北京市朝阳外国语学校2024-2025学年第一学期期末高一数学试卷

北京市朝阳外国语学校2024—2025学年度第一学期期末试卷 高一年级 数学试卷 （考试时间120分钟 满分150分） 本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项，填写在答题卡上． 1. 已知集合，，则的子集可以是（ ） A. B. C. D. 2. （ ） A. B. C. D. 3. 已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，，则（ ） A. B. 3 C. D. 4. （ ） A. B. C. D. 5. 在中，，，，则（ ） A. B. 4 C. D. 6. 将函数的图象经过下列哪种变换可以得到函数的图象（ ） A. 先向左平移个单位，再将函数图象上每一点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） B. 先向左平移个单位，再将函数图象上每一点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） C. 先向左平移个单位，再将函数图象上每一点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） D. 先向左平移个单位，再将函数图象上每一点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） 7. 已知正方形ABCD的边长为2，P为正方形ABCD内部（不含边界）的动点，且满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数．则“”是“为偶函数”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 记， ，设为平面向量，则 A. B. C. D. 10. 恩格斯曾经把对数的发明、解析几何的创始和微积分的建立称为十七世纪数学的三大成就.其中对数的发明曾被十八世纪法国数学家拉普拉斯评价为“用缩短计算时间延长了天文学家的寿命”.已知正整数N的70次方是一个83位数，则由下面表格中部分对数的近似值（精确到0.001），可得N的值为（ ） M 2 3 7 11 13 0.301 0.477 0.845 1.041 1.114 A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡上． 11. 复数，则__________________. 12. 设a，b，c均为正数，且，，，则a，b，c的大小顺序为______． 13. 函数的最小正周期是__________． 14. 设，其中．当时，____；当时，的一个取值为____． 15. 设，函数，若恰有一个零点，则的取值范围是__________. 三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 化简求值． （1）设实数x满足，求的值； （2）； （3）已知，为锐角，求的值． 17. 中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC． （1）求A； （2）若BC=3，求面积的最大值． 18. 设不等式的解集为M，求当时，函数的最大值和最小值． 19. 如图，在中，点满足，是线段的中点，过点的直线与边，分别交于点，. （1）若，求的值； （2）若，求的最小值． 20. 已知，角、、的对边分别为、、，、均在线段上，为中线，为的平分线． （1）若，求证； （2）在（1）的条件下，若，求； （3）若，求的取值范围． 21. 给定正整数，设集合．对于集合中的任意元素和，记．设，且集合，对于中任意元素，若则称具有性质． （1）判断集合是否具有性质？说明理由； （2）判断是否存在具有性质的集合，并加以证明； （3）若集合具有性质，证明：． 北京市朝阳外国语学校2024—2025学年度第一学期期末试卷 高一年级 数学试卷 （考试时间120分钟 满分150分） 本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项，填写在答题卡上． 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】C 【9题答案】 【答案】D 【10题答案】 【答案】C 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡上． 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】## 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 ①. ②. （答案不唯一） 【15题答案】 【答案】 三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 【16题答案】 【答案】（1） （2）（或） （3） 【17题答案】 【答案】（1） （2） 【18题答案】 【答案】最大值为，最小值为 【19题答案】 【答案】（1） （2） 【20题答案】 【答案】（1） 设边上的高为． 因为，即，所以， 又因为为的平分线，所以， 在中，由正弦定理得， 在中，由正弦定理得， 又，所以， 所以，即，即. （2） （3） 【21题答案】 【答案】（1）具有，理由如下： 因为，同理． 又，同理． 所以集合具有性质． （2）不存在，证明如下： 当时，集合中的元素个数为．由题设． 假设集合具有性质，则 ①当时，，矛盾． ②当时，，不具有性质，矛盾． ③当时，． 因为和至多一个在中；和至多一个在中； 和至多一个在中，故集合中的元素个数小于，矛盾． ④当时，，不具有性质，矛盾． ⑤当时，，矛盾． 综上，不存在具有性质的集合． （3） 记，则． 若，则，矛盾．若，则，矛盾．故． 假设存在使得，不妨设，即． 当时，有或成立． 所以中分量为的个数至多有． 当时，不妨设． 因为，所以的各分量有个，不妨设． 由时，可知，，中至多有个， 即的前个分量中，至多含有个． 又，则的前个分量中，含有 个，矛盾． 所以． 因为， 所以． 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $