1.2 矩形的性质与判定-【暑假大串联】2025-2026学年八年级数学暑假作业教材衔接（北师大版·新教材）

∠AGB=∠CHD, △AGB和△CHD中， ∠ABG=∠CDH, AB=CD. .△AGB≌△CHD(AAS),.BG=DH=4, 1 ∠ABD=30°，GL=2BG=2,点G到 AB的距离是2. 11.A12.A13.√3 14.(1)证明：连接EF,AE. 14. 点E,F分别为BC,AC的中点，.EF∥AB, EF=AB.又：AD=AB,EF=AD.又 EF∥AD,.四边形AEFD是平行四边形. .AF与DE互相平分； (2)解：在Rt△ABC中，∠ABC=60°，BC=4,E 为BC的中点.BE=2BC=2,∠ACB=30, 15 ∴AB=BC=2.∴AB=BE,△ABE为等 边三角形，.AE=BE=2,又，四边形AEFD 是平行四边形，.DF=AE=2. 第三部分探究先飞 特殊平行四边形 1.菱形的性质与判定 1.D2.C3.D4.B5.C6.D 7.1058159.4cm10.4山.60 12.(3,4) 13.解：：∠ABC=120°，.∠BCD=∠BAD= 7 60°；，菱形ABCD中，AB=AD,.△ABD是 等边三角形；又，E是AB边的中点，B关于 12 AC的对称点是D,连接DE,DE与AC交于 P,DE⊥AB,PB=PD;DE的长就是PB+PE 的最小值√5；设AE=x,AD=2x,DE= √(2x)2-x=√5x=√5，所以x=1,AB= 2.x=2. D E B 解：四边形BFDE是菱形，理由：AD⊥BD, ∴.△ABD是直角三角形，且AB是斜边，E 为AB的中点DE=AB=BE,:四边形 ABCD是平行四边形，∴.DC∥AB,DC=AB, :F为DC中点，E为AB中点，DF=2DC BE=号AB,DF=BE,DF∥BE,∴四边形 DFBE是平行四边形，DE=EB,四边形 BFDE是菱形. (1)证明：，∠ABC=90°，BD为AC的中线， BD=号AC,:AG/BD,BD=FG四边形 BGFD是平行四边形，CF⊥BD,∴.CF⊥ AG,又：点D是AC中点.DF=名AC .BD=DF; (2)证明：，BD=DF,.四边形BGFD是菱形； (3)解：设GF=x,则AF=13-x,AC=2.x, 在Rt△ACF中，∠CFA=90°，.AF2+ CF2=AC2,即(13-x)2+62=(2x)2,解得：x= 5,∴.四边形BDFG的周长=4GF=20. 2.矩形的性质与判定 2.B3.B4.D5.D6.A 558980 11.3 12 13.解：由矩形的性质可知OD=OC.又由OE: 14.解：①正确，连接PC,可得PC=EF,PC=PA, BE=1:3可知E是OD的中点.又因为CE⊥ ∴.AP=EF; OD,根据三线合一可知OC=CD,即OC= CD=OD,即△OCD是等边三角形，故 ∠CDB=60°.所以∠ADB=30°.又因为CD= 2OF=8,BD =2OD=2CD=16. 14.解：四边形ABCD是矩形，AD∥BC,DC= ②正确；延长AP,交EF于点N,则∠EPN AB..∠DAE=∠AFB.DE=DC,.DE= ∠BAP=∠PCE=∠PFE,可得AP⊥EF; AB.DE⊥AG,.∠DEA=∠ABF=90°. ③正确；∠PFE=∠PCE=∠BAP;④错误， .△ABF≌△DEA. PD=√2PF=√2CE;⑤正确，PB2十PD2= 15.证明：在△ADB和△AEC中，AD=AE, 2PA2.所以正确的有4个：①②③⑤. ∠BAD=∠CAE,AB=AC.∴.△ADB≌ △AEC,.BD=CE.又DE=BC,.四边形 15.解：如图，连接CH, BCED是平行四边形.，∠BAD=∠CAE, .∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC,即 ∠DAC=∠BAE.在△DAC和△EAB中， DA=EA,∠DAC=∠EAB,AC=AB. △DAC≌△EAB,.DC=EB..四边形 BCED是矩形（对角线相等的平行四边形是矩 :正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转 形). 30°，∴.∠BCF=30°，则∠DCF=60°，在 (CH=CH, 3.正方形的性质与判定 Rt△CDH和Rt△CFH中， CD=CF, 1.D2.D3.B4.A5.D6.C ∴.Rt△CDH≌Rt△CFH,∴.∠DCH= 7.√2a2:18.AC=BD或AB⊥BC ∠FCH=号∠DCF=30,在R△CDH中， 9.110.111.√2-112.5 DH=x,CH=2x,CD=3x=3,..DH=3. 13.解：作NF⊥BC于F. 一二 一元二次方程 1.认识一元二次方程 1.C2.C3.D4.B5.B6.D ABCD是正方形，.CD=BC=FN,则在 7.x2-5.x-4=01-5-4 Rt△BEC和Rt△FMN中，∠B=∠NFM= 8.(1)m≠±2(2)m=-2 (CE=NM, 9.①⑥10.m=311.112.2011 90°， .Rt△BEC≌Rt△FMN, BC=FN, 13.(1)m=4,二次项系数2，一次项系数为5，常数 .∠MNF=∠MCE=35°，.∠ANM=90° 项为11； ∠MNF=55°. (2)m=3或m=2.第三部分 探究先飞 2.矩形的性质与判定 度流预览w 1.矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫作矩形 2.矩形的性质 矩形的性质包括四个方面： (1)矩形具有平行四边形的所有性质， (2)矩形的对角线相等 (3)矩形的四个角都是直角， (4)矩形是轴对称图形，它有两条对称轴， 3.矩形的判定 矩形的判定有三种方法： (1)定义：有一个角是直角的平行四边形叫作矩形. (2)对角线相等的平行四边形是矩形， (3)有三个角是直角的四边形是矩形， 4.直角三角形斜边上的中线的性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， 奥型例题 例1如图所示，在矩形ABCD中，E,F分别是BC,AD上的点，且BE= DF.求证△ABE≌△CDF. 解析：证明：，四边形ABCD是矩形..AB=CD,∠B=∠D=90°，在 B (AB=CD, △ABE和△CDF中∠B=∠D=90°，∴.△ABE≌△CDF(SAS). BE=DF, 例2已知：平行四边形ABCD中，E,F分别是AB,CD的中点，连接 AF,CE (1)求证：△BEC≌△DFA; (2)连接AC,若CA=CB,判断四边形AECF是什么特殊四边形？并证 明你的结论 解析：证明：(1).四边形ABCD是平行四边形，.AB=CD,∠B=∠D,BC=AD.E,F分别 暑假大串联 八年级数学B 是AB,CD的中点，BE=2AB,DF=2CD.∴BE=DF.△BEC≌△DFA; (2)四边形AECF是矩形.，四边形ABCD是平行四边形，.AB∥CD,且AB=CD.,E,F 分别是AB,CD的中点，BE=2AB,DF=2CD.AE/CF且AE=CF.四边形AECF是 平行四边形.，CA=CB,E是AB的中，点，.CE⊥AB,即∠AEC=90°.∴.四边形AECF是 矩形. 例3如图所示，□ABCD四个内角的角平分线分别交于点E,F,G,H.求证：四边形EFGH是 矩形 解析：证明：在□ABCD中，AD∥BC,∴.∠BAD+∠ABC=180°，，AE,BE分别平分∠BAD, ∠ABC∠BAE+∠ABE=2∠BAD+号∠ABC=90:∠HEF=∠AEB=90.月理： ∠H=∠F=90°.∴.四边形EFGH是矩形. 例4如图，△ABC中，AB=AC=10,BC=8,AD平分∠BAC交BC于点D,点E为AC的中 点，连接DE,则△CDE的周长为 () A.20 B.12 C.14 D.13 解析：：AB=AC,AD平分∠BAC,BC=8,AD⊥BC,CD=BD三)BC=4,:点E为AC的 1 中点，DE=CE=2AC=5,△CDE的周长=CD+DE+CE=4+5+5=14.故选C. 预习检测 一、选择题 1.下列命题中不正确的是 A.直角三角形斜边中线等于斜边的一半 B.矩形的对角线相等 C.矩形的对角线互相垂直 D.矩形是轴对称图形 2.若矩形对角线相交所成钝角为120°，短边长3.6cm,则对角线的长为 ) A.3.6 cm B.7.2 cm C.1.8 cm D.14.4cm 第三部分 探究先飞 3.矩形邻边之比3：4，对角线长为10cm,则周长为 A.14 cm B.28 cm C.20 cm D.22 cm 4.已知AC为矩形ABCD的对角线，则图中∠1与∠2一定不相等的是 5.在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的 4位同学拟定的方案，其中正确的是 A.测量对角线是否相互平分 B.测量两组对边是否分别相等 C.测量一组对角是否都为直角 D.测量其中三个角是否都为直角 6.如图，△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC,AB于点D,F,BE⊥DF交DF的延长线于点 E,已知∠A=30°，BC=2,AF=BF,则四边形BCDE的面积是 () A.23 B.33 C.4 D.43 二、填空题 7.矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于O,∠AOB=60°，AC=10cm,则AB= cm, BC= cm. 8.在△ABC中，∠C=90°，AC=5,BC=3,则AB边上的中线CD= 9.如图，矩形纸片ABCD中，AD=4cm,AB=10cm,按如图方式折叠，使点B与点D重合，折 痕为EF,则DE= cm. (第9题) (第10题) (第11题) (第12题) 10.如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于O,DE⊥AC于E,∠EDC:∠EDA=1:2, 且AC=10,则DE的长度是 11,如图，□ABCD的顶点B在矩形AEFC的边EF上，点B与点E,F不重合，若△ACD的面 积为3，则图中阴影部分两个三角形的面积和为 12.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6,E是斜边AB上任意一点，作EF⊥AC于F, EG⊥BC于G,则矩形CFEG的周长是 暑假大串联 八年级数学B一 三、解答题 13.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O,OF⊥BC,CE⊥BD,OE:BE=1:3,OF=4,求 ∠ADB的度数和BD的长. 14.如图，在矩形ABCD中，F是BC边上的一点，AF的延长线交DC的延长线于G,DE⊥AG 于E,且DE=DC,根据上述条件，请你在图中找出一对全等三角形，并证明你的结论 15.如图，已知AB=AC,AD=AE,DE=BC,且∠BAD=∠CAE. 求证：四边形BCED是矩形. @