精品解析：2026年广东省惠州市惠阳区中考二模 数学 试卷

2026年惠阳区初中毕业学业水平模拟考试（二） 数学 说明：本试卷共4页，答题卡共4页，满分120分，考试时间：120分钟． 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 倒数是（ ） A. B. C. D. 2. 预计2027年，某地电子信息产业产值约达620亿元，用科学记数法表示620亿为（ ） A. B. C. D. 3. 我国已经进入5G时代，自动驾驶技术和远程外科手术技术得以进一步发展．下列通信公司标志中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，直线，把一块含角的直角三角板按如图所示的方式放置，点B在直线n上，，若，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 惠阳皆歌是市级非遗音乐，某校开展皆歌传唱活动，10名同学演唱评分（满分10分）：7、8、9、8、7、10、8、9、8、7．下列关于该组数据的判断，错误的是（ ） A. 众数是8 B. 中位数是9 C. 平均数是8.1 D. 极差是3 7. 直线不经过第二象限，则关于的方程实数解的个数是（ ）. A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 1个或2个 8. 如图，点，，在上，连接，，，．若，则的度数为( ) A. B. C. D. 9. 二次函数开口向上，与轴交于负半轴，对称轴在轴左侧，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平行四边形纸片ABCD中，，现将该纸片翻折，使点A落在CD边的中点E处，折痕为FG，点F、G分别在边AB、AD上，则GE的长为（ ） A. B. C. 2.8 D. 2.2 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若反比例函数y＝的图象经过点（2，﹣3），则k＝_____． 12. 计算：_________． 13. 如下图，在一些国旗和标志中，五角星是一种常见图案．五角星还出现在一些宗教、文化和艺术的符号中，它也与黄金分割等数学原理相关．另外某些晶体、分子结构呈正五角星对称．若某化学分子结构为标准正五角星，五个尖角大小完全相同，则每个尖角的度数是_________． 14. 如图，四边形与四边形相似，位似中心点是O，，则__. 15. 如图1，一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为6．如图2，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，图中阴影为重合部分，则阴影部分的面积为_____．(答案用根号表示) 三、解答题（一）（本大题共3个小题，每题7分，共21分） 16. 先化简后求值：，其中． 下面是甲、乙两同学的部分运算过程： 同学 部分运算过程 甲同学 解：原式… 乙同学 解：原式… （1）甲同学解法的依据是_________；乙同学解法的依据是_________；（填序号） ①等式的基本性质 ②分式的基本性质 ③乘法分配律 ④乘法交换律 （2）请你选择上面的一种解法，写出完整的解答过程． 17. 惠阳区计划在一片直角三角形空地上，打造以淡水老城文化为主题的休闲广场．已知空地为，，边是紧邻规划的环城步道，边是便民服务通道，边是连接淡水老城入口的观景步道．设计方案以边上的点为圆心，为半径修建圆形的文化主题景观区，该圆形区域与环城步道交于点． （1）实践与操作：计划在便民服务通道上设置一个与点、点距离相等的便民服务点，请你用直尺与圆规作出边上满足条件的点，连接（不写作法，保留作图痕迹）． （2）判断与证明：只有当指示线与圆形景观区相切时，才能符合广场规划．请根据现有条件，判断是否符合广场规划，并说明理由． 18. 为落实“双减”政策，惠州市推行“周三无作业日”活动．相关主管部门为了解某学校学生对该活动的满意度，对该学校分别从小学部、初中部各随机抽取10名学生，对活动满意度进行问卷调查，打分情况（满分10分）如下： 小学部：7，7，8，8，8，8，8，9，9，10 初中部：9，7，9，6，10，6，8，9，9，7 （1）现从小学部抽取的这10名学生中的前4名中随机选取2人，求这2人的打分都不低于8分的概率； （2）若评分不低于8分的学生占比达到65%及以上，则认为该校活动开展效果良好．已知该校小学部有1200人，初中部有800人，请根据样本估计总体，判断该校“周三无作业日”活动开展效果是否良好，并说明理由． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9题，共27分） 19. 小刚到离家1200米的电影院看电影，到电影院时发现钱包丢在家里，此时距电影放映还有20分钟，于是他立即步行（匀速）回家，在家拿钱包用了2分钟，然后骑自行车（匀速）返回电影院，已知小刚骑自行车的速度是步行速度的倍，小刚骑自行车到电影院比他从电影院步行到家少用了9分钟． （1）小刚步行的速度是每分钟多少米？ （2）小刚能否在电影放映前赶到电影院？ 20. 惠州南站是深惠同城重要高铁站点，如图①，高铁座椅靠背、折叠小桌板可绕支点旋转，蕴含丰富几何变化规律．现将高铁座椅侧面抽象为几何图形进行操作探究： 如图②，已知支架、连接靠背与小桌板，点为杯托位置，，， 初始状态地面，地面，， 操作一：静态测量计算 （1）求初始状态下，点到靠背的垂直距离．（结果精确到） 操作二：旋转变换探究 （2）如图③，固定支点，将靠背绕点顺时针旋转，直至与小桌板支架重合．已知杯托处凹陷深度为，乘客的水杯恰好能竖直放在杯托处（点）、缝隙忽略不计，请综合线段长度与旋转高度的变化，计算高铁乘客水杯的最大安全高度． （结果精确到，参考数据：，，） 21. 如图，矩形中，点在边上，将沿折叠，点落在边上点处，过点作交于点，连接．     （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形的周长． 五、解答题（三）（本大题共2个小题，第22分13分，第23题14分） 22. 综合与实际 问题背景： 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑．在该书的第2卷“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论，其中把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方式计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，借助几何给人以强烈印象将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中． 问题探究： （1）请根据图①写出一个等式：___________； （2）如图②，点在线段上，分别以、为边作正方形和正方形，连接、．若，．试求出阴影部分的面积． 拓展应用： （3）如图③，在等腰直角三角形中，，为的中点，点为边上任意一点（不与端点重合），过点作长方形分别交于点，交于点．过点作交的延长线于点．记与的面积之和为，与的面积之和为．请问的值是否为定值？若为定值，请求出这个定值．若不是定值，请说明理由． 23. 二次函数图象交y轴于点A，顶点为P，直线PA与x轴交于点B． （1）当m=1时，求顶点P的坐标； （2）若点Q（a，b）在二次函数的图象上，且，试求a的取值范围； （3）在第一象限内，以AB为边作正方形ABCD． ①求点D的坐标（用含m的代数式表示）； ②若该二次函数的图象与正方形ABCD的边CD有公共点，请直接写出符合条件的整数m的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年惠阳区初中毕业学业水平模拟考试（二） 数学 说明：本试卷共4页，答题卡共4页，满分120分，考试时间：120分钟． 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由互为倒数的两数之积为1，即可求解． 【详解】解：∵， ∴的倒数是. 故选C 2. 预计2027年，某地电子信息产业产值约达620亿元，用科学记数法表示620亿为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，据此求解即可． 【详解】解：∵亿， ∴亿． 3. 我国已经进入5G时代，自动驾驶技术和远程外科手术技术得以进一步发展．下列通信公司标志中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据中心对称图形以及轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不合题意； B．既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故本选项不合题意； C．是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了中心对称图形以及轴对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后和原图形重合． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：选项A中，与不同类项，不能合并，∴A错误； 选项B中，根据合并同类项法则，，运算正确，∴B正确； 选项C中，根据去括号法则，，∴C错误； 选项D中，根据去括号法则，，∴D错误. 5. 如图，直线，把一块含角的直角三角板按如图所示的方式放置，点B在直线n上，，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质求角的度数．如图，过点C作直线平行于直线m，易得，根据平行线的性质可得，由可求出的度数，再由平行线的性质可得的度数． 【详解】解：如图，过点C作直线平行于直线m， ∵直线， ∴， ∴，， 由题意可得， ∴， ∴， 故选：D． 6. 惠阳皆歌是市级非遗音乐，某校开展皆歌传唱活动，10名同学演唱评分（满分10分）：7、8、9、8、7、10、8、9、8、7．下列关于该组数据的判断，错误的是（ ） A. 众数是8 B. 中位数是9 C. 平均数是8.1 D. 极差是3 【答案】B 【解析】 【分析】先将数据从小到大排序，再根据众数中位数平均数极差的定义分别计算结果，即可找出错误判断. 【详解】解：将这组数据从小到大排序，得： ， ∵数字在本组数据中出现次数最多，共次， ∴众数是，A判断正确； ∵本组数据共个，中位数是排序后第个和第个数据的平均数，第和第个数据均为， ∴中位数为，B判断错误； ∵本组数据总和为， ∴平均数为，C判断正确； ∵本组数据最大值为，最小值为， ∴极差为，D判断正确. 7. 直线不经过第二象限，则关于的方程实数解的个数是（ ）. A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 1个或2个 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线不经过第二象限，得到，再分两种情况判断方程的解的情况. 【详解】∵直线不经过第二象限， ∴， ∵方程， 当a=0时，方程为一元一次方程，故有一个解， 当a<0时，方程为一元二次方程， ∵∆=， ∴4-4a>0， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：D. 【点睛】此题考查一次函数的性质：利用函数图象经过的象限判断字母的符号，方程的解的情况，注意易错点是a的取值范围，再分类讨论. 8. 如图，点，，在上，连接，，，．若，则的度数为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理以及圆内接四边形对角互补，首先在优弧上取点，连接，，由圆周角定理，求得的度数，然后由圆的内接四边形的性质，可求得的度数． 【详解】解：如图， 在优弧上取点，连接，， ， ， ． 故选． 9. 二次函数开口向上，与轴交于负半轴，对称轴在轴左侧，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题根据二次函数的基本性质，由开口方向与的关系确定a的正负，对称轴位置与的关系确定b的正负，与轴交点的位置与的关系确定c的正负，逐一判断选项，即可得到正确结论． 【详解】解： 二次函数 开口向上， ，选项A错误； 对称轴在轴左侧，二次函数对称轴为 ， ， 又， ，选项B错误； 二次函数与轴交于负半轴，且当时，， ，选项C错误； 由， 得， ∴， ∵， ∴，选项D正确． 10. 如图，在平行四边形纸片ABCD中，，现将该纸片翻折，使点A落在CD边的中点E处，折痕为FG，点F、G分别在边AB、AD上，则GE的长为（ ） A. B. C. 2.8 D. 2.2 【答案】C 【解析】 【分析】如图（见解析），过点E作，交AD延长线于点M，先根据平行四边形的性质得出，再根据直角三角形的性质、中点的定义得出DE、DM、ME的长，然后由折叠的性质得出，最后在中利用勾股定理即可得． 【详解】如图，过点E作，交AD延长线于点M 四边形ABCD是平行四边形， 点E为CD边的中点 由折叠的性质得： 设，则 在中，，即 解得 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、勾股定理等知识点，通过作辅助线，构造一个直角三角形是解题关键． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若反比例函数y＝的图象经过点（2，﹣3），则k＝_____． 【答案】-6 【解析】 【分析】把点A（2，﹣3）代入y＝求得k的值即可． 【详解】∵反比例函数y＝的图象经过点（2，﹣3）， ∴﹣3＝， 解得，k＝﹣6， 故答案为﹣6． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．利用待定系数法求得一次函数解析式是解题的关键． 12. 计算：_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据相关运算法则逐步计算即可. 【详解】解： . 13. 如下图，在一些国旗和标志中，五角星是一种常见图案．五角星还出现在一些宗教、文化和艺术的符号中，它也与黄金分割等数学原理相关．另外某些晶体、分子结构呈正五角星对称．若某化学分子结构为标准正五角星，五个尖角大小完全相同，则每个尖角的度数是_________． 【答案】##36度 【解析】 【分析】连接，由题意得，五边形是正五边形，则，即可求解． 【详解】解：连接， 由题意得，五边形是正五边形，点以及点共线， ∴ ∴ ∴每个尖角的度数是． 14. 如图，四边形与四边形相似，位似中心点是O，，则__. 【答案】 【解析】 【分析】 【详解】解：如图所示： ∵四边形ABCD与四边形EFGH位似， ∴△OEF∽△OAB，△OFG∽△OBC， ∴， ∴． 故答案为 15. 如图1，一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为6．如图2，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，图中阴影为重合部分，则阴影部分的面积为_____．(答案用根号表示) 【答案】6π﹣ 【解析】 【分析】连接OD，利用折叠性质得由弧AD、线段AC和CD所围成的图形的面积等于阴影部分的面积，根据勾股定理求出CD=3 ，从而得到∠CDO=30°，∠COD=60°，然后根据扇形面积公式，利用由弧AD、线段AC和CD所围成的图形的面积=S扇形AOD-S△COD，进行计算即可． 【详解】连接OD， ∵扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD， ∴AC＝OC，OD＝2OC＝6， ∴ ∴∠CDO＝30°，∠COD＝60°， ∴由弧AD、线段AC和CD所围成的图形的面积＝S扇形AOD﹣S△COD＝ ∴阴影部分的面积为6π﹣， 故答案为6π﹣． 【点睛】本题考查的是扇形面积的计算折叠的性质，将不规则图形面积转化为规则图形的面积、记住扇形面积的计算公式是解题的关键． 三、解答题（一）（本大题共3个小题，每题7分，共21分） 16. 先化简后求值：，其中． 下面是甲、乙两同学的部分运算过程： 同学 部分运算过程 甲同学 解：原式… 乙同学 解：原式… （1）甲同学解法的依据是_________；乙同学解法的依据是_________；（填序号） ①等式的基本性质 ②分式的基本性质 ③乘法分配律 ④乘法交换律 （2）请你选择上面的一种解法，写出完整的解答过程． 【答案】（1）②；③ （2）方法一：按甲同学的通分法 解：原式 当时，原式． 方法二：按乙同学的分配律法 解：原式 当时，原式 【解析】 【分析】（1）根据分式的基本性质，以及乘法分配律，即可解答； （2）任选一种情况，根据分式的运算法则计算即可． 【小问1详解】 解：甲同学解法的依据是分式的基本性质，乙同学解法的依据是乘法分配律； 【小问2详解】 略 17. 惠阳区计划在一片直角三角形的空地上，打造以淡水老城文化为主题的休闲广场．已知空地为，，边是紧邻规划的环城步道，边是便民服务通道，边是连接淡水老城入口的观景步道．设计方案以边上的点为圆心，为半径修建圆形的文化主题景观区，该圆形区域与环城步道交于点． （1）实践与操作：计划在便民服务通道上设置一个与点、点距离相等的便民服务点，请你用直尺与圆规作出边上满足条件的点，连接（不写作法，保留作图痕迹）． （2）判断与证明：只有当指示线与圆形景观区相切时，才能符合广场规划．请根据现有条件，判断是否符合广场规划，并说明理由． 【答案】（1）解：如图所示，点及即为所求 （2）符合广场规划 理由如下：连接 ， ， ， 在中，， ， 又是的半径， 是的切线， 符合广场规划． 【解析】 【分析】（1）方法①：根据作一个与已知角相等的角的方法，过点交于点即可； 方法②：根据垂直平分线的作法，作的垂直平分线交于点即可； 方法③：根据过直线上一点作垂线的作法，，，由，可得，即可得． （2）利用等腰三角形性质，得，由得，推导出，从而得到，又是 的半径，即可证明是的切线． 小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 为落实“双减”政策，惠州市推行“周三无作业日”活动．相关主管部门为了解某学校学生对该活动的满意度，对该学校分别从小学部、初中部各随机抽取10名学生，对活动满意度进行问卷调查，打分情况（满分10分）如下： 小学部：7，7，8，8，8，8，8，9，9，10 初中部：9，7，9，6，10，6，8，9，9，7 （1）现从小学部抽取的这10名学生中的前4名中随机选取2人，求这2人的打分都不低于8分的概率； （2）若评分不低于8分的学生占比达到65%及以上，则认为该校活动开展效果良好．已知该校小学部有1200人，初中部有800人，请根据样本估计总体，判断该校“周三无作业日”活动开展效果是否良好，并说明理由． 【答案】（1） （2）该校“周三无作业日”活动开展效果良好， 理由如下： （名），（名） （名）． 该校“周三无作业日”活动开展效果良好． 【解析】 【分析】（1）根据题意列出树状图，利用符合题意的情况数除以总的情况数即可； （2）根据样本估计总体的方法进行解答即可． 【小问1详解】 解：设前4名学生的打分分别标记为：，，，，列树状图如下： 共有12种等可能结果． 其中两人都不低于8分的有、共2种． （两人都不低于8分） 【小问2详解】 略 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9题，共27分） 19. 小刚到离家1200米的电影院看电影，到电影院时发现钱包丢在家里，此时距电影放映还有20分钟，于是他立即步行（匀速）回家，在家拿钱包用了2分钟，然后骑自行车（匀速）返回电影院，已知小刚骑自行车的速度是步行速度的倍，小刚骑自行车到电影院比他从电影院步行到家少用了9分钟． （1）小刚步行的速度是每分钟多少米？ （2）小刚能否在电影放映前赶到电影院？ 【答案】（1）小刚步行的速度是每分钟80米； （2）小刚不能在电影放映前赶到电影院． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． （1）设小刚步行的速度是每分钟米，则小刚骑自行车的速度是每分钟米，利用时间路程速度，结合小刚骑自行车到电影院比他从电影院步行到家少用了9分钟，可列出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出结论； （2）利用时间路程速度，结合在家拿钱包用了2分钟，可求出小刚回到电影院所需时间，再将其与20分钟比较后，即可得出结论． 【小问1详解】 解：设小刚步行的速度是每分钟米，则小刚骑自行车的速度是每分钟米， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴小刚步行的速度是每分钟80米． 【小问2详解】 解：小刚不能在电影放映前赶到电影院，理由如下： 根据题意小刚回到电影院所需时间为（分钟）， ， 小刚不能在电影放映前赶到电影院． 20. 惠州南站是深惠同城重要高铁站点，如图①，高铁座椅靠背、折叠小桌板可绕支点旋转，蕴含丰富几何变化规律．现将高铁座椅侧面抽象为几何图形进行操作探究： 如图②，已知支架、连接靠背与小桌板，点为杯托位置，，， 初始状态地面，地面，， 操作一：静态测量计算 （1）求初始状态下，点到靠背的垂直距离．（结果精确到） 操作二：旋转变换探究 （2）如图③，固定支点，将靠背绕点顺时针旋转，直至与小桌板支架重合．已知杯托处凹陷深度为，乘客的水杯恰好能竖直放在杯托处（点）、缝隙忽略不计，请综合线段长度与旋转高度的变化，计算高铁乘客水杯的最大安全高度． （结果精确到，参考数据：，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）如图，延长交于点，结合，进一步求解即可． （2）如图，过点作，交于点，结合，进一步求解即可． 【小问1详解】 解：如图，延长交于点， 在中，，即， ， 答：点到靠背的垂直距离为． 【小问2详解】 解：如图，过点作，交于点， 由（1）知， 在中，，即， ， 乘客水杯最大高度约为：． 21. 如图，矩形中，点在边上，将沿折叠，点落在边上的点处，过点作交于点，连接．     （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形的周长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查翻折变化、菱形的性质和判定、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． （1）根据题意和翻折的性质，可以得到，再根据全等三角形的性质和菱形的判定方法即可证明结论成立； （2）根据题意和勾股定理，可以求得的长，进而求得，然后在中根据勾股定理求出的值，从而可以得到四边形的周长． 【小问1详解】 证明：∵沿折叠，点落在边上的点处， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵矩形中，，，， ∴，， ∴， ∴， 设，则，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴菱形的周长是：． 五、解答题（三）（本大题共2个小题，第22分13分，第23题14分） 22. 综合与实际 问题背景： 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑．在该书的第2卷“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论，其中把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方式计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，借助几何给人以强烈印象将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中． 问题探究： （1）请根据图①写出一个等式：___________； （2）如图②，点在线段上，分别以、为边作正方形和正方形，连接、．若，．试求出阴影部分的面积． 拓展应用： （3）如图③，在等腰直角三角形中，，为的中点，点为边上任意一点（不与端点重合），过点作长方形分别交于点，交于点．过点作交的延长线于点．记与的面积之和为，与的面积之和为．请问的值是否为定值？若为定值，请求出这个定值．若不是定值，请说明理由． 【答案】（1），（2）17，（3）是定值， 【解析】 【分析】（1）用两种方法表示出大正方形的面积，即可得出结论； （2）设，，得到，，分割法表示出阴影部分的面积，整体代入法进行计算即可． （3）设，，依题意得四边形是矩形，则，，，，进而得，，则，由此得． 此题主要考查了几何背景下的乘法公式，三角形中位线的性质，等腰三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，整式的运算，准确识图，熟练掌握乘法公式的结构特征，整式的运算法则是解决问题的关键． 【详解】解：（1）大正方形的面积可表示为：或， 故答案为：； （2）设， ， ，，即，， ， 答：阴影部分的面积为17． 拓展应用： （3）∵在等腰直角三角形中，，为的中点， ∵，， ，是等腰直角三角形， 于点，于点， ，是等腰直角三角形， ， ， ， 是等腰直角三角形， ∴图中的所有三角形都是等腰直角三角形， 设， 依题意得：四边形是长方形， 23. 二次函数的图象交y轴于点A，顶点为P，直线PA与x轴交于点B． （1）当m=1时，求顶点P的坐标； （2）若点Q（a，b）在二次函数的图象上，且，试求a的取值范围； （3）在第一象限内，以AB边作正方形ABCD． ①求点D的坐标（用含m的代数式表示）； ②若该二次函数的图象与正方形ABCD的边CD有公共点，请直接写出符合条件的整数m的值． 【答案】（1）P（2，）；（2）a的取值范围为：a＜0或a＞4；（3）①D（m，m+3）； ②2，3，4． 【解析】 【分析】（1）把m=1代入二次函数解析式中，进而求顶点P的坐标即可； （2）把点Q（a，b）代入二次函数解析式中，根据得到关于a的一元二次不等式即一元一次不等式组，解出a的取值范围即可； （3）①过点D作DE⊥x轴于点E，过点A作AF⊥DE于点F，求出二次函数与y轴的交点A的坐标，得到OA的长，再根据待定系数法求出直线AP的解析式，进而求出与x轴的交点B的坐标，得到OB的长；通过证明△ADF≌△ABO，得到AF=OA=m，DF=OB=3，DE=DF+EF= DF+OA=m+3，求出点D的坐标； ②因为二次函数的图象与正方形ABCD的边CD有公共点，由①同理可得：C（m+3，3），分当x等于点D的横坐标时与当x等于点C的横坐标两种情况，进行讨论m可能取的整数值即可． 【详解】解：（1）当m=1时，二次函数为， ∴顶点P的坐标为（2，）； （2）∵点Q（a，b）在二次函数的图象上， ∴， 即： ∵， ∴＞0， ∵m＞0， ∴＞0， 解得：a＜0或a＞4， ∴a的取值范围为：a＜0或a＞4； （3）①如下图，过点D作DE⊥x轴于点E，过点A作AF⊥DE于点F， ∵二次函数的解析式为， ∴顶点P（2，）， 当x=0时，y=m， ∴点A（0，m）， ∴OA=m； 设直线AP的解析式为y=kx+b(k≠0)， 把点A（0，m），点P（2，）代入，得： ， 解得：， ∴直线AP的解析式为y=x+m， 当y=0时，x=3， ∴点B（3，0）； ∴OB=3； ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=AB，∠DAF+∠FAB=90°， 且∠OAB+∠FAB =90°， ∴∠DAF=∠OAB， 在△ADF和△ABO中， ， ∴△ADF≌△ABO（AAS）， ∴AF=OA=m，DF=OB=3，DE=DF+EF= DF+OA=m+3， ∴点D的坐标为：（m，m+3）； ②由①同理可得：C（m+3，3）， ∵二次函数的图象与正方形ABCD的边CD有公共点， ∴当x=m时，，可得，化简得：． ∵，∴，∴， 显然：m=1，2，3，4是上述不等式的解， 当时，，，此时，， ∴符合条件的正整数m=1，2，3，4； 当x= m+3时，y≥3，可得， ∵，∴，即， 显然：m=1不是上述不等式的解， 当时，，，此时，恒成立， ∴符合条件的正整数m =2，3，4； 综上：符合条件的整数m的值为2，3，4． 【点睛】本题考查二次函数与几何问题的综合运用，熟练掌握二次函数的图象和性质、一次函数的图象和性质、正方形的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $