精品解析：北京市朝阳外国语学校2024-2025学年第一学期期末高一数学试卷

北京市朝阳外国语学校2024—2025学年度第一学期期末试卷 高一年级 数学试卷 （考试时间120分钟 满分150分） 本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项，填写在答题卡上． 1. 已知集合，，则的子集可以是（ ） A. B. C. D. 2. （ ） A. B. C. D. 3. 已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，，则（ ） A. B. 3 C. D. 4. （ ） A. B. C. D. 5. 在中，，，，则（ ） A. B. 4 C. D. 6. 将函数的图象经过下列哪种变换可以得到函数的图象（ ） A. 先向左平移个单位，再将函数图象上每一点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） B. 先向左平移个单位，再将函数图象上每一点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） C. 先向左平移个单位，再将函数图象上每一点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） D. 先向左平移个单位，再将函数图象上每一点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） 7. 已知正方形ABCD的边长为2，P为正方形ABCD内部（不含边界）的动点，且满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数．则“”是“为偶函数”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 记， ，设为平面向量，则 A. B. C. D. 10. 恩格斯曾经把对数的发明、解析几何的创始和微积分的建立称为十七世纪数学的三大成就.其中对数的发明曾被十八世纪法国数学家拉普拉斯评价为“用缩短计算时间延长了天文学家的寿命”.已知正整数N的70次方是一个83位数，则由下面表格中部分对数的近似值（精确到0.001），可得N的值为（ ） M 2 3 7 11 13 0.301 0.477 0.845 1.041 1.114 A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡上． 11. 复数，则__________________. 12. 设a，b，c均为正数，且，，，则a，b，c的大小顺序为______． 13. 函数的最小正周期是__________． 14. 设，其中．当时，____；当时，的一个取值为____． 15. 设，函数，若恰有一个零点，则的取值范围是__________. 三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 化简求值． （1）设实数x满足，求的值； （2）； （3）已知，为锐角，求的值． 17. 中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC． （1）求A； （2）若BC=3，求面积的最大值． 18. 设不等式的解集为M，求当时，函数的最大值和最小值． 19. 如图，在中，点满足，是线段的中点，过点的直线与边，分别交于点，. （1）若，求的值； （2）若，求的最小值． 20. 已知，角、、的对边分别为、、，、均在线段上，为中线，为的平分线． （1）若，求证； （2）在（1）的条件下，若，求； （3）若，求的取值范围． 21. 给定正整数，设集合．对于集合中的任意元素和，记．设，且集合，对于中任意元素，若则称具有性质． （1）判断集合是否具有性质？说明理由； （2）判断是否存在具有性质的集合，并加以证明； （3）若集合具有性质，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市朝阳外国语学校2024—2025学年度第一学期期末试卷 高一年级 数学试卷 （考试时间120分钟 满分150分） 本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项，填写在答题卡上． 1. 已知集合，，则的子集可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求解一元二次不等式得到集合，再计算集合与的交集，最后逐一判断各选项是否为该交集的子集. 【详解】，所以，ABC选项均不符合题意； 选项D，因为，所以是的子集，正确. 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】可得. 3. 已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，，则（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用余弦定理将化简即得. 【详解】.  4. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先通过诱导公式化简原式中的三角函数项，再利用两角差的正弦公式计算得到结果. 【详解】. 5. 在中，，，，则（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用余弦定理得到，，利用同角三角函数基本公式得到，然后利用面积公式求面积即可. 【详解】，，，所以，解得，， 因为，所以，. 故选：C. 6. 将函数的图象经过下列哪种变换可以得到函数的图象（ ） A. 先向左平移个单位，再将函数图象上每一点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） B. 先向左平移个单位，再将函数图象上每一点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） C. 先向左平移个单位，再将函数图象上每一点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） D. 先向左平移个单位，再将函数图象上每一点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） 【答案】A 【解析】 【详解】先将向左平移个单位，可得， 再将函数图象上每一点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）， 可得的图象，故A正确. 7. 已知正方形ABCD的边长为2，P为正方形ABCD内部（不含边界）的动点，且满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过建立合适的直角坐标系，设，得到的轨迹方程，最后得到的表达式，根据函数单调性即可得到其范围. 【详解】以中点为原点建立如下直角坐标系； 则，，， 设，则，， 则， 即，则，其中，， 则， 则， 故选：D. 8. 已知函数．则“”是“为偶函数”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据充分，必要条件的定义，结合三角函数变换，即可判断选项. 【详解】当，即 则， 化简为，即，， 当时，，为偶函数， 当时，，为偶函数， 所以，能推出函数是偶函数 反过来，若函数是偶函数，则有， 所以“”是“为偶函数”的充分必要条件. 故选：C 9. 记， ，设为平面向量，则 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】根据向量运算的几何意义，即三角形法则，可知与 的大小不确定，由平行四边形法则及余弦定理可知，所对的角大于或等于 ，故，故选Ｄ 考点：向量运算的几何意义. 10. 恩格斯曾经把对数的发明、解析几何的创始和微积分的建立称为十七世纪数学的三大成就.其中对数的发明曾被十八世纪法国数学家拉普拉斯评价为“用缩短计算时间延长了天文学家的寿命”.已知正整数N的70次方是一个83位数，则由下面表格中部分对数的近似值（精确到0.001），可得N的值为（ ） M 2 3 7 11 13 0.301 0.477 0.845 1.041 1.114 A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】利用对数的运算公式计算即可. 【详解】由题意知，的70次方为83位数，所以，则，即，整理得， 根据表格可得，，所以，即. 故选：C. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡上． 11. 复数，则__________________. 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的除法法则化简复数，利用复数的模长公式可求得结果. 【详解】，因此，. 故答案为：. 12. 设a，b，c均为正数，且，，，则a，b，c的大小顺序为______． 【答案】## 【解析】 【分析】结合的图象确定正确答案. 【详解】画出的图象如下图所示， 由图可知. 故答案为： 13. 函数的最小正周期是__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用二倍角公式化简函数的解析式，再利用余弦型函数的周期公式，即可求得函数的最小正周期． 【详解】因为， 所以函数的最小正周期为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查二倍角公式的应用以及余弦型函数的周期公式的应用，属于基础题． 14. 设，其中．当时，____；当时，的一个取值为____． 【答案】 ①. ②. （答案不唯一） 【解析】 【分析】将代入计算可得，利用两点间距离公式可知；由即可得，化简整理可得，即可写出一个合适的值. 【详解】根据题意可得当时，可得， 所以； 当时，即， 整理可得，即， 可得，所以的一个取值为. 故答案为：, 15. 设，函数，若恰有一个零点，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，按和分类讨论，结合指数函数值域求解即得. 【详解】当时，若，则， 若，则，当且仅当时取等号， 则当时，恰有一个零点，因此； 当时，若，则， 若，，显然，此时有一个解， 由恰有一个零点，则当且仅当，解得， 所以的取值范围是. 故答案为： 三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 化简求值． （1）设实数x满足，求的值； （2）； （3）已知，为锐角，求的值． 【答案】（1） （2）（或） （3） 【解析】 【小问1详解】 ，则； 【小问2详解】 原式 ； 【小问3详解】 因为，为锐角，所以，则， 则. 17. 中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC． （1）求A； （2）若BC=3，求面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合正弦定理进行角化边，然后结合余弦定理即可求出结果； （2）结合余弦定理得到，进而根据均值不等式求出，然后结合三角形的面积公式即可求出结果. 【小问1详解】 因为sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC，由正弦定理可得， 由余弦定理可得，因为，因此， 【小问2详解】 由（1）知，又因为BC=3，即，故， 从而，又因为，当且仅当时，等号成立，所以，即，当且仅当时，等号成立，所以面积的最大值为. 18. 设不等式的解集为M，求当时，函数的最大值和最小值． 【答案】最大值为，最小值为 【解析】 【详解】由得，即， 由，令， 则，函数图象开口向上且对称轴为， 当时，； 当时，； 当时，； 综上，的最大值为，最小值为 19. 如图，在中，点满足，是线段的中点，过点的直线与边，分别交于点，. （1）若，求的值； （2）若，求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量线性运算法则及平面向量基本定理得到方程组，求出、即可； （2）根据题意得到，，结合三点共线得到，利用基本不等式“1”的妙用即可求解. 【小问1详解】 因为，所以， 所以， 又是线段的中点，所以， 又，且、不共线， 所以，所以. 【小问2详解】 因为， ， 由（1）可知，，所以， 因为三点共线，所以，即，则， 又，， 所以 ， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为． 20. 已知，角、、的对边分别为、、，、均在线段上，为中线，为的平分线． （1）若，求证； （2）在（1）的条件下，若，求； （3）若，求的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据，可得，再由正弦定理证明即可； （2）结合（1）可得，从而得到，再利用余弦定理计算可得； （3）先根据双余弦定理及角平分线定理求出的关系及，再根据，再化简即可得出答案. 【小问1详解】 设边上的高为． 因为，即，所以， 又因为为的平分线，所以， 在中，由正弦定理得， 在中，由正弦定理得， 又，所以， 所以，即，即. 【小问2详解】 因为，为的中点，所以， 又， 所以，即， 又， 故； 【小问3详解】 在中，， 在中，， 又，所以， 两式相加得， 因为，，， 在中，由正弦定理得， 在中，由正弦定理得， 又，则， 所以，则， 又，即，所以， 所以， 由， 因为，所以，， 设，则，即， 解得或， 所以或 所以或， 所以或， 所以． 21. 给定正整数，设集合．对于集合中的任意元素和，记．设，且集合，对于中任意元素，若则称具有性质． （1）判断集合是否具有性质？说明理由； （2）判断是否存在具有性质的集合，并加以证明； （3）若集合具有性质，证明：． 【答案】（1）具有，理由见解析 （2）不存在，证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据集合具有性质的特征，即可根据集合中的元素进行检验求解， （2）假设集合具有性质，分别考虑时，集合中的元素，即可根据的定义求解. （3）根据假设存在使得，考虑当时以及时，分量为1的个数即可讨论求解. 【小问1详解】 因为，同理． 又，同理． 所以集合具有性质． 【小问2详解】 当时，集合中的元素个数为．由题设． 假设集合具有性质，则 ①当时，，矛盾． ②当时，，不具有性质，矛盾． ③当时，． 因为和至多一个在中；和至多一个在中； 和至多一个在中，故集合中的元素个数小于，矛盾． ④当时，，不具有性质，矛盾． ⑤当时，，矛盾． 综上，不存在具有性质的集合． 【小问3详解】 记，则． 若，则，矛盾．若，则，矛盾．故． 假设存在使得，不妨设，即． 当时，有或成立． 所以中分量为的个数至多有． 当时，不妨设． 因为，所以的各分量有个，不妨设． 由时，可知，，中至多有个， 即的前个分量中，至多含有个． 又，则的前个分量中，含有 个，矛盾． 所以． 因为， 所以． 所以． 【点睛】求解新定义运算有关的题目，关键是理解和运用新定义的概念以及元算，利用化归和转化的数学思想方法，将不熟悉的数学问题，转化成熟悉的问题进行求解. 对于新型集合，首先要了解集合的特性，抽象特性和计算特性，抽象特性是将集合可近似的当作数列或者函数分析.计算特性，将复杂的关系通过找规律即可利用已学相关知识求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $