2.3 用公式法求解一元二次方程-【暑假大串联】2025-2026学年八年级数学暑假作业教材衔接（北师大版·新教材）

暑假大串联 八年级数学B 3.用公式法求解一元二次方程 瘦点预览w 1.一元二次方程的求根公式 一元二次方程ax2+bx十c=0(a≠0)，当62-4ac≥0时，x=一b士yD-4ag 2a 2.用公式法解一元二次方程的步骤 用公式法解关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的步骤： ①把一元二次方程化为一般形式； ②确定a,b,c的值（要注意符号）； ③求出b2-4ac的值； ④若2一4c≥0，则利用公式工=一b士4ac求出原方程的解： 2a 若b2一4ac<0,则原方程无实根. 典型例题 例1用公式法解下列方程. (1)x2-3x+1=0;(2)x2-12x-4=0. 腰折：0D5a三1h三3c三1b4c5x=3麦9故z二3十523有 2x2 2； (2)a=1,b=-12,c=-4,.b2-4ac=(-12)2-4×1×(-4)=160>0,∴.x= 12±160_12±4D=6士20，“x1=6+20,x,=6-20. 2 例2用公式法解下列方程. (1)x2-4√3x+10=0;(2)(x+1)(x-1)=2√2x. 解析：(1)a=1,b=-45,c=10,b2-4ac=(-4√3)2-4×1×10=8>0，.x= -(-43)±8_45士22-25士2.x1=25+2x:=2B-2: 2×1 (2)原方程可化为x2-2√2x-1=0.a=1,b=-2√2，c=-1,b2-4ac=(-22)2-4X 1×(-1D=12>0.=-（-22)±亚_22生28-2±5x,=2+5,-2-5 2×1 2 例3解关于x的方程(m+n)x2+(4m-2n)x十n-5m=0. 解析：(1)当m十n=0且m≠0，n≠0时，n=-m代入原方程，原方程可化为(4m十2m)x一m一 5m=0.6x=6m,.m≠0，解得x=1; (2)当m十n≠0时，.a=m+n,b=4m-2n,c=n-5m,.b2-4ac=(4m-2n)2-4(m+ 第三部分 探究先飞 a(n-5m=36m20心2n4m主y36m-2n40土60，c11,250 2(m+n) 2(m+n) 例4用公式法解方程：(m-7)(m十3)+(m-1)(m+5)=4m. 解析：方程整理为m2-4m-21十m2+4m-5-4m=0,.m2-2m-13=0,∴.a=1,b=-2,c= -13,62-4ac=(-2)2-4×1×(-13)=56,.m=-6±y6-4a=-(-2)±56 2a 2×1 2士2=1士4，m1=1+M,m2=1-. 2 预习检测 一、选择题 1.方程x2一3=0的根是 () A.x=3 B.x1=3,x2=-3C.√3 D.x1=√5，x2=-5 2.方程x(x一1)=2的解是 () A.x=-1 B.x=-2 C.x1=-1,x2=2 D.x=1,x2=-2 3.一元二次方程x2+3x一4=0的解是 ( ) A.x1=1,x2=-4B.x1=-1,x2=4 C.x1=-1,x2=-4D.x1=1,x2=4 4.一元二次方程x2+2√2x一6=0的根是 A.x1=x2=2 B.x1=0,x2=-2√2 C.x1=√2，x2=-3√2 D.x1=-√2，x2=3√2 5.方程(x-5)(x-6)=x-5的解是 ( A.x=5 B.x=5或x=6 C.x=7 D.x=5或x=7 6.已知x2-x-1=0,则-x3十2x2+2012的值为 A.2011 B.2012 C.2013 D.2014 二、填空题 7.方程x2一4x=0的解是 8.方程(x一1)(x十2)(x一3)=0的根是 9.方程2x2十4x+1=0的解是x1= ；x2= 10.若方程x2一m=0的根为整数，则m的值可以是 .(只填符合条件的一个即可) 11.已知实数xy满足(x2+y2)(x2+y2-1)=2,则x2+y2= 12.已知y=(x-5)(x+2).(1)当x为 值时，y的值为0； (2)当x为 值时，y的值为5. 三、解答题 13.用公式法解下列方程. (1)x2-3x-7=0: (2)x2-5=2(x+1): (3)2x2+√5x-5=0. @ 暑假大串联 八年级数学B 14.(1)利用求根公式完成下表： b2-4ac的符号 x1,x2的关系 方程 b2-4ac的值 (填>0，=0，<0) (填“相等”“不等”或“不存在”) x2-2x-3=0 x2-2x+1=0 x2-2x+3=0 (2)请观察上表，结合b2一4ac的符号，归纳出一元二次方程的根的情况； (3)利用上面的结论解答下题， 当m取什么值时，关于x的一元二次方程(m-2)x2十(2m十1)x+m一2=0， ①有两个不相等的实数根； ②有两个相等的实数根； ③没有实数根。 15.(1)利用求根公式计算，结合①②③你能得出什么猜想？ ①方程x2+2x+1=0的根为x1= ，x2= ,x1十x2= x1·x2= ②方程x2一3x一1=0的根为x1= ,x2= ,x1十c2= x1·x2= ③方程3x2十4x一7=0的根为x1= ，x2= ,x1十x2= x1·x2= (2)利用求根公式计算：一元二次方程ax2+bx十c=0(a≠0，且b2一4ac≥0)的两根为x1= ,℃2= ,x1十x2= ,x1·x2= (3)利用上面的结论解决下面的问题： 设x1,x2是方程2x2十3x一1=0的两个根，根据上面的结论，求下列各式的值： ①1+；②x+z. 回14.(1)x=0,b=3. 8. (2)由(1)知a=b=3,.c=10-6=4,S△4Bc= 9. 2×4×3=2=25 10 15.解：把x=a代入方程，可得：a2-2006a十1=0， 12 .a2-2006a=-1,a2+1=2006a,.a2 2007a=-a-1,a2-207a+02+1 2006 13. 1+2006a三-1.即a=2007a+20053 =-1. 2006 2.用配方法求解一元二次方程 1.D2.C3.C4.A5.C6.B 7.(1)42(2)93(3)164 8.-49.±410.31.1112， 13.解：(1)-x2+4x+1=0,x2-4.x-1=0,x2 4x+22=1+22,(x-2)2=5,x-2=±5，x1= 2+√5，x2=2-√5； (2) 号2+=2,2x十x=62+ 2x=3, +安+()=3+(）)，(+)-0 7 14 14.解：a2+b2-4a+6b+13=0,.a2-4a+4+ b2+6b+9=0,∴.(a-2)2+(b+3)2=0,.a 2=0,b+3=0,.a=2,b=-3,.a+b=2 3=-1. 15.解：(1)由a2+b2+c2-6a-8b-10c+50=0, 得(a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0,又(a- 3)2≥0，(b-4)2≥0，(c-5)2≥0，∴.a-3=0, b-4=0,c-5=0,.∴.a=3,b=4,c=5; (2)32+42=52,即a2+b2=c2,.△ABC是 以c为斜边的直角三角形. 3.用公式法求解一元二次方程 1.D2.C3.A4.C5.D6.C 7.x1=0,x2=4 x1=1,x2=-2,x3=3 -2+√2 -2-√2 ,x2= 2 2 4(答案不唯一)11.2 (1)x=5或x=-2 82+或-3y 2 解：(1)在方程x2-3x-7=0中，a=1,b=-3 c=-7.b2-4ac=9+28=37>0,.x= -b士/6=4ac-3±√37-3±√7 2×1 2 ,.x1= 2a 2,x,=37 3+√/37 2； (2)方程整理得：x2-2x-7=0,这里a=1, b=-2,c=-7,.b2-4ac=4+28=32>0, x=2±2 2 =1±22，x1=1+22,x2= 1-2√2； (3)这里a=2,b=√5，c=-5,b2-4ac=5+ -W5±35 √5 40=45>0,.x= ，x1= 2 x2=-√5. 解：(1) b2一4ac的 x1x2的关系 b2-4ac 方程 符号（填>0， (填“相等”“不 的值 =0,<0) 等”或“不存在”) x2-2x 16 >0 不等 3=0 x2-2x+ =0 相等 1=0 x2-2x十 -8 <0 不存在 3=0 (2)①当b2-4ac>0时，方程有两个不相等的实 数根；②当b2一4ac=0时，方程有两个相等的实 数根；③当b2一4ac<0时，方程没有实数根； (3)b2-4ac=20m-15,①当原方程有两个不相 等的实数根时，b2-4ac=20m-15>0,即m> 且m≠2：②当原方程有两个相等的实数根 9.610.y2-13y+4=0 4 11.x1=4,x2=212.25或36 时6-c=20m-15<0,即m=子：@当原方 13.解：x2-(2k-1)x=-k2+2k+3化为一般形 程没有实数根时，b2-4ac=20m-15<0,即 式为：x2-(2k-1)x十k2-2k-3=0,.a=1, b=-(2k-1),c=k2-2k-3..△=b2-4ac= [-(2k-1)]2-4×1×(k2-2k-3)=4k2- 15.解：(1)两根之和等于一次项系数除以二次项系 4k+1-4k2+8k+12=4k+13. 数的相反数，两根之积等于常数项除以二次项 (1)若方程有两个不相等的实数根，则△>0，即 系数.0-1；-1；-2；1：@3+丽 2 4k+13>0.k>-13 5a:-1@-1:青 3-√13 4.7 (2)若方程有两个相等的实数根，则△=0，即 2 (2)-b+/b-Aac.-b-/B-Aac 4k+13=0,k=-13 ； b c 2a 一； a'a (3)若方程没有实数根，则△<0，即4k+13<0, 3 1 (3)x1十x2=-2x1·x2= 2①2+1 <号 3 14.解：令A=a2+b2,B=-2c,C=1,△=4c2- x1十x2 2 =3;②x12十x22=(x1十x2)2 4(a2十b2),.方程有两个相等实数根，∴△=0， TIT2 1 c2=a2十b2,.△ABC为直角三角形. 2=-2x(-)-2+1- 15.解：实数a,b是方程x2-x-1=0的两根， 4 ∴a+b=1,b=-1,么+公=6+a b ab 4.用因式分解法求解一元二次方程 (a+b)2-2ab =-3. 1.D2.D3.C4.B5.C6.B ab 7.28.5或-69.1-1210.x=±3 6.应用一元二次方程 11.(1)换元转化(2)x1=√3，x2=-√312.0 1.D2.B3.B4.C5.A6.D 13.2028 7.25%8.-5和79.x(x+10)=30010.16 14.x1=1,x2=-4. 11.1312.20% 15.解：(1)分解因式得：(x-3)(x十1)=0，x-3= 0,x+1=0,x1=3,x2=-1;(2)分解因式得： 13.解：1)设长方形的宽为xm,则长为122x 2 (x-1)(x-1+2x)=0,x-1=0,x-1+2.x= (6-x)m,根据题意，得x(6-x)=5,即x2 1 0,x1=1,x2=3 6x+5=0,x1=1,x2=5(舍去).∴.当长方形的 宽为1m,长为6-1=5(m)时，面积为5m2.同 5.一元二次方程的根与系数的关系 样，当面积为8m2时，有x(6-x)=8,即x2- 1.C2.B3.B4.D5.B6.A 6x十8=0，x1=2,x2=4(舍去)..当长方形的 宽为2m,长为6-2=4m时，面积为8m2; -68号-号号 (2)当面积为10m2时，x(6-x)=10,即x2-