2.1 认识一元二次方程-【暑假大串联】2025-2026学年八年级数学暑假作业教材衔接（北师大版·新教材）

13.解：由矩形的性质可知OD=OC.又由OE: 14.解：①正确，连接PC,可得PC=EF,PC=PA, BE=1:3可知E是OD的中点.又因为CE⊥ ..AP=EF; OD,根据三线合一可知OC=CD,即OC= CD=OD,即△OCD是等边三角形，故 ∠CDB=60°.所以∠ADB=30°.又因为CD= 2OF=8,BD =2OD=2CD=16. 14.解：，四边形ABCD是矩形，AD∥BC,DC= ②正确；延长AP,交EF于点N,则∠EPN AB..∠DAE=∠AFB.,DE=DC,.DE= ∠BAP=∠PCE=∠PFE,可得AP⊥EF; AB.DE⊥AG,.∠DEA=∠ABF=90. ③正确；∠PFE=∠PCE=∠BAP;④错误， .△ABF≌△DEA. PD=√2PF=√2CE;⑤正确，PB2十PD2= 15.证明：在△ADB和△AEC中，AD=AE, 2PA2.所以正确的有4个：①②③⑤. ∠BAD=∠CAE,AB=AC.·△ADB≌ △AEC,∴BD=CE.又DE=BC,.四边形 15.解：如图，连接CH, BCED是平行四边形.，∠BAD=∠CAE, .∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC,即 ∠DAC=∠BAE.在△DAC和△EAB中， DA=EA,∠DAC=∠EAB,AC=AB. △DAC≌△EAB,.DC=EB..四边形 BCED是矩形（对角线相等的平行四边形是矩 :正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转 形). 30°，∴.∠BCF=30°，则∠DCF=60°，在 (CH=CH, 3.正方形的性质与判定 Rt△CDH和Rt△CFH中， CD=CF, 1.D2.D3.B4.A5.D6.C .Rt△CDH≌Rt△CFH,∴.∠DCH= 7.√2a2:18.AC=BD或AB⊥BC ∠FCH=号∠DCF=30,在R△CDH中， 9.110.111.√2-112.5 DH=x,CH=2x,CD=3x=3,..DH=3. 13.解：作NF⊥BC于F. 一二 一元二次方程 1.认识一元二次方程 1.C2.C3.D4.B5.B6.D ABCD是正方形，.CD=BC=FN,则在 7.x2-5.x-4=01-5-4 Rt△BEC和Rt△FMN中，∠B=∠NFM= 8.(1)m≠±2(2)m=-2 CE=NM, 9.①⑥10.m=311.112.2011 90°， .Rt△BEC≌Rt△FMN, BC=FN, 13.(1)m=4,二次项系数2，一次项系数为5，常数 ∴.∠MNF=∠MCE=35°，.∠ANM=90° 项为11； ∠MNF=55°. (2)m=3或m=2. 14.(1)x=0,b=3. 8.x1=1,x2=-2,x3=3 (2)由(1)知a=b=3,∴.c=10-6=4,S△4Bc= 9.x1=二2+2 -2-√2 ,2= ×4×g-7-25 2 2 10.4(答案不唯一)11.2 15.解：把x=a代入方程，可得：a2-2006a+1=0, 12.(1)x=5或x=-2 .a2-2006a=-1,a2+1=2006a,.a2 (2)3+69 2007a=-a-1,∴a2-2007a+0+ 2 或x=36g 2 =-a 2006 13.解：(1)在方程x2-3x-7=0中，a=1,b=-3, 1+2006a=-1,即a2=2007a+2006 2006 =一1. c=-7.:b2-4ac=9+28=37>0,.x= 2.用配方法求解一元二次方程 b±VB-c-3士√37_3士√37 a 2×1 2 ,x1= 1.D2.C3.C4.A5.C6.B 3+√37 2 ,,37 2； 7.(1)42(2)93(3)164 (2)方程整理得：x2-2.x-7=0,这里a=1, 8-49士410-1.-1112.4 b=-2,c=-7,,b2-4ac=4+28=32>0, 13.解：(1)-x2+4x+1=0x2-4x-1=0,x2- 2±√32 =1土2√2，x1=1+22,x2= 4x+22=1十22，(x-2)2=5,x-2=土V5,x1= 2+√5，x2=2-5; 1-2W2; 2)2+日=2,2r+=62+号x=8 (3)这里a=2,b=√5，c=-5,:b2-4ac=5+ 40=45>0,.x= 5±35,1= ++()=8+(),(x+)-0 2 x2=-√5. 7 3 4 14.解：(1) 14.解：a2+b2-4a+6b+13=0,∴.a2-4a+4+ b2-4ac的 x1,x2的关系 b2-4ac b2+6b+9=0,.(a-2)2+(b+3)2=0,∴.a 方程 符号（填>0， (填“相等”“不 的值 2=0,b+3=0,.a=2,b=-3,.a+b=2- =0,<0) 等”或“不存在”) 3=-1. x2-2x 16 >0 不等 15.解：(1)由a2+b2+c2-6a-8b-10c+50=0, 3=0 得(a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0,又(a- x2-2x+ 0 =0 相等 3)2≥0，(b-4)2≥0，(c-5)2≥0，.a-3=0, 1=0 b-4=0,c-5=0,.a=3,b=4,c=5; x2-2x十 -8 <0 不存在 (2)32+42=5,即a2+b2=c2,.△ABC是 3=0 以c为斜边的直角三角形. (2)①当b2-4ac>0时，方程有两个不相等的实 数根；②当b2一4ac=0时，方程有两个相等的实 3.用公式法求解一元二次方程 数根；③当b2一4ac<0时，方程没有实数根； 1.D2.C3.A4.C5.D6.C (3)b2-4ac=20m-15,①当原方程有两个不相 7.x1=0,x2=4 等的实数根时，b2-4ac=20m-15>0,即m> 3暑假大串联 八年级数学B 二一 元二次方程 1.认识一元二次方程 度点预览m 1.一元二次方程的定义及一般形式 (1)一元二次方程的概念： 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫作一元二次方程. (2)一元二次方程的一般形式： 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如ax2十bx十c=0(a≠0)，这种形 式叫作一元二次方程的一般形式.其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是 一次项系数；c是常数项. 2.一元二次方程的解及有关结论 (1)一元二次方程的解： 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫作一元二次方程的解，也叫作一元二次方 程的根。 (2)一元二次方程根的重要结论： ①若a十b十c=0,则一元二次方程ax2+bx十c=0(a≠0)必有一根x=1;反之也成立，即 若x=1是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根，则a十b+c=0; ②若a-b十c=0,则一元二次方程ax2十bx+c=0(a≠0)必有一根x=-1;反之也成立， 即若x=一1是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根，则a-b十c=0; ③若一元二次方程ax2十bx+十c=0(a≠0)有一个根x=0,则c=0;反之也成立，若c=0, 则一元二次方程a.x2+bx十c=0(a≠0)必有一根为0. 典型例题 例1判定下列方程是不是一元二次方程： 13(x2-2)=2x(e+2)+2:23x(2x-1D+6=-2-64-x. 解折：①整理原方程，得行女-后2r2十x十号 2，所以-32-x-号-0.共中，二次项的系敛 一3≠0，所以原方程是一元二次方程； (2)整理原方程，得6x2-3x十6=一2-24十6x2,所以0·x2一3x十32=0.其中，二次项的 系数为0，所以原方程不是一元二次方程 70 第三部分 探究先飞 例2把下列方程中的各项系数化为整数，二次项系数化为正数，并求出各项的系数： 4-3-4z+2-0:2)-+5--0 解析：(1)两边都乘一1，就得到方程3x2+4x一2=0.各项的系数分别为a=3,b=4,c=-2; (2)两边同乘一12，得到整数系数方程6x2-20x十9=0.各项的系数分别为a=6,b=一20， c=9. 例3如果关于x的一元二次方程x2十px十q=0的两根分别为x1=2,x2=1,那么p,q的值分 别是多少？ 解析：x=2是方程x2十px十q=0的根，∴.22+2p十q=0,即2p十q=一4…①，同理，1十 p十g=0,即力十g=-1…@,联立①，②得2p十g=-4 p=-3, 解之得： p十q=-1, q=2. 例4已知m是方程x2-x一1=0的一个根，求代数式5m2一5m+2026的值. 解析：把x=m代入方程x2-x-1=0可得：m2-m-1=0,即m2-m=1,∴.5m2-5m十2026= 5(m2-m)+2026=5+2026=2031. 预习检测w 一、选择题 1.若x2一3x十p2一p=0是关于x的一元二次方程，则 ( ) A.p≠1 B.p≠0且p≠1 C.p≠0 D.p为一切实数 2.若1是方程ax2+bx+c=0的根，则a+b+c的值为 ( ) A.3 B.2 C.0 D.-1 3.已知m是方程x2一x一1=0的一个根，则代数式2m2一2m的值等于 》 A.-1 B.0 C.1 D.2 4.将一元二次方程4x2十5x=81化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为 ( A.4,5,81 B.4,5,-81 C.4,5,0 D.4x2,5.x,-81 5.若a为方程式(x一√17)2=100的一根，b为方程式(y一4)2=17的一根，且a,b都是正数，则 a-b值是 () A.5 B.6 C.83 D.10-√/17 6.已知方程x2十bx十a=0有一个根是一a(a≠0)，则下列代数式的值恒为常数的是 ( A.ab C.a+b D.a-b 二、填空题 7.方程(2x十1)(x一3)=x2十1化成一般形式为 ,二次项系数是 次项系数是 ,常数项是 暑假大串联 八年级数学B一 8.(1)关于x的方程(m2-4)x2一(m一2)x-1=0是一元二次方程，则m (2)关于x的方程(m2-4)x2-(m-2)x-1=0是一元一次方程，则m 9.下列关于x的方程中，是一元二次方程的有 (只填序号) ①+1=0：@x+,-g:@x+y+1=0:@x-x-+1-04@2xax-0)=6x+: ⑥(x-2)(x-3)=5. 10.关于x的方程(m十3).xm-7+x一1=0是一元二次方程，则m为 11.已知关于x的一元二次方程2x2-3mx一5=0的一个根是-1，则m为 2,已知a是关于x的-元二次方程22012x+1=0的一个根，则a一201a十01的值为 三、解答题 13.方程(m-2)xm-2+(m十1)x+3m-1=0. (1)如果是关于x的一元二次方程，试确定m的值，并指出二次项系数、一次项系数及常 数项； (2)如果是关于x的一元一次方程，试确定m的值. 14.已知△ABC中，AB=c,BC=a,AC=b,x为实数，且a十b=6,x2=ab-9. (1)求x的值； (2)若△ABC的周长为10，求△ABC的面积S△ABc· 设a是方程r2一2006x+1=0的一个根，求代数式a-207a十20的宜 阅