精品解析：湖北省武汉洪山区2026年中考一模数学试卷

洪山区2026中考一模数学试卷 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑． 1. 对称是一种经典的美学形态，中国的方块字更是将这种美融入笔画结构中．下列美术字中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 盒中放有五个看上去完全一样的纸团，每个纸团里面分别写着数字1，2，3，4，5，从盒中抽取一个纸团，下列事件是随机事件的是（ ） A. 抽到数字小于6 B. 抽到的数字是0 C. 抽到的数字是1 D. 抽到的数字是正整数 3. 如图，是由7个相同的小正方体组成的几何体，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 4. 2026年武汉马拉松报名人数创历史新高，超过450000人．将数据450000用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，直线，点在直线上，，若，则（ ） A B. C. D. 7. “石头、剪刀、布”是一种猜拳游戏．游戏时，双方每次任意出“石头”“剪刀”“布”这三种手势中的一种．如果两个人玩这种游戏，随机出手一次，每人获胜的概率都是（ ） A. B. C. D. 8. 沙漏是一种测量时间的装置．用沙漏计时，下方容器内沙子高度（单位：）与漏沙时间（单位：）的函数关系如图所示．则沙子高度从上升到所用的时间是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，以为直径的交于点E，交于点D，P为延长线上一点，且是的切线，连接．若，，则图中阴影部分的面积（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，点Q从A处出发，沿线段向B处运动，设为，为y．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点，且经过和两点．则n的值是（ ） A. 22 B. 23 C. 24 D. 25 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将答案直接写在答题卡指定的位置． 11. 正负数在日常生活中有着广泛的应用．若存入银行300元记作元，则从银行取出150元记作______元． 12. 在平面直角坐标系中，某反比例函数的图象位于第一象限．写出一个满足条件的k的值是_____． 13. 方程的解为______． 14. 某科技小组用无人机测量教学楼的高度，具体过程如下：将无人机垂直上升距地面的点P处，测得教学楼底端点A的俯角为，再将无人机沿教学楼方向水平飞行至点Q处，测得教学楼顶端点B的俯角为，则教学楼的高度为____．（参考数据：，，） 15. 如图，等边三角形边长为5，边上有一点D，，E为内一点，，以为边长向下作等边三角形，连，若在射线上存在一点H，且，当______时，最小值，此时______． 16. 抛物线（、、为常数，且），、为抛物线上的点（其中），下列五个结论： 当时，； 当时，若抛物线与轴有两个不同交点，则； 当时，若，则； 当时，若，，则； 若抛物线与轴交于点、，则，其中正确的是_________．（填写序号） 三、解答题（共8小题，共72分）下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形． 17. 解不等式组． 18. 如图，平行四边形中，点、分别为和边上点，且满足，连接、． （1）求证：； （2）连接与交于点，添加一个与线段有关的条件，使四边形为矩形．（不需要证明） 19. 武汉市某中学开展“让阅读成为习惯”的读书活动，为了解学生的参与程度，从全校随机抽取部分学生进行问卷调查，获取了每人平均每天阅读时间（单位：分钟），将收集的数据分为、、、、五个等级，智慧学案（讲义）＋智慧课堂（作业）绘制成如下不完整统计图表． 平均每天阅读时间统计表 等级 人数 5 10 80 平均每天阅读时间扇形统计图 请根据图表中的信息，解答下列问题： （1）活动抽取的样本容量的值是________； （2）的值是________，扇形统计图中“等级”对应的扇形的圆心角大小是________； （3）学校拟将平均每天阅读时间不低于分钟的学生评为“阅读达人”，若该校共有名学生，请你估计可评为“阅读达人”的学生人数． 20. 如图，内接于，为直径，直线是切线，切点为，延长交直线于点，与交于点，若． （1）求证：平分； （2）若，求的值． 21. 如图，是由边长为1的小正方形组成的正方形网格，为格点三角形，为格线上的点．智慧学案（讲义）智慧课堂（作业）仅用无刻度直尺在给定的网格中完成两个画图任务，每个任务的画线不得超过七条线． （1）在图1中，先作平行四边形，再在边上找一点，使平分四边形的面积； （2）在图2中，先在内格点处作点，使是以为斜边的等腰直角三角形；再作关于的对称点． 22. 近年来，随着科技不断发展，汽车自动驾驶技术已经非常成熟．小明发现在汽车自动驾驶侧方停车过程中，可将车辆后轴中心点的运动轨迹近似看作三段轨迹的组合，如下图所示．以路沿所在直线为轴（单位：），车辆开始倒车的点A到路沿的距离所在直线为轴（单位：）建立平面直角坐标系．车辆从点开始倒车，轨迹依次经过点B、C、D，其中停车过程分三阶段：阶段Ⅰ（打方向倒车）：轨迹近似为抛物线，且对称轴为y轴，阶段Ⅰ在点B处结束，且已知B点的横坐标为1.5．阶段Ⅱ（回正直线微调）：车辆沿线段倒车，且直线与x轴夹角为．已知．阶段Ⅲ（反向打方向入库）：轨迹近似为抛物线，并经过点C与点．且轨迹与路沿距离的最小值为． （1）求阶段Ⅱ倒车路程； （2）写出点B的坐标________，并求阶段Ⅰ轨迹的函数表达式； （3）为保障倒车安全，汽车会在与路沿的距离不大于时触发警报．求触发警报的这段时间内汽车行驶的水平距离． 23. 等腰三角形三线合一性质：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．这一条性质在几何证明中广泛运用． 探究性质： （1）在等腰中，，平分线，垂足为，①如图1，是否可以在线段上找一点，使得，如果可以请在图1中作出点；②平分，交于点，与交于点，判断与是否全等，________（填写“是”或“否”）；③________， 初步运用： （2）如图2，在等腰中，，的平分线，垂足为，平分，交于点，与交于点，求的值； 灵活运用： （3）如图3，在平行四边形中，，点为上一点，，垂足为，，的平分线与交于点，直接写出________（用含的式子表示） 24. 如图，抛物线：与轴的两个交点分别为，，与轴的交点是，且． （1）当时，直接写出抛物线的解析式； （2）在（1）的条件下，过点的直线交抛物线于另一点，若在第一象限且使得，求点坐标； （3）如图2，点是轴上与点关于原点对称的点，轴交抛物线于轴右侧点，轴交抛物线于轴右侧点，是线段上一点，连，，若与相似，并且符合条件的点恰有两个，求的值及点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 洪山区2026中考一模数学试卷 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑． 1. 对称是一种经典的美学形态，中国的方块字更是将这种美融入笔画结构中．下列美术字中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意； B、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意； C、沿一条直线折叠，直线两旁的部分能互相重合，故是轴对称图形，符合题意； D、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意． 2. 盒中放有五个看上去完全一样的纸团，每个纸团里面分别写着数字1，2，3，4，5，从盒中抽取一个纸团，下列事件是随机事件的是（ ） A. 抽到的数字小于6 B. 抽到的数字是0 C. 抽到的数字是1 D. 抽到的数字是正整数 【答案】C 【解析】 【分析】必然事件是一定发生的事件，不可能事件是一定不发生的事件，随机事件是可能发生也可能不发生的事件． 【详解】解：盒中纸团的数字为1，2，3，4，5，所有数字都小于6，且都是正整数， A、“抽到的数字小于6” 是一定发生的事件，属于必然事件，故不符合题意； B、“抽到的数字是0”是一定不发生的事件，属于不可能事件，故不符合题意； C、抽取纸团时，可能抽到数字1，也可能抽到其它数字，故“抽到的数字是1”是可能发生也可能不发生的事件，属于随机事件，故符合题意； D、“抽到的数字是正整数”是一定发生的事件，属于必然事件，故不符合题意． 3. 如图，是由7个相同的小正方体组成的几何体，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据从上面看得到的视图是俯视图即可解答． 【详解】解：从上面看第一列和第二列都是二个小正方形，第三列最下边一个小正方形， 即D选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，掌握从上面看得到的视图是俯视图是解答本题的关键． 4. 2026年武汉马拉松报名人数创历史新高，超过450000人．将数据450000用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：将数据450000用科学记数法可以表示为． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、，故A错误； B、，故B错误； C、，故C正确； D、，故D错误． 6. 如图，直线，点在直线上，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用平行线的性质和三角形外角的性质建立，，，之间的等量关系，代入已知数据求解即可． 【详解】如图，，， ， 直线， ，即， ． 7. “石头、剪刀、布”是一种猜拳游戏．游戏时，双方每次任意出“石头”“剪刀”“布”这三种手势中的一种．如果两个人玩这种游戏，随机出手一次，每人获胜的概率都是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下： 由树状图可得，共有种等可能的结果，其中对任意一人，获胜的情况共3种：分别是石头胜剪刀、剪刀胜布、布胜石头， 故每人获胜的概率为． 8. 沙漏是一种测量时间的装置．用沙漏计时，下方容器内沙子高度（单位：）与漏沙时间（单位：）的函数关系如图所示．则沙子高度从上升到所用的时间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数图象，设，将代入，可得，分别计算当和时，对应的时间，即可求解． 【详解】解：设， 将代入，可得， 解得， ∴， 当时，，解得， 当时，，解得， ∴沙子高度从上升到所用的时间是． 9. 如图，在中，，以为直径的交于点E，交于点D，P为延长线上一点，且是的切线，连接．若，，则图中阴影部分的面积（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，根据等腰三角形的性质，可得，根据切线的性质和角之间的转化，即可得到，连接，，，根据等腰三角形的性质和中位线定理，可得，则，利用扇形的面积公式即可求解． 详解】解：如图1，连接， 是直径， ，即， ， 又，， 平分， ， 是的切线， ，即， ， ， 如图2，连接，，， ， ，则是等边三角形， 是直径， ，即， 点D、E分别是，的中点， 是的中位线， ， ， ， 平分，， ， ， ， 半径为5， ， 则图中阴影部分的面积． 10. 如图1，点Q从A处出发，沿线段向B处运动，设为，为y．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点，且经过和两点．则n的值是（ ） A. 22 B. 23 C. 24 D. 25 【答案】D 【解析】 【分析】如图，过点P作于G，在上取点H，使，连接、、，根据题意和图象可知，，再根据勾股定理可求得m的值，最后根据抛物线的对称性即可求得n的值． 【详解】解：如图，过点P作于G，在上取点H，使，连接、、， ∵， ∴当时，动点Q运动到了点H的位置， 则由图象可知，， 当点Q运动到点G的时候，最小，即，， 在中，， 即， 解得或（舍去）， ∵关于的函数图象最低点，且经过和两点， ∴抛物线的对称轴为直线，且点关于抛物线的对称轴对称， ∴． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将答案直接写在答题卡指定的位置． 11. 正负数在日常生活中有着广泛的应用．若存入银行300元记作元，则从银行取出150元记作______元． 【答案】 【解析】 【详解】解：存入银行元记作元， 从银行取出元记作元． 12. 在平面直角坐标系中，某反比例函数的图象位于第一象限．写出一个满足条件的k的值是_____． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，根据反比例函数图象所在象限判断的取值范围，再写出一个满足条件的的值即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第一象限， ∴， 取符合条件的值（答案不唯一）． 13. 方程的解为______． 【答案】 【解析】 【详解】解：原方程变形 方程两边同乘最简公分母，得 去括号，得 移项合并同类项，得 系数化为，得 检验：当时， 因此是原分式方程的解 14. 某科技小组用无人机测量教学楼的高度，具体过程如下：将无人机垂直上升距地面的点P处，测得教学楼底端点A的俯角为，再将无人机沿教学楼方向水平飞行至点Q处，测得教学楼顶端点B的俯角为，则教学楼的高度为____．（参考数据：，，） 【答案】 【解析】 【分析】延长交直线于点H，先用三角函数解求出，进而求出，再证，最后根据即可求解． 【详解】解：如图，延长交直线于点H，则， 由题意知， 在中，，即， 解得， ， ，， ， ， ． 15. 如图，等边三角形边长为5，边上有一点D，，E为内一点，，以为边长向下作等边三角形，连，若在射线上存在一点H，且，当______时，最小值，此时______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由题意易得，，然后可得，则有四点共圆，要使的值为最小，则需满足的长为最小，进而问题可求解． 【详解】解：∵是边长为5的等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四点共圆， 如图所示： 要使的值为最小，则需满足的长为最小， ∴当时，的长为最小，此时， ∴， ∵， ∴， 连接， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的最小值为． 16. 抛物线（、、为常数，且），、为抛物线上的点（其中），下列五个结论： 当时，； 当时，若抛物线与轴有两个不同交点，则； 当时，若，则； 当时，若，，则； 若抛物线与轴交于点、，则，其中正确的是_________．（填写序号） 【答案】 【解析】 【分析】将代入函数解析式，即可判断结论；由根的判别式即可判断结论；计算，结合对称轴性质结合已知等量代换即可判断结论；根据已知判断对称轴的取值范围，再根据二次函数增减性即可判断结论；由根与系数关系可得，，代入已知式子计算即可判断结论． 【详解】将代入，得，故正确； 当时，抛物线与轴有两个不同交点， ， ，故正确； ， ， 抛物线对称轴为， ， 代入，得：， ，故正确； ， ， ， ， ， ， ，即， ， 当时，随增大而减小，此时； 当时，随增大而增大，此时； 当时，不一定成立，取决于与与对称轴的距离，故错误； 抛物线与轴交于，， 由根与系数的关系得，， ，， 代入得：， ， ， ，即，故正确； 综上，正确的结论有． 三、解答题（共8小题，共72分）下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形． 17. 解不等式组． 【答案】 【解析】 【分析】确定不等式组解集的原则：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到． 【详解】解：解不等式①可得：， 解不等式②可得：， ∴不等式组的解集为． 18. 如图，平行四边形中，点、分别为和边上的点，且满足，连接、． （1）求证：； （2）连接与交于点，添加一个与线段有关的条件，使四边形为矩形．（不需要证明） 【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）平行四边形的性质：对边相等，对角相等；全等三角形的判定定理“边角边”； （2）对角线相等的平行四边形是矩形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：添加条件为：， ∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形． 19. 武汉市某中学开展“让阅读成为习惯”的读书活动，为了解学生的参与程度，从全校随机抽取部分学生进行问卷调查，获取了每人平均每天阅读时间（单位：分钟），将收集的数据分为、、、、五个等级，智慧学案（讲义）＋智慧课堂（作业）绘制成如下不完整统计图表． 平均每天阅读时间统计表 等级 人数 5 10 80 平均每天阅读时间扇形统计图 请根据图表中的信息，解答下列问题： （1）活动抽取的样本容量的值是________； （2）的值是________，扇形统计图中“等级”对应的扇形的圆心角大小是________； （3）学校拟将平均每天阅读时间不低于分钟的学生评为“阅读达人”，若该校共有名学生，请你估计可评为“阅读达人”的学生人数． 【答案】（1） （2）， （3）人 【解析】 【分析】（1）样本容量频数百分比； （2）频数样本容量百分比；扇形圆心角该部分所占比例； （3）全校“阅读达人”人数全校总人数样本中E等级占比． 【小问1详解】 解：活动抽取的样本容量的值是； 【小问2详解】 解：的值是； 扇形统计图中“等级”对应的扇形的圆心角大小是； 【小问3详解】 解：（人）， 故估计可评为“阅读达人”的学生人数为人． 20. 如图，内接于，为直径，直线是切线，切点为，延长交直线于点，与交于点，若． （1）求证：平分； （2）若，求的值． 【答案】（1）证明：是切线，切点为， ，即 又， ， 同弧所对圆周角相等， 平分 （2） 【解析】 【分析】（1）根据切线的性质可得，结合已知可得，得出，结合同弧所对圆周角相等，等边对等角可得，即可得证； （2）如图，延长交于点，根据已知条件得出，，设的半径为，在和中，根据勾股定理分别表示出，根据建立方程，求得，进而根据正弦的定义，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，延长交于点， 为的直径， 又 即 又 ， 设的半径为， 在和中， 又∵ 解得： ∵ 21. 如图，是由边长为1的小正方形组成的正方形网格，为格点三角形，为格线上的点．智慧学案（讲义）智慧课堂（作业）仅用无刻度直尺在给定的网格中完成两个画图任务，每个任务的画线不得超过七条线． （1）在图1中，先作平行四边形，再在边上找一点，使平分四边形的面积； （2）在图2中，先在内格点处作点，使是以为斜边的等腰直角三角形；再作关于的对称点． 【答案】（1）解：如图：平行四边形、即为所求， （2）解：如图：取格点，连接、， 由勾股定理可得，， ∴， ∴为等腰直角三角形， 取格点，由网格特点可得点和点关于对称，连接并延长，交的延长线于点，连接，连接交于点，连接并延长交于点， 即点、点即为所求． 【解析】 【分析】（1）根据一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，结合网格特点确定点，连接交于点，再根据平行四边形是中心对称图形，连接并延长交于； （2）取格点，根据勾股定理并结合勾股定理逆定理即可判断出为等腰直角三角形，取格点，由网格特点可得点和点关于对称，连接并延长，交的延长线于点，连接，连接交于点，连接并延长交于点． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 近年来，随着科技的不断发展，汽车自动驾驶技术已经非常成熟．小明发现在汽车自动驾驶侧方停车过程中，可将车辆后轴中心点的运动轨迹近似看作三段轨迹的组合，如下图所示．以路沿所在直线为轴（单位：），车辆开始倒车的点A到路沿的距离所在直线为轴（单位：）建立平面直角坐标系．车辆从点开始倒车，轨迹依次经过点B、C、D，其中停车过程分三阶段：阶段Ⅰ（打方向倒车）：轨迹近似为抛物线，且对称轴为y轴，阶段Ⅰ在点B处结束，且已知B点的横坐标为1.5．阶段Ⅱ（回正直线微调）：车辆沿线段倒车，且直线与x轴夹角为．已知．阶段Ⅲ（反向打方向入库）：轨迹近似为抛物线，并经过点C与点．且轨迹与路沿距离的最小值为． （1）求阶段Ⅱ倒车路程； （2）写出点B的坐标________，并求阶段Ⅰ轨迹的函数表达式； （3）为保障倒车安全，汽车会在与路沿的距离不大于时触发警报．求触发警报的这段时间内汽车行驶的水平距离． 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）过点作于点，则轴，，证明为等腰直角三角形，得出，最后再由勾股定理计算即可得出结果； （2）结合（1）求出点的纵坐标，即可得出结果，利用待定系数法计算即可得出阶段Ⅰ轨迹的函数表达式； （3）先求出阶段Ⅲ抛物线的表达式，令，求出此时的值，作差即可得出结果． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点，则轴， ∵B点的横坐标为1.5，， ∴， ∵直线与x轴夹角为，轴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴阶段Ⅱ倒车路程为； 【小问2详解】 解：∵， ∴结合（1）可得：点的纵坐标为， ∴点的坐标为， ∵阶段Ⅰ（打方向倒车）：轨迹近似为抛物线，且对称轴为y轴，经过点， ∴设阶段Ⅰ轨迹的函数表达式为， 将代入表达式可得， 解得：， ∴阶段Ⅰ轨迹的函数表达式为； 【小问3详解】 解：∵阶段Ⅲ（反向打方向入库）：轨迹近似为抛物线，并经过点与点， ∴阶段Ⅲ抛物线的对称轴为直线， ∵轨迹与路沿距离的最小值为， ∴设阶段Ⅲ抛物线的表达式为， 将代入表达式可得， 解得：， ∴阶段Ⅲ抛物线的表达式为， 令，则， 解得：，， ∴， ∴触发警报的这段时间内汽车行驶的水平距离为． 23. 等腰三角形三线合一性质：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．这一条性质在几何证明中广泛运用． 探究性质： （1）在等腰中，，的平分线，垂足为，①如图1，是否可以在线段上找一点，使得，如果可以请在图1中作出点；②平分，交于点，与交于点，判断与是否全等，________（填写“是”或“否”）；③________， 初步运用： （2）如图2，在等腰中，，的平分线，垂足为，平分，交于点，与交于点，求的值； 灵活运用： （3）如图3，在平行四边形中，，点为上一点，，垂足为，，的平分线与交于点，直接写出________（用含的式子表示） 【答案】（1）①如图：延长交于点， ∵的平分线，垂足为， ∴，， ∵， ∴， ∴； ②是； ③ （2） （3） 【解析】 【分析】（1）①延长交于点，证明即可；②由等腰直角三角形的性质并结合题意可得，，再利用即可证明；③利用全等三角形的性质计算即可得出结果； （2）延长交于点，，得出；由等腰三角形的性质可得，，再证明，由相似三角形的性质并结合正切的定义计算即可得出结果； （3）延长至点，使得，连接交于点，则为等腰三角形，求出，证明，由相似三角形的性质并结合正切的定义计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：①略； ②与是全等， ∵在等腰中，，平分，交于点，与交于点， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； ③由①可得， ∴，即， 由②可得：， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，延长交于点， ∵的平分线，垂足为， ∴，， ∵， ∴， ∴； ∵在等腰中，，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：如图，延长至点，使得，连接交于点， ∵， ∴垂直平分， ∴，即为等腰三角形， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵的平分线与交于点， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】相似三角形的判定定理：两角相等的两个三角形相似；相似三角形的性质：对应边成比例，对应角相等；正切的定义：直角三角形中锐角的对边与邻边的比值‌． 24. 如图，抛物线：与轴的两个交点分别为，，与轴的交点是，且． （1）当时，直接写出抛物线的解析式； （2）在（1）条件下，过点的直线交抛物线于另一点，若在第一象限且使得，求点坐标； （3）如图2，点是轴上与点关于原点对称的点，轴交抛物线于轴右侧点，轴交抛物线于轴右侧点，是线段上一点，连，，若与相似，并且符合条件的点恰有两个，求的值及点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）当时，点的坐标为或；当时，点的坐标为或 【解析】 分析】（1）利用待定系数法计算即可得出结果； （2）由题意可得，，连接，结合题意可得，过点作交于点，过点作轴于点，则为等腰直角三角形，证明，得出，，从而可得，求出直线的解析式为，联立，计算即可得出结果； （3）设抛物线的表达式为，求出，，，，从而可得，，，设，则，分两种情况：①当时，则；②当时，则；分别计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：当时，， ∵与轴的两个交点分别为，，与轴的交点是， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴，， 连接， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点作交于点，过点作轴于点，则为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得或， ∴点的坐标为； 【小问3详解】 解：∵抛物线：与轴的两个交点分别为，， ∴设抛物线的表达式为， ∴抛物线的对称轴为直线，， 当时，，即， ∵轴交抛物线于轴右侧点， ∴当时，， 解得或， ∴， ∴， ∵点是轴上与点关于原点对称的点， ∴， ∴， ∵轴交抛物线于轴右侧点， ∴当时，， 解得或， ∴， ∴， 设，则， ∵与相似， ∴①当时，则，即， ∴， ②当时，则，即， ∴， 若②中方程有两个相等的实数根，则， 解得，，此时①中的方程中， ∴当时，有两个值或使得两个三角形相似， 此时，，，当时，，；当时，，，即； 若②中方程有两个不相等的实数根，且一根恰好是方程①中的根时，也只存在两个点使两三角形相似， ∴， 解得（负值不符合题意，舍去）， 此时，，，， ∵， ∴， 当时，此时，，即， 当时，此时，，即， 综上所述，当时，点的坐标为或；当时，点的坐标为或． 【点睛】相似三角形的性质：对应边成比例；全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等；采用分类讨论的思想是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $