1.3 正方形的性质与判定-【暑假大串联】2025-2026学年八年级数学暑假作业教材衔接（北师大版·新教材）

第三部分 探究先飞 3.正方形的性质与判定 度点预览 1.正方形的定义 四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫作正方形， 2.正方形的性质 正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质， (1)边一四边相等、邻边垂直、对边平行. (2)角一四个角都是直角， (3)对角线一①相等；②互相垂直平分：③每条对角线平分一组对角. (4)是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心 3.正方形的判定 正方形的判定除定义外，判定思路有两条：或先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角 线相等（即矩形）；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）. 4. 特殊平行四边形之间的关系 性质 图形 边 对边平行且相等 对边平行且相等 对边平行，四边都相等 对边平行，四边都相等 角 对角相等 四个角都是直角 对角相等 四个角都是直角 对角线互相平分且 对角线垂直平分、平分 对角线垂直平分且相等， 对角线 对角线互相平分 相等 对角 平分对角 对称性 中心对称 轴对称&中心对称 轴对称&中心对称 轴对称、中心对称 判定 三个角呈直角 矩形 一组对边平行且相等 个角呈直角 两组对边分别平行 对角线相等 组邻边相等 两组对边分别相等 有一组邻边相等 四边形 平行四边形 正方形 两组对角相等 只有一个角是直角 对角线互相平分 组邻边相等 对角线互相垂直 有一个角是直角 四边相等 菱形 暑假大串联 八年级数学B 5.顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状 (1)顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形. (2)顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形， (3)顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形. (4)顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形 典型例题 例1如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E,F分别 D 在BC和CD上.下列结论：①CE=CF;②∠AEB=75°；③BE+DF=EF; ④S正方形ABcD=2十√3.其中正确的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 解析：，四边形ABCD是正方形，.AB=AD,.△AEF是等边三角形，.AE= AB=AD, AF,在Rt△ABE和Rt△ADF中， .Rt△ABE≌Rt△ADF(HL), 、G AE-AF, .BE=DF,BC=DC,.BC一BE=CD一DF,∴.CE=CF,.①说法正确；B CE=CF,∴.△ECF是等腰直角三角形，.∠CEF=45°，，∠AEF=60°，∴.∠AEB=75°，.②说 法正确；如图，连接AC,交EF于G点，.AC⊥EF,且AC平分EF,,∠CAF≠∠DAF,∴.DF≠ FG,.BE十DF≠EF,∴.③说法错误；，EF=2,∴.CE=CF=√2，设正方形的边长为a,在 Rt△ADF中，a2+(a-2)2-4,解得a-E十6 2 ,则a2=2十5，∴.S正方形AcD=2十5，④说法 正确.∴.正确的有①②④.故选C. 例2如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，点G是BC延长线上一 点，连接AG,点E,F分别在AG上，连接BE,DF,∠1=∠2，∠3=∠4. (1)证明：△ABE≌△DAF; (2)若∠AGB=30°，求EF的长. B G 解析：(1)证明：，四边形ABCD是正方形，AB=DA,.∠1=∠2，∠3=∠4，∴.△ABE2△DAF; (2)解：.四边形ABCD是正方形，∠AGB=30°，.AD∥BC,.∠1=∠AGB=30°，∠1+ ∠4=∠DAB=90°，∠3=∠4，.∠1+∠3=90°，.∠AFD=180°-（∠1+∠3）=90°， DFLAG.DF-TAD-1 AF-AABEADAF.AE-DF-1.E- √3-1. 66 第三部分 探究先飞 例3如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC、∠ABC的平分线相交于点D,且DE⊥BC 于点E,DF⊥AC于点F,那么四边形CEDF是正方形吗？请说明理由. 解析：是正方形，理由如下：作DG⊥AB于点G.AD平分∠BAC,DF⊥AC, DG⊥AB,∴.DF=DG.同理可得：DG=DE.∴DF=DE..DF⊥AC,DE1 BC,∠C=90°，∴四边形CEDF是矩形.，DF=DE..四边形CEDF是正 方形. 例4如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为a(a为大于0的常数)的正 方形ABCD的对角线AC,BD相交于点P,顶点A在x轴正半轴上运动， 顶点B在y轴正半轴上运动(x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点 O),顶点C,D都在第一象限. (1)当∠BAO=45时，求点P的坐标； A (2)求证：无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动，点P都在∠AOB的 平分线上 2AB② 解析：(1)解：当∠BA0=45°时，∠PA0=90,在R1△AOB中，OA= a,在Rt△APB 医点P的龟标为号： 2AB 中，PA= (2)证明：如图，过点P分别作x轴、y轴的垂线垂足分别为M,N,则有y个 ∠PMA=∠PNB=∠NPM=∠BPA=90°，.'∠BPN+∠BPM= ∠APM+∠BPM=90°，.∠APM=∠BPN,又PA=PB,∴.△PAM≌NP D △PBN,.PM=PN,又PN⊥ON,PM⊥OM,于是，点P在∠AOB的 平分线上 MA 预匀检测 一、选择题 1.正方形是轴对称图形，它的对称轴共有 A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 2.正方形具有而菱形不一定具有的性质是 A.四条边相等 B.对角线互相垂直平分 C.对角线平分一组对角 D.对角线相等 暑假大串联 八年级数学B 3.如图，正方形ABCD的边长为4cm,则图中阴影部分的面积为 A.6 cm2 B.8 cm2 C.16 cm2 D.不能确定 4.顺次连接对角线互相垂直的四边形各边的中点，所得的四边形是 A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.梯形 5.如图，在边长为2的正方形ABCD中，M为边AD的中点，延长MD至点E,使ME=MC,以 DE为边作正方形DEFG,点G在边CD上，则DG的长为 () A.√3-1 B.3-5 C.5+1 D.5-1 D (第5题) (第6题) 6.如图，正方形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,则图中的等腰三角形有 A.4个 B.6个 C.8个 D.10个 二、填空题 7.若正方形的边长为a,则其对角线长为 ,若正方形ACEF的边是正方形ABCD的对 角线，则正方形ACEF与正方形ABCD的面积之比等于 8.如图，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA,对角线AC与BD相交于点O,若不增加任 何字母与辅助线，要使四边形ABCD是正方形，则还需增加一个条件是 (第8题) (第9题) (第10题) 9.如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得 到△A'B'C',若两个三角形重叠部分的面积是1cm,则它移动的距离AA'等于 cm. 10.如图，边长为2的正方形ABCD的对角线相交于点O,过点O的直线分别交AD,BC于E, F,则阴影部分的面积是 68 第三部分探究先飞 11.如图.边长为1的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点A顺时针旋转 45°，则这两个正方形重叠部分的面积是 D (第11题) (第12题) 12.如图，点E在正方形ABCD的边CD上.若△ABE的面积为8，CE=3,则线段BE的长 为 三、解答题 13.已知：如图，正方形ABCD中，点E,M,N分别在AB,BC,AD边上，CE=MN,∠MCE= 35°，求∠ANM的度数. A B M 14.如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E;PF⊥CD于点F,连接 EF,给出下列5个结论：①AP=EF;②AP⊥EF;③∠PFE=∠BAP;④PD=EC;⑤PB+ PD2=2PA2,正确的有几个？ 15.如图，边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后，得到正方形EFCG,EF交 AD于H,求DH的长. B 回13.解：由矩形的性质可知OD=OC.又由OE: 14.解：①正确，连接PC,可得PC=EF,PC=PA, BE=1:3可知E是OD的中点.又因为CE⊥ ..AP=EF; OD,根据三线合一可知OC=CD,即OC= CD=OD,即△OCD是等边三角形，故 ∠CDB=60°.所以∠ADB=30°.又因为CD= 2OF=8,BD =2OD=2CD=16. 14.解：，四边形ABCD是矩形，AD∥BC,DC= ②正确；延长AP,交EF于点N,则∠EPN AB..∠DAE=∠AFB.,DE=DC,.DE= ∠BAP=∠PCE=∠PFE,可得AP⊥EF; AB.DE⊥AG,.∠DEA=∠ABF=90. ③正确；∠PFE=∠PCE=∠BAP;④错误， .△ABF≌△DEA. PD=√2PF=√2CE;⑤正确，PB2十PD2= 15.证明：在△ADB和△AEC中，AD=AE, 2PA2.所以正确的有4个：①②③⑤. ∠BAD=∠CAE,AB=AC.·△ADB≌ △AEC,∴BD=CE.又DE=BC,.四边形 15.解：如图，连接CH, BCED是平行四边形.，∠BAD=∠CAE, .∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC,即 ∠DAC=∠BAE.在△DAC和△EAB中， DA=EA,∠DAC=∠EAB,AC=AB. △DAC≌△EAB,.DC=EB..四边形 BCED是矩形（对角线相等的平行四边形是矩 :正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转 形). 30°，∴.∠BCF=30°，则∠DCF=60°，在 (CH=CH, 3.正方形的性质与判定 Rt△CDH和Rt△CFH中， CD=CF, 1.D2.D3.B4.A5.D6.C .Rt△CDH≌Rt△CFH,∴.∠DCH= 7.√2a2:18.AC=BD或AB⊥BC ∠FCH=号∠DCF=30,在R△CDH中， 9.110.111.√2-112.5 DH=x,CH=2x,CD=3x=3,..DH=3. 13.解：作NF⊥BC于F. 一二 一元二次方程 1.认识一元二次方程 1.C2.C3.D4.B5.B6.D ABCD是正方形，.CD=BC=FN,则在 7.x2-5.x-4=01-5-4 Rt△BEC和Rt△FMN中，∠B=∠NFM= 8.(1)m≠±2(2)m=-2 CE=NM, 9.①⑥10.m=311.112.2011 90°， .Rt△BEC≌Rt△FMN, BC=FN, 13.(1)m=4,二次项系数2，一次项系数为5，常数 ∴.∠MNF=∠MCE=35°，.∠ANM=90° 项为11； ∠MNF=55°. (2)m=3或m=2.