2.2 用配方法求解一元二次方程-【暑假大串联】2025-2026学年八年级数学暑假作业教材衔接（北师大版·新教材）

第三部分 探究先飞 2.用配方法求解一元二次方程 度点预览 1.一元二次方程的解法—配方法 (1)配方法解一元二次方程： 将一元二次方程配成(x十n)2=p(p≥0)的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元 二次方程的方法叫配方法， (2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：a2士2ab十b2=(a士b)2. (3)用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①把原方程化为a.x2+bx十c=0(a≠0)的形式； ②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此 方程无实数解， 2.配方法的应用 (1)用于比较大小： 在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于 零)而比较出大小 (2)用于求待定字母的值： 配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性 质求出待定字母的取值 (3)用于求最值： “配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值 (4)用于证明： “配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次 函数中也有着广泛的应用. 典型例题 例1用配方法解方程。 (1)x2-4x-2=0;(2)x2+6x+8=0. 解析：(1)方程变形为x2一4x=2.两边都加4，得x2一4x十4=2+4.利用完全平方公式，就得到 形如(x十m)2=n的方程，即有(x一2)2=6.解这个方程，得x一2=√6或x一2=一√6.于是，原 暑假大串联 八年级数学B 方程的根为x=2+√6或x=2一√6； (2)将常教项移到方程右边x2十6x=一8，两边都加一次项系数一半的平方()°-3，得 x2十6x十32=一8十32，∴.(x十3)2=1.用直接开平方法，得x十3=士1，.x=-2或x=一4. 例2若代数式M=10a2+b2-7a+8,N=a2+b2+5a+1,则M-N的值 () A.一定是负数B.一定是正数 C.一定不是负数 D.一定不是正数 解析：M-N=10a2+b2-7a+8-(a2+b2+5a+1)=10a2+b2-7a+8-a2-b2-5a-1= 9a2-12a+7=9a2-12a+4+3=(3a-2)2+3>0.故选B. 例3用配方法证明：二次三项式一8x2+12x一5的值一定小于0. 解折：-8x+12x-5=-8x2-r)-5=-8x2-2x+(门-5+8×(2)=-8(x-)》- 2(x-≥0-8-≤-8x--0,即-8r+12-5的t-定小于0 例4已知。2-a十6-会+得=6，水a-1石的位 解析：特感式运行配方，得。-++-名+）=0，岸a一》+6-寻°=0a 0且b- -0a--a-46-2-4月--2- 预匀检测 一、选择题 1.用配方法解一元二次方程x2一6x一10=0时，下列变形正确的为 ( A.(x+3)2=1 B.(x-3)2=1 C.(x+3)2=19 D.(x-3)2=19 2.下列各式是完全平方式的是 ( A.x2+7x+7 B.m2-4m-4 11 C.n2+2n+16 D.y2-2x+2 3.若x2十6x十m2是一个完全平方式，则m的值是 A.3 B.-3 C.±3 D.以上都不对 4.用配方法将二次三项式a2一4a+5变形，结果是 ( A.(a-2)2+1 B.(a+2)2-1 C.(a+2)2+1 D.(a-2)2-1 5.把方程x2十3=4x配方，得 ( A.(x-2)2=7 B.(x+2)2=21 C.(x-2)2=1 D.(x+2)2=2 6.用配方法解方程x2十4x=10的根为 ( A.2士10 B.-2士√14 C.-2+/10 D.2-√10 第三部分 探究先飞 二、填空题 7.(1)x2+4x+ =(x+ )2:(2)x2-6x+ (3)x2+8x+ =(x十 )2 8.若x2+x十3=(x-2)2-1,那么m= 9.若x2+8x十m2是一个完全平方式，则m的值是 10.求代数式2x2一7x+2的最小值为 11.当x= 时，代数式-x2一2x有最大值，其最大值为 12.已知a2+62-10a-66+34=0,则2+b 的值为 a-b 三、解答题 13.用配方法解方程： (1)-x2+4x+1=0; 三22十云9 14.已知a2+b2-4a+6b+13=0,求a+b的值. 15.已知a,b,c是△ABC的三边，且a2+b2+c2-6a-8b-10c+50=0. (1)求a,b,c的值； (2)判断三角形的形状 回14.(1)x=0,b=3. 8. (2)由(1)知a=b=3,.c=10-6=4,S△4Bc= 9. 2×4×3=2=25 10 15.解：把x=a代入方程，可得：a2-2006a十1=0， 12 .a2-2006a=-1,a2+1=2006a,.a2 2007a=-a-1,a2-207a+02+1 2006 13. 1+2006a三-1.即a=2007a+20053 =-1. 2006 2.用配方法求解一元二次方程 1.D2.C3.C4.A5.C6.B 7.(1)42(2)93(3)164 8.-49.±410.31.1112， 13.解：(1)-x2+4x+1=0,x2-4.x-1=0,x2 4x+22=1+22,(x-2)2=5,x-2=±5，x1= 2+√5，x2=2-√5； (2) 号2+=2,2x十x=62+ 2x=3, +安+()=3+(）)，(+)-0 7 14 14.解：a2+b2-4a+6b+13=0,.a2-4a+4+ b2+6b+9=0,∴.(a-2)2+(b+3)2=0,.a 2=0,b+3=0,.a=2,b=-3,.a+b=2 3=-1. 15.解：(1)由a2+b2+c2-6a-8b-10c+50=0, 得(a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0,又(a- 3)2≥0，(b-4)2≥0，(c-5)2≥0，∴.a-3=0, b-4=0,c-5=0,.∴.a=3,b=4,c=5; (2)32+42=52,即a2+b2=c2,.△ABC是 以c为斜边的直角三角形. 3.用公式法求解一元二次方程 1.D2.C3.A4.C5.D6.C 7.x1=0,x2=4 x1=1,x2=-2,x3=3 -2+√2 -2-√2 ,x2= 2 2 4(答案不唯一)11.2 (1)x=5或x=-2 82+或-3y 2 解：(1)在方程x2-3x-7=0中，a=1,b=-3 c=-7.b2-4ac=9+28=37>0,.x= -b士/6=4ac-3±√37-3±√7 2×1 2 ,.x1= 2a 2,x,=37 3+√/37 2； (2)方程整理得：x2-2x-7=0,这里a=1, b=-2,c=-7,.b2-4ac=4+28=32>0, x=2±2 2 =1±22，x1=1+22,x2= 1-2√2； (3)这里a=2,b=√5，c=-5,b2-4ac=5+ -W5±35 √5 40=45>0,.x= ，x1= 2 x2=-√5. 解：(1) b2一4ac的 x1x2的关系 b2-4ac 方程 符号（填>0， (填“相等”“不 的值 =0,<0) 等”或“不存在”) x2-2x 16 >0 不等 3=0 x2-2x+ =0 相等 1=0 x2-2x十 -8 <0 不存在 3=0 (2)①当b2-4ac>0时，方程有两个不相等的实 数根；②当b2一4ac=0时，方程有两个相等的实 数根；③当b2一4ac<0时，方程没有实数根； (3)b2-4ac=20m-15,①当原方程有两个不相 等的实数根时，b2-4ac=20m-15>0,即m>