大而增大，当时最大； ②当时，包含对称轴，当时最大； ③当时，在对称轴右侧，随增大而减小，当时最大． 综上所述，当 时，；当 时，；当 时，． 10．(1) (2)的周长的最小值为 (3)的值为0或6 (4) 【分析】（1）根据题意，，由对称轴直线代入计算得到抛物线解析式； （2）根据题意得到，，因为的周长，所以最小时，三角形的周长最小，当，，三点共线时，即最小，根据勾股定理即可求解； （3）根据题意得到平移后的新抛物线为，可知该抛物线的对称轴直线为，根据二次函数图形的性质分类讨论：当时，当时，当时，结合最小值的计算列式求解即可； （4）设点的横坐标为，分别用含t的式子标出直线的表达式，由此得到的值即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点， ∴， ， ∵抛物线的对称轴为，则， 解得， ∴抛物线的表达式为． （2）解：令， 解得，，， ，， ∴， ， 在中，， 的周长， ∴的周长最小时，最小， ∵点，关于抛物线的对称轴对称， ∴， 当，，三点共线时，即最小， 最小值等于线段的长，， ∴的周长的最小值为． （3）解：， ∴抛物线的顶点坐标为， 将抛物线沿轴向右平移个单位长度，得到的新抛物线为， 新抛物线的对称轴为， 当时，的最小值为，不符合题意； 当时，，此时的最小值在处取得． 令，可得，解得或（舍去）； 当时，，此时的最小值在处取得． 令，可得，解得（舍去）或． 综上所述，的值为0或6． （4）解：由上面的分析知点， 设直线的表达式为，点的横坐标为， 则，解得， 直线的表达式为， 当时，， ， ， 设直线的表达式为，则，解得， 直线的表达式为， 当时，， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，二次函数与三角形周长的计算，二次函数图象平移的性质，二次函数与一次函数的结合，掌握以上知识，数形结合分析是关键． 11．(1) (2) (3)或 【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）设，表示出，根据二次函数的性质，即可求解； （3）先求得抛物线对称轴为直线，分，且，，三种情况结合二次函数的性质，分类讨论，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线过点和点． ∴ 解得： ∴该抛物线的函数关系式为； （2）解：设，，其中， ∴， ∵， ∴的最大值为； （3）解：∵，对称轴为直线， 当时， 解得：， ∵ 在对称轴左侧函数随着的增大而增大，在对称轴右侧函数随着的增大而减小． 故分以下三种情况讨论： ①若，即 则当时，函数有最小值为 ，解得：（舍去） ②若且，即 当时，函数有最小值为， ，解得：． 当时，函数有最小值为， ，解得： ， 或 ③若，即 则当时，函数有最小值为， ，解得：舍）， 综上，的值为或． 12．(1)①；②；③9 (2)的值不改变，为定值6，理由见解析 【分析】（1）①利用对称性求出点A的坐标，再利用待定系数法求解即可；②可推出二次函数的图象开口向上，顶点坐标为，则离对称轴越远，函数值越大，且函数的最小值为；据此结合x的取值范围求解即可；③求出，则可求出直线的函数表达式为，设，则，可得，据此可得答案； （2）可求出直线的函数表达式为，则可设直线的函数表达式为，联立得，则． 【详解】（1）解：①二次函数的图象与x轴相交于点A、，且对称轴为直线， ∴点A的坐标为， 把点A和点B的坐标代入得， 解得， ∴二次函数的表达式； ②∵， ∴二次函数的图象开口向上，顶点坐标为， ∴离对称轴越远，函数值越大，且函数的最小值为； 当时，∵， ∴当时，函数有最大值，最大值为， 又∵， ∴此时函数的最小值为， ∴当时，； ③如图所示，在中，当时，， ∴， 设直线的函数表达式为， 则， ∴， ∴直线的函数表达式为， 设，则， ∴， ∵，且， ∴当时，有最大值，最大值为9； （2）解：的值不改变，为定值6，理由如下： 把点B的坐标代入得， ∴， 在中，当时，， ∴， 设直线的函数表达式为， 则， ∴， ∴直线的函数表达式为， ∵， ∴可设直线的函数表达式为， 联立得， ∴， ∴． 13．(1) (2) (3)见解析 (4) 【分析】（1）先求出，再将、代入列方程计算即可； （2），则抛物线开口向上，对称轴为直线，当时，y最小为，当时，，当时，，结合函数图象可得当时，y的取值范围； （3）联立，整理得，则，即可得到直线与抛物线一定有两个交点； （4）先求出，，设，，，，则，求出直线解析式为，与抛物线联立解得，同理求出直线的解析式为，联立与抛物线解析式可得， 即可得到，则，代入计算即可． 【详解】（1）解：∵点B的坐标是，抛物线与y轴负半轴交于点C，且， ∴， 将、代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，y最小为， 当时，， 当时，， ∴当时，y的取值范围为：； （3）证明：联立 则 整理得，， ∴， ∴直线与抛物线一定有两个交点； （4）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， 设，，，， ∴，， ∴， 令， 解得或， ∴， 设直线解析式为，将、代入得， ， 解得， ∴直线解析式为， ∵连接，交对称轴于点M， ∴联立， 即， 解得， 同理直线的解析式为，联立与抛物线解析式可得， ∴， 整理得， ∴． 14．(1) (2)3 (3)或 (4) 【分析】（1）运用待定系数法将，代入，即可求解； （2）先求出点的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式，运用配方法将抛物线解析式化为顶点式即可求得顶点坐标，过点作轴交直线于点，求得，利用，即可求得答案； （3）由（2）得，当以为底的等腰三角形，得出，则点在上，联立抛物线解析式解方程组即可求解． （4）将直线向上平移个单位，使其与抛物线只有一个交点，则平移后解析式为，联立和得：，令，求出，再解方程求出，即可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，， ，解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：在中，令，则：， ， 设直线的解析式为， ， ， 解得：， 直线的解析式为， ， ， 过点D 作轴交直线于点E ， ， ， ． （3）解：， ， 则是等腰直角三角形， ∴当是以为底的等腰三角形，则， ∴在的角平分线上，即上， 联立得， 解得： 或， 或． （4）解：∵直线的解析式为， 将直线向上平移个单位，使其与抛物线只有一个交点， 则平移后解析式为， 联立和得：， 整理得：， ∴， 解得：， 则平移后解析式为，， ∴， ∴． 15．(1) (2) (3)①；②存在，点的坐标为或 【分析】（1）根据二次函数的对称轴可得，求出的值，由此即可得； （2）先求出二次函数与轴的交点为，在第一象限内，抛物线上的点的横坐标大于6，且随的增大而增大，再根据二次函数的增减性可得，由此即可得； （3）①过点作轴于点，先证出，则可得，再求出，代入可得，则当的值最大时，的值最大，由此即可得； ②先求出直线的解析式为，直线的解析式为，再设点的坐标为，求出直线的解析式为，则可得，过点作轴于点，则，，然后证出，根据相似三角形的性质可得，最后分两种情况：、，由此即可得． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线， ∴， 解得， 所以抛物线的解析式为． （2）解：由（1）可知：， ∴当时，随的增大而增大， 令，则，解得或， ∴二次函数与轴的交点为， ∴在第一象限内，抛物线上的点的横坐标大于6，且随的增大而增大， ∵，分别是第一象限内抛物线上两点，且， ∴， 解得． （3）解：①如图，过点作轴于点， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（2）可知，， ∴， 将代入二次函数得：，即， ∴， ∴， ∴， ∴当的值最大时，的值最大， ∵点是第四象限内抛物线上一个动点， ∴当点为抛物线的顶点时，的值最大，最大值为， ∴的最大值为． ②设直线的解析式为， 将点代入得：，解得， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为， 将点代入得：，解得， ∴直线的解析式为， ∴可设点的坐标为， ∵， ∴可设直线的解析式为， 将点代入得：，解得， ∴直线的解析式为， 将代入函数得：，即， 如图，过点作轴于点， ∴轴，，，， ∴， ∵点恰好是线段的三等分点， ∴点位于轴正半轴上，且或， ∴，且，即， 又∵轴， ∴， ∴， ∴或， 解得（符合题意，且是所列分式方程的解）或（符合题意，且是所列分式方程的解）， ∴或， 综上，在点运动的过程中，存在点恰好是线段的三等分点，此时点的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、解直角三角形、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． 16．(1) (2)， ， (3)①当时，图象所表示的函数的最大值为；②或 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）连接，过点作轴于点，交于点，由点和点的坐标得出直线的解析式，用表示出点、点和点的坐标，再表示出，然后根据四边形的面积，写出关于的函数关系式，最后与比较系数即可得出答案； （3）①由（）条件下的、、的值，写出和的函数关系式，根据二次函数的性质分别得出相应的最大值和最小值，则可得图象所表示的函数的最大值； ②求得两个特殊点时，的值即可判断． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点、， ∴， 解得， ∴该抛物线的解析式为． 故答案为：； （2）解：如图，连接，过点作轴于点，交于点， ∵抛物线与轴交于点， ∴点的坐标为，， 又∵点的坐标为， ∴直线的解析式为， ∵轴于点，交于点，点为第一象限内抛物线上的一点，其横坐标为， ∴，，， ∴，， ， ∴， 又∵四边形的面积，， ∴， 又∵与之间的函数关系式为， ∴，，； （3）解：①由知，，， ∴的解析式为；的解析式为； ∴的对称轴为，的对称轴为， ∵，中，中， ∴当或3时，取最小值为，当时，取最大值为； 当时，取最大值为，当时，取最小值为； ∵图象、合起来得到的图象记为， ∴当时，图象所表示的函数的最大值为； ②∵线段的两个端点坐标分别为、， ∴且轴， ∵的对称轴为， ∴由抛物线的对称性可知时，与恰好有两个交点，此时， ∴当时，与恰好有两个交点； ∵的对称轴为， ∴由抛物线的对称性可知时，与恰好有两个交点，此时， ∴当时，与恰好有两个交点； 综上所述，当图象能够与线段有两个公共点时，的取值范围是或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式、二次函数的性质对称轴、最值等、图形面积计算以及函数图象交点问题．熟练掌握二次函数的相关性质和待定系数法，灵活运用图形面积的转化与函数交点的分析方法是解题的关键． 17．(1) (2)①； ②，； (3) 【分析】（1）将，代入，解方程组即可求解； （2）①设直线为，代入点，用表示两点的坐标，再将纵坐标相减即可求解；②证明，得 ，进而得，可得，利用二次函数的性质即可求解； （3）结合图象，分两种情况：①当新的函数的图象的最高点是点B时，最低点是，②当新的函数的图象的最高点是点时，最低点是，分别求解即可得出取值范围． 【详解】（1）解：将，代入， 得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：①设直线为，代入， 得，， 解得，， ， 点的横坐标为，轴， ，， ； ②，， ，， ， ， 轴， ， ， ， ， ， ， ， 时，， ， ； （3）解：当时，，当时，， 在间的部分记为图象，如图所示： 图象的最低点为顶点，最高点为， ， 将点沿直线向上翻折，对应点， ①当新的函数的图象的最高点是点B时，最低点是，如图所示： 这个函数的最大值为，最小值为， ， ， ， ②当新的函数的图象的最高点是点时，最低点是，如图所示： 这个函数的最大值为，最小值为， ， ， ， 综上所述，当时，． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，掌握二次函数解析式的求法，利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度是解题的关键． 18．(1) (2)最大值，最小值 (3)①；②或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是熟练掌握二次函数的性质，将函数解析式配方，通过数形结合的方法求解． （1）根据待定系数法求解即可得解； （2）由，当时，取最小值为，根据，得当时，取最大值． （3）①根据求出取值范围，②通过数形结合求解． 【详解】（1）解：将点，点代入 得 解得      此二次函数的解析式为． （2）解：， 抛物线开口向上，对称轴为直线．      当时，取最小值为．      ， 当时，取最大值． （3）解：①∵点横坐标为，点的横坐标为．      ∴． 当时，，的长度随的增大而增大． 当时，，的长度随增大而减小． 满足题意，解得． 故答案为：； ② ， ， 解得． 如图，当时，线段与二次函数的图象1个交点． 如图，当时，线段与二次函数的图象1个交点． 19．(1)，， (2)点的坐标为 (3)＝1，为定值 【分析】（1）令，求出点，，再令求出点； （2）根据已知条件得，可得，再求出直线的关系式，进而得出直线的关系式，然后联立关系式得出答案； （3）结合已知条件设直线和的关系式，可得点，的坐标，联立关系式求出，进而得出，及，再将关系式联立可得，即可得出，然后根据点的坐标表示出，，进而得出答案． 【详解】（1）解：令，得或3， 、． 令，得，得； （2）解：连接、，如图， ， 若， 即， ． 设直线为， 由、得：， 解得：， ∴直线为， ∵ 设直线为，代入，得， 解得：， 直线为． 由，解得：（不合题意的值已舍去）， 点的坐标为； （3）解：，设直线的关系式为, ∴，解得， 直线的关系式为， ． 同理，设直线的关系式为， ． 由得，， 得或， ，同理可得， 由得，， ， 即，． ，，， ，， ，为定值． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数与坐标轴的交点，二次函数与一元二次方程，构造辅助线是解题的关键． 20．(1)； (2)最大值为，最小值为； (3)①求的取值范围是， ②只有个交点时的取值范围是：或时． 【分析】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是熟练掌握二次函数的性质，将函数解析式配方，通过数形结合的方法求解． （1）利用待定系数法求解； （2）将函数代数式配方，由抛物线开口方向和对称轴直线方程求解． （3）①由求出取值范围，②通过数形结合求解． 【详解】（1）解：将点 代入，得： 解得： ． （2）解：， ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，取最小值为 ∴当时，取最大值：． （3）解：① 当时，，的长度随的增大而减小， 当时，，的长度随增大而增大， 满足题意， 解得：； 解得：，当时，点P在最低点，与图象有交点， 如图， 增大过程中，时，点与点在对称轴右侧，与图象只有个交点， 直线关于抛物线对称轴直线，对称后直线为 时，与图象有个交点， 当时，与图象有个交点， 综上所述，或时，与图象交点个数为个，时， 与图象有个交点， ∴只有个交点时的取值范围是：或时． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $