2.4 用因式分解法求解一元二次方程-【暑假大串联】2025-2026学年八年级数学暑假作业教材衔接（北师大版·新教材）

且m≠2：©当原方程有两个相等的实数根 9.610.y2-13y+4=0 4 11.x1=4,x2=212.25或36 时6-4c=20m-15<0,即m=:③当原方 13.解：x2-(2k-1)x=-k2+2k+3化为一般形 程没有实数根时，b2-4ac=20m-15<0,即 式为：x2-(2k-1)x十k2-2k-3=0,.a=1, b=-(2k-1),c=k2-2k-3..△=b2-4ac= [-(2k-1)]2-4×1×(k2-2k-3)=4k2- 15.解：(1)两根之和等于一次项系数除以二次项系 4k+1-4k2+8k+12=4k+13. 数的相反数，两根之积等于常数项除以二次项 (1)若方程有两个不相等的实数根，则△>0，即 系数.0-1；-1；-2；1：@3+丽 2 4k+13>0.∴k>-13 8-1@-子1：专-号 3-√13 4.7 (2)若方程有两个相等的实数根，则△=0，即 2 (2)-b+/b-4ac.-b-/b-4ac 4k+13=0,k=-13 b c 2a (3)若方程没有实数根，则△<0，即4k十13<0， 3 1 (3)x1十x2=-2x1·x2= 21+1 <号 、3 14.解：令A=a2+b2,B=-2c,C=1,△=4c2- x1十x2 2 =3;②x12+x22=(x1十x2)2 4(a2十b2),.方程有两个相等实数根，∴△=0， TIT2 1 c2=a2十b2,.△ABC为直角三角形. 2=-2x(-)-2+1 15.解：实数a,b是方程x2-x-1=0的两根， 4 ∴a十b=1,ab=-1,么+2=b+a2 b ab 4.用因式分解法求解一元二次方程 (a+b)2-2ab =-3. 1.D2.D3.C4.B5.C6.B ab 7.28.5或-69.1-1210.x=±3 6.应用一元二次方程 11.(1)换元转化(2)x1=√3，x2=-√312.0 1.D2.B3.B4.C5.A6.D 13.2028 7.25%8.-5和79.x(x+10)=30010.16 14.x1=1,x2=-4. 11.1312.20% 15.解：(1)分解因式得：(x-3)(x十1)=0，x-3 0,x+1=0,x1=3,x2=-1;(2)分解因式得： 13.解：1)设长方形的宽为xm,则长为12= 2 (x-1)(x-1+2x)=0,x-1=0,x-1+2.x= (6-x)m,根据题意，得x(6-x)=5,即x2 1 0,x1=1,x2=3 6x十5=0，x1=1,x2=5(舍去)..当长方形的 宽为1m,长为6-1=5(m)时，面积为5m2.同 5.一元二次方程的根与系数的关系 样，当面积为8m时，有x(6-x)=8,即x2 1.C2.B3.B4.D5.B6.A 6x十8=0，x1=2,x2=4(舍去)..当长方形的 宽为2m,长为6-2=4m时，面积为8m2; (2)当面积为10m2时，x(6-x)=10,即x2第三部分 探究先飞 4.用因式分解法求解一元二次方程 瘦点预览w 1.用因式分解法解一元二次方程的步骤 (1)将方程右边化为0： (2)将方程左边分解为两个一次式的积； (3)令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； (4)解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。 2.常用的因式分解法 提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等 典型例题w 例1解方程：x(x-1)=2(x-1). 解析：x(x-1)=2(x-1).x(x-1)-2(x-1)=0.(x-1)(x-2)=0,∴.x-1=0,x-2=0, ∴.x1=1,x2=2. 例2如果(x2+y2)(x2+y2-2)=3,请你求出x2十y2的值. 解析：设x2+y2=之，.x(之-2)=3.整理得：z2-2x-3=0,.（之-3)（之十1）=0.之1=3，之2= -1.x=x2+y2>0,∴之=-1（不合题意，舍去），.之=3.即x2+y2的值为3. 预习检测w 一、选择题 1.方程(x-3)(x十2)=1的解为 () A.x=3 B.x=-2 C.x1=3,x2=-2 D.以上结论都不对 2.方程x一2=x(x一2)的解为 ( A.x=0 B.x1=0,x2=2 C.x=2 D.x1=1,x2=2 3.如果x2+x一1=0，那么代数式x3+2x2-7的值为 A.6 B.8 C.-6 D.-8 4.若关于x的一元二次方程(m一1)x2+5x+m2-3m十2=0的常数项为0，则m的值等于 A.1 B.2 C.1或2 D.0 三吉代数式“的值为学则：的聚值是 A.x=2或x=1B.x=2且x=1 C.x=2 D.x=-1 6.三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2一12x十35=0的根，则该三角形的周长为 () A.14 B.12 C.12或14 D.以上都不对 暑假大串联 八年级数学B 二、填空题 7,已知实数x满足4x2-4r+1=0,则代数式2x十的值为 8.已知y=x2十x-6,当x= 时，y的值是24. 9.若方程x2+mx+n可以分解成(x一3)与(x十4)的积的形式，则m= 10.方程8x2-72=0解为 11.阅读材料，解答问题. 材料：为解方程(x2一1)一5(x2一1)十4=0，我们可以将(x2一1)视为一个整体，然后设 (x2-1)=y, 原方程可化为：y2-5y十4=0. ① 解这个方程，得：y1=1,y2=4. 当y1=1时，x2-1=1,即x2=2,.x=士2； 当y2=4时，x2-1=4,即x2=5,.x=士5. ∴.原方程的解为：x1=√2，x2=一√2，x3=√5，x4=一5 解答问题： (1)填空：在由原方程得到①的过程中利用 法，达到了降次的目的，体现 的 数学思想； (2)方程：x4一x2一6=0的解为 12.若方程(2026.x)2-2025×2027x一1=0的较大根为a,方程x2-2026.x-2027=0的较小根 为b,则(a十b)2027= 三、解答题 13.已知m,n都是方程x2+2026.x一2027=0的根，试求代数式(m2+2026m一2026)(n2+ 2026n+1)的值. 14.解方程：(2x十3)2-25=0. 15,计算下列各题， (1)x2-2x-3=0: (2)(x-1)2+2x(x-1)=0.