1.1 菱形的性质与判定-【暑假大串联】2025-2026学年八年级数学暑假作业教材衔接（北师大版·新教材）

第三部分探究先飞 特殊平行四边形 1.菱形的性质与判定 瘦点预览 1.菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形. 2.菱形的性质 菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质： (1)菱形的四条边都相等， (2)菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 (3)菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心. 3.菱形的判定 菱形的判定方法有三种： (1)定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形. (2)对角线互相垂直的平行四边形是菱形. (3)四条边相等的四边形是菱形， 典型例题 例1如图，菱形ABCD中，E,F分别为AD,AB上的点，且AE=AF,连接EF并延长，交CB 的延长线于点G,连接BD. (1)求证：四边形EGBD是平行四边形； (2)连接AG,若∠FGB=30°，GB=AE=1,求AG的长. G 解析：(1)证明：连接AC,如图1： .四边形ABCD是菱形， .AC平分∠DAB,且AC⊥BD, .AF-AE, .AC⊥EF, ∴.EG∥BD. 图1 國 第三部分 探究先飞 又.菱形ABCD中，ED∥BG, ∴.四边形EGBD是平行四边形； (2)解：过点A作AH⊥BC于H. :∠FGB=30°， .∠DBC=30°， ∴.∠ABH=2∠DBC=60°， .GB=AE=1, ..AB=AD=2, 图 在Rt△ABH中，∠AHB=90°， ∴.AH=√5，BH=1. .GH=2, 在Rt△AGH中， 根据勾股定理得，AG=√7. 例2如图所示，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，DE∥AC,DF∥BC,四边形DECF是菱 形吗？试说明理由 2 F 解析：四边形DECF是菱形，理由如下：DE∥AC,DF∥BC,.四边形DECF是平行四边形 CD平分∠ACB,.∠1=∠2，DF∥BC,∴.∠2=∠3，∴.∠1=∠3.∴.CF=DF,.四边形 DECF是菱形. 例3如图所示，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D,CE平分∠ACD,交AD于点G, 交AB于点E,EF⊥BC于点F.求证：四边形AEFG是菱形. E G B D 解析：证明：方法一：：CE平分∠ACB,∠BAC=90°，EF⊥BC,∴AE=EF,∠1十∠3=90°， ∠4+∠2=90°..∠1=∠2，.∠3=∠4..EF⊥BC,AD⊥BC,∴.EF∥AD.∴.∠4=∠5..∠3= ∠5.∴.AE=AG..EF业AG.∴.四边形AEFG是平行四边形.又.AE=AG,∴.四边形AEFG是 菱形. 方法二：.CE平分∠ACB,∠BAC=90°，EF⊥BC,.AE=EF,∠1+∠3=90°，∠4+ 暑假大串联 八年级数学B ∠2=90°..∠3=∠4..EF⊥BC,AD⊥BC,∴.EF∥AD.∴.∠4=∠5.∴.∠3=∠5..AE= AG.在△AEG和△FEG中，AE=FE,∠3=∠4，EG=EG,.△AEG≌△FEG.AG=FG ∴.AE=EF=FG=AG..四边形AEFG是菱形. 预匀检测 一、选择题 1.下列说法中，错误的是 A.平行四边形的对角线互相平分 B.对角线互相平分的四边形是平行四边形 C.菱形的对角线互相垂直 D.对角线互相垂直的四边形是菱形 2.顺次连接对角线相等的四边形各边中点，所得四边形是 ( A.矩形 B.平行四边形 C.菱形 D.任意四边形 3.如图，在菱形ABCD中，E,F分别是AB,AC的中点，如果EF=2,那么菱形ABCD的周 长是 () A.4 B.8 C.12 D.16 (第3题) (第4题) (第5题) 4.如图，在菱形ABCD中，AB=5,∠BCD=120°，则△ABC的周长等于 ( A.20 B.15 C.10 D.5 5.如图，在菱形ABCD中，AC,BD是对角线，若∠BAC=50°，则∠ABC等于 A.40° B.50° C.80 D.100° 6.将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF.若AB=3,则BC的长为 ( A.1 B.2 C.√2 D.3 二、填空题 7.已知菱形的周长为40cm,两个相邻角度数之比为1：2，则较长对角线的长为 cm. 第三部分 探究先飞 8.如图，菱形ABCD的周长为8cm,高AE为√3cm,则对角线AC和BD之比为 (第8题) (第10题) 9.已知菱形ABCD两对角线AC=8cm,BD=6cm,则菱形的高为 10.如图，P是菱形ABCD对角线BD上一点，PE⊥AB于点E,PE=4cm,则点P到BC的距 离是 cm. 11.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,AB=13,AC=10,过点D作DE∥ AC交BC的延长线于点E,则△BDE的周长为 B(8,4) A (第11题) (第12题) 12.如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点B的坐标为(8,4)，则C点的坐标 为 三、解答题 13.如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，E是AB边的中点，P是AC边上一动点，PB+PE 的最小值是√3，求AB的值. 回 暑假大串联 八年级数学B一 14.如图，在平行四边形ABCD中，E,F分别为边AB,CD的中点，连接DE,BF,BD.若AD⊥ BD,则四边形BFDE是什么特殊四边形？请证明你的结论. 15.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E,过点A作 BD的平行线，交CE的延长线于点F,在AF的延长线上截取FG=BD,连接BG,DF, (1)求证：BD=DF; (2)求证：四边形BGFD为菱形： (3)若AG=13,CF=6,求四边形BDFG的周长. 阅∠AGB=∠CHD, △AGB和△CHD中， ∠ABG=∠CDH, AB=CD. .△AGB≌△CHD(AAS),.BG=DH=4, 1 ∠ABD=30°，GL=2BG=2,点G到 AB的距离是2. 11.A12.A13.√3 14.(1)证明：连接EF,AE. 14. 点E,F分别为BC,AC的中点，.EF∥AB, EF=AB.又：AD=AB,EF=AD.又 EF∥AD,.四边形AEFD是平行四边形. .AF与DE互相平分； (2)解：在Rt△ABC中，∠ABC=60°，BC=4,E 为BC的中点.BE=2BC=2,∠ACB=30, 15 ∴AB=BC=2.∴AB=BE,△ABE为等 边三角形，.AE=BE=2,又，四边形AEFD 是平行四边形，.DF=AE=2. 第三部分探究先飞 特殊平行四边形 1.菱形的性质与判定 1.D2.C3.D4.B5.C6.D 7.1058159.4cm10.4山.60 12.(3,4) 13.解：：∠ABC=120°，.∠BCD=∠BAD= 7 60°；，菱形ABCD中，AB=AD,.△ABD是 等边三角形；又，E是AB边的中点，B关于 12 AC的对称点是D,连接DE,DE与AC交于 P,DE⊥AB,PB=PD;DE的长就是PB+PE 的最小值√5；设AE=x,AD=2x,DE= √(2x)2-x=√5x=√5，所以x=1,AB= 2.x=2. D E B 解：四边形BFDE是菱形，理由：AD⊥BD, ∴.△ABD是直角三角形，且AB是斜边，E 为AB的中点DE=AB=BE,:四边形 ABCD是平行四边形，∴.DC∥AB,DC=AB, :F为DC中点，E为AB中点，DF=2DC BE=号AB,DF=BE,DF∥BE,∴四边形 DFBE是平行四边形，DE=EB,四边形 BFDE是菱形. (1)证明：，∠ABC=90°，BD为AC的中线， BD=号AC,:AG/BD,BD=FG四边形 BGFD是平行四边形，CF⊥BD,∴.CF⊥ AG,又：点D是AC中点.DF=名AC .BD=DF; (2)证明：，BD=DF,.四边形BGFD是菱形； (3)解：设GF=x,则AF=13-x,AC=2.x, 在Rt△ACF中，∠CFA=90°，.AF2+ CF2=AC2,即(13-x)2+62=(2x)2,解得：x= 5,∴.四边形BDFG的周长=4GF=20. 2.矩形的性质与判定 2.B3.B4.D5.D6.A 558980 11.3 12