精品解析：广东广州市增城区增城一中、新塘中学、郑中钧中学三校2025-2026学年高二下学期期中联考数学试卷

2025-2026学年广州市增城区增城一中、新塘中学、郑中钧中学三校联考高二数学下学期期中试卷 一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 如图是函数的导函数的图象，则下面判断正确的是（ ） A. 在上是增函数 B. 在上是减函数 C. 在上的最大值是 D. 当时，取得极小值 2. 如图，现要用5种不同的颜色对某市的4个区县地图进行着色，要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色，共有几种不同的着色方法？（ ） A. 120 B. 160 C. 180 D. 300 3. 甲､乙两人向同一目标各射击1次，已知甲命中目标的概率为，乙命中目标的概率为，已知目标至少被命中1次，则甲命中目标的概率是（    ） A. B. C. D. 4. 已知X的分布列为： X 0 1 P a 若随机变量，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数在处有极大值，则实数c的值为（ ） A. 2 B. 6 C. 2或6 D. 8 6. 下列求导正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 若函数在上存在最值，则实数的取值范围为 A. B. C. D. 8. 设A，B为两个事件，已知，，，则（ ） A. 0.24 B. 0.375 C. 0.4 D. 0.5 二、多选题:本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 若，，则（　　） A. B. C. D. 10. 有甲、乙两个小组参加某项测试，甲组的合格率为70%，乙组的合格率为90%．已知甲、乙两组的人数分别占这两组总人数的70%，30%．从这两组组成的总体中任选一个人，用事件，分别表示选取的该人来自甲、乙组，事件表示选取的该人测试合格，则（ ） A. B. C. D. 11. 设函数，则（ ） A. 是的极小值点 B. 当时， C. 当时， D. 当时， 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 计算：_______．（用数字作答） 13. 的展开式中的系数为__________. 14. 已知函数的定义域为R，其导函数为，满足，，则不等式的解集为___________. 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 某种产品的加工需要经过5道工序． （1）如果其中某道工序不能放在最后，那么有多少种加工顺序？ （2）如果其中某2道工序既不能放在最前，也不能放在最后，那么有多少种加工顺序？ （3）如果其中某2道工序必须相邻，那么有多少种加工顺序？ （4）如果其中某2道工序不能相邻，那么有多少种加工顺序？ 16. 已知函数. （1）求该函数在点处的切线方程； （2）证明：当时，. 17. 某种资格证考试，每位考生一年内最多有3次考试机会．一旦某次考试通过，便可领取资格证书．不再参加以后的考试，否则就继续参加考试，直到用完3次机会．李明决定参加考试，如果他每次参加考试通过的概率依次为0.6，0.7，0.8，且每次考试是否通过相互独立，试求： （1）李明在一年内参加考试次数X的分布列； （2）李明在一年内领到资格证书的概率． 18. 从甲、乙、丙、丁4人中随机抽取3个人去做传球训练.训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出. （1）记甲乙丙三人中被抽到的人数为随机变量，求的分布列； （2）若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练，且第1次由甲将球传出，记次传球后球在甲手中的概率为，. ①直接写出，，的值； ②求与的关系式（），并求（）. 19. 已知函数 （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年广州市增城区增城一中、新塘中学、郑中钧中学三校联考高二数学下学期期中试卷 一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 如图是函数的导函数的图象，则下面判断正确的是（ ） A. 在上是增函数 B. 在上是减函数 C. 在上的最大值是 D. 当时，取得极小值 【答案】D 【解析】 【分析】根据导函数图象，判断导数值的符号从而可得函数的单调性，进而可得结果． 【详解】解：根据导函数图象可知， 在上先单调递减后单调递增，故错误； 在上，单调递增，故错误； 函数在上先单调递减，再单调递增，最后在上单调递减，故无法确定函数在上的最大值，故C错误； 在时单调递减，在时单调递增，在 时，取极小值，故对， 故选：． 2. 如图，现要用5种不同的颜色对某市的4个区县地图进行着色，要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色，共有几种不同的着色方法？（ ） A. 120 B. 160 C. 180 D. 300 【答案】C 【解析】 【分析】分两步，第一步先排Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，第二步再排Ⅳ，然后根据分步计数原理相乘即可. 【详解】先排Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ共有种，再排Ⅳ有种， 故不同的着色方法数有种. 故选：C 3. 甲､乙两人向同一目标各射击1次，已知甲命中目标的概率为，乙命中目标的概率为，已知目标至少被命中1次，则甲命中目标的概率是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】甲命中目标记为事件，目标至少被命中1次记为事件，则， ，， ． 4. 已知X的分布列为： X 0 1 P a 若随机变量，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由分布列的性质有，再由即可得. 【详解】由题设，可得，则. 故选：B 5. 已知函数在处有极大值，则实数c的值为（ ） A. 2 B. 6 C. 2或6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，求出，再检验可得答案. 【详解】由， 得， 因为函数在处有极大值， 所以，解得或， 当时，，令，得或， 当或时，，当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以为极大值点，为极小值点，所以不符合题意， 当时，，令，得或， 当或时，，当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以为极大值点，为极小值点，所以符合题意， 综上 故选：B. 6. 下列求导正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用求导公式，导数的四则运算法则以及复合函数的求导法则对选项逐一检验即得. 【详解】对于A，，正确； 对于B，，错误； 对于C，，错误； 对于D，，错误. 故选：A 7. 若函数在上存在最值，则实数的取值范围为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先求得导函数的解析式，然后分类讨论和两种情况即可确定实数的取值范围. 【详解】由题可得， 当时，，函数在上单调递减，不存在最值； 当时，令，可得， 易得函数在上单调递增，在上单调递减， 若函数在上存在最值，则，即， 所以实数的取值范围为， 故选A． 【点睛】本题主要考查导函数研究函数的单调性，导函数研究函数的最值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 8. 设A，B为两个事件，已知，，，则（ ） A. 0.24 B. 0.375 C. 0.4 D. 0.5 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用条件概率公式直接计算作答. 【详解】由，，得， 所以. 故选：B 二、多选题:本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 若，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】令、可得答案. 【详解】因为 所以令可得： 令可得 故选：AC 10. 有甲、乙两个小组参加某项测试，甲组的合格率为70%，乙组的合格率为90%．已知甲、乙两组的人数分别占这两组总人数的70%，30%．从这两组组成的总体中任选一个人，用事件，分别表示选取的该人来自甲、乙组，事件表示选取的该人测试合格，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】由已知可得，，，，可判B项；根据乘法公式求解，即可判断A、C；根据全概率公式，可判D项. 【详解】由已知可得，，，，. 对于A项，由已知可得，， 根据乘法公式可知，故A项正确； 对于B项，由已知可得，故B项错误； 对于C项，由已知可得，， 根据乘法公式可知，故C项错误； 对于D项，因为，故D项正确. 故选：AD. 11. 设函数，则（ ） A. 是的极小值点 B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出函数的导数，得到极值点，即可判断A；利用函数的单调性可判断B；根据函数在上的值域即可判断C；直接作差可判断D. 【详解】对A，因为函数的定义域为R，而， 易知当时，，当或时， 函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故是函数的极小值点，正确； 对B，当时，，所以， 而由上可知，函数在上单调递增，所以，错误； 对C，当时，，而由上可知，函数在上单调递减， 所以，即，正确； 对D，当时，， 所以，正确； 故选：ACD. 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 计算：_______．（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】利用排列数和组合数公式计算可得出结果. 【详解】原式. 故答案为：. 13. 的展开式中的系数为__________. 【答案】30 【解析】 【分析】先将看作一个整体，求出其展开式的通项确定的次数，再确定的次数即可求解. 【详解】由， 其展开式的通项为，，， 令，得的展开式的通项为，，， 令，得， 则的展开式中的系数为. 故答案为：30. 14. 已知函数的定义域为R，其导函数为，满足，，则不等式的解集为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定不等式特征构造函数，探讨函数单调性，再借助单调性解不等式作答. 【详解】依题意，令，因，则，即函数在R上单调递增， 又，则， 不等式，则有，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为： 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 某种产品的加工需要经过5道工序． （1）如果其中某道工序不能放在最后，那么有多少种加工顺序？ （2）如果其中某2道工序既不能放在最前，也不能放在最后，那么有多少种加工顺序？ （3）如果其中某2道工序必须相邻，那么有多少种加工顺序？ （4）如果其中某2道工序不能相邻，那么有多少种加工顺序？ 【答案】（1）96，（2）36，（3）48，（4）72 【解析】 【分析】（1）先从另外4道工序中任选1道工序放在最后，再将剩余的4道工序全排列即可；（2）先从另外3道工序中任选2道工序放在最前和最后，再将剩余的3道工序全排列；（3）先排这2道工序，再将它们看做一个整体，与剩余的工序全排列；（4）先排其余的3道工序，出现4个空位，再将这2道工序插空 【详解】解：（1）先从另外4道工序中任选1道工序放在最后，有种不同的排法，再将剩余的4道工序全排列，有种不同的排法，故由分步乘法原理可得，共有种加工顺序； （2）先从另外3道工序中任选2道工序放在最前和最后，有种不同的排法，再将剩余的3道工序全排列，有种不同的排法，故由分步乘法原理可得，共有种加工顺序； （3）先排这2道工序，有种不同的排法，再将它们看做一个整体，与剩余的工序全排列，有种不同的排法，故由分步乘法原理可得，共有种加工顺序； （4）先排其余的3道工序，有种不同的排法，出现4个空位，再将这2道工序插空，有种不同的排法，所以由分步乘法原理可得，共有种加工顺序， 16. 已知函数. （1）求该函数在点处的切线方程； （2）证明：当时，. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出、的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程； （2）令，其中，利用导数分析函数在区间上的单调性可证得结论成立. 【小问1详解】 解：因为，该函数的定义域为，则， 所以，，， 因此，曲线在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 解：令，则， 当时，，则函数在上为减函数， 故当时，，则. 17. 某种资格证考试，每位考生一年内最多有3次考试机会．一旦某次考试通过，便可领取资格证书．不再参加以后的考试，否则就继续参加考试，直到用完3次机会．李明决定参加考试，如果他每次参加考试通过的概率依次为0.6，0.7，0.8，且每次考试是否通过相互独立，试求： （1）李明在一年内参加考试次数X的分布列； （2）李明在一年内领到资格证书的概率． 【答案】（1）分布列见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）的取值分别为1，2，3，分别求出，，，由此能求出李明参加考试次数的分布列 （2）由已知条件，利用对立事件的概率计算能求出李明在一年内领到资格证书的概率． 【详解】解：（1）的取值分别为1，2，3． ，， 所以李明参加考试次数的分布列为： 1 2 3 P 0.6 0.28 0.12 （2）李明在一年内领到资格证书的概率为： 18. 从甲、乙、丙、丁4人中随机抽取3个人去做传球训练.训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出. （1）记甲乙丙三人中被抽到的人数为随机变量，求的分布列； （2）若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练，且第1次由甲将球传出，记次传球后球在甲手中的概率为，. ①直接写出，，的值； ②求与的关系式（），并求（）. 【答案】（1）分布列见解析 （2）①，，；②，； 【解析】 【分析】（1）列出随机变量的所有可能取值并求得对应的概率，写出其分布列即得； （2）记表示事件“经过次传球后，球在甲手中”，由全概率公式可求得，，再通过构造等比数列求得数列的通项即得. 【小问1详解】 的可能取值为2和3， 则， 所以随机变量的分布列为： 2 3 【小问2详解】 ①若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练，且第1次由甲将球传出，次传球后球在甲手中的概率为，， 则有，，. ②记表示事件“经过次传球后，球在甲手中”， 所以 即，， 所以，且. 所以数列表示以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以 即次传球后球在甲手中的概率是. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查全概率公式应用和数列递推公式的处理方法,属于难题. 解题的关键有二，其一，在用表示事件“经过次传球后，球在甲手中”后 ，要想到运用全概率公式得到，再运用独立事件的概率乘法公式展开得到；其二，在此数列递推式两边凑项，构造等比数列. 19. 已知函数 （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，求的取值范围. 【答案】（1）见解析；（2）. 【解析】 【详解】（1）的定义域为，， （ⅰ）若，则，所以在单调递减. （ⅱ）若，则由得. 当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增. （2）（ⅰ）若，由（1）知，至多有一个零点. （ⅱ）若，由（1）知，当时，取得最小值，最小值为. ①当时，由于，故只有一个零点； ②当时，由于，即，故没有零点； ③当时，，即. 又，故在有一个零点. 设正整数满足，则. 由于，因此在有一个零点. 综上，的取值范围为. 点睛:研究函数零点问题常常与研究对应方程的实根问题相互转化.已知函数有2个零点求参数a的取值范围，第一种方法是分离参数，构造不含参数的函数，研究其单调性、极值、最值，判断与其交点的个数，从而求出a的取值范围；第二种方法是直接对含参函数进行研究，研究其单调性、极值、最值，注意点是若有2个零点，且函数先减后增，则只需其最小值小于0，且后面还需验证最小值两边存在大于0的点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $