第6章《6.4.3.2 正弦定理》教学设计2025-2026学年人教A版高一数学必修第二册

该高中数学教学设计聚焦正弦定理的发现、证明与应用，通过九三阅兵雷达监测飞机距离的情境，抽象出已知两角夹边求两边的三角形问题，引发认知冲突，以直角三角形边角关系为起点，搭建从特殊到一般的探究支架。 该设计以数学建模、逻辑推理为核心，用几何画板动态演示验证猜想，通过向量法、面积法等多种证明拓展思维，问题链贯穿情境到应用。培养学生用数学眼光观察、思维思考、语言表达的能力，为教师提供完整教学路径与评价设计，提升课堂效率与素养培养。

《6.4.3.2 正弦定理》教学设计 一、课题：6.4.3.2 正弦定理 二、教学指导思想 本节课的教学设计以《普通高中数学课程标准》为纲，秉承“ 以学生发展为本 ”的核心理念，致力于实现数学知识、关键能力与核心素养的协同发展。遵循“重视信息技术运用，实现信息技术与数学课程深度融合 ”的新课程理念。教学设计以“数形结合 ”为核心统领，着力构建一个“从几何直观出发，经历代数化过程，再回归几何解释 ”的完整认知路径。整个教学过程强调以学生为主体，通过创设真实的认知冲突，引导学生在自主探究与合作交流中，亲历正弦定理的发现与推导过程，深刻体会正弦定理在解三角形中的应用价值。同时，注重将知识学习置于解决数学内部与现实问题的情境之中，提升学生从数学角度发现、提出、分析并解决问题的能力。通过数学的严谨性与应用性，启迪智慧，培养理性精神，实现学科育人价值的有效落实。为学生适应新高考对综合能力的要求奠定坚实基础。 三、教学内容分析 《正弦定理》选自人民教育出版社数学必修二第六章，主要包括正弦定理的发现、证明及应用。正弦定理是研究任意三角形边角关系的重要定理，在日常生活和工业生产中的应用十分广泛。因此，正弦定理的应用体现在它的基础性，作用体现在它的工具性。 本课时作为平面向量的应用部分的重要构成，是在学生已有的三角函数知识的基础上，通过对三角形边角关系作量化研究，发现并掌握“正弦定理 ”这一重要的解三角形工具。通过这一部分内容的学习，让学生在“实际问题 ”抽象成“数学问题 ”的建模过程中，体验“观察－猜想－证明－应用 ”的数学思想方法，促进数学抽象、逻辑推理等数学核心素养的培养。 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 四、学情分析 高一学生已经具备一定的分析问题、解决问题的能力，抽象能力与几何直观初步形成，能够进行有序思考，充分理解从一般到特殊、从特殊到一般的思维方式。 在这之前学生已经学习了三角函数等相关知识，能够较为熟练地解直角三角形，但在知识的熟练应用上会有一定的难度，因此，在教学过程中，教师需要提升学生的学习积极性，通过创设情境引起学生兴趣等方式，引导学生分析并解决问题。同时可以借助已有知识解决新问题，得到新知识，逐步推进教学过程，环环相扣。 五、教学目标 1.经历从生活问题转化为数学问题的过程，体会数学的探究精神，学会用数学的眼光观察世界，用数学的思维思考世界，用数学的语言表达世界。 2.将一般三角形问题转化为直角三角形问题，经历直角三角形边角关系的探究过程，提出猜想；通过数学实验初步验证猜想；运用归纳推理的方法证明猜想，掌握正弦定理；学会从图形语言，符号语言，文字语言表述正弦定理。 3.经历正弦定理的得出和证明的探究过程，体会数学建模和逻辑推理的思想。 4.结合具体实例运用“正弦定理 ”解决问题，感受正弦定理的价值，明确正弦定理的使用条件和注意事项。 六、教学重点、难点 1.教学重点：正弦定理的探究过程 2.教学难点：正弦定理的证明 七、评价设计 学习评价可以检测学生的学习质量，教师可以通过某种教学手段，如：课堂提问，考试等方式来考查学生的学习效果是否达到教学目标要求。跟踪学生在猜想、证明、应用环节的参与度和思维表现。例如：在猜想环节，学生能否通过测量实验提出合理的边角关系猜想；记录学生在小组讨论中提出的关键问题、提出的创新证明方法等。设计不同层次的课堂练习，如基础题（直接应用公式解三角形）、进阶题（结合向量或外接圆证明定理）、拓展题（解决实际测量问题）注意能否完成锐角和钝角三角形的分类讨论。这使得学生的抽象思维得到锻炼。教师可以进行课堂提问掌握 学生目标达成情况。 第 2 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 八、教学过程活动设计 环节 名称 教师活动 学生活动 设计意图 时 间 创设情境 导入新课 结合九三阅兵时事，以雷达监测飞机距离创设问题情境：为了能够及时掌控飞机的位置，在 A 处设置雷达监测点，某一时刻检测到两架战机的位置在 B、C 两处，已知 C 在 B 的正东方向10 ㎞处。 问题 1：我们如何测得 B、C到 A 的距离？ 追问 1：我们已有的知识能够解决这个问题吗？ 追问 2：如果假设这是个直角三角形呢？ （1）学生将生活问题数学化，从情境中抽象出△ ABC，已知两角及其夹边，要 求 另 外 两 条 边 。 （2）学生思考所学余弦定理不能解决这个问题。在教师的引导下共同回忆初中学过的直角三角形的相关三角函数知识。 通过生活情境引 入课题，不仅能激发 学生学习兴趣，还能 让学生体会到数学源 于现实，学会用数学 的眼光去观察世界， 用数学的思维去思考 世界。从生活问题中 抽象出三角形的建模 过程，学生初步体会 数学建模思想。顺利 导入新课，为了计算 距离，设置追问 1 引 发学生认知冲突，已 有知识能解决直角三 角形中这样的问题， 顺利从特殊开始研 究，符合数学一般研 究思路。 3 以问导学 探究新知 教师引导学生从特殊的直角三角形入手，提出问题。 问题 2：在直角三角形中，三个角的正弦值分别是多 通过思考与小组探讨，得到直角三角形的边角数量关系。 齐答： (1)sinA = , sin B = , sin C = 1. 引导学生从特殊的直 角三角形入手，思考 探究得出直角三角形 的边角关系满足正弦 定理，进而大胆猜想， 在任意三角形中，它 的边和角都满足正弦 4 第 3 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 少？ 追问 1：我们如何求 c 边？ 追问 2：能否将三个式子统一为一种形式？ 你能得到什么？ 教师总结： 在直角三角形中，各边边长和它所对角的正弦的比相等。 （2）既可以在sinA中求，也可以在sin B中求。 （3）sin C = ，在直角三 角 形 中 ， 有 = b C = 。 sin B sin C 定理。使学生体会从一般到特殊的数学思想，逻辑推理和数学抽象等核心素养。 以问导学 探究新知 问题 3 ： = = 这样的关系，在其他三角形中也成立吗？ （1）引导学生猜想。 （2）利用几何画板作三角形，表示出 、 、 三个比值，拖动三角形中 A点，使得三角形的形状不断发生改变。引导学生观察三个比值的变化是否保持相 等。 （1）在教师引导下提出猜想：在任意三角形中，它的边和角都有这样的关系式成立。 （2）学生观察几何画板中任意三角形的三个比值，在三角形的形状不断变化的过程中，三个比值仍然保持相等，坚定了 = = 这样的关系在任意的三角形中都成立的决心。 波利亚曾说过：“实验 是验证猜想的基本方 法 ”，利用信息技术 手段进行数学实验 证猜想。动态实验吸 引学生注意力，他们 观察几何画板中三角 形变化时三个比值仍 然保持相等，通过引 导学生对变量与不变 量的观察与思考，他 们坚定了猜想是正确 的决心。 3 以问 导学 探究 新知 问题4：能否用严谨的数学方法证明正弦定理？ 追问：涉及边长问题，能否 几何画板中三角形的形状不断变化，但 BC 边始终不变，并不能穷尽三角形的所有可能。 为加深学生对定理的理解，师生共同详细探究了用向量法证明正弦定理的过程，其 11 第 4 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 用向量来研究此问题？ 法一（向量法）：作单位向 ( → –––→ → ––––→ )量j 上 AC, j与AB 夹角为锐 角。由向量加法可得 A (–)–B (–→) = ( –––→ –––→ → –––→ → –––→ )AC + CB, j . AB = j . (AC + C (–)–B (–→) ), j (→)I . IA (–)–B (–→)I . cos (90o — → –––→ → A) = IjI . IACI . 0 + IjI . –––→ o ICBI . cos (90 — C) 所以 c . sinA = a . sin C ，所以 = ，同理可得 = ，可证在锐角三角形中正弦定理的成立，同 理，钝角三角形中同样可证。 在教师引导下用三种语言描述正弦定理： 文字语言：在三角形中，各边与它所对角的正弦之比相等。 图形语言： 符号语言： a b c = = sin A sin B sin C 中引入向量后，启发 学生思维，引导学生 通过数量积计算，将 向量转化为数量。完 成定理的证明后，引 导学生用三大语言描 述，加深对定理的全 面认识。 以问导学 探究新知 问题 5：是否还有其他方法可以证明正弦定理？ （1）引导学生利用所学知识探究出等体积法、外接圆法并展示点评学生答案。 （2）简单渗透正弦定理的 法二（面积法）： 法三（外接圆法）： 小组讨论展示： 小组讨论尝试发现更多的证明方法，发散思维。介绍正弦定理的发展史，渗透数学文化。 6 发展史。 第 5 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 以问导学 探究新知 问题 6：证明了正弦定理，你能否运用其解决问题？例 1：在△ABC 中，已知∠ C=120 ° , ∠B=30 ° , BC=10 ㎞ ， 求 AC 、 AB 的 值 。 例 2：已知 a=16，b=16 3， A=30 °求角 B，C 和边 c 例 1 解： 例 2 解： 遵循学生的认知规律 律，立即运用新知解 决课首的阅兵问题， 实现首尾呼应，形成 教学闭环。通过习题 检验学生对正弦定理 的基本理解，对正弦 定理进行解三角形的 应用。例 1 已知两角 一边，是正弦定理的 简单应用，而例 2 已 知两边一角，在做题 时需要考虑两种情 况，稍有难度，要求 学生熟悉掌握已知两 边和其中一边的对角 时解三角形的各种情 形。 8 课堂小结 内化新知 问题 7：本节课主要解决了什么问题？ 用到了什么数学思想和方法？ 得到什么结论？ 学生共同总结这堂课的学习内容。知识技能层面学习了正弦定理及其证明与应用；在数学思想层面体会了数学建模、数学抽象、化归、从一般到特殊等思想。得到了三角形的面积公式以及正弦比值定理的几何意义。 带领学生再次回顾本节课的学习历程，从不同角度进行反思交流，巩固知识，引发更深入地思考。 5 第 6 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 九、板书设计 6.4.3 正弦定理 一、定义 二、正弦定理： = = 在一个三角形中，各边和它所对角 的正弦的比相等二、证明 法一：向量法 法二：面积法 法三：外接圆法 三、应用例 1： 解： 例2： 解： 十、作业设计 ★ 必做： 在△ ABC中，已知下列条件，解三角形（角度精确到 1。边长精确到 1cm）： (1) A = 45。C = 30。c = 5cm; (2) A = 60。B = 45。c = 10cm. ☆ 选做： 在△ ABC中，已知下列条件，解三角形（角度精确到 1。边长精确到 1cm）： (1) a = 10cm , b = 15cm, B = 75 。 (2) c = 42cm , b = 30cm , C = 105 . 十一、教学反思和改进 情境引入激发兴趣：通过实际问题，阅兵飞机检阅航线距离引入正弦定理，有效调动了学生的探究欲望。学生从解决现实问题的需求出发，自然过渡到对定理的探索，避免了纯理论的枯燥感。 特殊到一般推导定理：从直角三角形到锐角三角形，再到钝角三角形，逐步引导学生发现边与角的正弦关系。这一过程符合学生的认知规律，降低了理解难度，培养了从特殊到一般的数学思维。 第 7 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 多样化证明方法拓展思维：除了引入了向量法，还鼓励学生发现传统的作高法、面积法等证明思路，鼓励学生尝试不同方法。这不仅深化了对定理的理解，还展示了数学的多样性和严谨性，培养了学生的创新意识。 信息技术辅助直观化：利用几何画板动态演示三角形中边与角的变化关系，帮助学生直观感知正弦定理的动态规律。通过可视化工具，抽象的数学符号转化为直观图像，提升了学习效率。 本节课也存在需要改进的地方，如可能低估了学生的思考能力，可实际教学应该是授人以鱼很重要，但远远不如授之以渔的，虽然设计了小组讨论和合作探究环节，但部分学生依赖组内优生，未主动参与思考。在告诉学生积累什么，怎么积累知识方法上，还需要更加细致，学生才能学会学习。 第 8 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $